คำนิยาม

รูปแบบพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อนคือการเขียนจำนวนเชิงซ้อน \(\ z \) เป็น \(\ z=x+i y \) โดยที่ \(\ x \) และ \(\ y \) เป็นจำนวนจริง \ (\ i \ ) เป็นหน่วยจินตภาพที่ตอบสนองความสัมพันธ์ \(\ i^(2)=-1 \)

จำนวน \(\ x \) เรียกว่าส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อน \(\ z \) และแสดงแทน \(\ x=\operatorname(Re) z \)

จำนวน \(\ y \) เรียกว่าส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน \(\ z \) และแสดงแทน \(\ y=\operatorname(Im) z \)

ตัวอย่างเช่น:

จำนวนเชิงซ้อน \(\ z=3-2 i \) และจำนวนที่เกี่ยวข้อง \(\ \overline(z)=3+2 i \) เขียนในรูปแบบพีชคณิต

ค่าจินตภาพ \(\ z=5 i \) เขียนในรูปแบบพีชคณิต

นอกจากนี้ คุณสามารถแปลงจำนวนเชิงซ้อนเป็นเลขตรีโกณมิติหรือเลขชี้กำลังได้ ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับปัญหาที่กำลังแก้ไข

งาน

เขียนตัวเลข \(\ z=\frac(7-i)(4)+13 \) ในรูปแบบพีชคณิต ค้นหาส่วนจริงและจินตภาพของมัน รวมถึงจำนวนคอนจูเกต

วิธีการแก้.

การใช้คำว่าหารเศษส่วนและกฎการบวกเศษส่วนเราได้รับ:

\(\ z=\frac(7-i)(4)+13=\frac(7)(4)+13-\frac(i)(4)=\frac(59)(4)-\frac( 1)(4) ผม \)

ดังนั้น ส่วนที่แท้จริงของจำนวนเชิงซ้อน \(\ z=\frac(5 g)(4)-\frac(1)(4) i \) คือตัวเลข \(\ x=\operatorname(Re) z= \frac(59) (4) \) ส่วนจินตภาพเป็นตัวเลข \(\ y=\operatorname(Im) z=-\frac(1)(4) \)

หมายเลขคอนจูเกต: \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)

ตอบ

\(\ z=\frac(59)(4)-\frac(1)(4) i \), \(\ \operatorname(Re) z=\frac(59)(4) \), \(\ \operatorname(Im) z=-\frac(1)(4) \), \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)

การกระทำของจำนวนเชิงซ้อนในการเปรียบเทียบรูปแบบพีชคณิต

จำนวนเชิงซ้อนสองจำนวน \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) เท่ากันถ้า \(\ x_(1)=x_(2) \), \(\ y_(1)= y_ (2) \) เช่น ส่วนจริงและจินตภาพของพวกเขาเท่ากัน

งาน

กำหนดว่า x และ y จำนวนเชิงซ้อนสองตัวใด \(\ z_(1)=13+y i \) และ \(\ z_(2)=x+5 i \) เท่ากัน

วิธีการแก้

ตามคำจำกัดความ จำนวนเชิงซ้อนสองจำนวนจะเท่ากันหากส่วนจริงและส่วนจินตภาพเท่ากัน นั่นคือ \(\ x=13 \), \(\ y=5 \).

ตอบ \(\ x=13 \), \(\ y=5 \)

ส่วนที่เพิ่มเข้าไป

การบวกจำนวนเชิงซ้อน \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) ทำได้โดยการบวกโดยตรงของส่วนจริงและส่วนจินตภาพ:

\(\ z_(1)+z_(2)=x_(1)+i y_(1)+x_(2)+i y_(2)=\left(x_(1)+x_(2)\right) +i\left(y_(1)+y_(2)\right) \)

งาน

ค้นหาผลรวมของจำนวนเชิงซ้อน \(\ z_(1)=-7+5 i \), \(\ z_(2)=13-4 i \)

วิธีการแก้.

ส่วนที่แท้จริงของจำนวนเชิงซ้อน \(\ z_(1)=-7+5 i \) คือตัวเลข \(\ x_(1)=\operatorname(Re) z_(1)=-7 \) จินตภาพ ส่วนที่เป็นตัวเลข \( \ y_(1)=\mathrm(Im) \), \(\ z_(1)=5 \) ส่วนจริงและส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน \(\ z_(2)=13-4 i \) คือ \(\ x_(2)=\operatorname(Re) z_(2)=13 \) และ \(\ y_ (2 )=\operatorname(Im) z_(2)=-4 \) .

ดังนั้น ผลรวมของจำนวนเชิงซ้อนคือ:

\(\ z_(1)+z_(2)=\left(x_(1)+x_(2)\right)+i\left(y_(1)+y_(2)\right)=(-7+ 13)+ผม(5-4)=6+ผม\)

ตอบ

\(\z_(1)+z_(2)=6+i \)

อ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับการบวกจำนวนเชิงซ้อนในบทความแยก: การบวกจำนวนเชิงซ้อน

การลบ

การลบจำนวนเชิงซ้อน \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) และ \(\ z_(2)=x_(2)+i y_(2) \) ทำได้โดยตรง การลบส่วนจริงและส่วนจินตภาพ:

\(\ z_(1)-z_(2)=x_(1)+i y_(1)-\left(x_(2)+i y_(2)\right)=x_(1)-x_(2) +\left(i y_(1)-i y_(2)\right)=\left(x_(1)-x_(2)\right)+i\left(y_(1)-y_(2)\right )\)

งาน

ค้นหาผลต่างของจำนวนเชิงซ้อน \(\ z_(1)=17-35 i \), \(\ z_(2)=15+5 i \)

วิธีการแก้.

ค้นหาส่วนจริงและจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน \(\ z_(1)=17-35 i \), \(\ z_(2)=15+5 i \) :

\(\ x_(1)=\operatorname(Re) z_(1)=17, x_(2)=\operatorname(Re) z_(2)=15 \)

\(\ y_(1)=\operatorname(Im) z_(1)=-35, y_(2)=\operatorname(Im) z_(2)=5 \)

ดังนั้นผลต่างของจำนวนเชิงซ้อนคือ:

\(\ z_(1)-z_(2)=\left(x_(1)-x_(2)\right)+i\left(y_(1)-y_(2)\right)=(17-15 )+ผม(-35-5)=2-40 ผม \)

ตอบ

\(\ z_(1)-z_(2)=2-40 i \) การคูณ

การคูณจำนวนเชิงซ้อน \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) และ \(\ z_(2)=x_(2)+i y_(2) \) ดำเนินการโดยตรง การสร้างตัวเลขในรูปแบบพีชคณิตโดยคำนึงถึงคุณสมบัติของหน่วยจินตภาพ \(\ i^(2)=-1 \) :

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\left(x_(1)+i y_(1)\right) \cdot\left(x_(2)+i y_(2)\right)=x_ (1) \cdot x_(2)+i^(2) \cdot y_(1) \cdot y_(2)+\left(x_(1) \cdot i y_(2)+x_(2) \cdot i y_(1)\right)= \)

\(\ =\left(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\right)+i\left(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2 ) \cdot y_(1)\right) \)

งาน

ค้นหาผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน \(\ z_(1)=1-5 i \)

วิธีการแก้.

คอมเพล็กซ์ของจำนวนเชิงซ้อน:

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\left(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\right)+i\left(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2) \cdot y_(1)\right)=(1 \cdot 5-(-5) \cdot 2)+i(1 \cdot 2+(-5) \cdot 5 )=15-23 ผม \)

ตอบ

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=15-23 i \) แยก

ตัวประกอบจำนวนเชิงซ้อน \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) และ \(\ z_(2)=x_(2)+i y_(2) \) ถูกกำหนดโดยการคูณ ตัวเศษและตัวหารของจำนวนคอนจูเกตด้วยตัวส่วน:

\(\ \frac(z_(1))(z_(2))=\frac(x_(1)+i y_(1))(x_(2)+i y_(2))=\frac(\left (x_(1)+i y_(1)\right)\left(x_(2)-i y_(2)\right))(\left(x_(2)+i y_(2)\right)\left (x_(2)-i y_(2)\right))=\frac(x_(1) \cdot x_(2)+y_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2) +y_(2)^(2))+i \frac(x_(2) \cdot y_(1)-x_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2)+y_(2 )^(2)) \)

งาน

ในการหารจำนวน 1 ด้วยจำนวนเชิงซ้อน \(\ z=1+2 i \)

วิธีการแก้.

เนื่องจากส่วนจินตภาพของจำนวนจริง 1 เป็นศูนย์ ตัวประกอบคือ:

\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1 \cdot 1)(1^(2)+2^(2))-i \frac(1 \cdot 2)(1^( 2)+2^(2))=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5) \)

ตอบ

\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5) \)

จำนวนเชิงซ้อนเป็นส่วนเสริมของเซตของจำนวนจริง ปกติจะแสดงด้วย . จำนวนเชิงซ้อนใดๆ สามารถแสดงเป็นผลรวมทางการ โดยที่ และ เป็นจำนวนจริง เป็นหน่วยจินตภาพ

การเขียนจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบ , , เรียกว่ารูปแบบพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน

คุณสมบัติของจำนวนเชิงซ้อน การตีความทางเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน

การดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อนที่ให้ในรูปแบบพีชคณิต:

พิจารณากฎที่ใช้ดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับจำนวนเชิงซ้อน

หากให้จำนวนเชิงซ้อนสองจำนวน α = a + bi และ β = c + di แล้ว

α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

α - β \u003d (a + bi) - (c + di) \u003d (a - c) + (b - d)i. (สิบเอ็ด)

ต่อจากนิยามของการดำเนินการบวกและลบของจำนวนจริงสองคู่ที่เรียงลำดับ (ดูสูตร (1) และ (3)) เราได้รับกฎสำหรับการบวกและการลบของจำนวนเชิงซ้อน: ในการเพิ่มจำนวนเชิงซ้อนสองตัว เราต้องแยกส่วนจริงของพวกมันเข้าด้วยกัน และดังนั้น ส่วนจินตภาพ ในการลบอีกตัวออกจากจำนวนเชิงซ้อนหนึ่ง จำเป็นต้องลบส่วนจริงและส่วนจินตภาพตามลำดับ

หมายเลข - α \u003d - a - bi เรียกว่าตรงข้ามกับหมายเลข α \u003d a + bi ผลรวมของตัวเลขสองตัวนี้เป็นศูนย์: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b) i = 0

เพื่อให้ได้กฎการคูณสำหรับจำนวนเชิงซ้อน เราใช้สูตร (6) นั่นคือความจริงที่ว่า i2 = -1 โดยคำนึงถึงอัตราส่วนนี้ เราพบว่า (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc)i – bd, i.e.

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i (12)

สูตรนี้สอดคล้องกับสูตร (2) ซึ่งนิยามการคูณของคู่ลำดับของจำนวนจริง

โปรดทราบว่าผลรวมและผลคูณของจำนวนคอนจูเกตเชิงซ้อนสองจำนวนเป็นจำนวนจริง แน่นอน ถ้า α = a + bi, = a – bi แล้ว α = (a + bi)(a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2 , α + = (a + bi) + (a - bi) = ( a + a) + (b - b)i= 2a เช่น

α + = 2a, α = a2 + b2 (13)

เมื่อทำการหารจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวนในรูปแบบพีชคณิต เราควรคาดหวังว่าผลหารจะแสดงด้วยจำนวนที่เป็นประเภทเดียวกัน เช่น α/β = u + vi โดยที่ u, v R ให้เราหากฎสำหรับการหารจำนวนเชิงซ้อน ตัวเลข ให้ตัวเลข α = a + bi, β = c + di และ β ≠ 0, i.e., c2 + d2 ≠ 0 ความไม่เท่าเทียมกันสุดท้ายหมายความว่า c และ d ไม่หายไปพร้อมกัน (กรณีที่ c = 0, d = 0). การใช้สูตร (12) และความเท่าเทียมกันที่สอง (13) เราพบว่า:

ดังนั้น ผลหารของจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวนจึงถูกกำหนดโดย:

สูตรที่สอดคล้องกัน (4)

โดยใช้สูตรที่ได้รับสำหรับจำนวน β = c + di คุณสามารถหาส่วนกลับของมัน β-1 = 1/β สมมติว่าในสูตร (14) a = 1, b = 0 เราได้รับ

สูตรนี้กำหนดส่วนกลับของจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์ที่กำหนด ตัวเลขนี้ก็ซับซ้อนเช่นกัน

ตัวอย่างเช่น (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;

(6 + 5i) - (3 + 8i) = 3 - 3i;

(5 – 4i)(8 – 9i) = 4 – 77i;

การดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบพีชคณิต

55. อาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน รูปแบบตรีโกณมิติของการเขียนจำนวนเชิงซ้อน (เอาต์พุต)

Arg.comm.number. – ระหว่างทิศทางบวกของแกน X จริงโดยเวกเตอร์แทนจำนวนที่กำหนด

สูตรทรีน หมายเลข: ,

ตัวเลขที่ซับซ้อน

จินตนาการ และ ตัวเลขที่ซับซ้อน Abscissa และ ordinate

จำนวนเชิงซ้อน. ผันจำนวนเชิงซ้อน

การดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อน เรขาคณิต

การแสดงจำนวนเชิงซ้อน เครื่องบินที่ซับซ้อน

โมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน ตรีโกณมิติ

แบบฟอร์มจำนวนเชิงซ้อน การดำเนินงานที่ซับซ้อน

ตัวเลขในรูปแบบตรีโกณมิติ สูตรมอยเร่

ข้อมูลพื้นฐานเกี่ยวกับ จินตภาพ และ ตัวเลขเชิงซ้อน ระบุไว้ในส่วน "จำนวนจินตภาพและจำนวนเชิงซ้อน" ความต้องการตัวเลขเหล่านี้ในรูปแบบใหม่ปรากฏขึ้นเมื่อแก้สมการกำลังสองสำหรับกรณีดี< 0 (здесь ดีเป็นดิสคริมิแนนต์ของสมการกำลังสอง) เป็นเวลานานที่ตัวเลขเหล่านี้ไม่พบการใช้งานจริง ด้วยเหตุนี้จึงเรียกว่าตัวเลข "จินตภาพ" อย่างไรก็ตาม ตอนนี้มีการใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านฟิสิกส์ต่างๆ

และเทคโนโลยี: วิศวกรรมไฟฟ้า อุทกพลศาสตร์และอากาศพลศาสตร์ ทฤษฎีความยืดหยุ่น ฯลฯ

ตัวเลขที่ซับซ้อน ถูกเขียนเป็น:a+bi. ที่นี่ เอและ ข – ตัวเลขจริง , แ ผม – หน่วยจินตภาพอี ผม 2 = –1. ตัวเลข เอเรียกว่า abscissa, แ b - กำหนดจำนวนเชิงซ้อนก + ข .สองจำนวนเชิงซ้อนa+biและ เอ-บี เรียกว่า ผันตัวเลขที่ซับซ้อน

ข้อตกลงหลัก:

1. จำนวนจริงเอสามารถเขียนในรูปแบบจำนวนเชิงซ้อน:เป็น + 0 ผมหรือ ก - 0 ผม. ตัวอย่างเช่น รายการ 5 + 0ผมและ 5 - 0 ผมหมายถึงเลขเดียวกัน 5 .

2. จำนวนเชิงซ้อน 0 + สองเรียกว่า จินตนาการล้วนๆ ตัวเลข. การบันทึกสองมีความหมายเหมือนกับ 0 + สอง.

3. สองจำนวนเชิงซ้อนa+bi และค + ดิถือว่าเท่าเทียมกันถ้าก = คและ ข = d. มิฉะนั้น จำนวนเชิงซ้อนไม่เท่ากัน

ส่วนที่เพิ่มเข้าไป. ผลรวมของจำนวนเชิงซ้อนa+biและ ค + ดิเรียกว่าจำนวนเชิงซ้อน (a+c ) + (b+d ) ผม .ทางนี้, เมื่อเพิ่ม จำนวนเชิงซ้อน abscissas และพิกัดจะถูกเพิ่มแยกกัน

คำจำกัดความนี้เป็นไปตามกฎสำหรับการจัดการกับพหุนามสามัญ

การลบ ความแตกต่างระหว่างจำนวนเชิงซ้อนสองตัวa+bi(ลดลง) และ ค + ดิ(ลบ) เรียกว่าจำนวนเชิงซ้อน (a-c ) + (b-d ) ผม .

ทางนี้, เมื่อลบจำนวนเชิงซ้อนสองตัว abscissas และ ordinates ของพวกมันจะถูกลบแยกกัน

การคูณ ผลคูณของจำนวนเชิงซ้อนa+biและ ค + ดิ เรียกว่าจำนวนเชิงซ้อน

(ac-bd ) + (โฆษณา+bc ) ผม .คำจำกัดความนี้เกิดจากข้อกำหนดสองประการ:

1) ตัวเลข a+biและ ค + ดิควรคูณเหมือนพีชคณิตทวินาม

2) หมายเลข ผมมีคุณสมบัติหลัก:ผม 2 = – 1.

ตัวอย่าง ( a + bi )(เอ-บี) = 2 +ข 2 . เพราะเหตุนี้, งาน

สองจำนวนเชิงซ้อนคอนจูเกตเท่ากับจำนวนจริง

จำนวนบวก

แผนก. หารจำนวนเชิงซ้อนa+bi (แบ่งได้) ให้กับคนอื่นค + ดิ(ตัวแบ่ง) - แปลว่า หาเลขสามอี + ฟิ(แชท) ซึ่งเมื่อคูณด้วยตัวหารค + ดิซึ่งส่งผลให้เงินปันผลก + ข .

ถ้าตัวหารไม่เป็นศูนย์ การหารก็เป็นไปได้เสมอ

ตัวอย่าง ค้นหา (8+ผม ) : (2 – 3 ผม) .

สารละลาย. ลองเขียนอัตราส่วนนี้เป็นเศษส่วนใหม่:

การคูณทั้งเศษและส่วนด้วย 2 + 3ผม

และ หลังจากทำการแปลงทั้งหมดแล้ว เราได้รับ:

การแสดงทางเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน จำนวนจริงแสดงด้วยจุดบนเส้นจำนวน:

นี่แหละคือประเด็น อาหมายถึงหมายเลข -3, dotบีเป็นเลข 2 และ อู๋- ศูนย์ ในทางตรงกันข้าม จำนวนเชิงซ้อนจะแสดงด้วยจุดบนระนาบพิกัด สำหรับสิ่งนี้ เราเลือกพิกัดสี่เหลี่ยม (คาร์ทีเซียน) ที่มีมาตราส่วนเดียวกันบนทั้งสองแกน แล้วจำนวนเชิงซ้อนa+bi จะถูกแสดงด้วยจุด P กับ abscissa a และกำหนด b (ดูรูป) ระบบพิกัดนี้เรียกว่า ระนาบที่ซับซ้อน .

โมดูล จำนวนเชิงซ้อนเรียกว่าความยาวของเวกเตอร์OP, แสดงจำนวนเชิงซ้อนบนพิกัด ( แบบบูรณาการ) เครื่องบิน. โมดูลัสจำนวนเชิงซ้อนa+biแสดงโดย | a+bi| หรือจดหมาย r

พิจารณาสมการกำลังสอง.

มากำหนดรากของมันกัน

ไม่มีจำนวนจริงที่มีกำลังสองเป็น -1 แต่ถ้าสูตรกำหนดโอเปอเรเตอร์ ผมเป็นหน่วยจินตภาพ คำตอบของสมการนี้สามารถเขียนได้ในรูป . โดยที่ และ - จำนวนเชิงซ้อน โดยที่ -1 คือส่วนจริง 2 หรือในกรณีที่สอง -2 คือส่วนจินตภาพ ส่วนจินตภาพยังเป็นจำนวนจริง (จริง) ด้วย ส่วนจินตภาพคูณด้วยหน่วยจินตภาพหมายความว่าแล้ว จำนวนจินตภาพ.

โดยทั่วไปจำนวนเชิงซ้อนจะมีรูปแบบ

z = x + ฉัน ,

ที่ไหน x, yเป็นจำนวนจริง เป็นหน่วยจินตภาพ ในสาขาวิทยาศาสตร์ประยุกต์จำนวนหนึ่ง เช่น วิศวกรรมไฟฟ้า อิเล็กทรอนิกส์ ทฤษฎีสัญญาณ หน่วยจินตภาพแสดงด้วย เจ. ตัวเลขจริง x = ซ้ำ (z)และ y=ฉัน(ซ)เรียกว่า ชิ้นส่วนจริงและจินตภาพตัวเลข ซีนิพจน์นี้เรียกว่า รูปแบบพีชคณิตสัญกรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน

จำนวนจริงใดๆ เป็นกรณีพิเศษของจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบ . จำนวนจินตภาพก็เป็นกรณีพิเศษของจำนวนเชิงซ้อนเช่นกัน .

ความหมายของเซตของจำนวนเชิงซ้อน C

นิพจน์นี้อ่านดังนี้: set จากซึ่งประกอบด้วยองค์ประกอบดังกล่าวว่า xและ yอยู่ในเซตของจำนวนจริง Rและเป็นหน่วยจินตภาพ สังเกตว่า เป็นต้น

สองจำนวนเชิงซ้อน และ เท่ากันก็ต่อเมื่อส่วนจริงและส่วนจินตภาพเท่ากัน นั่นคือ และ .

ตัวเลขและฟังก์ชันที่ซับซ้อนมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกลศาสตร์ การวิเคราะห์และการคำนวณวงจรไฟฟ้ากระแสสลับ อุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์แบบแอนะล็อก ทฤษฎีสัญญาณและการประมวลผล ทฤษฎีการควบคุมอัตโนมัติ และวิทยาศาสตร์ประยุกต์อื่นๆ

1. เลขคณิตของจำนวนเชิงซ้อน

การบวกจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวนประกอบด้วยการบวกส่วนจริงและส่วนจินตภาพ นั่นคือ

ดังนั้น ผลต่างของจำนวนเชิงซ้อนสองตัว

จำนวนเชิงซ้อน เรียกว่า ซับซ้อน ผันตัวเลข z=x +ผม.y.

ตัวเลขคอนจูเกตที่ซับซ้อน z และ z * ต่างกันในเครื่องหมายของส่วนจินตภาพ เห็นได้ชัดว่า

.

ความเท่าเทียมกันใด ๆ ระหว่างนิพจน์ที่ซับซ้อนยังคงใช้ได้หากในความเท่าเทียมกันนี้ทุกที่ ผมแทนที่ด้วย - ผม, เช่น. ไปที่ความเท่าเทียมกันของจำนวนคอนจูเกต ตัวเลข ผมและ – ผมพีชคณิตแยกไม่ออกเพราะ .

ผลคูณ (การคูณ) ของจำนวนเชิงซ้อนสองตัวสามารถคำนวณได้ดังนี้:

การหารจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวน:

ตัวอย่าง:

1. ระนาบที่ซับซ้อน

จำนวนเชิงซ้อนสามารถแสดงเป็นภาพกราฟิกในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม ให้เรากำหนดระบบพิกัดสี่เหลี่ยมในระนาบ (x, y).

บนเพลา วัวเราจะจัดชิ้นส่วนจริง x, มันถูกเรียกว่า แกนจริง (ของจริง), บนแกน ออย– ส่วนจินตภาพ yตัวเลขที่ซับซ้อน เธอมีชื่อ แกนจินตภาพ. นอกจากนี้ จำนวนเชิงซ้อนแต่ละจำนวนยังสอดคล้องกับจุดหนึ่งของระนาบ และระนาบดังกล่าวเรียกว่า ระนาบที่ซับซ้อน. จุด แต่ระนาบเชิงซ้อนจะสอดคล้องกับเวกเตอร์ OA.

ตัวเลข xเรียกว่า abscissaจำนวนเชิงซ้อน, จำนวน y – ประสานงาน.

ตัวเลขคอนจูเกตที่ซับซ้อนคู่หนึ่งจะแสดงเป็นจุดที่อยู่บริเวณแกนจริงแบบสมมาตร

ถ้าอยู่บนเครื่องบิน ระบบพิกัดเชิงขั้วแล้วทุกจำนวนเชิงซ้อน zกำหนดโดยพิกัดเชิงขั้ว โดยที่ โมดูลตัวเลข คือรัศมีขั้วของจุด และมุม - มุมขั้วหรืออาร์กิวเมนต์จำนวนเชิงซ้อน z.

โมดูลัสจำนวนเชิงซ้อน ไม่เป็นลบเสมอ อาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนไม่ได้ถูกกำหนดไว้อย่างเฉพาะเจาะจง ค่าหลักของอาร์กิวเมนต์ต้องเป็นไปตามเงื่อนไข . แต่ละจุดของระนาบเชิงซ้อนยังสอดคล้องกับมูลค่ารวมของอาร์กิวเมนต์ด้วย อาร์กิวเมนต์ที่แตกต่างกันด้วยจำนวนทวีคูณของ2πจะถือว่าเท่ากัน ไม่ได้กำหนดอาร์กิวเมนต์ตัวเลขศูนย์

ค่าหลักของอาร์กิวเมนต์ถูกกำหนดโดยนิพจน์:

เห็นได้ชัดว่า

โดยที่
, .

การแสดงจำนวนเชิงซ้อน zเช่น

เรียกว่า แบบฟอร์มตรีโกณมิติจำนวนเชิงซ้อน.

ตัวอย่าง.

1. รูปแบบเลขชี้กำลังของจำนวนเชิงซ้อน

การสลายตัวใน ชุดแมคคลอรินสำหรับฟังก์ชันอาร์กิวเมนต์ที่แท้จริง ดูเหมือน:

สำหรับฟังก์ชันเลขชี้กำลังของอาร์กิวเมนต์เชิงซ้อน zการสลายตัวจะคล้ายกัน

.

การขยายอนุกรม Maclaurin สำหรับฟังก์ชันเลขชี้กำลังของอาร์กิวเมนต์จินตภาพสามารถแสดงเป็น

เอกลักษณ์ที่เกิดขึ้นเรียกว่า สูตรออยเลอร์.

สำหรับอาร์กิวเมนต์เชิงลบดูเหมือนว่า

โดยการรวมนิพจน์เหล่านี้ เราสามารถกำหนดนิพจน์ต่อไปนี้สำหรับไซน์และโคไซน์

.

การใช้สูตรออยเลอร์จากรูปแบบตรีโกณมิติของการแทนจำนวนเชิงซ้อน

มีอยู่ สาธิต(เลขชี้กำลัง, ขั้ว) ของจำนวนเชิงซ้อนเช่น การเป็นตัวแทนในแบบฟอร์ม

,

ที่ไหน - พิกัดเชิงขั้วของจุดที่มีพิกัดสี่เหลี่ยม ( เอ็กซ์,y).

คอนจูเกตของจำนวนเชิงซ้อนเขียนในรูปแบบเลขชี้กำลังดังนี้

สำหรับรูปแบบเลขชี้กำลัง มันง่ายที่จะกำหนดสูตรต่อไปนี้สำหรับการคูณและการหารของจำนวนเชิงซ้อน

นั่นคือ ในรูปแบบเลขชี้กำลัง ผลคูณและการหารของจำนวนเชิงซ้อนนั้นง่ายกว่าในรูปแบบพีชคณิต เมื่อคูณ โมดูลของปัจจัยจะถูกคูณและเพิ่มอาร์กิวเมนต์ กฎนี้ใช้กับปัจจัยจำนวนเท่าใดก็ได้ โดยเฉพาะเมื่อคูณจำนวนเชิงซ้อน zบน ผมเวกเตอร์ zหมุนทวนเข็มนาฬิกา 90

ในการหาร โมดูลัสของตัวเศษจะถูกหารด้วยโมดูลัสของตัวส่วน และอาร์กิวเมนต์ของตัวส่วนจะถูกลบออกจากอาร์กิวเมนต์ตัวเศษ

การใช้รูปแบบเลขชี้กำลังของจำนวนเชิงซ้อน เราสามารถหานิพจน์สำหรับเอกลักษณ์ตรีโกณมิติที่รู้จักกันดีได้ เช่น จากตัวตน

โดยใช้สูตรออยเลอร์ เราสามารถเขียน

เท่ากับส่วนจริงและจินตภาพในนิพจน์นี้ เราได้รับนิพจน์สำหรับโคไซน์และไซน์ของผลรวมของมุม

1. ยกกำลัง รูตและลอการิทึมของจำนวนเชิงซ้อน

การเพิ่มจำนวนเชิงซ้อนให้เป็นกำลังธรรมชาติ นผลิตตามสูตร

ตัวอย่าง. คำนวณ .

ลองนึกภาพตัวเลข ในรูปตรีโกณมิติ

’

ใช้สูตรการยกกำลัง เราจะได้

ใส่ค่าในนิพจน์ r= 1 เราได้สิ่งที่เรียกว่า สูตรของ De Moivreซึ่งคุณสามารถกำหนดนิพจน์สำหรับไซน์และโคไซน์ของหลายมุมได้

ราก น th ยกกำลังของจำนวนเชิงซ้อน zมันมี นค่าต่าง ๆ ที่กำหนดโดยนิพจน์

ตัวอย่าง. มาหากัน.

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราแสดงจำนวนเชิงซ้อน () ในรูปแบบตรีโกณมิติ

.

จากสูตรคำนวณรากของจำนวนเชิงซ้อน จะได้

ลอการิทึมของจำนวนเชิงซ้อน zเป็นตัวเลข w, ซึ่ง . ลอการิทึมธรรมชาติของจำนวนเชิงซ้อนมีค่าเป็นอนันต์และคำนวณโดยสูตร

ประกอบด้วยส่วนจริง (โคไซน์) และส่วนจินตภาพ (ไซน์) ความเค้นดังกล่าวสามารถแสดงเป็นเวกเตอร์ของความยาวได้ อืม, เฟสเริ่มต้น (มุม) หมุนด้วยความเร็วเชิงมุม ω .

ยิ่งกว่านั้น หากเพิ่มฟังก์ชันที่ซับซ้อนเข้าไป ส่วนของจริงและส่วนจินตภาพก็จะถูกเพิ่มเข้าไป ถ้าฟังก์ชันเชิงซ้อนคูณด้วยค่าคงที่หรือฟังก์ชันจริง ส่วนจำนวนจริงและส่วนจินตภาพจะถูกคูณด้วยตัวประกอบเดียวกัน ดิฟเฟอเรนติเอชัน/อินทิเกรชันของฟังก์ชันที่ซับซ้อนดังกล่าวจะลดลงเป็นการสร้างความแตกต่าง/การรวมส่วนจริงและส่วนจินตภาพ

ตัวอย่างเช่น ความแตกต่างของการแสดงออกของความเครียดที่ซับซ้อน

คือการคูณด้วย iω คือส่วนที่แท้จริงของฟังก์ชัน f(z) และ เป็นส่วนจินตภาพของฟังก์ชัน ตัวอย่าง: .

ความหมาย zถูกแทนด้วยจุดในระนาบ z เชิงซ้อน และค่าที่สอดคล้องกัน w- จุดในระนาบเชิงซ้อน w. เมื่อแสดง w = ฉ(z)สายเครื่องบิน zผ่านเข้าไปในเส้นของเครื่องบิน w, ร่างของระนาบหนึ่งเป็นอีกร่างหนึ่ง แต่รูปร่างของเส้นหรือตัวเลขอาจเปลี่ยนแปลงอย่างมีนัยสำคัญ