รูปหลายเหลี่ยม, รูปหลายเหลี่ยมนูน, รูปสี่เหลี่ยม. รูปหลายเหลี่ยมนูน เรียกว่า รูปหลายเหลี่ยมนูน

แนวคิดของรูปหลายเหลี่ยม

คำจำกัดความ 1

รูปหลายเหลี่ยมเรียกว่า รูปทรงเรขาคณิตในระนาบซึ่งประกอบด้วยส่วนที่เชื่อมต่อกันแบบคู่ซึ่งอยู่ใกล้เคียงกันซึ่งไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว

ในกรณีนี้จะเรียกส่วนต่างๆ ด้านรูปหลายเหลี่ยมและจุดจบของพวกเขาคือ จุดยอดหลายเหลี่ยม.

คำจำกัดความ 2

$n$-gon เป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอด $n$

ประเภทของรูปหลายเหลี่ยม

นิยาม 3

ถ้ารูปหลายเหลี่ยมอยู่ที่ด้านใดด้านหนึ่งของเส้นที่ผ่านด้านข้างเสมอ ก็จะเรียกรูปหลายเหลี่ยมนั้น นูน(รูปที่ 1)

รูปที่ 1 รูปหลายเหลี่ยมนูน

ความหมาย 4

หากรูปหลายเหลี่ยมอยู่บนด้านตรงข้ามของเส้นตรงอย่างน้อยหนึ่งเส้นที่ผ่านด้านข้าง รูปหลายเหลี่ยมนั้นจะเรียกว่าไม่นูน (รูปที่ 2)

รูปที่ 2 รูปหลายเหลี่ยมที่ไม่นูน

ผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยม

เราแนะนำทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมของ -gon

ทฤษฎีบท 1

ผลรวมของมุมนูน -gon ถูกกำหนดดังนี้

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

การพิสูจน์.

ให้เราได้รับรูปหลายเหลี่ยมนูน $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$ เชื่อมต่อจุดยอด $A_1$ กับจุดยอดอื่น ๆ ทั้งหมดของรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนด (รูปที่ 3)

รูปที่ 3

ด้วยการเชื่อมต่อดังกล่าว เราได้สามเหลี่ยม $n-2$ เมื่อรวมมุมของพวกมันแล้ว เราจะได้ผลรวมของมุมของ -gon ที่กำหนด เนื่องจากผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ $(180)^0,$ เราจึงได้ผลลัพธ์ว่าผลรวมของมุมของนูน -gon ถูกกำหนดโดยสูตร

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

แนวคิดของรูปสี่เหลี่ยม

การใช้คำจำกัดความของ $2$ ทำให้ง่ายต่อการแนะนำคำจำกัดความของรูปสี่เหลี่ยม

คำจำกัดความ 5

รูปสี่เหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอด $4$ (รูปที่ 4)

รูปที่ 4 รูปสี่เหลี่ยม

สำหรับรูปสี่เหลี่ยม แนวคิดของรูปสี่เหลี่ยมด้านนูนและรูปสี่เหลี่ยมด้านไม่นูนจะกำหนดไว้ในทำนองเดียวกัน ตัวอย่างคลาสสิกของสี่เหลี่ยมนูน ได้แก่ สี่เหลี่ยมจัตุรัส สี่เหลี่ยมผืนผ้า สี่เหลี่ยมคางหมู สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน สี่เหลี่ยมด้านขนาน (รูปที่ 5)

รูปที่ 5 รูปสี่เหลี่ยมนูน

ทฤษฎีบท 2

ผลรวมของมุมของรูปสี่เหลี่ยมนูนคือ $(360)^0$

การพิสูจน์.

จากทฤษฎีบท $1$ เรารู้ว่าผลรวมของมุมนูน -gon ถูกกำหนดโดยสูตร

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

ดังนั้น ผลบวกของมุมของรูปสี่เหลี่ยมนูนคือ

\[\left(4-2\right)\cdot (180)^0=(360)^0\]

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ในบทเรียนนี้ เราจะเริ่มหัวข้อใหม่และแนะนำแนวคิดของ "รูปหลายเหลี่ยม" ซึ่งเป็นเรื่องใหม่สำหรับเรา เราจะพิจารณาแนวคิดพื้นฐานที่เกี่ยวข้องกับรูปหลายเหลี่ยม: ด้าน, จุดยอด, มุม, ความนูนและไม่นูน จากนั้นเราจะพิสูจน์ข้อเท็จจริงที่สำคัญที่สุด เช่น ทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยม ทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยม เป็นผลให้เราเข้าใกล้การศึกษากรณีพิเศษของรูปหลายเหลี่ยมซึ่งจะพิจารณาในบทเรียนในอนาคต

หัวเรื่อง : สี่เหลี่ยม

บทเรียน: รูปหลายเหลี่ยม

ในวิชาเรขาคณิตเราศึกษาคุณสมบัติของรูปทรงเรขาคณิตและได้พิจารณาถึงสิ่งที่ง่ายที่สุดแล้ว: สามเหลี่ยมและวงกลม ในเวลาเดียวกัน เรายังกล่าวถึงกรณีพิเศษเฉพาะของตัวเลขเหล่านี้ เช่น มุมฉาก หน้าจั่ว และสามเหลี่ยมปกติ ถึงเวลาพูดคุยเกี่ยวกับรูปร่างทั่วไปและซับซ้อนมากขึ้น - รูปหลายเหลี่ยม.

เป็นกรณีพิเศษด้วย รูปหลายเหลี่ยมเราคุ้นเคยอยู่แล้ว - นี่คือรูปสามเหลี่ยม (ดูรูปที่ 1)

ข้าว. 1. สามเหลี่ยม

ชื่อนี้เน้นอยู่แล้วว่าเป็นรูปที่มีสามมุม ดังนั้นใน รูปหลายเหลี่ยมอาจมีหลายคนเช่น มากกว่าสาม ตัวอย่างเช่น วาดรูปห้าเหลี่ยม (ดูรูปที่ 2) เช่น รูปห้ามุม

ข้าว. 2. ห้าเหลี่ยม รูปหลายเหลี่ยมนูน

คำนิยาม.รูปหลายเหลี่ยม- ตัวเลขที่ประกอบด้วยหลายจุด (มากกว่าสอง) และจำนวนส่วนที่สอดคล้องกันซึ่งเชื่อมต่อเป็นอนุกรม จุดเหล่านี้เรียกว่า ยอดเขารูปหลายเหลี่ยมและส่วน - ปาร์ตี้. ในกรณีนี้ ไม่มีด้านที่อยู่ติดกันสองด้านอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน และไม่มีด้านที่ไม่ติดกันสองด้านตัดกัน

คำนิยาม.รูปหลายเหลี่ยมปกติเป็นรูปหลายเหลี่ยมนูนที่ด้านและมุมเท่ากันทุกด้าน

ใดๆ รูปหลายเหลี่ยมแบ่งระนาบออกเป็นสองส่วน: ภายในและภายนอก การตกแต่งภายในเรียกอีกอย่างว่า รูปหลายเหลี่ยม.

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตัวอย่างเช่น เมื่อพูดถึงรูปห้าเหลี่ยม พวกเขาหมายถึงทั้งพื้นที่ด้านในและขอบของมัน และพื้นที่ด้านในยังรวมทุกจุดที่อยู่ในรูปหลายเหลี่ยมด้วย กล่าวคือ จุดนั้นเป็นของห้าเหลี่ยมด้วย (ดูรูปที่ 2)

รูปหลายเหลี่ยมบางครั้งเรียกอีกอย่างว่า n-gons เพื่อเน้นย้ำว่ากรณีทั่วไปของการมีจำนวนมุมที่ไม่ทราบจำนวน (n ชิ้น) กำลังได้รับการพิจารณา

คำนิยาม. ปริมณฑลรูปหลายเหลี่ยมคือผลรวมของความยาวของด้านของรูปหลายเหลี่ยม

ตอนนี้เราต้องทำความคุ้นเคยกับประเภทของรูปหลายเหลี่ยม พวกเขาแบ่งออกเป็น นูนและ ไม่นูน. ตัวอย่างเช่น รูปหลายเหลี่ยมที่แสดงในรูป 2 เป็นรูปนูน และในรูป 3 ไม่นูน

ข้าว. 3. รูปหลายเหลี่ยมที่ไม่นูน

คำจำกัดความ 1. รูปหลายเหลี่ยมเรียกว่า นูนถ้าเมื่อวาดเส้นตรงผ่านด้านใดด้านหนึ่งทั้งหมด รูปหลายเหลี่ยมอยู่เพียงด้านเดียวของเส้นนี้ ไม่นูนเป็นส่วนที่เหลือทั้งหมด รูปหลายเหลี่ยม.

เป็นเรื่องง่ายที่จะจินตนาการว่าเมื่อขยายด้านใดด้านหนึ่งของห้าเหลี่ยมในรูปที่ 2 ทั้งหมดจะอยู่ด้านหนึ่งของเส้นตรงนี้ นั่นคือ เขานูน แต่เมื่อลากเส้นตรงผ่านรูปสี่เหลี่ยม 3 เราเห็นแล้วว่ามันแบ่งออกเป็นสองส่วนคือ เขาไม่นูน

แต่มีคำจำกัดความอื่นของความนูนของรูปหลายเหลี่ยม

คำจำกัดความ 2 รูปหลายเหลี่ยมเรียกว่า นูนหากเมื่อเลือกจุดภายในสองจุดและเชื่อมต่อกับส่วน จุดทั้งหมดของส่วนนั้นจะเป็นจุดภายในของรูปหลายเหลี่ยมด้วย

การสาธิตการใช้คำจำกัดความนี้สามารถเห็นได้ในตัวอย่างการสร้างเซ็กเมนต์ในรูปที่ 2 และ 3

คำนิยาม. เส้นทแยงมุมรูปหลายเหลี่ยมคือส่วนใดๆ ที่เชื่อมต่อจุดยอดสองจุดที่ไม่อยู่ติดกัน

เพื่ออธิบายคุณสมบัติของรูปหลายเหลี่ยม มีสองทฤษฎีบทที่สำคัญที่สุดเกี่ยวกับมุมของมัน: ทฤษฎีบทผลรวมมุมภายในรูปหลายเหลี่ยมนูนและ ทฤษฎีบทผลรวมมุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมนูน. ลองพิจารณาพวกเขา

ทฤษฎีบท. ผลรวมของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมนูน (น-กอน).

จำนวนมุม (ด้าน) อยู่ที่ไหน

หลักฐาน 1. ลองอธิบายในรูป 4 นูน n-gon

ข้าว. 4. นูน n-gon

วาดเส้นทแยงมุมที่เป็นไปได้ทั้งหมดจากจุดยอด พวกเขาแบ่ง n-gon เป็นรูปสามเหลี่ยม เพราะ แต่ละด้านของรูปหลายเหลี่ยมเป็นรูปสามเหลี่ยม ยกเว้นด้านที่อยู่ติดกับจุดยอด จากรูปจะเห็นได้ง่ายว่าผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมทั้งหมดจะเท่ากับผลรวมของมุมภายในของ n-gon เนื่องจากผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมใดๆ คือ ผลรวมของมุมภายในของ n-gon คือ:

คิวอีดี

ข้อพิสูจน์ที่ 2 การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ก็เป็นไปได้เช่นกัน ลองวาด n-gon ที่คล้ายกันในรูปที่ 5 และเชื่อมต่อจุดภายในใดๆ กับจุดยอดทั้งหมด

ข้าว. 5.

เราได้พาร์ติชันของ n-gon เป็นรูปสามเหลี่ยม n รูป (มีกี่ด้าน กี่รูปสามเหลี่ยม) ผลรวมของมุมทั้งหมดจะเท่ากับผลรวมของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมและผลรวมของมุมที่จุดภายใน และนี่คือมุม เรามี:

คิวอีดี

พิสูจน์แล้ว

ตามทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้ว จะเห็นได้ว่าผลรวมของมุมของ n-gon ขึ้นอยู่กับจำนวนด้านของมัน (บน n) ตัวอย่างเช่น ในรูปสามเหลี่ยม และผลรวมของมุมคือ ในรูปสี่เหลี่ยมและผลรวมของมุม - ฯลฯ

ทฤษฎีบท. ผลรวมของมุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมนูน (น-กอน).

จำนวนมุม (ด้าน) อยู่ที่ไหนและ , ... เป็นมุมภายนอก

การพิสูจน์. ลองวาด n-gon นูนในรูป 6 และแสดงถึงมุมภายในและภายนอก

ข้าว. 6. n-gon นูนที่มีมุมด้านนอกที่ทำเครื่องหมายไว้

เพราะ มุมด้านนอกต่อกับด้านในให้ติดกัน และในทำนองเดียวกันสำหรับมุมภายนอกอื่นๆ แล้ว:

ระหว่างการแปลง เราใช้ทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วกับผลรวมของมุมภายในของ n-gon

พิสูจน์แล้ว

จากทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วได้ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจว่าผลรวมของมุมภายนอกของ n-gon นูนเท่ากับ ตามจำนวนมุม (ด้าน) อย่างไรก็ตาม ไม่เหมือนผลรวมของมุมภายใน

บรรณานุกรม

1. อเล็กซานดรอฟ ค.ศ. ฯลฯ เรขาคณิต ป.8. - ม.: การศึกษา, 2549.
2. Butuzov V.F. , Kadomtsev S.B. , Prasolov V.V. เรขาคณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 - ม.: การศึกษา, 2554.
3. Merzlyak A.G. , Polonsky V.B. , Yakir S.M. เรขาคณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 - ม.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Profmeter.com.ua ()
2. Narod.ru ()
3. Xvatit.com()

การบ้าน

รูปทรงเรขาคณิตเหล่านี้อยู่รอบตัวเราทุกที่ รูปหลายเหลี่ยมนูนเป็นธรรมชาติ เช่น รังผึ้ง หรือเทียม (มนุษย์สร้างขึ้น) ตัวเลขเหล่านี้ใช้ในการผลิตสารเคลือบประเภทต่างๆ ในงานจิตรกรรม งานสถาปัตยกรรม งานประดับตกแต่ง ฯลฯ รูปหลายเหลี่ยมนูนมีคุณสมบัติที่จุดทั้งหมดอยู่บนด้านเดียวกันของเส้นตรงที่ผ่านคู่ของจุดยอดที่อยู่ติดกันของรูปทรงเรขาคณิตนี้ มีคำจำกัดความอื่นเช่นกัน รูปหลายเหลี่ยมเรียกว่านูน ถ้าอยู่ในระนาบครึ่งเดียวเมื่อเทียบกับเส้นตรงที่มีด้านใดด้านหนึ่ง

ในวิชาเรขาคณิตเบื้องต้น จะพิจารณาเฉพาะรูปหลายเหลี่ยมอย่างง่ายเท่านั้น เพื่อให้เข้าใจถึงคุณสมบัติทั้งหมดจำเป็นต้องเข้าใจธรรมชาติของมัน ในการเริ่มต้นควรเข้าใจว่าบรรทัดใด ๆ ถูกเรียกว่าปิดซึ่งสิ้นสุดที่ตรงกัน ยิ่งไปกว่านั้น รูปทรงที่สร้างขึ้นสามารถมีการกำหนดค่าได้หลากหลาย รูปหลายเหลี่ยมเป็นเส้นตรงแบบปิดธรรมดา ซึ่งลิงก์ข้างเคียงไม่ได้อยู่ในเส้นตรงเดียวกัน การเชื่อมโยงและจุดยอดคือด้านข้างและจุดยอดของรูปทรงเรขาคณิตนี้ตามลำดับ เส้นตรงธรรมดาต้องไม่มีจุดตัดในตัวเอง

จุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมจะเรียกว่าประชิดหากเป็นจุดสิ้นสุดของด้านใดด้านหนึ่ง รูปทรงเรขาคณิตที่มีจำนวนจุดยอดเป็นลำดับที่ n และด้วยเหตุนี้จำนวนด้านเป็นลำดับที่ n จึงเรียกว่า n-gon เส้นแบ่งนั้นเรียกว่าเส้นขอบหรือรูปร่างของรูปทรงเรขาคณิตนี้ ระนาบหลายเหลี่ยมหรือรูปหลายเหลี่ยมแบนเรียกว่าส่วนปลายของระนาบใดๆ ที่ล้อมรอบด้วยระนาบนั้น ด้านประชิดของรูปทรงเรขาคณิตนี้เรียกว่า ส่วนของเส้นหักที่ออกมาจากจุดยอดจุดหนึ่ง พวกมันจะไม่อยู่ติดกันหากพวกมันมาจากจุดยอดที่แตกต่างกันของรูปหลายเหลี่ยม

ความหมายอื่นของรูปหลายเหลี่ยมนูน

ในเรขาคณิตเบื้องต้น มีคำจำกัดความที่เทียบเท่ากันอีกหลายคำที่บ่งชี้ว่ารูปหลายเหลี่ยมใดเรียกว่านูน ข้อความทั้งหมดนี้เป็นความจริงเท่าเทียมกัน รูปหลายเหลี่ยมนูนคือรูปที่มี:

ส่วนของเส้นตรงทุกเส้นที่เชื่อมต่อจุดสองจุดใดๆ

เส้นทแยงมุมทั้งหมดอยู่ในนั้น

มุมภายในใด ๆ ไม่เกิน 180°

รูปหลายเหลี่ยมจะแบ่งระนาบออกเป็น 2 ส่วนเสมอ หนึ่งในนั้นมีจำนวน จำกัด (สามารถล้อมรอบเป็นวงกลมได้) และอีกอันหนึ่งนั้นไม่ จำกัด ส่วนแรกเรียกว่าส่วนใน และส่วนที่สองคือส่วนนอกของรูปทรงเรขาคณิตนี้ รูปหลายเหลี่ยมนี้เป็นจุดตัดกัน (หรืออีกนัยหนึ่งคือส่วนประกอบทั่วไป) ของครึ่งระนาบหลายระนาบ ยิ่งไปกว่านั้น แต่ละส่วนที่สิ้นสุด ณ จุดที่เป็นของรูปหลายเหลี่ยมนั้นเป็นของมันโดยสมบูรณ์

ความหลากหลายของรูปหลายเหลี่ยมนูน

คำจำกัดความของรูปหลายเหลี่ยมนูนไม่ได้ระบุว่ามีหลายประเภท และแต่ละคนมีเกณฑ์ที่แน่นอน ดังนั้น รูปหลายเหลี่ยมนูนที่มีมุมภายใน 180° จึงเรียกว่านูนน้อย รูปทรงเรขาคณิตนูนที่มีจุดยอดสามจุดเรียกว่า สามเหลี่ยม, สี่ - สี่เหลี่ยม, ห้า - ห้าเหลี่ยม ฯลฯ n-gons นูนแต่ละอันเป็นไปตามข้อกำหนดที่จำเป็นต่อไปนี้: n ต้องเท่ากับหรือมากกว่า 3 แต่ละอัน สามเหลี่ยมนูน รูปทรงเรขาคณิตประเภทนี้ซึ่งจุดยอดทั้งหมดอยู่ในวงกลมเดียวกันเรียกว่า จารึกไว้ในวงกลม รูปหลายเหลี่ยมนูนถูกเรียกว่าจำกัดขอบเขต ถ้าทุกด้านที่อยู่ใกล้กับวงกลมแตะกัน รูปหลายเหลี่ยมสองรูปจะเท่ากันก็ต่อเมื่อสามารถซ้อนทับกันได้ รูปหลายเหลี่ยมแบนคือระนาบรูปหลายเหลี่ยม (ส่วนหนึ่งของระนาบ) ซึ่งถูกจำกัดด้วยรูปทรงเรขาคณิตนี้

รูปหลายเหลี่ยมนูนปกติ

รูปหลายเหลี่ยมปกติคือรูปทรงเรขาคณิตที่มีมุมและด้านเท่ากัน ข้างในมีจุด 0 ซึ่งอยู่ห่างจากจุดยอดแต่ละจุดในระยะเท่ากัน เรียกว่าจุดศูนย์กลางของรูปทรงเรขาคณิตนี้ ส่วนที่เชื่อมต่อจุดศูนย์กลางกับจุดยอดของรูปทรงเรขาคณิตนี้เรียกว่า apothems และส่วนที่เชื่อมต่อจุด 0 กับด้านข้างเรียกว่า radii

รูปสี่เหลี่ยมปกติเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเรียกว่าสามเหลี่ยมด้านเท่า สำหรับตัวเลขดังกล่าว มีกฎดังต่อไปนี้: แต่ละมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนคือ 180° * (n-2)/ n

โดยที่ n คือจำนวนจุดยอดของรูปเรขาคณิตนูนนี้

พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมปกติถูกกำหนดโดยสูตร:

โดยที่ p เท่ากับครึ่งหนึ่งของผลบวกของทุกด้านของรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนด และ h เท่ากับความยาวของจุดกึ่งกลาง

คุณสมบัติของรูปหลายเหลี่ยมนูน

รูปหลายเหลี่ยมนูนมีคุณสมบัติบางอย่าง ดังนั้นส่วนที่เชื่อมต่อ 2 จุดของรูปทรงเรขาคณิตดังกล่าวจำเป็นต้องอยู่ในนั้น การพิสูจน์:

สมมติว่า P เป็นรูปหลายเหลี่ยมนูนที่กำหนด เราใช้จุดตามอำเภอใจ 2 จุด เช่น A, B ซึ่งเป็นของ P ตามนิยามที่มีอยู่ของรูปหลายเหลี่ยมนูน จุดเหล่านี้จะอยู่ที่ด้านเดียวกันของเส้นซึ่งมีด้านใดๆ ของ P ดังนั้น AB ยังมีคุณสมบัตินี้และมีอยู่ใน P. รูปหลายเหลี่ยมนูนมักจะเป็นไปได้ที่จะแบ่งออกเป็นหลายสามเหลี่ยมโดยเส้นทแยงมุมทั้งหมดที่ดึงมาจากจุดยอดใดจุดหนึ่ง

มุมนูนของรูปทรงเรขาคณิต

มุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนคือมุมที่เกิดจากด้านข้างของมัน มุมภายในตั้งอยู่ในพื้นที่ด้านในของรูปทรงเรขาคณิตที่กำหนด มุมที่เกิดจากด้านที่มาบรรจบกันที่จุดยอดหนึ่ง เรียกว่า มุมของรูปหลายเหลี่ยมนูน ด้วยมุมภายในของรูปทรงเรขาคณิตที่กำหนดเรียกว่าภายนอก แต่ละมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนที่อยู่ด้านในนั้นมีค่าเท่ากับ:

โดยที่ x คือค่าของมุมภายนอก สูตรง่าย ๆ นี้ใช้กับรูปทรงเรขาคณิตใด ๆ ของประเภทนี้

โดยทั่วไปแล้ว สำหรับมุมภายนอก จะมีกฎดังต่อไปนี้: แต่ละมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนจะเท่ากับผลต่างระหว่าง 180° และค่าของมุมภายใน สามารถมีค่าตั้งแต่ -180° ถึง 180° ดังนั้น เมื่อมุมภายในเท่ากับ 120° มุมภายนอกจะเท่ากับ 60°

ผลรวมมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูน

ผลรวมของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมนูนถูกกำหนดโดยสูตร:

โดยที่ n คือจำนวนจุดยอดของ n-gon

ผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนนั้นค่อนข้างง่ายในการคำนวณ พิจารณารูปทรงเรขาคณิตดังกล่าว ในการหาผลรวมของมุมภายในรูปหลายเหลี่ยมนูน จุดยอดจุดหนึ่งต้องเชื่อมต่อกับจุดยอดอื่น จากการกระทำนี้ จะได้สามเหลี่ยม (n-2) เรารู้ว่าผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมใดๆ จะเท่ากับ 180° เสมอ เนื่องจากจำนวนของมันในรูปหลายเหลี่ยมใดๆ คือ (n-2) ผลรวมของมุมภายในของรูปดังกล่าวคือ 180° x (n-2)

ผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูน ได้แก่ มุมภายในและมุมภายนอกที่อยู่ติดกันสองมุมใดๆ สำหรับรูปทรงเรขาคณิตนูนที่กำหนดจะเท่ากับ 180° เสมอ จากสิ่งนี้ คุณสามารถกำหนดผลรวมของมุมทั้งหมดได้:

ผลรวมของมุมภายในคือ 180° * (n-2) จากนี้ ผลรวมของมุมภายนอกทั้งหมดของตัวเลขที่กำหนดจะถูกกำหนดโดยสูตร:

180° * n-180°-(n-2)= 360°

ผลรวมของมุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมนูนใดๆ จะเป็น 360° เสมอ (โดยไม่คำนึงถึงจำนวนด้าน)

โดยทั่วไปมุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมนูนจะแสดงด้วยความแตกต่างระหว่าง 180° กับมุมภายใน

คุณสมบัติอื่นของรูปหลายเหลี่ยมนูน

นอกจากคุณสมบัติพื้นฐานของรูปทรงเรขาคณิตเหล่านี้แล้ว ยังมีคุณสมบัติอื่นๆ ที่เกิดขึ้นเมื่อจัดการกับมัน ดังนั้น รูปหลายเหลี่ยมใดๆ สามารถแบ่งออกเป็น n-gons แบบนูนได้หลายอัน ในการทำเช่นนี้จำเป็นต้องดำเนินการต่อแต่ละด้านและตัดรูปทรงเรขาคณิตตามเส้นตรงเหล่านี้ นอกจากนี้ยังเป็นไปได้ที่จะแยกรูปหลายเหลี่ยมใดๆ ออกเป็นส่วนนูนหลายๆ ส่วนในลักษณะที่จุดยอดของแต่ละชิ้นตรงกับจุดยอดทั้งหมด จากรูปทรงเรขาคณิตดังกล่าว สามารถสร้างรูปสามเหลี่ยมได้ง่ายๆ โดยการวาดเส้นทแยงมุมทั้งหมดจากจุดยอดจุดเดียว ในที่สุดรูปหลายเหลี่ยมใด ๆ ก็สามารถแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมจำนวนหนึ่งซึ่งกลายเป็นประโยชน์อย่างมากในการแก้ปัญหาต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับรูปทรงเรขาคณิตดังกล่าว

เส้นรอบวงของรูปหลายเหลี่ยมนูน

ส่วนของเส้นแบ่งที่เรียกว่าด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยม มักจะระบุด้วยตัวอักษรต่อไปนี้: ab, bc, cd, de, ea นี่คือด้านของรูปทรงเรขาคณิตที่มีจุด a, b, c, d, e ผลรวมของความยาวของทุกด้านของรูปหลายเหลี่ยมนูนนี้เรียกว่าเส้นรอบรูป

วงกลมหลายเหลี่ยม

รูปหลายเหลี่ยมนูนสามารถจารึกและจำกัดขอบเขตได้ วงกลมที่สัมผัสทุกด้านของรูปทรงเรขาคณิตนี้เรียกว่าจารึกไว้ รูปหลายเหลี่ยมดังกล่าวเรียกว่าจำกัดขอบเขต จุดศูนย์กลางของวงกลมที่เขียนเป็นรูปหลายเหลี่ยมคือจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งของมุมทั้งหมดภายในรูปทรงเรขาคณิตที่กำหนด พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมคือ:

โดยที่ r คือรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ และ p คือครึ่งเส้นรอบรูปของรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนด

วงกลมที่มีจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมเรียกว่ามีเส้นรอบวงล้อมรอบ นอกจากนี้รูปทรงเรขาคณิตนูนนี้เรียกว่าจารึก จุดศูนย์กลางของวงกลมซึ่งล้อมรอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมนั้นคือจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของทุกด้าน

เส้นทแยงมุมของรูปทรงเรขาคณิตนูน

เส้นทแยงมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนเป็นส่วนของเส้นที่เชื่อมต่อจุดยอดที่ไม่ติดกัน แต่ละคนอยู่ในรูปทรงเรขาคณิตนี้ จำนวนเส้นทแยงมุมของ n-gon ถูกกำหนดโดยสูตร:

ยังไม่มีข้อความ = n (n - 3) / 2.

จำนวนเส้นทแยงมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนมีบทบาทสำคัญในเรขาคณิตเบื้องต้น จำนวนรูปสามเหลี่ยม (K) ที่สามารถแบ่งรูปหลายเหลี่ยมนูนแต่ละรูปได้นั้นคำนวณโดยสูตรต่อไปนี้:

จำนวนเส้นทแยงมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนขึ้นอยู่กับจำนวนจุดยอดเสมอ

การแยกรูปหลายเหลี่ยมนูน

ในบางกรณี เพื่อแก้ปัญหาทางเรขาคณิต จำเป็นต้องแยกรูปหลายเหลี่ยมนูนออกเป็นรูปสามเหลี่ยมหลายรูปโดยไม่มีเส้นทแยงมุมตัดกัน ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้โดยการหาสูตรบางอย่าง

คำจำกัดความของปัญหา: ลองเรียกพาร์ติชันที่ถูกต้องของ n-gon นูนออกเป็นสามเหลี่ยมหลายๆ รูปตามเส้นทแยงมุมที่ตัดกันที่จุดยอดของรูปทรงเรขาคณิตนี้เท่านั้น

วิธีแก้ปัญหา: สมมติว่า Р1, Р2, Р3 …, Pn เป็นจุดยอดของ n-gon นี้ จำนวน Xn คือจำนวนพาร์ติชัน ให้เราพิจารณาเส้นทแยงมุมของรูปทรงเรขาคณิต Pi Pn อย่างรอบคอบ ในพาร์ติชันปกติใดๆ P1 Pn เป็นของสามเหลี่ยม P1 Pi Pn ซึ่งมี 1

ให้ i = 2 เป็นกลุ่มหนึ่งของพาร์ติชันปกติที่มีเส้นทแยงมุม Р2 Pn เสมอ จำนวนพาร์ติชันที่รวมอยู่ในนั้นตรงกับจำนวนพาร์ติชันของ (n-1)-gon Р2 Р3 Р4… Pn กล่าวอีกนัยหนึ่ง มันเท่ากับ Xn-1

ถ้า i = 3 พาร์ติชันกลุ่มอื่นนี้จะมีเส้นทแยงมุม P3 P1 และ P3 Pn เสมอ ในกรณีนี้ จำนวนพาร์ติชันปกติที่อยู่ในกลุ่มนี้จะตรงกับจำนวนพาร์ติชันของ (n-2)-gon Р3 Р4… Pn กล่าวอีกนัยหนึ่ง มันจะเท่ากับ Xn-2

ให้ i = 4 จากนั้นในบรรดาสามเหลี่ยม พาร์ติชั่นปกติจะมีสามเหลี่ยม P1 P4 Pn ซึ่งรูปสี่เหลี่ยม P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5 ... Pn จะอยู่ติดกัน จำนวนพาร์ติชันปกติของรูปสี่เหลี่ยมดังกล่าวคือ X4 และจำนวนพาร์ติชันของ (n-3)-gon คือ Xn-3 จากที่กล่าวมา เราสามารถพูดได้ว่าจำนวนพาร์ติชันที่ถูกต้องทั้งหมดที่อยู่ในกลุ่มนี้คือ Xn-3 X4 กลุ่มอื่นๆ ที่ i = 4, 5, 6, 7… จะมี Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … พาร์ติชันปกติ

ให้ i = n-2 จำนวนพาร์ติชันที่ถูกต้องในกลุ่มนี้จะเท่ากับจำนวนพาร์ติชันในกลุ่มโดยที่ i=2 (อีกนัยหนึ่ง เท่ากับ Xn-1)

เนื่องจาก X1 = X2 = 0, X3=1, X4=2… ดังนั้น จำนวนพาร์ติชันทั้งหมดของรูปหลายเหลี่ยมนูนจะเท่ากับ:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

จำนวนพาร์ติชันปกติที่ตัดกันในแนวทแยง

เมื่อตรวจสอบกรณีพิเศษ เราสามารถสันนิษฐานได้ว่าจำนวนเส้นทแยงมุมของนูน n-gons เท่ากับผลคูณของพาร์ติชันทั้งหมดของตัวเลขนี้โดย (n-3)

ข้อพิสูจน์ของข้อสันนิษฐานนี้: ลองนึกภาพว่า P1n = Xn * (n-3) จากนั้น n-gon ใดๆ สามารถแบ่งออกเป็น (n-2)-สามเหลี่ยม นอกจากนี้ยังสามารถประกอบเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส (n-3) ได้ นอกจากนี้ รูปสี่เหลี่ยมแต่ละด้านจะมีเส้นทแยงมุม เนื่องจากสามารถวาดเส้นทแยงมุมได้สองเส้นในรูปทรงเรขาคณิตนูนนี้ หมายความว่าใน (n-3) รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานใดๆ ก็ตาม เป็นไปได้ที่จะวาดเส้นทแยงมุมเพิ่มเติม (n-3) จากสิ่งนี้ เราสามารถสรุปได้ว่าในพาร์ติชันปกติใดๆ เป็นไปได้ที่จะวาด (n-3)-เส้นทแยงมุมที่ตรงตามเงื่อนไขของปัญหานี้

พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมนูน

บ่อยครั้งเมื่อแก้ปัญหาต่าง ๆ ของเรขาคณิตเบื้องต้นจำเป็นต้องกำหนดพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมนูน สมมติว่า (Xi. Yi), i = 1,2,3… n คือลำดับพิกัดของจุดยอดใกล้เคียงทั้งหมดของรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่มีจุดตัดในตัวเอง ในกรณีนี้ พื้นที่ของมันถูกคำนวณโดยสูตรต่อไปนี้:

S = ½ (∑ (X i + X i + 1) (Y i + Y i + 1)),

โดยที่ (X 1, Y 1) = (X n +1, Y n + 1)

การหาความนูนของรูปหลายเหลี่ยม

อัลกอริทึม Kyrus-Back จะถือว่ารูปหลายเหลี่ยมนูนเพื่อใช้เป็นหน้าต่าง

อย่างไรก็ตามในทางปฏิบัติปัญหาของการตัดรูปหลายเหลี่ยมมักเกิดขึ้นบ่อยครั้งและไม่ได้ระบุข้อมูลว่าเป็นรูปนูนหรือไม่ ในกรณีนี้ ก่อนที่จะเริ่มขั้นตอนการตัด จำเป็นต้องพิจารณาว่ารูปหลายเหลี่ยมที่กำหนดนั้นนูนหรือไม่

ให้เราให้คำจำกัดความของความนูนของรูปหลายเหลี่ยม

รูปหลายเหลี่ยมจะถือว่าเป็นรูปนูนหากตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:

1) ในรูปหลายเหลี่ยมนูน จุดยอดทั้งหมดจะอยู่ที่ด้านหนึ่งของเส้นที่มีขอบใดๆ (ด้านในของขอบที่กำหนด)

2) มุมภายในทั้งหมดของรูปหลายเหลี่ยมน้อยกว่า 180 o

3) เส้นทแยงมุมทั้งหมดที่เชื่อมต่อจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมอยู่ภายในรูปหลายเหลี่ยมนี้

4) ทุกมุมของรูปหลายเหลี่ยมจะข้ามไปในทิศทางเดียวกัน (รูปที่ 3.3-1)

เพื่อพัฒนาการแสดงเชิงวิเคราะห์ของเกณฑ์ความนูนสุดท้าย เราใช้ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

สินค้าเวกเตอร์ ว เวกเตอร์สองตัว ก และ ข (รูปที่ 3.3-2 ก) กำหนดเป็น:

ก x ,a y ,a z และ b x ,b y ,b z กและ ข,

- ฉัน, เจ, เค– เวกเตอร์หน่วยตามแกนพิกัด X , Y , Z .

ข้าว.3.3 ‑ 1

ข้าว.3.3 ‑ 2

หากเราพิจารณาการแสดงรูปหลายเหลี่ยมสองมิติเป็นตัวแทนในระนาบพิกัด XY ของระบบพิกัดสามมิติ X ,Y ,Z (รูปที่ 3.3-2 ข ) ดังนั้นนิพจน์สำหรับการก่อตัวของผลิตภัณฑ์ข้าม ของเวกเตอร์ ยูและ วีโดยที่เวกเตอร์ ยูและ วีเป็นขอบที่อยู่ติดกันซึ่งเป็นมุมของรูปหลายเหลี่ยม สามารถเขียนเป็นตัวกำหนดได้:

เวกเตอร์ผลคูณไขว้ตั้งฉากกับระนาบที่มีเวกเตอร์ตัวประกอบอยู่ ทิศทางของเวกเตอร์ผลิตภัณฑ์ถูกกำหนดโดยกฎของสว่านหรือกฎของสกรูมือขวา

สำหรับกรณีที่แสดงในรูป 3.3-2 ข ), เวกเตอร์ วที่สอดคล้องกับผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ วี, ยู, จะมีทิศทางเดียวกับทิศทางของแกนพิกัด Z

โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่าการฉายภาพบนแกน Z ของปัจจัยเวกเตอร์ในกรณีนี้มีค่าเท่ากับศูนย์ ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์สามารถแสดงเป็น:

(3.3-1)

เวกเตอร์หน่วย เคเป็นบวกเสมอ ดังนั้นเครื่องหมายของเวกเตอร์ วผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จะถูกกำหนดโดยเครื่องหมายของดีเทอร์มีแนนต์ D ในนิพจน์ด้านบนเท่านั้น โปรดทราบว่า ตามคุณสมบัติของผลคูณของเวกเตอร์ เมื่อจัดเรียงเวกเตอร์ตัวประกอบใหม่ ยูและ วีเครื่องหมายเวกเตอร์ วจะเปลี่ยนไปตรงกันข้าม

จากนี้ไปถ้าเป็นเวกเตอร์ วีและ ยูพิจารณาขอบสองด้านที่อยู่ติดกันของรูปหลายเหลี่ยมจากนั้นลำดับของการแจงนับของเวกเตอร์ในผลิตภัณฑ์เวกเตอร์สามารถใส่ตามการเลี่ยงผ่านของมุมที่พิจารณาของรูปหลายเหลี่ยมหรือขอบที่สร้างมุมนี้ สิ่งนี้ช่วยให้เราใช้กฎเป็นเกณฑ์ในการพิจารณาความนูนของรูปหลายเหลี่ยม:

หากขอบของรูปหลายเหลี่ยมทุกคู่เป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

หากสัญลักษณ์ของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์สำหรับแต่ละมุมไม่ตรงกัน แสดงว่ารูปหลายเหลี่ยมนั้นไม่นูน

เนื่องจากมีการระบุขอบของรูปหลายเหลี่ยมเป็นพิกัดของจุดสิ้นสุด จึงสะดวกกว่าที่จะใช้ดีเทอร์มีแนนต์เพื่อกำหนดเครื่องหมายของผลิตภัณฑ์ข้าม

ชุดจุดนูนบนระนาบ

ชุดของจุดในระนาบหรือในปริภูมิสามมิติเรียกว่า นูนถ้าจุดสองจุดใดๆ ของเซตนี้สามารถเชื่อมต่อกันด้วยส่วนของเส้นตรงที่อยู่ในเซตนี้ทั้งหมด

ทฤษฎีบท 1. การตัดกันของเซตนูนจำนวนจำกัดคือเซตนูน

ผลที่ตามมาการตัดกันของเซตนูนจำนวนจำกัดคือเซตนูน

จุดมุม

เรียกจุดขอบเขตของชุดนูน เชิงมุมถ้าเป็นไปได้ที่จะวาดส่วนผ่านจุดทั้งหมดที่ไม่ได้อยู่ในชุดที่กำหนด

ชุดของรูปทรงต่างๆ สามารถมีจุดมุมที่จำกัดหรือไม่จำกัดก็ได้

รูปหลายเหลี่ยมนูน

รูปหลายเหลี่ยมเรียกว่า นูนถ้ามันอยู่บนด้านใดด้านหนึ่งของแต่ละเส้นซึ่งผ่านจุดยอดสองจุดที่อยู่ติดกัน

ทฤษฎีบท: ผลรวมของมุมนูน n-gon คือ 180˚ *(n-2)

6) การแก้ระบบอสมการเชิงเส้น m ด้วยสองตัวแปร

กำหนดระบบอสมการเชิงเส้น m ที่มีตัวแปรสองตัว

สัญญาณของอสมการบางส่วนหรือทั้งหมดอาจเป็น ≥

พิจารณาอสมการแรกในระบบพิกัด X1OX2 มาสร้างเส้นตรงกันเถอะ

ซึ่งเป็นแนวเขต

เส้นตรงนี้แบ่งระนาบออกเป็นสองระนาบครึ่ง 1 และ 2 (รูปที่ 19.4)

ครึ่งระนาบ 1 มีจุดเริ่มต้น ครึ่งระนาบ 2 ไม่มีจุดกำเนิด

ในการพิจารณาว่าครึ่งระนาบที่กำหนดอยู่ที่ด้านใดของเส้นเขตแดน คุณต้องใช้จุดใดก็ได้บนระนาบ (ดีกว่าคือจุดกำเนิด) และแทนที่พิกัดของจุดนี้ลงในอสมการ หากความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริง ครึ่งระนาบจะหันไปทางจุดนี้ หากไม่เป็นความจริง ก็จะหันไปในทิศทางตรงกันข้ามกับจุดนั้น

ทิศทางของครึ่งระนาบในรูปแสดงด้วยลูกศร

บทนิยาม 15. คำตอบสำหรับแต่ละอสมการของระบบคือครึ่งระนาบที่มีเส้นแบ่งเขตและอยู่ด้านหนึ่งของมัน

คำจำกัดความ 16. จุดตัดของครึ่งระนาบซึ่งแต่ละอันถูกกำหนดโดยความไม่เท่าเทียมกันของระบบเรียกว่าพื้นที่แก้ปัญหาของระบบ (SR)

คำจำกัดความ 17. พื้นที่การแก้ปัญหาของระบบที่เป็นไปตามเงื่อนไขของการไม่ปฏิเสธ (xj ≥ 0, j =) เรียกว่าพื้นที่การแก้ปัญหาที่ไม่เป็นลบหรือยอมรับได้ (ODS)

หากระบบของอสมการสอดคล้องกัน ดังนั้น OP และ ODE สามารถเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยม ขอบเขตหลายเหลี่ยมที่ไม่มีขอบเขต หรือจุดเดียว

ถ้าระบบอสมการไม่สอดคล้องกัน ดังนั้น OR และ ODR จะเป็นเซตว่าง

ตัวอย่างที่ 1

สารละลาย. มาหา OR ของอสมการแรกกัน: x1 + 3x2 ≥ 3 มาสร้างเส้นแบ่งเขต x1 + 3x2 - 3 = 0 (รูปที่ 19.5) แทนพิกัดของจุด (0,0) ลงในอสมการ: 1∙0 + 3∙0 > 3; เนื่องจากพิกัดของจุด (0,0) ไม่เป็นไปตามนั้น การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน (19.1) จึงเป็นระนาบครึ่งเดียวที่ไม่มีจุด (0,0)

ในทำนองเดียวกัน เราพบวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันที่เหลืออยู่ของระบบ เราพบว่า OP และ ODE ของระบบอสมการนั้นเป็น ABCD รูปทรงหลายเหลี่ยมแบบนูน

ค้นหาจุดมุมของรูปทรงหลายหน้า จุด A ถูกกำหนดให้เป็นจุดตัดของเส้น

การแก้ระบบ เราได้ A(3/7, 6/7)

เราพบว่าจุด B เป็นจุดตัดของเส้น

จากระบบเราได้ B(5/3, 10/3) ในทำนองเดียวกัน เราพบพิกัดของจุด C และ D: C(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10)

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหา OR และ ODR ของระบบอสมการ

สารละลาย. ให้เราสร้างเส้นตรงและหาผลเฉลยของอสมการ (19.5)-(19.7) OR และ ODR เป็นพื้นที่หลายเหลี่ยมที่ไม่มีขอบเขต ACFM และ ABDEKM ตามลำดับ (รูปที่ 19.6)

ตัวอย่างที่ 3 ค้นหา OR และ ODR ของระบบอสมการ

สารละลาย. เราพบวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน (19.8)-(19.10) (รูปที่ 19.7) OP แสดงถึงพื้นที่หลายเหลี่ยมที่ไม่มีขอบเขต ABC; ODR - จุด B

ตัวอย่างที่ 4 ค้นหา OP และ ODS ของระบบอสมการ

สารละลาย. เมื่อสร้างเส้นตรงแล้ว เราพบวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันของระบบ OR และ ODR เข้ากันไม่ได้ (รูปที่ 19.8)

การออกกำลังกาย

ค้นหา OR และ ODR ของระบบอสมการ

ทฤษฎีบท. ถ้า xn ® a แล้ว .

การพิสูจน์. มันตามมาจาก xn ® a ว่า ในเวลาเดียวกัน:

เหล่านั้น. , เช่น. . ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบท. ถ้า xn ® a ลำดับ (xn) จะถูกล้อมรอบ

ควรสังเกตว่าข้อความสนทนาไม่เป็นความจริง เช่น ขอบเขตของลำดับไม่ได้หมายความถึงการบรรจบกัน

ตัวอย่างเช่น ลำดับไม่มีขีดจำกัดแม้ว่า

การขยายฟังก์ชันเป็นอนุกรมกำลัง

การขยายฟังก์ชันในอนุกรมกำลังมีความสำคัญอย่างยิ่งต่อการแก้ปัญหาต่างๆ ของการศึกษาฟังก์ชัน การหาอนุพันธ์ การอินทิเกรต การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ การคำนวณลิมิต การคำนวณค่าประมาณของฟังก์ชัน

โดยรวมแล้ว เราได้รับ:

พิจารณาวิธีขยายฟังก์ชันเป็นชุดโดยใช้การรวม

ด้วยความช่วยเหลือของอินทิเกรต มันเป็นไปได้ที่จะขยายเป็นชุดของฟังก์ชันที่ส่วนขยายในชุดของอนุพันธ์นั้นเป็นที่รู้จักหรือสามารถหาได้ง่าย

เราพบส่วนต่างของฟังก์ชันและรวมเข้าด้วยกันในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง x