Onyesha muundo wa suluhisho la jumla la usawa wa kutofautisha. Muundo wa suluhu ya jumla ya mlinganyo wa kutofautisha wenye usawa

D U ya maagizo ya juu

Kama tulivyokwisha sema, milinganyo tofauti inaweza kuwa na derivatives ya maagizo mbalimbali.

Milinganyo kama hii ya kutofautisha ina suluhu ambazo zina viambata vingi vya ujumuishaji wa kiholela → mpangilio ni nini equation tofauti, i.e. kwa equation ya kutofautisha ya mpangilio wa 2 kutakuwa na viunga viwili vya kiholela C1 na C2, kwa agizo la 3 →C1, C2, na C3, nk.

Kwa hivyo, suluhisho la jumla (jumla muhimu) la equation tofauti kama hiyo itakuwa kazi

.

Ili kupata suluhisho fulani la hesabu za tofauti kama hizo, inahitajika kuweka hali nyingi za awali kama mpangilio wa equation ya kutofautisha, au ni viwango ngapi vya kiholela vinavyopatikana katika suluhisho la jumla.

D U ndani tofauti kamili. Kipengele cha kuunganisha

Mlinganyo tofauti wa fomu huitwa mlinganyo wa kutofautisha katika tofauti kamili ikiwa upande wake wa kushoto ni tofauti kamili ya baadhi. kazi laini, i.e. Kama , . Muhimu na hali ya kutosha kwa kazi kama hiyo kuwepo ina fomu:

Ili kutatua equation tofauti katika tofauti za jumla, unahitaji kupata kazi. Kisha suluhisho la jumla la equation ya kutofautisha inaweza kuandikwa kwa fomu ya kiholela ya mara kwa mara C.

Kipengele cha kuunganisha kwa mlinganyo tofauti

inaitwa kazi kama hiyo, baada ya kuzidisha ambayo equation tofauti hugeuka kuwa equation katika tofauti za jumla. Ikiwa kazi za M na N katika equation zina derivatives za sehemu zinazoendelea na hazipotee wakati huo huo, basi kipengele cha kuunganisha kipo. Hata hivyo, njia ya jumla hakuna njia ya kuipata.

Muundo suluhisho la jumla LNDU

Fikiria mlinganyo wa kutofautisha wa mstari usio sawa

+ (x) + ... + (x)y" + (x)y = f(x).

− chochote hatua ya awali (x0, y0, ) , x0∈ , kuna maadili C1 =C10 , ..., Cn = Cn0 hivi kwamba kazi y = Φ(x, C10 , ..., Cn0) inakidhi masharti ya awali y(x0) = y0, y "(x0) ,..., (x0) = .

Taarifa ifuatayo ni kweli (nadharia juu ya muundo wa suluhisho la jumla la mstari mlinganyo wa homogeneous).

Iwapo viambatisho vyote vya mlingano wa mlinganyo wa tofauti wa homogeneous ni unaoendelea kwenye kipindi , na vitendakazi y1(x), y2(x),..., yn(x) vinaunda mfumo wa suluhu kwa mlinganyo wa homogeneous unaolingana. , basi suluhisho la jumla mlinganyo usio na usawa inaonekana kama

y(x,C1,..., Cn) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + ... + Cn yn(x) + y*(x),

ambapo C1,...,Cn ni viambajengo vya kiholela, y*(x) ni suluhu mahususi la mlinganyo usio sawa.

Agizo la 2 la LNDU

Milinganyo ya utofauti ya mpangilio usio na usawa wa mpangilio wa pili.

Mlinganyo wa fomu y" + py" + qy = f(x), ambapo p na q - nambari za kweli, f(x) - kazi inayoendelea, inaitwa mlinganyo wa mpangilio wa pili wa mstari usio sawa na mgawo wa mara kwa mara.

Suluhisho la jumla la equation ni jumla ya suluhisho fulani la equation isiyo ya kawaida na suluhisho la jumla la equation ya homogeneous inayolingana. Kupata suluhisho la jumla kwa equation ya homogeneous imesomwa. Ili kupata suluhisho fulani, tunatumia njia mgawo usio na uhakika, ambayo haina mchakato wa ujumuishaji.

Hebu tuzingatie aina tofauti pande za mkono wa kulia za mlingano y" + py" + qy = f(x).

1) Upande wa kulia una fomu F(x) = Pn(x), ambapo Pn(x) ni polynomial ya shahada n. Kisha suluhu mahususi y inaweza kutafutwa kwa namna ambapo Qn (x) ni polynomial ya shahada sawa na Pn (x), na r ni idadi ya mizizi. mlingano wa tabia, sawa na sifuri.

Mfano. Tafuta suluhu ya jumla ya mlingano y" – 2y" + y = x+1.

Suluhisho: Suluhisho la jumla la equation ya homogeneous inayolingana ina fomu Y = ex (C1 + C2x). Kwa kuwa hakuna mizizi ya equation ya tabia k2 - 2k + 1 = 0 ni sawa na sifuri (k1 = k2 = 1), tunatafuta suluhisho fulani katika fomu ambapo A na B ni coefficients haijulikani. Kutofautisha mara mbili na kuweka " na " kwenye mlingano huu, tunapata -2A + Ax + B = x + 1.

Kusawazisha mgawo kwa nguvu sawa za x katika pande zote mbili za usawa: A = 1, -2A + B = 1, tunapata A = 1, B = 3. Kwa hivyo, suluhisho fulani. kupewa equation ina fomu = x + 3, na suluhisho lake la jumla ni y = ex (C1 + C2x) + x + Z.

2) Upande wa kulia una fomu f(x) = eax Pn(x), ambapo Рn (x) ni polynomial ya shahada n. Kisha suluhu mahususi itafutwe kwa namna ambapo Qn(x) ni polynomial ya shahada sawa na Pn (x), na r ni idadi ya mizizi ya mlingano wa tabia sawa na a. Ikiwa a = 0, basi f (x) = Pn (x), yaani, kesi 1 hutokea.

LOD yenye coefficients ya mara kwa mara.

Fikiria equation tofauti

ambapo ni constants halisi.

Ili kupata suluhisho la jumla la equation (8), tunafanya hivi. Tunatunga mlingano wa tabia ya mlingano (8): (9)

Hebu iwe mizizi ya equation (9), na kati yao kunaweza kuwa na nyingi. Inawezekana kesi zifuatazo:

a) - halisi na tofauti. Suluhisho la jumla la equation ya homogeneous itakuwa;

b) mizizi ya equation ya tabia ni halisi, lakini kati yao kuna nyingi, i.e. , basi suluhisho la jumla litakuwa

c) ikiwa mizizi ya mlingano wa sifa ni changamano (k=a±bi), basi suluhu ya jumla ina umbo .

Muundo wa jumla suluhisho la agizo la 2 la LDE

Fikiria mlinganyo wa kutofautisha wenye usawa

+ (x) + ... + (x)y" + (x)y = 0.

Suluhisho la jumla la mlinganyo huu kwa muda ni chaguo la kukokotoa y = Φ(x, C1,..., Cn), kutegemea n viambajengo vya kiholela C1,..., Cn na kutosheleza. masharti yafuatayo:

− kwa yoyote maadili yanayokubalika ya viunga C1,..., Cn kitendakazi y = Φ(x, C1,..., Cn) ni suluhisho la mlinganyo kwenye ;

− chochote hatua ya awali (x0, y0, ) , x0∈ , kuna maadili C1 =C10 , ..., Cn = Cn0 hivi kwamba kazi y = Φ(x, C10 , ..., Cn0) inakidhi masharti ya awali y(x0) = y0, y "(x0) = y1,0 ,..., (x0) = .

Ujuzi wa mfumo wa kimsingi wa suluhisho kwa equation hufanya iwezekane kuunda suluhisho la jumla la mlinganyo huu. Wacha tukumbuke ufafanuzi wa suluhisho la jumla la equation tofauti P- utaratibu

Kazi
, iliyofafanuliwa katika kikoa fulani cha utofauti wa vigeu
, katika kila hatua ambayo kuna kuwepo na upekee wa suluhisho la tatizo la Cauchy, na ambayo ina sehemu zinazoendelea za derivatives kuhusiana na X hadi ili P pamoja, huitwa suluhu la jumla la equation (15) katika eneo lililoonyeshwa ikiwa:

mfumo wa equations

inayoweza kutengenezea katika eneo lililobainishwa kwa heshima na vibadilishio vya kiholela
, Kwa hiyo

(16)

2. kazi
ni suluhisho la equation (15) kwa maadili yote ya viwango vya kiholela
, iliyoonyeshwa na kanuni (16), wakati hatua
ni ya eneo linalozingatiwa.

Nadharia 1. (juu ya muundo wa suluhisho la jumla la usawa wa usawa wa usawa). Ikiwa kazi
,
, …,
fomu mfumo wa kimsingi suluhu kwa mlinganyo wa mstari wa homogeneous P- utaratibu
katika muda
, i.e. katika muda wa kuendelea kwa coefficients, basi kazi
ni suluhisho la jumla kwa mlingano huu katika eneo D:
,
,
.

Ushahidi. Katika kila sehemu ya eneo lililoonyeshwa kuna uwepo na upekee wa suluhisho la shida ya Cauchy. Hebu sasa tuonyeshe kwamba kazi
inakidhi ufafanuzi wa suluhisho la jumla la equation P- utaratibu.

mfumo wa equations

inayoweza kutatuliwa katika kikoa D kuhusiana na viunga vya kiholela
kwa kuwa kiambishi cha mfumo huu ni kiambishi cha Wronski kwa mfumo wa kimsingi wa suluhisho (12) na, kwa hivyo, ni tofauti na sifuri.

2. Kazi
kwa mali ya suluhisho la equation ya mstari wa homogeneous, ni suluhisho kwa equation
kwa maadili yote ya viwango vya kiholela
.

Kwa hiyo kazi
ni suluhisho la jumla kwa mlinganyo
katika eneo D. Nadharia imethibitishwa.

Mfano.

.

Suluhisho za equation hii ni wazi ni kazi
,
. Maamuzi haya yanaunda mfumo wa msingi wa maamuzi, kwani

.

Kwa hiyo, suluhisho la jumla kwa equation ya awali ni kazi.

Muundo wa suluhu ya jumla kwa mlinganyo wa mstari usio sawa wa mpangilio wa nth.

Wacha tufikirie isiyo sawa mlinganyo wa mstari P- utaratibu

Hebu tuonyeshe kwamba, kama ilivyo kwa mlinganyo wa mstari usio sawa wa mpangilio wa kwanza, ujumuishaji wa mlingano (1) umepunguzwa hadi uunganisho wa mlingano wa homogeneous ikiwa suluhu moja mahususi la mlingano usio sawa (1) unajulikana.

Hebu
- suluhisho fulani kwa equation (1), i.e.

,
. (2)

Hebu tuweke
, Wapi z- mpya sio kazi inayojulikana kutoka X. Kisha equation (1) itachukua fomu

au
,

ambapo, kwa mujibu wa utambulisho (2), tunapata

. (3)

Huu ni mlingano wa mstari usio na usawa, ambao upande wa kushoto ni sawa na ule wa mlingano usio sawa (1) unaozingatiwa. Wale. tumepata mlinganyo wa homogeneous unaolingana na mlinganyo huu usio na usawa (1).

,
, …,
,

ni mfumo wa kimsingi wa masuluhisho ya mlingano wa homogeneous (3). Kisha ufumbuzi wote wa equation hii ni zilizomo katika formula kwa ufumbuzi wake wa jumla, i.e.

.

Hebu tubadilishe thamani hii z kwenye fomula
, tunapata

.

Chaguo la kukokotoa linalotokana ni suluhu la jumla la mlinganyo (1) katika eneo D.

Kwa hivyo, tumeonyesha kuwa suluhu la jumla la mlingano wa mstari usio na kihomogeneous (1) ni sawa na jumla ya suluhu fulani la mlingano huu na suluhu la jumla la mlingano wa mstari wa homogeneous unaolingana.

Mfano. Tafuta suluhisho la jumla la equation

.

Suluhisho. Tunayo kwamba suluhu mahususi kwa mlinganyo huu wa mstari usio sawa lina namna

.

Suluhisho la jumla la equation ya homogeneous inayolingana
, kama tulivyoonyesha hapo awali, ina fomu

Kwa hivyo, suluhisho la jumla kwa equation ya asili ni:
.

Katika hali nyingi, kazi ya kupata suluhisho fulani kwa equation isiyo na usawa ni rahisi ikiwa unatumia mali ifuatayo:

Nadharia. Ikiwa katika equation (1) sehemu ya kulia inaonekana kama

na inajulikana kuwa
, A - suluhisho maalum la equation
, basi jumla ya masuluhisho haya mahususi +itakuwa suluhisho la sehemu ya equation (1).

Ushahidi. Kwa kweli, kwa kuwa kwa masharti kuna suluhisho maalum kwa equation
, A - suluhisho maalum la equation
, Hiyo

,
.

hizo. +ni suluhu mahususi kwa mlinganyo (1).

Kwa mlinganyo wa kutofautisha wa mstari usio sawa n- agizo la kwanza

y(n) + a 1(x)y(n- 1) + ... + a- 1 (x) y" + na(x)y = f(x),

Wapi y = y(x) - kazi isiyojulikana, a 1(x),a 2(x), ..., a- 1(x), na(x), f(x) - inayojulikana, inayoendelea, haki:
1) ikiwa y 1(x) Na y 2(x) ni masuluhisho mawili kwa mlinganyo usio sawa, kisha kazi
y(x) = y 1(x) - y 2(x) - suluhisho la equation inayofanana ya homogeneous;
2) ikiwa y 1(x) suluhisho la equation isiyo na usawa, na y 2(x) ni suluhisho la equation inayolingana ya homogeneous, kisha kazi
y(x) = y 1(x) + y 2(x) - suluhisho la equation isiyo ya homogeneous;
3) ikiwa y 1(x), y 2(x), ..., yn(x) - n ufumbuzi wa kujitegemea wa mstari wa equation ya homogeneous, na ych(x) - uamuzi wa kiholela equation isiyo na usawa,
basi kwa yoyote maadili ya awali
x 0, y 0, y 0,1, ..., y 0,n- 1
Kujieleza
y(x)=c 1 y 1(x) + c 2 y 2(x) + ... + cn yn(x) +ych(x)
kuitwa uamuzi wa jumla mlinganyo wa kutofautisha wa mstari usio sawa n- utaratibu.

Ili kupata suluhu za sehemu za hesabu za kutofautisha zisizo sawa na mgawo wa mara kwa mara na pande za kulia za fomu:
Pk(x) exp (a x)cos( bx) + Q m(x) exp (a x) dhambi ( bx),
Wapi Pk(x), Q m(x) - polynomials ya shahada k Na m Ipasavyo, kuna algorithm rahisi ya kuunda suluhisho fulani, inayoitwa mbinu ya uteuzi.

Njia ya uteuzi, au njia ya coefficients isiyojulikana, ni kama ifuatavyo.
Suluhisho linalohitajika kwa equation imeandikwa kama ifuatavyo:
(Pr(x) exp (a x)cos( bx) + Qr(x) exp (a x) dhambi ( bx))xs,
Wapi Pr(x), Qr(x) - polynomials ya shahada r= max( k, m) Na haijulikani mgawo
pr , pr- 1, ..., uk 1, uk 0, qr, qr- 1, ..., q 1, q 0.
Hivyo, kupata suluhu ya jumla kwa hesabu ya kutofautisha isiyo na usawa na coefficients ya mara kwa mara, mtu anapaswa
pata suluhisho la jumla la equation inayolingana (andika equation ya tabia, pata mizizi yote ya equation ya tabia. l 1, l 2, ... , ln, andika mfumo wa msingi wa suluhisho y 1(x), y 2(x), ..., yn(x));
tafuta suluhisho mahususi kwa mlinganyo usio homogeneous ych(x);
andika usemi kwa suluhisho la jumla
y(x)=c 1 y 1(x) + c 2 y 2(x) + ... + cn yn(x) + ych(x);

Milinganyo ya tofauti isiyo sawa ya mpangilio wa pili yenye miraba thabiti na upande wa kulia aina maalum. Njia ya coefficients isiyojulikana.

Mlinganyo tofauti wa fomu (1)

ambapo , f ni chaguo la kukokotoa linalojulikana, linaloitwa mlinganyo wa tofauti wa mstari wa mpangilio wa nth wenye vipatanishi vya mara kwa mara. Ikiwa , basi equation (1) inaitwa homogeneous, vinginevyo - inhomogeneous.

Kwa usawa wa usawa wa inhomogeneous na coefficients ya mara kwa mara na kwa upande wa kulia wa fomu maalum, yaani, inayojumuisha hesabu na bidhaa za kazi, suluhisho fulani linaweza kutafutwa kwa njia ya coefficients isiyojulikana. Aina ya suluhisho fulani inategemea mizizi ya equation ya tabia. Chini ni jedwali la aina za suluhisho la sehemu kwa usawa wa usawa wa mstari na upande maalum wa kulia.

Ndege tata. Moduli na hoja ya nambari changamano. Maana kuu ya hoja. Maana ya kijiometri

Nambari changamano zimeandikwa kwa namna: a+ bi. Hapa ni a na b nambari za kweli, na mimi ni kitengo cha kufikirika, i.e. i 2 = -1. Nambari a inaitwa abscissa, na b ni mratibu wa nambari changamano a+ bi. Nambari mbili changamano a+ bi na a - bi zinaitwa nambari changamano changamano.

Uwakilishi wa kijiometri nambari ngumu. Nambari halisi zinawakilishwa na alama kwenye mstari wa nambari:

Hapa, nukta A inawakilisha nambari -3, nukta B inawakilisha nambari 2, na O inasimamia sifuri. Kinyume chake, nambari changamano zinawakilishwa na vitone kwenye kuratibu ndege. Kwa kusudi hili, tunachagua kuratibu za mstatili (Cartesian) na mizani sawa kwenye shoka zote mbili. Kisha nambari changamano a+ bi itawakilishwa na point P yenye abscissa a na ordinate b (angalia takwimu). Mfumo huu wa kuratibu unaitwa ndege tata.

Moduli ya nambari changamano ni urefu wa vekta OP inayowakilisha nambari changamano kwenye ndege ya kuratibu (changamano). Moduli ya nambari changamano a+ bi inaashiria | a+ bi | au herufi r na ni sawa na:

Nambari changamano za kuunganisha zina moduli sawa. __

Hoja ya nambari changamano ni pembe kati ya mhimili OX na vekta OP inayowakilisha nambari hii changamano. Kwa hivyo, tan = b/a.

Muundo wa suluhisho la jumla la equation kama hiyo imedhamiriwa na theorem ifuatayo.

Nadharia ya 1. Suluhisho la jumla la mlinganyo usio sawa (1) linawakilishwa kama jumla ya suluhisho fulani la mlingano huu. y h na suluhisho la jumla la equation ya homogeneous inayolingana

Ushahidi. Tunahitaji kuthibitisha kwamba jumla (3)

Kuna suluhisho la jumla la equation (1).

Hebu kwanza tuthibitishe kwamba kazi (3) ni suluhu la mlinganyo (1). Kubadilisha badala yake katika jumla katika equation (1) itakuwa:

Kwa kuwa - ni suluhu la mlinganyo (2), usemi katika mabano ya kwanza ya mlingano (4) ni sawa na sifuri. Kwa sababu y h ni suluhu la mlinganyo (1), kisha usemi katika mabano ya pili (4) ni sawa na f(x). Kwa hiyo, usawa (4) ni utambulisho. Kwa hivyo, sehemu ya kwanza ya nadharia imethibitishwa.

Hebu sasa tuthibitishe kwamba usemi (3) ni suluhu la jumla la mlingano (1), i.e. Hebu tuthibitishe kwamba vipengele vya kiholela vilivyojumuishwa ndani yake vinaweza kuchaguliwa ili masharti ya awali (5)

nambari zozote zile x 0, y 0, na (ikiwa tu ni maeneo ambayo kazi ya 1, 2 Na f(x) kuendelea).

Kugundua kuwa tunaweza kuiwakilisha kama , Wapi y 1, y 2 masuluhisho huru ya mstari (2), na C 1 Na C 2 ni vibadilishio vya kiholela, tunaweza kuandika upya usawa (3) katika fomu . Kisha, kwa kuzingatia hali (5), tutakuwa na mfumo

.

Kutoka kwa mfumo huu wa equations ni muhimu kuamua C 1 Na C 2. Hebu tuandike upya mfumo katika fomu

(6)

Kiamuzi cha mfumo - kuna kiashiria cha Wronski cha suluhisho saa 1 Na saa 2 kwa uhakika. Kwa kuwa vitendaji hivi vinajitegemea kulingana na hali, kiambishi cha Wronski si sawa na sifuri, kwa hivyo mfumo (6) una suluhisho la kipekee. C 1 Na C 2, i.e. kuna maana kama hizo C 1 Na C 2 ambapo fomula (3) huamua suluhu ya mlingano (1) kukidhi masharti ya awali yaliyotolewa.

Kwa hivyo, ikiwa suluhu ya jumla ya equation ya homogeneous (2) inajulikana, basi kazi kuu wakati wa kuunganisha equation inhomogeneous (1) ni kupata suluhisho fulani. y h.

Milinganyo ya tofauti ya mstari wa mpangilio wa pili na mgawo wa mara kwa mara na upande maalum wa kulia. Njia ya coefficients isiyojulikana.

Wakati mwingine inawezekana kupata suluhisho rahisi zaidi bila kutumia ushirikiano. Hii inafanyika katika kesi maalum wakati kazi f(x) Ina aina maalum.

Wacha tuwe na equation, (1)

Wapi uk Na q nambari halisi na f(x) ina mwonekano maalum. Wacha tuzingatie uwezekano kadhaa kama huu wa equation (1).

Acha upande wa kulia wa equation (1) uwe bidhaa utendaji wa kielelezo kwa polynomial, i.e. inaonekana kama , (2)

iko wapi polynomial ya digrii ya nth. Kisha kesi zifuatazo zinawezekana:

nambari - sio mzizi mlingano wa tabia .

Katika hali hii, suluhu mahususi lazima itafutwe katika fomu (3)

hizo. katika mfumo wa polynomial pia n-th shahada, wapi A 0, A 1,…, A n coefficients inapaswa kuamuliwa.

Ili kuziamua, tunapata derivatives na .

Kubadilisha y h, na katika equation (1) na kupunguza pande zote mbili kwa sababu tutakuwa nayo:

Hapa kuna polynomial ya shahada ya nth, - polynomial ya shahada ya (n-1), na - polynomial ya shahada ya (n-2).

Kwa hivyo, kushoto na kulia kwa ishara sawa kuna polynomials n- shahada. Kulinganisha mgawo kwa digrii sawa X(idadi ya mgawo usiojulikana ni sawa na ), tunapata mfumo wa milinganyo wa kuamua mgawo A 0, A 1, ..., A n.

ikiwa upande wa kulia wa equation (1) una fomu: