Jumla ya nambari 100 za kwanza za maendeleo ya hesabu. Fomula ya jumla ya masharti ya kuendelea kwa hesabu

Katika somo hili tutapata fomula kwa jumla ya masharti ya kuendelea kwa hesabu na kutatua baadhi ya matatizo kwa kutumia fomula hii.

Mada: Maendeleo

Somo: Mfumo wa jumla wa masharti ya kuendelea kwa hesabu

1. Utangulizi

Fikiria shida: pata jumla ya nambari asilia kutoka 1 hadi 100 zikiwa zimejumuishwa.

Imetolewa: 1, 2, 3, ..., 98, 99, 100.

Tafuta: S100=1+2+3 … +98 + 99 + 100.

Suluhisho: S100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=101+101+101+…+101=101 x 50=5050.

Jibu: 5050.

Mlolongo wa nambari asilia 1, 2, 3, ..., 98, 99, 100 ni maendeleo ya hesabu: a1=1, d=1.

Tulipata jumla ya nambari za asili mia za kwanza, i.e. jumla ya n masharti ya maendeleo ya hesabu.

Suluhisho lililozingatiwa lilipendekezwa na mwanahisabati mkuu Carl Friedrich Gauss, aliyeishi katika karne ya 19. Alitatua tatizo hilo akiwa na umri wa miaka 5.

Rejea ya kihistoria: Johann Carl Friedrich Gauss ( 1777 - 1855 ) alikuwa mwanahisabati wa Ujerumani, mekanika, mwanafizikia na mnajimu. Anachukuliwa kuwa mmoja wa wanahisabati wakubwa wa wakati wote, "Mfalme wa Wanahisabati". Mshindi wa Medali ya Copley (1838), mwanachama wa kigeni wa Chuo cha Sayansi cha Uswidi (1821) na Kirusi (1824), na Jumuiya ya Kifalme ya Kiingereza. Kulingana na hadithi, mwalimu wa hisabati wa shule, ili kuwaweka watoto kazi kwa muda mrefu, aliwataka kuhesabu jumla ya nambari kutoka 1 hadi 100. Young Gauss aliona kwamba hesabu za jozi kutoka kwa kinyume ni sawa: 1+100=101 , 2+99=101, nk. nk, na mara moja akapata matokeo: 101x50=5050.

2. Utoaji wa fomula ya jumla ya masharti n ya maendeleo ya hesabu

Wacha tuzingatie shida kama hiyo kwa maendeleo ya hesabu ya kiholela.

Tafuta: jumla ya masharti n ya kwanza ya maendeleo ya hesabu.

Wacha tuonyeshe kuwa misemo yote kwenye mabano ni sawa kwa kila mmoja, yaani kwa usemi . Hebu iwe tofauti ya maendeleo ya hesabu. Kisha:

Kwa hivyo, tunaweza kuandika:

Tunapata wapi fomula ya jumla ya masharti n ya kwanza ya maendeleo ya hesabu:

3. Kutatua matatizo kwa kutumia fomula ya jumla ya masharti ya n ya maendeleo ya hesabu

1. Wacha tusuluhishe shida ya jumla ya nambari asilia kutoka 1 hadi 100 kwa kutumia formula ya jumla ya masharti ya n ya maendeleo ya hesabu:

Suluhisho: a1=1, d=1, n=100.

Fomula ya jumla:

Kwa upande wetu:.

Jibu: 5050.

Fomula ya jumla:

. Wacha tupate muhula wa nth wa maendeleo ya hesabu kwa kutumia fomula: .

Kwa upande wetu:.

Ili kupata, lazima kwanza utafute.

Hii inaweza kufanywa kwa kutumia formula ya jumla .Kwanza tunatumia fomula hii kupata tofauti ya maendeleo ya hesabu.

Hiyo ni . Maana.

Sasa tunaweza kupata.

Kwa kutumia fomula ya jumla ya masharti n ya kwanza ya maendeleo ya hesabu

, tutaipata.

4. Utoaji wa fomula ya pili kwa jumla ya masharti n ya kwanza ya maendeleo ya hesabu

Wacha tupate fomula ya pili ya jumla ya masharti ya n ya maendeleo ya hesabu, ambayo ni: tunathibitisha kwamba .

Uthibitisho:

Katika fomula ya jumla ya masharti ya n ya maendeleo ya hesabu tubadilishe usemi kwa , yaani . Tunapata:, i.e. . Q.E.D.

Wacha tuchambue fomula zinazosababisha. Kwa mahesabu kwa kutumia formula ya kwanza unahitaji kujua muhula wa kwanza, muhula wa mwisho na n kwa kutumia fomula ya pili - unahitaji kujua muda wa kwanza, tofauti na n.

Na kwa kumalizia, tunaona kwamba kwa hali yoyote Sn ni kazi ya quadratic ya n, kwa sababu .

5. Kutatua matatizo kwa kutumia fomula ya pili kwa jumla ya masharti n ya kwanza ya kuendelea kwa hesabu

Fomula ya jumla:

Kwa upande wetu:.

Jibu: 403.

2. Tafuta jumla ya nambari zote za tarakimu mbili ambazo ni zidishi za 4.

(12; 16; 20; …; 96) - seti ya nambari zinazokidhi hali ya shida.

Hii inamaanisha tuna maendeleo ya hesabu.

n tunapata kutoka kwa fomula ya:.

Hiyo ni . Maana.

Kwa kutumia fomula ya pili kwa jumla ya masharti n ya kwanza ya mwendelezo wa hesabu

, tutaipata.

Unahitaji kupata jumla ya masharti yote kutoka 10 hadi 25 pamoja.

Suluhisho moja ni hili:

Kwa hivyo,.

6. Muhtasari wa somo

Kwa hivyo, tumeunda fomula za jumla ya masharti ya kuendelea kwa hesabu. Tulitumia fomula hizi kutatua shida kadhaa.

Katika somo linalofuata tutafahamiana na sifa ya tabia ya maendeleo ya hesabu.

1. Makarychev Yu. N. et al. Algebra daraja la 9 (kitabu cha shule ya upili) - M.: Elimu, 1992.

2. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov, K. I. Algebra kwa daraja la 9 na ya juu. alisoma Hisabati.-M.: Mnemosyne, 2003.

3. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G. Sura za ziada za kitabu cha shule ya algebra ya daraja la 9. - M.: Prosveshchenie, 2002.

4. Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Mkusanyiko wa matatizo katika algebra kwa darasa la 8-9 (kitabu cha wanafunzi wa shule na madarasa na utafiti wa kina wa hisabati) - M.: Prosveshchenie, 1996.

5. Mordkovich A.G. Algebra daraja la 9, kitabu cha taasisi za elimu ya jumla. - M.: Mnemosyne, 2002.

6. Mordkovich A. G., Mishutina T. N., Tulchinskaya E. E. Algebra daraja la 9, kitabu cha shida kwa taasisi za elimu. - M.: Mnemosyne, 2002.

7. Glazer G.I. Historia ya hisabati shuleni. Madarasa ya 7-8 (mwongozo wa mwalimu) - M.: Elimu, 1983.

1. Sehemu ya chuo. ru katika hisabati.

2. Tovuti ya Sayansi Asilia.

3. Exponenta. ru Tovuti ya elimu ya hisabati.

1. Nambari 362, 371, 377, 382 (Makarychev Yu. N. et al. Algebra daraja la 9).

2. Nambari 12.96 (Galitsky M.L., Goldman A.M., Zvavich L.I. Mkusanyiko wa matatizo ya algebra kwa darasa la 8-9).

Wakati wa kusoma algebra katika shule ya sekondari (daraja la 9), moja ya mada muhimu ni masomo ya mlolongo wa nambari, ambayo ni pamoja na maendeleo - jiometri na hesabu. Katika makala hii tutaangalia maendeleo ya hesabu na mifano yenye ufumbuzi.

Ni nini maendeleo ya hesabu?

Ili kuelewa hili, ni muhimu kufafanua maendeleo katika swali, na pia kutoa kanuni za msingi ambazo zitatumika baadaye katika kutatua matatizo.

Uendelezaji wa hesabu au aljebra ni seti ya nambari za busara zilizopangwa, kila neno ambalo hutofautiana na uliopita kwa thamani fulani ya mara kwa mara. Thamani hii inaitwa tofauti. Hiyo ni, kujua mwanachama yeyote wa mfululizo ulioamuru wa nambari na tofauti, unaweza kurejesha maendeleo yote ya hesabu.

Hebu tutoe mfano. Mlolongo wafuatayo wa nambari utakuwa maendeleo ya hesabu: 4, 8, 12, 16, ..., kwa kuwa tofauti katika kesi hii ni 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Lakini seti ya nambari 3, 5, 8, 12, 17 haiwezi tena kuhusishwa na aina ya maendeleo inayozingatiwa, kwani tofauti yake sio thamani ya mara kwa mara (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17-12).

Fomula Muhimu

Hebu sasa tuwasilishe fomula za msingi ambazo zitahitajika kutatua matatizo kwa kutumia maendeleo ya hesabu. Wacha tuonyeshe kwa ishara a n mwanachama wa nth wa mlolongo, ambapo n ni nambari kamili. Tunaashiria tofauti kwa herufi ya Kilatini d. Kisha misemo ifuatayo ni halali:

Kuamua thamani ya neno la nth, fomula ifuatayo inafaa: a n = (n-1)*d+a 1 .
Kuamua jumla ya maneno ya kwanza ya n: S n = (a n +a 1)*n/2.

Ili kuelewa mifano yoyote ya maendeleo ya hesabu na ufumbuzi katika daraja la 9, inatosha kukumbuka kanuni hizi mbili, kwa kuwa matatizo yoyote ya aina inayozingatiwa yanategemea matumizi yao. Unapaswa pia kukumbuka kuwa tofauti ya maendeleo imedhamiriwa na formula: d = a n - a n-1.

Mfano #1: kutafuta mwanachama asiyejulikana

Wacha tutoe mfano rahisi wa maendeleo ya hesabu na fomula zinazohitajika kuzitatua.

Hebu mlolongo 10, 8, 6, 4, ... upewe, unahitaji kupata maneno matano ndani yake.

Kutoka kwa hali ya tatizo tayari inafuata kwamba maneno 4 ya kwanza yanajulikana. Ya tano inaweza kufafanuliwa kwa njia mbili:

Hebu kwanza tuhesabu tofauti. Tunayo: d = 8 - 10 = -2. Vile vile, unaweza kuchukua washiriki wengine wawili waliosimama karibu na kila mmoja. Kwa mfano, d = 4 - 6 = -2. Kwa kuwa inajulikana kuwa d = a n - a n-1, basi d = a 5 - a 4, ambayo tunapata: a 5 = a 4 + d. Tunabadilisha maadili yanayojulikana: a 5 = 4 + (-2) = 2.
Njia ya pili pia inahitaji ujuzi wa tofauti ya maendeleo katika swali, kwa hivyo unahitaji kwanza kuamua kama inavyoonyeshwa hapo juu (d = -2). Kujua kwamba neno la kwanza 1 = 10, tunatumia fomula kwa nambari ya n ya mlolongo. Tunayo: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2 * n. Kubadilisha n = 5 kwa usemi wa mwisho, tunapata: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Kama unaweza kuona, suluhisho zote mbili zilisababisha matokeo sawa. Kumbuka kuwa katika mfano huu tofauti ya maendeleo d ni thamani hasi. Mlolongo kama huo huitwa kupungua, kwani kila muhula unaofuata ni chini ya ule uliopita.

Mfano #2: tofauti ya maendeleo

Sasa hebu tufanye kazi ngumu kidogo, hebu tupe mfano wa jinsi gani

Inajulikana kuwa katika baadhi ya muda wa 1 ni sawa na 6, na muda wa 7 ni sawa na 18. Ni muhimu kupata tofauti na kurejesha mlolongo huu kwa muda wa 7.

Wacha tutumie fomula kuamua neno lisilojulikana: a n = (n - 1) * d + a 1 . Wacha tubadilishe data inayojulikana kutoka kwa hali ndani yake, ambayo ni, nambari 1 na 7, tunayo: 18 = 6 + 6 * d. Kutoka kwa usemi huu unaweza kuhesabu kwa urahisi tofauti: d = (18 - 6) /6 = 2. Kwa hivyo, tumejibu sehemu ya kwanza ya tatizo.

Ili kurejesha mlolongo kwa muda wa 7, unapaswa kutumia ufafanuzi wa maendeleo ya algebraic, yaani, 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, na kadhalika. Matokeo yake, tunarejesha mlolongo mzima: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Mfano Na. 3: kuandaa mwendelezo

Wacha tufanye shida kuwa ngumu zaidi. Sasa tunahitaji kujibu swali la jinsi ya kupata maendeleo ya hesabu. Mfano unaofuata unaweza kutolewa: nambari mbili zinatolewa, kwa mfano - 4 na 5. Ni muhimu kuunda maendeleo ya algebra ili masharti matatu zaidi yawekwe kati ya haya.

Kabla ya kuanza kutatua tatizo hili, unahitaji kuelewa ni mahali gani nambari zilizopewa zitachukua katika maendeleo ya baadaye. Kwa kuwa kutakuwa na maneno matatu zaidi kati yao, basi 1 = -4 na 5 = 5. Baada ya kuanzisha hili, tunaendelea kwenye tatizo, ambalo ni sawa na la awali. Tena, kwa neno la nth tunatumia formula, tunapata: a 5 = a 1 + 4 * d. Kutoka: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25. Tulichopata hapa sio thamani kamili ya tofauti, lakini ni nambari ya kimantiki, kwa hivyo fomula za maendeleo ya aljebra hubaki sawa.

Sasa hebu tuongeze tofauti iliyopatikana kwa 1 na kurejesha masharti yaliyokosekana ya maendeleo. Tunapata: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, 5 = 2.75 + 2.25 = 5, ambayo sanjari na masharti ya tatizo.

Mfano Nambari 4: muhula wa kwanza wa maendeleo

Wacha tuendelee kutoa mifano ya maendeleo ya hesabu na suluhisho. Katika matatizo yote ya awali, idadi ya kwanza ya maendeleo ya algebra ilijulikana. Sasa hebu fikiria tatizo la aina tofauti: hebu namba mbili zipewe, ambapo 15 = 50 na 43 = 37. Ni muhimu kupata nambari ambayo mlolongo huu huanza na.

Fomula zilizotumika kufikia sasa huchukua maarifa ya 1 na d. Katika taarifa ya tatizo, hakuna kinachojulikana kuhusu nambari hizi. Walakini, tutaandika misemo kwa kila neno kuhusu habari ambayo inapatikana: a 15 = a 1 + 14 * d na 43 = a 1 + 42 * d. Tulipokea milinganyo miwili ambayo ndani yake kuna idadi 2 isiyojulikana (a 1 na d). Hii ina maana kwamba tatizo limepunguzwa ili kutatua mfumo wa milinganyo ya mstari.

Njia rahisi ya kutatua mfumo huu ni kueleza 1 katika kila mlinganyo na kisha kulinganisha misemo inayotokana. Equation ya kwanza: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; mlinganyo wa pili: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Kulinganisha maneno haya, tunapata: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, wapi tofauti d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464 (maeneo 3 tu ya decimal yanatolewa).

Kujua d, unaweza kutumia misemo yoyote kati ya 2 hapo juu kwa 1. Kwa mfano, kwanza: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496.

Ikiwa una shaka juu ya matokeo yaliyopatikana, unaweza kuiangalia, kwa mfano, kuamua muda wa 43 wa maendeleo, ambayo imeelezwa katika hali hiyo. Tunapata: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. Hitilafu ndogo ni kutokana na ukweli kwamba kuzunguka kwa maelfu ilitumiwa katika mahesabu.

Mfano Nambari 5: kiasi

Sasa hebu tuangalie mifano kadhaa iliyo na suluhisho kwa jumla ya maendeleo ya hesabu.

Acha maendeleo ya nambari ya fomu ifuatayo itolewe: 1, 2, 3, 4, ...,. Jinsi ya kuhesabu jumla ya 100 ya nambari hizi?

Shukrani kwa maendeleo ya teknolojia ya kompyuta, inawezekana kutatua tatizo hili, yaani, kuongeza namba zote kwa sequentially, ambayo kompyuta itafanya mara tu mtu anaposisitiza kitufe cha Ingiza. Hata hivyo, tatizo linaweza kutatuliwa kiakili ikiwa unazingatia kwamba mfululizo uliowasilishwa wa nambari ni maendeleo ya algebra, na tofauti yake ni sawa na 1. Kutumia formula kwa jumla, tunapata: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Inafurahisha kutambua kwamba shida hii inaitwa "Gaussian" kwa sababu mwanzoni mwa karne ya 18 Mjerumani maarufu, ambaye bado ana umri wa miaka 10, aliweza kulitatua kichwani mwake katika sekunde chache. Mvulana hakujua fomula ya jumla ya maendeleo ya algebra, lakini aligundua kuwa ikiwa unaongeza nambari kwenye miisho ya mlolongo kwa jozi, kila wakati unapata matokeo sawa, ambayo ni, 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., na kwa kuwa hesabu hizi zitakuwa 50 (100/2), basi kupata jibu sahihi inatosha kuzidisha 50 kwa 101.

Mfano Nambari 6: jumla ya maneno kutoka n hadi m

Mfano mwingine wa kawaida wa jumla ya maendeleo ya hesabu ni yafuatayo: ukipewa safu ya nambari: 3, 7, 11, 15, ..., unahitaji kupata ni nini jumla ya masharti yake kutoka 8 hadi 14 itakuwa sawa na .

Tatizo linatatuliwa kwa njia mbili. Ya kwanza ni pamoja na kutafuta maneno yasiyojulikana kutoka 8 hadi 14, na kisha kuyafupisha kwa mlolongo. Kwa kuwa kuna maneno machache, njia hii sio ya kazi sana. Walakini, inapendekezwa kutatua shida hii kwa kutumia njia ya pili, ambayo ni ya ulimwengu wote.

Wazo ni kupata fomula ya jumla ya kuendelea kwa aljebra kati ya istilahi m na n, ambapo n > m ni nambari kamili. Kwa visa vyote viwili, tunaandika maneno mawili kwa jumla:

S m = m * (m + a 1) / 2.
S n = n * (a n + a 1) / 2.

Kwa kuwa n > m, ni dhahiri kwamba jumla ya 2 inajumuisha ya kwanza. Hitimisho la mwisho linamaanisha kwamba ikiwa tutachukua tofauti kati ya hesabu hizi na kuongeza neno a m kwake (katika kesi ya kuchukua tofauti, imetolewa kutoka kwa jumla S n), tutapata jibu la lazima kwa shida. Tunayo: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Inahitajika kubadilisha fomula za n na m katika usemi huu. Kisha tunapata: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

Fomula inayosababishwa ni ngumu kiasi fulani, hata hivyo, jumla ya S mn inategemea tu n, m, 1 na d. Kwa upande wetu, 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Kubadilisha nambari hizi, tunapata: S mn = 301.

Kama inavyoonekana kutoka kwa suluhu zilizo hapo juu, shida zote zinatokana na maarifa ya usemi wa muhula wa nth na fomula ya jumla ya seti ya maneno ya kwanza. Kabla ya kuanza kutatua matatizo yoyote haya, inashauriwa kusoma kwa uangalifu hali hiyo, kuelewa wazi kile unachohitaji kupata, na kisha tu kuendelea na suluhisho.

Ncha nyingine ni kujitahidi kwa unyenyekevu, yaani, ikiwa unaweza kujibu swali bila kutumia mahesabu magumu ya hisabati, basi unahitaji kufanya hivyo tu, kwa kuwa katika kesi hii uwezekano wa kufanya makosa ni mdogo. Kwa mfano, kwa mfano wa maendeleo ya hesabu na suluhisho la 6, mtu anaweza kuacha kwenye formula S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, na gawanya tatizo la jumla katika kazi ndogo tofauti (katika kesi hii, kwanza pata masharti n na a m).

Ikiwa una shaka juu ya matokeo yaliyopatikana, inashauriwa kuiangalia, kama ilifanyika katika baadhi ya mifano iliyotolewa. Tuligundua jinsi ya kupata maendeleo ya hesabu. Ikiwa utaigundua, sio ngumu sana.

Jumla ya maendeleo ya hesabu.

Jumla ya maendeleo ya hesabu ni jambo rahisi. Wote kwa maana na kwa fomula. Lakini kuna kila aina ya kazi juu ya mada hii. Kutoka msingi hadi imara kabisa.

Kwanza, hebu tuelewe maana na fomula ya kiasi. Na kisha tutaamua. Kwa raha yako.) Maana ya kiasi ni rahisi kama moo. Ili kupata jumla ya maendeleo ya hesabu, unahitaji tu kuongeza kwa makini masharti yake yote. Ikiwa masharti haya ni machache, unaweza kuongeza bila fomula zozote. Lakini ikiwa kuna mengi, au mengi ... kuongeza ni hasira.) Katika kesi hii, formula inakuja kuwaokoa.

Fomu ya kiasi ni rahisi:

Wacha tuone ni aina gani ya herufi zilizojumuishwa kwenye fomula. Hii itaweka wazi mambo mengi.

S n - jumla ya maendeleo ya hesabu. Matokeo ya nyongeza kila mtu wanachama, pamoja na kwanza Na mwisho. Ni muhimu. Wanaongeza haswa Wote wanachama mfululizo, bila kuruka au kuruka. Na, kwa usahihi, kuanzia kwanza. Katika matatizo kama vile kupata jumla ya istilahi ya tatu na nane, au jumla ya istilahi za tano hadi ishirini, matumizi ya moja kwa moja ya fomula yatakatisha tamaa.)

a 1 - kwanza mwanachama wa maendeleo. Kila kitu ni wazi hapa, ni rahisi kwanza nambari ya safu.

n- mwisho mwanachama wa maendeleo. Nambari ya mwisho ya mfululizo. Sio jina linalojulikana sana, lakini linapotumiwa kwa kiasi, linafaa sana. Kisha utajionea mwenyewe.

n - idadi ya mwanachama wa mwisho. Ni muhimu kuelewa kwamba katika formula nambari hii sanjari na idadi ya masharti yaliyoongezwa.

Hebu tufafanue dhana mwisho mwanachama n. Swali gumu: mwanachama gani atakuwa ya mwisho ikitolewa isiyo na mwisho maendeleo ya hesabu?)

Ili kujibu kwa ujasiri, unahitaji kuelewa maana ya msingi ya maendeleo ya hesabu na ... soma kazi hiyo kwa uangalifu!)

Katika kazi ya kutafuta jumla ya maendeleo ya hesabu, neno la mwisho linaonekana kila wakati (moja kwa moja au moja kwa moja), ambayo inapaswa kuwa mdogo. Vinginevyo, kiasi cha mwisho, maalum haipo tu. Kwa suluhisho, haijalishi ikiwa maendeleo yametolewa: yenye mwisho au isiyo na mwisho. Haijalishi jinsi inavyotolewa: mfululizo wa nambari, au fomula ya neno la nth.

Jambo muhimu zaidi ni kuelewa kwamba fomula hufanya kazi kutoka kwa muhula wa kwanza wa maendeleo hadi neno na nambari n. Kwa kweli, jina kamili la fomula inaonekana kama hii: jumla ya masharti n ya maendeleo ya hesabu. Idadi ya wanachama hawa wa kwanza kabisa, i.e. n, imedhamiriwa pekee na kazi. Katika kazi, maelezo haya yote muhimu mara nyingi husimbwa kwa njia fiche, ndiyo... Lakini ni sawa, katika mifano hapa chini tunafichua siri hizi.)

Mifano ya kazi kwa jumla ya maendeleo ya hesabu.

Kwanza kabisa, habari muhimu:

Ugumu kuu katika kazi zinazohusisha jumla ya maendeleo ya hesabu iko katika uamuzi sahihi wa vipengele vya fomula.

Waandishi wa kazi husimba vipengele hivi kwa mawazo yasiyo na mipaka.) Jambo kuu hapa si kuogopa. Kuelewa kiini cha vipengele, inatosha kuzifafanua tu. Hebu tuangalie mifano michache kwa undani. Wacha tuanze na kazi kulingana na GIA halisi.

1. Maendeleo ya hesabu hutolewa na hali: a n = 2n-3.5. Tafuta jumla ya masharti yake 10 ya kwanza.

Kazi nzuri. Rahisi.) Ili kujua kiasi kwa kutumia fomula, tunahitaji kujua nini? Mwanachama wa kwanza a 1, muhula uliopita n, ndiyo idadi ya mwanachama wa mwisho n.

Ninaweza kupata wapi nambari ya mwanachama wa mwisho? n? Ndio, hapo hapo, kwa sharti! Inasema: pata jumla wanachama 10 wa kwanza. Naam, itakuwa na nambari gani? mwisho, mshiriki wa kumi?) Hutaamini, nambari yake ni ya kumi!) Kwa hiyo, badala ya n Tutabadilisha katika fomula ya 10, na badala yake n-kumi. Narudia kusema, idadi ya mjumbe wa mwisho inaendana na idadi ya wajumbe.

Inabakia kuamua a 1 Na ya 10. Hii inakokotolewa kwa urahisi kwa kutumia fomula ya neno la nth, ambalo limetolewa katika taarifa ya tatizo. Sijui jinsi ya kufanya hivi? Hudhuria somo lililopita, bila hii hakuna njia.

a 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

ya 10=2 · 10 - 3.5 =16.5

S n = S 10.

Tumepata maana ya vipengele vyote vya fomula ya jumla ya maendeleo ya hesabu. Kilichobaki ni kuzibadilisha na kuhesabu:

Ni hayo tu. Jibu: 75.

Kazi nyingine kulingana na GIA. Ngumu zaidi kidogo:

2. Kutokana na maendeleo ya hesabu (a n), tofauti ambayo ni 3.7; 1 = 2.3. Tafuta jumla ya masharti yake 15 ya kwanza.

Mara moja tunaandika formula ya jumla:

Fomula hii huturuhusu kupata thamani ya neno lolote kwa nambari yake. Tunatafuta mbadala rahisi:

a 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1

Inabakia kubadilisha vitu vyote kwenye fomula ya jumla ya maendeleo ya hesabu na kuhesabu jibu:

Jibu: 423.

Kwa njia, ikiwa katika fomula ya jumla badala ya n Tunabadilisha tu fomula ya muhula wa nth na kupata:

Wacha tuwasilishe zinazofanana na tupate fomula mpya ya jumla ya masharti ya maendeleo ya hesabu:

Kama unaweza kuona, neno la nth halihitajiki hapa n. Katika baadhi ya matatizo formula hii ni msaada mkubwa, ndiyo ... Unaweza kukumbuka formula hii. Au unaweza kuionyesha kwa wakati unaofaa, kama hapa. Baada ya yote, kila wakati unahitaji kukumbuka fomula ya jumla na fomula ya muhula wa nth.)

Sasa kazi katika mfumo wa usimbuaji mfupi):

3. Tafuta jumla ya nambari zote chanya za tarakimu mbili ambazo ni zidishio za tatu.

Lo! Wala mwanachama wako wa kwanza, wala wa mwisho wako, wala maendeleo kabisa ... Jinsi ya kuishi!?

Utakuwa na kufikiri kwa kichwa chako na kuvuta vipengele vyote vya jumla ya maendeleo ya hesabu kutoka kwa hali hiyo. Tunajua nambari za tarakimu mbili ni nini. Zinajumuisha nambari mbili.) Nambari ya tarakimu mbili itakuwaje kwanza? 10, labda.) A jambo la mwisho nambari ya tarakimu mbili? 99, bila shaka! Wenye tarakimu tatu watamfuata...

Nyingi za tatu... Hm... Hizi ni nambari zinazogawanyika kwa tatu, hapa! Kumi haigawanyiki kwa tatu, 11 haigawanyiki... 12... inagawanyika! Kwa hiyo, kitu kinajitokeza. Unaweza tayari kuandika safu kulingana na hali ya shida:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Je, mfululizo huu utakuwa mwendelezo wa hesabu? Hakika! Kila neno hutofautiana na lililotangulia kwa tatu. Ikiwa unaongeza 2 au 4 kwa muda, sema, matokeo, i.e. nambari mpya haiwezi kugawanywa tena na 3. Unaweza kuamua mara moja tofauti ya maendeleo ya hesabu: d = 3. Itakuja kwa manufaa!)

Kwa hivyo, tunaweza kuandika kwa usalama vigezo kadhaa vya maendeleo:

Nambari itakuwa nini? n mwanachama wa mwisho? Yeyote anayefikiri kwamba 99 amekosea sana... Nambari daima huenda mfululizo, lakini wanachama wetu huruka zaidi ya tatu. Hazilingani.

Kuna suluhisho mbili hapa. Njia moja ni kwa wenye bidii sana. Unaweza kuandika mwendelezo, msururu mzima wa nambari, na kuhesabu idadi ya washiriki kwa kidole chako.) Njia ya pili ni kwa wanaofikiria. Unahitaji kukumbuka fomula ya muhula wa nth. Ikiwa tutatumia fomula kwa tatizo letu, tunapata kwamba 99 ni muhula wa thelathini wa kuendelea. Wale. n = 30.

Wacha tuangalie fomula ya jumla ya maendeleo ya hesabu:

Tunaangalia na kufurahi.) Tulitoa kutoka kwa taarifa ya tatizo kila kitu muhimu ili kuhesabu kiasi:

a 1= 12.

ya 30= 99.

S n = S 30.

Kilichobaki ni hesabu za kimsingi. Tunabadilisha nambari kwenye fomula na kuhesabu:

Jibu: 1665

Aina nyingine ya fumbo maarufu:

4. Kutokana na maendeleo ya hesabu:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Tafuta jumla ya masharti kutoka ishirini hadi thelathini na nne.

Tunaangalia formula ya kiasi na ... tunakasirika.) Fomula, napenda nikumbushe, huhesabu kiasi. kutoka kwa kwanza mwanachama. Na katika tatizo unahitaji kuhesabu jumla tangu ishirini... Fomula haitafanya kazi.

Unaweza, bila shaka, kuandika maendeleo yote katika mfululizo, na kuongeza masharti kutoka 20 hadi 34. Lakini ... kwa namna fulani ni ya kijinga na inachukua muda mrefu, sawa?)

Kuna suluhisho la kifahari zaidi. Hebu tugawanye mfululizo wetu katika sehemu mbili. Sehemu ya kwanza itakuwa kutoka awamu ya kwanza hadi ya kumi na tisa. Sehemu ya pili - kutoka ishirini hadi thelathini na nne. Ni wazi kwamba ikiwa tutahesabu jumla ya masharti ya sehemu ya kwanza S 1-19, wacha tuiongeze na jumla ya masharti ya sehemu ya pili S 20-34, tunapata jumla ya maendeleo kutoka muhula wa kwanza hadi wa thelathini na nne S 1-34. Kama hii:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Kutoka kwa hili tunaweza kuona kwamba kupata jumla S 20-34 inaweza kufanywa kwa kutoa rahisi

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Kiasi zote mbili upande wa kulia zinazingatiwa kutoka kwa kwanza mwanachama, i.e. formula ya kawaida ya jumla inatumika kwao. Tuanze?

Tunatoa vigezo vya maendeleo kutoka kwa taarifa ya tatizo:

d = 1.5.

a 1= -21,5.

Ili kukokotoa hesabu za masharti 19 ya kwanza na 34 ya kwanza, tutahitaji masharti ya 19 na 34. Tunazihesabu kwa kutumia fomula ya muhula wa nth, kama ilivyo kwa shida ya 2:

ya 19= -21.5 +(19-1) 1.5 = 5.5

ya 34= -21.5 +(34-1) 1.5 = 28

Hakuna chochote kilichosalia. Kutoka kwa jumla ya masharti 34 toa jumla ya maneno 19:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

Jibu: 262.5

Ujumbe mmoja muhimu! Kuna hila muhimu sana katika kutatua tatizo hili. Badala ya hesabu moja kwa moja unachohitaji (S 20-34), tulihesabu kitu ambacho kingeonekana kutohitajika - S 1-19. Na kisha wakaamua S 20-34, kutupa yasiyo ya lazima kutoka kwa matokeo kamili. Aina hii ya "kuziba kwa masikio yako" mara nyingi hukuokoa katika matatizo mabaya.)

Katika somo hili tuliangalia matatizo ambayo inatosha kuelewa maana ya jumla ya maendeleo ya hesabu. Kweli, unahitaji kujua fomula kadhaa.)

Ushauri wa vitendo:

Wakati wa kutatua tatizo lolote linalohusisha jumla ya maendeleo ya hesabu, ninapendekeza mara moja kuandika fomula kuu mbili kutoka kwa mada hii.

Mfumo wa muhula wa nth:

Njia hizi zitakuambia mara moja nini cha kutafuta na katika mwelekeo gani wa kufikiria ili kutatua shida. Husaidia.

Na sasa kazi za suluhisho la kujitegemea.

5. Tafuta jumla ya nambari zote za tarakimu mbili ambazo haziwezi kugawanywa na tatu.

Poa?) Kidokezo kimefichwa kwenye dokezo la tatizo 4. Naam, tatizo la 3 litasaidia.

6. Maendeleo ya hesabu hutolewa na hali: a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5. Tafuta jumla ya masharti yake 24 ya kwanza.

Isiyo ya kawaida?) Hii ni fomula inayojirudia. Unaweza kusoma juu yake katika somo lililopita. Usipuuze kiungo, matatizo hayo mara nyingi hupatikana katika Chuo cha Jimbo la Sayansi.

7. Vasya alihifadhi pesa kwa likizo. Kiasi cha rubles 4550! Na niliamua kumpa mtu wangu ninayependa (mwenyewe) siku chache za furaha). Ishi kwa uzuri bila kujinyima chochote. Tumia rubles 500 siku ya kwanza, na kwa kila siku inayofuata kutumia rubles 50 zaidi kuliko ya awali! Mpaka pesa inaisha. Vasya alikuwa na siku ngapi za furaha?

Je, ni vigumu?) Fomu ya ziada kutoka kwa kazi 2 itasaidia.

Majibu (katika hali isiyoeleweka): 7, 3240, 6.

Ikiwa unapenda tovuti hii ...

Kwa njia, nina tovuti kadhaa za kupendeza kwako.)

Unaweza kufanya mazoezi ya kutatua mifano na kujua kiwango chako. Inajaribu kwa uthibitishaji wa papo hapo. Wacha tujifunze - kwa hamu!)

Unaweza kufahamiana na kazi na derivatives.

Aina ya somo: kujifunza nyenzo mpya.

Malengo ya somo:

kupanua na kuimarisha uelewa wa wanafunzi wa matatizo yaliyotatuliwa kwa kutumia maendeleo ya hesabu; kuandaa shughuli za utafutaji za wanafunzi wakati wa kupata fomula ya jumla ya masharti n ya maendeleo ya hesabu;
kukuza uwezo wa kupata maarifa mapya kwa uhuru na kutumia maarifa yaliyopatikana tayari kufikia kazi fulani;
kukuza hamu na hitaji la kujumlisha ukweli uliopatikana, kukuza uhuru.

Kazi:

kufupisha na kupanga maarifa yaliyopo juu ya mada "Maendeleo ya hesabu";
pata fomula za kukokotoa jumla ya istilahi za kwanza n za mwendelezo wa hesabu;
fundisha jinsi ya kutumia fomula zilizopatikana wakati wa kutatua shida anuwai;
vuta usikivu wa wanafunzi kwa utaratibu wa kupata thamani ya usemi wa nambari.

Vifaa:

kadi zilizo na kazi za kufanya kazi katika vikundi na jozi;
karatasi ya tathmini;
uwasilishaji"Maendeleo ya hesabu."

I. Kusasisha maarifa ya kimsingi.

1. Kazi ya kujitegemea katika jozi.

Chaguo la 1:

Fafanua maendeleo ya hesabu. Andika fomula ya kujirudia ambayo inafafanua maendeleo ya hesabu. Tafadhali toa mfano wa maendeleo ya hesabu na uonyeshe tofauti yake.

Chaguo la 2:

Andika fomula ya muhula wa nth wa maendeleo ya hesabu. Tafuta muhula wa 100 wa maendeleo ya hesabu ( n}: 2, 5, 8 …
Kwa wakati huu, wanafunzi wawili walio nyuma ya ubao wanatayarisha majibu kwa maswali sawa.
Wanafunzi hutathmini kazi ya wenza wao kwa kuwaangalia ubaoni. (Laha zilizo na majibu zinawasilishwa.)

2. Wakati wa mchezo.

Zoezi 1.

Mwalimu. Nilifikiria maendeleo fulani ya hesabu. Niulize maswali mawili tu ili baada ya majibu uweze kutaja kwa haraka muhula wa 7 wa mwendelezo huu. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Maswali kutoka kwa wanafunzi.

Muhula wa sita wa maendeleo ni nini na ni tofauti gani?
Je, muhula wa nane wa muendelezo ni upi na ni tofauti gani?

Ikiwa hakuna maswali zaidi, basi mwalimu anaweza kuwachochea - "marufuku" ya d (tofauti), ambayo ni, hairuhusiwi kuuliza tofauti ni nini. Unaweza kuuliza maswali: muhula wa 6 wa kuendelea ni sawa na nini na muhula wa 8 wa kuendelea ni sawa na nini?

Jukumu la 2.

Kuna nambari 20 zilizoandikwa kwenye ubao: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Mwalimu anasimama na mgongo wake kwenye ubao. Wanafunzi huita nambari hiyo, na mwalimu huita nambari yenyewe mara moja. Eleza jinsi ninaweza kufanya hili?

Mwalimu anakumbuka fomula ya muhula wa nth n = 3n - 2 na, kubadilisha maadili maalum n, hupata maadili yanayolingana n.

II. Kuweka kazi ya kujifunza.

Ninapendekeza kusuluhisha shida ya zamani ya milenia ya 2 KK, inayopatikana katika papyri za Wamisri.

Kazi:“Na msemwe: Gawa vipimo 10 vya shayiri kati ya watu 10, tofauti kati ya kila mtu na jirani yake ni 1/8 ya kipimo.

Je, tatizo hili linahusiana vipi na maendeleo ya hesabu ya mada? (Kila mtu anayefuata anapokea 1/8 ya kipimo zaidi, ambayo inamaanisha kuwa tofauti ni d=1/8, watu 10, ambayo inamaanisha n=10.)
Je, unafikiri hatua za nambari 10 zinamaanisha nini? (Jumla ya masharti yote ya mwendelezo.)
Nini kingine unahitaji kujua ili iwe rahisi na rahisi kugawanya shayiri kulingana na hali ya shida? (Muhula wa kwanza wa maendeleo.)

Lengo la Somo- kupata utegemezi wa jumla ya masharti ya kuendelea kwa idadi yao, muhula wa kwanza na tofauti, na kuangalia ikiwa shida ilitatuliwa kwa usahihi katika nyakati za zamani.

Kabla ya kuamua fomula, hebu tuangalie jinsi Wamisri wa kale walivyotatua tatizo.

Na walitatua kama ifuatavyo:

1) hatua 10: 10 = kipimo 1 - sehemu ya wastani;
2) 1 kipimo ∙ = 2 hatua - mara mbili wastani shiriki.
Imeongezwa maradufu wastani hisa ni jumla ya hisa za mtu wa 5 na wa 6.
3) 2 hatua - 1/8 hatua = 1 7/8 hatua - mara mbili sehemu ya mtu wa tano.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - sehemu ya tano; na kadhalika, unaweza kupata sehemu ya kila mtu aliyetangulia na anayefuata.

Tunapata mlolongo:

III. Kutatua tatizo.

1. Fanya kazi kwa vikundi

Kundi la I: Pata jumla ya nambari asilia 20 mfululizo: S 20 =(20+1)∙10 =210.

Kwa ujumla

Kikundi cha II: Pata jumla ya nambari za asili kutoka 1 hadi 100 (Hadithi ya Gauss Kidogo).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

Hitimisho:

Kikundi cha III: Pata jumla ya nambari asilia kutoka 1 hadi 21.

Suluhisho: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Hitimisho:

Kikundi cha IV: Pata jumla ya nambari asilia kutoka 1 hadi 101.

Hitimisho:

Njia hii ya kutatua matatizo yanayozingatiwa inaitwa "Njia ya Gauss".

2. Kila kikundi kiwasilishe suluhu ya tatizo ubaoni.

3. Ujumla wa suluhu zilizopendekezwa kwa ajili ya kuendelea kwa hesabu kiholela:

a 1, a 2, a 3,…, n-2, n-1, n.
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Wacha tupate jumla hii kwa kutumia hoja sawa:

4. Je, tumetatua tatizo?(Ndiyo.)

IV. Uelewa wa kimsingi na utumiaji wa fomula zilizopatikana wakati wa kutatua shida.

1. Kuangalia suluhisho la tatizo la kale kwa kutumia fomula.

2. Utumiaji wa fomula katika kutatua matatizo mbalimbali.

3. Mazoezi ya kukuza uwezo wa kutumia kanuni wakati wa kutatua matatizo.

A) Nambari 613

Imetolewa: ( a n) - maendeleo ya hesabu;

(a n): 1, 2, 3, …, 1500

Tafuta: S 1500

Suluhisho: , a 1 = 1, na 1500 = 1500,

B) Imetolewa: ( a n) - maendeleo ya hesabu;
(a): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Tafuta: n
Suluhisho:

V. Kazi ya kujitegemea yenye uthibitishaji wa pande zote.

Denis alianza kufanya kazi kama mjumbe. Katika mwezi wa kwanza mshahara wake ulikuwa rubles 200, katika kila mwezi uliofuata uliongezeka kwa rubles 30. Alipata kiasi gani kwa mwaka mzima?

Imetolewa: ( a n) - maendeleo ya hesabu;
a 1 = 200, d=30, n=12
Tafuta: S 12
Suluhisho:

Jibu: Denis alipokea rubles 4380 kwa mwaka.

VI. Maagizo ya kazi ya nyumbani.

Sehemu ya 4.3 - jifunze uundaji wa fomula.
№№ 585, 623 .
Unda tatizo ambalo linaweza kutatuliwa kwa kutumia fomula ya jumla ya masharti ya n ya maendeleo ya hesabu.

VII. Kwa muhtasari wa somo.

1. Karatasi ya alama

2. Endelea sentensi

Leo darasani nimejifunza...
Mifumo iliyojifunza...
Naamini …

3. Je, unaweza kupata jumla ya nambari kutoka 1 hadi 500? Je, utatumia njia gani kutatua tatizo hili?

Bibliografia.

1. Algebra, daraja la 9. Kitabu cha maandishi kwa taasisi za elimu ya jumla. Mh. G.V. Dorofeeva. M.: "Mwangaza", 2009.

MFUATA WA NAMBA VI

§ 144. Jumla ya masharti ya maendeleo ya hesabu

Wanasema kwamba siku moja mwalimu wa shule ya msingi, akitaka kuweka darasa likiwa na kazi ya kujitegemea kwa muda mrefu, aliwapa watoto kazi "ngumu" - kuhesabu jumla ya nambari zote za asili kutoka 1 hadi 100:

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100.

Mmoja wa wanafunzi alipendekeza suluhisho mara moja. Hii hapa.:

1+2 +3+... + 98 +99+ 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... +(49 + 52)+ (50 + 51) =
= 101 + 101 + . . . + 101 + 101 = 101 50 = 5050.
Mara 50

Huyu alikuwa Carl Gauss, ambaye baadaye alikuja kuwa mmoja wa wanahisabati maarufu zaidi duniani*.

*Kesi sawa na Gauss ilitokea kweli. Hata hivyo, hapa ni rahisi sana. Nambari zilizopendekezwa na mwalimu zilikuwa na tarakimu tano na ziliunda maendeleo ya hesabu yenye tofauti ya tarakimu tatu.

Wazo la suluhisho kama hilo linaweza kutumika kupata jumla ya masharti ya maendeleo yoyote ya hesabu.

Lema. Jumla ya maneno mawili ya mwendelezo wa kihesabu wa hesabu, sawa kutoka mwisho, ni sawa na jumla ya masharti yaliyokithiri.

Kwa mfano, katika maendeleo ya hesabu ya mwisho

1, 2, 3.....98, 99, 100

masharti ya 2 na 99, 3 na 98, 4 na 97, nk. ni sawa kutoka mwisho wa maendeleo haya. Kwa hivyo, hesabu zao 2 + 99, 3 + 98, 4 + 97 ni sawa na jumla ya maneno yaliyokithiri 1 + 100.

Ushahidi wa lema. Hebu katika maendeleo ya hesabu ya mwisho

a 1 , a 2 , ..., a n - 1 , a n

wanachama wowote wawili wako mbali kwa usawa kutoka mwisho. Wacha tufikirie kuwa mmoja wao ni k muda wa kushoto, yaani a k , na nyingine - k muhula wa kulia, yaani a n -k+ 1 . Kisha

a k + a n -k+ 1 =[a 1 + (k - 1)d ] + [a 1 + (p - k )d ] = 2a 1 + (n - 1)d .

Jumla ya masharti yaliyokithiri ya maendeleo haya ni sawa na

a 1 + a n = a 1 + [a 1 + (n - 1)d ] = 2a 1 + (n - 1)d .

Hivyo,

a k + a n -k+ 1 = a 1 + a n

Q.E.D.

Kwa kutumia lema iliyothibitishwa, ni rahisi kupata fomula ya jumla ya jumla P wanachama wa maendeleo yoyote ya hesabu.

S n = a 1 +a 2 + ...+ a n - 1 + a n

S n = a n + a n - 1 + ... + a 2 + a 1 .

Kuongeza usawa hizi mbili kwa muhula, tunapata:

2S n = (a 1 +a n ) + (a 2 +a n - 1)+...+(a n - 1 +a 2) + (a n +a 1)

a 1 +a n = a 2 +a n - 1 = a 3 +a n - 2 =... .

2S n = n (a 1 +a n ),

Jumla ya masharti ya kuendelea kwa hesabu ni sawa na bidhaa ya nusu ya jumla ya masharti yaliyokithiri na idadi ya masharti yote.

Hasa,

Mazoezi

971. Tafuta jumla ya nambari zote zisizo za kawaida za tarakimu tatu.

972. Je, saa itapiga mara ngapi wakati wa mchana ikiwa tu inapiga kelele kwa idadi ya saa nzima?

973. Ni nini jumla ya wa kwanza P idadi ya nambari za asili?

974. Pata fomula ya urefu wa njia iliyosafirishwa na mwili wakati wa mwendo ulioharakishwa kwa usawa:

Wapi v 0 - kasi ya awali ndani m/sek , A - kuongeza kasi ndani m/sek 2 , t - wakati wa kusafiri ndani sekunde.

975. Tafuta jumla ya sehemu zote zisizoweza kupunguzwa na denominator 3 kati ya nambari chanya T Na P (T< п ).

976. Mfanyakazi hudumisha viunzi 16 vya kiotomatiki. Uzalishaji wa kila mashine A m/h. Mfanyikazi aliwasha mashine ya kwanza saa 7 h, na kila inayofuata kwa 5 min baadaye kuliko ya awali. Jua uzalishaji katika mita kwa 2 za kwanza h kazi.

977. Tatua milinganyo:

a) 1 + 7 + 13 + ... + X = 280;

b) ( X + 1) + (X + 4) + (X + 7) +...+ (X + 28) = 155

978. Kuanzia Julai 1 hadi Julai 12 ikijumuisha, joto la hewa liliongezeka kila siku kwa wastani wa digrii 1/2. Kujua kuwa joto la wastani wakati huu liligeuka kuwa digrii 18 3/4, tambua joto la hewa lilikuwa nini mnamo Julai 1.

979. Tafuta mwendelezo wa hesabu ambao maana ya hesabu ni P masharti ya kwanza kwa yoyote P sawa na idadi yao.

980. Tafuta jumla ya istilahi ishirini za mwanzo za maendeleo ya hesabu ambamo

a 6 + a 9 + a 12 + a 15 = 20.