ความหมายของอนุพันธ์อันดับ 1 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน

นี่คือตารางสรุปเพื่อความสะดวกและชัดเจนเมื่อศึกษาหัวข้อ

คงที่y=C ฟังก์ชันกำลัง y = x p (x p)" = p x p - 1	ฟังก์ชันเลขชี้กำลังy = x (a x)" = a x ln a โดยเฉพาะเมื่อก = อีเรามี y = อี x (e x)" = อี x
ฟังก์ชันลอการิทึม (บันทึก a x) " = 1 x ln a โดยเฉพาะเมื่อก = อีเรามี y = บันทึก x (ln x)" = 1 x	ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (บาป x) "= cos x (cos x)" = - บาป x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x)" = - 1 บาป 2 x
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน (a r c บาป x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2	ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

ให้เราวิเคราะห์ว่าได้สูตรของตารางที่ระบุมาได้อย่างไร หรืออีกนัยหนึ่ง เราจะพิสูจน์ที่มาของสูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันแต่ละประเภท

อนุพันธ์ของค่าคงที่

หลักฐาน 1

เพื่อให้ได้สูตรนี้ เราใช้คำจำกัดความของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งเป็นพื้นฐาน เราใช้ x 0 = x โดยที่ xรับค่าของจำนวนจริงใด ๆ หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง xเป็นตัวเลขใดๆ จากโดเมนของฟังก์ชัน f (x) = C ลองเขียนลิมิตของอัตราส่วนของการเพิ่มฟังก์ชันให้กับอาร์กิวเมนต์เป็น ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

โปรดทราบว่านิพจน์ 0 ∆ x อยู่ภายใต้เครื่องหมายจำกัด ไม่ใช่ความไม่แน่นอนของ "ศูนย์หารด้วยศูนย์" เนื่องจากตัวเศษไม่มีค่าที่น้อยที่สุด แต่เป็นศูนย์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันคงที่จะเป็นศูนย์เสมอ

ดังนั้น อนุพันธ์ของฟังก์ชันคงที่ f (x) = C เท่ากับศูนย์ตลอดโดเมนของคำจำกัดความ

ตัวอย่าง 1

กำหนดฟังก์ชันคงที่:

f 1 (x) = 3 , f 2 (x) = a , a ∈ R , f 3 (x) = 4 . 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

วิธีการแก้

ให้เราอธิบายเงื่อนไขที่กำหนด ในฟังก์ชันแรก เราจะเห็นอนุพันธ์ของจำนวนธรรมชาติ 3 . ในตัวอย่างต่อไปนี้ คุณต้องหาอนุพันธ์ของ เอ, ที่ไหน เอ- จำนวนจริงใดๆ ตัวอย่างที่สามให้อนุพันธ์ของจำนวนอตรรกยะ 4 แก่เรา 13 7 22 , ที่สี่ - อนุพันธ์ของศูนย์ (ศูนย์เป็นจำนวนเต็ม) สุดท้าย กรณีที่ห้า เรามีอนุพันธ์ของเศษตรรกยะ - 8 7 .

ตอบ:อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดเป็นศูนย์สำหรับจำนวนจริงใดๆ x(ตลอดขอบเขตของคำจำกัดความ)

f 1 " (x) = (3)" = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0" = 0 , f 5 " (x) = - 8 7" = 0

อนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลัง

เราหันไปหาฟังก์ชันกำลังและสูตรอนุพันธ์ซึ่งมีรูปแบบ: (x p) " = p x p - 1 โดยที่เลขชี้กำลัง พีเป็นจำนวนจริงใดๆ

หลักฐาน2

นี่คือข้อพิสูจน์ของสูตรเมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ: พี = 1 , 2 , 3 , …

อีกครั้งที่เราอาศัยคำจำกัดความของอนุพันธ์ ลองเขียนขีด จำกัด ของอัตราส่วนของการเพิ่มของฟังก์ชันกำลังกับการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

เพื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ในตัวเศษ เราใช้สูตรทวินามของนิวตัน:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

ทางนี้:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 x p - 1 + 0 + 0 + . . . + 0 = p! 1! (p - 1)! x p - 1 = p x p - 1

เราจึงพิสูจน์สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังเมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ

หลักฐาน 3

เพื่อเป็นหลักฐานในคดีเมื่อ พี-จำนวนจริงใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ เราใช้อนุพันธ์ลอการิทึม (ในที่นี้ เราควรเข้าใจความแตกต่างจากอนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม) เพื่อให้มีความเข้าใจที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้น ขอแนะนำให้ศึกษาอนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึมและจัดการกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยนัยและอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนเพิ่มเติม

พิจารณาสองกรณี: เมื่อ xบวกและเมื่อ xเป็นลบ

ดังนั้น x > 0 จากนั้น: x p > 0 เรานำลอการิทึมของความเท่าเทียมกัน y \u003d x p ไปที่ฐาน e และใช้คุณสมบัติของลอการิทึม:

y = x p ln y = ln x p ln y = พี ln x

ในขั้นตอนนี้ ได้รับฟังก์ชันที่กำหนดไว้โดยปริยาย มานิยามอนุพันธ์ของมันกัน:

(ln y) " = (p ln x) 1 y y " = p 1 x ⇒ y " = p y x = p x p x = p x p - 1

ตอนนี้เราพิจารณากรณีที่เมื่อ x-จำนวนลบ

ถ้าตัวบ่งชี้ พีเป็นเลขคู่ แล้วฟังก์ชันกำลังก็ถูกกำหนดสำหรับ x . ด้วย< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

จากนั้น xp< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

ถ้า พีเป็นเลขคี่ ดังนั้นฟังก์ชันกำลังถูกกำหนดสำหรับ x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y "(x) \u003d (- (- x) p) " \u003d - ((- x) p) " \u003d - p (- x) p - 1 (- x) " = \u003d p (- x ) p - 1 = p x p - 1

การเปลี่ยนแปลงครั้งสุดท้ายเป็นไปได้เพราะถ้า พีเป็นเลขคี่ ดังนั้น หน้า - 1เลขคู่หรือศูนย์ (สำหรับ p = 1) ดังนั้นสำหรับค่าลบ xความเท่าเทียมกัน (- x) p - 1 = x p - 1 เป็นจริง

เราได้พิสูจน์สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังสำหรับ p จริงใดๆ

ตัวอย่าง 2

ฟังก์ชันที่กำหนด:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x บันทึก 7 12

กำหนดอนุพันธ์ของพวกมัน

วิธีการแก้

เราแปลงส่วนหนึ่งของฟังก์ชันที่กำหนดให้อยู่ในรูปแบบตาราง y = x p ตามคุณสมบัติของดีกรี แล้วใช้สูตร:

f 1 (x) \u003d 1 x 2 3 \u003d x - 2 3 ⇒ f 1 "(x) \u003d - 2 3 x - 2 3 - 1 \u003d - 2 3 x - 5 3 f 2 "(x) \u003d x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x บันทึก 7 12 = x - บันทึก 7 12 ⇒ f 3 " ( x) = - บันทึก 7 12 x - บันทึก 7 12 - 1 = - บันทึก 7 12 x - บันทึก 7 12 - บันทึก 7 7 = - บันทึก 7 12 x - บันทึก 7 84

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

พิสูจน์ 4

เราได้รับสูตรสำหรับอนุพันธ์ตามคำจำกัดความ:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

เราได้รับความไม่แน่นอน เพื่อขยาย เราเขียนตัวแปรใหม่ z = a ∆ x - 1 (z → 0 เป็น ∆ x → 0) ในกรณีนี้ a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a สำหรับการเปลี่ยนครั้งสุดท้าย จะใช้สูตรสำหรับการเปลี่ยนเป็นฐานใหม่ของลอการิทึม

มาทำการทดแทนในขีด จำกัด เดิม:

(a x) " = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x ln a lim ∆ x → 0 1 1 z ln (z + 1) = = a x ln a lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

จำขีดจำกัดที่ยอดเยี่ยมที่สอง แล้วเราจะได้สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง:

(a x) " = a x ln a 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln e = a x ln a

ตัวอย่างที่ 3

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังได้รับ:

ฉ 1 (x) = 2 3 x , ฉ 2 (x) = 5 3 x , ฉ 3 (x) = 1 (จ) x

เราต้องหาอนุพันธ์ของพวกมัน

วิธีการแก้

เราใช้สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและคุณสมบัติของลอการิทึม:

f 1 "(x) = 2 3 x" = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 "(x) = 5 3 x" = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x" = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม

พิสูจน์ 5

เรานำเสนอการพิสูจน์สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึมสำหรับ any xในขอบเขตของคำจำกัดความและค่าที่ถูกต้องของฐาน a ของลอการิทึม จากนิยามของอนุพันธ์ เราได้รับ:

(ล็อก a x) " = lim ∆ x → 0 บันทึก a (x + ∆ x) - บันทึก a x ∆ x = lim ∆ x → 0 บันทึก a x + ∆ x x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x บันทึก a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 บันทึก a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 บันทึก a 1 + ∆ x x 1 ∆ x x x = lim ∆ x → 0 1 x บันทึก a 1 + ∆ x x x x ∆ x = = 1 x บันทึก a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x บันทึก a e = 1 x ln e ln a = 1 x ln a

สามารถเห็นได้จากห่วงโซ่ของความเท่าเทียมกันที่ระบุซึ่งการแปลงถูกสร้างขึ้นบนพื้นฐานของคุณสมบัติลอการิทึม ลิมิตความเท่าเทียมกัน ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e เป็นจริงตามขีดจำกัดที่น่าทึ่งที่สอง

ตัวอย่างที่ 4

ฟังก์ชันลอการิทึมจะได้รับ:

f 1 (x) = บันทึกบันทึก 3 x , f 2 (x) = บันทึก x

จำเป็นต้องคำนวณอนุพันธ์ของพวกมัน

วิธีการแก้

ลองใช้สูตรที่ได้รับ:

f 1 "(x) = (บันทึก ln 3 x)" = 1 x ln (ln 3) ; f 2 "(x) \u003d (ln x)" \u003d 1 x ln e \u003d 1 x

ดังนั้นอนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติจึงหารด้วย x.

อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

หลักฐาน 6

เราใช้สูตรตรีโกณมิติบางสูตรและขีดจำกัดแรกที่ยอดเยี่ยมในการหาสูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

จากนิยามของอนุพันธ์ของฟังก์ชันไซน์ เราได้:

(บาป x) " = lim ∆ x → 0 บาป (x + ∆ x) - บาป x ∆ x

สูตรสำหรับความแตกต่างของไซน์จะช่วยให้เราสามารถดำเนินการดังต่อไปนี้:

(บาป x) " = lim ∆ x → 0 บาป (x + ∆ x) - บาป x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 บาป x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 บาป ∆ x 2 cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 บาป ∆ x 2 ∆ x 2

สุดท้าย เราใช้ขีด จำกัด ที่ยอดเยี่ยมแรก:

บาป "x = cos x + 0 2 ลิม ∆ x → 0 บาป ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน บาป xจะ cos x.

เราจะพิสูจน์สูตรของอนุพันธ์โคไซน์ด้วยวิธีเดียวกัน:

cos "x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 บาป x + ∆ x - x 2 บาป x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 บาป ∆ x 2 บาป x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - บาป x + 0 2 ลิม ∆ x → 0 บาป ∆ x 2 ∆ x 2 = - บาป x

เหล่านั้น. อนุพันธ์ของฟังก์ชัน cos x จะเป็น – บาป x.

เราได้รับสูตรสำหรับอนุพันธ์ของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ตามกฎของความแตกต่าง:

t g "x = บาป x cos x" = บาป "x cos x - บาป x cos "x cos 2 x = = cos x cos x - บาป x (- บาป x) cos 2 x = บาป 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g "x = cos x บาป x" = cos "x บาป x - cos x บาป "x บาป 2 x = = - บาป x บาป x - cos x cos x บาป 2 x = - บาป 2 x + cos 2 x บาป 2 x = - 1 บาป 2 x

อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

ส่วนเกี่ยวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผันให้ข้อมูลที่ครอบคลุมเกี่ยวกับการพิสูจน์สูตรสำหรับอนุพันธ์ของอาร์กไซน์ อาร์คโคไซน์ อาร์คแทนเจนต์และอาร์คโคแทนเจนต์ ดังนั้นเราจะไม่ทำซ้ำเนื้อหาที่นี่

อนุพันธ์ของฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

พิสูจน์7

เราหาสูตรสำหรับอนุพันธ์ของไฮเพอร์โบลิกไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ได้โดยใช้กฎดิฟเฟอเรนติเอชันและสูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง:

s h "x = e x - e - x 2" = 1 2 e x "- e - x" == 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h "x = e x + e - x 2" = 1 2 e x "+ e - x" == 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h "x = s h x c h x" = s h "x c h x - s h x c h "x c c h 2 h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h "x = c h x s h x" = c h "x s h x - c h x s h "x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

สามารถนำออกจากป้าย อนุพันธ์:

(af(x)"=af" (x).

ตัวอย่างเช่น:

อนุพันธ์ของผลรวมเชิงพีชคณิตหลายฟังก์ชัน (นำมาเป็นจำนวนคงที่) เท่ากับผลรวมเชิงพีชคณิตของ อนุพันธ์:

(f 1 (x) + f 2 (x) - f 3 (x))" = f 1 "(x) + f 2 "(x) - f 3 "(x)

ตัวอย่างเช่น:

(0.3 x 2 - 2 x + 0.8) "= (0.3 x 2)" - (2 x) "+ (0.8)" = 0.6 x - 2 ( อนุพันธ์ล่าสุด ภาคเรียนสมการเป็นศูนย์)

ถ้า อนุพันธ์ของฟังก์ชัน g ไม่ใช่ศูนย์ ดังนั้นอัตราส่วน f/g ก็มี อนุพันธ์ขั้นสุดท้าย. คุณสมบัตินี้สามารถเขียนได้ดังนี้:

.

อนุญาต ฟังก์ชั่น y = f(x) และ y = g(x) มี อนุพันธ์จำกัดที่จุด x 0 . แล้ว ฟังก์ชั่น f ± g และ f g ก็มี อนุพันธ์ขั้นสุดท้ายในนี้ จุด. จากนั้นเราได้รับ:

(f ± g) ′ = f ′ ± g ′,

(f g) ′ = f ′ g + f g ′

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

อนุญาต การทำงาน y = f(x) มี อนุพันธ์ขั้นสุดท้ายที่จุด x 0 , ฟังก์ชัน z = s(y) มีอนุพันธ์จำกัดที่จุด y 0 = f(x 0)

แล้ว ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน z = s (f(x)) มีอนุพันธ์จำกัด ณ จุดนี้ด้วย สามารถเขียนได้ในรูปแบบ:

.

อนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผัน

ให้ฟังก์ชัน y = f(x) มี ฟังก์ชันผกผัน x = g(y) ในบางส่วน ช่วงเวลา(a, b) และมีค่าที่ไม่ใช่ศูนย์ อนุพันธ์ขั้นสุดท้ายฟังก์ชันนี้ที่จุด x 0 ซึ่งเป็นของ โดเมน, เช่น. x 0 ∈ (a, b).

แล้ว ฟังก์ชันผกผันมันมี อนุพันธ์ณ จุด y 0 = f(x 0):

.

อนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยนัย

ถ้า การทำงาน y = f(x) ถูกกำหนดโดยปริยาย สมการ F(x, y(x)) = 0 แล้วก็ อนุพันธ์หาได้จากเงื่อนไข:

.

พวกเขาบอกว่า การทำงาน y = ฉ(x) กำหนดโดยปริยาย, ถ้าหล่อน เหมือนกันตอบสนองความสัมพันธ์:

โดยที่ F(x, y) เป็นฟังก์ชันบางอย่างของสองอาร์กิวเมนต์

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดแบบพาราเมตริก

ถ้า การทำงาน y = f(x) ถูกกำหนดแบบพาราเมตริกโดยใช้การพิจารณา

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นหนึ่งในหัวข้อที่ยากที่สุดในหลักสูตรของโรงเรียน ไม่ใช่บัณฑิตทุกคนที่จะตอบคำถามว่าอนุพันธ์คืออะไร

บทความนี้อธิบายอย่างเรียบง่ายและชัดเจนว่าอนุพันธ์คืออะไรและเหตุใดจึงจำเป็น. ตอนนี้เราจะไม่พยายามนำเสนออย่างเข้มงวดทางคณิตศาสตร์ สิ่งสำคัญที่สุดคือต้องเข้าใจความหมาย

จำคำนิยาม:

อนุพันธ์คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน

รูปแสดงกราฟของฟังก์ชันสามอย่าง คุณคิดว่าอันไหนเติบโตเร็วที่สุด?

คำตอบนั้นชัดเจน - ข้อที่สาม มีอัตราการเปลี่ยนแปลงสูงสุด นั่นคือ อนุพันธ์ที่ใหญ่ที่สุด

นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่ง

Kostya, Grisha และ Matvey ได้งานพร้อมกัน มาดูกันว่ารายได้ของพวกเขาเปลี่ยนไปอย่างไรในระหว่างปี:

คุณสามารถดูทุกอย่างบนแผนภูมิได้ทันทีใช่ไหม รายได้ของ Kostya เพิ่มขึ้นกว่าเท่าตัวในหกเดือน และรายได้ของ Grisha ก็เพิ่มขึ้นเช่นกัน แต่เพียงเล็กน้อย และรายได้ของแมทธิวลดลงเหลือศูนย์ เงื่อนไขเริ่มต้นเหมือนกัน แต่อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันคือ อนุพันธ์, - แตกต่าง. สำหรับ Matvey อนุพันธ์ของรายได้ของเขามักจะติดลบ

เราสามารถประมาณอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันได้อย่างง่ายดาย แต่เราจะทำอย่างไร?

สิ่งที่เรากำลังมองหาคือความชันของกราฟของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น (หรือลดลง) กล่าวอีกนัยหนึ่ง y เปลี่ยนแปลงเร็วแค่ไหนกับ x เห็นได้ชัดว่า ฟังก์ชันเดียวกันที่จุดต่าง ๆ สามารถมีค่าอนุพันธ์ต่างกันได้ นั่นคือ มันสามารถเปลี่ยนแปลงได้เร็วหรือช้าลง

อนุพันธ์ของฟังก์ชันแสดงโดย

มาดูวิธีการหาโดยใช้กราฟกัน

กราฟของฟังก์ชันบางอย่างถูกวาดขึ้น ใช้ประเด็นกับเรื่องนี้ด้วย abscissa วาดแทนเจนต์ให้กับกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดนี้ เราต้องการประเมินว่ากราฟของฟังก์ชันสูงขึ้นมากเพียงใด ค่าที่สะดวกสำหรับสิ่งนี้คือ แทนเจนต์ของความชันของแทนเจนต์.

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งเท่ากับแทนเจนต์ของความชันของแทนเจนต์ที่วาดไปยังกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดนั้น

โปรดทราบ - เนื่องจากมุมเอียงของเส้นสัมผัส เราใช้มุมระหว่างแทนเจนต์กับทิศทางบวกของแกน

บางครั้งนักเรียนถามว่าแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันคืออะไร นี่เป็นเส้นตรงที่มีจุดร่วมกับกราฟในส่วนนี้เท่านั้น ยิ่งกว่านั้น ดังแสดงในรูปของเรา ดูเหมือนแทนเจนต์ของวงกลม

มาหากัน. เราจำได้ว่าแทนเจนต์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับอัตราส่วนของขาตรงข้ามกับขาที่อยู่ติดกัน จากรูปสามเหลี่ยม:

เราพบอนุพันธ์โดยใช้กราฟโดยที่ไม่รู้สูตรของฟังก์ชันด้วยซ้ำ งานดังกล่าวมักพบในข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ตามจำนวน

มีความสัมพันธ์ที่สำคัญอีกประการหนึ่ง จำได้ว่าเส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการ

ปริมาณในสมการนี้เรียกว่า ความชันของเส้นตรง. เท่ากับค่าแทนเจนต์ของมุมเอียงของเส้นตรงกับแกน

.

เราได้รับสิ่งนั้น

มาจำสูตรนี้กัน เป็นการแสดงออกถึงความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งเท่ากับความชันของแทนเจนต์ที่วาดไปยังกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดนั้น

กล่าวอีกนัยหนึ่ง อนุพันธ์เท่ากับแทนเจนต์ของความชันของแทนเจนต์

เราได้กล่าวไปแล้วว่าฟังก์ชันเดียวกันสามารถมีอนุพันธ์ต่างกันที่จุดต่างๆ ได้ ลองดูว่าอนุพันธ์สัมพันธ์กับพฤติกรรมของฟังก์ชันอย่างไร

ลองวาดกราฟของฟังก์ชันบางอย่างกัน ให้ฟังก์ชันนี้เพิ่มขึ้นในบางพื้นที่และลดลงในส่วนอื่นๆ และในอัตราที่ต่างกัน และให้ฟังก์ชันนี้มีจุดสูงสุดและต่ำสุด

เมื่อถึงจุดหนึ่ง ฟังก์ชันก็เพิ่มขึ้น แทนเจนต์ของกราฟที่วาดที่จุด ทำให้เกิดมุมแหลมที่มีทิศทางบวกของแกน ดังนั้นอนุพันธ์จึงเป็นบวกที่จุดนั้น

ณ จุดนั้น หน้าที่ของเราลดลง แทนเจนต์ ณ จุดนี้สร้างมุมป้านที่มีทิศทางบวกของแกน เนื่องจากแทนเจนต์ของมุมป้านเป็นลบ อนุพันธ์ที่จุดนั้นจึงเป็นลบ

นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้น:

ถ้าฟังก์ชันเพิ่มขึ้น อนุพันธ์ของมันเป็นบวก

ถ้ามันลดลง อนุพันธ์ของมันคือลบ

และจะเกิดอะไรขึ้นที่จุดสูงสุดและต่ำสุด? เราจะเห็นว่าที่ (จุดสูงสุด) และ (จุดต่ำสุด) แทนเจนต์อยู่ในแนวนอน ดังนั้น แทนเจนต์ของความชันของแทนเจนต์ที่จุดเหล่านี้จึงเป็นศูนย์ และอนุพันธ์ก็เป็นศูนย์เช่นกัน

จุดคือจุดสูงสุด ณ จุดนี้ การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันจะถูกแทนที่ด้วยการลดลง ดังนั้น เครื่องหมายของอนุพันธ์จะเปลี่ยนที่จุดจาก "บวก" เป็น "ลบ"

ณ จุดนั้น - จุดต่ำสุด - อนุพันธ์ก็เท่ากับศูนย์เช่นกัน แต่เครื่องหมายของมันเปลี่ยนจาก "ลบ" เป็น "บวก"

สรุป: ด้วยความช่วยเหลือของอนุพันธ์ คุณสามารถค้นหาทุกสิ่งที่เราสนใจเกี่ยวกับพฤติกรรมของฟังก์ชัน

ถ้าอนุพันธ์เป็นบวก แสดงว่าฟังก์ชันเพิ่มขึ้น

ถ้าอนุพันธ์เป็นลบ แสดงว่าฟังก์ชันนั้นลดลง

ที่จุดสูงสุด อนุพันธ์เป็นศูนย์และเปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกเป็นลบ

ที่จุดต่ำสุด อนุพันธ์ยังเป็นศูนย์และเปลี่ยนเครื่องหมายจากลบเป็นบวก

เราเขียนผลการวิจัยเหล่านี้ในรูปแบบของตาราง:

	เพิ่มขึ้น	จุดสูงสุด	ลดลง	จุดต่ำสุด	เพิ่มขึ้น
+	0	-	0	+

มาทำให้คำชี้แจงเล็ก ๆ สองข้อ คุณจะต้องใช้หนึ่งในนั้นเมื่อแก้ปัญหาการสอบ อีกประการหนึ่งคือในปีแรกด้วยการศึกษาหน้าที่และอนุพันธ์อย่างจริงจังมากขึ้น

กรณีเป็นไปได้เมื่ออนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งเท่ากับศูนย์ แต่ฟังก์ชันไม่มีค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุด ณ จุดนี้ สิ่งนี้เรียกว่า :

ณ จุดหนึ่ง แทนเจนต์ของกราฟอยู่ในแนวนอนและอนุพันธ์เป็นศูนย์ อย่างไรก็ตาม ก่อนถึงจุดนั้น ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น - และหลังจากจุดนั้น ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ เครื่องหมายของอนุพันธ์ไม่เปลี่ยนแปลง - ยังคงเป็นบวกเหมือนเดิม

นอกจากนี้ยังเกิดขึ้นที่จุดสูงสุดหรือต่ำสุดไม่มีอนุพันธ์ บนกราฟ ค่านี้จะสัมพันธ์กับการแตกหักที่แหลมคม เมื่อไม่สามารถวาดแทนเจนต์ ณ จุดที่กำหนดได้

แต่จะค้นหาอนุพันธ์ได้อย่างไรหากฟังก์ชันไม่ได้ถูกกำหนดโดยกราฟ แต่เกิดจากสูตร ในกรณีนี้จะใช้

เป็นไปไม่ได้อย่างยิ่งที่จะแก้ปัญหาทางกายภาพหรือตัวอย่างในวิชาคณิตศาสตร์โดยปราศจากความรู้เกี่ยวกับอนุพันธ์และวิธีการคำนวณ อนุพันธ์เป็นหนึ่งในแนวคิดที่สำคัญที่สุดของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เราตัดสินใจที่จะอุทิศบทความของวันนี้ให้กับหัวข้อพื้นฐานนี้ อนุพันธ์คืออะไร, ความหมายทางกายภาพและเรขาคณิตของมันคืออะไร, วิธีการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน? คำถามเหล่านี้สามารถรวมเป็นหนึ่งเดียว: จะเข้าใจอนุพันธ์ได้อย่างไร

ความหมายทางเรขาคณิตและทางกายภาพของอนุพันธ์

ให้มีฟังก์ชั่น เอฟ(x) กำหนดไว้เป็นช่วงๆ (ก,ข) . คะแนน x และ x0 เป็นของช่วงเวลานี้ เมื่อ x เปลี่ยนแปลง ฟังก์ชันจะเปลี่ยนเอง การเปลี่ยนแปลงอาร์กิวเมนต์ - ความแตกต่างของค่าของมัน x-x0 . ความแตกต่างนี้เขียนเป็น เดลต้า x และเรียกว่าอาร์กิวเมนต์ที่เพิ่มขึ้น การเปลี่ยนแปลงหรือการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันคือความแตกต่างระหว่างค่าของฟังก์ชันที่จุดสองจุด คำนิยามอนุพันธ์:

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งคือขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนดต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์เมื่อส่วนหลังมีแนวโน้มเป็นศูนย์

อย่างอื่นเขียนได้ดังนี้

อะไรคือประเด็นในการหาขีด จำกัด ดังกล่าว? แต่อันไหน:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งเท่ากับแทนเจนต์ของมุมระหว่างแกน OX และแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนด

ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์: อนุพันธ์เวลาของเส้นทางเท่ากับความเร็วของการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง

อันที่จริงตั้งแต่สมัยเรียน ทุกคนรู้ดีว่าความเร็วเป็นเส้นทางส่วนตัว x=f(t) และเวลา t . ความเร็วเฉลี่ยในช่วงระยะเวลาหนึ่ง:

เพื่อหาความเร็วของการเคลื่อนที่ในแต่ละครั้ง t0 คุณต้องคำนวณขีด จำกัด :

กฎข้อที่หนึ่ง: นำค่าคงที่ออก

ค่าคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้ ยิ่งกว่านั้นก็ต้องทำ เมื่อแก้ตัวอย่างในวิชาคณิตศาสตร์ให้ใช้เป็นกฎ - หากคุณลดรูปนิพจน์ได้ ให้แน่ใจว่าได้ลดความซับซ้อน .

ตัวอย่าง. มาคำนวณอนุพันธ์กัน:

กฎข้อที่สอง: อนุพันธ์ของผลรวมของฟังก์ชัน

อนุพันธ์ของผลรวมของฟังก์ชันทั้งสองมีค่าเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ เช่นเดียวกับอนุพันธ์ของผลต่างของฟังก์ชันก็เช่นเดียวกัน

เราจะไม่ให้การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ แต่ให้พิจารณาตัวอย่างที่ใช้งานได้จริง

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

กฎข้อที่สาม: อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชัน

อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชันอนุพันธ์สองตัวคำนวณโดยสูตร:

ตัวอย่าง: ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

วิธีการแก้:

นี่เป็นสิ่งสำคัญที่จะพูดเกี่ยวกับการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนเท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้เทียบกับอาร์กิวเมนต์ระดับกลางโดยอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ระดับกลางเทียบกับตัวแปรอิสระ

ในตัวอย่างข้างต้น เราพบนิพจน์:

ในกรณีนี้ อาร์กิวเมนต์ระดับกลางคือ 8x ยกกำลังห้า ในการคำนวณอนุพันธ์ของนิพจน์ดังกล่าว ก่อนอื่นเราจะพิจารณาอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกที่สัมพันธ์กับอาร์กิวเมนต์ระดับกลาง จากนั้นคูณด้วยอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ระดับกลางด้วยความเคารพต่อตัวแปรอิสระ

กฎข้อที่สี่: อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน

สูตรสำหรับหาอนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน:

เราพยายามพูดคุยเกี่ยวกับอนุพันธ์สำหรับหุ่นจำลองตั้งแต่ต้น หัวข้อนี้ไม่ง่ายอย่างที่คิด ดังนั้นโปรดระวัง: มักจะมีข้อผิดพลาดในตัวอย่าง ดังนั้นควรระมัดระวังในการคำนวณอนุพันธ์

หากมีคำถามเกี่ยวกับเรื่องนี้และหัวข้ออื่น ๆ คุณสามารถติดต่อฝ่ายบริการนักเรียนได้ ในเวลาอันสั้น เราจะช่วยคุณแก้ปัญหาการควบคุมที่ยากที่สุดและจัดการกับงานต่างๆ แม้ว่าคุณจะไม่เคยจัดการกับการคำนวณอนุพันธ์มาก่อนก็ตาม