จำนวนเชิงซ้อน. การยกกำลังจำนวนเชิงซ้อน

จำ ข้อมูลที่จำเป็นเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อนเป็นการแสดงออกของรูปแบบ ก + ไบ, ที่ไหน ก, ข - จำนวนจริง, ก ผม- เรียกว่า หน่วยจินตภาพสัญลักษณ์ที่มีกำลังสองคือ -1 เช่น ผม 2 = -1. ตัวเลข กเรียกว่า ส่วนจริงและหมายเลข ข - ส่วนจินตภาพจำนวนเชิงซ้อน ซี = ก + ไบ. ถ้า ก ข= 0 แล้วแทน ก + 0ผมเขียนง่ายๆ ก. จะเห็นได้ว่าเป็นจำนวนจริง กรณีพิเศษ จำนวนเชิงซ้อน.

การดำเนินการทางเลขคณิตของจำนวนเชิงซ้อนจะเหมือนกับจำนวนจริง: สามารถบวก ลบ คูณ และหารกันได้ การบวกและการลบดำเนินการตามกฎ ( ก + ไบ) ± ( ค + ดิ) = (ก ± ค) + (ข ± ง)ผม, และการคูณ - ตามกฎ ( ก + ไบ) · ( ค + ดิ) = (ไฟฟ้ากระแสสลับ – bd) + (โฆษณา + พ.ศ)ผม(ในที่นี้ใช้เพียงว่า ผม 2 = -1). จำนวน = ก – ไบเรียกว่า คอนจูเกตที่ซับซ้อนถึง ซี = ก + ไบ. ความเท่าเทียมกัน ซี · = ก 2 + ข 2 ช่วยให้คุณเข้าใจวิธีหารจำนวนเชิงซ้อนหนึ่งด้วยจำนวนเชิงซ้อน (ที่ไม่ใช่ศูนย์) อีกจำนวนหนึ่ง:

(ตัวอย่างเช่น, .)

จำนวนที่ซับซ้อนมีความสะดวกและมองเห็นได้ การแสดงทางเรขาคณิต: ตัวเลข ซี = ก + ไบสามารถแสดงเป็นเวกเตอร์ที่มีพิกัด ( ก; ข) บน เครื่องบินคาร์ทีเซียน(หรือจุดซึ่งเกือบจะเหมือนกันคือจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ที่มีพิกัดเหล่านี้) ในกรณีนี้ ผลรวมของจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวนจะแสดงเป็นผลรวมของเวกเตอร์ที่สอดคล้องกัน (ซึ่งหาได้จากกฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน) โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส ความยาวของเวกเตอร์ที่มีพิกัด ( ก; ข) เท่ากับ . ค่านี้เรียกว่า โมดูลจำนวนเชิงซ้อน ซี = ก + ไบและแสดงโดย | ซี|. เรียกว่ามุมที่เวกเตอร์นี้ทำกับทิศทางบวกของแกน x (นับทวนเข็มนาฬิกา) การโต้แย้งจำนวนเชิงซ้อน ซีและแสดงโดย Arg ซี. อาร์กิวเมนต์ไม่ได้กำหนดไว้เฉพาะ แต่จะขึ้นอยู่กับการเพิ่มทวีคูณของ 2 เท่านั้น π เรเดียน (หรือ 360° ถ้าคุณนับเป็นองศา) เป็นที่ชัดเจนว่าการหมุนผ่านมุมดังกล่าวรอบจุดกำเนิดจะไม่เปลี่ยนเวกเตอร์ แต่ถ้าเวกเตอร์ของความยาว รสร้างมุม φ ด้วยทิศทางบวกของแกน x ดังนั้นพิกัดจะเท่ากับ ( รเพราะ φ ; รบาป φ ). ดังนั้นมันจึงปรากฏออกมา สัญกรณ์ตรีโกณมิติจำนวนเชิงซ้อน: ซี = |ซี| (cos(หาเรื่อง ซี) + ผมบาป (หาเรื่อง ซี)). การเขียนตัวเลขที่ซับซ้อนในแบบฟอร์มนี้มักจะสะดวก เพราะจะทำให้การคำนวณง่ายขึ้นมาก การคูณจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติดูง่ายมาก: ซีหนึ่ง · ซี 2 = |ซี 1 | · | ซี 2 | (cos(หาเรื่อง ซี 1+หาเรื่อง ซี 2) + ผมบาป (หาเรื่อง ซี 1+หาเรื่อง ซี 2)) (เมื่อคูณจำนวนเชิงซ้อนสองตัว มอดูลีของพวกมันจะถูกคูณและเพิ่มอาร์กิวเมนต์) จากที่นี่ติดตาม สูตรเดอมัวร์: z n = |ซี|น(คอส( น(หาเรื่อง ซี)) + ผมบาป( น(หาเรื่อง ซี))). ด้วยความช่วยเหลือของสูตรเหล่านี้ มันเป็นเรื่องง่ายที่จะเรียนรู้วิธีแยกรากของระดับใดๆ ออกจากตัวเลขเชิงซ้อน ราก ระดับที่ nจากหมายเลข zเป็นจำนวนเชิงซ้อน ว, อะไร ว = ซี. เป็นที่ชัดเจนว่า , และที่ไหน เคสามารถรับค่าใดก็ได้จากชุด (0, 1, ..., น- หนึ่ง). ซึ่งหมายความว่ามีอยู่เสมอ นราก นระดับ th จากจำนวนเชิงซ้อน (บนระนาบจะอยู่ที่จุดยอดของปกติ น-กอน).

§หนึ่ง. จำนวนเชิงซ้อน

1°. คำนิยาม. สัญกรณ์เกี่ยวกับพีชคณิต

คำจำกัดความ 1. จำนวนเชิงซ้อนเรียกว่า จำนวนจริงคู่อันดับ และ หากมีการนิยามแนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกันสำหรับพวกเขา การดำเนินการของการบวกและการคูณที่เป็นไปตามสัจพจน์ต่อไปนี้:

1) ตัวเลขสองตัว
และ
เท่ากัน ก็ต่อเมื่อ
,
, เช่น.

2) ผลรวมของจำนวนเชิงซ้อน
และ

และเท่าเทียมกัน
, เช่น.

3) ผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน
และ
หมายเลขนั้นถูกเรียก
และเท่าเทียมกันเช่น

เซตของจำนวนเชิงซ้อนแสดงแทนได้ ค.

สูตร (2),(3) สำหรับตัวเลขของแบบฟอร์ม
ใช้แบบฟอร์ม

ดังนั้นจึงเป็นไปตามการดำเนินการของการบวกและการคูณสำหรับตัวเลขของแบบฟอร์ม
ตรงกับการบวกและการคูณสำหรับจำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อนของรูปแบบ
ถูกระบุด้วยจำนวนจริง .

จำนวนเชิงซ้อน
เรียกว่า หน่วยจินตภาพและแสดงว่า , เช่น.
จาก (3)

จาก (2),(3)  หมายความว่า

เรียกว่านิพจน์ (4) สัญกรณ์พีชคณิตจำนวนเชิงซ้อน.

ในรูปแบบพีชคณิต การดำเนินการของการบวกและการคูณจะอยู่ในรูปแบบ:

จำนวนเชิงซ้อนจะแสดง
,- ส่วนจริง เป็นส่วนจินตภาพ เป็นจำนวนจินตภาพล้วน ๆ กำหนด:
,
.

คำจำกัดความ 2. จำนวนเชิงซ้อน
เรียกว่า ผันด้วยจำนวนเชิงซ้อน
.

คุณสมบัติของการผันคำกริยาที่ซับซ้อน

1)

2)
.

3) ถ้า
, แล้ว
.

4)
.

5)
เป็นจำนวนจริง

การพิสูจน์ดำเนินการโดยการคำนวณโดยตรง

นิยาม 3. ตัวเลข
เรียกว่า โมดูลจำนวนเชิงซ้อน
และแสดงว่า
.

เห็นได้ชัดว่า
, และ


. สูตรยังชัดเจน:
และ
.

2°. คุณสมบัติของการบวกและการคูณ

1) การแลกเปลี่ยน:
,
.

2) ความเชื่อมโยง:,
.

3) การกระจาย: .

การพิสูจน์ 1) - 3) ดำเนินการโดยการคำนวณโดยตรงตามคุณสมบัติที่คล้ายคลึงกันสำหรับจำนวนจริง

4)
,
.

5) , ค ! , สมการสมการ
. เช่น

6) ,ค, 0, ! :
. เช่น หาได้จากการคูณสมการด้วย



.

ตัวอย่าง. ลองนึกภาพจำนวนเชิงซ้อน
ใน รูปแบบพีชคณิต. ในการทำเช่นนี้ ให้คูณตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนด้วยคอนจูเกตของตัวส่วน เรามี:

3°. การตีความทางเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน รูปแบบตรีโกณมิติและเลขชี้กำลังของการเขียนจำนวนเชิงซ้อน

อนุญาต ระบบสี่เหลี่ยมผืนผ้าพิกัด. แล้ว
คเราสามารถเชื่อมโยงจุดบนระนาบกับพิกัดได้
.(ดูรูปที่ 1). เห็นได้ชัดว่าการติดต่อดังกล่าวเป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่ง ในกรณีนี้ จำนวนจริงจะอยู่บนแกน abscissa และจำนวนจินตภาพล้วนจะอยู่บนแกนกำหนด ดังนั้นจึงเรียกแกน abscissa แกนจริงและแกน y − แกนจินตภาพ. ระนาบที่มีจำนวนเชิงซ้อนเรียกว่า ระนาบที่ซับซ้อน.

โปรดทราบว่า และ
มีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิดและ และ มีความสมมาตรเมื่อเทียบกับวัว

จำนวนเชิงซ้อนแต่ละจำนวน (เช่น แต่ละจุดบนระนาบ) สามารถเชื่อมโยงกับเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นที่จุด O และสิ้นสุดที่จุด
. ความสอดคล้องระหว่างเวกเตอร์และจำนวนเชิงซ้อนเป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่ง ดังนั้นเวกเตอร์ที่สอดคล้องกับจำนวนเชิงซ้อน , แสดงด้วยตัวอักษรเดียวกัน

ง เส้นเวกเตอร์
ตรงกับจำนวนเชิงซ้อน
, เท่ากับ
, และ
,
.

การใช้การตีความเวกเตอร์ เราจะเห็นว่าเวกเตอร์
- ผลรวมของเวกเตอร์ และ , ก
- ผลรวมของเวกเตอร์ และ
.(ดูรูปที่ 2). ดังนั้น ความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นจริง:

พร้อมทั้งความยาว เวกเตอร์ เราแนะนำมุม ระหว่างเวกเตอร์ และแกนวัว นับจากทิศทางบวกของแกนวัว: ถ้าการนับเป็นทวนเข็มนาฬิกา เครื่องหมายของมุมจะถือว่าเป็นบวก ถ้าตามเข็มนาฬิกา จะเป็นลบ มุมนี้เรียกว่า อาร์กิวเมนต์จำนวนเชิงซ้อนและแสดงว่า
. มุม ไม่ได้กำหนดไว้อย่างเฉพาะเจาะจง แต่มีความแม่นยำ
…. สำหรับ
อาร์กิวเมนต์ไม่ได้กำหนดไว้

สูตร (6) กำหนดสิ่งที่เรียกว่า สัญกรณ์ตรีโกณมิติจำนวนเชิงซ้อน.

จาก (5) จะได้ว่า ถ้า
และ
แล้ว

จาก (5)
อะไรโดย และ จำนวนเชิงซ้อนถูกกำหนดขึ้นโดยไม่ซ้ำกัน การสนทนาไม่เป็นความจริง: โดยจำนวนเชิงซ้อน โมดูลของมัน เป็นเอกลักษณ์และข้อโต้แย้ง , เนื่องจาก (7), - มีความแม่นยำ
. นอกจากนี้ยังตามมาจาก (7) ว่าอาร์กิวเมนต์ สามารถหาเป็นคำตอบของสมการได้

อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ทุกคำตอบของสมการนี้ที่เป็นคำตอบของ (7)

ในบรรดาค่าทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนค่าหนึ่งจะถูกเลือกซึ่งเรียกว่าค่าหลักของอาร์กิวเมนต์และแสดงแทน
. โดยปกติแล้วค่าหลักของอาร์กิวเมนต์จะถูกเลือกในช่วงเวลา
หรือในช่วงเวลา

ในรูปแบบตรีโกณมิติจะสะดวกต่อการคูณและการหาร

ทฤษฎีบท 1.โมดูลผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน และ เท่ากับผลคูณของโมดูล และอาร์กิวเมนต์เท่ากับผลรวมของอาร์กิวเมนต์ เช่น

, ก.

ในทำนองเดียวกัน

,

การพิสูจน์.อนุญาต ,. จากนั้นโดยการคูณโดยตรงเราจะได้:

ในทำนองเดียวกัน

.■

ผลที่ตามมา(สูตรของเดอมัวร์). สำหรับ
สูตรของ Moivre นั้นใช้ได้

พี ตัวอย่าง. ให้ ค้นหาตำแหน่งทางเรขาคณิตของจุด
. จากทฤษฎีบทที่ 1 จะได้ว่า

ดังนั้นในการสร้าง คุณต้องสร้างจุดก่อน ซึ่งเป็นสิ่งที่ผกผัน เกี่ยวกับวงกลมหนึ่งหน่วย แล้วหาจุดที่สมมาตรรอบแกน x

อนุญาต
,เหล่านั้น.
จำนวนเชิงซ้อน
แสดง
, เช่น. รสูตรออยเลอร์ใช้ได้

เพราะ
, แล้ว
,
. จากทฤษฎีบทที่ 1
สิ่งที่เกี่ยวกับฟังก์ชั่น
เป็นไปได้ที่จะทำงานเหมือนกับฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลทั่วไป เช่น ความเท่าเทียมกันเป็นจริง

,
,
.

จาก (8)
สัญกรณ์เลขชี้กำลังจำนวนเชิงซ้อน

, ที่ไหน
,

ตัวอย่าง. .

4°. ราก กำลังของจำนวนเชิงซ้อน

พิจารณาสมการ

อนุญาต
และหาคำตอบของสมการ (9) ในรูป
. จากนั้น (9) ใช้แบบฟอร์ม
ซึ่งเราพบว่า
,
, เช่น.

,
,
.

ดังนั้นสมการ (9) จึงมีราก

ให้เราแสดงว่าใน (10) มีทั้งหมด รากต่างๆ จริงๆ,

แตกต่างกันเพราะ ข้อโต้แย้งของพวกเขาแตกต่างและแตกต่างกันน้อยกว่า
. ไกลออกไป,
, เพราะ
. ในทำนองเดียวกัน
.

ดังนั้น สมการ (9) สำหรับ
มีอย่างแน่นอน ราก
ตั้งอยู่ที่จุดยอดของปกติ - ฆ้องจารึกเป็นวงกลมรัศมี โดยมีศูนย์กลางอยู่ที่ T.O.

ดังนั้นจึงได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบท 2การสกัดราก กำลังของจำนวนเชิงซ้อน
เป็นไปได้เสมอ ค่ารูททั้งหมด ระดับที่ ที่อยู่ด้านบนของที่ถูกต้อง -gon จารึกไว้ในวงกลมโดยมีศูนย์กลางอยู่ที่ศูนย์และรัศมี
. ประเด็นนี้

ผลที่ตามมาราก ระดับ -th ของ 1 แสดงโดยสูตร

.

ผลคูณของสองรากของ 1 คือราก 1 คือราก ระดับ -th จากความสามัคคี ราก
:
.

เริ่มจากสี่เหลี่ยมที่เราโปรดปรานกันก่อน

ตัวอย่างที่ 9

กำลังสองของจำนวนเชิงซ้อน

คุณสามารถดำเนินการได้สองวิธี วิธีแรกคือเขียนดีกรีใหม่เป็นผลคูณของปัจจัยและคูณจำนวนตามกฎการคูณสำหรับพหุนาม

วิธีที่สองคือการใช้สูตรคูณแบบย่อของโรงเรียนที่รู้จักกันดี:

สำหรับจำนวนเชิงซ้อน คุณสามารถหาสูตรคูณแบบย่อของคุณเองได้ง่ายๆ:

สามารถหาสูตรที่คล้ายกันสำหรับกำลังสองของผลต่าง เช่นเดียวกับลูกบาศก์ของผลรวมและลูกบาศก์ของผลต่าง แต่สูตรเหล่านี้เกี่ยวข้องกับปัญหาการวิเคราะห์ที่ซับซ้อนมากกว่า จะเกิดอะไรขึ้นถ้าจำนวนเชิงซ้อนจำเป็นต้องยกกำลัง 5, 10 หรือ 100 เป็นที่ชัดเจนว่าแทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะทำกลอุบายดังกล่าวในรูปแบบพีชคณิต ลองคิดดูว่าคุณจะแก้ตัวอย่างอย่างไร?

และที่นี่รูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อนมาช่วยและสิ่งที่เรียกว่า สูตรของเดอมัวร์: ถ้าจำนวนเชิงซ้อนแสดงในรูปแบบตรีโกณมิติ เมื่อยกกำลังธรรมชาติ สูตรนั้นจะใช้ได้:

เพียงเพื่อทำให้อับอายขายหน้า

ตัวอย่างที่ 10

ให้หาจำนวนเชิงซ้อน

จะทำอย่างไร? ก่อนอื่นคุณต้องแสดงตัวเลขนี้ในรูปแบบตรีโกณมิติ ผู้อ่านที่ชาญฉลาดจะสังเกตเห็นว่าเราได้ทำไปแล้วในตัวอย่างที่ 8:

จากนั้นตามสูตรของ De Moivre:

พระเจ้าห้าม ไม่จำเป็นต้องนับเครื่องคิดเลข แต่ในกรณีส่วนใหญ่ มุมควรจะทำให้ง่ายขึ้น วิธีลดความซับซ้อน? คุณต้องกำจัดเทิร์นพิเศษ หนึ่งรอบเป็นเรเดียนหรือ 360 องศา ค้นหาว่าเรามีการปฏิวัติกี่ครั้งในการโต้เถียง เพื่อความสะดวกเราแก้ไขเศษส่วน: หลังจากนั้นจะเห็นได้ชัดว่าคุณสามารถลดหนึ่งรอบ: ฉันหวังว่าทุกคนจะเข้าใจว่านี่คือมุมเดียวกัน

ดังนั้นคำตอบสุดท้ายจะเป็น:

อีกรูปแบบหนึ่งของปัญหาการยกกำลังคือการยกกำลังของจำนวนจินตภาพล้วน ๆ

ตัวอย่างที่ 12

ยกกำลังจำนวนเชิงซ้อน

ทุกอย่างก็ง่ายเช่นกันสิ่งสำคัญคือการจดจำความเท่าเทียมกันที่มีชื่อเสียง

หากหน่วยจินตภาพถูกยกกำลังเท่ากัน เทคนิคการแก้ปัญหาจะเป็นดังนี้:

หากหน่วยจินตภาพถูกยกขึ้นเป็นเลขคี่ เราจะ "ตรึง" หนึ่ง "และ" เพื่อให้ได้พลังที่เท่ากัน:

หากมีลบ (หรือค่าสัมประสิทธิ์จริงใด ๆ ) จะต้องแยกออกก่อน:

การแยกรากจากจำนวนเชิงซ้อน สมการกำลังสองที่มีรากที่ซับซ้อน

พิจารณาตัวอย่าง:

ถอนรากไม่ได้เหรอ ถ้า ก เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับจำนวนจริง มันเป็นไปไม่ได้จริงๆ ในจำนวนเชิงซ้อน คุณสามารถแยกรากได้ - คุณทำได้! อย่างแม่นยำมากขึ้น, สองราก:

รากที่พบเป็นคำตอบของสมการจริงหรือไม่ ตรวจสอบ:

ซึ่งเป็นสิ่งที่ต้องตรวจสอบ

มักใช้สัญกรณ์ตัวย่อรากทั้งสองเขียนในบรรทัดเดียวภายใต้ "หวีเดียว":

รากเหล่านี้เรียกอีกอย่างว่า ผันรากที่ซับซ้อน.

วิธีการสกัด รากที่สองจากจำนวนลบฉันคิดว่าทุกคนเข้าใจ: ,,,, ฯลฯ ในทุกกรณีปรากฎว่า สองผันรากที่ซับซ้อน