สูตรสร้างความแตกต่างมีไว้เพื่ออะไร? ค้นหาอนุพันธ์: อัลกอริทึมและตัวอย่างการแก้ปัญหา

ให้ฟังก์ชัน y = f(x) ถูกกำหนดในช่วงเวลา X อนุพันธ์ฟังก์ชัน y = f(x) ที่จุด x o เรียกว่าลิมิต

= .

หากเกินขีดจำกัดนี้ จำกัดจากนั้นจึงเรียกใช้ฟังก์ชัน f(x) ความแตกต่างที่จุด x โอ; ยิ่งกว่านั้น มันกลับกลายเป็นความจำเป็นและต่อเนื่อง ณ จุดนี้

ถ้าลิมิตที่พิจารณาเท่ากับ  (หรือ - ) แสดงว่าฟังก์ชันนั้นอยู่ที่จุด เอ็กซ์ โอต่อเนื่อง เราจะบอกว่าฟังก์ชัน f(x) มีอยู่ ณ จุดหนึ่ง เอ็กซ์ โอ อนุพันธ์อนันต์.

อนุพันธ์จะแสดงด้วยสัญลักษณ์

y , ฉ (x o), , .

การหาอนุพันธ์เรียกว่า ความแตกต่างฟังก์ชั่น. ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์คืออนุพันธ์คือความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง y=f(x) ณ จุดที่กำหนด เอ็กซ์ โอ ; ความรู้สึกทางกายภาพ -ว่าอนุพันธ์ของเส้นทางที่เกี่ยวกับเวลาคือ ความเร็วทันทีจุดขยับที่ การเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง s = s(t) ณ เวลา t o .

ถ้า กับ - จำนวนคงที่, และ u = u(x), v = v(x) เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ ดังนั้นกฎการหาอนุพันธ์ต่อไปนี้จึงถือ:

1) (ค) " = 0, (ลูกบาศ์ก) " = ลูกบาศ์ก";

2) (u+v)" = คุณ"+v";

3) (ยูวี)" \u003d u "v + v" u;

4) (u / v) "= (u" v-v "u) / v 2;

5) ถ้า y = f(u), u = (x), เช่น y = ฉ((x)) - ฟังก์ชันที่ซับซ้อนหรือ การซ้อนทับประกอบด้วยฟังก์ชันอนุพันธ์  และ f จากนั้น หรือ

6) ถ้าสำหรับฟังก์ชัน y = f(x) มีฟังก์ชันหาอนุพันธ์ผกผัน x = g(y) และ  0 อยู่ แล้ว

ตามนิยามของอนุพันธ์และกฎของความแตกต่าง เราสามารถรวบรวมรายการอนุพันธ์แบบตารางของฟังก์ชันมูลฐานเบื้องต้นได้

1. (u )" =  u  1 u" (  ร).

2. (a u)" = a u lna u".

3. (e u)" = eu u".

4. (log a u)" = u"/(u ln a).

5. (ln u)" = u"/u.

6. (sin u)" = cos u u".

7. (cos u)" = - บาป u u".

8. (tg u)" = 1/ cos 2 u u".

9. (ctg u)" = - u" / บาป 2 u.

10. (ส่วนโค้ง u)" = u" / .

11. (ส่วนโค้ง u)" = - u" / .

12. (โค้ง u)" = u"/(1 + u 2).

13. (arcctg u)" = - u"/(1 + u 2).

ให้เราคำนวณอนุพันธ์ของนิพจน์เลขชี้กำลัง y=u v , (u>0) โดยที่ ยูและ โวลต์สาระสำคัญของฟังก์ชัน เอ็กซ์มีอนุพันธ์ ณ จุดที่กำหนด ยู",วี".

ใช้ลอการิทึมของความเท่าเทียมกัน y=u v , เราได้ ln y = v ln u

การหาอนุพันธ์เทียบเคียงกับ เอ็กซ์จากทั้งสองส่วนของความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นโดยใช้กฎ 3, 5 และสูตรสำหรับอนุพันธ์ ฟังก์ชันลอการิทึม, จะมี:

y"/y = vu"/u + v" ln u ดังนั้น y" = y (vu"/u + v" ln u)

(u v)"=u v (vu"/u+v" บันทึก u), u > 0

ตัวอย่างเช่น ถ้า y \u003d x sin x ดังนั้น y" \u003d x sin x (sin x / x + cos x ln x)

ถ้าฟังก์ชัน y = f(x) หาอนุพันธ์ได้ ณ จุดหนึ่ง x, เช่น. มีอนุพันธ์จำกัด ณ จุดนี้ วาย"จากนั้น = y "+ โดยที่ 0 ที่ х 0; ดังนั้น  y = y" х +  x

ส่วนหลักของการเพิ่มฟังก์ชัน เชิงเส้นเทียบกับ x เรียกว่า ความแตกต่าง ฟังก์ชั่นและเขียนแทนด้วย dy: dy \u003d y "x ถ้าเราใส่ y \u003d x ในสูตรนี้ เราจะได้ dx \u003d x" x \u003d 1x \u003d x ดังนั้น dy \u003d y "dx, i.e., สัญลักษณ์สำหรับสัญกรณ์สำหรับอนุพันธ์สามารถคิดได้ว่าเป็นเศษส่วน

การเพิ่มฟังก์ชัน  ยคือส่วนเพิ่มของพิกัดของเส้นโค้ง และค่าดิฟเฟอเรนเชียล ง ยเป็นการเพิ่มพิกัดของแทนเจนต์

ให้เราหาฟังก์ชัน y=f(x) อนุพันธ์ของมัน y = f (x) อนุพันธ์ของอนุพันธ์นี้เรียกว่า อนุพันธ์อันดับสองฟังก์ชัน f(x) หรือ อนุพันธ์อันดับสองและแสดงว่า .

ต่อไปนี้ถูกกำหนดและแสดงในลักษณะเดียวกัน:

อนุพันธ์อันดับสาม - ,

อนุพันธ์อันดับสี่ -

และโดยทั่วไปแล้ว อนุพันธ์ลำดับที่ n - .

ตัวอย่างที่ 3.15. คำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=(3x 3 -2x+1)sin x

สารละลาย.ตามกฎข้อ 3 y"=(3x 3 -2x+1)"sin x + (3x 3 -2x+1)(sin x)" = = (9x 2 -2)sin x + (3x 3 -2x +1) cos x

ตัวอย่าง 3.16 . ค้นหา y", y = tg x +

สารละลาย.เมื่อใช้กฎสำหรับการแยกแยะผลรวมและผลหาร เราจะได้รับ: y"=(tgx + )" = (tgx)" + ()" = + = .

ตัวอย่างที่ 3.17. ค้นหาอนุพันธ์ ฟังก์ชันที่ซับซ้อน y= , u=x 4 +1

สารละลาย.ตามกฎของความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน เราได้รับ: y "x \u003d y " u u" x \u003d () " u (x 4 +1)" x \u003d (2u + เนื่องจาก u \u003d x 4 +1 แล้ว (2 x 4 + 2+ .

2. กฎพื้นฐานของความแตกต่าง

ถ้า กับเป็นจำนวนคงที่ และ u = u(x), v = v(x) เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ ดังนั้นกฎการหาอนุพันธ์ต่อไปนี้จึงถือ:

1) (ค) " = 0, (ลูกบาศ์ก) " = ลูกบาศ์ก";

2) (u+v)" = คุณ"+v";

3) (ยูวี)" \u003d u "v + v" u;

4) (u / v) "= (u" v-v "u) / v 2;

ตัวอย่างที่ 1ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. การใช้กฎ (5) และ (8) และสูตรความแตกต่าง (4) ฟังก์ชั่นพลังงานเราได้รับ

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. เราใช้กฎ (7) ในการแยกแยะผลิตภัณฑ์ จากนั้นเราจะหาอนุพันธ์ของปัจจัยในลักษณะเดียวกับตัวอย่างที่ 4 จากนั้นเราจะได้

ตัวอย่างที่ 3ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y =

สารละลาย. ขอให้เราใช้กฎ (10) ของความแตกต่างของผลหาร:

จากนั้น ตามด้านบน เราจะคำนวณอนุพันธ์ในตัวเศษ เรามี

ข้อความงาน:

ตัวเลือกที่ 1

1. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน .

2. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน .

ตรงจุดด้วย abscissa , .

ที

ตัวเลือก 2

1. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน .

2. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน .

3. เขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟของฟังก์ชัน ตรงจุดด้วย abscissa , .

4. จุดวัสดุเคลื่อนไหวตามกฎหมาย . จงหาความเร็วและความเร่ง ณ ช่วงเวลาหนึ่ง ที=5 วินาที (การกระจัดมีหน่วยวัดเป็นเมตร)

ตัวเลือก 3

1. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน .

2. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน .

3. เขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟของฟังก์ชัน ตรงจุดด้วย abscissa , .

4. สาระสำคัญเคลื่อนไหวตามกฎหมาย . จงหาความเร็วและความเร่ง ณ ช่วงเวลาหนึ่ง ที=5 วินาที (การกระจัดมีหน่วยวัดเป็นเมตร)

ตัวเลือก 4

1. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน .

2. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน .

3. เขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟของฟังก์ชัน ตรงจุดด้วย abscissa , .

ตัวเลือก 5

1. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน .

2. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน .

3. เขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟของฟังก์ชัน ตรงจุดด้วย abscissa , .

ตัวเลือก 6

1. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน .

2. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน .

3. เขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟของฟังก์ชัน ตรงจุดด้วย abscissa , .

งานจริง № 16

เรื่อง: การประยุกต์อนุพันธ์ในการศึกษาฟังก์ชันและการลงจุด

เป้าหมายของงาน: เพื่อรวบรวมความรู้และทักษะของนักเรียนในการเรียนรู้หัวข้อเพื่อสร้างทักษะในการใช้เครื่องมืออนุพันธ์

เหตุผลทางทฤษฎี:

รูปแบบการศึกษาฟังก์ชันและการสร้างกราฟ

I. ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน
ครั้งที่สอง ค้นหาจุดตัดของกราฟของฟังก์ชันด้วยแกนพิกัด
สาม. ค้นหาเส้นกำกับ
IV. ค้นหาจุดสูงสุดที่เป็นไปได้
V. ค้นหา จุดวิกฤต.
วี.ไอ. ใช้ภาพวาดเสริม ตรวจสอบสัญญาณของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง กำหนดพื้นที่ของการเพิ่มและลดของฟังก์ชัน จุดของ extrema
ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว สร้างกราฟโดยคำนึงถึงการศึกษาที่ดำเนินการในวรรค 1-6

หลักสูตรวิดีโอ "รับ A" รวมหัวข้อทั้งหมดที่จำเป็นสำหรับการประสบความสำเร็จ ผ่านการสอบในวิชาคณิตศาสตร์ 60-65 คะแนน ทำภารกิจทั้งหมด 1-13 ให้สำเร็จ การสอบโปรไฟล์คณิตศาสตร์. เหมาะสำหรับสอบผ่าน Basic USE ในวิชาคณิตศาสตร์ อยากสอบผ่าน 90-100 คะแนน ต้องแก้ตอนที่ 1 ให้เสร็จภายใน 30 นาที และไม่มีพลาด!

หลักสูตรเตรียมสอบสำหรับเกรด 10-11 เช่นเดียวกับครู ทุกสิ่งที่จำเป็นในการแก้ข้อสอบส่วนที่ 1 ในวิชาคณิตศาสตร์ (โจทย์ 12 ข้อแรก) และโจทย์ข้อ 13 (ตรีโกณมิติ) และนี่คือคะแนนมากกว่า 70 คะแนนในการสอบ Unified State และไม่มีนักเรียนร้อยคะแนนหรือนักมนุษยนิยมไม่สามารถทำได้หากไม่มีพวกเขา

ทฤษฎีที่จำเป็นทั้งหมด วิธีที่รวดเร็ววิธีแก้ปัญหา กับดัก และ ใช้ความลับ. งานที่เกี่ยวข้องทั้งหมดของส่วนที่ 1 จากงาน Bank of FIPI ได้รับการวิเคราะห์แล้ว หลักสูตรนี้เป็นไปตามข้อกำหนดของ USE-2018 อย่างครบถ้วน

หลักสูตรประกอบด้วย 5 หัวข้อใหญ่, ครั้งละ 2.5 ชม. แต่ละหัวข้อจะได้รับตั้งแต่เริ่มต้น เรียบง่ายและชัดเจน

งานสอบหลายร้อยงาน งานข้อความและทฤษฎีความน่าจะเป็น อัลกอริทึมการแก้ปัญหาที่เรียบง่ายและง่ายต่อการจดจำ เรขาคณิต. ทฤษฎี, วัสดุอ้างอิงการวิเคราะห์งาน USE ทุกประเภท สามมิติ วิธีแก้เคล็ด เคล็ดลับที่เป็นประโยชน์ การพัฒนา จินตนาการเชิงพื้นที่. ตรีโกณมิติตั้งแต่เริ่มต้น - ไปจนถึงงานที่ 13 ทำความเข้าใจแทนการยัดเยียด คำอธิบายภาพของแนวคิดที่ซับซ้อน พีชคณิต. ราก กำลังและลอการิทึม ฟังก์ชันและอนุพันธ์ ฐานสำหรับการแก้ปัญหา งานที่ท้าทายข้อสอบ2ส่วน.

ความแตกต่างคือการคำนวณอนุพันธ์

1. สูตรการสร้างความแตกต่าง

สูตรความแตกต่างหลักอยู่ในตาราง พวกเขาไม่ต้องเจาะลึก เมื่อเข้าใจรูปแบบบางอย่างแล้ว คุณจะสามารถสรุปรูปแบบอื่นๆ ได้อย่างอิสระจากสูตรบางสูตร

1) เริ่มต้นด้วยสูตร (k x+ ม.)' = กิโล
กรณีเฉพาะคือสูตร x′ = 1 และ C′ = 0

ในฟังก์ชันใดๆ ในรูป y = kx + m อนุพันธ์คือ ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมเค

เช่น กำหนดให้ฟังก์ชัน y = 2 เอ็กซ์+ 4. อนุพันธ์ ณ จุดใดๆ จะเท่ากับ 2:

(2 x + 4)' = 2 .

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ที่ = 9 เอ็กซ์+ 5 ที่จุดใดๆ เท่ากับ 9 . เป็นต้น

และหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y \u003d 5 กัน เอ็กซ์. ในการทำเช่นนี้ ลองนึกภาพ 5 เอ็กซ์ในแบบ (5 เอ็กซ์+ 0). เราได้การแสดงออกที่คล้ายกับก่อนหน้านี้ วิธี:

(5เอ็กซ์)' = (5 เอ็กซ์+ 0)' = 5.

สุดท้ายมาหาคำตอบกันว่าคืออะไร x′.
ลองใช้เทคนิคจากตัวอย่างที่แล้ว: จินตนาการ เอ็กซ์เป็น 1 เอ็กซ์+ 0 จากนั้นเราจะได้:

x′ = (1 เอ็กซ์+ 0)' = 1.

ดังนั้นเราจึงได้รับสูตรจากตาราง:

(0 · x+ ม.)' = 0.

แต่กลายเป็นว่า m′ เท่ากับ 0 เช่นกัน ให้ m = C โดยที่ C เป็นค่าคงที่ตามอำเภอใจ จากนั้นเราก็มาถึงความจริงอีกอย่าง: อนุพันธ์ของค่าคงที่เท่ากับศูนย์ นั่นคือเราได้สูตรอื่นจากตาราง