Milinganyo yenye upande maalum wa kulia. Milinganyo tofauti ya mpangilio wa pili usio na usawa na vipatanishi visivyobadilika

Misingi ya utatuzi wa milinganyo ya utofauti wa mpangilio wa pili (LNDU-2) na mgawo wa mara kwa mara(PC)

Agizo la 2 la LDDE lenye viambatanisho vya mara kwa mara $p$ na $q$ ina fomu $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, ambapo $f\left(x \kulia)$ ni kitendakazi endelevu.

Kuhusiana na LNDU 2 na PC, taarifa mbili zifuatazo ni kweli.

Hebu tuchukulie kwamba baadhi ya chaguo za kukokotoa $U$ ni suluhu la kiholela la mlinganyo wa tofauti usio sawa. Hebu pia tuchukulie kuwa baadhi ya chaguo za kukokotoa $Y$ ni suluhu la jumla (GS) la mlinganyo unaolingana wa utofautishaji wa homogeneous (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Kisha GR ya LHDE-2 ni sawa na jumla ya masuluhisho ya kibinafsi na ya jumla yaliyoonyeshwa, yaani, $y=U+Y$.

Ikiwa upande wa kulia wa mpangilio wa 2 LMDE ni jumla ya vitendakazi, yaani, $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \kulia)+. ..+f_(r) \left(x\right)$, kisha kwanza tunaweza kupata PDs $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ zinazolingana kwa kila kitendakazi $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, na baada ya hapo andika CR LNDU-2 katika fomu $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

Suluhisho la agizo la 2 la LPDE na PC

Ni dhahiri kwamba aina ya PD $U$ moja au nyingine ya LNDU-2 fulani inategemea aina maalum ya upande wake wa kulia $f\left(x\right)$. Kesi rahisi zaidi za kutafuta PD LNDU-2 zimeundwa katika mfumo wa sheria nne zifuatazo.

Kanuni #1.

Upande wa kulia wa LNDU-2 una fomu $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, ambapo $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, yaani, inaitwa a polynomial ya shahada $n$. Kisha PD $U$ yake hutafutwa kwa namna $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, ambapo $Q_(n) \left(x\right)$ ni nyingine. polynomial ya hiyo shahada sawa na $P_(n) \left(x\right)$, na $r$ ni idadi ya mizizi mlingano wa tabia inayolingana na LOD-2, sawa na sifuri. Coefficients ya polynomial $Q_(n) \left(x\right)$ hupatikana kwa mbinu ya coefficients isiyojulikana (Uingereza).

Kanuni ya 2.

Upande wa kulia wa LNDU-2 una fomu $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, ambapo $P_(n) \left( x\right)$ ni polynomial ya shahada $n$. Kisha PD $U$ yake inatafutwa kwa namna $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, ambapo $Q_(n ) \ left(x\right)$ ni polynomial nyingine ya shahada sawa na $P_(n) \left(x\right)$, na $r$ ni nambari ya mizizi ya mlingano bainifu wa LODE-2 inayolingana. sawa na $\alpha $. Coefficients ya polynomial $Q_(n) \left(x\right)$ hupatikana kwa mbinu ya NC.

Kanuni ya 3.

Upande wa kulia wa LNDU-2 una fomu $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \kulia) $, ambapo $a$, $b$ na $\beta$ zipo nambari zinazojulikana. Kisha PD $U$ yake hutafutwa kwa namna $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \kulia )\cdot x^(r) $, ambapo $A$ na $B$ ni coefficients isiyojulikana, na $r$ ni nambari ya mizizi ya mlingano wa sifa wa LODE-2 inayolingana, sawa na $i\cdot. \beta $. Coefficients $A$ na $B$ hupatikana kwa kutumia mbinu isiyo ya uharibifu.

Kanuni ya 4.

Upande wa kulia wa LNDU-2 una fomu $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, ambapo $P_(n) \left(x\right)$ ni polynomial ya shahada $ n$, na $P_(m) \left(x\right)$ ni polynomial ya shahada $m$. Kisha PD $U$ yake hutafutwa kwa namna $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, ambapo $Q_(s) \left(x\right)$ na $ R_(s) \kushoto(x\kulia)$ ni polynomia za digrii $s$, nambari $s$ ndiyo nambari ya juu zaidi ya nambari mbili $n$ na $m$, na $r$ ni nambari ya mizizi. ya mlingano wa sifa wa LODE-2 inayolingana, sawa na $\alpha +i\cdot \beta $. Coefficients ya polynomials $Q_(s) \left(x\right)$ na $R_(s) \left(x\right)$ hupatikana kwa mbinu ya NC.

Njia ya NK inajumuisha kutumia sheria ifuatayo. Ili kupata coefficients isiyojulikana ya polynomial ambayo ni sehemu ya ufumbuzi wa sehemu ya inhomogeneous tofauti ya equation LNDU-2, ni muhimu:

• badilisha PD $U$, iliyoandikwa kwa umbo la jumla, kwenye upande wa kushoto wa LNDU-2;
• upande wa kushoto wa LNDU-2, fanya kurahisisha na masharti ya kikundi na nguvu sawa $ x $;
• katika utambulisho unaosababisha, sawazisha coefficients ya maneno na nguvu sawa $ x $ ya pande za kushoto na kulia;
• kutatua mfumo unaosababisha milinganyo ya mstari kuhusiana na mgawo usiojulikana.

Mfano 1

Kazi: tafuta AU LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\kulia)\cdot e^(3\cdot x) $. Tafuta pia PD , inayokidhi masharti ya awali $y=6$ kwa $x=0$ na $y"=1$ kwa $x=0$.

Tunaandika LOD-2 inayolingana: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Mlinganyo wa tabia: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Mizizi ya mlingano wa sifa ni: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Mizizi hii ni halali na tofauti. Kwa hivyo, AU ya LODE-2 inayolingana ina fomu: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

Upande wa kulia wa LNDU-2 hii una fomu $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Ni muhimu kuzingatia mgawo wa kielelezo $\alpha =3$. Mgawo huu hauwiani na mizizi yoyote ya mlingano wa tabia. Kwa hivyo, PD ya LNDU-2 hii ina fomu $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Tutatafuta viambajengo $A$, $B$ kwa kutumia mbinu ya NC.

Tunapata derivative ya kwanza ya Jamhuri ya Czech:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \kulia)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\kulia)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Tunapata derivative ya pili ya Jamhuri ya Czech:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\kulia)\cdot \kushoto(e^(3\cdot x) \kulia)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Tunabadilisha chaguo za kukokotoa $U""$, $U"$ na $U$ badala ya $y""$, $y"$ na $y$ kwenye NLDE-2 $y""-3\cdot y" iliyotolewa -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ Zaidi ya hayo, kwa vile kipeo $e^(3\cdot x)$ kimejumuishwa kama kipengele katika vipengele vyote, basi inaweza kuachwa. Tunapata:

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\kulia)=36\cdot x+12.$

Tunafanya vitendo upande wa kushoto wa usawa unaosababishwa:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Tunatumia njia ya NDT. Tunapata mfumo wa milinganyo ya mstari na mbili zisizojulikana:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Suluhisho la mfumo huu ni: $A=-2$, $B=-1$.

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ kwa tatizo letu inaonekana hivi: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

AU $y=Y+U$ ya tatizo letu inaonekana kama hii: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ kushoto(-2\cdot x-1\kulia)\cdot e^(3\cdot x) $.

Ili kutafuta PD ambayo inakidhi masharti ya awali yaliyotolewa, tunapata derivative $y"$ ya OP:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\kushoto(-2\cdot x-1\kulia)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Badilisha katika $y$ na $y"$ masharti ya awali$y=6$ kwa $x=0$ na $y"=1$ kwa $x=0$:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Tulipokea mfumo wa milinganyo:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

Hebu tuitatue. Tunapata $C_(1) $ kwa kutumia fomula ya Cramer, na $C_(2) $ tunaamua kutoka kwa mlingano wa kwanza:

$C_(1) =\frac(\left|\anza(safu)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \mwisho(safu)\kulia|)(\left|\ start(safu)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \mwisho(safu)\kulia|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

Kwa hivyo, PD ya mlingano huu wa kutofautisha ina fomu: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \kulia )\cdot e^(3\cdot x) $.

Tofauti milinganyo tofauti utaratibu wa pili na coefficients mara kwa mara

Muundo wa suluhisho la jumla Mlinganyo wa mstari usio sawa wa aina hii ina fomu: Wapi uk, q − nambari za kudumu(ambayo inaweza kuwa halisi au ngumu). Kwa kila equation kama hiyo tunaweza kuandika inayolingana mlinganyo wa homogeneous: Nadharia: Uamuzi wa pamoja mlinganyo usio na usawa ni jumla ya suluhisho la jumla y 0 (x) ya mlingano wa homogeneous na suluhu mahususi y 1 (x) mlinganyo usio na usawa: Hapo chini tutazingatia njia mbili za kusuluhisha hesabu za kutofautisha zisizo sawa. Njia ya kutofautiana kwa mara kwa mara Kama uamuzi wa pamoja y 0 ya equation ya homogeneous inayohusishwa inajulikana, basi suluhisho la jumla la equation isiyo na usawa inaweza kupatikana kwa kutumia njia ya mabadiliko ya mara kwa mara. Acha suluhisho la jumla la usawa wa mpangilio wa pili liwe na fomu: Badala ya kudumu C 1 na C 2 tutazingatia kazi za msaidizi C 1 (x) Na C 2 (x) Tutatafuta kazi hizi ili suluhisho ilitosheleza mlinganyo usio sawa na upande wa kulia f(x) Vitendaji visivyojulikana C 1 (x) Na C 2 (x) imedhamiriwa kutoka kwa mfumo wa milinganyo miwili: Mbinu isiyo na uhakika ya mgawo Sehemu ya kulia f(x) ya mlingano wa tofauti usio sawa mara nyingi ni utendakazi wa polinomia, kielelezo au trigonometric, au baadhi ya mchanganyiko wa chaguo hili la kukokotoa. Katika kesi hii, ni rahisi zaidi kutafuta suluhisho kwa kutumia njia ya mgawo usio na uhakika. Tusisitize hilo njia hii inafanya kazi kwa kundi pungufu la vitendakazi kwenye upande wa kulia, kama vile Katika visa vyote viwili, chaguo la suluhisho fulani lazima lilingane na muundo wa upande wa kulia wa usawa wa kutofautisha usio na usawa. Katika kesi 1, ikiwa nambari α katika kazi ya kielelezo sanjari na mzizi wa equation ya tabia, basi suluhisho fulani litakuwa na sababu ya ziada. x s, Wapi s− wingi wa mizizi α katika mlinganyo wa tabia. Katika kesi 2, ikiwa nambari α + βi sanjari na mzizi wa equation ya tabia, basi usemi wa suluhisho fulani utakuwa na sababu ya ziada x. Coefficients zisizojulikana zinaweza kubainishwa kwa kubadilisha usemi uliopatikana kwa suluhu mahususi hadi mlinganyo wa asili wa tofauti usio sawa. Kanuni ya nafasi ya juu Ikiwa upande wa kulia wa equation inhomogeneous ni kiasi kazi kadhaa za fomu basi suluhu fulani la mlinganyo wa kutofautisha pia litakuwa jumla ya masuluhisho ya sehemu yaliyojengwa kando kwa kila neno upande wa kulia.

Mfano 1

Tatua mlingano wa tofauti y"" + y= dhambi (2 x). Suluhisho. Kwanza tunatatua equation inayolingana ya homogeneous y"" + y= 0.V kwa kesi hii mizizi ya equation ya tabia ni ya kufikiria tu: Kwa hivyo, suluhisho la jumla la equation ya homogeneous hutolewa na usemi Wacha turudi kwenye mlinganyo usio na usawa. Tutatafuta suluhisho lake kwa fomu kwa kutumia njia ya kutofautiana kwa mara kwa mara. Kazi C 1 (x) Na C 2 (x) inaweza kupatikana kutoka mfumo unaofuata milinganyo: Hebu tueleze derivative C 1 " (x) kutoka kwa mlinganyo wa kwanza: Kubadilisha katika equation ya pili, tunapata derivative C 2 " (x): Inafuata hiyo Kuunganisha misemo kwa derivatives C 1 " (x) Na C 2 " (x), tunapata: Wapi A 1 , A 2 - mara kwa mara ya ushirikiano. Sasa hebu tubadilishe kazi zilizopatikana C 1 (x) Na C 2 (x) kwenye fomula ya y 1 (x) na uandike suluhisho la jumla la equation isiyo na usawa:

Mfano 2

Tafuta suluhisho la jumla la equation y"" + y" −6y = 36x. Suluhisho. Hebu tumia njia ya coefficients isiyojulikana. Sehemu ya kulia nyuma kupewa equation inawakilisha kazi ya mstari f(x)= shoka + b. Kwa hiyo, tutatafuta suluhisho fulani katika fomu Viingilio ni sawa: Kubadilisha hii katika equation tofauti, tunapata: Mlinganyo wa mwisho ni kitambulisho, yaani, ni halali kwa wote x, kwa hivyo tunalinganisha mgawo wa maneno na digrii sawa x upande wa kushoto na kulia: Kutoka kwa mfumo unaosababishwa tunapata: A = −6, B= -1. Matokeo yake, suluhisho fulani limeandikwa kwa fomu Sasa hebu tupate suluhisho la jumla la equation ya kutofautisha ya homogeneous. Wacha tuhesabu mizizi ya equation ya tabia ya msaidizi: Kwa hivyo, suluhisho la jumla la equation inayolingana ya usawa ina fomu: Kwa hivyo, suluhisho la jumla la usawa wa asili wa inhomogeneous linaonyeshwa na fomula

Muhimu wa jumla wa DE.

Tatua mlingano wa tofauti

Lakini jambo la kufurahisha zaidi ni kwamba jibu tayari linajulikana: , kwa usahihi zaidi, lazima pia tuongeze mara kwa mara: Muhimu wa jumla ni suluhisho la equation tofauti.

Njia ya tofauti ya mara kwa mara ya kiholela. Mifano ya ufumbuzi

Njia ya utofauti wa viboreshaji vya kiholela hutumiwa kutatua usawa wa kutofautisha usio na usawa. Somo hili limekusudiwa kwa wale wanafunzi ambao tayari wana ufahamu zaidi au chini ya mada. Ikiwa unaanza tu kufahamiana na udhibiti wa kijijini, i.e. Ikiwa wewe ni teapot, napendekeza kuanza na somo la kwanza: Agiza kwanza milinganyo tofauti. Mifano ya ufumbuzi. Na ikiwa tayari unamaliza, tafadhali tupa dhana inayowezekana kwamba njia ni ngumu. Kwa sababu ni rahisi.

Ni katika hali gani njia ya utofauti wa viboreshaji vya kiholela hutumiwa?

1) Njia ya tofauti ya mara kwa mara ya kiholela inaweza kutumika kutatua linear inhomogeneous DE ya mpangilio wa 1. Kwa kuwa equation ni ya utaratibu wa kwanza, basi mara kwa mara pia ni moja.

2) Njia ya utofauti wa viboreshaji vya kiholela hutumiwa kutatua baadhi milinganyo ya mpangilio wa pili isiyofanana. Hapa viunga viwili vinatofautiana.

Ni busara kudhani kuwa somo litakuwa na aya mbili ... Kwa hivyo niliandika sentensi hii, na kwa takriban dakika 10 nilikuwa nikifikiria kwa uchungu juu ya ujinga mwingine wa ujanja ambao ningeweza kuongeza kwa mpito mzuri kwa mifano ya vitendo. Lakini kwa sababu fulani sina mawazo yoyote baada ya likizo, ingawa sionekani kuwa nimetumia vibaya chochote. Kwa hivyo, wacha tuende moja kwa moja kwenye aya ya kwanza.

Njia ya tofauti ya mara kwa mara ya kiholela kwa mpangilio wa kwanza wa mlinganyo usio sawa

Kabla ya kuzingatia njia ya tofauti ya mara kwa mara ya kiholela, inashauriwa kufahamu makala hiyo. Milinganyo ya tofauti ya mstari ya mpangilio wa kwanza. Katika somo hilo tulifanya mazoezi suluhisho la kwanza inhomogeneous 1 ili DE. Suluhisho hili la kwanza, nakukumbusha, linaitwa njia ya uingizwaji au Mbinu ya Bernoulli(sio kuchanganyikiwa na Mlinganyo wa Bernoulli!!!)

Sasa tutaangalia suluhisho la pili- Mbinu ya utofauti wa mara kwa mara ya kiholela. Nitatoa mifano mitatu tu, na nitaichukua kutoka kwa somo lililotajwa hapo juu. Mbona wachache sana? Kwa sababu kwa kweli, suluhisho kwa njia ya pili itakuwa sawa na suluhisho kwa njia ya kwanza. Kwa kuongeza, kwa mujibu wa uchunguzi wangu, njia ya kutofautiana kwa mara kwa mara ya kiholela hutumiwa mara kwa mara kuliko njia ya uingizwaji.

Mfano 1

Pata suluhisho la jumla la mlinganyo wa kutofautisha (Diffour kutoka kwa Mfano Na. 2 wa somo Milinganyo ya tofauti ya mstari wa mpangilio wa 1)

Suluhisho: Mlinganyo huu ni wa mstari usio sawa na una fomu inayojulikana:

Katika hatua ya kwanza, inahitajika kutatua equation rahisi zaidi: Hiyo ni, kwa ujinga tunaweka upya upande wa kulia hadi sifuri - andika sifuri badala yake. Nitaita equation equation msaidizi.

Katika mfano huu, unahitaji kutatua equation ifuatayo ya msaidizi:

Mbele yetu equation inayoweza kutenganishwa, suluhisho ambalo (natumai) sio ngumu tena kwako:

Kwa hivyo: - suluhisho la jumla la equation msaidizi.

Kwenye hatua ya pili tutabadilisha baadhi ya mara kwa mara kwa sasa kazi isiyojulikana ambayo inategemea "x":

Kwa hivyo jina la njia - tunatofautiana mara kwa mara. Vinginevyo, mara kwa mara inaweza kuwa kazi fulani ambayo sasa tunapaswa kupata.

KATIKA asili katika equation inhomogeneous tunabadilisha:

Wacha tubadilishe katika equation:

Sehemu ya udhibiti - masharti mawili upande wa kushoto kufuta. Ikiwa hii haifanyika, unapaswa kutafuta kosa hapo juu.

Kama matokeo ya uingizwaji, equation yenye vigezo vinavyoweza kutenganishwa ilipatikana. Tunatenganisha vigezo na kuunganisha.

Ni baraka iliyoje, wafafanuzi pia wanaghairi:

Tunaongeza "kawaida" mara kwa mara kwa kazi iliyopatikana:

Katika hatua ya mwisho, tunakumbuka juu ya uingizwaji wetu:

Chaguo la kukokotoa limepatikana hivi punde!

Kwa hivyo suluhisho la jumla ni:

Jibu: uamuzi wa pamoja:

Ukichapisha masuluhisho hayo mawili, utaona kwa urahisi kuwa katika visa vyote viwili tulipata viambatanisho sawa. Tofauti pekee ni katika algorithm ya suluhisho.

Sasa kwa jambo gumu zaidi, pia nitatoa maoni juu ya mfano wa pili:

Mfano 2

Pata suluhisho la jumla la mlinganyo wa kutofautisha (Diffour kutoka kwa Mfano Na. 8 wa somo Milinganyo ya tofauti ya mstari wa mpangilio wa 1)

Suluhisho: Wacha tulete equation kwa fomu:

Wacha tuweke upya upande wa kulia na tusuluhishe hesabu ya msaidizi:

Tunatenganisha vigezo na kuunganisha: Suluhisho la jumla la equation msaidizi:

Katika equation inhomogeneous tunabadilisha:

Kulingana na kanuni ya kutofautisha bidhaa:

Wacha tubadilishe mlingano wa asili usio sawa:

Masharti mawili ya upande wa kushoto yanaghairi, ambayo inamaanisha tuko kwenye njia sahihi:

Wacha tuunganishe kwa sehemu. Barua ya kitamu kutoka kwa ujumuishaji na fomula ya sehemu tayari imehusika katika suluhisho, kwa hivyo tunatumia, kwa mfano, herufi "a" na "kuwa":

Hatimaye:

Sasa hebu tukumbuke uingizwaji:

Jibu: uamuzi wa pamoja:

Njia ya tofauti ya mara kwa mara ya kiholela kwa mlinganyo wa mpangilio wa pili usiofanana na coefficients mara kwa mara

Mara nyingi nimesikia maoni kwamba njia ya kutofautiana kwa viwango vya kiholela kwa equation ya utaratibu wa pili sio jambo rahisi. Lakini nadhani yafuatayo: uwezekano mkubwa, njia hiyo inaonekana kuwa ngumu kwa wengi kwa sababu haifanyiki mara nyingi. Lakini kwa kweli hakuna ugumu fulani - mwendo wa uamuzi ni wazi, wazi, na unaeleweka. Na nzuri.

Ili kujua njia hiyo, inashauriwa kuwa na uwezo wa kutatua usawa wa mpangilio wa pili kwa kuchagua suluhisho fulani kulingana na fomu ya upande wa kulia. Mbinu hii kujadiliwa kwa undani katika makala hiyo Agizo la 2 lisilo na usawa la DE. Tunakumbuka kuwa mlinganyo wa mpangilio wa pili wa mstari usio sawa na coefficients ya mara kwa mara ina fomu:

Mbinu ya uteuzi, ambayo ilijadiliwa katika somo hapo juu, inafanya kazi katika idadi ndogo tu ya matukio wakati upande wa kulia una polynomials, exponentials, sines, na cosines. Lakini nini cha kufanya wakati wa kulia, kwa mfano, ni sehemu, logarithm, tangent? Katika hali hiyo, njia ya kutofautiana kwa mara kwa mara inakuja kuwaokoa.

Mfano 4

Pata suluhu ya jumla kwa mpangilio tofauti wa mpangilio wa pili

Suluhisho: Kuna sehemu upande wa kulia wa equation hii, hivyo tunaweza kusema mara moja kwamba njia ya kuchagua suluhisho fulani haifanyi kazi. Tunatumia njia ya kutofautiana kwa viunga vya kiholela.

Hakuna dalili za radi; mwanzo wa suluhisho ni wa kawaida kabisa:

Tutapata uamuzi wa pamoja sahihi zenye homogeneous milinganyo:

Wacha tutunge na tusuluhishe equation ya tabia: - mizizi ngumu ya kuunganisha hupatikana, kwa hivyo suluhisho la jumla ni:

Jihadharini na rekodi ya suluhisho la jumla - ikiwa kuna mabano, kisha uwafungue.

Sasa tunafanya karibu hila sawa na kwa equation ya mpangilio wa kwanza: tunatofautiana viunga, tukizibadilisha na kazi zisizojulikana. Hiyo ni, suluhisho la jumla la inhomogeneous tutatafuta equations katika fomu:

Wapi - kwa sasa kazi zisizojulikana.

Inaonekana kama dampo la taka za nyumbani, lakini sasa tutatatua kila kitu.

Zisizojulikana ni derivatives za kazi. Lengo letu ni kutafuta derivatives, na derivatives kupatikana lazima kukidhi milinganyo ya kwanza na ya pili ya mfumo.

“Wagiriki” wanatoka wapi? Nguruwe huwaleta. Tunaangalia suluhisho la jumla lililopatikana hapo awali na kuandika:

Wacha tupate derivatives:

Sehemu za kushoto zimeshughulikiwa. Kuna nini upande wa kulia?

ni upande wa kulia wa equation ya asili, katika kesi hii:

Katika mihadhara, LNDEs husomwa - milinganyo ya kutofautisha yenye usawa. Muundo wa suluhisho la jumla huzingatiwa, suluhisho la LPDE kwa njia ya utofauti wa viboreshaji vya kiholela, suluhisho la LDDE na coefficients ya mara kwa mara na upande wa kulia. aina maalum. Masuala yanayozingatiwa yanatumika katika utafiti wa oscillations ya kulazimishwa katika fizikia, uhandisi wa umeme na umeme, na nadharia ya udhibiti wa kiotomatiki.

1. Muundo wa suluhisho la jumla la usawa wa tofauti wa mstari wa mpangilio wa 2.

Wacha kwanza tuchunguze mlinganyo usio na usawa wa mpangilio wa kiholela:

Kwa kuzingatia nukuu, tunaweza kuandika:

Katika kesi hii, tutafikiri kwamba coefficients na upande wa kulia wa equation hii ni kuendelea kwa muda fulani.

Nadharia. Suluhisho la jumla la mlinganyo wa kutofautisha wa mstari usio sawa katika kikoa fulani ni jumla ya suluhu zake zozote na suluhu la jumla la mlinganyo unaolingana wa utofautishaji wa homogeneous.

Ushahidi. Wacha Y iwe suluhisho la mlinganyo usio sawa.

Kisha, tunapobadilisha suluhu hili katika mlinganyo wa asili, tunapata kitambulisho:

Hebu
- mfumo wa kimsingi masuluhisho ya mlinganyo wa mstari wa homogeneous
. Kisha suluhisho la jumla la equation ya homogeneous inaweza kuandikwa kama:

Hasa, kwa usawa wa usawa wa usawa wa mpangilio wa 2, muundo wa suluhisho la jumla una fomu:

Wapi
ni mfumo wa kimsingi wa suluhisho kwa mlinganyo unaolingana wa homogeneous, na
- Suluhisho lolote la usawa wa inhomogeneous.

Kwa hivyo, ili kutatua equation ya kutofautisha ya mstari, ni muhimu kupata suluhisho la jumla kwa mlinganyo unaolingana wa homogeneous na kwa namna fulani kupata suluhisho mahususi kwa mlinganyo usio sawa. Kawaida hupatikana kwa uteuzi. Tutazingatia njia za kuchagua suluhisho la kibinafsi katika maswali yafuatayo.

2. Njia ya kutofautiana

Katika mazoezi, ni rahisi kutumia njia ya kutofautiana kwa mara kwa mara ya kiholela.

Ili kufanya hivyo, kwanza tafuta suluhisho la jumla kwa equation inayolingana katika fomu:

Kisha, kuweka coefficients C i kazi kutoka X, suluhu la mlinganyo usio sawa hutafutwa:

Inaweza kuthibitishwa kuwa kupata kazi C i (x) tunahitaji kutatua mfumo wa equations:

Mfano. Tatua mlinganyo

Kutatua mlinganyo wa mstari wa homogeneous

Suluhisho la equation isiyo na usawa itakuwa na fomu:

Wacha tuunde mfumo wa equations:

Wacha tusuluhishe mfumo huu:

Kutoka kwa uhusiano tunapata kazi Oh).

Sasa tunapata B(x).

Tunabadilisha maadili yaliyopatikana katika fomula ya suluhisho la jumla la equation isiyo na usawa:

Jibu la mwisho:

Kwa ujumla, njia ya utofauti wa vibadilishio vya kiholela inafaa kwa kutafuta suluhu kwa mlinganyo wowote wa mstari usio sawa. Lakini kwa sababu Kupata mfumo wa kimsingi wa suluhisho kwa equation inayolingana ya homogeneous inaweza kuwa kazi ngumu sana; njia hii hutumiwa haswa kwa hesabu zisizo na usawa na coefficients za mara kwa mara.

3. Milinganyo na upande wa kulia aina maalum

Inaonekana inawezekana kufikiria aina ya suluhisho fulani kulingana na aina ya upande wa kulia wa equation inhomogeneous.

Kesi zifuatazo zinajulikana:

I. Upande wa kulia wa mlinganyo wa utofautishaji wa mstari usio sawa una fomu:

iko wapi polynomial ya digrii m.

Kisha suluhisho fulani hutafutwa kwa fomu:

Hapa Q(x) - polynomial ya shahada sawa na P(x) , lakini kwa coefficients isiyojulikana, na r- nambari inayoonyesha ni mara ngapi nambari  ndio mzizi wa mlingano bainifu kwa mlinganyo unaolingana wa utofautishaji wa homogeneous.

Mfano. Tatua mlinganyo
.

Wacha tusuluhishe hesabu inayolingana ya homogeneous:

Sasa hebu tutafute suluhu mahususi kwa mlinganyo wa asili usio na usawa.

Wacha tulinganishe upande wa kulia wa equation na fomu ya upande wa kulia iliyojadiliwa hapo juu.

Tunatafuta suluhisho maalum katika fomu:
, Wapi

Wale.

Sasa hebu tutambue coefficients haijulikani A Na KATIKA.

Wacha tubadilishe suluhu mahususi kwa umbo la jumla katika mlingano wa utofautishaji wa asili usio sawa.

Jumla, suluhisho la kibinafsi:

Halafu suluhisho la jumla la equation ya kutofautisha isiyo na usawa ni:

II. Upande wa kulia wa usawa wa usawa wa usawa una fomu:

Hapa R 1 (X) Na R 2 (X)- polynomials ya shahada m 1 na m 2 kwa mtiririko huo.

Kisha suluhisho fulani kwa equation isiyo na usawa itakuwa na fomu:

nambari iko wapi r inaonyesha nambari mara ngapi
ni mzizi wa mlingano wa tabia kwa mlinganyo wa homogeneous unaolingana, na Q 1 (x) Na Q 2 (x) - polynomials za digrii sio juu kuliko m, Wapi m- kubwa zaidi ya digrii m 1 Na m 2 .

Jedwali la muhtasari wa aina za suluhisho za kibinafsi

kwa aina tofauti za pande za kulia

	Upande wa kulia wa mlinganyo tofauti	mlingano wa tabia	Aina za kibinafsi
		1. Nambari sio mzizi wa mlingano wa tabia
		2. Nambari ni mzizi wa mlingano wa tabia ya wingi
		1. Nambari sio mzizi wa mlingano wa tabia
		2. Nambari ni mzizi wa mlingano wa tabia ya wingi
		1. Nambari
		2. Nambari ni mizizi ya mlingano wa tabia ya wingi
		1. Nambari sio mizizi ya mlingano wa wingi wa tabia
		2. Nambari ni mizizi ya mlingano wa tabia ya wingi

Kumbuka kwamba ikiwa upande wa kulia wa equation ni mchanganyiko wa misemo ya aina iliyozingatiwa hapo juu, basi suluhu hupatikana kama mchanganyiko wa masuluhisho ya milinganyo ya ziada, ambayo kila moja ina upande wa kulia unaolingana na usemi uliojumuishwa. katika mchanganyiko.

Wale. ikiwa equation ni:
, basi suluhisho maalum la equation hii itakuwa
Wapi katika 1 Na katika 2 - masuluhisho mahususi ya milinganyo ya ziada

Na

Kwa mfano, hebu tutatue mfano hapo juu kwa njia tofauti.

Mfano. Tatua mlinganyo

Wacha tuwakilishe upande wa kulia wa mlinganyo tofauti kama jumla ya kazi mbili f 1 (x) + f 2 (x) = x + (- dhambi x).

Wacha tutunge na tusuluhishe equation ya tabia:

Tunapata: I.e.

Jumla:

Wale. suluhisho maalum linalohitajika lina fomu:

Suluhisho la jumla la equation isiyo ya homogeneous tofauti:

Hebu tuangalie mifano ya matumizi ya njia zilizoelezwa.

Mfano 1.. Tatua mlinganyo

Wacha tutunge mlingano wa tabia kwa usawa wa usawa wa usawa wa usawa:

Sasa hebu tutafute suluhu mahususi kwa equation isiyo na usawa katika fomu:

Hebu tumia njia ya coefficients isiyojulikana.

Kubadilisha katika equation ya asili, tunapata:

Suluhisho maalum lina fomu:

Suluhisho la jumla la equation ya mstari wa inhomogeneous:

Mfano. Tatua mlinganyo

Mlinganyo wa tabia:

Suluhisho la jumla la equation ya homogeneous:

Suluhisho maalum la equation ya inhomogeneous:
.

Tunapata derivatives na kuzibadilisha katika equation ya asili isiyo ya kawaida:

Tunapata suluhisho la jumla kwa usawa wa kutofautisha usio na usawa:

Nakala hii inashughulikia suala la kusuluhisha milinganyo ya mpangilio wa pili ya mstari usio na usawa na coefficients zisizobadilika. Nadharia itajadiliwa pamoja na mifano ya matatizo fulani. Ili kufafanua maneno yasiyo wazi, ni muhimu kurejelea mada kuhusu ufafanuzi wa kimsingi na dhana za nadharia ya milinganyo tofauti.

Hebu tuchunguze equation ya tofauti ya mstari (LDE) ya mpangilio wa pili na coefficients ya mara kwa mara ya fomu y "" + p · y " + q · y = f (x), ambapo p na q ni nambari za kiholela, na kazi iliyopo f. (x) inaendelea kwenye muda wa ujumuishaji x.

Wacha tuendelee kwenye uundaji wa nadharia ya suluhisho la jumla la LNDE.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Nadharia ya suluhisho la jumla la LDNU

Nadharia 1

Suluhisho la jumla, lililo kwenye muda wa x, wa usawa wa tofauti usio na usawa wa fomu y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) · y = f (x) yenye migawo ya ujumuishaji inayoendelea kwenye muda wa x f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) na kazi inayoendelea f (x) ni sawa na jumla ya suluhu ya jumla y 0, ambayo inalingana na LOD na suluhisho fulani y ~, ambapo mlinganyo wa asili wa inhomogeneous ni y = y 0 + y ~.

Hii inaonyesha kuwa suluhu la mlingano wa mpangilio wa pili lina namna y = y 0 + y ~ . Algorithm ya kutafuta y 0 inajadiliwa katika makala juu ya milinganyo ya tofauti ya mpangilio wa pili ya mstari wa homogeneous na coefficients zisizobadilika. Baada ya hapo tunapaswa kuendelea na ufafanuzi wa y ~.

Uchaguzi wa suluhisho fulani kwa LPDE inategemea aina ya kazi inayopatikana f (x) iko upande wa kulia wa equation. Ili kufanya hivyo, ni muhimu kuzingatia kando masuluhisho ya milinganyo ya kutofautisha ya mpangilio wa pili wa mstari na mgawo wa mara kwa mara.

Wakati f (x) inachukuliwa kuwa polynomial ya shahada ya nth f (x) = P n (x), inafuata kwamba suluhisho fulani la LPDE linapatikana kwa kutumia fomula ya fomu y ~ = Q n (x ) x γ, ambapo Q n ( x) ni polynomia ya shahada n, r ni idadi ya mizizi sufuri ya mlingano bainifu. Thamani y ~ ni suluhisho mahususi y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , kisha migawo inayopatikana ambayo inafafanuliwa na polynomial
Q n (x), tunapata kutumia mbinu ya coefficients isiyojulikana kutoka kwa usawa y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).

Mfano 1

Hesabu kwa kutumia nadharia ya Cauchy y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

Suluhisho

Kwa maneno mengine, ni muhimu kuendelea na ufumbuzi fulani wa usawa wa tofauti wa mstari wa inhomogeneous wa utaratibu wa pili na coefficients ya mara kwa mara y "" - 2 y " = x 2 + 1, ambayo itakidhi masharti yaliyotolewa y (0) = 2, y " (0) = 1 4 .

Suluhisho la jumla la mlinganyo usio na kihomogeneous linear ni jumla ya suluhu ya jumla, ambayo inalingana na mlingano y 0 au suluhu fulani la mlingano usio wa kihomogeneous y ~, yaani, y = y 0 + y ~.

Kwanza, tutapata suluhisho la jumla kwa LNDU, na kisha moja fulani.

Wacha tuendelee kutafuta y 0. Kuandika equation ya tabia itakusaidia kupata mizizi. Tunapata hilo

k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0, k 2 = 2

Tuligundua kuwa mizizi ni tofauti na ya kweli. Kwa hiyo, hebu tuandike

y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x.

Hebu tutafute y ~ . Inaweza kuonekana kuwa upande wa kulia wa equation iliyotolewa ni polynomial ya shahada ya pili, basi moja ya mizizi ni sawa na sifuri. Kutoka kwa hili tunapata kwamba suluhisho fulani la y ~ litakuwa

y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, ambapo thamani za A, B, C huchukua migawo ambayo haijabainishwa.

Hebu tutafute kutoka kwa usawa wa fomu y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .

Kisha tunapata hiyo:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

Kusawazisha mgawo na vipeo sawa vya x, tunapata mfumo wa usemi wa mstari - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. Wakati wa kutatua kwa njia yoyote, tutapata coefficients na kuandika: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 na y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

Ingizo hili linaitwa suluhu la jumla la mlinganyo wa awali wa mpangilio wa pili wa mstari usio na kihomogeneous na coefficients zisizobadilika.

Ili kupata suluhisho fulani ambalo linakidhi masharti y (0) = 2, y "(0) = 1 4, ni muhimu kuamua maadili. C 1 Na C 2, kwa kuzingatia usawa wa fomu y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.

Tunapata kwamba:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

Tunafanya kazi na mfumo wa matokeo ya equations ya fomu C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4, ambapo C 1 = 3 2, C 2 = 1 2.

Kwa kutumia nadharia ya Cauchy, tunayo hiyo

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Jibu: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.

Wakati kipengele cha kukokotoa f (x) kinawakilishwa kama bidhaa ya polinomia yenye shahada n na kipeo f (x) = P n (x) · e a x , basi tunapata kwamba suluhu fulani la mpangilio wa pili wa LPDE litakuwa mlinganyo wa umbo y ~ = e a x · Q n (x) · x γ, ambapo Q n (x) ni polynomial ya shahada ya nth, na r ni idadi ya mizizi ya mlingano wa tabia sawa na α.

Vigawo vya Q n (x) vinapatikana kwa usawa y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Mfano 2

Pata suluhisho la jumla kwa equation tofauti ya fomu y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .

Suluhisho

Mlinganyo mtazamo wa jumla y = y 0 + y ~ . Equation hapo juu inalingana na LOD y "" - 2 y " = 0. Kutoka kwa mfano uliopita inaweza kuonekana kuwa mizizi yake ni sawa. k 1 = 0 na k 2 = 2 na y 0 = C 1 + C 2 e 2 x kwa mlingano wa tabia.

Inaweza kuonekana kuwa upande wa kulia wa equation ni x 2 + 1 · e x . Kuanzia hapa LPDE inapatikana kupitia y ~ = e a x · Q n (x) · x γ, ambapo Q n (x) ni polynomial ya shahada ya pili, ambapo α = 1 na r = 0, kwa sababu equation tabia haina. kuwa na mzizi sawa na 1. Kutoka hapa tunapata hiyo

y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .

A, B, C ni viambajengo visivyojulikana vinavyoweza kupatikana kwa usawa y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x.

Nimeipata hiyo

y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

Tunalinganisha viashiria na coefficients sawa na kupata mfumo wa equations linear. Kuanzia hapa tunapata A, B, C:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

Jibu: ni wazi kwamba y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 ni suluhisho fulani la LNDDE, na y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - suluhisho la jumla kwa mpangilio wa pili wa usawa wa dif.

Wakati kipengele kimeandikwa kama f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x, na A 1 Na KATIKA 1 ni nambari, basi suluhu ya sehemu ya LPDE inachukuliwa kuwa mlinganyo wa fomu y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ, ambapo A na B huchukuliwa kuwa mgawo ambao haujabainishwa, na r ni nambari ya mizizi changamano inayohusiana na mlingano wa tabia, sawa na ± i β . Katika kesi hii, utafutaji wa coefficients unafanywa kwa kutumia usawa y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).

Mfano 3

Pata suluhisho la jumla kwa usawa wa tofauti wa fomu y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 dhambi (2 x) .

Suluhisho

Kabla ya kuandika equation ya tabia, tunapata y 0. Kisha

k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i, k 2 = - 2 i

Tuna jozi ya mizizi tata ya muunganisho. Wacha tubadilike na tupate:

y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 dhambi (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 dhambi (2 x)

Mizizi ya equation ya tabia inachukuliwa kuwa jozi ya conjugate ± 2 i, kisha f (x) = cos (2 x) + 3 dhambi (2 x). Hii inaonyesha kwamba utafutaji wa y ~ utafanywa kutoka y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Haijulikani Tutatafuta coefficients A na B kutoka kwa usawa wa fomu y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Wacha tubadilishe:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B dhambi (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B dhambi (2 x) y ~ "" = ((- 2 A dhambi (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B dhambi (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B dhambi (2 x)) x - 2 A dhambi (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A dhambi (2 x) + 2 B cos (2) x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B dhambi (2 x)) x - 4 A dhambi (2 x) + 4 B cos (2 x)

Kisha ni wazi kwamba

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 dhambi (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B dhambi (2 x)) x - 4 A dhambi (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B dhambi (2 x)) x = cos (2 x) + 3 dhambi (2 x) ⇔ - 4 A dhambi (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + dhambi 3 (2 x)

Ni muhimu kulinganisha coefficients ya sines na cosines. Tunapata mfumo wa fomu:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

Inafuata kwamba y ~ = (A cos (2 x) + B dhambi (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 dhambi (2 x) x.

Jibu: ufumbuzi wa jumla wa LDDE ya awali ya pili na coefficients mara kwa mara inachukuliwa

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 dhambi (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 dhambi (2 x) x

Wakati f (x) = e a x · P n (x) dhambi (β x) + Q k (x) cos (β x), basi y ~ = e a x · (L m (x) dhambi (β x) + N m (x) cos (β x) x γ. Tunayo kwamba r ni idadi ya jozi changamano changamano za mizizi inayohusiana na mlingano bainifu, sawa na α ± i β, ambapo P n (x), Q k (x), L m (x) na Nm(x) ni polynomials ya shahada n, k, m, m, wapi m = m a x (n, k). Kutafuta coefficients Lm(x) Na Nm(x) inafanywa kwa kuzingatia usawa y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Mfano 4

Pata suluhisho la jumla y "" + 3 y" + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) dhambi (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

Suluhisho

Kwa mujibu wa sharti ni wazi kuwa

α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1

Kisha m = m a x (n, k) = 1. Tunapata y 0 kwa kuandika kwanza mlingano wa tabia ya fomu:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

Tuligundua kuwa mizizi ni ya kweli na tofauti. Kwa hiyo y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. Ifuatayo, inahitajika kutafuta suluhisho la jumla kulingana na equation isiyo na usawa y ~ ya fomu.

y ~ = e α x (L m (x) dhambi (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) dhambi (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) dhambi (5 x))

Inajulikana kuwa A, B, C ni coefficients, r = 0, kwa sababu hakuna jozi ya mizizi ya conjugate inayohusiana na equation ya tabia na α ± i β = 3 ± 5 · i. Tunapata coefficients hizi kutoka kwa usawa unaotokana:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) dhambi (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) dhambi (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) dhambi (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) dhambi (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

Kutafuta derivative na masharti yanayofanana anatoa

E 3 x ((15 A + 23 C) x dhambi (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) dhambi (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · dhambi (5 x) + 45 · dhambi (5 x ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))

Baada ya kusawazisha coefficients, tunapata mfumo wa fomu

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

Kutoka kwa kila kitu kinafuata hiyo

y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) dhambi (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) dhambi (5 x))

Jibu: Sasa tumepata suluhisho la jumla kwa equation ya mstari iliyotolewa:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) dhambi (5 x))

Algorithm ya kutatua LDNU

Ufafanuzi 1

Aina nyingine yoyote ya kazi f (x) kwa suluhisho inahitaji kufuata algorithm ya suluhisho:

• kutafuta suluhu la jumla la mlinganyo unaolingana wa homogeneous, ambapo y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, ambapo y 1 Na y 2 ni suluhisho huru za sehemu za LODE, C 1 Na C 2 huchukuliwa kuwa viboreshaji vya kiholela;
• kupitishwa kama suluhisho la jumla la LNDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
• uamuzi wa derivatives ya chaguo za kukokotoa kupitia mfumo wa fomu C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 " (x ) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) , na kutafuta vitendaji C 1 (x) na C 2 (x) kupitia ushirikiano.

Mfano 5

Pata suluhisho la jumla kwa y "" + 36 y = 24 dhambi (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x.

Suluhisho

Tunaendelea kuandika equation ya tabia, tukiwa tumeandika hapo awali y 0, y "" + 36 y = 0. Wacha tuandike na tusuluhishe:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 dhambi (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = dhambi (6 x)

Tunayo kwamba suluhu ya jumla ya mlingano uliotolewa itaandikwa kama y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) . Ni muhimu kuendelea na ufafanuzi wa kazi za derivative C 1 (x) Na C2(x) kulingana na mfumo na equations:

C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · dhambi (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2" (x) · (dhambi (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) dhambi (6 x) = 0 C 1 " (x) (- dhambi 6 (6 x) + C 2 "(x) (6 cos (6 x)) = = 24 dhambi (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

Uamuzi unapaswa kufanywa kuhusu C 1" (x) Na C 2" (x) kwa kutumia mbinu yoyote. Kisha tunaandika:

C 1 " (x) = - 4 dhambi 2 (6 x) + 2 dhambi (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x dhambi (6 x) C 2 " (x) = dhambi 4 (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

Kila moja ya milinganyo lazima iunganishwe. Kisha tunaandika equations zinazosababisha:

C 1 (x) = 1 3 dhambi (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x dhambi ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 dhambi (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x dhambi (6 x) + C 4

Inafuata kwamba suluhisho la jumla litakuwa na fomu:

y = 1 3 dhambi (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x dhambi (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 dhambi (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x dhambi (6 x) + C 4 dhambi (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x dhambi (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 dhambi (6 x)

Jibu: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x dhambi (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 dhambi (6 x)

Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter