เครื่องหมายทางคณิตศาสตร์ระหว่าง สัญกรณ์คณิตศาสตร์

พีชคณิตนามธรรมใช้สัญลักษณ์อย่างกว้างขวางเพื่อทำให้ข้อความง่ายขึ้นและสั้นลง เช่นเดียวกับสัญกรณ์มาตรฐานสำหรับบางกลุ่ม ต่อไปนี้เป็นรายการของสัญกรณ์พีชคณิตที่พบบ่อยที่สุด คำสั่งที่เกี่ยวข้องใน ... Wikipedia

สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์เป็นสัญลักษณ์ที่ใช้เขียนสมการและสูตรทางคณิตศาสตร์อย่างย่อ นอกจากตัวเลขและตัวอักษรของตัวอักษรต่างๆ (ละติน รวมทั้ง กอธิค กรีก และฮีบรู) ... ... Wikipedia

บทความนี้ประกอบด้วยรายการตัวย่อที่ใช้กันทั่วไปสำหรับฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ ตัวดำเนินการ และศัพท์ทางคณิตศาสตร์อื่นๆ สารบัญ 1 ตัวย่อ 1.1 ละติน 1.2 ตัวอักษรกรีก ... Wikipedia

Unicode หรือ Unicode (อังกฤษ Unicode) เป็นมาตรฐานการเข้ารหัสอักขระที่ให้คุณแสดงสัญลักษณ์ของภาษาเขียนเกือบทั้งหมด มาตรฐานนี้เสนอในปี 1991 โดยองค์กรไม่แสวงหากำไร Unicode Consortium (อังกฤษ. Unicode Consortium, ... ... Wikipedia

รายการสัญลักษณ์เฉพาะที่ใช้ในคณิตศาสตร์สามารถดูได้ในบทความ ตารางสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ สัญกรณ์คณิตศาสตร์ ("ภาษาของคณิตศาสตร์") เป็นระบบสัญลักษณ์กราฟิกที่ซับซ้อนซึ่งทำหน้าที่นำเสนอนามธรรม ... ... Wikipedia

คำนี้มีความหมายอื่น ดู บวก ลบ (ความหมาย) ± ∓ เครื่องหมายบวกลบ (±) เป็นสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่วางอยู่หน้านิพจน์และหมายความว่าค่าของนิพจน์นี้สามารถเป็นได้ทั้งค่าบวกและค่า ... Wikipedia

จำเป็นต้องตรวจสอบคุณภาพของการแปลและนำบทความไปสอดคล้องกับกฎโวหารของวิกิพีเดีย คุณสามารถช่วยได้ ... Wikipedia

หรือสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์เป็นสัญญาณที่แสดงถึงการดำเนินการทางคณิตศาสตร์บางอย่างด้วยการโต้แย้ง เครื่องหมายหารที่พบบ่อยที่สุดได้แก่: บวก: + ลบ:, - เครื่องหมายการคูณ: ×, ∙ เครื่องหมายหาร::, ∕, ÷ เครื่องหมายแสดงแทน ... ... Wikipedia

เครื่องหมายการดำเนินการหรือสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์เป็นสัญญาณที่เป็นสัญลักษณ์ของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์บางอย่างที่มีการโต้แย้ง เครื่องหมายหารที่พบบ่อยที่สุดคือ: บวก: + ลบ:, - เครื่องหมายคูณ: ×, ∙ เครื่องหมายหาร::, ∕, ÷ ป้ายก่อสร้าง ... ... Wikipedia

จากสอง) 3 > 2 (สามมากกว่าสอง) เป็นต้น

การพัฒนาสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์มีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับการพัฒนาแนวคิดทั่วไปและวิธีการทางคณิตศาสตร์ อันดับแรก เครื่องหมายทางคณิตศาสตร์มีป้ายแสดงตัวเลข - ตัวเลข, การเกิดขึ้นซึ่งปรากฏก่อนการเขียน ระบบการนับที่เก่าแก่ที่สุด - บาบิโลนและอียิปต์ - ปรากฏเร็วที่สุดเท่าที่ 3 1/2 พันปีก่อนคริสต์ศักราช อี

อันดับแรก เครื่องหมายทางคณิตศาสตร์สำหรับค่าโดยพลการปรากฏขึ้นมากในภายหลัง (เริ่มตั้งแต่ศตวรรษที่ 5-4 ก่อนคริสต์ศักราช) ในกรีซ ปริมาณ (พื้นที่ ปริมาตร มุม) ถูกแสดงเป็นส่วน และผลิตภัณฑ์ของปริมาณที่เป็นเนื้อเดียวกันตามอำเภอใจสองปริมาณ - เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่สร้างขึ้นบนส่วนที่สอดคล้องกัน ใน "จุดเริ่มต้น" ยูคลิด ปริมาณ (ศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช) ระบุด้วยตัวอักษรสองตัว - อักษรตัวแรกและตัวสุดท้ายของส่วนที่เกี่ยวข้องและบางครั้งก็เป็นตัวอักษรเดียว ที่ อาร์คิมิดีส (ศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช) วิธีหลังกลายเป็นเรื่องธรรมดา การกำหนดดังกล่าวมีความเป็นไปได้ในการพัฒนาแคลคูลัสตามตัวอักษร อย่างไรก็ตาม ในคณิตศาสตร์โบราณคลาสสิก ไม่มีการสร้างแคลคูลัสตามตัวอักษร

จุดเริ่มต้นของการแสดงตัวอักษรและแคลคูลัสเกิดขึ้นในช่วงปลายยุคขนมผสมน้ำยาอันเป็นผลมาจากการปลดปล่อยพีชคณิตจากรูปแบบทางเรขาคณิต ไดโอแฟนตัส (น่าจะเป็นศตวรรษที่ 3) เขียนสิ่งที่ไม่รู้จัก ( X) และองศาที่มีสัญญาณต่อไปนี้:

[ - จากคำภาษากรีก dunamiV (ไดนามิก - ความแข็งแกร่ง) หมายถึงกำลังสองของสิ่งที่ไม่รู้จัก - จากภาษากรีก cuboV (k_ybos) - ลูกบาศก์] ทางด้านขวาของสิ่งที่ไม่รู้จักหรือองศาของมัน Diophantus เขียนสัมประสิทธิ์เช่น 3x5 ปรากฎ

(โดยที่ = 3). เมื่อเพิ่ม Diophantus ให้เหตุผลซึ่งกันและกันสำหรับการลบเขาใช้เครื่องหมายพิเศษ Diophantus แสดงถึงความเท่าเทียมกันด้วยตัวอักษร i [จากภาษากรีก isoV (isos) - เท่ากับ] ตัวอย่างเช่น สมการ

(x 3 + 8x) - (5x 2 + 1) =X

Diophantus จะเขียนแบบนี้:

(ที่นี่

หมายความว่าหน่วยไม่มีตัวคูณในรูปของพลังที่ไม่รู้จัก)

ไม่กี่ศตวรรษต่อมา ชาวอินเดียนแดงได้แนะนำความหลากหลาย เครื่องหมายทางคณิตศาสตร์สำหรับสิ่งที่ไม่รู้หลายอย่าง (ตัวย่อสำหรับชื่อของสีที่แสดงถึงสิ่งที่ไม่รู้จัก), สี่เหลี่ยมจัตุรัส, รากที่สอง, ตัวเลขที่ถูกลบ ดังนั้นสมการ

3X 2 + 10x - 8 = x 2 + 1

ในการบันทึก พรหมคุปต์ (ศตวรรษที่ 7) จะมีลักษณะดังนี้:

ยา 3 ยา 10 รู 8

Ya va 1 ya 0 ru 1

(ยะ - จาก yavat - tawat - ไม่ทราบ, va - จาก varga - หมายเลขสี่เหลี่ยม, ru - จากรูป - เหรียญรูปี - สมาชิกฟรี, จุดเหนือตัวเลขหมายถึงจำนวนที่จะลบ)

การสร้างสัญลักษณ์พีชคณิตสมัยใหม่มีขึ้นตั้งแต่ศตวรรษที่ 14-17 มันถูกกำหนดโดยความสำเร็จของเลขคณิตเชิงปฏิบัติและการศึกษาสมการ ในประเทศต่าง ๆ ปรากฏขึ้นเองตามธรรมชาติ เครื่องหมายทางคณิตศาสตร์สำหรับการกระทำบางอย่างและเพื่ออำนาจที่ไม่ทราบจำนวน หลายทศวรรษหรือหลายศตวรรษผ่านไปก่อนที่จะมีการพัฒนาสัญลักษณ์ที่สะดวก ดังนั้นเมื่อสิ้นสุดวันที่ 15 และ. น. ชูเกะ และแอล. Pacioli ใช้เครื่องหมายบวกและลบ

(จาก lat. plus และ minus) นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันแนะนำ modern + (อาจเป็นตัวย่อของ lat. et) และ - ย้อนกลับไปในศตวรรษที่ 17 สามารถนับได้ประมาณสิบ เครื่องหมายทางคณิตศาสตร์สำหรับการดำเนินการคูณ

แตกต่างและ เครื่องหมายทางคณิตศาสตร์ไม่ทราบและองศาของมัน ในคริสต์ศตวรรษที่ 16 - ต้นศตวรรษที่ 17 เครื่องหมายมากกว่าสิบรายการแข่งขันกันเพื่อชิงจตุรัสของสิ่งที่ไม่รู้จักเพียงลำพัง ตัวอย่างเช่น เซ(จากสำมะโน - คำภาษาละตินที่ทำหน้าที่เป็นคำแปลของ dunamiV กรีก คิว(จากรูปสี่เหลี่ยม), , A (2), , Aii, อ้า, 2เป็นต้น ดังนั้น สมการ

x 3 + 5 x = 12

นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี G. Cardano (1545) จะมีรูปแบบดังนี้

จากนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน M. Stiefel (1544):

จากนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี R. Bombelli (1572):

นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส F. Vieta (1591):

จากนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ T. Harriot (1631):

ในคริสต์ศตวรรษที่ 16 และต้นศตวรรษที่ 17 เครื่องหมายเท่ากับและวงเล็บถูกนำมาใช้: สี่เหลี่ยม (R. Bombelli , 1550) แบบกลม (น. Tartaglia, 1556), หยิก (F. เวียต, 1593) ในศตวรรษที่ 16 รูปแบบที่ทันสมัยใช้สัญกรณ์เศษส่วน

ก้าวสำคัญในการพัฒนาสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์คือการแนะนำโดย Vieta (1591) เครื่องหมายทางคณิตศาสตร์สำหรับค่าคงที่ตามอำเภอใจในรูปแบบของพยัญชนะตัวพิมพ์ใหญ่ของอักษรละติน B, D ซึ่งทำให้เขาเป็นครั้งแรกในการเขียนสมการพีชคณิตด้วยสัมประสิทธิ์โดยพลการและดำเนินการกับพวกเขา เวียดที่ไม่รู้จักแสดงสระด้วยอักษรตัวใหญ่ A, E, ... ตัวอย่างเช่นบันทึกVieta

ในสัญลักษณ์ของเรามีลักษณะดังนี้:

x 3 + 3bx = ง.

Viet เป็นผู้สร้างสูตรพีชคณิต ร. เดส์การต (1637) ให้สัญญาณของพีชคณิตดูทันสมัยโดยระบุสิ่งที่ไม่รู้จักด้วยตัวอักษรสุดท้ายของ lat ตัวอักษร x, y, z,และปริมาณที่กำหนดโดยพลการ - ในตัวอักษรเริ่มต้น ก, ข, ค.เขายังเป็นเจ้าของบันทึกปัจจุบันของการศึกษาระดับปริญญา สัญกรณ์ของ Descartes ได้เปรียบเหนือกว่าทั้งหมดก่อนหน้านี้ ดังนั้นในไม่ช้าพวกเขาก็ได้รับการยอมรับในระดับสากล

พัฒนาต่อไป เครื่องหมายทางคณิตศาสตร์มีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับการสร้างการวิเคราะห์ที่ไม่สำคัญสำหรับการพัฒนาสัญลักษณ์ซึ่งพื้นฐานได้เตรียมไว้แล้วในระดับมากในพีชคณิต

วันที่เกิดเครื่องหมายทางคณิตศาสตร์บางอย่าง

เข้าสู่ระบบ	ความหมาย	ใครมาแนะนำ	เมื่อแนะนำตัว
สัญญาณของวัตถุแต่ละชิ้น
¥	อินฟินิตี้	เจ. วาลลิส	1655
อี	ฐานของลอการิทึมธรรมชาติ	L. ออยเลอร์	1736
พี	อัตราส่วนของเส้นรอบวงต่อเส้นผ่านศูนย์กลาง	ว. โจนส์ L. ออยเลอร์	1706
ฉัน	รากที่สองของ -1	L. ออยเลอร์	1777 (กด 1794)
ฉัน jk	เวกเตอร์หน่วย orts	ว. แฮมิลตัน	1853
พี (ก)	มุมขนาน	เอ็น.ไอ. Lobachevsky	1835
สัญญาณของวัตถุแปรผัน
x,y,z	ไม่ทราบหรือตัวแปร	R. Descartes	1637
r	เวกเตอร์	O. Koshy	1853
สัญญาณของการดำเนินงานส่วนบุคคล
+	ส่วนที่เพิ่มเข้าไป	นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน	ปลายศตวรรษที่ 15
–	การลบ
´	การคูณ	W. Outred	1631
×	การคูณ	G. Leibniz	1698
:	แผนก	G. Leibniz	1684
a 2 , a 3 ,…, น	องศา	R. Descartes	1637
		I. นิวตัน	1676
	ราก	คุณรูดอล์ฟ	1525
		A. Girard	1629
บันทึก	ลอการิทึม	I. เคปเลอร์	1624
บันทึก		ข. คาวาเลียรี	1632
บาป	ไซนัส	L. ออยเลอร์	1748
cos	โคไซน์
tg	แทนเจนต์	L. ออยเลอร์	1753
บาป	arcsine	เจ. ลากรองจ์	1772
ซือ	ไฮเพอร์โบลิกไซน์	V. Riccati	1757
ช	ไฮเพอร์โบลิกโคไซน์
ดก ด ด …	ดิฟเฟอเรนเชียล	G. Leibniz	1675 (ในการกด 1684)
d2x, d3x,…
	อินทิกรัล	G. Leibniz	1675 (ในการกด 1686)
	อนุพันธ์	G. Leibniz	1675
¦¢x	อนุพันธ์	เจ. ลากรองจ์	1770, 1779
คุณ
¦¢(x)
Dx	ความแตกต่าง	L. ออยเลอร์	1755
	อนุพันธ์บางส่วน	A. Legendre	1786
	ปริพันธ์ที่แน่นอน	เจ. ฟูริเยร์	1819-22
	ผลรวม	L. ออยเลอร์	1755
พี	งาน	คุณเกาส์	1812
!	แฟกทอเรียล	K. Crump	1808
|x|	โมดูล	ค. เวียร์สตราส	1841
ลิม	ขีดจำกัด	ว. แฮมิลตัน, นักคณิตศาสตร์หลายคน	1853, ต้นศตวรรษที่ 20
ลิม
น = ¥
ลิม
น ® ¥
x	ฟังก์ชันซีต้า	บี. รีมันน์	1857
จี	ฟังก์ชันแกมมา	A. Legendre	1808
ที่	ฟังก์ชันเบต้า	เจ. บีเน็ต	1839
ดี	เดลต้า (ตัวดำเนินการ Laplace)	อาร์. เมอร์ฟี่	1833
Ñ	nabla (โอเปอเรเตอร์แฮมิลตัน)	ว. แฮมิลตัน	1853
สัญญาณของการดำเนินการตัวแปร
jx	การทำงาน	I. เบอร์นูลลี	1718
เอฟ(x)		L. ออยเลอร์	1734
สัญญาณของความสัมพันธ์ส่วนบุคคล
=	ความเท่าเทียมกัน	ร. เรคคอร์ด	1557
>	มากกว่า	T. Harriot	1631
<	เล็กกว่า
º	การเปรียบเทียบ	คุณเกาส์	1801
	ความเท่าเทียม	W. Outred	1677
^	ตั้งฉาก	ป. เอริกอน	1634

และ. นิวตัน ในวิธีการไหลและไหลอย่างคล่องแคล่ว (1666 และปีต่อๆ มา) ได้แนะนำสัญญาณสำหรับฟลักซ์ชันต่อเนื่อง (อนุพันธ์) ของขนาด (ในรูปแบบ

และเพิ่มขึ้นทีละน้อย o. ก่อนหน้านั้น เจ วาลลิส (1655) เสนอเครื่องหมายอนันต์ ¥

ผู้สร้างสัญลักษณ์สมัยใหม่ของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์คือ G. ไลบนิซ. โดยเฉพาะอย่างยิ่งเขาเป็นของคนที่ใช้อยู่ในปัจจุบัน เครื่องหมายทางคณิตศาสตร์ความแตกต่าง

dx, d 2 x, d 3 x

และปริพันธ์

ข้อดีอย่างมากในการสร้างสัญลักษณ์ของคณิตศาสตร์สมัยใหม่เป็นของ L. ออยเลอร์. เขาแนะนำ (1734) ในการใช้งานทั่วไปสัญญาณแรกของการดำเนินการตัวแปรคือเครื่องหมายของฟังก์ชัน ฉ(x) (จาก lat. functio). หลังจากงานของออยเลอร์ เครื่องหมายของฟังก์ชันต่างๆ หลายอย่าง เช่น ฟังก์ชันตรีโกณมิติ จะได้รับอักขระมาตรฐาน ออยเลอร์เป็นเจ้าของสัญกรณ์สำหรับค่าคงที่ อี(ฐานของลอการิทึมธรรมชาติ, 1736), p [อาจมาจากภาษากรีก perijereia (รอบนอก) - วงกลม, รอบนอก, 1736], หน่วยจินตภาพ

(จากจินตภาพฝรั่งเศส - จินตภาพ 1777 ตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1794)

ในศตวรรษที่ 19 บทบาทของสัญลักษณ์กำลังเติบโต ณ เวลานี้ สัญญาณของค่าสัมบูรณ์ |x| (ถึง. Weierstrass, 1841), เวกเตอร์ (O. Cauchy, 1853) ตัวกำหนด

(แต่. Cayley, พ.ศ. 2384) และอื่น ๆ หลายทฤษฎีที่เกิดขึ้นในศตวรรษที่ 19 เช่น Tensor Calculus ไม่สามารถพัฒนาได้หากไม่มีสัญลักษณ์ที่เหมาะสม

ด้วยกระบวนการกำหนดมาตรฐานที่กำหนด เครื่องหมายทางคณิตศาสตร์ในวรรณคดีสมัยใหม่มักพบเห็นได้ทั่วไป เครื่องหมายทางคณิตศาสตร์ใช้โดยผู้เขียนแต่ละรายภายในขอบเขตของการศึกษานี้เท่านั้น

จากมุมมองของตรรกะทางคณิตศาสตร์ในหมู่ เครื่องหมายทางคณิตศาสตร์สามารถสรุปกลุ่มหลักดังต่อไปนี้: A) สัญญาณของวัตถุ B) สัญญาณของการดำเนินงาน C) สัญญาณของความสัมพันธ์ ตัวอย่างเช่น เครื่องหมาย 1, 2, 3, 4 แสดงถึงตัวเลข นั่นคือ วัตถุที่ศึกษาด้วยเลขคณิต เครื่องหมายบวก + โดยตัวมันเองไม่ได้แสดงถึงวัตถุใดๆ ได้รับเนื้อหาเรื่องเมื่อมีการระบุตัวเลขที่ถูกเพิ่ม: สัญกรณ์ 1 + 3 แสดงถึงหมายเลข 4 เครื่องหมาย > (มากกว่า) เป็นสัญญาณของความสัมพันธ์ระหว่างตัวเลข เครื่องหมายของความสัมพันธ์ได้รับเนื้อหาที่ค่อนข้างชัดเจนเมื่อมีการระบุระหว่างวัตถุที่พิจารณาความสัมพันธ์ ถึงสามกลุ่มหลักข้างต้น เครื่องหมายทางคณิตศาสตร์ติดกับที่สี่: D) สัญญาณเสริมที่กำหนดลำดับของการรวมกันของสัญญาณหลัก แนวคิดที่เพียงพอของสัญญาณดังกล่าวได้รับจากวงเล็บซึ่งระบุลำดับการดำเนินการ

เครื่องหมายของทั้งสามกลุ่ม A) B) และ C) มีสองประเภท: 1) สัญญาณส่วนบุคคลของวัตถุที่ชัดเจนการดำเนินการและความสัมพันธ์ 2) สัญญาณทั่วไปของวัตถุ "ไม่ซ้ำกัน" หรือ "ไม่เป็นที่รู้จัก" , การดำเนินงานและความสัมพันธ์

ตัวอย่างของสัญญาณประเภทแรกสามารถให้บริการได้ (ดูตารางด้วย):

A 1) สัญกรณ์ของตัวเลขธรรมชาติ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; ตัวเลขเหนือธรรมชาติ อีและพี; หน่วยจินตภาพ ฉัน.

B 1) สัญญาณของการดำเนินการเลขคณิต +, -, ·, ´,:; การสกัดราก การแยกความแตกต่าง

สัญญาณของผลรวม (สหภาพ) È และผลิตภัณฑ์ (ทางแยก) Ç ของชุด; ซึ่งรวมถึงสัญญาณของฟังก์ชันแต่ละอย่าง sin, tg, log เป็นต้น

1) เครื่องหมายเท่ากับและอสมการ =, >,<, ¹, знаки параллельности || и перпендикулярности ^, знаки принадлежности Î элемента некоторому множеству и включения Ì одного множества в другое и т.п.

สัญญาณของประเภทที่สองแสดงถึงอ็อบเจ็กต์ การดำเนินการ และความสัมพันธ์ตามอำเภอใจของคลาสหรือออบเจกต์ การดำเนินการ และความสัมพันธ์ภายใต้เงื่อนไขที่กำหนดไว้ล่วงหน้า ตัวอย่างเช่น เมื่อเขียนข้อมูลประจำตัว ( เอ + ข)(เอ - ข) = เอ 2 -b 2 ตัวอักษร เอและ ขหมายถึงตัวเลขโดยพลการ; เมื่อศึกษาการพึ่งพาฟังก์ชัน ที่ = X 2 ตัวอักษร Xและ ย -ตัวเลขโดยพลการที่เกี่ยวข้องตามอัตราส่วนที่กำหนด เมื่อแก้สมการ

Xหมายถึงตัวเลขใด ๆ ที่ตรงตามสมการที่กำหนด (จากการแก้สมการนี้ เราเรียนรู้ว่ามีเพียงสองค่าที่เป็นไปได้ +1 และ -1 เท่านั้นที่สอดคล้องกับเงื่อนไขนี้)

จากมุมมองเชิงตรรกะ เป็นการถูกต้องตามกฎหมายที่จะเรียกสัญญาณทั่วไปของตัวแปรดังกล่าว ตามธรรมเนียมในตรรกะทางคณิตศาสตร์ โดยไม่ต้องกลัวว่า “ขอบเขตของการเปลี่ยนแปลง” ของตัวแปรอาจกลายเป็นตัวแปรเดียว วัตถุ หรือแม้กระทั่ง "ว่าง" (เช่น ในกรณีของสมการที่ไม่มีคำตอบ) ตัวอย่างเพิ่มเติมของสัญญาณดังกล่าวคือ:

ก 2) การกำหนดจุด เส้น ระนาบ และรูปทรงเรขาคณิตที่ซับซ้อนมากขึ้นด้วยตัวอักษรในเรขาคณิต

B 2) สัญกรณ์ ฉ, , j สำหรับฟังก์ชันและสัญกรณ์ของแคลคูลัสตัวดำเนินการ เมื่อหนึ่งตัวอักษร หลี่พรรณนา ตัวอย่างเช่น ตัวดำเนินการตามอำเภอใจของแบบฟอร์ม:

สัญกรณ์สำหรับ "อัตราส่วนตัวแปร" มีน้อยกว่าทั่วไป และใช้ในตรรกะทางคณิตศาสตร์เท่านั้น (เปรียบเทียบ พีชคณิตของตรรกะ ) และในการศึกษาทางคณิตศาสตร์ที่ค่อนข้างเป็นนามธรรมซึ่งส่วนใหญ่เป็นสัจพจน์

ย่อ: Cajori ประวัติของสัญกรณ์คณิตศาสตร์ v. 1-2, ชิ., 2471-29.

บทความเกี่ยวกับคำว่า เครื่องหมายทางคณิตศาสตร์" ในสารานุกรม Great Soviet ถูกอ่าน 39765 ครั้ง

อย่างที่คุณทราบ คณิตศาสตร์ชอบความถูกต้องและความกระชับ - ไม่ใช่โดยไม่มีเหตุผลที่สูตรเดียวสามารถครอบครองย่อหน้าในรูปแบบวาจาและบางครั้งก็เป็นทั้งหน้าของข้อความ ดังนั้นองค์ประกอบกราฟิกที่ใช้ทั่วโลกในด้านวิทยาศาสตร์ได้รับการออกแบบมาเพื่อเพิ่มความเร็วในการเขียนและความกะทัดรัดของการนำเสนอข้อมูล นอกจากนี้ เจ้าของภาษาของภาษาใดๆ ก็ตามที่มีความรู้พื้นฐานในสาขาที่เกี่ยวข้องสามารถรับรู้กราฟิกมาตรฐานได้

ประวัติของเครื่องหมายและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ย้อนหลังไปหลายศตวรรษ - บางส่วนถูกประดิษฐ์ขึ้นแบบสุ่มและมีวัตถุประสงค์เพื่อแสดงปรากฏการณ์อื่น อื่น ๆ ได้กลายเป็นผลผลิตของกิจกรรมของนักวิทยาศาสตร์ที่ตั้งใจสร้างภาษาเทียมและได้รับคำแนะนำจากการพิจารณาในทางปฏิบัติเท่านั้น

บวกและลบ

ประวัติความเป็นมาของการกำเนิดของสัญลักษณ์ที่แสดงถึงการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ง่ายที่สุดนั้นไม่เป็นที่ทราบแน่ชัด อย่างไรก็ตาม มีสมมติฐานที่น่าจะเป็นไปได้ค่อนข้างมากเกี่ยวกับที่มาของเครื่องหมายบวก ซึ่งดูเหมือนเส้นแนวนอนและแนวตั้งตัดกัน ตามนั้น สัญลักษณ์เพิ่มเติมมาจากภาษาละติน union et ซึ่งแปลเป็นภาษารัสเซียว่า "และ" เพื่อที่จะเร่งกระบวนการเขียนให้เร็วขึ้น คำนั้นจึงถูกย่อให้เป็นกากบาทแนวตั้ง คล้ายกับตัวอักษร t ตัวอย่างที่เชื่อถือได้เร็วที่สุดของการลดลงดังกล่าวมีขึ้นตั้งแต่ศตวรรษที่ 14

เครื่องหมายลบที่ยอมรับโดยทั่วไปปรากฏขึ้นในภายหลัง ในศตวรรษที่ 14 และ 15 มีการใช้สัญลักษณ์จำนวนหนึ่งในวรรณคดีทางวิทยาศาสตร์ที่แสดงถึงการดำเนินการของการลบ และในศตวรรษที่ 16 เท่านั้นที่ "บวก" และ "ลบ" ในรูปแบบสมัยใหม่เริ่มปรากฏพร้อมกันในงานทางคณิตศาสตร์ .

การคูณและการหาร

น่าแปลกที่เครื่องหมายและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์สำหรับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ทั้งสองนี้ไม่ได้มาตรฐานอย่างสมบูรณ์ในปัจจุบัน สัญลักษณ์ยอดนิยมสำหรับการคูณคือกากบาทในแนวทแยงที่เสนอโดยนักคณิตศาสตร์ Oughtred ในศตวรรษที่ 17 ซึ่งสามารถเห็นได้บนเครื่องคิดเลข ในบทเรียนคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน การดำเนินการแบบเดียวกันมักจะแสดงเป็นจุด - วิธีนี้ถูกเสนอโดย Leibniz ในศตวรรษเดียวกัน อีกวิธีในการแสดงคือเครื่องหมายดอกจันซึ่งมักใช้ในการแทนด้วยคอมพิวเตอร์ในการคำนวณต่างๆ มีการเสนอให้ใช้ทั้งหมดในศตวรรษที่ 17 เดียวกัน Johann Rahn

สำหรับการดำเนินการแบ่ง จะมีเครื่องหมายทับ (เสนอโดย Ougtred) และเส้นแนวนอนที่มีจุดด้านบนและด้านล่าง (แนะนำโดย Johann Rahn) รุ่นแรกของการกำหนดเป็นที่นิยมมากขึ้น แต่รุ่นที่สองก็ค่อนข้างธรรมดาเช่นกัน

เครื่องหมายและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์และความหมายบางครั้งเปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลา อย่างไรก็ตาม วิธีการแสดงการคูณด้วยภาพกราฟิกทั้งสามวิธี เช่นเดียวกับวิธีการหารทั้งสองแบบ มีความสอดคล้องและเกี่ยวข้องกันในปัจจุบันในระดับหนึ่ง

ความเท่าเทียม อัตลักษณ์ ความเท่าเทียมกัน

เช่นเดียวกับเครื่องหมายและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ สัญกรณ์เพื่อความเท่าเทียมกันนั้นเดิมเป็นคำพูด เป็นเวลานานทีเดียว การกำหนดที่ยอมรับกันโดยทั่วไปคือตัวย่อ ae จากภาษาละติน aequalis (“เท่ากับ”) อย่างไรก็ตาม ในศตวรรษที่ 16 นักคณิตศาสตร์ชาวเวลส์ชื่อ Robert Record ได้เสนอเส้นแนวนอนสองเส้น โดยเส้นหนึ่งอยู่ด้านล่างเส้นหนึ่งเป็นสัญลักษณ์ ตามที่นักวิทยาศาสตร์กล่าว เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างสิ่งใดที่เท่าเทียมกันมากกว่าสองส่วนขนานกัน

แม้จะมีการใช้เครื่องหมายที่คล้ายกันเพื่อบ่งบอกถึงความขนานของเส้น แต่สัญลักษณ์ความเท่าเทียมกันใหม่ก็ค่อยๆได้รับความนิยม อย่างไรก็ตาม สัญญาณเช่น "มากกว่า" และ "น้อยกว่า" ซึ่งแสดงถึงเห็บที่หันไปในทิศทางต่างๆ ปรากฏเฉพาะในศตวรรษที่ 17-18 เท่านั้น วันนี้ดูเหมือนง่ายสำหรับนักเรียนทุกคน

เครื่องหมายสมมูลที่ค่อนข้างซับซ้อนกว่า (เส้นหยักสองเส้น) และอัตลักษณ์ (เส้นขนานแนวนอนสามเส้น) ถูกนำมาใช้ในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 19 เท่านั้น

สัญญาณของสิ่งที่ไม่รู้จัก - "X"

ประวัติความเป็นมาของการเกิดขึ้นของสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์และสัญลักษณ์ยังรู้กรณีที่น่าสนใจมากในการคิดใหม่เกี่ยวกับกราฟิกในขณะที่วิทยาศาสตร์พัฒนาขึ้น สัญลักษณ์ของสิ่งที่ไม่รู้จักซึ่งปัจจุบันเรียกว่า "x" มีต้นกำเนิดในตะวันออกกลางในรุ่งอรุณของสหัสวรรษที่ผ่านมา

ย้อนกลับไปในศตวรรษที่ 10 ในโลกอาหรับ ซึ่งมีชื่อเสียงในด้านนักวิทยาศาสตร์ในยุคนั้น แนวคิดเรื่องสิ่งที่ไม่รู้จักนั้นเขียนแทนด้วยคำที่แปลตามตัวอักษรว่า "บางสิ่ง" และขึ้นต้นด้วยเสียง "ช" เพื่อเป็นการประหยัดวัสดุและเวลา คำในบทความจึงเริ่มลดเหลืออักษรตัวแรก

หลายทศวรรษต่อมา งานเขียนของนักวิทยาศาสตร์ชาวอาหรับได้สิ้นสุดลงในเมืองต่างๆ ของคาบสมุทรไอบีเรีย บนดินแดนของสเปนสมัยใหม่ บทความทางวิทยาศาสตร์เริ่มได้รับการแปลเป็นภาษาประจำชาติ แต่มีปัญหาเกิดขึ้น - ไม่มีฟอนิม "Sh" ในภาษาสเปน คำภาษาอาหรับที่ยืมขึ้นต้นด้วยมันถูกเขียนตามกฎพิเศษและนำหน้าด้วยตัวอักษร X ภาษาวิทยาศาสตร์ของเวลานั้นคือภาษาละตินซึ่งเครื่องหมายที่เกี่ยวข้องเรียกว่า "X"

ดังนั้นในแวบแรกเครื่องหมายนี้เป็นเพียงสัญลักษณ์ที่สุ่มเลือกเท่านั้นมีประวัติที่ลึกซึ้งและเดิมเป็นคำย่อของคำภาษาอาหรับสำหรับ "บางสิ่ง"

สัญกรณ์ของสิ่งที่ไม่รู้จักอื่น ๆ

แตกต่างจาก "X", Y และ Z ที่เราคุ้นเคยจากโรงเรียนเช่นเดียวกับ a, b, c มีประวัติต้นกำเนิดที่น่าเบื่อหน่ายมากขึ้น

ในศตวรรษที่ 17 หนังสือของ Descartes ชื่อ "Geometry" ได้รับการตีพิมพ์ ในหนังสือเล่มนี้ ผู้เขียนเสนอให้สร้างมาตรฐานของสัญลักษณ์ในสมการ: ตามความคิดของเขา ตัวอักษรละตินสามตัวสุดท้าย (เริ่มจาก "X") เริ่มแสดงว่าไม่รู้จัก และสามตัวแรก - ค่าที่รู้จัก

ศัพท์ตรีโกณมิติ

ประวัติของคำว่า "ไซน์" นั้นไม่ธรรมดาจริงๆ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติที่สอดคล้องกันมีชื่อเดิมในอินเดีย คำที่สอดคล้องกับแนวคิดของไซน์หมายถึง "สตริง" อย่างแท้จริง ในยุครุ่งเรืองของวิทยาศาสตร์อาหรับ มีการแปลบทความของอินเดีย และแนวคิดซึ่งไม่มีการเปรียบเทียบในภาษาอาหรับก็ถูกถอดความ โดยบังเอิญ สิ่งที่เกิดขึ้นในจดหมายนั้นคล้ายกับคำว่า "กลวง" ในชีวิตจริง ซึ่งความหมายไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับคำดั้งเดิม ด้วยเหตุนี้ เมื่อข้อความภาษาอาหรับถูกแปลเป็นภาษาละตินในศตวรรษที่ 12 คำว่า "ไซน์" จึงเกิดขึ้น ซึ่งหมายถึง "ภาวะซึมเศร้า" และได้รับการแก้ไขเป็นแนวคิดทางคณิตศาสตร์รูปแบบใหม่

แต่เครื่องหมายและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์สำหรับแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ยังไม่ได้รับมาตรฐาน - ในบางประเทศมักจะเขียนเป็น tg และในบางประเทศ - เป็นสีแทน

สัญญาณอื่นๆ บ้าง

ดังที่เห็นได้จากตัวอย่างที่อธิบายข้างต้น การเกิดขึ้นของเครื่องหมายและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่เกิดขึ้นในศตวรรษที่ 16-17 ช่วงเวลาเดียวกันนี้ได้เห็นการเกิดขึ้นของรูปแบบปกติในปัจจุบันของการบันทึกแนวคิด เช่น เปอร์เซ็นต์ รากที่สอง ดีกรี

เปอร์เซ็นต์คือหนึ่งในร้อยถูกกำหนดให้เป็น cto (ย่อมาจาก Latin cento) เชื่อกันว่าป้ายที่เป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไปในปัจจุบันนี้เกิดจากการพิมพ์ผิดเมื่อประมาณสี่ร้อยปีที่แล้ว ภาพที่ได้ถือเป็นวิธีที่ดีในการลดและหยั่งราก

เครื่องหมายรากเดิมเป็นอักษร R (ย่อมาจากคำว่า Radix ในภาษาละติน "root") บรรทัดบนซึ่งอยู่ภายใต้การเขียนนิพจน์ในปัจจุบันทำหน้าที่เป็นวงเล็บและเป็นอักขระที่แยกจากกันซึ่งแยกจากรูท วงเล็บถูกประดิษฐ์ขึ้นในภายหลัง - พวกเขาเข้าสู่การหมุนเวียนอย่างแพร่หลายด้วยกิจกรรมของ Leibniz (1646-1716) ต้องขอบคุณผลงานของเขาเองที่ทำให้สัญลักษณ์อินทิกรัลถูกนำเข้าสู่วิทยาศาสตร์ด้วย โดยดูเหมือนตัวอักษร S ยาว ซึ่งเป็นตัวย่อของคำว่า "ผลรวม"

ในที่สุด เครื่องหมายการยกกำลังถูกคิดค้นโดย Descartes และปรับปรุงโดย Newton ในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 17

การกำหนดภายหลัง

เมื่อพิจารณาว่าภาพกราฟิก "บวก" และ "ลบ" ที่คุ้นเคยถูกเผยแพร่เมื่อไม่กี่ศตวรรษก่อน จึงไม่น่าแปลกใจที่สัญลักษณ์และสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่แสดงถึงปรากฏการณ์ที่ซับซ้อนเริ่มใช้ในช่วงศตวรรษก่อนหน้าที่ผ่านมาเท่านั้น

ดังนั้นแฟกทอเรียลซึ่งดูเหมือนเครื่องหมายอัศเจรีย์หลังตัวเลขหรือตัวแปรจึงปรากฏเฉพาะในช่วงต้นศตวรรษที่ 19 ในเวลาเดียวกัน ตัวพิมพ์ใหญ่ “P” ดูเหมือนจะแสดงถึงงานและสัญลักษณ์ของขีด จำกัด

ค่อนข้างแปลกที่สัญญาณของตัวเลข Pi และผลรวมเชิงพีชคณิตปรากฏเฉพาะในศตวรรษที่ 18 - ช้ากว่าตัวอย่างเช่นสัญลักษณ์อินทิกรัลแม้ว่าจะดูเหมือนโดยสัญชาตญาณว่าเป็นเรื่องธรรมดา การแสดงกราฟิกของอัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมต่อเส้นผ่านศูนย์กลางนั้นมาจากอักษรตัวแรกของคำภาษากรีกที่หมายถึง "เส้นรอบวง" และ "เส้นรอบวง" และเครื่องหมาย "ซิกม่า" สำหรับผลรวมเชิงพีชคณิตถูกเสนอโดยออยเลอร์ในช่วงไตรมาสสุดท้ายของศตวรรษที่ 18

ชื่อสัญลักษณ์ในภาษาต่างๆ

อย่างที่คุณทราบ ภาษาของวิทยาศาสตร์ในยุโรปมาหลายศตวรรษเป็นภาษาละติน ศัพท์ทางกายภาพ ทางการแพทย์ และศัพท์อื่นๆ มักถูกยืมมาในรูปแบบของการถอดความ ซึ่งมักน้อยกว่ามากในรูปแบบของกระดาษลอกลาย ดังนั้น เครื่องหมายและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์จำนวนมากในภาษาอังกฤษจึงถูกเรียกว่าเกือบจะเหมือนกับในภาษารัสเซีย ฝรั่งเศส หรือเยอรมัน ยิ่งสาระสำคัญของปรากฏการณ์ซับซ้อนขึ้นเท่าใด ความน่าจะเป็นที่ในภาษาต่างๆ จะมีชื่อเดียวกันก็จะยิ่งสูงขึ้น

สัญกรณ์คอมพิวเตอร์ของสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์

เครื่องหมายและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่ง่ายที่สุดใน Word นั้นระบุด้วยคีย์ผสมปกติ Shift + ตัวเลขจาก 0 ถึง 9 ในรูปแบบภาษารัสเซียหรือภาษาอังกฤษ คีย์แยกสงวนไว้สำหรับเครื่องหมายที่ใช้กันอย่างแพร่หลาย: บวก ลบ ความเท่าเทียมกัน เครื่องหมายทับ

หากคุณต้องการใช้การแสดงกราฟิกของปริพันธ์ ผลรวมเชิงพีชคณิตหรือผลิตภัณฑ์ หมายเลข Pi ฯลฯ คุณต้องเปิดแท็บ "แทรก" ใน Word และค้นหาปุ่มใดปุ่มหนึ่งจากสองปุ่ม: "สูตร" หรือ "สัญลักษณ์" ในกรณีแรก คอนสตรัคเตอร์จะเปิดขึ้นเพื่อให้คุณสามารถสร้างสูตรทั้งหมดภายในฟิลด์เดียว และในฟิลด์ที่สอง ตารางสัญลักษณ์ที่คุณสามารถค้นหาสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ใดๆ

วิธีจำสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์

ต่างจากเคมีและฟิสิกส์ที่จำนวนสัญลักษณ์สำหรับการท่องจำสามารถเกินร้อยหน่วย คณิตศาสตร์ดำเนินการกับสัญลักษณ์จำนวนค่อนข้างน้อย เราเรียนรู้สิ่งที่ง่ายที่สุดในวัยเด็ก เรียนรู้ที่จะบวกและลบ และเฉพาะที่มหาวิทยาลัยในสาขาพิเศษบางอย่างเท่านั้นที่เราจะทำความคุ้นเคยกับเครื่องหมายและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนสองสามตัว รูปภาพสำหรับเด็กช่วยในเวลาไม่กี่สัปดาห์ในการจดจำภาพกราฟิกของการดำเนินการที่จำเป็นในทันที อาจต้องใช้เวลามากขึ้นในการควบคุมทักษะของการดำเนินการเหล่านี้อย่างมากและเข้าใจสาระสำคัญของพวกเขา

ดังนั้นกระบวนการจดจำตัวอักษรจึงเกิดขึ้นโดยอัตโนมัติและไม่ต้องใช้ความพยายามมาก

ในที่สุด

คุณค่าของสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์และสัญลักษณ์อยู่ที่ความจริงที่ว่าผู้ที่พูดภาษาต่างกันและเป็นผู้พาหะของวัฒนธรรมที่แตกต่างกันสามารถเข้าใจได้ง่าย ด้วยเหตุนี้ จึงเป็นประโยชน์อย่างยิ่งที่จะเข้าใจและสามารถทำซ้ำการแสดงภาพกราฟิกของปรากฏการณ์และการทำงานต่างๆ

มาตรฐานระดับสูงของเครื่องหมายเหล่านี้กำหนดการใช้งานในด้านต่างๆ: ในด้านการเงิน, เทคโนโลยีสารสนเทศ, วิศวกรรม ฯลฯ สำหรับผู้ที่ต้องการทำธุรกิจเกี่ยวกับตัวเลขและการคำนวณความรู้เกี่ยวกับเครื่องหมายและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์และความหมาย กลายเป็นความจำเป็นที่สำคัญ

สัญกรณ์คณิตศาสตร์("ภาษาของคณิตศาสตร์") - สัญกรณ์กราฟิกที่ซับซ้อนซึ่งนำเสนอแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่เป็นนามธรรมและการตัดสินในรูปแบบที่มนุษย์อ่านได้ มันประกอบขึ้น (ในความซับซ้อนและความหลากหลาย) เป็นสัดส่วนที่สำคัญของระบบสัญญาณไม่พูดที่มนุษย์ใช้ บทความนี้อธิบายเกี่ยวกับสัญกรณ์สากลที่ยอมรับกันโดยทั่วไป แม้ว่าวัฒนธรรมต่างๆ ในอดีตจะมีอยู่ในตัวเอง และบางส่วนก็มีการใช้อย่างจำกัดจนถึงปัจจุบัน

โปรดทราบว่า ตามปกติแล้ว สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์จะใช้ร่วมกับรูปแบบการเขียนของภาษาธรรมชาติบางภาษา

นอกจากคณิตศาสตร์พื้นฐานและคณิตศาสตร์ประยุกต์แล้ว สัญกรณ์คณิตศาสตร์ยังใช้กันอย่างแพร่หลายในวิชาฟิสิกส์ เช่นเดียวกับ (ในขอบเขตที่ไม่สมบูรณ์) ในด้านวิศวกรรม วิทยาการคอมพิวเตอร์ เศรษฐศาสตร์ และแน่นอนในทุกด้านของกิจกรรมของมนุษย์ที่ใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ความแตกต่างระหว่างรูปแบบสัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์และรูปแบบประยุกต์ที่เหมาะสมจะถูกกล่าวถึงในหลักสูตรของข้อความ

สารานุกรม YouTube

1 / 5

✪ เข้าสู่ระบบ / ในวิชาคณิตศาสตร์

✪ คณิตศาสตร์ ป.3 ตารางตัวเลขหลายหลัก

✪ ตั้งค่าเป็นคณิตศาสตร์

✪ คณิตศาสตร์ 19. คณิตศาสตร์แสนสนุก - โรงเรียนชิชกิน

คำบรรยาย

เฮ้! วิดีโอนี้ไม่เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ แต่เกี่ยวกับนิรุกติศาสตร์และสัญศาสตร์ แต่ฉันแน่ใจว่าคุณจะชอบมัน ไป! คุณทราบหรือไม่ว่าการค้นหาคำตอบของสมการกำลังสามในรูปแบบทั่วไปต้องใช้เวลาหลายศตวรรษนักคณิตศาสตร์ ส่วนหนึ่งเป็นเพราะเหตุใด? เพราะไม่มีสัญลักษณ์ที่ชัดเจนสำหรับความคิดที่ชัดเจน ไม่ว่าจะเป็นเวลาของเรา มีตัวละครมากมายจนคุณสับสนได้ แต่คุณไม่สามารถหลอกเราได้ ลองคิดดู นี่คืออักษรตัวพิมพ์ใหญ่ A กลับด้าน นี่คือตัวอักษรภาษาอังกฤษ โดยขึ้นต้นด้วยคำว่า "ทั้งหมด" และ "ใดๆ" ในภาษารัสเซีย สัญลักษณ์นี้ขึ้นอยู่กับบริบท อ่านได้ดังนี้สำหรับทุกคน ทุกคน ทุกคน และอื่นๆ อักษรอียิปต์โบราณดังกล่าวจะเรียกว่าเป็นปริมาณสากล และนี่คืออีกปริมาณหนึ่ง แต่มีอยู่แล้ว ตัวอักษรภาษาอังกฤษ e สะท้อนให้เห็นในโปรแกรมระบายสีจากซ้ายไปขวา ดังนั้นจึงเป็นนัยที่กริยาต่างประเทศ "มีอยู่" ในความเห็นของเรา เราจะอ่านว่า มีอยู่ มี มีอีกวิธีที่คล้ายกัน เครื่องหมายอัศเจรีย์จะเพิ่มความเป็นเอกลักษณ์ให้กับตัวระบุปริมาณที่มีอยู่ ถ้าชัดเจน เราก็ไปต่อ คุณอาจเจออินทิกรัลไม่จำกัดจำนวนในคลาสที่ 11, ดังนั้นผมอยากเตือนคุณว่านี่ไม่ใช่แค่แอนติเดริเวทีฟบางประเภทเท่านั้น, แต่เป็นคอลเล็กชันของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดของอินทิกรัล อย่าลืมเกี่ยวกับ C - ค่าคงที่ของการรวม อย่างไรก็ตาม ไอคอนอินทิกรัลนั้นเป็นเพียงตัวอักษรยาว s ซึ่งเป็นเสียงสะท้อนของผลรวมคำภาษาละติน นี่คือความหมายทางเรขาคณิตของอินทิกรัลที่แน่นอน: การค้นหาพื้นที่ของรูปใต้กราฟโดยการรวมค่าที่น้อยมาก สำหรับฉัน นี่เป็นกิจกรรมที่โรแมนติกที่สุดในวิชาแคลคูลัส แต่เรขาคณิตของโรงเรียนมีประโยชน์มากที่สุดเพราะสอนความเข้มงวดเชิงตรรกะ ในหลักสูตรแรก คุณควรมีความเข้าใจที่ชัดเจนว่าผลที่ตามมาคืออะไร ความเท่าเทียมกันคืออะไร คุณจะไม่สับสนระหว่างความจำเป็นและความเพียงพอ เข้าใจไหม? ลองขุดลึกลงไปอีกหน่อย หากคุณตัดสินใจที่จะเรียนคณิตศาสตร์ในระดับที่สูงขึ้น ฉันก็นึกภาพออกว่าชีวิตส่วนตัวของคุณเลวร้ายเพียงใด แต่นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมคุณถึงตกลงที่จะเอาชนะแบบฝึกหัดเล็กๆ น้อยๆ อย่างแน่นอน มีสามจุดที่นี่ แต่ละจุดมีด้านซ้ายและขวา ซึ่งคุณต้องเชื่อมต่อกับหนึ่งในสามสัญลักษณ์ที่วาด ได้โปรดหยุด ลองใช้เอง แล้วฟังสิ่งที่ฉันจะพูด ถ้า x=-2 แล้ว |x|=2 แต่จากซ้ายไปขวา วลีจึงถูกสร้างขึ้นแล้ว ในย่อหน้าที่สอง สิ่งเดียวกันทั้งหมดเขียนไว้ทางด้านซ้ายและด้านขวา และจุดที่สามสามารถแสดงความคิดเห็นดังนี้: ทุก ๆ สี่เหลี่ยมเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน แต่ไม่ใช่ทุกสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เป็นสี่เหลี่ยม ใช่ ฉันรู้ว่าคุณไม่เล็กแล้ว แต่ยังปรบมือให้กับผู้ที่รับมือกับการออกกำลังกายนี้ เอาล่ะ พอ มาจำชุดตัวเลขกัน ตัวเลขธรรมชาติใช้ในการนับ: 1, 2, 3, 4 และอื่น ๆ โดยธรรมชาติแล้ว -1 แอปเปิ้ลไม่มีอยู่จริง แต่อย่างไรก็ตาม จำนวนเต็มทำให้คุณสามารถพูดคุยเกี่ยวกับสิ่งเหล่านี้ได้ จดหมาย ℤ กรีดร้องถึงเราเกี่ยวกับบทบาทที่สำคัญของศูนย์ ชุดของจำนวนตรรกยะเขียนแทนด้วยตัวอักษร ℚ และนี่ไม่ใช่เรื่องบังเอิญ ในภาษาอังกฤษคำว่า "quotient" หมายถึง "ทัศนคติ" อย่างไรก็ตาม หากที่ใดที่หนึ่งในบรู๊คลินมีชาวแอฟริกันอเมริกันเข้ามาหาคุณและพูดว่า: "ทำให้มันเป็นจริง!" คุณสามารถมั่นใจได้ว่าคุณเป็นนักคณิตศาสตร์ ผู้ชื่นชอบตัวเลขจริง คุณควรอ่านเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อนนะ มันจะมีประโยชน์มากกว่า ตอนนี้เราจะย้อนกลับกลับไปที่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 1 ของโรงเรียนกรีกที่ธรรมดาที่สุด ในระยะสั้น เรามาจำอักษรโบราณ อักษรตัวแรกคืออัลฟ่า ตามด้วยเบ็ตต้า ฮุคนี้คือแกมมา จากนั้นเดลต้า ตามด้วยเอปซิลอน และอื่นๆ จนถึงอักษรตัวสุดท้ายโอเมก้า คุณสามารถมั่นใจได้ว่าชาวกรีกมีอักษรตัวใหญ่ด้วย แต่เราจะไม่พูดถึงเรื่องน่าเศร้าในตอนนี้ ดีกว่าเกี่ยวกับความร่าเริง - เกี่ยวกับขอบเขต แต่ที่นี่ไม่มีปริศนาใด ๆ เป็นที่ชัดเจนว่าสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ปรากฏขึ้นจากคำใด ดังนั้นเราจึงสามารถไปยังส่วนสุดท้ายของวิดีโอได้ โปรดพยายามใช้คำจำกัดความของขีด จำกัด ของลำดับตัวเลขซึ่งตอนนี้เขียนต่อหน้าคุณ คลิกค่อนข้างหยุดและคิดและขอให้คุณมีความสุขเหมือนเด็ก 1 ขวบที่ได้เรียนรู้คำว่า "แม่" ถ้าสำหรับเอปซิลอนใดๆ ที่มากกว่าศูนย์ จะมีจำนวนธรรมชาติ N เช่นว่าสำหรับจำนวนทั้งหมดของลำดับตัวเลขที่มากกว่า N ความไม่เท่าเทียมกัน |xₙ-a|<Ɛ (эпсилон), то тогда предел числовой последовательности xₙ , при n, стремящемся к бесконечности, равен числу a. Такие вот дела, ребята. Не беда, если вам не удалось прочесть это определение, главное в свое время его понять. Напоследок отмечу: множество тех, кто посмотрел этот ролик, но до сих пор не подписан на канал, не является пустым. Это меня очень печалит, так что во время финальной музыки покажу, как это исправить. Ну а остальным желаю мыслить критически, заниматься математикой! Счастливо! [Музыка / аплодиминнты]

ข้อมูลทั่วไป

ระบบมีวิวัฒนาการเหมือนภาษาธรรมชาติตามประวัติศาสตร์ (ดูประวัติของสัญกรณ์คณิตศาสตร์) และจัดระบบเหมือนการเขียนภาษาธรรมชาติ โดยยืมสัญลักษณ์ต่างๆ จากที่นั่นด้วย (ส่วนใหญ่มาจากอักษรละตินและกรีก) สัญลักษณ์ต่างๆ เช่นเดียวกับการเขียนทั่วไป ถูกวาดด้วยเส้นตัดกันบนพื้นหลังที่เป็นเนื้อเดียวกัน (สีดำบนกระดาษสีขาว แสงบนกระดานสีเข้ม ตัดกันบนจอภาพ ฯลฯ) และความหมายจะถูกกำหนดโดยรูปร่างและความสัมพันธ์เป็นหลัก ตำแหน่ง. สีไม่ได้ถูกนำมาพิจารณาและมักจะไม่ได้ใช้ แต่เมื่อใช้ตัวอักษร คุณลักษณะต่างๆ เช่น สไตล์ และแม้กระทั่งแบบอักษร ซึ่งไม่ส่งผลต่อความหมายในการเขียนทั่วไป อาจมีบทบาททางความหมายในสัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์

โครงสร้าง

สัญกรณ์คณิตศาสตร์สามัญ (โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่เรียกว่า สูตรทางคณิตศาสตร์) เขียนโดยทั่วไปในสตริงจากซ้ายไปขวา แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นสตริงอักขระต่อเนื่องกัน บล็อกอักขระแยกกันอาจอยู่ในครึ่งบนหรือครึ่งล่างของบรรทัด แม้ในกรณีที่อักขระไม่ทับซ้อนกันในแนวตั้ง นอกจากนี้ บางส่วนยังตั้งอยู่ด้านบนหรือด้านล่างของเส้นทั้งหมด ในด้านไวยากรณ์ "สูตร" เกือบทุกสูตรถือได้ว่าเป็นโครงสร้างแบบต้นไม้ที่มีการจัดลำดับชั้น

มาตรฐาน

สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์แสดงถึงระบบในแง่ของความสัมพันธ์ของส่วนประกอบ แต่โดยทั่วไป ไม่เป็นระบบ  (ในความเข้าใจของคณิตศาสตร์เอง) ในกรณีที่ซับซ้อนใด ๆ พวกเขาไม่สามารถถอดประกอบโดยทางโปรแกรมได้ เช่นเดียวกับภาษาธรรมชาติอื่นๆ “ภาษาของคณิตศาสตร์” เต็มไปด้วยการกำหนดที่ไม่สอดคล้องกัน คำพ้องเสียง การตีความที่แตกต่างกัน (ในหมู่ผู้พูด) ของสิ่งที่ถือว่าถูกต้อง ฯลฯ ไม่มีแม้แต่ตัวอักษรที่มองเห็นได้ของสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ และโดยเฉพาะอย่างยิ่งเนื่องจาก คำถามไม่ได้ได้รับการแก้ไขอย่างแจ่มแจ้งเสมอไปว่าจะพิจารณาการกำหนดสองชื่อเป็นอักขระที่แตกต่างกันหรือเป็นการสะกดที่แตกต่างกันของอักขระตัวเดียว

สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์บางส่วน (ส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับการวัด) ได้มาตรฐานใน ISO 31 -11 แต่โดยทั่วไป ยังไม่มีการกำหนดมาตรฐานของสัญกรณ์

องค์ประกอบของสัญกรณ์คณิตศาสตร์

ตัวเลข

หากจำเป็น ให้ใช้ระบบตัวเลขที่มีฐานน้อยกว่าสิบ ฐานจะถูกเขียนด้วยตัวห้อย: 20003 8 . ระบบตัวเลขที่มีฐานมากกว่าสิบจะไม่ถูกนำมาใช้ในสัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์ที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไป (แม้ว่าแน่นอนว่าจะศึกษาโดยวิทยาศาสตร์เอง) เนื่องจากมีจำนวนไม่เพียงพอสำหรับระบบเหล่านี้ ในการเชื่อมต่อกับการพัฒนาวิทยาการคอมพิวเตอร์ระบบเลขฐานสิบหกมีความเกี่ยวข้องซึ่งตัวเลขตั้งแต่ 10 ถึง 15 จะถูกระบุด้วยตัวอักษรละตินหกตัวแรกจาก A ถึง F มีการใช้วิธีการที่แตกต่างกันหลายวิธีในการกำหนดตัวเลขดังกล่าวในวิทยาการคอมพิวเตอร์ แต่จะไม่โอนไปยังวิชาคณิตศาสตร์

ตัวยกและตัวห้อย

วงเล็บ สัญลักษณ์ที่คล้ายกัน และตัวคั่น

วงเล็บ "()" ใช้:

วงเล็บเหลี่ยม "" มักใช้ในการจัดกลุ่มความหมายเมื่อคุณต้องใช้วงเล็บหลายคู่ ในกรณีนี้ พวกเขาจะวางไว้ที่ด้านนอกและ (ด้วยการพิมพ์ที่เรียบร้อย) มีความสูงมากกว่าวงเล็บที่อยู่ด้านใน

วงเล็บเหลี่ยม "" และวงเล็บกลม "()" ใช้เพื่อแสดงช่องว่างที่ปิดและเปิดตามลำดับ

วงเล็บปีกกา "()" มักใช้สำหรับ แม้ว่าจะใช้ข้อแม้เดียวกันกับวงเล็บเหลี่ยมก็ตาม วงเล็บด้านซ้าย "(" และด้านขวา ")" สามารถใช้แยกกันได้ วัตถุประสงค์ของพวกเขาได้อธิบายไว้

สัญลักษณ์วงเล็บมุม " ⟨ ⟩ (\displaystyle \langle \;\rangle )» ด้วยการออกแบบตัวอักษรที่เรียบร้อยควรมีมุมป้าน ดังนั้นจึงแตกต่างจากมุมที่คล้ายกันที่มีมุมฉากหรือมุมแหลม ในทางปฏิบัติ เราไม่ควรคาดหวังสิ่งนี้ (โดยเฉพาะเมื่อเขียนสูตรด้วยตนเอง) และต้องแยกความแตกต่างระหว่างสูตรโดยใช้สัญชาตญาณ

คู่ของสัญลักษณ์สมมาตร (เทียบกับแกนตั้ง) รวมถึงสัญลักษณ์อื่นๆ นอกเหนือจากที่ระบุไว้ มักใช้เพื่อเน้นส่วนของสูตร มีการอธิบายวัตถุประสงค์ของวงเล็บคู่

ดัชนี

ขึ้นอยู่กับตำแหน่ง ตัวยกและตัวห้อยจะแตกต่างกัน ตัวยกอาจหมายถึง (แต่ไม่จำเป็นต้องหมายถึง) การยกกำลัง to  เกี่ยวกับการใช้งานอื่นๆ ของ .

ตัวแปร

ในวิทยาศาสตร์มีชุดของปริมาณและชุดใดชุดหนึ่งสามารถเรียกชุดค่าใดชุดหนึ่งก็ได้ ตัวแปรค่า (ตัวแปร) หรือค่าเดียวและเรียกว่าค่าคงที่ ในวิชาคณิตศาสตร์ ปริมาณมักจะถูกเบี่ยงเบนจากความหมายทางกายภาพ จากนั้นตัวแปรจะเปลี่ยนเป็น บทคัดย่อตัวแปร (หรือตัวเลข) แทนด้วยสัญลักษณ์บางตัวที่ไม่ได้ถูกครอบครองโดยสัญกรณ์พิเศษที่กล่าวถึงข้างต้น

ตัวแปร Xถือว่าให้ถ้ากำหนดชุดของค่าที่จะใช้ (x). สะดวกในการพิจารณาค่าคงที่เป็นตัวแปรที่ชุดที่สอดคล้องกัน (x)ประกอบด้วยองค์ประกอบหนึ่ง

ฟังก์ชันและตัวดำเนินการ

ในทางคณิตศาสตร์ไม่มีความแตกต่างอย่างมีนัยสำคัญระหว่าง โอเปอเรเตอร์(เอกภาพ), การทำแผนที่และ การทำงาน.

อย่างไรก็ตาม มันก็บอกเป็นนัยว่าถ้าจะบันทึกค่าของการแมปจากอาร์กิวเมนต์ที่กำหนด จำเป็นต้องระบุ จากนั้นสัญลักษณ์ของการจับคู่นี้จะแสดงถึงฟังก์ชัน ในกรณีอื่น ๆ มีแนวโน้มที่จะพูดถึงโอเปอเรเตอร์ สัญลักษณ์ของฟังก์ชันบางอย่างของอาร์กิวเมนต์หนึ่งถูกใช้โดยมีและไม่มีวงเล็บ ฟังก์ชันพื้นฐานมากมาย เช่น บาป ⁡ x (\displaystyle \sin x)หรือ บาป ⁡ (x) (\displaystyle \sin(x))แต่ฟังก์ชันพื้นฐานมักถูกเรียก ฟังก์ชั่น.

ตัวดำเนินการและความสัมพันธ์ (Unary และ Binary)

ฟังก์ชั่น

ฟังก์ชันสามารถอ้างถึงได้สองความหมาย: เป็นการแสดงออกของค่าด้วยอาร์กิวเมนต์ที่กำหนด (เขียน f (x) , f (x , y) (\displaystyle f(x),\ f(x,y))เป็นต้น) หรือที่จริงแล้วเป็นฟังก์ชัน ในกรณีหลังจะใส่เฉพาะสัญลักษณ์ฟังก์ชันโดยไม่มีวงเล็บ (แม้ว่ามักจะเขียนแบบสุ่ม)

มีสัญลักษณ์มากมายสำหรับฟังก์ชันทั่วไปที่ใช้ในงานคณิตศาสตร์โดยไม่มีคำอธิบายเพิ่มเติม มิฉะนั้น ฟังก์ชันจะต้องถูกอธิบายอย่างใด และในทางคณิตศาสตร์พื้นฐาน มันไม่ได้แตกต่างไปจากพื้นฐานและเหมือนกันทุกประการซึ่งเขียนแทนด้วยตัวอักษรโดยพลการ ตัวอักษร f เป็นที่นิยมมากที่สุดสำหรับฟังก์ชันตัวแปร g และภาษากรีกส่วนใหญ่มักใช้เช่นกัน

การกำหนดที่กำหนดไว้ล่วงหน้า (สงวนไว้)

อย่างไรก็ตาม การกำหนดอักษรตัวเดียวสามารถให้ความหมายที่ต่างออกไปได้ หากต้องการ ตัวอย่างเช่น ตัวอักษร i มักถูกใช้เป็นดัชนีในบริบทที่ไม่มีการใช้ตัวเลขที่ซับซ้อน และตัวอักษรสามารถใช้เป็นตัวแปรในคอมบิเนทอริกบางตัวได้ นอกจากนี้ ตั้งค่าสัญลักษณ์ทฤษฎี (เช่น " ⊂ (\displaystyle \subset )" และ " ⊃ (\displaystyle \supset )”) และแคลคูลัสเชิงประพจน์ (เช่น “ ∧ (\displaystyle \wedge )" และ " ∨ (\displaystyle\vee )”) สามารถใช้ในอีกความหมายหนึ่ง โดยปกติแล้วจะเป็นความสัมพันธ์ของคำสั่งและการดำเนินการไบนารี ตามลำดับ

การจัดทำดัชนี

การทำดัชนีถูกพล็อต (โดยปกติคือด้านล่าง บางครั้งด้านบน) และในแง่หนึ่ง เป็นวิธีการขยายเนื้อหาของตัวแปร อย่างไรก็ตาม มันถูกใช้ในความรู้สึกที่แตกต่างกันเล็กน้อย (แต่ซ้อนทับกัน) สามแบบ

จริงๆแล้วตัวเลข

คุณสามารถมีตัวแปรต่างๆ ได้หลายตัวโดยแทนด้วยตัวอักษรเดียวกัน คล้ายกับการใช้ . ตัวอย่างเช่น: x 1 , x 2 , x 3 … (\displaystyle x_(1),\ x_(2),\ x_(3)\ldots ). โดยปกติแล้วพวกเขาจะเชื่อมต่อกันด้วยความธรรมดาบางอย่าง แต่โดยทั่วไปแล้วสิ่งนี้ไม่จำเป็น

ยิ่งกว่านั้นในฐานะ "ดัชนี" คุณสามารถใช้ไม่เพียงแต่ตัวเลขแต่ยังรวมถึงอักขระใดๆ อย่างไรก็ตาม เมื่อตัวแปรและนิพจน์อื่นเขียนเป็นดัชนี รายการนี้จะถูกตีความว่าเป็น "ตัวแปรที่มีตัวเลขกำหนดโดยค่าของนิพจน์ดัชนี"

ในการวิเคราะห์เทนเซอร์

ในเชิงเส้น พีชคณิต, เทนเซอร์ วิเคราะห์, ดิฟเฟอเรนเชียล เรขาคณิตพร้อมดัชนี (ในรูปของตัวแปร) ถูกเขียน

หลักสูตรใช้ ภาษาเรขาคณิตซึ่งประกอบด้วยสัญลักษณ์และสัญลักษณ์ที่ใช้ในหลักสูตรคณิตศาสตร์ (โดยเฉพาะในหลักสูตรเรขาคณิตใหม่ในโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลาย)

การกำหนดและสัญลักษณ์ที่หลากหลาย รวมทั้งความเชื่อมโยงระหว่างกัน สามารถแบ่งออกเป็นสองกลุ่ม:

กลุ่ม I - การกำหนดตัวเลขทางเรขาคณิตและความสัมพันธ์ระหว่างพวกเขา

การกำหนดกลุ่มที่ 2 ของการดำเนินการเชิงตรรกะซึ่งประกอบขึ้นเป็นพื้นฐานทางวากยสัมพันธ์ของภาษาเรขาคณิต

ต่อไปนี้เป็นรายการสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดที่ใช้ในหลักสูตรนี้ ให้ความสนใจเป็นพิเศษกับสัญลักษณ์ที่ใช้กำหนดเส้นโครงของรูปทรงเรขาคณิต

กลุ่ม I

สัญลักษณ์ที่กำหนดรูปทรงเรขาคณิตและความสัมพันธ์ระหว่างพวกเขา

ก. การกำหนดรูปทรงเรขาคณิต

1. รูปทรงเรขาคณิตแสดง - F.

2. คะแนนจะถูกระบุด้วยตัวพิมพ์ใหญ่ของตัวอักษรละตินหรือตัวเลขอารบิก:

A, B, C, D, ... , L, M, N, ...

1,2,3,4,...,12,13,14,...

3. เส้นที่ตั้งอยู่ตามอำเภอใจซึ่งสัมพันธ์กับระนาบการฉายภาพจะถูกระบุด้วยอักษรตัวพิมพ์เล็กของอักษรละติน:

a, b, c, d, ... , l, m, n, ...

มีการระบุเส้นระดับ: h - แนวนอน; ฉ- หน้าผาก.

สัญกรณ์ต่อไปนี้ยังใช้สำหรับเส้นตรง:

(AB) - เส้นตรงผ่านจุด A และ B;

[AB) - รังสีที่มีจุดเริ่มต้นที่จุด A;

[AB] - ส่วนเส้นตรงที่ล้อมรอบด้วยจุด A และ B

4. พื้นผิวแสดงด้วยอักษรตัวพิมพ์เล็กของอักษรกรีก:

α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,...

ในการเน้นย้ำถึงวิธีการกำหนดพื้นผิว คุณควรระบุองค์ประกอบทางเรขาคณิตตามที่กำหนด ตัวอย่างเช่น:

α(a || b) - ระนาบ α ถูกกำหนดโดยเส้นคู่ขนาน a และ b;

β(d 1 d 2 gα) - พื้นผิว β ถูกกำหนดโดยไกด์ d 1 และ d 2 , ตัวสร้าง g และระนาบของการขนาน α

5. ระบุมุม:

∠ABC - มุมที่มียอดที่จุด B เช่นเดียวกับ ∠α°, ∠β°, ... , ∠φ°, ...

6. เชิงมุม: ค่า (การวัดองศา) ถูกระบุโดยเครื่องหมายซึ่งอยู่เหนือมุม:

ค่าของมุม ABC;

ค่าของมุม φ

มุมฉากถูกทำเครื่องหมายด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีจุดอยู่ภายใน

7. ระยะห่างระหว่างรูปทรงเรขาคณิตแสดงโดยส่วนแนวตั้งสองส่วน - ||.

ตัวอย่างเช่น:

|AB| - ระยะห่างระหว่างจุด A และ B (ความยาวของส่วน AB);

|Aa| - ระยะทางจากจุด A ถึงเส้น a;

|Aα| - ระยะทางจากจุด A ถึงพื้นผิว α;

|ab| - ระยะห่างระหว่างบรรทัด a และ b;

|αβ| ระยะห่างระหว่างพื้นผิว α และ β

8. สำหรับระนาบการฉายภาพ ยอมรับการกำหนดต่อไปนี้: π 1 และ π 2 โดยที่ π 1 คือระนาบการฉายภาพแนวนอน

π 2 -ระนาบของการฉายภาพ

เมื่อเปลี่ยนระนาบการฉายภาพหรือแนะนำระนาบใหม่ ระนาบหลังหมายถึง π 3, π 4 เป็นต้น

9. แกนฉายแสดง: x, y, z โดยที่ x คือแกน x; y คือแกน y z - ใช้แกน

เส้นคงที่ของแผนภาพ Monge แสดงโดย k

10. การคาดคะเนของจุด เส้น พื้นผิว รูปทรงเรขาคณิตใดๆ จะถูกระบุด้วยตัวอักษร (หรือตัวเลข) เดียวกันกับต้นฉบับ โดยมีการเพิ่มตัวยกที่สอดคล้องกับระนาบการฉายภาพที่ได้มา:

A", B", C", D", ... , L", M", N", การฉายภาพในแนวนอนของจุด A", B", C", D", ... , L", M " , N", ... การคาดคะเนจุดหน้าผาก; a" , b" , c" , d" , ... , l", m" , n" , - การฉายภาพแนวนอนของเส้น a" ,b" , c" , d" , ... , l" , m " , n" , ... โครงหน้าของเส้น; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... การฉายภาพในแนวนอนของพื้นผิว α", β", γ", δ",...,ζ " ,η",ν",... การฉายภาพด้านหน้าของพื้นผิว

11. ร่องรอยของระนาบ (พื้นผิว) ถูกระบุด้วยตัวอักษรเดียวกับแนวนอนหรือด้านหน้าด้วยการเพิ่มตัวห้อย0αโดยเน้นว่าเส้นเหล่านี้อยู่ในระนาบการฉายภาพและเป็นของระนาบ (พื้นผิว) α

ดังนั้น: h 0α - รอยตามแนวนอนของระนาบ (พื้นผิว) α;

ฉ 0α - ร่องรอยด้านหน้าของระนาบ (พื้นผิว) α

12. ร่องรอยของเส้นตรง (เส้น) ระบุด้วยอักษรตัวพิมพ์ใหญ่ซึ่งขึ้นต้นคำที่กำหนดชื่อ (ในการถอดความภาษาละติน) ของระนาบการฉายภาพที่เส้นตัดกับตัวห้อยระบุว่าเป็นของเส้น

ตัวอย่างเช่น: H a - การติดตามแนวนอนของเส้นตรง (เส้น) a;

F a - ร่องรอยหน้าผากของเส้นตรง (เส้น) a.

13. ลำดับของจุด เส้น (ของตัวเลขใดๆ) ถูกทำเครื่องหมายด้วยตัวห้อย 1,2,3,..., n:

A 1, A 2, A 3,..., A n;

a 1 , 2 , a 3 ,..., n ;

α 1 , α 2 , α 3 ,...,α n ;

F 1 , F 2 , F 3 ,... , F n เป็นต้น

การฉายภาพเสริมของจุดที่ได้รับจากการแปลงเพื่อให้ได้ค่าที่แท้จริงของรูปทรงเรขาคณิตนั้นเขียนแทนด้วยตัวอักษรเดียวกันกับตัวห้อย 0:

A 0, B 0, C 0, D 0, ...

ประมาณการ Axonometric

14. การฉายภาพแบบ Axonometric ของจุด เส้น พื้นผิว ระบุด้วยตัวอักษรเดียวกับธรรมชาติด้วยการเพิ่มตัวยก 0:

ก 0, ข 0, ค 0, ง 0, ...

1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ...

a 0, b 0, c 0, d 0 , ...

α 0, β 0, γ 0, δ 0, ...

15. การฉายภาพรองถูกระบุโดยการเพิ่มตัวยก 1:

A 1 0, B 1 0, C 1 0, D 1 0, ...

1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ...

a 1 0, b 1 0, c 1 0, d 1 0, ...

α 1 0, β 1 0, γ 1 0 , δ 1 0, ...

เพื่ออำนวยความสะดวกในการอ่านภาพวาดในตำราเรียน มีการใช้สีหลายสีในการออกแบบภาพประกอบซึ่งแต่ละสีมีความหมายเชิงความหมาย: เส้นสีดำ (จุด) ระบุข้อมูลเริ่มต้น สีเขียวใช้สำหรับเส้นของโครงสร้างกราฟิกเสริม เส้นสีแดง (จุด) แสดงผลการก่อสร้างหรือองค์ประกอบทางเรขาคณิตที่ควรให้ความสนใจเป็นพิเศษ

B. สัญลักษณ์แสดงถึงความสัมพันธ์ระหว่างรูปทรงเรขาคณิต

ไม่.	การกำหนด	เนื้อหา	ตัวอย่างสัญกรณ์สัญลักษณ์
1	≡	การแข่งขัน	(AB) ≡ (CD) - เส้นตรงผ่านจุด A และ B ตรงกับเส้นที่ผ่านจุด C และ D
2	≅	สอดคล้อง	∠ABC≅∠MNK - มุม ABC เท่ากับมุม MNK
3	∼	คล้ายกัน	ΔABS∼ΔMNK - สามเหลี่ยม ABC และ MNK คล้ายกัน
4	||	ขนาน	α||β - ระนาบ α ขนานกับระนาบ β
5	⊥	ตั้งฉาก	a⊥b - เส้น a และ b ตั้งฉาก
6		ผสมข้ามพันธุ์	ด้วย d - เส้น c และ d ตัดกัน
7		แทนเจนต์	t l - เส้น t แทนเจนต์กับเส้น l βα - ระนาบ β แทนเจนต์กับพื้นผิว α
8	→	กำลังแสดง	F 1 → F 2 - รูป F 1 ถูกจับคู่กับรูป F 2
9	ส	ศูนย์ฉายภาพ หากศูนย์กลางการฉายไม่ใช่จุดที่เหมาะสม ตำแหน่งของมันถูกระบุด้วยลูกศร ระบุทิศทางของการฉายภาพ	-
10	ส	ทิศทางการฉายภาพ	-
11	พี	การฉายภาพแบบขนาน	p s α การฉายภาพขนาน - การฉายภาพขนาน ไปยังระนาบ α ในทิศทาง s

B. สัญกรณ์เซตทฤษฎี

ไม่.	การกำหนด	เนื้อหา	ตัวอย่างสัญกรณ์สัญลักษณ์	ตัวอย่างสัญกรณ์สัญลักษณ์ในเรขาคณิต
1	M,N	ชุด	-	-
2	เอ บี ซี...	กำหนดองค์ประกอบ	-	-
3	{ ... }	ประกอบด้วย...	เอฟ(เอ บี ซี... )	Ф(A, B, C,...) - รูปที่ Ф ประกอบด้วยจุด A, B, C, ...
4	∅	ชุดเปล่า	L - ∅ - ชุด L ว่างเปล่า (ไม่มีองค์ประกอบ)	-
5	∈	เป็นของเป็นองค์ประกอบ	2∈N (โดยที่ N คือเซตของจำนวนธรรมชาติ) - หมายเลข 2 เป็นของชุด N	A ∈ a - จุด A อยู่ในเส้น a (จุด A อยู่บนเส้น a)
6	⊂	ประกอบด้วย, ประกอบด้วย	N⊂M - เซต N เป็นส่วนหนึ่งของ (เซตย่อย) ของเซต M ของจำนวนตรรกยะทั้งหมด	a⊂α - เส้น a เป็นของระนาบ α (เข้าใจในความหมาย: เซตของจุดของเส้น a เป็นเซตย่อยของจุดของระนาบ α)
7	∪	ยูเนี่ยน	C \u003d A U B - เซต C คือการรวมกันของเซต A และ B; (1, 2. 3, 4.5) = (1.2.3)∪(4.5)	ABCD = ∪ [BC] ∪ - เส้นขาด ABCD คือ สหภาพของกลุ่ม [AB], [BC],
8	∩	ทางแยกมากมาย	М=К∩L - เซต М คือจุดตัดของเซต К และ L (ประกอบด้วยองค์ประกอบที่เป็นของทั้งชุด K และชุด L) M ∩ N = ∅- จุดตัดของเซต M และ N คือเซตว่าง (ชุด M และ N ไม่มีองค์ประกอบร่วมกัน)	a = α ∩ β - เส้น a คือทางแยก เครื่องบิน α และ β และ ∩ b = ∅ - เส้น a และ b ไม่ตัดกัน (ไม่มีจุดร่วม)

สัญลักษณ์กลุ่ม II การกำหนดการทำงานเชิงตรรกะ

ไม่.	การกำหนด	เนื้อหา	ตัวอย่างสัญกรณ์สัญลักษณ์
1	∧	การรวมประโยค; สอดคล้องกับสหภาพ "และ" ประโยค (p∧q) เป็นจริงก็ต่อเมื่อ p และ q ทั้งคู่เป็นจริง	α∩β = ( K:K∈α∧K∈β) จุดตัดของพื้นผิว α และ β เป็นเซตของจุด (เส้น) ประกอบด้วยจุดเหล่านั้นทั้งหมดและเฉพาะจุด K ที่เป็นของทั้งพื้นผิว α และพื้นผิว β
2	∨	การแยกประโยค; สอดคล้องกับสหภาพ "หรือ" ประโยค (p∨q) จริงเมื่ออย่างน้อยหนึ่งประโยค p หรือ q เป็นจริง (เช่น p หรือ q หรือทั้งสองอย่าง)	-
3	⇒	นัยเป็นผลที่ตามมา ประโยค p⇒q หมายถึง: "ถ้า p แล้ว q"	(a||c∧b||c)⇒a||b. หากเส้นสองเส้นขนานกับเส้นที่สามแสดงว่าเส้นขนานกัน
4	⇔	ประโยค (p⇔q) เข้าใจในความหมาย: "ถ้า p แล้ว q; ถ้า q แล้ว p"	อังคณา. จุดเป็นของระนาบหากอยู่ในเส้นที่เป็นของระนาบนั้น การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน ถ้าจุดนั้นอยู่ในเส้นใดเส้นหนึ่ง ที่เป็นของเครื่องบินแล้วก็เป็นของเครื่องบินด้วย
5	∀	ปริมาณทั่วไปอ่านว่า: สำหรับทุกคนสำหรับทุกคนสำหรับทุกคน นิพจน์ ∀(x)P(x) หมายถึง: "สำหรับ x: คุณสมบัติ P(x)"	∀(ΔABC)( = 180 °) สำหรับสามเหลี่ยมใด ๆ (สำหรับใด ๆ ) ผลรวมของค่าของมุมของมัน ที่จุดยอดคือ 180°
6	∃	ปริมาณอัตถิภาวนิยมอ่าน: มีอยู่ นิพจน์ ∃(x)P(x) หมายถึง: "มี x ที่มีคุณสมบัติ P(x)"	(∀α)(∃a) สำหรับระนาบ α ใดๆ จะมีเส้น a ที่ไม่ใช่ของระนาบ α และขนานกับระนาบ α
7	∃1	เอกลักษณ์ของปริมาณการดำรงอยู่ อ่าน: มีความเป็นเอกลักษณ์ (-th, -th)... นิพจน์ ∃1(x)(Px) หมายถึง: "มีความเฉพาะตัว (ตัวเดียวเท่านั้น) x, มีคุณสมบัติ Rx"	(∀ A, B)(A≠B)(∃1a)(a∋A, B) สำหรับจุด A และ B ที่แตกต่างกันสองจุด จะมีเส้น a ที่ไม่ซ้ำกัน ผ่านจุดเหล่านี้
8	(พิกเซล)	การปฏิเสธคำสั่ง P(x)	ab(∃α )(α⊃а, b) หากเส้น a และ b ตัดกันจะไม่มีระนาบ a ที่มี
9	\	เครื่องหมายลบ	≠ - ส่วน [AB] ไม่เท่ากับส่วน .a? b - เส้น a ไม่ขนานกับเส้น b