ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ตั้งชื่อลำดับของตัวเลข (สมาชิกของความก้าวหน้า)

ซึ่งแต่ละเทอมต่อมาจะแตกต่างจากเทอมก่อนหน้าด้วยคำศัพท์เหล็กซึ่งเรียกอีกอย่างว่า ความแตกต่างของขั้นตอนหรือความก้าวหน้า.

ดังนั้น ด้วยการกำหนดขั้นตอนของความก้าวหน้าและเทอมแรก คุณสามารถค้นหาองค์ประกอบใดๆ ของมันได้โดยใช้สูตร

คุณสมบัติของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

1) สมาชิกแต่ละคนของการก้าวหน้าเลขคณิตเริ่มจากเลขตัวที่สองคือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสมาชิกรายก่อนหน้าและรายถัดไปของการก้าวหน้า

การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน หากค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสมาชิกคี่ (คู่) ที่อยู่ใกล้เคียงของการก้าวหน้าเท่ากับสมาชิกที่อยู่ระหว่างสมาชิกเหล่านั้น ลำดับของตัวเลขนี้ก็คือความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ด้วยการยืนยันนี้ มันง่ายมากที่จะตรวจสอบลำดับใดๆ

นอกจากนี้ ด้วยคุณสมบัติของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ สูตรข้างต้นสามารถสรุปได้ดังต่อไปนี้

วิธีนี้ง่ายต่อการตรวจสอบว่าเราเขียนพจน์ทางด้านขวาของเครื่องหมายเท่ากับหรือไม่

มักใช้ในทางปฏิบัติเพื่อลดความซับซ้อนในการคำนวณปัญหา

2) ผลรวมของสมาชิก n ตัวแรกของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คำนวณโดยสูตร

โปรดจำไว้ว่าสูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นสิ่งที่ขาดไม่ได้ในการคำนวณและเป็นเรื่องปกติในสถานการณ์ชีวิตที่เรียบง่าย

3) หากคุณต้องการค้นหาไม่ใช่ผลรวมทั้งหมด แต่เป็นส่วนหนึ่งของลำดับที่เริ่มต้นจากสมาชิกที่ k -th สูตรผลรวมต่อไปนี้จะมีประโยชน์สำหรับคุณ

4) เป็นที่สนใจในทางปฏิบัติที่จะหาผลรวมของสมาชิก n ตัวของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์โดยเริ่มจากเลข k เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้สูตร

นี่คือจุดที่เนื้อหาทางทฤษฎีสิ้นสุดลง และเรามุ่งหน้าสู่การแก้ปัญหาที่พบบ่อยในทางปฏิบัติ

ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาเทอมที่สี่สิบของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ 4;7;...

สารละลาย:

ตามเงื่อนไขเราก็มี

กำหนดขั้นตอนความก้าวหน้า

ตามสูตรที่รู้จักกันดี เราพบระยะที่สี่สิบของความก้าวหน้า

ตัวอย่างที่ 2 ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กำหนดโดยสมาชิกคนที่สามและเจ็ด ค้นหาเทอมแรกของความก้าวหน้าและผลรวมของสิบ

สารละลาย:

เราเขียนองค์ประกอบที่กำหนดของความก้าวหน้าตามสูตร

เราลบสมการแรกออกจากสมการที่สอง ดังนั้นเราจึงพบขั้นตอนการก้าวหน้า

ค่าที่พบจะถูกแทนที่ลงในสมการใดๆ เพื่อค้นหาเทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

คำนวณผลรวมของเงื่อนไขสิบข้อแรกของความก้าวหน้า

เราพบค่าที่ต้องการทั้งหมดโดยไม่ต้องใช้การคำนวณที่ซับซ้อน

ตัวอย่างที่ 3 การก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กำหนดโดยตัวส่วนและสมาชิกคนหนึ่ง ค้นหาเทอมแรกของความก้าวหน้า ผลรวมของ 50 เทอมที่เริ่มต้นจาก 50 และผลรวมของ 100 เทอมแรก

สารละลาย:

มาเขียนสูตรองค์ประกอบที่ร้อยของความก้าวหน้ากัน

และค้นหาสิ่งแรก

จากข้อแรก เราจะพบระยะที่ 50 ของความก้าวหน้า

การหาผลรวมของส่วนของความก้าวหน้า

และผลรวมของ 100 ตัวแรก

ผลรวมของความก้าวหน้าคือ 250

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาจำนวนสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์หาก:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111

สารละลาย:

เราเขียนสมการในแง่ของเทอมแรกและขั้นตอนของความก้าวหน้าและนิยามพวกมัน

เราแทนค่าที่ได้รับลงในสูตรผลรวมเพื่อกำหนดจำนวนสมาชิกในผลรวม

ทำให้ง่ายขึ้น

และแก้สมการกำลังสอง

จากทั้งสองค่าที่พบ มีเพียงหมายเลข 8 เท่านั้นที่เหมาะกับสภาพของปัญหา ดังนั้นผลรวมของแปดเทอมแรกของการก้าวหน้าคือ 111

ตัวอย่างที่ 5

แก้สมการ

1+3+5+...+x=307.

วิธีแก้: สมการนี้คือผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เราเขียนเทอมแรกออกมาและค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้า

เครื่องคิดเลขออนไลน์
วิธีแก้ปัญหาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
ให้ไว้: n , d, n
ค้นหา: 1

โปรแกรมคณิตศาสตร์นี้ค้นหา \(a_1\) ของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์โดยอิงจากตัวเลขที่ผู้ใช้ระบุ \(a_n, d \) และ \(n \)
ตัวเลข \(a_n\) และ \(d \) สามารถระบุได้ไม่เพียงแต่เป็นจำนวนเต็ม แต่ยังเป็นเศษส่วนด้วย นอกจากนี้ ตัวเลขเศษส่วนสามารถป้อนเป็นเศษส่วนทศนิยม (\(2.5 \)) และเศษส่วนสามัญ (\(-5\frac(2)(7) \))

โปรแกรมไม่เพียงแต่ให้คำตอบสำหรับปัญหาเท่านั้น แต่ยังแสดงกระบวนการค้นหาวิธีแก้ไขอีกด้วย

เครื่องคิดเลขออนไลน์นี้มีประโยชน์สำหรับนักเรียนมัธยมปลายในการเตรียมตัวสอบ การทดสอบความรู้ก่อนการสอบ Unified State และสำหรับผู้ปกครองในการควบคุมการแก้ปัญหาต่างๆ ในวิชาคณิตศาสตร์และพีชคณิต หรืออาจจะแพงเกินไปสำหรับคุณที่จะจ้างครูสอนพิเศษหรือซื้อตำราเรียนใหม่? หรือคุณเพียงต้องการทำการบ้านคณิตศาสตร์หรือพีชคณิตให้เสร็จโดยเร็วที่สุด? ในกรณีนี้ คุณสามารถใช้โปรแกรมของเราพร้อมกับวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดได้

ด้วยวิธีนี้ คุณสามารถดำเนินการฝึกอบรมของตนเองและ/หรือฝึกอบรมน้องชายหรือน้องสาวของคุณได้ ในขณะที่ระดับการศึกษาในด้านงานที่ต้องแก้ไขก็เพิ่มขึ้น

หากคุณไม่คุ้นเคยกับกฎการป้อนตัวเลข เราขอแนะนำให้คุณทำความคุ้นเคยกับกฎเหล่านั้น

กฎสำหรับการป้อนตัวเลข

ตัวเลข \(a_n\) และ \(d \) สามารถระบุได้ไม่เพียงแต่เป็นจำนวนเต็ม แต่ยังเป็นเศษส่วนด้วย
จำนวน \(n\) ต้องเป็นจำนวนเต็มบวกเท่านั้น

กฎสำหรับการป้อนเศษส่วนทศนิยม
ส่วนจำนวนเต็มและเศษส่วนในเศษส่วนทศนิยมสามารถคั่นด้วยจุดหรือลูกน้ำ
ตัวอย่างเช่น คุณสามารถป้อนทศนิยมเช่น 2.5 หรือเช่น 2.5

กฎการป้อนเศษส่วนสามัญ
มีเพียงจำนวนเต็มเท่านั้นที่สามารถทำหน้าที่เป็นทั้งเศษ ตัวส่วน และจำนวนเต็มของเศษส่วนได้

ตัวส่วนไม่สามารถเป็นลบได้

เมื่อป้อนเศษส่วนตัวเลข ตัวเศษจะถูกแยกออกจากตัวส่วนด้วยเครื่องหมายหาร: /
ป้อนข้อมูล:
ผลลัพธ์: \(-\frac(2)(3) \)

ส่วนจำนวนเต็มจะถูกแยกออกจากเศษส่วนด้วยเครื่องหมายแอมเพอร์แซนด์: &
ป้อนข้อมูล:
ผลลัพธ์: \(-1\frac(2)(3) \)

ป้อนตัวเลข a n , d, n

หา 1

พบว่าไม่ได้โหลดสคริปต์บางตัวที่จำเป็นในการแก้ปัญหานี้ และโปรแกรมอาจไม่ทำงาน
คุณอาจเปิดใช้งาน AdBlock ไว้
ในกรณีนี้ ให้ปิดการใช้งานและรีเฟรชเพจ

คุณได้ปิดการใช้งาน JavaScript ในเบราว์เซอร์ของคุณ
ต้องเปิดใช้งาน JavaScript เพื่อให้โซลูชันปรากฏขึ้น
ต่อไปนี้เป็นคำแนะนำเกี่ยวกับวิธีเปิดใช้งาน JavaScript ในเบราว์เซอร์ของคุณ

เพราะ มีคนจำนวนมากที่ต้องการแก้ไขปัญหา คำขอของคุณอยู่ในคิว
หลังจากผ่านไปไม่กี่วินาที วิธีแก้ไขจะปรากฏด้านล่าง
โปรดรอ วินาที...

ถ้าคุณ สังเกตเห็นข้อผิดพลาดในการแก้ปัญหาจากนั้นคุณสามารถเขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้ในแบบฟอร์มคำติชม
อย่าลืม ระบุว่างานใดคุณตัดสินใจว่าอะไร เข้าไปในทุ่งนา.

เกม ปริศนา อีมูเลเตอร์ของเรา:

ทฤษฎีนิดหน่อย

ลำดับตัวเลข

ในทางปฏิบัติในชีวิตประจำวัน การเรียงลำดับวัตถุต่างๆ มักใช้เพื่อระบุลำดับที่อยู่ของสิ่งของเหล่านั้น ตัวอย่างเช่น บ้านในแต่ละถนนจะมีหมายเลขกำกับอยู่ ในห้องสมุด การสมัครรับข้อมูลของผู้อ่านจะถูกกำหนดหมายเลขและจัดเรียงตามลำดับหมายเลขที่กำหนดในตู้เก็บเอกสารแบบพิเศษ

ในธนาคารออมสินตามหมายเลขบัญชีส่วนตัวของผู้ฝากคุณสามารถค้นหาบัญชีนี้ได้อย่างง่ายดายและดูว่ามีเงินฝากประเภทใด ให้มีเงินฝาก a1 รูเบิลในบัญชีหมายเลข 1, เงินฝาก a2 รูเบิลในบัญชีหมายเลข 2 เป็นต้น ปรากฎว่า ลำดับตัวเลข
ก 1 , 2 , 3 , ... , เอ็น
โดยที่ N คือจำนวนบัญชีทั้งหมด ในที่นี้ จำนวนธรรมชาติแต่ละตัว n ตั้งแต่ 1 ถึง N จะถูกกำหนดให้เป็นตัวเลข a n

คณิตศาสตร์ก็เรียนด้วย ลำดับจำนวนอนันต์:
ก 1 , 2 , 3 , ... , n , ... .
เรียกเลข 1 ครับ สมาชิกตัวแรกของลำดับ, หมายเลข 2 - สมาชิกคนที่สองของลำดับ, หมายเลข 3 - สมาชิกตัวที่สามของลำดับฯลฯ
เรียกหมายเลข a n สมาชิกของลำดับที่ n (nth)และจำนวนธรรมชาติ n คือจำนวนของมัน ตัวเลข.

ตัวอย่างเช่น ในลำดับกำลังสองของจำนวนธรรมชาติ 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , (n + 1) 2 , ... และ 1 = 1 เป็นสมาชิกตัวแรกของลำดับ และ n = n 2 เป็นสมาชิกตัวที่ n ของลำดับ n+1 = (n + 1) 2 คือสมาชิก (n + 1)th (en บวกตัวแรก) ของลำดับ บ่อยครั้งที่ลำดับสามารถระบุได้ด้วยสูตรของเทอมที่ n ตัวอย่างเช่น สูตร \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) ให้ลำดับ \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ความยาวหนึ่งปีคือประมาณ 365 วัน ค่าที่แม่นยำกว่าคือ \(365\frac(1)(4) \) วัน ดังนั้นทุก ๆ สี่ปี จะมีการสะสมข้อผิดพลาดหนึ่งวัน

เพื่ออธิบายข้อผิดพลาดนี้ จะมีการเพิ่มวันในทุก ๆ ปีที่สี่ และปีที่ขยายออกไปเรียกว่าปีอธิกสุรทิน

ตัวอย่างเช่น ในสหัสวรรษที่สาม ปีอธิกสุรทินคือปี 2004, 2008, 2012, 2016, ... .

ในลำดับนี้ สมาชิกแต่ละคนเริ่มจากตัวที่สองจะเท่ากับตัวก่อนหน้าบวกด้วยเลข 4 เท่ากัน ลำดับดังกล่าวเรียกว่า ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์.

คำนิยาม.
ลำดับตัวเลข a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... เรียกว่า ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถ้าโดยธรรมชาติแล้วมีความเสมอภาคกัน
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
โดยที่ d คือตัวเลขจำนวนหนึ่ง

จากสูตรนี้ จะได้ว่า n+1 - a n = d ตัวเลข d เรียกว่าผลต่าง ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์.

ตามคำจำกัดความของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เรามี:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
ที่ไหน
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \) โดยที่ \(n>1 \)

ดังนั้น สมาชิกแต่ละคนของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เริ่มจากวินาที จะเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสมาชิกทั้งสองที่อยู่ติดกัน สิ่งนี้อธิบายความก้าวหน้าของชื่อ "เลขคณิต"

โปรดทราบว่าหากให้ 1 และ d เงื่อนไขที่เหลือของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรวนซ้ำ a n+1 = a n + d ด้วยวิธีนี้ การคำนวณสองสามเงื่อนไขแรกของความก้าวหน้าก็ไม่ใช่เรื่องยาก อย่างไรก็ตาม ตัวอย่างเช่น สำหรับ 100 จะต้องคำนวณจำนวนมากอยู่แล้ว โดยปกติจะใช้สูตรเทอมที่ n สำหรับสิ่งนี้ ตามคำจำกัดความของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d\)
ฯลฯ
เลย
\(a_n=a_1+(n-1)ง, \)
เนื่องจากสมาชิกตัวที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้มาจากสมาชิกตัวแรกโดยการบวก (n-1) คูณด้วยตัวเลข d
สูตรนี้มีชื่อว่า สูตรของสมาชิกตัวที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์.

ผลรวมของเทอม n แรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ลองหาผลรวมของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดตั้งแต่ 1 ถึง 100
เราเขียนผลรวมนี้ในสองวิธี:
S = ล. + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
ส = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1
เราเพิ่มความเท่าเทียมกันเหล่านี้ทีละเทอม:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101
ผลรวมนี้มี 100 พจน์
ดังนั้น 2S = 101 * 100 โดยที่ S = 101 * 50 = 5050

ตอนนี้ให้พิจารณาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ตามอำเภอใจ
1 , 2 , 3 , ... , n , ...
ให้ S n เป็นผลรวมของเทอม n แรกของความก้าวหน้านี้:
S n \u003d a 1, 2, 3, ..., a n
แล้ว ผลรวมของเทอม n แรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คือ
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

เนื่องจาก \(a_n=a_1+(n-1)d \) จากนั้นแทนที่ n ในสูตรนี้ เราจะได้สูตรอื่นสำหรับการค้นหา ผลรวมของเทอม n แรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

หนังสือ (หนังสือเรียน) บทคัดย่อของการสอบ Unified State และการทดสอบ OGE ออนไลน์ เกมปริศนา กราฟของฟังก์ชั่น พจนานุกรมตัวสะกดของภาษารัสเซีย พจนานุกรมคำสแลงเยาวชน แคตตาล็อกของโรงเรียนรัสเซีย แคตตาล็อกของโรงเรียนมัธยมในรัสเซีย แคตตาล็อกของมหาวิทยาลัยในรัสเซีย รายชื่องาน

ตัวอย่างเช่น ลำดับ \(2\); \(5\); \(5\); \(8\); \(8\); \(สิบเอ็ด\); \(14\)… เป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เนื่องจากแต่ละองค์ประกอบถัดไปแตกต่างจากองค์ประกอบก่อนหน้าด้วยสาม (สามารถหาได้จากองค์ประกอบก่อนหน้าโดยการบวกสาม):

ในความก้าวหน้านี้ ผลต่าง \(d\) เป็นบวก (เท่ากับ \(3\)) และดังนั้น แต่ละเทอมถัดไปจึงมากกว่าเทอมก่อนหน้า ความก้าวหน้าดังกล่าวเรียกว่า เพิ่มขึ้น.

อย่างไรก็ตาม \(d\) อาจเป็นจำนวนลบก็ได้ ตัวอย่างเช่นในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ \(16\); \(10\); \(10\); \(4\); \(4\); \(-2\); \(-2\); \(-8\)… ผลต่างความก้าวหน้า \(d\) เท่ากับลบ 6

และในกรณีนี้ แต่ละองค์ประกอบถัดไปจะน้อยกว่าองค์ประกอบก่อนหน้า ความก้าวหน้าเหล่านี้เรียกว่า ลดลง.

สัญกรณ์ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ความก้าวหน้าจะแสดงด้วยอักษรละตินตัวเล็ก

ตัวเลขที่ก่อให้เกิดความก้าวหน้าเรียกว่ามัน สมาชิก(หรือองค์ประกอบ)

จะแสดงด้วยตัวอักษรเดียวกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ แต่มีดัชนีตัวเลขเท่ากับหมายเลของค์ประกอบตามลำดับ

ตัวอย่างเช่น ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) ประกอบด้วยองค์ประกอบ \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) และอื่นๆ

กล่าวอีกนัยหนึ่ง สำหรับความก้าวหน้า \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

การแก้ปัญหาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

โดยหลักการแล้ว ข้อมูลข้างต้นเพียงพอที่จะแก้ปัญหาเกือบทุกปัญหาเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (รวมถึงปัญหาที่นำเสนอที่ OGE ด้วย)

ตัวอย่าง (OGE) ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดโดยเงื่อนไข \(b_1=7; d=4\) ค้นหา \(b_5\)
สารละลาย:

คำตอบ: \(b_5=23\)

ตัวอย่าง (OGE) เทอมสามแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดไว้: \(62; 49; 36…\) จงหาค่าของเทอมลบแรกของความก้าวหน้านี้..
สารละลาย:

	เราได้รับองค์ประกอบแรกของลำดับและรู้ว่ามันคือความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ นั่นคือแต่ละองค์ประกอบแตกต่างจากเพื่อนบ้านด้วยจำนวนเดียวกัน ค้นหาว่าอันไหนโดยการลบอันก่อนหน้าออกจากสมาชิกถัดไป: \(d=49-62=-13\)
	ตอนนี้เราสามารถฟื้นฟูความก้าวหน้าของเราไปสู่องค์ประกอบที่ต้องการ (ลบแรก) ได้
	พร้อม. คุณสามารถเขียนคำตอบได้

คำตอบ: \(-3\)

ตัวอย่าง (OGE) มีการระบุองค์ประกอบที่ต่อเนื่องกันหลายรายการของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์: \(...5; x; 10; 12.5...\) ค้นหาค่าขององค์ประกอบที่แสดงด้วยตัวอักษร \(x\)
สารละลาย:

	ในการค้นหา \(x\) เราจำเป็นต้องรู้ว่าองค์ประกอบถัดไปแตกต่างจากองค์ประกอบก่อนหน้ามากเพียงใด กล่าวคือ ความแตกต่างของความก้าวหน้า ลองค้นหาจากองค์ประกอบใกล้เคียงสององค์ประกอบที่รู้จัก: \(d=12.5-10=2.5\)
	และตอนนี้เราพบสิ่งที่เรากำลังมองหาโดยไม่มีปัญหา: \(x=5+2.5=7.5\)
	พร้อม. คุณสามารถเขียนคำตอบได้

คำตอบ: \(7,5\).

ตัวอย่าง (OGE) ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กำหนดไว้ตามเงื่อนไขต่อไปนี้: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) จงหาผลรวมของหกเทอมแรกของความก้าวหน้านี้
สารละลาย:

	เราจำเป็นต้องหาผลรวมของหกเทอมแรกของความก้าวหน้า แต่เราไม่ทราบความหมาย เราได้รับเพียงองค์ประกอบแรกเท่านั้น ดังนั้นเราจึงคำนวณค่าตามลำดับก่อนอื่นโดยใช้ค่าที่กำหนดให้เรา: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) และเมื่อคำนวณองค์ประกอบทั้งหกที่เราต้องการแล้ว เราก็จะพบผลรวมของมัน
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	พบจำนวนเงินที่ร้องขอแล้ว

คำตอบ: \(S_6=9\).

ตัวอย่าง (OGE) ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\) ค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้านี้
สารละลาย:

คำตอบ: \(ง=7\).

สูตรความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญ

อย่างที่คุณเห็น ปัญหาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จำนวนมากสามารถแก้ไขได้โดยการทำความเข้าใจสิ่งสำคัญ - ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นั้นเป็นสายโซ่ของตัวเลข และแต่ละองค์ประกอบถัดไปในสายโซ่นี้ได้มาโดยการเพิ่มหมายเลขเดียวกันเข้ากับองค์ประกอบก่อนหน้า (ความแตกต่าง ของความก้าวหน้า)

อย่างไรก็ตามบางครั้งมีสถานการณ์ที่ไม่สะดวกอย่างยิ่งที่จะแก้ไข "ที่หน้าผาก" ตัวอย่างเช่น ลองจินตนาการว่าในตัวอย่างแรก เราจะต้องค้นหาไม่ใช่องค์ประกอบที่ห้า \(b_5\) แต่เป็นองค์ประกอบที่สามร้อยแปดสิบหก \(b_(386)\) ได้อะไร เรา \ (385 \) คูณสี่? หรือจินตนาการว่าในตัวอย่างสุดท้าย คุณต้องหาผลรวมขององค์ประกอบเจ็ดสิบสามตัวแรก การนับเป็นเรื่องที่น่าสับสน...

ดังนั้นในกรณีเช่นนี้ พวกเขาไม่ได้แก้ "ที่หน้าผาก" แต่ใช้สูตรพิเศษที่ได้มาจากความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ และหลักๆ คือสูตรสำหรับเทอมที่ n ของการก้าวหน้าและสูตรสำหรับผลรวม \(n\) ของเทอมแรก

สูตรสำหรับสมาชิกลำดับที่ \(n\): \(a_n=a_1+(n-1)d\) โดยที่ \(a_1\) เป็นสมาชิกคนแรกของความก้าวหน้า
\(n\) – จำนวนขององค์ประกอบที่ต้องการ;
\(a_n\) เป็นสมาชิกของความก้าวหน้าที่มีหมายเลข \(n\)

สูตรนี้ช่วยให้เราค้นหาองค์ประกอบที่สามในร้อยเป็นอย่างน้อยได้อย่างรวดเร็ว แม้แต่องค์ประกอบที่ล้าน โดยรู้เฉพาะความแตกต่างแรกและความก้าวหน้าเท่านั้น

ตัวอย่าง. ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กำหนดไว้ตามเงื่อนไข: \(b_1=-159\); \(ง=8,2\) ค้นหา \(b_(246)\)
สารละลาย:

คำตอบ: \(b_(246)=1850\)

สูตรสำหรับผลรวมของ n เทอมแรกคือ: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\) โดยที่

\(a_n\) เป็นคำที่สรุปผลสุดท้าย

ตัวอย่าง (OGE) ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดโดยเงื่อนไข \(a_n=3.4n-0.6\) หาผลรวมของพจน์ \(25\) แรกของความก้าวหน้านี้
สารละลาย:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		ในการคำนวณผลรวมขององค์ประกอบยี่สิบห้าตัวแรก เราจำเป็นต้องทราบค่าของเทอมแรกและเทอมที่ยี่สิบห้า ความก้าวหน้าของเราได้มาจากสูตรของเทอมที่ n ขึ้นอยู่กับจำนวน (ดูรายละเอียด) มาคำนวณองค์ประกอบแรกด้วยการแทนที่ \(n\) ด้วยองค์ประกอบหนึ่ง
\(n=1;\) \(a_1=3.4 1-0.6=2.8\)		ทีนี้ ลองหาเทอมที่ยี่สิบห้าโดยการแทนที่ยี่สิบห้าแทน \(n\)
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4 25-0.6=84.4\)		ตอนนี้เราคำนวณจำนวนเงินที่ต้องการโดยไม่มีปัญหาใด ๆ
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		คำตอบพร้อมแล้ว

คำตอบ: \(S_(25)=1,090\)

สำหรับผลรวม \(n\) ของเทอมแรก คุณสามารถได้สูตรอื่น: คุณเพียงแค่ต้อง \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) แทน \(a_n\) แทนที่สูตรของมัน \(a_n=a_1+(n-1)d\) เราได้รับ:

สูตรสำหรับผลรวมของ n เทอมแรกคือ: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) โดยที่

\(S_n\) – ผลรวมที่ต้องการ \(n\) ขององค์ประกอบแรก
\(a_1\) เป็นพจน์แรกที่จะนำมารวมกัน
\(d\) – ความต่างของความก้าวหน้า;
\(n\) - จำนวนองค์ประกอบในผลรวม

ตัวอย่าง. ค้นหาผลรวมของพจน์ \(33\)-ex แรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์: \(17\); \(15,5\); \(15,5\); \(14\)…
สารละลาย:

คำตอบ: \(S_(33)=-231\)

ปัญหาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่ยากขึ้น

ตอนนี้คุณมีข้อมูลทั้งหมดที่จำเป็นในการแก้ปัญหาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เกือบทุกอย่างแล้ว มาจบหัวข้อโดยคำนึงถึงปัญหาที่คุณไม่เพียงแต่ต้องใช้สูตรเท่านั้น แต่ยังต้องคิดอีกนิดหน่อย (ในวิชาคณิตศาสตร์นี่มีประโยชน์ได้ ☺)

ตัวอย่าง (OGE) หาผลรวมของพจน์ที่เป็นลบของการก้าวหน้า: \(-19.3\); \(-19\); \(-19\); \(-18.7\)…
สารละลาย:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		งานนี้คล้ายกับงานก่อนหน้ามาก เราเริ่มแก้ด้วยวิธีเดียวกัน ก่อนอื่นเราหา \(d\)
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		ตอนนี้เราจะแทน \(d\) ลงในสูตรเพื่อหาผลรวม ... และมีความแตกต่างเล็กๆ น้อยๆ ปรากฏขึ้น - เราไม่รู้ \(n\) กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราไม่ทราบว่าจะต้องเพิ่มคำศัพท์จำนวนเท่าใด จะทราบได้อย่างไร? ลองคิดดู เราจะหยุดเพิ่มองค์ประกอบเมื่อเราไปถึงองค์ประกอบบวกตัวแรก นั่นคือคุณต้องค้นหาจำนวนองค์ประกอบนี้ ยังไง? มาเขียนสูตรสำหรับคำนวณองค์ประกอบใดๆ ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์: \(a_n=a_1+(n-1)d\) สำหรับกรณีของเรา
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1) 0.3\)		เราต้องการให้ \(a_n\) มากกว่าศูนย์ มาดูกันว่า \(n\) สิ่งนี้จะเกิดขึ้นอย่างไร
\(-19.3+(n-1) 0.3>0\)
\((n-1) 0.3>19.3\) \(|:0.3\)		เราหารอสมการทั้งสองด้านด้วย \(0,3\)
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		เราโอนลบหนึ่งไม่ลืมเปลี่ยนป้าย
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		คอมพิวเตอร์...
\(n>65,333…\)		…และปรากฎว่าองค์ประกอบบวกตัวแรกจะมีตัวเลข \(66\) ดังนั้น ค่าลบสุดท้ายจึงมี \(n=65\) ในกรณีที่เรามาดูกัน
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1) 0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1) 0.3=0.2\)		ดังนั้น เราจำเป็นต้องเพิ่มองค์ประกอบแรก \(65\)
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		คำตอบพร้อมแล้ว

คำตอบ: \(S_(65)=-630.5\)

ตัวอย่าง (OGE) ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กำหนดไว้ตามเงื่อนไข: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\) ค้นหาผลรวมจากองค์ประกอบ \(26\)th ถึง \(42\)
สารละลาย:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	ในปัญหานี้ คุณต้องค้นหาผลรวมขององค์ประกอบด้วย แต่ไม่ได้เริ่มจากองค์ประกอบแรก แต่เริ่มจาก \(26\)th เราไม่มีสูตรสำหรับสิ่งนี้ จะตัดสินใจอย่างไร? ง่าย - หากต้องการหาผลรวมจาก \(26\)th ถึง \(42\)th คุณต้องหาผลรวมจาก \(1\)th ถึง \(42\)th ก่อน แล้วจึงลบออกด้วยผลรวมจาก อันแรกถึง \ (25 \) th (ดูรูป)
	สำหรับความก้าวหน้าของเรา \(a_1=-33\) และความแตกต่าง \(d=4\) (ท้ายที่สุดแล้ว เราบวกสี่เข้าไปในองค์ประกอบก่อนหน้าเพื่อค้นหาองค์ประกอบถัดไป) เมื่อรู้เช่นนี้ เราจะหาผลรวมขององค์ประกอบ \(42\)-uh ตัวแรกได้
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	ตอนนี้ผลรวมขององค์ประกอบแรก \(25\)-th
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	และสุดท้าย เราก็คำนวณคำตอบ
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

คำตอบ: \(ส=1683\).

สำหรับการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ มีสูตรอีกหลายสูตรที่เราไม่ได้พิจารณาในบทความนี้ เนื่องจากมีประโยชน์ในทางปฏิบัติต่ำ อย่างไรก็ตาม คุณสามารถค้นหาได้อย่างง่ายดาย

ก่อนที่เราจะเริ่มตัดสินใจ ปัญหาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ให้พิจารณาว่าลำดับตัวเลขคืออะไร เนื่องจากการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นกรณีพิเศษของลำดับตัวเลข

ลำดับตัวเลขคือชุดตัวเลข ซึ่งแต่ละองค์ประกอบมีหมายเลขซีเรียลของตัวเอง. องค์ประกอบของเซตนี้เรียกว่าสมาชิกของลำดับ เลขลำดับขององค์ประกอบลำดับถูกระบุโดยดัชนี:

องค์ประกอบแรกของลำดับ

องค์ประกอบที่ห้าของลำดับ

- องค์ประกอบ "n" ของลำดับ เช่น องค์ประกอบ "ยืนอยู่ในคิว" ที่หมายเลข n

มีการขึ้นต่อกันระหว่างค่าขององค์ประกอบลำดับและเลขลำดับ ดังนั้นเราจึงสามารถพิจารณาลำดับเป็นฟังก์ชันที่มีอาร์กิวเมนต์เป็นเลขลำดับขององค์ประกอบของลำดับได้ กล่าวอีกนัยหนึ่งอาจกล่าวได้ว่า ลำดับเป็นฟังก์ชันของการโต้แย้งตามธรรมชาติ:

ลำดับสามารถระบุได้สามวิธี:

1 . ลำดับสามารถระบุได้โดยใช้ตารางในกรณีนี้ เราเพียงแค่ตั้งค่าของสมาชิกแต่ละตัวในลำดับ

ตัวอย่างเช่น มีคนตัดสินใจจัดการเวลาส่วนตัว และเริ่มต้นด้วยการคำนวณว่าเขาใช้เวลากับ VKontakte เท่าใดในระหว่างสัปดาห์ โดยการเขียนเวลาลงในตาราง เขาจะได้ลำดับที่ประกอบด้วยองค์ประกอบเจ็ดประการ:

บรรทัดแรกของตารางประกอบด้วยหมายเลขวันในสัปดาห์ บรรทัดที่สองคือเวลาเป็นนาที เราเห็นว่านั่นคือในวันจันทร์มีคนใช้เวลา 125 นาทีบน VKontakte นั่นคือในวันพฤหัสบดี - 248 นาทีและนั่นคือในวันศุกร์เพียง 15 นาที

2 . ลำดับสามารถระบุได้โดยใช้สูตรสมาชิกที่ n

ในกรณีนี้ การขึ้นต่อกันของค่าขององค์ประกอบลำดับกับหมายเลขจะแสดงเป็นสูตรโดยตรง

ตัวอย่างเช่น ถ้า แล้ว

ในการค้นหาค่าขององค์ประกอบลำดับด้วยตัวเลขที่กำหนด เราจะแทนที่หมายเลของค์ประกอบลงในสูตรสำหรับสมาชิกตัวที่ n

เราทำเช่นเดียวกันหากเราต้องการค้นหาค่าของฟังก์ชันหากทราบค่าของอาร์กิวเมนต์ เราแทนที่ค่าของอาร์กิวเมนต์แทนในสมการของฟังก์ชัน:

ตัวอย่างเช่น หาก , ที่

ฉันทราบอีกครั้งว่าในลำดับ ตรงกันข้ามกับฟังก์ชันตัวเลขใดๆ มีเพียงจำนวนธรรมชาติเท่านั้นที่สามารถเป็นอาร์กิวเมนต์ได้

3 . ลำดับสามารถระบุได้โดยใช้สูตรที่แสดงการขึ้นต่อกันของค่าของสมาชิกของลำดับด้วยหมายเลข n กับค่าของสมาชิกก่อนหน้า ในกรณีนี้ การรู้เพียงจำนวนสมาชิกของลำดับเพียงอย่างเดียวนั้นไม่เพียงพอสำหรับการค้นหาค่าของมัน เราจำเป็นต้องระบุสมาชิกตัวแรกหรือสมาชิกสองสามตัวแรกของลำดับ

ตัวอย่างเช่น พิจารณาลำดับ ,

เราสามารถค้นหาค่าของสมาชิกของลำดับได้ ในลำดับเริ่มจากตัวที่สาม:

นั่นคือ แต่ละครั้งเพื่อค้นหาค่าของสมาชิกตัวที่ n ของลำดับ เราจะกลับไปหาสองตัวก่อนหน้า วิธีการเรียงลำดับนี้เรียกว่า กำเริบมาจากคำภาษาละติน เกิดขึ้นอีก- กลับมา.

ตอนนี้เราสามารถกำหนดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้แล้ว ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นกรณีพิเศษอย่างง่ายของลำดับตัวเลข

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เรียกว่าลำดับตัวเลข ซึ่งสมาชิกแต่ละตัวเริ่มจากตัวที่สองจะเท่ากับลำดับก่อนหน้าบวกด้วยตัวเลขเดียวกัน

เบอร์นั้นเรียกว่า ความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์. ความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์อาจเป็นค่าบวก ลบ หรือศูนย์

ถ้า title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} เพิ่มขึ้น.

ตัวอย่างเช่น 2; 5; 8; สิบเอ็ด;...

ถ้า แล้วแต่ละเทอมของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จะน้อยกว่าเทอมก่อนหน้า และความก้าวหน้าก็คือ จางหายไป.

ตัวอย่างเช่น 2; -1; -4; -7;...

ถ้า แล้วสมาชิกทั้งหมดของความก้าวหน้าจะเท่ากับจำนวนเดียวกัน และความก้าวหน้าก็เท่ากับ เครื่องเขียน.

ตัวอย่างเช่น 2;2;2;2;...

คุณสมบัติหลักของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:

เรามาดูรูปกันดีกว่า

เราเห็นสิ่งนั้น

และในเวลาเดียวกัน

เมื่อเพิ่มความเท่าเทียมกันทั้งสองนี้ เราจะได้:

.

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 2:

ดังนั้น สมาชิกแต่ละคนของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เริ่มจากวินาที จะเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสองตัวที่อยู่ติดกัน:

อีกทั้งเพราะว่า

และในเวลาเดียวกัน

, ที่

และด้วยเหตุนี้

สมาชิกแต่ละคนของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่ขึ้นต้นด้วย title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

สูตรสมาชิก

เราเห็นว่าสำหรับสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ มีความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้:

และในที่สุดก็

เราได้รับ สูตรของเทอมที่ n

สำคัญ!สมาชิกใดๆ ของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถแสดงในรูปของ และ เมื่อทราบเทอมแรกและความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ คุณจะพบสมาชิกคนใดก็ได้

ผลรวมของสมาชิก n ตัวของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ตามอำเภอใจ ผลรวมของพจน์ที่มีระยะห่างเท่ากันจากขั้วสุดขั้วจะเท่ากัน:

พิจารณาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีสมาชิก n ตัว ให้ผลรวมของสมาชิก n ตัวของความก้าวหน้านี้เท่ากับ

จัดเรียงเงื่อนไขของความก้าวหน้าก่อนตามลำดับตัวเลขจากน้อยไปหามาก จากนั้นเรียงลำดับจากมากไปน้อย:

มาจับคู่กัน:

ผลรวมในแต่ละวงเล็บคือ จำนวนคู่คือ n

เราได้รับ:

ดังนั้น, ผลรวมของสมาชิก n ตัวของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถพบได้โดยใช้สูตร:

พิจารณา การแก้ปัญหาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์.

1 . ลำดับได้มาจากสูตรของเทอมที่ n: . พิสูจน์ว่าลำดับนี้เป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ให้เราพิสูจน์ว่าความแตกต่างระหว่างสมาชิกสองตัวที่อยู่ติดกันของลำดับนั้นเท่ากับจำนวนเดียวกัน

เราพบว่าผลต่างของสมาชิกสองตัวที่อยู่ติดกันในลำดับไม่ได้ขึ้นอยู่กับจำนวนและเป็นค่าคงที่ ดังนั้น ตามคำนิยามแล้ว ลำดับนี้จึงเป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

2 . เมื่อพิจารณาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ -31; -27;...

ก) ค้นหาเงื่อนไข 31 ข้อของความก้าวหน้า

b) พิจารณาว่าหมายเลข 41 รวมอยู่ในความก้าวหน้านี้หรือไม่

ก)เราเห็นแล้วว่า;

ลองเขียนสูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าของเรากัน

โดยทั่วไปแล้ว

ในกรณีของเรา นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไม

เราได้รับ:

ข)สมมติว่าหมายเลข 41 เป็นสมาชิกของลำดับ มาหาเบอร์เขากันเถอะ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะแก้สมการ:

เราได้ค่าธรรมชาติเป็น n ดังนั้น ใช่ เลข 41 เป็นสมาชิกของการก้าวหน้า ถ้าค่าที่พบของ n ไม่ใช่จำนวนธรรมชาติ เราก็จะตอบว่าเลข 41 ไม่ใช่สมาชิกของความก้าวหน้า

3 . ก) ระหว่างตัวเลข 2 และ 8 ให้ใส่ตัวเลข 4 ตัวเข้าด้วยกันจนรวมกับตัวเลขที่กำหนด ก่อให้เกิดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

b) ค้นหาผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าที่เกิดขึ้น

ก)ใส่ตัวเลขสี่ตัวระหว่างตัวเลข 2 ถึง 8:

เรามีความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ซึ่งมี 6 เทอม

เรามาค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้านี้กัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราใช้สูตรสำหรับเทอมที่ n:

ตอนนี้การค้นหาค่าของตัวเลขเป็นเรื่องง่าย:

3,2; 4,4; 5,6; 6,8

ข)

คำตอบ: ก) ใช่; ข) 30

4. รถบรรทุกขนส่งเศษหินจำนวน 1 ชุดซึ่งมีน้ำหนัก 240 ตัน ทำให้อัตราการขนส่งต่อวันเพิ่มขึ้นเป็นจำนวนตันเท่าเดิม เป็นที่ทราบกันดีว่ามีการขนส่งเศษหิน 2 ตันในวันแรก กำหนดจำนวนหินบดที่ถูกขนส่งในวันที่ 12 หากงานทั้งหมดแล้วเสร็จภายใน 15 วัน

ตามเงื่อนไขของปัญหา ปริมาณเศษหินที่รถบรรทุกขนส่งเพิ่มขึ้นทุกวันด้วยจำนวนเท่าเดิม ดังนั้นเราจึงกำลังเผชิญกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

เรากำหนดปัญหานี้ในแง่ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ในวันแรก มีการขนส่งหินบดจำนวน 2 ตัน: a_1=2

งานทั้งหมดแล้วเสร็จใน 15 วัน: .

รถบรรทุกขนหินบดจำนวน 240 ตัน:

เราจำเป็นต้องค้นหา.

ก่อนอื่น เรามาค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้ากันก่อน ลองใช้สูตรสำหรับผลรวมของสมาชิก n ตัวของความก้าวหน้า

ในกรณีของเรา:

ถ้าเป็นจำนวนธรรมชาติทุกจำนวน n จับคู่จำนวนจริง หนึ่ง แล้วพวกเขาก็บอกว่าได้รับ ลำดับหมายเลข :

ก 1 , ก 2 , ก 3 , . . . , หนึ่ง , . . . .

ดังนั้นลำดับตัวเลขจึงเป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ตามธรรมชาติ

ตัวเลข ก 1 เรียกว่า สมาชิกตัวแรกของลำดับ , ตัวเลข ก 2 — สมาชิกคนที่สองของลำดับ , ตัวเลข ก 3 — ที่สาม และอื่น ๆ ตัวเลข หนึ่ง เรียกว่า สมาชิกคนที่ n ของลำดับ และจำนวนธรรมชาติ n — หมายเลขของเขา .

จากสมาชิกสองคนที่อยู่ติดกัน หนึ่ง และ หนึ่ง +1 ลำดับสมาชิก หนึ่ง +1 เรียกว่า ภายหลัง (ต่อ หนึ่ง ), ก หนึ่ง — ก่อนหน้า (ต่อ หนึ่ง +1 ).

ในการระบุลำดับ คุณต้องระบุวิธีที่ช่วยให้คุณค้นหาสมาชิกของลำดับด้วยตัวเลขใดก็ได้

มักจะให้ลำดับด้วย สูตรเทอมที่ n นั่นคือสูตรที่ให้คุณกำหนดสมาชิกลำดับตามหมายเลขของมันได้

ตัวอย่างเช่น,

สูตรสามารถกำหนดลำดับของเลขคี่บวกได้

หนึ่ง= 2ไม่มี 1,

และลำดับการสลับกัน 1 และ -1 - สูตร

ข n = (-1)n +1 . ◄

สามารถกำหนดลำดับได้ สูตรเกิดซ้ำ, นั่นคือ สูตรที่แสดงสมาชิกใดๆ ของลำดับ โดยเริ่มจากบางส่วน จนถึงสมาชิกก่อนหน้า (หนึ่งตัวหรือมากกว่า)

ตัวอย่างเช่น,

ถ้า ก 1 = 1 , ก หนึ่ง +1 = หนึ่ง + 5

ก 1 = 1,

ก 2 = ก 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

ก 3 = ก 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

ก 4 = ก 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

ก 5 = ก 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

ถ้า 1= 1, 2 = 1, หนึ่ง +2 = หนึ่ง + หนึ่ง +1 , จากนั้นสมาชิกเจ็ดตัวแรกของลำดับตัวเลขจะถูกตั้งค่าดังนี้:

1 = 1,

2 = 1,

3 = 1 + 2 = 1 + 1 = 2,

4 = 2 + 3 = 1 + 2 = 3,

5 = 3 + 4 = 2 + 3 = 5,

ก 6 = ก 4 + ก 5 = 3 + 5 = 8,

ก 7 = ก 5 + ก 6 = 5 + 8 = 13. ◄

ลำดับได้ สุดท้าย และ ไม่มีที่สิ้นสุด .

ลำดับที่เรียกว่า สุดยอด ถ้ามีจำนวนสมาชิกจำกัด ลำดับที่เรียกว่า ไม่มีที่สิ้นสุด ถ้ามีสมาชิกมากมายไม่สิ้นสุด

ตัวอย่างเช่น,

ลำดับของจำนวนธรรมชาติสองหลัก:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

สุดท้าย.

ลำดับจำนวนเฉพาะ:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

ไม่มีที่สิ้นสุด ◄

ลำดับที่เรียกว่า เพิ่มขึ้น ถ้าสมาชิกแต่ละคนเริ่มตั้งแต่ตัวที่สองมากกว่าสมาชิกก่อนหน้า

ลำดับที่เรียกว่า จางหายไป ถ้าสมาชิกแต่ละคนเริ่มตั้งแต่ตัวที่สองน้อยกว่าสมาชิกก่อนหน้า

ตัวอย่างเช่น,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . เป็นลำดับจากน้อยไปมาก

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . เป็นลำดับจากมากไปน้อย ◄

ลำดับที่องค์ประกอบไม่ลดลงตามจำนวนที่เพิ่มขึ้นหรือในทางกลับกันไม่เพิ่มขึ้นเรียกว่า ลำดับที่ซ้ำซากจำเจ .

โดยเฉพาะอย่างยิ่งลำดับแบบโมโนโทนิกคือลำดับที่เพิ่มขึ้นและลำดับที่ลดลง

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ลำดับถูกเรียก สมาชิกแต่ละคนซึ่งเริ่มจากวินาที มีค่าเท่ากับลำดับก่อนหน้า ซึ่งมีการเพิ่มหมายเลขเดียวกันเข้าไป

ก 1 , ก 2 , ก 3 , . . . , หนึ่ง, . . .

คือความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์หากเป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ n ตรงตามเงื่อนไข:

หนึ่ง +1 = หนึ่ง + ง,

ที่ไหน ง - ตัวเลขบางตัว

ดังนั้นความแตกต่างระหว่างสมาชิกถัดไปและสมาชิกก่อนหน้าของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดจึงเป็นค่าคงที่เสมอ:

2 - ก 1 = 3 - ก 2 = . . . = หนึ่ง +1 - หนึ่ง = ง.

ตัวเลข ง เรียกว่า ความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์.

หากต้องการกำหนดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ก็เพียงพอที่จะระบุเทอมแรกและผลต่าง

ตัวอย่างเช่น,

ถ้า ก 1 = 3, ง = 4 จากนั้นจะพบคำศัพท์ห้าคำแรกของลำดับดังนี้:

1 =3,

2 = 1 + ง = 3 + 4 = 7,

3 = 2 + ง= 7 + 4 = 11,

4 = 3 + ง= 11 + 4 = 15,

ก 5 = ก 4 + ง= 15 + 4 = 19. ◄

สำหรับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กับเทอมแรก ก 1 และความแตกต่าง ง ของเธอ n

หนึ่ง = 1 + (n- 1)ง.

ตัวอย่างเช่น,

ค้นหาระยะที่สามสิบของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

1, 4, 7, 10, . . .

1 =1, ง = 3,

30 = 1 + (30 - 1)ง= 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = 1 + (n- 2)ง,

หนึ่ง= 1 + (n- 1)ง,

หนึ่ง +1 = ก 1 + nd,

เห็นได้ชัดว่า

หนึ่ง=	n-1 + n+1
	2

สมาชิกแต่ละคนของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เริ่มจากวินาทีจะเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสมาชิกก่อนหน้าและสมาชิกลำดับถัดๆ ไป

จำนวน a, b และ c เป็นสมาชิกที่ต่อเนื่องกันของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์บางอย่าง ถ้าหากหนึ่งในจำนวนนั้นเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอีกสองตัวที่เหลือ

ตัวอย่างเช่น,

หนึ่ง = 2n- 7 เป็นการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ลองใช้ข้อความข้างต้น เรามี:

หนึ่ง = 2n- 7,

n-1 = 2(ไม่มี 1) - 7 = 2n- 9,

n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

เพราะฉะนั้น,

n+1 + n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = หนึ่ง,
2		2

◄

โปรดทราบว่า n -สมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถพบได้ไม่เพียงแต่ผ่าน ก 1 แต่ยังรวมถึงก่อนหน้านี้ด้วย เค

หนึ่ง = เค + (n- เค)ง.

ตัวอย่างเช่น,

สำหรับ ก 5 สามารถเขียนได้

5 = 1 + 4ง,

5 = 2 + 3ง,

5 = 3 + 2ง,

5 = 4 + ง. ◄

หนึ่ง = ไม่เป็นไร + เคดี,

หนึ่ง = เอ็น+เค - เคดี,

เห็นได้ชัดว่า

หนึ่ง=	ก นะเค + ก ไม่มี+เค
	2

สมาชิกใดๆ ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ โดยเริ่มจากวินาที จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นี้ โดยมีระยะห่างเท่ากัน

นอกจากนี้ สำหรับการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ใดๆ ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง:

a m + a n = a k + a l,

ม. + n = k + ล.

ตัวอย่างเช่น,

ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

1) ก 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ก 9 + ก 11 )/2;

2) 28 = 10 = 3 + 7ง= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (ก 7 + 13)/2;

4) 2 + 12 = 5 + 9, เพราะ

ก 2 + 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

ส= ก 1 + ก 2 + ก 3 + . .+ หนึ่ง,

อันดับแรก n สมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เท่ากับผลคูณของผลรวมของพจน์สุดขีดครึ่งหนึ่งด้วยจำนวนเทอม:

จากนี้โดยเฉพาะจะตามมาว่าหากจำเป็นต้องสรุปข้อกำหนด

เค, เค +1 , . . . , หนึ่ง,

ดังนั้นสูตรก่อนหน้านี้จะคงโครงสร้างไว้:

ตัวอย่างเช่น,

ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

ส 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = ส 10 - ส 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

ถ้าให้ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์แล้ว ปริมาณ ก 1 , หนึ่ง, ง, nและส n เชื่อมโยงกันด้วยสองสูตร:

ดังนั้นหากให้ค่าของสามปริมาณเหล่านี้ ค่าที่สอดคล้องกันของปริมาณอีกสองปริมาณจะถูกกำหนดจากสูตรเหล่านี้รวมกันเป็นระบบสมการสองสมการที่ไม่ทราบค่าสองตัว

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นลำดับที่ซ้ำซากจำเจ โดยที่:

• ถ้า ง > 0 แล้วมันก็เพิ่มขึ้น;
• ถ้า ง < 0 แล้วมันก็ลดลง;
• ถ้า ง = 0 จากนั้นลำดับก็จะหยุดนิ่ง

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ลำดับถูกเรียก แต่ละเทอมซึ่งเริ่มจากวินาที มีค่าเท่ากับเทอมก่อนหน้า คูณด้วยตัวเลขเดียวกัน

ข 1 , ข 2 , ข 3 , . . . , บีเอ็น, . . .

คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตหากเป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ n ตรงตามเงื่อนไข:

บีเอ็น +1 = บีเอ็น · ถาม,

ที่ไหน ถาม ≠ 0 - ตัวเลขบางตัว

ดังนั้น อัตราส่วนของเทอมถัดไปของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนี้ต่อเทอมก่อนหน้าจึงเป็นจำนวนคงที่:

ข 2 / ข 1 = ข 3 / ข 2 = . . . = บีเอ็น +1 / บีเอ็น = ถาม.

ตัวเลข ถาม เรียกว่า ตัวหารของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต.

ในการกำหนดความก้าวหน้าทางเรขาคณิต การระบุเทอมแรกและตัวส่วนก็เพียงพอแล้ว

ตัวอย่างเช่น,

ถ้า ข 1 = 1, ถาม = -3 จากนั้นจะพบคำศัพท์ห้าคำแรกของลำดับดังนี้:

ข 1 = 1,

ข 2 = ข 1 · ถาม = 1 · (-3) = -3,

ข 3 = ข 2 · ถาม= -3 · (-3) = 9,

ข 4 = ข 3 · ถาม= 9 · (-3) = -27,

ข 5 = ข 4 · ถาม= -27 · (-3) = 81. ◄

ข 1 และตัวส่วน ถาม ของเธอ n - เทอมที่สามสามารถพบได้โดยสูตร:

บีเอ็น = ข 1 · คำถาม -1 .

ตัวอย่างเช่น,

หาเทอมที่เจ็ดของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต 1, 2, 4, . . .

ข 1 = 1, ถาม = 2,

ข 7 = ข 1 · ถาม 6 = 1 2 6 = 64. ◄

บีเอ็น-1 = ข 1 · คำถาม -2 ,

บีเอ็น = ข 1 · คำถาม -1 ,

บีเอ็น +1 = ข 1 · คำถาม,

เห็นได้ชัดว่า

บีเอ็น 2 = บีเอ็น -1 · บีเอ็น +1 ,

สมาชิกแต่ละคนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเริ่มต้นจากวินาทีจะเท่ากับค่าเฉลี่ยเรขาคณิต (สัดส่วน) ของสมาชิกก่อนหน้าและสมาชิกที่ตามมา

เนื่องจากการสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน การยืนยันต่อไปนี้จึงถือเป็น:

ตัวเลข a, b และ c เป็นสมาชิกที่ต่อเนื่องกันของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ถ้าหากกำลังสองของหนึ่งในนั้นเท่ากับผลคูณของอีกสองจำนวนที่เหลือ นั่นคือ ตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งคือค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของอีกสองตัว

ตัวอย่างเช่น,

ให้เราพิสูจน์ว่าลำดับที่กำหนดโดยสูตร บีเอ็น= -3 2 n คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ลองใช้ข้อความข้างต้น เรามี:

บีเอ็น= -3 2 n,

บีเอ็น -1 = -3 2 n -1 ,

บีเอ็น +1 = -3 2 n +1 .

เพราะฉะนั้น,

บีเอ็น 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = บีเอ็น -1 · บีเอ็น +1 ,

ซึ่งพิสูจน์การยืนยันที่จำเป็น ◄

โปรดทราบว่า n เทอมที่ 3 ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสามารถพบได้ไม่เพียงแต่ผ่านทางเท่านั้น ข 1 แต่ยังรวมถึงคำก่อนหน้าด้วย ข ซึ่งก็เพียงพอแล้วที่จะใช้สูตรนี้

บีเอ็น = ข · คำถาม - เค.

ตัวอย่างเช่น,

สำหรับ ข 5 สามารถเขียนได้

ข 5 = ข 1 · ถาม 4 ,

ข 5 = ข 2 · คำถามที่ 3,

ข 5 = ข 3 · ไตรมาสที่ 2,

ข 5 = ข 4 · ถาม. ◄

บีเอ็น = ข · คำถาม - เค,

บีเอ็น = บีเอ็น - เค · คิวเค,

เห็นได้ชัดว่า

บีเอ็น 2 = บีเอ็น - เค· บีเอ็น + เค

กำลังสองของสมาชิกใดๆ ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต โดยเริ่มจากวินาทีนั้น จะเท่ากับผลคูณของสมาชิกของความก้าวหน้านี้ซึ่งมีระยะห่างเท่ากัน

นอกจากนี้ สำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตใดๆ ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง:

ข ม· บีเอ็น= ข· ข,

ม+ n= เค+ ล.

ตัวอย่างเช่น,

ชี้แจง

1) ข 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ข 5 · ข 7 ;

2) 1024 = ข 11 = ข 6 · ถาม 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) ข 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ข 4 · ข 8 ;

4) ข 2 · ข 7 = ข 4 · ข 5 , เพราะ

ข 2 · ข 7 = 2 · 64 = 128,

ข 4 · ข 5 = 8 · 16 = 128. ◄

ส= ข 1 + ข 2 + ข 3 + . . . + บีเอ็น

อันดับแรก n เงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีตัวส่วน ถาม ≠ 0 คำนวณโดยสูตร:

และเมื่อ ถาม = 1 - ตามสูตร

ส= ไม่มี 1

โปรดทราบว่าหากเราต้องสรุปเงื่อนไข

ข, ข +1 , . . . , บีเอ็น,

จากนั้นจึงใช้สูตร:

ส- เอสเค -1 = ข + ข +1 + . . . + บีเอ็น = ข ·	1 - คำถาม - เค +1	.
	1 - ถาม

ตัวอย่างเช่น,

ชี้แจง 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

ส 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = ส 10 - ส 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

ถ้าให้ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต แสดงว่าปริมาณ ข 1 , บีเอ็น, ถาม, nและ ส เชื่อมโยงกันด้วยสองสูตร:

ดังนั้นหากให้ค่าของสามปริมาณใด ๆ เหล่านี้ ค่าที่สอดคล้องกันของปริมาณอีกสองปริมาณจะถูกกำหนดจากสูตรเหล่านี้รวมกันเป็นระบบสมการสองสมการที่ไม่ทราบค่าสองตัว

สำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตกับเทอมแรก ข 1 และตัวส่วน ถาม สิ่งต่อไปนี้เกิดขึ้น คุณสมบัติน่าเบื่อ :

• ความก้าวหน้าจะเพิ่มขึ้นหากตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:

ข 1 > 0 และ ถาม> 1;

ข 1 < 0 และ 0 < ถาม< 1;

• ความก้าวหน้าจะลดลงหากตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:

ข 1 > 0 และ 0 < ถาม< 1;

ข 1 < 0 และ ถาม> 1.

ถ้า ถาม< 0 จากนั้นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะมีการสลับสัญญาณ: เทอมที่เป็นเลขคี่จะมีเครื่องหมายเดียวกันกับเทอมแรก และเทอมที่เป็นเลขคู่จะมีเครื่องหมายตรงกันข้าม เห็นได้ชัดว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแบบสลับกันนั้นไม่ใช่เรื่องซ้ำซากจำเจ

สินค้าชิ้นแรก n เงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสามารถคำนวณได้จากสูตร:

พี= ข 1 · ข 2 · ข 3 · . . . · บีเอ็น = (ข 1 · บีเอ็น) n / 2 .

ตัวอย่างเช่น,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

ลดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอย่างไม่สิ้นสุด

ลดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอย่างไม่สิ้นสุด เรียกว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอนันต์ซึ่งมีโมดูลัสตัวส่วนน้อยกว่า 1 , นั่นคือ

|ถาม| < 1 .

โปรดทราบว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดอาจไม่ใช่ลำดับที่ลดลง เรื่องนี้เข้าข่ายพอดี

1 < ถาม< 0 .

ด้วยตัวส่วนดังกล่าว ลำดับจึงสลับสัญญาณกัน ตัวอย่างเช่น,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

ผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด ตั้งชื่อหมายเลขที่ผลรวมของตัวแรก n เงื่อนไขความก้าวหน้าโดยเพิ่มจำนวนได้ไม่จำกัด n . จำนวนนี้มีจำกัดเสมอและแสดงเป็นสูตร

ส= ข 1 + ข 2 + ข 3 + . . . =	ข 1	.
	1 - ถาม

ตัวอย่างเช่น,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

ความสัมพันธ์ระหว่างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และเรขาคณิต

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และเรขาคณิตมีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด ลองพิจารณาเพียงสองตัวอย่าง

ก 1 , ก 2 , ก 3 , . . . ง , ที่

ข 1 , ข 2 , ข 3 , . . . ข d .

ตัวอย่างเช่น,

1, 3, 5, . . . — ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีความแตกต่าง 2 และ

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีตัวส่วน 7 2 . ◄

ข 1 , ข 2 , ข 3 , . . . คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีตัวส่วน ถาม , ที่

เข้าสู่ระบบ ข 1, เข้าสู่ระบบ ข 2, เข้าสู่ระบบ ข 3, . . . — ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีความแตกต่าง เข้าสู่ระบบถาม .

ตัวอย่างเช่น,

2, 12, 72, . . . คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีตัวส่วน 6 และ

แอลจี 2, แอลจี 12, แอลจี 72, . . . — ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีความแตกต่าง แอลจี 6 . ◄