ค้นหาเมทริกซ์ไอเกนเวกเตอร์ ระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธ์

เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์กำลังสองคือเวกเตอร์ที่เมื่อคูณด้วยเมทริกซ์ที่กำหนด จะได้เวกเตอร์คอลลิเนียร์ ด้วยคำพูดง่ายๆเมื่อเมทริกซ์ถูกคูณด้วยไอเกนเวกเตอร์ เมทริกซ์จะยังคงเหมือนเดิม แต่คูณด้วยจำนวนบางตัว

คำนิยาม

เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะคือเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ V ซึ่งเมื่อคูณด้วยเมทริกซ์จัตุรัส M จะกลายเป็นตัวมันเอง โดยเพิ่มขึ้นด้วยจำนวน λ ในสัญกรณ์พีชคณิต จะมีลักษณะดังนี้:

M × V = λ × V,

โดยที่ λ เป็นค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ M

พิจารณา ตัวอย่างตัวเลข. เพื่อความสะดวกในการเขียน ตัวเลขในเมทริกซ์จะถูกคั่นด้วยเครื่องหมายอัฒภาค สมมติว่าเรามีเมทริกซ์:

ม = 0; สี่;
6; 10.

ลองคูณด้วยเวกเตอร์คอลัมน์:

V = -2;

เมื่อคูณเมทริกซ์ด้วยเวกเตอร์คอลัมน์ เราจะได้เวกเตอร์คอลัมน์ด้วย เข้มงวด ภาษาคณิตศาสตร์สูตรสำหรับการคูณเมทริกซ์ 2 × 2 ด้วยเวกเตอร์คอลัมน์จะมีลักษณะดังนี้:

ม × ว = M11 × V11 + M12 × V21;
M21 x V11 + M22 x V21

M11 หมายถึงองค์ประกอบของเมทริกซ์ M ซึ่งอยู่ในแถวแรกและคอลัมน์แรก และ M22 เป็นองค์ประกอบที่อยู่ในแถวที่สองและคอลัมน์ที่สอง สำหรับเมทริกซ์ของเรา องค์ประกอบเหล่านี้คือ M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10 สำหรับเวกเตอร์คอลัมน์ ค่าเหล่านี้คือ V11 = –2, V21 = 1 ตามสูตรนี้ เราได้รับสิ่งต่อไปนี้ ผลลัพธ์ของผลคูณของเมทริกซ์จัตุรัสโดยเวกเตอร์:

ม × ว = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
6 × (-2) + 10 × (1) = -2

เพื่อความสะดวก เราเขียนเวกเตอร์คอลัมน์ลงในแถว ดังนั้นเราจึงคูณเมทริกซ์กำลังสองด้วยเวกเตอร์ (-2; 1) ซึ่งได้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ (4; -2) เห็นได้ชัดว่านี่คือเวกเตอร์เดียวกันคูณด้วย λ = -2 แลมบ์ดาใน กรณีนี้หมายถึงค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์

เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์คือเวกเตอร์เชิงเส้น นั่นคือวัตถุที่ไม่เปลี่ยนตำแหน่งในอวกาศเมื่อคูณด้วยเมทริกซ์ แนวคิดของความเป็นเอกภาพใน พีชคณิตเวกเตอร์คล้ายกับคำว่าความขนานในเรขาคณิต ในการตีความทางเรขาคณิต เวกเตอร์คอลลิเนียร์- เหล่านี้เป็นส่วนกำกับขนานที่มีความยาวต่างกัน ตั้งแต่สมัยของ Euclid เรารู้ว่าเส้นหนึ่งมีจำนวนเส้นที่ขนานกันไม่สิ้นสุด ดังนั้นจึงมีเหตุผลที่จะถือว่าแต่ละเมทริกซ์มีจำนวนอนันต์ของ เวกเตอร์ไอเกน.

จากตัวอย่างที่แล้ว จะเห็นได้ว่าทั้ง (-8; 4) และ (16; -8) และ (32, -16) สามารถเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะได้ ทั้งหมดนี้เป็นเวกเตอร์เชิงเส้นที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะ λ = -2 เมื่อคูณเมทริกซ์ดั้งเดิมด้วยเวกเตอร์เหล่านี้ เราจะยังได้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ซึ่งแตกต่างจากต้นฉบับ 2 เท่า นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไม ในการแก้ปัญหาการหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ จึงจำเป็นต้องค้นหาวัตถุเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นเท่านั้น ส่วนใหญ่แล้ว สำหรับเมทริกซ์ขนาด n × n จะมีจำนวนไอเกนเวกเตอร์เป็นลำดับที่ n เครื่องคิดเลขของเราได้รับการออกแบบมาสำหรับการวิเคราะห์เมทริกซ์กำลังสองอันดับสอง ดังนั้นจึงมักจะพบเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะสองตัว ยกเว้นเมื่อตรงกัน

ในตัวอย่างข้างต้น เรารู้ล่วงหน้าถึงเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ดั้งเดิมและกำหนดหมายเลขแลมบ์ดาด้วยสายตา อย่างไรก็ตามในทางปฏิบัติทุกอย่างเกิดขึ้นในทางตรงกันข้าม: ในตอนแรกมีค่าลักษณะเฉพาะและจากนั้นเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ

อัลกอริทึมโซลูชัน

ลองดูเมทริกซ์เดิม M อีกครั้งแล้วลองหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั้งสองตัว ดังนั้นเมทริกซ์จึงมีลักษณะดังนี้:

ม = 0; สี่;
6; 10.

ในการเริ่มต้น เราต้องหาค่าลักษณะเฉพาะ λ ซึ่งเราต้องคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ต่อไปนี้:

(0 − λ); สี่;
6; (10 − λ).

เมทริกซ์นี้ได้จากการลบ λ ที่ไม่รู้จักออกจากองค์ประกอบบนเส้นทแยงมุมหลัก ดีเทอร์มิแนนต์ถูกกำหนดโดยสูตรมาตรฐาน:

เดตเอ = M11 × M21 − M12 × M22
detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

เนื่องจากเวกเตอร์ของเราต้องไม่เป็นศูนย์ เราจึงใช้สมการผลลัพธ์ว่าขึ้นต่อกันเชิงเส้นและจัดดีเทอร์มีแนนต์ detA เป็นศูนย์

(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0

ลองขยายวงเล็บและรับ สมการคุณลักษณะเมทริกซ์:

λ 2 − 10λ − 24 = 0

นี่คือมาตรฐาน สมการกำลังสองซึ่งจะต้องแก้ไขในแง่ของการแยกแยะ

D \u003d b 2 - 4ac \u003d (-10) × 2 - 4 × (-1) × 24 \u003d 100 + 96 \u003d 196

รากของการเลือกปฏิบัติคือ sqrt(D) = 14 ดังนั้น λ1 = -2, λ2 = 12 ตอนนี้สำหรับค่าแลมบ์ดาแต่ละค่า เราต้องหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ ให้เราแสดงค่าสัมประสิทธิ์ของระบบสำหรับ λ = -2

M − λ × E = 2; สี่;
6; 12.

ในสูตรนี้ E คือ เมทริกซ์เอกลักษณ์. เราจะสร้างระบบตามเมทริกซ์ที่ได้รับ สมการเชิงเส้น:

2x + 4y = 6x + 12y

โดยที่ x และ y เป็นองค์ประกอบของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ

ลองรวบรวม X ทั้งหมดทางซ้ายและ Y ทั้งหมดทางขวา แน่นอน - 4x = 8y หารนิพจน์ด้วย - 4 และรับ x = -2y ตอนนี้เราสามารถหาค่าไอเกนเวกเตอร์แรกของเมทริกซ์ได้โดยการรับค่าใด ๆ ของค่าที่ไม่รู้จัก สมมติว่า y = 1 แล้ว x = -2 ดังนั้นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะตัวแรกจึงดูเหมือน V1 = (–2; 1) กลับไปที่จุดเริ่มต้นของบทความ มันเป็นวัตถุเวกเตอร์ที่เราคูณเมทริกซ์เพื่อแสดงแนวคิดของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ

ทีนี้มาหาเวกเตอร์ไอเกนสำหรับ λ = 12 กัน

M - λ × E = -12; สี่
6; -2.

ให้เราสร้างระบบสมการเชิงเส้นเดียวกัน

-12x + 4y = 6x − 2y
-18x = -6ย
3x=ย.

ตอนนี้ให้ x = 1 ดังนั้น y = 3 ดังนั้น เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะตัวที่สองจึงดูเหมือน V2 = (1; 3) เมื่อคูณเมทริกซ์เดิมด้วย เวกเตอร์ที่กำหนดผลลัพธ์จะเป็นเวกเตอร์เดียวกันคูณด้วย 12 เสมอ ซึ่งจะทำให้อัลกอริทึมการแก้ปัญหาเสร็จสมบูรณ์ ตอนนี้คุณรู้วิธีกำหนดเวกเตอร์ไอเกนของเมทริกซ์ด้วยตนเองแล้ว

ปัจจัย;
ติดตาม นั่นคือผลรวมขององค์ประกอบในแนวทแยงหลัก
อันดับนั่นคือ จำนวนเงินสูงสุดแถว/คอลัมน์อิสระเชิงเส้น

โปรแกรมทำงานตามอัลกอริทึมข้างต้น ลดขั้นตอนการแก้ปัญหา สิ่งสำคัญคือต้องชี้ให้เห็นว่าในโปรแกรมแลมบ์ดาจะแสดงด้วยตัวอักษร "c" มาดูตัวอย่างตัวเลขกัน

ตัวอย่างโปรแกรม

ลองนิยามเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะสำหรับเมทริกซ์ต่อไปนี้:

ม=5; 13;
4; 14.

ป้อนค่าเหล่านี้ลงในเซลล์ของเครื่องคิดเลขและรับคำตอบในรูปแบบต่อไปนี้:

อันดับเมทริกซ์: 2;
ดีเทอร์มีแนนต์เมทริกซ์: 18;
การติดตามเมทริกซ์: 19;
การคำนวณเวกเตอร์ไอเกน: c 2 − 19.00c + 18.00 (สมการลักษณะเฉพาะ);
การคำนวณเวกเตอร์ไอเกน: 18 (ค่าแลมบ์ดาแรก);
การคำนวณเวกเตอร์ไอเกน: 1 (ค่าแลมบ์ดาที่สอง);
ระบบสมการเวกเตอร์ 1: -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
ระบบสมการเวกเตอร์ 2: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
ไอเกนเวกเตอร์ 1: (1; 1);
ไอเกนเวกเตอร์ 2: (-3.25; 1)

ดังนั้นเราจึงได้รับไอเกนเวกเตอร์สองตัวที่เป็นอิสระเชิงเส้น

บทสรุป

พีชคณิตเชิงเส้นและเรขาคณิตวิเคราะห์เป็นวิชามาตรฐานสำหรับน้องใหม่ ความพิเศษทางเทคนิค. จำนวนมากเวกเตอร์และเมทริกซ์นั้นน่ากลัว และง่ายที่จะทำผิดพลาดในการคำนวณที่ยุ่งยากเช่นนี้ โปรแกรมของเราจะช่วยให้นักเรียนตรวจสอบการคำนวณหรือแก้ปัญหาการหาค่าลักษณะเฉพาะโดยอัตโนมัติ มีเครื่องคำนวณพีชคณิตเชิงเส้นอื่นๆ ในแค็ตตาล็อกของเรา ใช้ในการเรียนหรือทำงานของคุณ

วิธีการวาง สูตรทางคณิตศาสตร์ไปที่เว็บไซต์?

หากคุณต้องการเพิ่มสูตรทางคณิตศาสตร์หนึ่งหรือสองสูตรลงในหน้าเว็บ วิธีที่ง่ายที่สุดในการทำเช่นนี้คือดังที่อธิบายไว้ในบทความ: สูตรทางคณิตศาสตร์สามารถแทรกลงในไซต์ได้อย่างง่ายดายในรูปแบบของรูปภาพที่ Wolfram Alpha สร้างขึ้นโดยอัตโนมัติ นอกจากความเรียบง่ายแล้ว วิธีสากลจะช่วยปรับปรุงการแสดงผลของเว็บไซต์ใน เครื่องมือค้นหา. มันทำงานมานานแล้ว (และฉันคิดว่ามันจะใช้ได้ตลอดไป) แต่มันล้าสมัยทางศีลธรรม

หากคุณใช้สูตรทางคณิตศาสตร์บนเว็บไซต์ของคุณเป็นประจำ ฉันขอแนะนำให้คุณใช้ MathJax ซึ่งเป็นไลบรารี JavaScript พิเศษที่แสดง สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์ในเว็บเบราว์เซอร์โดยใช้มาร์กอัป MathML, LaTeX หรือ ASCIIMathML

มีสองวิธีในการเริ่มต้นใช้งาน MathJax: (1) การใช้โค้ดอย่างง่าย คุณสามารถเชื่อมต่อสคริปต์ MathJax กับเว็บไซต์ของคุณได้อย่างรวดเร็ว ซึ่งจะอยู่ใน ช่วงเวลาที่เหมาะสมดาวน์โหลดโดยอัตโนมัติจากเซิร์ฟเวอร์ระยะไกล (รายการเซิร์ฟเวอร์) (2) อัปโหลดสคริปต์ MathJax จากเซิร์ฟเวอร์ระยะไกลไปยังเซิร์ฟเวอร์ของคุณและเชื่อมต่อกับทุกหน้าในไซต์ของคุณ วิธีที่สองนั้นซับซ้อนและใช้เวลานานกว่า และจะช่วยให้คุณสามารถโหลดหน้าเว็บของไซต์ของคุณได้เร็วขึ้น และหากเซิร์ฟเวอร์หลัก MathJax ไม่สามารถใช้งานได้ชั่วคราวด้วยเหตุผลบางประการ การดำเนินการนี้จะไม่ส่งผลกระทบต่อไซต์ของคุณแต่อย่างใด แม้จะมีข้อดีเหล่านี้ ฉันเลือกวิธีแรกเนื่องจากง่ายกว่า เร็วกว่า และไม่ต้องใช้ทักษะด้านเทคนิค ทำตามตัวอย่างของฉัน และภายใน 5 นาที คุณจะสามารถใช้คุณลักษณะทั้งหมดของ MathJax บนเว็บไซต์ของคุณได้

คุณสามารถเชื่อมต่อสคริปต์ไลบรารี MathJax จากเซิร์ฟเวอร์ระยะไกลโดยใช้ตัวเลือกโค้ดสองตัวที่นำมาจากเว็บไซต์หลัก MathJax หรือจากหน้าเอกสาร:

หนึ่งในตัวเลือกโค้ดเหล่านี้จำเป็นต้องคัดลอกและวางลงในโค้ดของหน้าเว็บของคุณ โดยควรอยู่ระหว่างแท็ก และหรือหลังแท็ก . ตามตัวเลือกแรก MathJax โหลดเร็วขึ้นและทำให้หน้าช้าลง แต่ตัวเลือกที่สองจะติดตามและโหลด MathJax เวอร์ชันล่าสุดโดยอัตโนมัติ หากคุณใส่รหัสแรก จะต้องมีการอัปเดตเป็นระยะ หากคุณวางรหัสที่สอง หน้าเว็บจะโหลดช้าลง แต่คุณไม่จำเป็นต้องตรวจสอบการอัปเดตของ MathJax อย่างต่อเนื่อง

วิธีที่ง่ายที่สุดในการเชื่อมต่อ MathJax คือใน Blogger หรือ WordPress: ในแผงควบคุมของไซต์ ให้เพิ่มวิดเจ็ตที่ออกแบบมาเพื่อแทรกโค้ด JavaScript ของบุคคลที่สาม คัดลอกเวอร์ชันแรกหรือเวอร์ชันที่สองของโค้ดโหลดด้านบนลงในนั้น และวางวิดเจ็ตให้ใกล้กับ จุดเริ่มต้นของเทมเพลต (อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้ไม่จำเป็นเลย เนื่องจากสคริปต์ MathJax ถูกโหลดแบบอะซิงโครนัส) นั่นคือทั้งหมด ตอนนี้เรียนรู้ไวยากรณ์มาร์กอัปของ MathML, LaTeX และ ASCIIMathML และคุณก็พร้อมที่จะฝังสูตรทางคณิตศาสตร์ลงในหน้าเว็บของคุณแล้ว

แฟร็กทัลใดๆ ถูกสร้างขึ้นตามกฎบางอย่าง ซึ่งใช้อย่างต่อเนื่องโดยไม่จำกัดจำนวนครั้ง แต่ละครั้งเรียกว่าการวนซ้ำ

ขั้นตอนวิธีวนซ้ำสำหรับการสร้างฟองน้ำ Menger นั้นค่อนข้างง่าย: ลูกบาศก์เดิมที่มีด้าน 1 ถูกแบ่งด้วยระนาบที่ขนานกับใบหน้าออกเป็น 27 ลูกบาศก์เท่าๆ กัน หนึ่งลูกบาศก์กลางและ 6 ลูกบาศก์ที่อยู่ติดกับใบหน้าจะถูกลบออกจากมัน กลายเป็นชุดที่ประกอบด้วยลูกบาศก์ขนาดเล็กที่เหลืออีก 20 ลูก ทำเช่นเดียวกันกับแต่ละลูกบาศก์เหล่านี้ เราจะได้ชุดที่ประกอบด้วยลูกบาศก์ขนาดเล็กกว่า 400 ลูก ดำเนินขั้นตอนนี้ไปเรื่อย ๆ เราจะได้ฟองน้ำ Menger

www.siteช่วยให้คุณค้นหา เว็บไซต์ทำการคำนวณ ในไม่กี่วินาทีเซิร์ฟเวอร์จะออก การตัดสินใจที่ถูกต้อง. สมการคุณลักษณะสำหรับเมทริกซ์จะ นิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิตพบโดยกฎสำหรับการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ เมทริกซ์ เมทริกซ์ในขณะที่เส้นทแยงมุมหลักจะมีความแตกต่างในค่าขององค์ประกอบในแนวทแยงและตัวแปร เมื่อคำนวณ สมการคุณลักษณะสำหรับเมทริกซ์ออนไลน์, แต่ละองค์ประกอบ เมทริกซ์จะถูกคูณด้วยองค์ประกอบอื่น ๆ ที่สอดคล้องกัน เมทริกซ์. ค้นหาในโหมด ออนไลน์เป็นไปได้สำหรับสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่านั้น เมทริกซ์. ค้นหาการดำเนินการ สมการคุณลักษณะสำหรับเมทริกซ์ออนไลน์ลงมาคำนวณ ผลรวมเชิงพีชคณิตผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบ เมทริกซ์อันเป็นผลมาจากการหาดีเทอร์มิแนนต์ เมทริกซ์เฉพาะเพื่อวัตถุประสงค์ในการพิจารณา สมการคุณลักษณะสำหรับเมทริกซ์ออนไลน์. การดำเนินการนี้ใช้เวลา สถานที่พิเศษในทางทฤษฎี เมทริกซ์ช่วยให้คุณค้นหาค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์โดยใช้ราก หางาน สมการคุณลักษณะสำหรับเมทริกซ์ออนไลน์คือการคูณองค์ประกอบ เมทริกซ์ด้วยผลรวมที่ตามมาของผลิตภัณฑ์เหล่านี้ตามกฎบางอย่าง www.siteพบ สมการคุณลักษณะสำหรับเมทริกซ์ขนาดที่กำหนดในโหมด ออนไลน์. การคำนวณ สมการคุณลักษณะสำหรับเมทริกซ์ออนไลน์สำหรับมิติที่กำหนด นี่คือการหาพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขหรือสัญลักษณ์ที่พบตามกฎสำหรับการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ เมทริกซ์- เป็นผลรวมของผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบที่เกี่ยวข้อง เมทริกซ์เฉพาะเพื่อวัตถุประสงค์ในการพิจารณา สมการคุณลักษณะสำหรับเมทริกซ์ออนไลน์. การหาพหุนามที่เกี่ยวกับตัวแปรของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส เมทริกซ์เป็นคำนิยาม สมการคุณลักษณะสำหรับเมทริกซ์, ทั่วไปในทางทฤษฎี เมทริกซ์. ค่าของรากของพหุนาม สมการคุณลักษณะสำหรับเมทริกซ์ออนไลน์ใช้เพื่อกำหนดค่าลักษณะเฉพาะและ ค่าลักษณะเฉพาะสำหรับ เมทริกซ์. อย่างไรก็ตามหากตัวกำหนด เมทริกซ์จะเป็นศูนย์แล้ว สมการคุณลักษณะของเมทริกซ์จะยังคงมีอยู่ไม่เหมือนกับสิ่งที่ตรงกันข้าม เมทริกซ์. เพื่อที่จะคำนวณ สมการคุณลักษณะสำหรับเมทริกซ์หรือค้นหาหลายรายการพร้อมกัน สมการคุณลักษณะของเมทริกซ์คุณต้องใช้เวลาและความพยายามอย่างมากในขณะที่เซิร์ฟเวอร์ของเราจะค้นหา สมการคุณลักษณะสำหรับเมทริกซ์ออนไลน์. ในกรณีนี้ คำตอบโดยการค้นหา สมการคุณลักษณะสำหรับเมทริกซ์ออนไลน์จะถูกต้องและมีความแม่นยำเพียงพอแม้ว่าตัวเลขเมื่อค้นหา สมการคุณลักษณะสำหรับเมทริกซ์ออนไลน์จะไร้เหตุผล บนเว็บไซต์ www.siteอนุญาตให้ป้อนอักขระในองค์ประกอบ เมทริกซ์, นั่นคือ สมการคุณลักษณะสำหรับเมทริกซ์ออนไลน์สามารถแสดงในรูปแบบสัญลักษณ์ทั่วไปเมื่อคำนวณ เมทริกซ์สมการคุณลักษณะออนไลน์. มีประโยชน์ในการตรวจสอบคำตอบที่ได้รับเมื่อแก้ปัญหาการค้นหา สมการคุณลักษณะสำหรับเมทริกซ์ออนไลน์ใช้เว็บไซต์ www.site. เมื่อดำเนินการคำนวณพหุนาม - สมการคุณลักษณะของเมทริกซ์มีความจำเป็นต้องเอาใจใส่และเข้มข้นอย่างยิ่งในการแก้ปัญหานี้ ในทางกลับกัน เว็บไซต์ของเราจะช่วยคุณตรวจสอบการตัดสินใจของคุณในหัวข้อนี้ เมทริกซ์สมการคุณลักษณะออนไลน์. หากคุณไม่มีเวลาตรวจสอบปัญหาที่ได้รับการแก้ไขเป็นเวลานาน www.siteจะเป็นเครื่องมือที่สะดวกในการตรวจสอบเมื่อค้นหาและคำนวณอย่างแน่นอน สมการคุณลักษณะสำหรับเมทริกซ์ออนไลน์.

" ส่วนแรกสรุปข้อกำหนดที่จำเป็นน้อยที่สุดสำหรับการทำความเข้าใจเคมีและส่วนที่สองประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่คุณจำเป็นต้องรู้เพื่อความเข้าใจที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้นเกี่ยวกับวิธีการ การวิเคราะห์หลายตัวแปร. งานนำเสนอแสดงโดยตัวอย่างที่ทำในสมุดงาน Excel เมทริกซ์.xlsที่มาพร้อมกับเอกสารนี้

ลิงก์ไปยังตัวอย่างจะอยู่ในข้อความเป็นวัตถุ Excel ตัวอย่างเหล่านี้มีลักษณะเป็นนามธรรม ไม่เกี่ยวข้องกับงานแต่อย่างใด การวิเคราะห์ทางเคมี. ตัวอย่างจริงการใช้พีชคณิตของเมทริกซ์ในวิชาเคมีมีการกล่าวถึงในตำราอื่นๆ

การวัดส่วนใหญ่ที่ดำเนินการในเคมีวิเคราะห์ไม่ใช่การวัดโดยตรง ทางอ้อม. ซึ่งหมายความว่าในการทดลอง แทนที่จะได้รับค่าของสารที่วิเคราะห์ C (ความเข้มข้น) ที่ต้องการ จะได้รับค่าอื่น x(สัญญาณ) ที่เกี่ยวข้อง แต่ไม่เท่ากับ C เช่น x(C) ≠ C. ตามกฎแล้วประเภทของการพึ่งพา x(C) ไม่เป็นที่รู้จัก แต่โชคดีที่ในเคมีวิเคราะห์การวัดส่วนใหญ่เป็นสัดส่วน ซึ่งหมายความว่าเมื่อความเข้มข้นของ C ใน กครั้ง สัญญาณ X จะเพิ่มขึ้นในปริมาณที่เท่ากัน กล่าวคือ x(กค) = ก x(ค). นอกจากนี้ สัญญาณยังเป็นสารเติมแต่ง ดังนั้นสัญญาณจากตัวอย่างที่มีสารสองชนิดที่มีความเข้มข้นของ C 1 และ C 2 จะเป็น เท่ากับผลรวมสัญญาณจากแต่ละส่วนประกอบ เช่น x(C1 + C2) = x(C1)+ x(C2). สัดส่วนและการบวกรวมกันให้ ความเป็นเชิงเส้น. สามารถให้ตัวอย่างมากมายเพื่ออธิบายหลักการของความเป็นเส้นตรง แต่พอเพียงที่จะกล่าวถึงทั้งสองอย่างมากที่สุด ตัวอย่างชัดเจน- โครมาโตกราฟีและสเปกโทรสโกปี คุณลักษณะที่สองที่มีอยู่ในการทดลองทางเคมีวิเคราะห์คือ หลายช่อง. อุปกรณ์วิเคราะห์ที่ทันสมัยสามารถวัดสัญญาณได้หลายช่องพร้อมกัน ตัวอย่างเช่น ความเข้มของการส่องผ่านของแสงจะวัดได้หลายความยาวคลื่นพร้อมกัน เช่น คลื่นความถี่. ดังนั้นในการทดสอบเรากำลังเผชิญกับสัญญาณต่างๆ x 1 , x 2 ,...., x n การกำหนดลักษณะของชุดความเข้มข้น C 1 ,C 2 , ..., C m ของสารที่มีอยู่ในระบบที่ศึกษา

ข้าว. 1 สเปกตรัม

ดังนั้น การทดลองเชิงวิเคราะห์จึงมีลักษณะเป็นเส้นตรงและหลายมิติ ดังนั้นจึงสะดวกที่จะพิจารณาข้อมูลการทดลองเป็นเวกเตอร์และเมทริกซ์ และจัดการโดยใช้เครื่องมือของพีชคณิตเมทริกซ์ ประสิทธิภาพของแนวทางนี้แสดงให้เห็นได้จากตัวอย่างที่แสดงใน ซึ่งแสดงสเปกตรัมสามรายการที่ถ่ายสำหรับความยาวคลื่น 200 ช่วงตั้งแต่ 4,000 ถึง 4,796 ซม.–1 ครั้งแรก ( x 1) และวินาที ( x 2) ได้รับสเปกตรัมสำหรับตัวอย่างมาตรฐานซึ่งทราบความเข้มข้นของสาร A และ B สองตัว: ในตัวอย่างแรก [A] = 0.5, [B] = 0.1 และในตัวอย่างที่สอง [A] = 0.2, [ B] = 0.6 สิ่งที่สามารถพูดเกี่ยวกับตัวอย่างใหม่ที่ไม่รู้จักซึ่งระบุสเปกตรัม x 3 ?

พิจารณาสเปกตรัมการทดลองสามรายการ x 1 , x 2 และ x 3 เป็นเวกเตอร์สามตัวของมิติ 200 ใช้พีชคณิตเชิงเส้น เราสามารถแสดงได้อย่างง่ายดาย x 3 = 0.1 x 1 +0.3 x 2 ดังนั้นตัวอย่างที่สามจึงเห็นได้ชัดว่ามีเพียงสาร A และ B ในความเข้มข้น [A] = 0.5×0.1 + 0.2×0.3 = 0.11 และ [B] = 0.1×0.1 + 0.6×0.3 = 0.19

1. ข้อมูลพื้นฐาน

1.1 เมทริกซ์

เมทริกซ์เรียกว่าตารางตัวเลขสี่เหลี่ยม เป็นต้น

ข้าว. 2 เมทริกซ์

เมทริกซ์แสดงด้วยตัวพิมพ์ใหญ่ ( ก) และองค์ประกอบ - สอดคล้องกัน ตัวพิมพ์เล็กด้วยดัชนีเช่น กไอเจ ดัชนีแรกระบุแถวและหมายเลขที่สองเป็นคอลัมน์ ในวิชาเคมี เป็นเรื่องปกติที่จะแสดง ค่าสูงสุดดัชนีที่มีตัวอักษรเดียวกับตัวดัชนี แต่เป็นตัวพิมพ์ใหญ่ ดังนั้นเมทริกซ์ กสามารถเขียนเป็น ( ก ไอเจ , ผม = 1,..., ฉัน; เจ = 1,..., เจ). สำหรับตัวอย่างเมทริกซ์ ฉัน = 4, เจ= 3 และ ก 23 = −7.5.

เลขคู่ ฉันและ เจเรียกว่ามิติของเมทริกซ์และแสดงเป็น ฉัน× เจ. ตัวอย่างของเมทริกซ์ในวิชาเคมีคือชุดของสเปกตรัมที่ได้มา ฉันตัวอย่างบน เจความยาวคลื่น

1.2. การดำเนินการที่ง่ายที่สุดกับเมทริกซ์

เมทริกซ์สามารถ คูณด้วยตัวเลข. ในกรณีนี้ แต่ละองค์ประกอบจะคูณด้วยจำนวนนี้ ตัวอย่างเช่น -

ข้าว. 3 การคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวน

เมทริกซ์สองรายการที่มีขนาดเท่ากันสามารถเป็นองค์ประกอบได้ พับและ ลบ. ตัวอย่างเช่น,

ข้าว. 4 การบวกเมทริกซ์

จากการคูณด้วยตัวเลขและการบวก จะได้เมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากัน

เมทริกซ์ศูนย์คือเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยศูนย์ มันถูกกำหนดไว้ อ. เห็นได้ชัดว่า ก+อ = ก, ก−ก = อและ 0 ก = อ.

เมทริกซ์สามารถ ย้าย. ในระหว่างการดำเนินการนี้ เมทริกซ์จะถูกพลิก นั่นคือ มีการสลับแถวและคอลัมน์ การขนย้ายจะแสดงด้วยเส้นประ ก" หรือดัชนี กเสื้อ . ดังนั้น ถ้า ก = {ก ไอเจ , ผม = 1,..., ฉัน; เจ = 1,...,เจ), แล้ว กเสื้อ = ( ก จิ , เจ = 1,...,เจ; ฉัน = 1,..., ฉัน). ตัวอย่างเช่น

ข้าว. 5 การขนย้ายเมทริกซ์

เห็นได้ชัดว่า ( กเสื้อ) เสื้อ = ก, (ก+ข) ท = กเสื้อ + ขเสื้อ .

1.3. การคูณเมทริกซ์

เมทริกซ์สามารถ คูณแต่ถ้ามีขนาดที่เหมาะสมเท่านั้น เหตุใดจึงเป็นเช่นนั้นจะชัดเจนจากคำจำกัดความ ผลิตภัณฑ์เมทริกซ์ ก, มิติ ฉัน× เคและเมทริกซ์ ข, มิติ เค× เจเรียกว่าเมทริกซ์ ค, มิติ ฉัน× เจซึ่งมีองค์ประกอบเป็นตัวเลข

ดังนั้นสำหรับผลิตภัณฑ์ เอบีจำเป็นต้องมีจำนวนคอลัมน์ในเมทริกซ์ด้านซ้าย กเท่ากับจำนวนแถวในเมทริกซ์ด้านขวา ข. ตัวอย่างผลิตภัณฑ์เมทริกซ์ -

รูปที่ 6 ผลคูณของเมทริกซ์

กฎการคูณเมทริกซ์สามารถกำหนดได้ดังนี้ เพื่อหาองค์ประกอบของเมทริกซ์ คยืนอยู่ที่สี่แยก ผม-th บรรทัดและ เจ-th คอลัมน์ ( ค ไอเจ) จะต้องคูณองค์ประกอบด้วยองค์ประกอบ ผม- แถวที่ 1 ของเมทริกซ์แรก กบน เจคอลัมน์ที่ -th ของเมทริกซ์ที่สอง ขและเพิ่มผลลัพธ์ทั้งหมด ดังนั้นในตัวอย่างที่แสดง องค์ประกอบจากแถวที่สามและคอลัมน์ที่สองจะได้รับเป็นผลรวมของผลคูณตามองค์ประกอบของแถวที่สาม กและคอลัมน์ที่สอง ข

รูปที่ 7 องค์ประกอบของผลคูณของเมทริกซ์

ผลคูณของเมทริกซ์ขึ้นอยู่กับลำดับ เช่น เอบี ≠ ศศ.บอย่างน้อยก็ด้วยเหตุผลด้านมิติ มันถูกกล่าวว่าไม่สับเปลี่ยน อย่างไรก็ตาม ผลคูณของเมทริกซ์เป็นแบบเชื่อมโยง มันหมายความว่า เอบีซี = (เอบี)ค = ก(พ.ศ). นอกจากนี้ยังเป็นแบบกระจายเช่น ก(ข+ค) = เอบี+เครื่องปรับอากาศ. เห็นได้ชัดว่า อบจ = อ.

1.4. เมทริกซ์สแควร์

หากจำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์เท่ากับจำนวนแถว ( ฉัน = เจ=ไม่) จากนั้นเมทริกซ์ดังกล่าวเรียกว่าสแควร์ ในส่วนนี้เราจะพิจารณาเฉพาะเมทริกซ์ดังกล่าว ในบรรดาเมทริกซ์เหล่านี้ เราสามารถแยกเมทริกซ์ที่มีคุณสมบัติพิเศษออกมา

โดดเดี่ยวเมทริกซ์ (แสดง ฉันและบางเวลา อี) เป็นเมทริกซ์ที่องค์ประกอบทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ ยกเว้นองค์ประกอบในแนวทแยงซึ่งมีค่าเท่ากับ 1 เช่น

อย่างชัดเจน AI = ไอ.เอ = ก.

เรียกว่าเมทริกซ์ เส้นทแยงมุมถ้าองค์ประกอบทั้งหมดยกเว้นเส้นทแยงมุม ( ก ii) มีค่าเท่ากับศูนย์ ตัวอย่างเช่น

ข้าว. 8 เมทริกซ์แนวทแยง

เมทริกซ์ กเรียกว่าตัวท็อป รูปสามเหลี่ยมหากองค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่ด้านล่างเส้นทแยงมุมมีค่าเท่ากับศูนย์นั่นคือ ก ไอเจ= 0 ที่ ผม>เจ. ตัวอย่างเช่น

ข้าว. 9 ตอนบน เมทริกซ์สามเหลี่ยม

เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน

เมทริกซ์ กเรียกว่า สมมาตร, ถ้า กเสื้อ = ก. กล่าวอีกนัยหนึ่ง ก ไอเจ = ก จิ. ตัวอย่างเช่น

ข้าว. 10 เมทริกซ์สมมาตร

เมทริกซ์ กเรียกว่า มุมฉาก, ถ้า

กที ก = เอ.เอเสื้อ = ฉัน.

เรียกว่าเมทริกซ์ ปกติถ้า

1.5. ติดตามและกำหนด

กำลังติดตามเมทริกซ์สี่เหลี่ยม ก(แทนค่า Tr( ก) หรือ Sp( ก)) คือผลรวมขององค์ประกอบในแนวทแยง

ตัวอย่างเช่น,

ข้าว. 11 การติดตามเมทริกซ์

เห็นได้ชัดว่า

สเปซ(α ก) = α Sp( ก) และ

Sp( ก+ข) = สเปซ ( ก)+ sp( ข).

ก็แสดงว่า

Sp( ก) = สเปซ ( กเสื้อ), Sp( ฉัน) = เอ็น,

และนั่นก็ด้วย

Sp( เอบี) = สเปซ ( ศศ.บ).

อื่น ลักษณะสำคัญเมทริกซ์จัตุรัสเป็นของมัน ปัจจัย(แสดงโดยเดช( ก)). คำจำกัดความของดีเทอร์มิแนนต์ใน กรณีทั่วไปค่อนข้างซับซ้อน ดังนั้นเราจะเริ่มด้วยตัวเลือกที่ง่ายที่สุด - เมทริกซ์ กมิติข้อมูล (2×2) แล้ว

สำหรับเมทริกซ์ (3×3) ดีเทอร์มีแนนต์จะเท่ากับ

ในกรณีของเมทริกซ์ ( เอ็น× เอ็น) ดีเทอร์มิแนนต์จะคำนวณเป็นผลรวม 1 2 3 ... เอ็น= เอ็น! ซึ่งแต่ละข้อมีค่าเท่ากับ

ดัชนี เค 1 , เค 2 ,..., เค เอ็นถูกกำหนดให้เป็นลำดับการเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นไปได้ทั้งหมด รตัวเลขในชุด (1, 2, ... , เอ็น). การคำนวณตัวกำหนดเมทริกซ์เป็นขั้นตอนที่ซับซ้อนซึ่งในทางปฏิบัติดำเนินการโดยใช้โปรแกรมพิเศษ ตัวอย่างเช่น,

ข้าว. 12 เมทริกซ์ดีเทอร์มีแนนต์

เราจดเฉพาะคุณสมบัติที่ชัดเจน:

เดช ( ฉัน) = 1, เดต ( ก) = เดช ( กเสื้อ),

เดช ( เอบี) = เดช ( ก)เดช( ข).

1.6. เวกเตอร์

ถ้าเมทริกซ์มีเพียงหนึ่งคอลัมน์ ( เจ= 1) จึงเรียกวัตถุดังกล่าวว่า เวกเตอร์. แม่นยำยิ่งขึ้น เวกเตอร์คอลัมน์ ตัวอย่างเช่น

นอกจากนี้ยังสามารถพิจารณาเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยหนึ่งแถวได้

วัตถุนี้ยังเป็นเวกเตอร์ แต่ เวกเตอร์แถว. เมื่อวิเคราะห์ข้อมูล สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าเรากำลังจัดการกับเวกเตอร์ใด - คอลัมน์หรือแถว ดังนั้นสเปกตรัมที่ใช้สำหรับหนึ่งตัวอย่างจึงถือเป็นเวกเตอร์แถว จากนั้นชุดของความเข้มสเปกตรัมที่ความยาวคลื่นสำหรับตัวอย่างทั้งหมดควรถือเป็นเวกเตอร์คอลัมน์

มิติของเวกเตอร์คือจำนวนองค์ประกอบ

เป็นที่ชัดเจนว่าเวกเตอร์คอลัมน์ใดๆ สามารถแปลงเป็นเวกเตอร์แถวได้โดยการเคลื่อนย้าย เช่น

ในกรณีที่ไม่ได้ระบุรูปแบบของเวกเตอร์โดยเฉพาะ แต่พูดง่ายๆ ว่าเวกเตอร์ ก็จะหมายถึงเวกเตอร์แบบคอลัมน์ เราจะปฏิบัติตามกฎนี้ด้วย เวกเตอร์จะแสดงด้วยตัวพิมพ์เล็กตัวหนาโดยตรง เวกเตอร์ศูนย์คือเวกเตอร์ที่องค์ประกอบทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ มันเป็นสัญลักษณ์ 0 .

1.7. การดำเนินการที่ง่ายที่สุดกับเวกเตอร์

เวกเตอร์สามารถเพิ่มและคูณด้วยตัวเลขได้เช่นเดียวกับเมทริกซ์ ตัวอย่างเช่น,

ข้าว. 13 การดำเนินการกับเวกเตอร์

เวกเตอร์สองตัว xและ ยเรียกว่า คอลิเนียร์ถ้ามีจำนวน α เช่นนั้น

1.8. ผลิตภัณฑ์ของเวกเตอร์

เวกเตอร์สองตัวที่มีขนาดเท่ากัน เอ็นสามารถทวีคูณได้ ให้มีเวกเตอร์สองตัว x = (x 1 , x 2 ,...,xน) เสื้อ และ ย = (ย 1 , ย 2 ,...,ยน) เสื้อ . ตามกฎการคูณ "แถวต่อคอลัมน์" เราสามารถสร้างผลิตภัณฑ์ได้สองรายการจากกฎเหล่านี้: xที ยและ xyเสื้อ . งานแรก

เรียกว่า สเกลาร์หรือ ภายใน. ผลลัพธ์ของมันคือตัวเลข นอกจากนี้ยังใช้สัญกรณ์ ( x,ย)= xที ย. ตัวอย่างเช่น,

ข้าว. 14 ผลิตภัณฑ์ภายใน (สเกลาร์)

งานที่สอง

เรียกว่า ภายนอก. ผลลัพธ์คือเมทริกซ์มิติ ( เอ็น× เอ็น). ตัวอย่างเช่น,

ข้าว. 15 ผลิตภัณฑ์ชั้นนอก

เวกเตอร์, ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ซึ่งมีค่าเท่ากับศูนย์เรียกว่า มุมฉาก.

1.9. บรรทัดฐานเวกเตอร์

ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่มีตัวมันเองเรียกว่าสเกลาร์สแควร์ ค่านี้

กำหนดสี่เหลี่ยม ความยาวเวกเตอร์ x. เพื่อแสดงถึงความยาว (เรียกอีกอย่างว่า บรรทัดฐานเวกเตอร์) ใช้สัญกรณ์

ตัวอย่างเช่น,

ข้าว. 16 เวกเตอร์บรรทัดฐาน

เวกเตอร์ความยาวหน่วย (|| x|| = 1) เรียกว่าทำให้เป็นมาตรฐาน เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ ( x ≠ 0 ) สามารถทำให้เป็นมาตรฐานได้โดยการหารด้วยความยาว เช่น x = ||x|| (x/||x||) = ||x|| อี. ที่นี่ อี = x/||x|| เป็นเวกเตอร์นอร์มัลไลซ์

เวกเตอร์เรียกว่าออร์โธนอร์มอลหากพวกมันถูกทำให้เป็นมาตรฐานทั้งหมดและตั้งฉากแบบคู่

1.10. มุมระหว่างเวกเตอร์

ผลิตภัณฑ์สเกลาร์กำหนดและ มุมφ ระหว่างสองเวกเตอร์ xและ ย

ถ้าเวกเตอร์อยู่ในมุมฉาก ดังนั้น cosφ = 0 และ φ = π/2 และถ้าพวกมันอยู่ในแนวร่วม แล้ว cosφ = 1 และ φ = 0

1.11. การแสดงเวกเตอร์ของเมทริกซ์

แต่ละเมทริกซ์ กขนาด ฉัน× เจสามารถแสดงเป็นเซตของเวกเตอร์ได้

นี่คือเวกเตอร์แต่ละตัว ก เจเป็น เจ-th คอลัมน์และเวกเตอร์แถว ข ผมเป็น ผมแถวที่ -th ของเมทริกซ์ ก

1.12. เวกเตอร์ที่ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น

เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากัน ( เอ็น) สามารถเพิ่มและคูณด้วยตัวเลขได้ เช่นเดียวกับเมทริกซ์ ผลลัพธ์คือเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากัน ให้มีเวกเตอร์หลายตัวที่มีขนาดเท่ากัน x 1 , x 2 ,...,x K และจำนวนเดียวกันของตัวเลข α α 1 , α 2 ,...,α เค. เวกเตอร์

ย= α 1 x 1 + α 2 x 2 +...+α เค x เค

เรียกว่า การรวมกันเชิงเส้นเวกเตอร์ x เค .

หากมีตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์ α เค ≠ 0, เค = 1,..., เค, อะไร ย = 0 แล้วเซตของเวกเตอร์ดังกล่าว x เคเรียกว่า ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น. มิฉะนั้น เวกเตอร์จะเรียกว่าอิสระเชิงเส้น ตัวอย่างเช่น เวกเตอร์ x 1 = (2, 2) เสื้อ และ x 2 = (−1, −1) t ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น เนื่องจาก x 1 +2x 2 = 0

1.13. อันดับเมทริกซ์

พิจารณาชุดของ เคเวกเตอร์ x 1 , x 2 ,...,x เคขนาด เอ็น. อันดับของระบบเวกเตอร์นี้คือจำนวนสูงสุดของเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น ตัวอย่างเช่นในชุด

ตัวอย่างเช่น มีเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นสองตัวเท่านั้น x 1 และ x 2 ดังนั้นอันดับของมันคือ 2

เห็นได้ชัดว่าหากมีเวกเตอร์ในชุดมากกว่าขนาด ( เค>เอ็น) จากนั้นพวกมันจำเป็นต้องขึ้นอยู่กับเชิงเส้น

อันดับเมทริกซ์(แสดงโดยอันดับ ( ก)) คืออันดับของระบบเวกเตอร์ที่ประกอบด้วย แม้ว่าเมทริกซ์ใดๆ สามารถแสดงได้สองวิธี (เวกเตอร์คอลัมน์หรือเวกเตอร์แถว) สิ่งนี้จะไม่ส่งผลต่อค่าอันดับ เนื่องจาก

1.14. เมทริกซ์ผกผัน

เมทริกซ์สี่เหลี่ยม กเรียกว่าไม่เสื่อมถ้ามีเอกลักษณ์ ย้อนกลับเมทริกซ์ ก-1 กำหนดตามเงื่อนไข

เอ.เอ −1 = ก −1 ก = ฉัน.

ไม่มีเมทริกซ์ผกผันสำหรับเมทริกซ์ทั้งหมด เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความไม่เสื่อมถอยคือ

เดช ( ก) ≠ 0 หรืออันดับ ( ก) = เอ็น.

การผกผันเมทริกซ์เป็นขั้นตอนที่ซับซ้อนซึ่งมีโปรแกรมพิเศษ ตัวอย่างเช่น,

ข้าว. 17 เมทริกซ์ผกผัน

เราให้สูตรสำหรับกรณีที่ง่ายที่สุด - เมทริกซ์ 2 × 2

ถ้าเมทริกซ์ กและ ขเป็นผู้ไม่เสื่อมแล้ว

(เอบี) −1 = ข −1 ก −1 .

1.15 น. เมทริกซ์ผกผันหลอก

ถ้าเมทริกซ์ กเสื่อมสภาพและไม่มีเมทริกซ์ผกผัน ในบางกรณีเราสามารถใช้ ผกผันหลอกเมทริกซ์ซึ่งถูกกำหนดให้เป็นเมทริกซ์ดังกล่าว ก+ นั่น

เอ.เอ + ก = ก.

เมทริกซ์ผกผันหลอกไม่ได้เป็นเพียงรูปแบบเดียวและรูปแบบขึ้นอยู่กับวิธีการสร้าง ตัวอย่างเช่นสำหรับ เมทริกซ์สี่เหลี่ยมสามารถใช้วิธีการของมัวร์-เพนโรสได้

ถ้าจำนวนคอลัมน์ น้อยกว่าจำนวนเส้นแล้ว

ก + =(กที ก) −1 กที

ตัวอย่างเช่น,

ข้าว. 17a การผกผันเมทริกซ์หลอก

ถ้าจำนวนคอลัมน์ จำนวนมากขึ้นเส้นแล้ว

ก + =กเสื้อ ( เอ.เอเสื้อ) −1

1.16. การคูณเวกเตอร์ด้วยเมทริกซ์

เวกเตอร์ xสามารถคูณด้วยเมทริกซ์ กมิติที่เหมาะสม ในกรณีนี้ เวกเตอร์คอลัมน์จะถูกคูณทางด้านขวา ขวานและสตริงเวกเตอร์อยู่ทางด้านซ้าย xที ก. ถ้ามิติของเวกเตอร์ เจและมิติของเมทริกซ์ ฉัน× เจผลลัพธ์ที่ได้คือเวกเตอร์ของมิติ ฉัน. ตัวอย่างเช่น,

ข้าว. 18 การคูณเมทริกซ์เวกเตอร์

ถ้าเมทริกซ์ ก- สี่เหลี่ยม ( ฉัน× ฉัน) แล้วเวกเตอร์ ย = ขวานมีมิติเท่ากับ x. เห็นได้ชัดว่า

ก(α 1 x 1 + α 2 x 2) = α 1 ขวาน 1 + α 2 ขวาน 2 .

ดังนั้นเมทริกซ์จึงถือได้ว่าเป็นการแปลงเชิงเส้นของเวกเตอร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง x = x, วัว = 0 .

2. ข้อมูลเพิ่มเติม

2.1. ระบบสมการเชิงเส้น

อนุญาต ก- ขนาดเมทริกซ์ ฉัน× เจ, ก ข- เวกเตอร์มิติ เจ. พิจารณาสมการ

ขวาน = ข

เกี่ยวกับเวกเตอร์ xขนาด ฉัน. โดยพื้นฐานแล้วนี่คือระบบของ ฉันสมการเชิงเส้นด้วย เจไม่ทราบ x 1 ,...,x เจ. ทางออกมีอยู่ก็ต่อเมื่อ

อันดับ ( ก) = อันดับ ( ข) = ร,

ที่ไหน ขเป็นเมทริกซ์มิติเสริม ฉัน×( J+1) ประกอบด้วยเมทริกซ์ กเบาะด้วยคอลัมน์ ข, ข = (ก ข). มิฉะนั้นสมการจะไม่สอดคล้องกัน

ถ้า ก ร = ฉัน = เจแล้วโซลูชันจะไม่ซ้ำกัน

x = ก −1 ข.

ถ้า ก ร < ฉันแล้วมีจำนวนมาก โซลูชั่นต่างๆซึ่งสามารถแสดงในรูปของผลรวมเชิงเส้น เจ−รเวกเตอร์ ระบบ สมการเอกพันธ์ ขวาน = 0 ด้วยเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัส ก (เอ็น× เอ็น) ไม่มี วิธีแก้ปัญหาเล็กน้อย (x ≠ 0 ) ถ้าและถ้าตรวจพบ ( ก) = 0 ถ้า ร= อันดับ ( ก)<เอ็นแล้วมี เอ็น−รสารละลายอิสระเชิงเส้น

2.2. รูปแบบทวิเนียร์และกำลังสอง

ถ้า ก ก- นี่คือ เมทริกซ์สี่เหลี่ยม, ก xและ ย- เวกเตอร์ของมิติที่สอดคล้องกัน จากนั้นผลคูณของสเกลาร์ของแบบฟอร์ม xที อายเรียกว่า ทวิรูปร่างที่กำหนดโดยเมทริกซ์ ก. ที่ x = ยการแสดงออก xที ขวานเรียกว่า กำลังสองรูปร่าง.

2.3. เมทริกซ์บวกแน่นอน

เมทริกซ์สี่เหลี่ยม กเรียกว่า บวกแน่นอน, ถ้าสำหรับเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ x ≠ 0 ,

xที ขวาน > 0.

เดอะ เชิงลบ (xที ขวาน < 0), ไม่เป็นลบ (xที ขวาน≥ 0) และ ไม่เป็นบวก (xที ขวาน≤ 0) เมทริกซ์บางตัว

2.4. การสลายตัวของ Cholesky

ถ้าเมทริกซ์สมมาตร กเป็นบวกแน่นอน แล้วมีเมทริกซ์สามเหลี่ยมเฉพาะ ยูด้วยองค์ประกอบเชิงบวกซึ่ง

ก = ยูที ยู.

ตัวอย่างเช่น,

ข้าว. 19 การสลายตัวของโคเลสกี้

2.5. การสลายตัวของขั้ว

อนุญาต กเป็นเมทริกซ์กำลังสองที่ไม่เสื่อมของมิติ เอ็น× เอ็น. แล้วมีเอกลักษณ์ ขั้วโลกประสิทธิภาพ

ก = เอสอาร์

ที่ไหน สเป็นเมทริกซ์สมมาตรที่ไม่เป็นลบ และ รเป็นเมทริกซ์มุมฉาก เมทริกซ์ สและ รสามารถกำหนดได้อย่างชัดเจน:

ส 2 = เอ.เอเสื้อ หรือ ส = (เอ.เอเสื้อ) ½ และ ร = ส −1 ก = (เอ.เอเสื้อ) −½ ก.

ตัวอย่างเช่น,

ข้าว. 20 การสลายตัวของขั้วโลก

ถ้าเมทริกซ์ กเสื่อมสลายแล้วการสลายตัวจะไม่ซ้ำกัน - กล่าวคือ: สยังอยู่คนเดียว แต่ รอาจมีมากมาย การสลายตัวของขั้วโลกแสดงถึงเมทริกซ์ กเป็นการผสมผสานการบีบอัด / การยืด สและการเลี้ยว ร.

2.6. ค่าลักษณะเฉพาะและค่าลักษณะเฉพาะ

อนุญาต กเป็นเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัส เวกเตอร์ โวลต์เรียกว่า เวกเตอร์ของตัวเองเมทริกซ์ ก, ถ้า

เฉลี่ย = λ โวลต์,

โดยที่หมายเลข λ ถูกเรียก ค่าลักษณะเฉพาะเมทริกซ์ ก. ดังนั้นการแปลงที่เมทริกซ์ดำเนินการ กบนเวกเตอร์ โวลต์, ลดลงเป็นการยืดหรือบีบอัดอย่างง่ายด้วยปัจจัย λ เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะถูกกำหนดขึ้นจากการคูณด้วยค่าคงที่ α ≠ 0 นั่นคือ ถ้า โวลต์เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ แล้วก็ α โวลต์ยังเป็นเวกเตอร์ไอเกน

2.7. ค่าลักษณะเฉพาะ

ที่เมทริกซ์ ก, มิติ ( เอ็น× เอ็น) ไม่สามารถมากกว่า เอ็น ค่าลักษณะเฉพาะ. พวกเขาพอใจ สมการคุณลักษณะ

เดช ( ก − λ ฉัน) = 0,

สิ่งมีชีวิต สมการพีชคณิต เอ็น-ลำดับที่. โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับเมทริกซ์ 2×2 สมการคุณลักษณะจะมีรูปแบบ

ตัวอย่างเช่น,

ข้าว. 21 ค่าลักษณะเฉพาะ

เซตของค่าลักษณะเฉพาะ λ 1 ,..., λ เอ็นเมทริกซ์ กเรียกว่า คลื่นความถี่ ก.

สเปกตรัมมีคุณสมบัติต่างๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง

เดช ( ก) = λ 1×...×λ เอ็น, สเปซ( ก) = λ 1 +...+λ เอ็น.

ค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์โดยพลการสามารถเป็นจำนวนเชิงซ้อนได้ แต่ถ้าเมทริกซ์นั้นสมมาตร ( กเสื้อ = ก) จากนั้นค่าลักษณะเฉพาะของมันจะเป็นจริง

2.8. ไอเกนเวกเตอร์

ที่เมทริกซ์ ก, มิติ ( เอ็น× เอ็น) ไม่สามารถมากกว่า เอ็น eigen vectors ซึ่งแต่ละค่าสอดคล้องกับค่าของมันเอง เพื่อกำหนดเวกเตอร์ไอเกน โวลต์ นคุณต้องแก้ระบบสมการเอกพันธ์

(ก − λ น ฉัน)โวลต์ น = 0 .

มันมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่สำคัญเพราะ det( เอ-λ น ฉัน) = 0.

ตัวอย่างเช่น,

ข้าว. 22 ไอเกนเวกเตอร์

เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์สมมาตรเป็นแบบตั้งฉาก

ค่าลักษณะเฉพาะ (ตัวเลข) และเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ
ตัวอย่างโซลูชัน

เป็นตัวของตัวเอง

จากสมการทั้งสอง จะได้ว่า

มาใส่กันเถอะ: .

ผลที่ตามมา: เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอง

ขอย้ำ จุดสำคัญโซลูชั่น:

– ระบบผลลัพธ์มีแน่นอน การตัดสินใจร่วมกัน(สมการขึ้นอยู่กับเชิงเส้น);

- "Y" ถูกเลือกในลักษณะที่เป็นจำนวนเต็ม และพิกัด "x" แรกเป็นจำนวนเต็ม เป็นบวก และมีขนาดเล็กที่สุด

– เราตรวจสอบว่าโซลูชันนั้นตรงตามสมการแต่ละอย่างของระบบ

ตอบ .

"จุดตรวจ" ระดับกลางนั้นค่อนข้างเพียงพอดังนั้นโดยหลักการแล้วการตรวจสอบความเท่าเทียมกันจึงไม่จำเป็น

ในแหล่งข้อมูลต่างๆ พิกัดของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะมักไม่ได้เขียนเป็นคอลัมน์ แต่เป็นแถว เช่น (และบอกตามตรงว่าผมเองก็เคยเขียนเป็นบรรทัดๆ). ตัวเลือกนี้เป็นที่ยอมรับ แต่ในแง่ของหัวข้อ การแปลงเชิงเส้นสะดวกกว่าในทางเทคนิคในการใช้งาน เวกเตอร์คอลัมน์.

บางทีวิธีแก้ปัญหาอาจดูยาวมากสำหรับคุณ แต่นั่นเป็นเพียงเพราะฉันให้ความเห็นเกี่ยวกับตัวอย่างแรกอย่างละเอียด

ตัวอย่างที่ 2

เมทริกซ์

เราฝึกฝนด้วยตัวเอง! ตัวอย่างโดยประมาณของการออกแบบขั้นสุดท้ายของงานในตอนท้ายของบทเรียน

บางครั้งคุณต้องทำ งานเพิ่มเติมคือ:

เขียนการสลายตัวตามบัญญัติของเมทริกซ์

มันคืออะไร?

ถ้าเมทริกซ์ไอเกนเวกเตอร์ก่อตัวขึ้น พื้นฐานจากนั้นสามารถแสดงเป็น:

เมทริกซ์ที่ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะอยู่ที่ไหน – เส้นทแยงมุมเมทริกซ์ที่มีค่าเฉพาะที่สอดคล้องกัน

การสลายเมทริกซ์นี้เรียกว่า เป็นที่ยอมรับหรือ เส้นทแยงมุม.

พิจารณาเมทริกซ์ของตัวอย่างแรก เวกเตอร์ของเธอเอง อิสระเชิงเส้น(non-collinear) และเป็นพื้นฐาน มาสร้างเมทริกซ์จากพิกัดกัน:

บน เส้นทแยงมุมหลักเมทริกซ์ ตามลำดับค่าลักษณะเฉพาะตั้งอยู่และองค์ประกอบที่เหลือมีค่าเท่ากับศูนย์:
- ฉันเน้นย้ำถึงความสำคัญของลำดับอีกครั้ง: "สอง" ตรงกับเวกเตอร์ที่ 1 ดังนั้นจึงอยู่ในคอลัมน์ที่ 1 "สาม" - ไปยังเวกเตอร์ที่ 2

ตามอัลกอริทึมปกติสำหรับการค้นหา เมทริกซ์ผกผันหรือ วิธีเกาส์-จอร์แดนหา . ไม่ นั่นไม่ใช่การพิมพ์ผิด! - ต่อหน้าคุณหายากเช่น สุริยุปราคาเหตุการณ์เมื่อผกผันตรงกับเมทริกซ์เดิม

มันยังคงเขียนการสลายตัวตามบัญญัติของเมทริกซ์:

ระบบแก้ไขได้ด้วย การแปลงเบื้องต้นและในตัวอย่างต่อไปนี้เราจะใช้ วิธีนี้. แต่ที่นี่วิธี "โรงเรียน" ทำงานได้เร็วกว่ามาก จากสมการที่ 3 เราแสดง: - แทนที่ในสมการที่สอง:

เนื่องจากพิกัดแรกเป็นศูนย์ เราจึงได้รับระบบ จากสมการแต่ละสมการซึ่งตามด้วยสมการนั้น

และอีกครั้ง ให้ความสนใจกับการมีอยู่จริงของความสัมพันธ์เชิงเส้น. หากได้รับเพียงวิธีแก้ปัญหาเล็กน้อย จากนั้นพบว่าค่าลักษณะเฉพาะไม่ถูกต้องหรือระบบรวบรวม / แก้ไขโดยมีข้อผิดพลาด

พิกัดที่กะทัดรัดให้คุณค่า

ไอเกนเวกเตอร์:

และอีกครั้งเราตรวจสอบว่าพบวิธีแก้ปัญหา ตอบสนองทุกสมการของระบบ. ในย่อหน้าต่อไปนี้และในงานต่อๆ ไป ฉันขอแนะนำให้ยอมรับความปรารถนานี้เป็นกฎบังคับ

2) สำหรับค่าลักษณะเฉพาะ เราได้รับตามหลักการเดียวกัน ระบบต่อไป:

จากสมการที่ 2 ของระบบ เราแสดง: - แทนที่ในสมการที่สาม:

เนื่องจากพิกัด "ซีตา" เท่ากับศูนย์ เราจึงได้รับระบบ จากสมการแต่ละสมการที่ตามมา การพึ่งพาเชิงเส้น.

อนุญาต

เรามาเช็คกันว่าน้ำยา ตอบสนองทุกสมการของระบบ

ดังนั้น eigen vector: .

3) และสุดท้าย ระบบจะสอดคล้องกับค่าของมันเอง:

สมการที่ 2 ดูง่ายที่สุด เราจึงแสดงสมการนั้นแล้วแทนลงในสมการที่ 1 และ 3:

ทุกอย่างเรียบร้อยดี - มีการเปิดเผยการพึ่งพาเชิงเส้นซึ่งเราแทนที่ด้วยนิพจน์:

เป็นผลให้ "X" และ "Y" แสดงผ่าน "Z": ในทางปฏิบัติ ไม่จำเป็นต้องบรรลุความสัมพันธ์ดังกล่าวเพียงอย่างเดียว ในบางกรณี จะสะดวกกว่าที่จะแสดงออกทั้งผ่าน หรือ และผ่าน หรือแม้กระทั่ง "รถไฟ" เช่น "X" ถึง "Y" และ "Y" ถึง "Z"

มาใส่กันเถอะ:

เราตรวจสอบว่าพบวิธีแก้ปัญหา ตอบสนองแต่ละสมการของระบบและเขียนเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สาม

ตอบ: เวกเตอร์ไอเกน:

ในทางเรขาคณิต เวกเตอร์เหล่านี้กำหนดทิศทางเชิงพื้นที่ที่แตกต่างกันสามทิศทาง ("ที่นั่นและกลับมาอีกครั้ง")ตามที่ การแปลงเชิงเส้นแปลงเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ (เวกเตอร์ไอเกน) เป็นเวกเตอร์ที่เรียงตัวกัน

หากตามเงื่อนไขแล้วจำเป็นต้องค้นหาการขยายตามรูปแบบบัญญัติของ นี่ก็เป็นไปได้ที่นี่เพราะ ค่าลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกันสอดคล้องกับเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่เป็นอิสระเชิงเส้นที่แตกต่างกัน เราสร้างเมทริกซ์ จากพิกัดของพวกเขา เมทริกซ์แนวทแยง จาก ที่เกี่ยวข้องค่าลักษณะเฉพาะและหา เมทริกซ์ผกผัน .

หากตามเงื่อนไขจำเป็นต้องเขียน เมทริกซ์ การแปลงเชิงเส้นบนพื้นฐานของเวกเตอร์ไอเกนแล้วเราให้คำตอบในแบบฟอร์ม มีความแตกต่างและความแตกต่างที่สำคัญ!สำหรับเมทริกซ์นี้คือเมทริกซ์ "เดอ"

ท้าทายมากขึ้น การคำนวณอย่างง่ายสำหรับ โซลูชันอิสระ:

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของการแปลงเชิงเส้นที่กำหนดโดยเมทริกซ์

เมื่อค้นหาตัวเลขของคุณเอง พยายามอย่านำกรณีเป็นพหุนามของดีกรี 3 นอกจากนี้ โซลูชันระบบของคุณอาจแตกต่างจากโซลูชันของฉัน - ไม่มีความคลุมเครือที่นี่ และเวกเตอร์ที่คุณพบอาจแตกต่างจากเวกเตอร์ตัวอย่างตามสัดส่วนของพิกัดที่เกี่ยวข้อง ตัวอย่างเช่น และ . การนำเสนอคำตอบในรูปแบบของ เป็นเรื่องสุนทรีย์มากกว่า แต่ก็ไม่เป็นไรหากคุณหยุดที่ตัวเลือกที่สอง อย่างไรก็ตามทุกอย่างมี ขอบเขตที่สมเหตุสมผลรุ่นที่ดูไม่ค่อยดีนัก

ตัวอย่างสุดท้ายของงานที่มอบหมายในตอนท้ายของบทเรียน

จะแก้ปัญหาในกรณีที่มีค่าเฉพาะหลายค่าได้อย่างไร?

อัลกอริทึมทั่วไปยังคงเหมือนเดิม แต่มีลักษณะเฉพาะของตัวเองและขอแนะนำให้เก็บบางส่วนของโซลูชันไว้ในรูปแบบวิชาการที่เข้มงวดมากขึ้น:

ตัวอย่างที่ 6

ค้นหาค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ

วิธีการแก้

แน่นอน ใช้ประโยชน์จากคอลัมน์แรกที่ยอดเยี่ยม:

และหลังการย่อยสลาย สี่เหลี่ยมจตุรัสสำหรับตัวคูณ:

เป็นผลให้ได้รับค่าลักษณะเฉพาะซึ่งสองค่าเป็นทวีคูณ

หาของเราเองกันเถอะเวกเตอร์:

1) เราจะจัดการกับทหารคนเดียวตามรูปแบบ "ง่าย":

จากสมการสองสมการที่ผ่านมา จะเห็นความเท่าเทียมกันอย่างชัดเจน ซึ่งแน่นอนว่าควรแทนที่ลงในสมการที่ 1 ของระบบ:

ไม่มีชุดค่าผสมที่ดีกว่า:
ไอเกนเวกเตอร์:

2-3) ตอนนี้เราลบทหารยามสองสามคน ในกรณีนี้ก็อาจเป็นได้ อย่างใดอย่างหนึ่งหรือสองไอเกนเวกเตอร์ โดยไม่คำนึงถึงจำนวนหลายหลากของราก เราแทนค่าในดีเทอร์มีแนนต์ ซึ่งนำเราต่อไปนี้ ระบบเอกพันธ์ของสมการเชิงเส้น:

ไอเกนเวคเตอร์เป็นเวกเตอร์พอดี
ระบบการตัดสินใจพื้นฐาน

อันที่จริง ตลอดบทเรียน เรามีส่วนร่วมในการค้นหาเวกเตอร์ของระบบพื้นฐานเท่านั้น เพียงในขณะนี้ คำนี้ไม่จำเป็นอย่างยิ่ง โดยวิธีการที่นักเรียนที่คล่องแคล่วซึ่งอยู่ในชุดพราง สมการเอกพันธ์จะถูกบังคับให้สูบเดี๋ยวนี้

การดำเนินการเพียงอย่างเดียวคือการลบบรรทัดพิเศษ ผลลัพธ์คือเมทริกซ์ "หนึ่งต่อสาม" โดยมี "ขั้นตอน" อย่างเป็นทางการอยู่ตรงกลาง
– ตัวแปรพื้นฐาน – ตัวแปรอิสระ มีตัวแปรอิสระสองตัว ดังนั้น นอกจากนี้ยังมีเวกเตอร์สองตัวของระบบพื้นฐาน.

แสดงตัวแปรพื้นฐานในรูปของตัวแปรอิสระ: ปัจจัยที่เป็นศูนย์หน้า "x" ช่วยให้สามารถรับค่าใด ๆ ก็ได้ (ซึ่งมองเห็นได้ชัดเจนจากระบบสมการ)

ในบริบทของปัญหานี้ จะสะดวกกว่าที่จะเขียนวิธีแก้ปัญหาทั่วไปที่ไม่ได้อยู่ในแถว แต่ในคอลัมน์:

ทั้งคู่สอดคล้องกับเวกเตอร์ไอเกน:
ทั้งคู่สอดคล้องกับเวกเตอร์ไอเกน:

บันทึก : ผู้อ่านที่เชี่ยวชาญสามารถรับเวกเตอร์เหล่านี้ด้วยปากเปล่า - เพียงแค่วิเคราะห์ระบบ แต่จำเป็นต้องมีความรู้บางอย่างที่นี่: มีสามตัวแปร อันดับเมทริกซ์ของระบบ- หน่วยหมายถึง ระบบการตัดสินใจพื้นฐานประกอบด้วย 3 – 1 = 2 เวกเตอร์ อย่างไรก็ตาม เวกเตอร์ที่พบนั้นสามารถมองเห็นได้อย่างสมบูรณ์แม้จะไม่มีความรู้ด้านนี้ก็ตาม ในระดับที่เข้าใจได้ง่ายเท่านั้น ในกรณีนี้ เวกเตอร์ที่สามจะถูกเขียนให้ "สวยงามยิ่งขึ้น": . อย่างไรก็ตาม คำเตือนในอีกตัวอย่างหนึ่ง เลือกง่ายๆอาจไม่ใช่ ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมการจองจึงมีไว้สำหรับผู้มีประสบการณ์ นอกจากนี้ ทำไมไม่ใช้เป็นเวกเตอร์ที่สาม พูดว่า ? ท้ายที่สุดแล้ว พิกัดของมันยังเป็นไปตามสมการแต่ละสมการของระบบและเวกเตอร์ด้วย มีความเป็นอิสระเชิงเส้น โดยหลักการแล้วตัวเลือกนี้เหมาะสม แต่ "คดเคี้ยว" เนื่องจากเวกเตอร์ "อื่น ๆ " เป็นชุดค่าผสมเชิงเส้นของเวกเตอร์ของระบบพื้นฐาน

ตอบ: ค่าลักษณะเฉพาะ: , เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ:

ตัวอย่างที่คล้ายกันสำหรับโซลูชันที่ต้องทำด้วยตัวเอง:

ตัวอย่างที่ 7

ค้นหาค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ

ตัวอย่างการจบบทเรียนโดยประมาณ

ควรสังเกตว่าทั้งในตัวอย่างที่ 6 และ 7 ได้รับเวกเตอร์ไอเกนอิสระเชิงเส้นสามตัว ดังนั้นเมทริกซ์ดั้งเดิมจึงสามารถแสดงเป็น การสลายตัวตามบัญญัติ. แต่ราสเบอร์รี่ดังกล่าวไม่ได้เกิดขึ้นในทุกกรณี:

ตัวอย่างที่ 8