Nyenzo za kinadharia kwenye moduli "nadharia ya uwezekano na takwimu za hisabati".

Ufafanuzi wa classical wa uwezekano hupunguza dhana ya uwezekano wa dhana ya equiprobability (uwezekano sawa) wa matukio, ambayo inachukuliwa kuwa ya msingi na sio chini ya ufafanuzi rasmi. Ufafanuzi huu unatumika katika hali ambapo inawezekana kutambua kundi kamili la matukio yasiyolingana na yanayowezekana kwa usawa - matokeo ya msingi. Kwa mfano, fikiria urn na mipira.

Acha mkojo uwe na mipira 7 inayofanana, iliyochanganywa kabisa, 2 kati yao nyekundu, 1 bluu na 4 nyeupe. Jaribio litajumuisha kuchukua mpira mmoja bila mpangilio kutoka kwa urn. Kila tukio ambalo linaweza kutokea katika mtihani ni matokeo ya msingi. KATIKA katika mfano huu matokeo saba ya msingi, ambayo tutayataja E 1 , E 2 ,..., E 7. Matokeo E 1 , E 2 - kuonekana kwa mpira nyekundu, E 3 - kuonekana kwa mpira wa bluu, E 4 , E 5 , E 6 , E 7 - kuonekana mpira mweupe. Katika matukio yetu ya mfano E 1 , E 2 ,... E 7 - jozi haziendani. Kwa kuongeza, pia zinawezekana kwa usawa katika mtihani huu. Acha tukio A iko katika ukweli kwamba mpira uliochukuliwa kwa nasibu kutoka kwa urn hugeuka kuwa rangi (nyekundu au bluu).

Matokeo hayo ya msingi ambayo tukio la kupendeza kwetu A huja, wanaita matokeo mazuri tukio A. Katika mfano wetu, matokeo yanayofaa kwa hafla hiyo A, ndio matokeo E 1 , E 2 na E 3. Ya busara kama kipimo cha uwezekano wa tukio kutokea A, yaani uwezekano R(A), chukua nambari inayolingana na uwiano wa matokeo yanayofaa utokeaji wa tukio A, kwa idadi ya matokeo yote yanayowezekana. Katika mfano wetu

R Mfano tuliochunguza ulituongoza kwenye ufafanuzi wa uwezekano, ambao huitwa kwa kawaida classic .

Uwezekano wa tukio A piga uwiano wa nambari m matokeo mazuri kwa tukio hili jumla ya nambari n kila mtu matokeo ya msingi:

R(A) = . (1.4.4)

Ufafanuzi wa classical wa uwezekano hutumika kama mzuri mfano wa hisabati majaribio hayo ya nasibu ambayo idadi ya matokeo ni ya mwisho, na matokeo yenyewe yanawezekana kwa usawa.

MFANO 2. Inarusha kete. Tafuta uwezekano kwamba hakuna zaidi ya alama nne zitakunjwa.

Suluhisho. Jumla ya idadi ya matokeo ya msingi n= 6 (inaweza roll 1, 2, 3, 4, 5, 6). Miongoni mwa matokeo haya, tukio ni nzuri A(hakuna zaidi ya pointi nne zitapita) matokeo manne tu m= 4. Kwa hiyo, uwezekano unaohitajika

MFANO 3. Kuna uwezekano gani wa kubahatisha nambari 4 wakati wa kujaza kadi ya bahati nasibu ya michezo "6" kutoka "49"?

Suluhisho. Jumla ya matokeo ya kimsingi ya jaribio ni sawa na idadi ya njia ambazo nambari 6 kati ya 49 zinaweza kupitishwa, ambayo ni. n = C. Hebu tupate nambari matokeo yanayofaa kwa tukio la maslahi kwetu
A= (Nambari 4 zimekisiwa), nambari 4 kati ya 6 zilizoshinda zinaweza kupitishwa C njia, wakati nambari mbili zilizobaki hazipaswi kushinda. Unaweza kutoa nambari 2 zisizo sahihi kati ya 43 ambazo hazijashinda C njia. Kwa hiyo, idadi ya matokeo mazuri m = C× C. Kwa kuzingatia kwamba matokeo yote ya jaribio hayalingani na yanawezekana kwa usawa, tunapata uwezekano unaohitajika kwa kutumia fomula ya awali ya uwezekano:

P (A) =

MFANO 4. kuchukuliwa kwa nasibu nambari ya simu lina tarakimu 5. Je, kuna uwezekano gani kwamba ina: 1) nambari zote ni tofauti; 2) nambari zote ni zisizo za kawaida?

Suluhisho. 1. Kwa kuwa kila moja ya nafasi tano katika nambari ya tarakimu tano inaweza kuwa na tarakimu yoyote: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, basi nambari zote tofauti za tarakimu tano zitakuwa. 10 5 (00000 - 1 -th, 00001 - 2, 00002 -3rd, ..., 99998 - 99999th, na hatimaye, 99999 - 100,000th). Nambari ambazo nambari zote ni tofauti ni mipangilio ya vipengele 10 vya 5.

Mfumo kwa nambari uwekaji kutoka n vipengele kwa k:

K! = = n (n - 1) ... (n - k + 1).

Kwa hiyo, idadi ya kesi nzuri m= = 10× 9× 8× 7× 6 na uwezekano unaohitajika

P (A) = = 0,3024.

2. Kutoka kwa tarakimu 5 zisizo za kawaida (1, 3, 5, 7, 9) unaweza kuunda nambari 5 5 tofauti za tarakimu tano. 5 5 ni idadi ya matokeo mazuri m . Kwa kuwa kesi zote zinazowezekana kwa usawa n= 10 5 , basi uwezekano unaohitajika

P (A) = = = = 0.03125.

MFANO 5. Staha kamili ya kadi (karatasi 52) imegawanywa bila mpangilio katika pakiti mbili sawa za karatasi 26. Tafuta uwezekano wa matukio yafuatayo:

A- kila pakiti itakuwa na aces mbili;

KATIKA- moja ya pakiti haitakuwa na ace moja, na nyingine haitakuwa na nne zote;

NA- moja ya pakiti itakuwa na ace moja, na nyingine itakuwa na tatu.

Suluhisho. Idadi ya matokeo ya msingi ya mtihani ni sawa na idadi ya njia ambazo kadi 26 zinaweza kutolewa kutoka 52, ambayo ni, idadi ya mchanganyiko kutoka 52 hadi 26, n= . Nambari tukio nzuri A kesi
m= (kulingana na kanuni ya msingi ya combinatorics), ambapo jambo la kwanza linaonyesha kwamba ekari mbili kati ya nne zinaweza kuchukuliwa kwa njia, jambo la pili linaonyesha kwamba kadi 24 zilizobaki zinachukuliwa kutoka kwa kadi 48 ambazo hazina aces kwa njia. Uwezekano unaohitajika ni sawa na uwiano wa idadi ya matokeo yanayofaa kwa tukio A, kwa jumla ya idadi ya matokeo yote:

Tukio KATIKA inaweza kukamilishwa kwa njia mbili zinazowezekana: ama pakiti ya kwanza itakuwa na ekari zote nne, na ya pili - hakuna, au kinyume chake:

Vile vile:

taarifa, hiyo ufafanuzi wa classic uwezekano ulianzishwa kwa kesi wakati nafasi matukio ya msingi bila shaka, lakini matokeo na vipimo vyote vinawezekana kwa usawa na haviendani.

Tatizo 174tv

a) mipira 3 nyeupe;
b) chini ya mipira 3 nyeupe;
c) angalau mpira mmoja mweupe.

Tatizo 176tv

Mkojo una mipira 6 nyeusi na 5 nyeupe. Mipira 5 hutolewa bila mpangilio. Tafuta uwezekano kwamba kati yao kuna:
a) mipira 3 nyeupe;
b) chini ya mipira 3 nyeupe;
c) angalau mpira mmoja mweupe.

Tatizo 178tv

Mkojo una mipira 4 nyeusi na 5 nyeupe. Mipira 4 hutolewa bila mpangilio. Tafuta uwezekano kwamba kati yao kuna:
a) mipira 2 nyeupe;
b) chini ya mipira 2 nyeupe;
c) angalau mpira mmoja mweupe.

Tatizo 180tv

Mkojo una mipira 6 nyeusi na 7 nyeupe. Mipira 4 hutolewa bila mpangilio. Tafuta uwezekano kwamba kati yao kuna:
a) mipira 4 nyeupe;
b) chini ya mipira 4 nyeupe;
c) angalau mpira mmoja mweupe.

Tatizo 184tv

Urn ina mipira 8 nyeusi na 6 nyeupe. Mipira 4 hutolewa bila mpangilio. Tafuta uwezekano kwamba kati yao kuna:
a) mipira 3 nyeupe;
b) chini ya mipira 3 nyeupe;
c) angalau mpira mmoja mweupe.

Tatizo 186tv

Mkojo una mipira 4 nyeusi na 6 nyeupe. Mipira 4 hutolewa bila mpangilio. Tafuta uwezekano kwamba kati yao kuna:
a) mipira 3 nyeupe;
b) chini ya mipira 3 nyeupe;
c) angalau mpira mmoja mweupe.

Tatizo 188tv

Mkojo una mipira 5 nyeusi na 6 nyeupe. Mipira 5 hutolewa bila mpangilio. Tafuta uwezekano kwamba kati yao kuna:
a) mipira 4 nyeupe;
b) chini ya mipira 4 nyeupe;
c) angalau mpira mmoja mweupe.

Kutoka urn walipo mipira, ikiwa ni pamoja na nyeusi nyeupe, imetolewa kwa bahati mbaya mipira. Kuna uwezekano gani kati yao kutakuwa na mpira mweusi mweusi?

Mfano 1. Katika urn ya kwanza: tatu nyekundu, mipira moja nyeupe. Katika urn ya pili: moja nyekundu, mipira mitatu nyeupe. Sarafu inatupwa kwa nasibu: ikiwa ni kanzu ya silaha, imechaguliwa kutoka kwa urn ya kwanza, vinginevyo, kutoka kwa pili.
Suluhisho:
a) uwezekano kwamba mpira nyekundu ulitolewa
A - alipata mpira nyekundu
P 1 - kanzu ya silaha ilianguka, P 2 - vinginevyo

b) Mpira nyekundu huchaguliwa. Tafuta uwezekano kwamba inachukuliwa kutoka kwa mkojo wa kwanza kutoka kwa urn ya pili.
B 1 - kutoka urn ya kwanza, B 2 - kutoka urn pili
,

Mfano 2. Kuna mipira 4 kwenye sanduku. Inaweza kuwa: nyeupe tu, nyeusi tu au nyeupe na nyeusi. (Muundo haujulikani).
Suluhisho:
A - uwezekano wa kuonekana kwa mpira mweupe
a) Nyeupe zote:
(uwezekano kwamba umepata moja ya chaguzi tatu ambapo kuna nyeupe)
(uwezekano wa mpira mweupe kuonekana ambapo kila mtu ni mweupe)

b) Kutolewa nje ambapo kila mtu ni mweusi



c) alitoa chaguo ambapo kila mtu ni mweupe na/au mweusi

- angalau mmoja wao ni nyeupe

P a +P b +P c =

Mfano 3. Kuna mipira 5 nyeupe na 4 nyeusi kwenye mkojo. Mipira 2 huchukuliwa kutoka kwake kwa safu. Tafuta uwezekano kwamba mipira yote miwili ni nyeupe.
Suluhisho:
5 nyeupe, 4 mipira nyeusi
P (A 1) - mpira mweupe ulitolewa

P (A 2) - uwezekano kwamba mpira wa pili pia ni nyeupe

P (A) - mipira nyeupe iliyochaguliwa kwa safu

Mfano 3a. Kifurushi kina noti 2 za uwongo na 8 halisi. Bili 2 zilitolewa kutoka kwa pakiti kwa safu. Tafuta uwezekano kwamba wote wawili ni bandia.
Suluhisho:
P(2) = 2/10*1/9 = 1/45 = 0.022

Mfano 4. Kuna mapipa 10. Kuna uni 9 na mipira 2 nyeusi na 2 nyeupe. Kuna wazungu 5 na 1 mweusi katika mkojo 1. Mpira ulitolewa kutoka kwa urn uliochukuliwa bila mpangilio.
Suluhisho:
P (A) -? mpira mweupe huchukuliwa kutoka kwa urn iliyo na 5 nyeupe
B - uwezekano wa kuchorwa kutoka kwenye mkojo ulio na wazungu 5
, - kuchukuliwa kutoka kwa wengine
C 1 - uwezekano wa mpira mweupe kuonekana kwenye kiwango cha 9.

C 2 - uwezekano wa kuonekana kwa mpira mweupe, ambapo kuna 5 kati yao

P(A 0)= P(B 1) P(C 1)+P(B 2) P(C 2)

Mfano 5. rollers 20 za cylindrical na 15 za umbo la koni. Mchukuaji huchukua roller 1, na kisha mwingine.
Suluhisho:
a) rollers zote mbili ni cylindrical
P(C 1)=; P (Ts 2)=
C 1 - silinda ya kwanza, C 2 - silinda ya pili
P(A)=P(Ts 1)P(Ts 2) =
b) Angalau silinda moja
K 1 - umbo la kwanza la koni.
K 2 - umbo la pili la koni.
P(B)=P(Ts 1)P(K 2)+P(Ts 2)P(K 1)+P(Ts 1)P(Ts 2)
;

c) silinda ya kwanza, lakini sio ya pili
P(C)=P(C 1)P(K 2)

e) Hakuna silinda moja.
P(D)=P(K 1)P(K 2)

e) Silinda 1 kabisa
P(E)=P(C 1)P(K 2)+P(K 1)P(K 2)

Mfano 6. Kuna sehemu 10 za kawaida na sehemu 5 zenye kasoro kwenye sanduku.
Sehemu tatu zimechorwa kwa nasibu
a) Mojawapo ni mbovu
P n (K)=C n k ·p k ·q n-k ,
P - uwezekano wa bidhaa zenye kasoro

q - uwezekano wa sehemu za kawaida

n=3, sehemu tatu


b) sehemu mbili kati ya tatu zina kasoro P(2)
c) angalau kiwango kimoja
P (0) - hakuna kasoro

P=P(0)+ P(1)+ P(2) - uwezekano kwamba angalau sehemu moja itakuwa ya kawaida

Mfano 7. Urn ya 1 ina mipira 3 nyeupe na nyeusi, na ya 2 ina mipira 3 nyeupe na 4 nyeusi. Mipira 2 huhamishwa kutoka urn ya 1 hadi ya 2 bila kuangalia, na kisha mipira 2 hutolewa kutoka ya 2. Kuna uwezekano gani wao rangi tofauti?
Suluhisho:
Wakati wa kusonga mipira kutoka kwa urn ya kwanza, chaguzi zifuatazo zinawezekana:
a) alichukua mipira 2 nyeupe mfululizo
P BB 1 =
Katika hatua ya pili daima kutakuwa na mpira mmoja mdogo, kwani katika hatua ya kwanza mpira mmoja ulikuwa tayari umetolewa.
b) alichukua mpira mmoja mweupe na mweusi
Hali wakati mpira nyeupe hutolewa kwanza, na kisha nyeusi
P kichwa =
Hali wakati mpira mweusi ulitolewa kwanza, na kisha nyeupe
P BW =
Jumla: P warhead 1 =
c) alichukua mipira 2 nyeusi mfululizo
P HH 1 =
Kwa kuwa mipira 2 ilihamishwa kutoka urn ya kwanza hadi ya pili, basi jumla ya nambari Kutakuwa na mipira 9 kwenye urn ya pili (7 + 2). Ipasavyo, tutatafuta chaguzi zote zinazowezekana:
a) kwanza mpira mweupe na kisha mpira mweusi ulichukuliwa kutoka kwenye mkojo wa pili

P BB 2 P BB 1 - inamaanisha uwezekano kwamba kwanza mpira mweupe ulitolewa, kisha mpira mweusi, mradi mipira 2 nyeupe ilitolewa kutoka kwa urn ya kwanza mfululizo. Ndiyo maana idadi ya mipira nyeupe katika kesi hii ni 5 (3 + 2).
P BC 2 P BC 1 - inamaanisha uwezekano kwamba kwanza mpira mweupe ulitolewa, kisha mpira mweusi, mradi tu mipira nyeupe na nyeusi ilitolewa kutoka kwa urn ya kwanza. Ndiyo maana idadi ya mipira nyeupe katika kesi hii ni 4 (3 + 1), na idadi ya mipira nyeusi ni tano (4 + 1).
P BC 2 P BC 1 - inamaanisha uwezekano kwamba kwanza mpira mweupe ulitolewa, kisha mpira mweusi, mradi mipira yote miwili nyeusi ilitolewa kutoka kwa urn ya kwanza mfululizo. Ndiyo maana idadi ya mipira nyeusi katika kesi hii ni 6 (4 + 2).

Uwezekano kwamba mipira 2 inayotolewa itakuwa ya rangi tofauti ni sawa na:

Jibu: P = 0.54

Mfano 7a. Kutoka kwenye mkojo wa 1 uliokuwa na mipira 5 nyeupe na 3 nyeusi, mipira 2 ilihamishwa bila mpangilio hadi kwenye mkojo wa 2 uliokuwa na mipira 2 nyeupe na 6 nyeusi. Kisha mpira 1 ulichorwa bila mpangilio kutoka kwa sehemu ya pili.
1) Kuna uwezekano gani kwamba mpira uliotolewa kutoka kwa urn wa 2 unageuka kuwa mweupe?
2) Mpira uliochukuliwa kutoka kwa urn wa 2 uligeuka kuwa mweupe. Piga hesabu ya uwezekano kwamba mipira ilihamishwa kutoka unio wa 1 hadi wa 2 rangi tofauti.
Suluhisho.
1) Tukio A - mpira uliotolewa kutoka kwa urn wa 2 unageuka kuwa mweupe. Hebu fikiria chaguzi zifuatazo kwa tukio la tukio hili.
a) Mipira miwili nyeupe iliwekwa kutoka urn ya kwanza hadi ya pili: P1(bb) = 5/8*4/7 = 20/56.
Kuna jumla ya mipira 4 nyeupe kwenye mkojo wa pili. Kisha uwezekano wa kuchora mpira mweupe kutoka kwa urn wa pili ni P2(4) = 20/56*(2+2)/(6+2) = 80/448
b) Mipira nyeupe na nyeusi iliwekwa kutoka urn ya kwanza hadi ya pili: P1 (bch) = 5/8*3/7+3/8*5/7 = 30/56.
Kuna jumla ya mipira 3 nyeupe kwenye mkojo wa pili. Kisha uwezekano wa kuchora mpira mweupe kutoka kwa urn wa pili ni P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
c) Mipira miwili nyeusi iliwekwa kutoka urn ya kwanza hadi ya pili: P1 (hh) = 3/8 * 2/7 = 6/56.
Kuna jumla ya mipira 2 nyeupe kwenye mkojo wa pili. Kisha uwezekano wa kuchora mpira mweupe kutoka kwa urn wa pili ni P2 (2) = 6/56*2/(6+2) = 12/448
Halafu uwezekano kwamba mpira uliotolewa kutoka kwa urn wa 2 unageuka kuwa mweupe ni:
P(A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/32

2) Mpira uliochukuliwa kutoka kwenye urn wa 2 uligeuka kuwa nyeupe, i.e. uwezekano wa jumla ni sawa na P(A)=13/32.
Uwezekano kwamba mipira ya rangi tofauti (nyeusi na nyeupe) iliwekwa kwenye mkojo wa pili na nyeupe ilichaguliwa: P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
P = P2(3)/ P(A) = 90/448 / 13/32 = 45/91

Mfano 7b. Urn ya kwanza ina mipira 8 nyeupe na 3 nyeusi, ya pili ina mipira 5 nyeupe na 3 nyeusi. Mpira mmoja huchaguliwa kwa nasibu kutoka kwa wa kwanza, na mipira miwili kutoka kwa pili. Baada ya hayo, mpira mmoja unachukuliwa bila mpangilio kutoka kwa mipira mitatu iliyochaguliwa. Mpira huu wa mwisho uligeuka kuwa mweusi. Tafuta uwezekano kwamba mpira mweupe hutolewa kutoka kwa urn ya kwanza.
Suluhisho.
Wacha tuzingatie anuwai zote za tukio A - kati ya mipira mitatu, mpira uliotolewa unageuka kuwa mweusi. Inawezaje kutokea kwamba kati ya mipira mitatu kulikuwa na nyeusi?
a) Mpira mweusi ulichukuliwa kutoka kwenye mkojo wa kwanza, na mipira miwili nyeupe ilichukuliwa kutoka kwenye mkojo wa pili.
P1 = (3/11) (5/8*4/7) = 15/154
b) Mpira mweusi ulichukuliwa kutoka kwenye mkojo wa kwanza, mipira miwili nyeusi ilichukuliwa kutoka kwenye mkojo wa pili.
P2 = (3/11) (3/8*2/7) = 9/308
c) Mpira mweusi ulichukuliwa kutoka kwenye mkojo wa kwanza, mpira mmoja mweupe na mmoja mweusi ulichukuliwa kutoka kwenye mkojo wa pili.
P3 = (3/11) (3/8*5/7+5/8*3/7) = 45/308
d) Mpira mweupe ulichukuliwa kutoka kwenye mkojo wa kwanza, na mipira miwili nyeusi ilichukuliwa kutoka kwenye mkojo wa pili.
P4 = (8/11) (3/8*2/7) = 6/77
e) Mpira mweupe ulichukuliwa kutoka kwenye mkojo wa kwanza, mpira mmoja mweupe na mweusi ulichukuliwa kutoka kwenye mkojo wa pili.
P5 = (8/11) (3/8*5/7+5/8*3/7) = 30/77
Uwezekano wa jumla ni: P = P1+P2+ P3+P4+P5 = 15/154+9/308+45/308+6/77+30/77 = 57/77
Uwezekano kwamba mpira mweupe hutolewa kutoka kwa mkojo mweupe ni:
Pb(1) = P4 + P5 = 6/77+30/77 = 36/77
Halafu uwezekano kwamba mpira mweupe ulichaguliwa kutoka kwa urn wa kwanza, ikizingatiwa kwamba mpira mweusi ulichaguliwa kutoka kwa mipira mitatu, ni sawa na:
Pch = Pb(1)/P = 36/77 / 57/77 = 36/57

Mfano 7c. Mkojo wa kwanza una mipira 12 nyeupe na 16 nyeusi, urn ya pili ina mipira 8 nyeupe na 10 nyeusi. Wakati huo huo, mpira hutolewa kutoka kwa 1 na 2 urns, kuchanganywa na kurudi moja kwa kila urn. Kisha mpira hutolewa kutoka kwa kila urn. Waligeuka kuwa rangi sawa. Amua uwezekano kwamba kuna mipira mingi nyeupe iliyosalia kwenye mkondo wa 1 kama ilivyokuwa mwanzoni.

Suluhisho.
Tukio A - mpira hutolewa kwa wakati mmoja kutoka kwa 1 na 2 urns.
Uwezekano wa kuchora mpira mweupe kutoka kwa urn wa kwanza: P1 (B) = 12/(12+16) = 12/28 = 3/7
Uwezekano wa kuchora mpira mweusi kutoka kwa urn wa kwanza: P1 (H) = 16/(12+16) = 16/28 = 4/7
Uwezekano wa kuchora mpira mweupe kutoka kwa urn wa pili: P2 (B) = 8/18 = 4/9
Uwezekano wa kuchora mpira mweusi kutoka kwa urn wa pili: P2 (H) = 10/18 = 5/9

Tukio A lilitokea. Tukio B - mpira hutolewa kutoka kwa kila urn. Baada ya kuchanganya, uwezekano wa mpira mweupe au mweusi kurudi kwenye mkojo ni ½.
Wacha tuzingatie chaguzi za hafla B - ziligeuka kuwa rangi sawa.

Kwa mkojo wa kwanza
1) Mpira mweupe uliwekwa kwenye sehemu ya kwanza na mpira mweupe ulitolewa, mradi tu mpira mweupe ulichorwa hapo awali, P1(BB/A=B) = ½ * 12/28 * 3/7 = 9/98
2) mpira mweupe uliwekwa kwenye kozi ya kwanza na mpira mweupe ulitolewa, mradi tu mpira mweusi utolewe mapema, P1(BB/A=H) = ½ * 13/28 * 4/7 = 13/ 98
3) mpira mweupe uliwekwa kwenye kozi ya kwanza na mweusi ukatolewa, mradi tu mpira mweupe utolewe mapema, P1(BC/A=B) = ½ * 16/28 * 3/7 = 6/ 49
4) mpira mweupe uliwekwa kwenye kozi ya kwanza na mweusi ukatolewa, mradi tu mpira mweusi utolewe mapema, P1(BC/A=H) = ½ * 15/28 * 4/7 = 15/ 98
5) mpira mweusi uliwekwa kwenye kinyesi cha kwanza na mpira mweupe ulitolewa, mradi tu mpira mweupe ulichorwa hapo awali, P1(BW/A=B) = ½ * 11/28 * 3/7 = 33/392
6) mpira mweusi uliwekwa kwenye kinyesi cha kwanza na mpira mweupe ulitolewa, mradi tu mpira mweusi ulitolewa mapema, P1(BW/A=H) = ½ * 12/28 * 4/7 = 6/ 49
7) mpira mweusi uliwekwa kwenye kozi ya kwanza na mweusi ukatolewa, mradi tu mpira mweupe ulitolewa mapema, P1(HH/A=B) = ½ * 17/28 * 3/7 = 51/ 392
8) mpira mweusi uliwekwa kwenye kozi ya kwanza na mweusi ukatolewa, mradi tu mpira mweusi ulichorwa mapema, P1(HH/A=H) = ½ * 16/28 * 4/7 = 8/49

Kwa urn ya pili
1) Mpira mweupe uliwekwa kwenye kizio cha kwanza na mpira mweupe ulitolewa, mradi tu mpira mweupe ulichorwa hapo awali, P1(BB/A=B) = ½ * 8/18 * 3/7 = 2/21
2) mpira mweupe uliwekwa kwenye kinyesi cha kwanza na mpira mweupe ulitolewa, mradi tu mpira mweusi utolewe mapema, P1(BB/A=H) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/ 7
3) mpira mweupe uliwekwa kwenye kozi ya kwanza na mweusi ukatolewa, mradi tu mpira mweupe utolewe mapema, P1(BC/A=B) = ½ * 10/18 * 3/7 = 5/ 42
4) mpira mweupe uliwekwa kwenye kozi ya kwanza na mweusi ukatolewa, mradi tu mpira mweusi utolewe mapema, P1(BC/A=H) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/ 7
5) mpira mweusi uliwekwa kwenye kinyesi cha kwanza na mpira mweupe ukatolewa, mradi tu mpira mweupe utolewe mapema, P1(BW/A=B) = ½ * 7/18 * 3/7 = 1/ 12
6) mpira mweusi uliwekwa kwenye kinyesi cha kwanza na mpira mweupe ulitolewa, mradi tu mpira mweusi ulitolewa mapema, P1(BW/A=H) = ½ * 8/18 * 4/7 = 8/ 63
7) mpira mweusi uliwekwa kwenye kozi ya kwanza na mweusi ukatolewa, mradi tu mpira mweupe utolewe mapema, P1(HH/A=B) = ½ * 11/18 * 3/7 = 11/ 84
8) mpira mweusi uliwekwa kwenye kinyesi cha kwanza na cheusi kuchorwa, mradi tu mpira mweusi ulichorwa hapo awali, P1(HH/A=H) = ½ * 10/18 * 4/7 = 10/63

Mipira iligeuka kuwa ya rangi sawa:
a) nyeupe
P1(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 9/98 + 13/98 + 33 /392 + 6/49 = 169/392
P2(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 2/21+1/7+1 /12+8/63 = 113/252
b) nyeusi
P1(H) = P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) + P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) = 6/49 + 15/98 + 51 /392 + 8/49 = 223/392
P2(H) = P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) + P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) =5/42+1/7+11 /84+10/63 = 139/252

P = P1(B)* P2(B) + P1(H)* P2(H) = 169/392*113/252 + 223/392*139/252 = 5/42

Mfano 7d. Sanduku la kwanza lina mipira 5 nyeupe na 4 ya bluu, la pili lina 3 na 1, na la tatu lina 4 na 5, mtawaliwa. Sanduku lilichaguliwa bila mpangilio na mpira uliotolewa nje yake ukageuka kuwa bluu. Je, kuna uwezekano gani kwamba mpira huu unatoka kwenye kisanduku cha pili?

Suluhisho.
A - tukio la kuchora mpira wa bluu. Wacha tuchunguze matokeo yote yanayowezekana ya hafla kama hiyo.
H1 - mpira uliotolewa kutoka kwa sanduku la kwanza,
H2 - mpira ulitolewa kutoka kwa sanduku la pili,
H3 - mpira uliotolewa kutoka kwa sanduku la tatu.
P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1/3
Kulingana na hali ya shida uwezekano wa masharti matukio A ni sawa:
P(A|H1) = 4/(5+4) = 4/9
P(A|H2) = 1/(3+1) = 1/4
P(A|H3) = 5/(4+5) = 5/9
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 1/3*4/9 + 1 /3*1/4 + 1/3*5/9 = 5/12
Uwezekano kwamba mpira huu unatoka kwa sanduku la pili ni:
P2 = P(H2)*P(A|H2) / P(A) = 1/3*1/4 / 5/12 = 1/5 = 0.2

Mfano 8. Sanduku tano zilizo na mipira 30 kila moja ina mipira 5 nyekundu (hii ni sanduku la muundo H1), masanduku mengine sita yenye mipira 20 kila moja ina mipira 4 nyekundu (hili ni sanduku la muundo H2). Tafuta uwezekano kuwa mpira mwekundu uliochukuliwa bila mpangilio uko katika mojawapo ya visanduku vitano vya kwanza.
Suluhisho: Tatizo ni kutumia formula ya jumla ya uwezekano.

Uwezekano huo yoyote mpira uliochukuliwa uko kwenye moja ya masanduku matano ya kwanza:
P (H 1) = 5/11
Uwezekano huo yoyote mpira uliochukuliwa uko kwenye moja ya masanduku sita:
P(H2) = 6/11
Tukio lilitokea - mpira nyekundu ulitolewa. Kwa hivyo, hii inaweza kutokea katika kesi mbili:
a) vunjwa kutoka kwa visanduku vitano vya kwanza.
P 5 = mipira 5 nyekundu * masanduku 5 / (mipira 30 * masanduku 5) = 1/6
P (P 5 / H 1) = 1/6 * 5/11 = 5/66
b) vunjwa kutoka kwa masanduku mengine sita.
P 6 = mipira 4 nyekundu * masanduku 6 / (mipira 20 * masanduku 6) = 1/5
P (P 6 / H 2) = 1/5 * 6/11 = 6/55
Jumla: P(P 5 /H 1) + P(P 6 /H 2) = 5/66 + 6/55 = 61/330
Kwa hivyo, uwezekano kwamba mpira mwekundu unaotolewa bila mpangilio uko kwenye moja ya masanduku matano ya kwanza ni:
P k.sh. (H1) = P(P 5 /H 1) / (P(P 5 /H 1) + P(P 6 /H 2)) = 5/66 / 61/330 = 25/61

Mfano 9. Mkojo una mipira 2 nyeupe, 3 nyeusi na 4 nyekundu. Mipira mitatu hutolewa bila mpangilio. Kuna uwezekano gani kwamba angalau mipira miwili itakuwa ya rangi sawa?
Suluhisho. Kuna matokeo matatu yanayowezekana:
a) kati ya mipira mitatu iliyotolewa kulikuwa na angalau miwili nyeupe.
P b (2) = P 2b
Jumla ya idadi ya matokeo ya kimsingi ya majaribio haya ni sawa na idadi ya njia ambazo mipira 3 inaweza kutolewa kutoka 9:

Wacha tupate uwezekano kwamba kati ya mipira 3 iliyochaguliwa, 2 ni nyeupe.

Idadi ya chaguzi za kuchagua kutoka kwa mipira 2 nyeupe:

Idadi ya chaguzi za kuchagua kutoka kwa mipira mingine 7 mpira wa tatu:

b) kati ya mipira mitatu iliyochorwa kulikuwa na angalau mbili nyeusi (yaani ama 2 nyeusi au 3 nyeusi).
Wacha tupate uwezekano kwamba kati ya mipira 3 iliyochaguliwa, 2 ni nyeusi.

Idadi ya chaguzi za kuchagua kutoka kwa mipira 3 nyeusi:

Idadi ya chaguzi za kuchagua kutoka kwa mipira mingine 6 ya mpira mmoja:


P 2h = 0.214
Hebu tupate uwezekano kwamba mipira yote iliyochaguliwa ni nyeusi.

P h (2) = 0.214+0.0119 = 0.2259

c) kati ya mipira mitatu iliyochorwa kulikuwa na angalau nyekundu mbili (yaani, ama 2 nyekundu au 3 nyekundu).
Wacha tupate uwezekano kwamba kati ya mipira 3 iliyochaguliwa, 2 ni nyekundu.

Idadi ya chaguzi za kuchagua kutoka kwa mipira 4 nyeusi:

Idadi ya chaguzi za kuchagua kutoka: Mipira 5 nyeupe, iliyobaki 1 nyeupe:


Hebu tupate uwezekano kwamba mipira yote iliyochaguliwa ni nyekundu.

P hadi (2) = 0.357 + 0.0476 = 0.4046
Kisha uwezekano kwamba angalau mipira miwili itakuwa rangi sawa ni sawa na: P = P b (2) + P h (2) + P k (2) = 0.0833 + 0.2259 + 0.4046 = 0.7138

Mfano 10. Urn ya kwanza ina mipira 10, 7 kati yao nyeupe; Mkojo wa pili una mipira 20, 5 kati yao ni nyeupe. Mpira mmoja hutolewa bila mpangilio kutoka kwa kila kinyesi, na kisha mpira mmoja hutolewa bila mpangilio kutoka kwa mipira hii miwili. Pata uwezekano kwamba mpira mweupe hutolewa.
Suluhisho. Uwezekano kwamba mpira mweupe hutolewa kutoka kwa urn ya kwanza ni P(b)1 = 7/10. Ipasavyo, uwezekano wa kuchora mpira mweusi ni P (h) 1 = 3/10.
Uwezekano kwamba mpira mweupe hutolewa kutoka kwa urn ya pili ni P (b) 2 = 5/20 = 1/4. Ipasavyo, uwezekano wa kuchora mpira mweusi ni P (h) 2 = 15/20 = 3/4.
Tukio A - mpira mweupe unachukuliwa kutoka kwa mipira miwili
Wacha tuangalie matokeo yanayowezekana ya tukio A.

1. Mpira mweupe ulitolewa kutoka kwa urn wa kwanza, na mpira mweupe ulitolewa kutoka kwa urn wa pili. Kisha mpira mweupe ulitolewa kutoka kwa mipira hii miwili. P1 = 7/10*1/4 = 7/40
2. Mpira mweupe ulitolewa kutoka kwa uni wa kwanza na mpira mweusi ulitolewa kutoka kwa uni wa pili. Kisha mpira mweupe ulitolewa kutoka kwa mipira hii miwili. P2 = 7/10*3/4 = 21/40
3. Mpira mweusi ulitolewa kutoka kwa urn wa kwanza, na mpira mweupe ulitolewa kutoka kwa urn wa pili. Kisha mpira mweupe ulitolewa kutoka kwa mipira hii miwili. P3 = 3/10*1/4 = 3/40

Kwa hivyo, uwezekano unaweza kupatikana kama jumla ya uwezekano hapo juu.
P = P1 + P2 + P3 = 7/40 + 21/40 + 3/40 = 31/40

Mfano 11. Kuna mipira ya tenisi kwenye kisanduku. Kati ya hizi, m zilichezwa. Kwa mchezo wa kwanza, mipira miwili ilichukuliwa bila mpangilio na kurudishwa baada ya mchezo. Kwa mchezo wa pili pia tulichukua mipira miwili bila mpangilio. Je, kuna uwezekano gani kwamba mchezo wa pili utachezwa na mipira mipya?
Suluhisho. Zingatia tukio A - mchezo ulichezwa kwa mara ya pili na mipira mipya. Wacha tuone ni matukio gani yanaweza kusababisha hii.
Wacha tuonyeshe kwa g = n-m idadi ya mipira mipya kabla ya kuvutwa nje.
a) kwa mchezo wa kwanza mipira miwili mipya ilitolewa.
P1 = g/n*(g-1)/(n-1) = g(g-1)/(n(n-1))
b) kwa mchezo wa kwanza, walitoa mpira mmoja mpya na mmoja tayari alicheza mmoja.
P2 = g/n*m/(n-1) + m/n*g/(n-1) = 2mg/(n(n-1))
c) kwa mchezo wa kwanza, mipira miwili iliyochezwa ilitolewa.
P3 = m/n*(m-1)/(n-1) = m(m-1)/(n(n-1))

Hebu tuangalie matukio ya mchezo wa pili.
a) Mipira miwili mipya ilitolewa, chini ya hali P1: kwa kuwa mipira mipya ilikuwa tayari imetolewa kwa mchezo wa kwanza, basi kwa mchezo wa pili idadi yao ilipungua kwa 2, g-2.
P(A/P1) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*P1 = (g-2)/n*(g-2-1)/(n- 1)*g(g-1)/(n(n-1))
b) Mipira miwili mipya ilitolewa, chini ya hali P2: kwa kuwa mpira mmoja mpya ulikuwa tayari umetolewa kwa mchezo wa kwanza, basi kwa mchezo wa pili idadi yao ilipungua kwa 1, g-1.
P(A/P2) =(g-1)/n*(g-2)/(n-1)*P2 = (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg /(n(n-1))
c) Mipira miwili mipya ilitolewa, chini ya hali P3: kwa kuwa hapo awali hakuna mipira mpya iliyotumiwa kwa mchezo wa kwanza, idadi yao haikubadilika kwa mchezo wa pili g.
P(A/P3) = g/n*(g-1)/(n-1)*P3 = g/n*(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n (n-1))

Jumla ya uwezekano P(A) = P(A/P1) + P(A/P2) + P(A/P3) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)* g(g-1)/(n(n-1)) + (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg/(n(n-1)) + g/n *(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n(n-1)) = (n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/(( n-1)^2*n^2)
Jibu: P(A)=(n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/((n-1)^2*n^2)

Mfano 12. Sanduku la kwanza, la pili na la tatu lina mipira 2 nyeupe na 3 nyeusi, sanduku la nne na la tano lina mpira 1 mweupe na 1 mweusi. Sanduku huchaguliwa kwa nasibu na mpira hutolewa kutoka kwake. Je, kuna uwezekano gani wa masharti kwamba sanduku la nne au la tano linachaguliwa ikiwa mpira uliotolewa ni mweupe?
Suluhisho.
Uwezekano wa kuchagua kila sanduku ni P (H) = 1/5.
Wacha tuzingatie uwezekano wa masharti ya tukio A - kuchora mpira mweupe.
P(A|H=1) = 2/5
P(A|H=2) = 2/5
P(A|H=3) = 2/5
P(A|H=4) = ½
P(A|H=5) = ½
Jumla ya uwezekano wa kuchora mpira mweupe:
P(A) = 2/5*1/5 + 2/5*1/5 +2/5*1/5 +1/2*1/5 +1/2*1/5 = 0.44
Uwezekano wa masharti kwamba kisanduku cha nne kimechaguliwa
P(H=4|A) = 1/2*1/5 / 0.44 = 0.2273
Uwezekano wa masharti kwamba kisanduku cha tano kimechaguliwa
P(H=5|A) = 1/2*1/5 / 0.44 = 0.2273
Kwa jumla, uwezekano wa masharti kwamba sanduku la nne au la tano limechaguliwa ni
P(H=4, H=5|A) = 0.2273 + 0.2273 = 0.4546

Mfano 13. Kulikuwa na mipira 7 nyeupe na 4 nyekundu kwenye urn. Kisha mpira mwingine wa rangi nyeupe au nyekundu au nyeusi uliwekwa kwenye mkojo na baada ya kuchanganya mpira mmoja ulitolewa. Iligeuka kuwa nyekundu. Kuna uwezekano gani kwamba a) mpira mwekundu uliwekwa? b) mpira mweusi?
Suluhisho.
a) mpira nyekundu
Tukio A - mpira nyekundu hutolewa. Tukio H - mpira nyekundu umewekwa. Uwezekano kwamba mpira mwekundu uliwekwa kwenye urn P(H=K) = 1/3
Kisha P(A|H=K)= 1 / 3 * 5 / 12 = 5 / 36 = 0.139
b) mpira mweusi
Tukio A - mpira nyekundu hutolewa. Tukio H - mpira mweusi umewekwa.
Uwezekano kwamba mpira mweusi uliwekwa kwenye urn P(H=H) = 1/3
Kisha P(A|H=H)= 1 / 3 * 4 / 12 = 1 / 9 = 0.111

Mfano 14. Kuna urns mbili na mipira. Mmoja ana mipira 10 nyekundu na 5 ya bluu, ya pili ina mipira 5 nyekundu na 7 ya bluu. Je, kuna uwezekano gani kwamba mpira mwekundu utachorwa kwa nasibu kutoka kwenye kichupa cha kwanza na mpira wa bluu kutoka kwa pili?
Suluhisho. Acha tukio A1 liwe mpira mwekundu uliotolewa kutoka kwa urn wa kwanza; A2 - mpira wa bluu hutolewa kutoka kwa urn ya pili:
,
Matukio A1 na A2 ni huru. Uwezekano wa tukio la pamoja la matukio A1 na A2 ni sawa na

Mfano 15. Kuna staha ya kadi (vipande 36). Kadi mbili huchorwa kwa nasibu mfululizo. Je, kuna uwezekano gani kwamba kadi zote mbili zitachorwa zitakuwa nyekundu?
Suluhisho. Acha tukio A 1 liwe kadi nyekundu ya kwanza kutolewa. Tukio A 2 - kadi nyekundu ya pili iliyotolewa. B - kadi zote mbili zilizotolewa ni nyekundu. Kwa kuwa tukio A 1 na tukio A 2 lazima litokee, basi B = A 1 · A 2 . Matukio A 1 na A 2 yanategemea, kwa hivyo, P(B) :
,
Kutoka hapa

Mfano 16. Urns mbili zina mipira ambayo hutofautiana kwa rangi tu, na kwenye urn ya kwanza kuna mipira 5 nyeupe, 11 nyeusi na 8 nyekundu, na kwa pili kuna mipira 10, 8, 6, mtawaliwa. Mpira mmoja hutolewa kwa nasibu kutoka kwa uni zote mbili. Kuna uwezekano gani kwamba mipira yote miwili ni ya rangi moja?
Suluhisho. Acha index 1 imaanishe Rangi nyeupe, index 2 - nyeusi; 3 - rangi nyekundu. Hebu tukio A i iwe kwamba mpira wa rangi ya i-th hutolewa kutoka kwa urn ya kwanza; tukio B j - mpira wa rangi j hutolewa kutoka kwa urn ya pili; tukio A - mipira yote ni ya rangi sawa.
A = A 1 · B 1 + A 2 · B 2 + A 3 · B 3. Matukio A i na B j yanajitegemea, na A i · B i na A j · B j hayapatani kwa i ≠ j. Kwa hivyo,
P(A)=P(A 1) P(B 1)+P(A 2) P(B 2)+P(A 3) P(B 3) =

Mfano 17. Kutoka kwenye mkojo ulio na mipira 3 nyeupe na 2 nyeusi, mipira hutolewa moja baada ya nyingine hadi rangi nyeusi ionekane. Tafuta uwezekano kwamba mipira 3 itatolewa kutoka kwa urn? Mipira 5?
Suluhisho.
1) uwezekano kwamba mipira 3 itatolewa kutoka kwa urn (yaani mpira wa tatu utakuwa mweusi, na mbili za kwanza zitakuwa nyeupe).
P=3/5*2/4*2/3=1/5
2) uwezekano kwamba mipira 5 itatolewa kutoka kwa urn
Hali hii haiwezekani, kwa sababu mipira 3 tu nyeupe.
P=0

Kazi nambari 1

Matukio Nasibu

Chaguo 6.

Kazi 1.1. Sarafu tatu zinatupwa. Pata uwezekano kwamba sarafu mbili tu zitakuwa na "kanzu ya silaha".

Tukio A linalochunguzwa - ni sarafu mbili tu kati ya tatu zitakuwa na nembo. Sarafu ina pande mbili, ambayo ina maana kwamba jumla ya matukio wakati wa kutupa sarafu tatu itakuwa 8. Katika matukio matatu, sarafu mbili tu zitakuwa na kanzu ya silaha. Tunahesabu uwezekano wa tukio A kwa kutumia fomula:

P(A) = m/n = 3/8.

Jibu: uwezekano 3/8.

Tatizo 1.2. Neno TUKIO linaundwa na kadi, ambazo kila moja imeandikwa herufi moja. Kisha kadi huchanganywa na kutolewa moja baada ya nyingine bila kurudi. Tafuta uwezekano kwamba herufi zinatolewa kwa mpangilio wa neno ulilopewa.

Jaribio linajumuisha kuchukua kadi zilizo na herufi kwa mpangilio wa nasibu bila kurudisha. Tukio la msingi ni mlolongo unaotokana wa herufi. Tukio A linajumuisha kupokea neno sahihi TUKIO . Matukio ya kimsingi ni vibali vya herufi 7, ambayo ina maana kwamba kulingana na fomula tunayo n= 7!

Herufi katika neno TUKIO hazirudiwi, kwa hivyo viidhinisho haziwezekani ambapo neno halibadiliki. Nambari yao ni 1.

Hivyo,

P(A) = 1/7! = 1/5040.

Jibu: P(A) = 1/5040.

Tatizo 1.3. Kama ilivyo kwa shida iliyotangulia, pata uwezekano unaolingana wa kesi wakati neno lililopewa ni neno ANTONOV ILYA.

Tatizo hili linatatuliwa sawa na uliopita.

n = 11! M = 2!*2! = 4.

P(A) = 4/11 = 4/39916800 = 1/9979200

Jibu: P(A) =1/9979200.

Tatizo 1.4. Urn ina mipira 8 nyeusi na 6 nyeupe. Mipira 5 hutolewa bila mpangilio. Tafuta uwezekano kwamba kati yao kuna:

a) mipira 3 nyeupe;

b) chini ya mipira 3 nyeupe;

c) angalau mpira mmoja mweupe.

Saa 8 Jaribio litakuwa la kuchora mipira 5 bila mpangilio. Msingi

Matukio 6 b yote yanawezekana mchanganyiko wa mipira 5 kati ya 14. Idadi yao ni sawa

a) A 1 - kati ya mipira inayotolewa kuna 3 nyeupe. Hii ina maana kwamba kati ya mipira inayotolewa kuna 3 nyeupe na 2 nyeusi. Kwa kutumia kanuni ya kuzidisha, tunapata

P (A 1) = 560/2002 = 280/1001.

b) A 2 - kati ya mipira inayotolewa kuna chini ya 3 nyeupe. Tukio hili linajumuisha matukio matatu yasiyolingana:

Katika 1 - kati ya mipira iliyochorwa kuna mipira 2 tu nyeupe na 3 nyeusi,

Katika 2 - kati ya mipira inayotolewa kuna mipira moja tu nyeupe na 4 nyeusi

Katika 3 - kati ya mipira iliyochorwa hakuna mpira mmoja mweupe, mipira yote 5 ni nyeusi:

B 2 B 3.

Kwa kuwa matukio B 1, B 2 na B 3 hayaendani, unaweza kutumia fomula:

P (A 2) = P (B 1) + P (B 2) + P (B 3);

P (A 2) = 840/2002 + 70/2002 + 56/2002 = 483/1001.

- kati ya mipira inayotolewa hakuna nyeupe moja. Kwa kesi hii:

P(A 3) = 1 - P(

) = 1 - 28/1001 = 973/1001.

Jibu: P (A 1) = 280/1001, P (A 2) = 483/1001, P (A 3) = 973/1001.

Tatizo 1.6. Mkojo wa kwanza una mipira 5 nyeupe na 7 nyeusi, na uni ya pili ina mipira 6 nyeupe na 4 nyeusi. Mipira 2 huchorwa kwa nasibu kutoka kwenye kichungi cha kwanza, na mipira 2 kutoka kwa cha pili. Tafuta uwezekano kwamba kati ya mipira inayotolewa:

a) mipira yote ni rangi sawa;

b) mipira mitatu tu nyeupe;

c) angalau mpira mmoja mweupe.

Urn 1 2 Urn Mipira ilitolewa kutoka kwa uni zote mbili kwa kujitegemea. Vipimo

5 b 6 b wanachora mipira miwili kutoka kwenye mkojo wa kwanza na mipira miwili

7h 4h kutoka urn ya pili. Matukio ya msingi yatakuwa mchanganyiko

2 au 2 kati ya mipira 12 au 10 mtawalia.

2 2 a) A 1 - mipira yote inayotolewa ni ya rangi sawa, i.e. wote ni wazungu?

au zote nyeusi.

Wacha tufafanue matukio yote yanayowezekana kwa kila urn:

Katika mipira 1 - 2 nyeupe hutolewa kutoka kwa urn ya kwanza;

Katika 2 - 1 nyeupe na 1 mpira mweusi hutolewa kutoka urn ya kwanza;

Katika mipira 3 - 2 nyeusi hutolewa kutoka kwenye urn ya kwanza;

C 1 - 2 mipira nyeupe hutolewa kutoka kwenye urn ya pili;

C 2 - 1 nyeupe na 1 mpira mweusi hutolewa kutoka kwenye urn ya pili;

Kutoka kwa mipira 3 - 2 nyeusi hutolewa kutoka kwa urn ya pili.

Hii ina maana A 1 =

, kutoka wapi, kwa kuzingatia uhuru na kutokubaliana kwa matukio, tunapata

P (A 1) = P (B 1) * P (C 1) + P (B 3) * P (C 3).

Wacha tupate idadi ya matukio ya msingi n 1 na n 2 kwa urns ya kwanza na ya pili, mtawaliwa. Tuna:

Wacha tupate idadi ya kila kipengele cha matukio ambayo huamua matukio yafuatayo:

C 1: m 21 = C 2: m 22 = C 3: m 23 =

Kwa hivyo,

P (A 1) = 10/66 * 15/45 + 21 * 6/45 = 5/99 + 7/165 = 46/495.

b) A 2 - kati ya mipira inayotolewa kuna nyeupe 3 tu. Kwa kesi hii

C 2 (B 2 C 1);

P(A 2) = P(B 1) * P(C 1) + P(B 2) * P(C 2)

P (A 2) = 10/66 * 6/45 + 35/66 * 24/45 = 33/99 = 1/3.

c) A 3 - kati ya mipira inayotolewa kuna angalau moja nyeupe.

- kati ya mipira iliyotolewa hakuna mpira mmoja mweupe. Kisha ) = P (B 3) * P (C 3) = 21/66 * 6/45 = 7/165;

P(A 3) = 1 - P(

) = 1 - 7/165 = 158/165.

Jibu: P (A 1) = 46/495, P (A 2) = 1/3, P (A 3) = 158/165.

Tatizo 1.7. Urn ina mipira 5 nyeusi na nyeupe, mipira 4 nyeupe huongezwa kwao. Baada ya hayo, mipira 3 hutolewa kwa nasibu kutoka kwenye mkojo. Tafuta uwezekano kwamba mipira yote iliyochorwa ni nyeupe, ikizingatiwa kuwa mapendekezo yote yanayowezekana kuhusu yaliyomo asili ya urn yanawezekana kwa usawa.

Kuna aina mbili za majaribio hapa: kwanza, yaliyomo ya awali ya urn yamewekwa na kisha mpira wa 3 hutolewa kwa nasibu, na matokeo ya mtihani wa pili kulingana na matokeo ya kwanza. Kwa hivyo, formula ya jumla ya uwezekano hutumiwa.

tukio A - mipira 3 nyeupe hutolewa bila mpangilio. Uwezekano wa tukio hili unategemea jinsi gani utungaji asilia mipira kwenye mkojo.

Wacha tuzingatie matukio:

Katika 1 - kulikuwa na mipira 5 nyeupe kwenye urn;

Katika 2 - kulikuwa na mipira 4 nyeupe na 1 nyeusi kwenye urn;

Katika 3 - kulikuwa na mipira 3 nyeupe na 2 nyeusi kwenye urn;

Katika 4 - kulikuwa na mipira 2 nyeupe na 3 nyeusi kwenye urn;

Saa 5 - kulikuwa na mipira 1 nyeupe na 4 nyeusi kwenye urn.

Saa 6 - kulikuwa na mipira 5 nyeusi kwenye urn;

Jumla ya idadi ya matokeo ya msingi

Wacha tupate uwezekano wa masharti ya tukio A chini ya hali tofauti.

P (A/B 1) = 1. P (A/B 2) = 56/84 = 2/3. P (A/B 3) = 35/84 = 5/12. P (A/B 4) = 5/21. P (A/B 5) = 5/42. P (A/B 6) = 1/21.

P(A) = 1 * 1/6 + 2/3 * 1/6 + 5/12 * 1/6 + 5/21 * 1/6 + 5/42 * 1/6 + 1/21 * 1/6 = 209/504.

Tatizo 1.10. Katika duka la ufungaji, motor ya umeme imeunganishwa kwenye kifaa. Motors za umeme hutolewa na wazalishaji watatu. Katika hisa kuna motors za umeme za viwanda hivi, kwa mtiririko huo, kwa kiasi M 1 = 13, M 2 = 12, na M 3 = vipande 17, ambavyo vinaweza kufanya kazi bila kushindwa hadi mwisho wa kipindi cha udhamini na uwezekano wa 0.91, 0.82, na 0.77, mtawalia. Mfanyikazi huchukua injini moja ya umeme bila mpangilio na kuiweka kwenye kifaa. Pata uwezekano kwamba motor ya umeme imewekwa na kufanya kazi bila kushindwa hadi mwisho wa kipindi cha udhamini ilitolewa na mtengenezaji wa kwanza, wa pili au wa tatu, kwa mtiririko huo.