ตัวอย่างการอินทิเกรตฟังก์ชันตรรกยะของเศษส่วน การรวมฟังก์ชันตรรกยะ เศษส่วน - ฟังก์ชันตรรกยะ ที่ง่ายที่สุด

ก่อนหน้านี้เราได้กล่าวถึงวิธีการทั่วไปในการบูรณาการ ในย่อหน้านี้และย่อหน้าต่อไปนี้ เราจะพูดถึงการรวมคลาสของฟังก์ชันเฉพาะโดยใช้เทคนิคที่กล่าวถึง

การรวมฟังก์ชันตรรกยะที่ง่ายที่สุด

ให้เราพิจารณาอินทิกรัลของแบบฟอร์ม \textstyle(\int R(x)\,dx)โดยที่ y=R(x) เป็นฟังก์ชันตรรกยะ ทุกประเภท การแสดงออกอย่างมีเหตุผล R(x) สามารถแสดงเป็น \frac(P(x))(Q(x))โดยที่ P(x) และ Q(x) เป็นพหุนาม หากเศษส่วนนี้ไม่เหมาะสม กล่าวคือ ถ้าดีกรีของตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับดีกรีของตัวส่วน ก็สามารถแสดงเป็นผลรวมของพหุนามได้ ( ทั้งส่วน) และ เศษส่วนที่เหมาะสม- ดังนั้นการพิจารณาการรวมเศษส่วนที่เหมาะสมก็เพียงพอแล้ว

ให้เราแสดงว่าการอินทิเกรตของเศษส่วนดังกล่าวลดลงจนถึงการอินทิเกรต เศษส่วนอย่างง่ายนั่นคือ การแสดงออกของแบบฟอร์ม:

\mathsf(1))~\frac(A)(x-a);\quad \mathsf(2))~\frac(A)((x-a)^n);\quad \mathsf(3))~ \frac( Ax+B)(x^2+px+q);\quad \mathsf(4))~\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n)

ที่ไหน ก,\,B,\,ก,\,พี,\,คิว - ตัวเลขจริงและกำลังสองของตรีโกณมิติ x^2+px+q ไม่มีรากที่แท้จริง นิพจน์ประเภท 1) และ 2) เรียกว่าเศษส่วนประเภทที่ 1 และนิพจน์ประเภท 3) และ 4) เรียกว่าเศษส่วนประเภทที่ 2

อินทิกรัลของเศษส่วนชนิดที่ 1 คำนวณโดยตรง

\begin(ชิด)\mathsf(1))&~\int\frac(A)(x-a)\,dx= A\ln|x-a|+C;\\ \mathsf(2))&~ \int\frac (A)((x-a)^n)\,dx= A\int(x-a)^(-n)\,dx= A\,\frac((x-a)^(-n+1))(-n+ 1 )+C~(n=2,3,4,\lจุด) \end(ชิด)

พิจารณาการคำนวณอินทิกรัลของเศษส่วนประเภทที่ 2: \mathsf(3))~ \int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx\,.

ก่อนอื่นเราสังเกตว่า

\int\frac(dt)(t^2+a^2)= \frac(1)(a)\ชื่อผู้ดำเนินการ(arctg)\frac(t)(a)+C,\qquad \int\frac(t\ ,dt)(t^2+a^2)= \frac(1)(2)\ln(t^2+a^2)+C

เพื่อลดการคำนวณอินทิกรัล 3) ให้กับอินทิกรัลทั้งสองนี้ เราจะแปลงกำลังสองของตรีโกณมิติ x^2+px+q โดยแยกกำลังสองทั้งหมดออกจากมัน:

x^2+px+q= (\ซ้าย(x+\frac(p)(2)\right)\^2+ \left(q-\frac{p^2}{4}\right)\!. !}

เนื่องจากโดยสมมุติฐานตรีโกณมิตินี้จึงไม่มีรากที่แท้จริง q-\frac(p^2)(4)>0และเราสามารถใส่ได้ q-\frac(p^2)(4)=a^2- การทดแทน x+\frac(p)(2)=t,~ dx=dtแปลงอินทิกรัล 3) เป็นการรวมกันเชิงเส้นของอินทิกรัลสองตัวที่ระบุ:

\begin(ชิด)\int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx&= \int\frac(A\!\left(t-\frac(p)(2)\right )+B)(t^2+a^2)\,dt= A\int\frac(t\,dt)(t^2+a^2)+ \left(B-\frac(Ap)(2 )\right)\!\int\frac(dt)(t^2+a^2)=\\ &=\frac(A)(2)\ln(t^2+a^2)+ \frac( 1)(a)\!\left(B-\frac(Ap)(2)\right)\!\ \ชื่อตัวดำเนินการ(arctg)\frac(t)(a)+C \end(ชิด)

ในคำตอบสุดท้าย คุณจะต้องแทนที่ (t) ด้วย x+\frac(p)(2) และ (a) ด้วย \sqrt(q-\frac(p^2)(4))- เนื่องจาก t^2+a^2=x^2+px+q ดังนั้น

\int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx= \frac(A)(2)\ln(x^2+px+q)+ \frac(B-\dfrac( Ap)(2))(\sqrt(q-\dfrac(p^2)(4))) \ชื่อตัวดำเนินการ(arctg)\frac(x+\dfrac(p)(2))(\sqrt(q-\dfrac (พี^2)(4)))+ซี

พิจารณาเป็นกรณีไป \mathsf(4))~ \int\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n)\,dx.

เช่นเดียวกับในกรณีก่อนหน้านี้ ลองตั้งค่า x+\frac(p)(2)=t เราได้รับ:

\int\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n)\,dx= A\int\frac(t\,dt)((t^2+a^2)^n) + \left(B-\frac(Ap)(2)\right)\! \int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)\,.

เทอมแรกมีการคำนวณดังนี้:

A\int\frac(t\,dt)((t^2+a^2)^n)= \frac(A)(2)\int(t^2+a^2)^(-n)\ ,d(t^2+a^2)= \frac(A)(2)\frac((t^2+a^2)^(-n+1))(-n+1)= \frac( ก)(2(1-n)(t^2+a^2)^(n-1))\,

อินทิกรัลตัวที่สองคำนวณโดยใช้ สูตรเกิดซ้ำ.

ตัวอย่างที่ 1มาคำนวณกัน \int\frac(3x+2)(x^2+2x+3)\,dx.

สารละลาย.เรามี: x^2+2x+3=(x+1)^2+2- ลองใส่ x+1=t กัน จากนั้น dx=dt และ 3x+2=3(t-1)+2=3t-1และด้วยเหตุนี้

\begin(ชิด)\int\frac(3x+2)(x^2+2x+3)\,dx&= \int\frac(3t-1)(t^2+2)\,dt= \frac( 3)(2)\int\frac(2t\,dt)(t^2+2)- \int\frac(dt)(t^2+(\sqrt(2))^2)=\\ &= \frac(3)(2)\ln(t^2+2)- \frac(1)(\sqrt(2))\ชื่อผู้ดำเนินการ(arctg)\frac(t)(\sqrt(2))+C= \\ &=\frac(3)(2)\ln(x^2+2x+3)- \frac(1)(\sqrt(2))\ชื่อผู้ดำเนินการ(arctg)\frac(x+1)(\ ตร.ม.(2))+C. \end(ชิด)

ตัวอย่างที่ 2มาคำนวณกัน \int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx.

สารละลาย.เรามี: x^2+6x+10=(x+3)^2+1- ขอแนะนำตัวแปรใหม่โดยการตั้งค่า x+3=t จากนั้น dt=dx และ x+2=t-1 แทนที่ตัวแปรภายใต้เครื่องหมายอินทิกรัล เราจะได้:

\begin(ชิด)\int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx&= \int\frac(t-1)((t^2+1)^2 )\,dt= \frac(1)(2)\int\frac(2t\,dt)((t^2+1)^2)-\int\frac(dt)((t^2+1) ^2)=\\ &=-\frac(1)(2(t^2+1))- \int\frac(dt)((t^2+1)^2)\, \end(ชิด))

เอาล่ะใส่ I_2=\int\frac(dt)((t^2+1)^2)- เรามี:

I_2=\frac(1)(2)I_1+\frac(1)(2)\frac(t)(t^2+1), แต่ I_1=\int\frac(dt)(t^2+1)= \ชื่อผู้ดำเนินการ(arctg)tดังนั้น, I_2= \frac(1)(2)\ชื่อตัวดำเนินการ(arctg)t+ \frac(t)(2(t^2+1)).

ในที่สุดเราก็ได้รับ:

\begin(ชิด)\int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx&=-\frac(1)(2(t^2+1))-\frac (1)(2)\ชื่อตัวดำเนินการ(arctg)t-\frac(t)(2(t^2+1))=\\ &=-\frac(1)(2(x^2+6x+10) )- \frac(1)(2)\ชื่อตัวดำเนินการ(arctg)(x+3)- \frac(x+3)(2(x^2+6x+10))+C=\\ &=\frac( -x-4)(2(x^2+6x+10))-\frac(1)(2)\ชื่อผู้ดำเนินการ(arctg)(x+3)+C \end(ชิด)

การบูรณาการเศษส่วนที่เหมาะสม

พิจารณาเศษส่วนให้ถูกต้อง R(x)=\frac(P(x))(Q(x))โดยที่ Q(x) คือพหุนามของดีกรี n โดยไม่สูญเสียลักษณะทั่วไป เราสามารถสรุปได้ว่าค่าสัมประสิทธิ์นำใน Q(x) เท่ากับ 1 ในหลักสูตรพีชคณิต ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จริงสามารถแยกตัวประกอบเป็นปัจจัยระดับที่ 1 และ 2 ด้วยค่าสัมประสิทธิ์จริงได้ : :

Q(x)= (x-x_1)^(\alpha)\ldots (x-x_k)^(\beta) (x^2+p\,x+q)^(\gamma)\ldots (x^2 +r\,x+s)^(\เดลต้า)

โดยที่ x_1,\ldots,x_k เป็นรากที่แท้จริงของพหุนาม Q(x) และ ตรีโกณมิติกำลังสองไม่มีรากที่แท้จริง สามารถพิสูจน์ได้ว่า R(x) จะแสดงเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่ายในรูปแบบ 1) -4):

\begin(ชิด)R(x)=&\frac(P(x))(Q(x))= \frac(A_1)((x-x_1)^(\alpha))+ \frac(A_2)( (x-x_1)^(\alpha-1))+\ldots+ \frac(A_(\alpha))(x-x_1)\,+\\ &+\,\ldots+ \frac(B_1)((x- x_k)^(\beta))+ \frac(B_2)((x-x_k)^(\beta-1))+\ldots+ \frac(B_(\beta))(x-x_k)+ \frac(M_1x+ N_1)((x^2+p\,x+q)^(\gamma))\,+\\ &+\,\ldots+ \frac(M_(\gamma)+ N_(\gamma))(x^ 2+ p\,x+s)+ \frac(E_1x+F_1)((x^2+rx+s)^(\เดลต้า))+\ldots+ \frac(E_(\เดลต้า)x+F_(\เดลต้า ))(x^2+rx+s)\, \end(ชิด)

โดยที่เลขชี้กำลังของตัวส่วนลดลงอย่างต่อเนื่องจาก \alpha เป็น 1, ..., จาก \beta เป็น 1, จาก \gamma เป็น 1, ..., จาก \delta เป็น 1 และ A_1,\ldots,F_(\เดลต้า)- ค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอน เพื่อหาค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้ จำเป็นต้องกำจัดตัวส่วนออก และเมื่อได้รับความเท่าเทียมกันของพหุนามสองตัวแล้ว ให้ใช้วิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน

อีกวิธีหนึ่งในการกำหนดอัตราต่อรอง A_1,\ldots, A_(\อัลฟา), \ldots, F_(\เดลต้า)ขึ้นอยู่กับการทดแทนค่าของตัวแปร x การแทนจำนวนใดๆ แทน x ลงในความเท่าเทียมกันที่ได้จากความเท่าเทียมกัน (1) หลังจากกำจัดตัวส่วนแล้ว เราก็มาถึงที่ สมการเชิงเส้นสัมพันธ์กับค่าสัมประสิทธิ์ที่ต้องการ โดยการทดแทน ปริมาณที่ต้องการค่าบางส่วนของตัวแปรดังกล่าวเราได้รับระบบสมการในการค้นหาค่าสัมประสิทธิ์ สะดวกที่สุดในการเลือกรากของตัวส่วน (ทั้งจำนวนจริงและเชิงซ้อน) เป็นค่าส่วนตัวของตัวแปร ในกรณีนี้ พจน์ที่อยู่ทางด้านขวาของค่าความเท่าเทียมกันเกือบทั้งหมด (หมายถึงความเท่าเทียมกันของพหุนามสองตัว) จะหายไป ซึ่งทำให้ง่ายต่อการค้นหาค่าสัมประสิทธิ์ที่เหลือ เมื่อทำการแทนค่าเชิงซ้อน โปรดทราบว่าจำนวนเชิงซ้อนสองตัวจะเท่ากันก็ต่อเมื่อส่วนจริงและส่วนจินตภาพเท่ากันตามลำดับ ดังนั้นจากทุกความเสมอภาคที่มี จำนวนเชิงซ้อนเราจะได้สมการสองสมการ

หลังจากค้นหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ได้กำหนดแล้ว ยังคงต้องคำนวณอินทิกรัลของเศษส่วนที่ง่ายที่สุดที่ได้รับ เนื่องจากเมื่อรวมเศษส่วนที่ง่ายที่สุดดังที่เราได้เห็นแล้วจะได้รับเฉพาะฟังก์ชันตรรกยะ อาร์กแทนเจนต์ และลอการิทึมเท่านั้น อินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะใดๆ แสดงผ่านฟังก์ชันตรรกยะ อาร์กแทนเจนต์ และลอการิทึม.

ตัวอย่างที่ 3มาคำนวณอินทิกรัลของค่าที่ถูกต้องกันดีกว่า เศษส่วนตรรกยะ \int\frac(6x+1)(x^2+2x-3)\,dx.

สารละลาย.ลองแยกตัวประกอบของปริพันธ์:

x^2+2x-3=(x-1)(x+3)

ลองเขียนจำนวนเต็มแล้วนำเสนอเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย:

\frac(6x+1)(x^2+2x-3)= \frac(A)(x-1)+\frac(B)(B+3)\,

ปลดปล่อยตัวเองจากตัวส่วนในความเท่าเทียมกันนี้ เราได้รับ:

6x+1=A\cdot (x+3)+B\cdot (x-1)\,

หากต้องการหาค่าสัมประสิทธิ์ เราจะใช้วิธีทดแทนค่าบางส่วน หากต้องการหาสัมประสิทธิ์ A ให้ตั้งค่า x=1 กัน จากนั้นจากความเท่าเทียมกัน (2) เราจะได้ 7=4A โดยที่ A=7/4 หากต้องการหาสัมประสิทธิ์ B ให้ตั้ง x=-3 กัน จากนั้นจากความเท่าเทียมกัน (2) เราจะได้ -17=-4B โดยที่ B=17/4

ดังนั้น, \frac(6x+1)(x^2+2x-3)= \frac(7)(4)\cdot\frac(1)(x-1)+ \frac(17)(4)\cdot\frac (1)(x+3)- วิธี,

\int\frac(6x+1)(x^2+2x-3)\,dx= \frac(7)(4)\int\frac(dx)(x-1)+ \frac(17)(4 )\int\frac(dx)(x+3)= \frac(7)(4)\ln|x-1|+ \frac(17)(4)\ln|x+3|+C

ตัวอย่างที่ 4มาคำนวณกัน \int\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))\,dx.

สารละลาย.ลองเขียนจำนวนเต็มแล้วนำเสนอเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย ตัวส่วนประกอบด้วยตัวประกอบ x^2+2 ซึ่งไม่มีรากที่แท้จริง ซึ่งสอดคล้องกับเศษส่วนของประเภทที่ 2: \frac(ขวาน+B)(x^2+2)ตัวคูณ (x-1)^2 สอดคล้องกับผลรวมของเศษส่วนสองชนิดที่ 1: \frac(C)((x-1)^2)+ \frac(D)(x-1)- ในที่สุด ตัวประกอบ x+2 ก็สอดคล้องกับเศษส่วนของชนิดที่ 1 \frac(E)(x+2) ดังนั้นเราจึงแสดงฟังก์ชันจำนวนเต็มเป็นผลรวมของเศษส่วนสี่ตัว:

\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))= \frac(ขวาน+B)(x^2+2 )+ \frac(C)((x-1)^2)+ \frac(D)(x-1)+ \frac(E)(x+2)\,

ให้เราปลดปล่อยตัวเองจากตัวส่วนด้วยความเท่าเทียมกันนี้ เราได้รับ:

\begin(จัดแนว) x^4+2x^2+8x+5&= (Ax+B)(x-1)^2(x+2)+ C(x^2+2)(x+2)\, +\\ &\phantom(=)+ D(x^2+2)(x-1)(x+2)+ E(x^2+2)(x-1)^2.\end(ชิด)

ตัวส่วนของจำนวนเต็มมีรากจริงสองตัว: x=1 และ x=-2 เมื่อแทนค่า x=1 ลงในความเท่าเทียมกัน (4) เราจะได้ 16=9C ซึ่งเราจะพบ C=16/9 เมื่อแทน x=-2 เราจะได้ 13=54E และกำหนด E=13/54 ตามลำดับ การแทนค่า x=i\,\sqrt(2) (รากของพหุนาม x^2+2 ) ช่วยให้เราไปที่ความเท่าเทียมกัน

4-4+8\,i\,\sqrt(2)+5= (A\,i\,\sqrt(2)+B)\cdot (i\,\sqrt(2)-1)^2\ cdot (i\,\sqrt(2)+2)

มันแปลงร่างเป็น:

(10A+2B)+(2A-5B)\sqrt(2)\,i= 5+8\sqrt(2)\,iจากที่ 10A+2B=5 และ (2A-5B)\sqrt(2)=8\sqrt(2).

การแก้ระบบสมการสองสมการด้วยตัวแปรสองตัว \begin(กรณี)10A+2B=5,\\ 2A-5B=8,\end(กรณี)เราพบ: A=\frac(41)(54),~ B=-\frac(35)(27).

ยังคงกำหนดค่าของสัมประสิทธิ์ D. เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้เปิดวงเล็บด้วยความเท่าเทียมกัน (4) แสดงพจน์ที่คล้ายกัน จากนั้นเปรียบเทียบค่าสัมประสิทธิ์ของ x^4 เราได้รับ:

A+D+E=1 นั่นคือ D=0

ให้เราแทนที่ค่าสัมประสิทธิ์ที่พบด้วยความเท่าเทียมกัน (3):

\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))= \frac(\drac(41)(54)\, x- \dfrac(35)(27))(x^2+2)+ \frac(16)(9)\frac(1)((x-1)^2)+ \frac(13)(54) \frac(1)(x+2)\,

จากนั้นก้าวไปสู่การบูรณาการ:

\begin(ชิด)\int\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))\,dx&= \frac( 41)(54)\int\frac(x\,dx)(x^2+2)- \frac(35)(27)\int\frac(dx)(x^2+2)+ \frac(16) )(9) \int\frac(dx)((x-1)^2)+ \frac(13)(54)\int\frac(dx)(x+2)=\\ &=\frac(41 )(108)\ln(x^2+2)- \frac(35)(27\sqrt(2))\ชื่อตัวดำเนินการ(arctg)\frac(x)(\sqrt(2))- \frac(16) (9(x-1))+ \frac(13)(54) \ln|x+2|+C.\end(ชิด)

การบูรณาการเศษส่วนเกิน

สมมติว่าเราจำเป็นต้องบูรณาการฟังก์ชัน y=\frac(f(x))(g(x))โดยที่ f(x) และ g(x) เป็นพหุนาม และดีกรีของพหุนาม f(x) มากกว่าหรือเท่ากับดีกรีของพหุนาม g(x) ในกรณีนี้ ก่อนอื่น คุณต้องเลือกส่วนของเศษส่วนเกินทั้งหมด \frac(ฉ(x))(ก(x))กล่าวคือนำเสนอในรูปแบบ

\frac(f(x))(g(x))=s(x)+ \frac(r(x))(g(x))\,

โดยที่ s(x) คือพหุนามที่มีดีกรีเท่ากับผลต่างระหว่างดีกรีของพหุนาม f(x) และ g(x) และ \frac(r(x))(ก(x))- เศษส่วนแท้.

แล้วเราก็มี \int\frac(f(x))(g(x))\,dx= \int s(x)\,dx+ \int\frac(r(x))(g(x))\,dx\, ..

ตัวอย่างที่ 5ลองคำนวณอินทิกรัลของเศษส่วนเกินกัน \int\frac(x^4-4x^3+x^2+16x-11)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx.

สารละลาย.เรามี:

\begin(จัดตำแหน่ง)g(x)&=(x-1)(x+2)(x-3)= x^3-2x^2-5x+6,\\ f(x)&=x^4 -4x^3+x^2+16x-11. \end(ชิด)

หากต้องการเลือกทั้งส่วน ให้หาร f(x) ด้วย g(x) : \frac(f(x))(g(x))= x-2+\frac(2x^2+1)(x^3-2x^2-5x+6)\,

วิธี, \int\frac(x^4-4x^3+x^2+16x-11)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx= \int(x-2)dx+ \int\frac(2x^2+1)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx

เรามี: \int(x-2)dx=\frac(x^2)(2)-2x+C.

เพื่อคำนวณอินทิกรัล \int\frac(2x^2+1)((x-1)(x+2)(x-3))\,dxใช้วิธีการสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนดังที่กล่าวข้างต้น หลังจากการคำนวณที่เราปล่อยให้ผู้อ่านได้รับ

การรวมฟังก์ชันตรรกยะ เศษส่วน - ฟังก์ชันตรรกยะ เศษส่วนตรรกยะที่ง่ายที่สุด การสลายตัวของเศษส่วนตรรกยะเป็นเศษส่วนอย่างง่าย การรวมเศษส่วนอย่างง่าย กฎทั่วไปการอินทิเกรตของเศษส่วนตรรกยะ

พหุนามของดีกรี n เศษส่วน – ฟังก์ชันตรรกยะ เศษส่วน – ฟังก์ชันตรรกยะเรียกว่าฟังก์ชันเท่ากับอัตราส่วนของพหุนามสองตัว: เศษส่วนตรรกยะเรียกว่าเหมาะสมถ้าดีกรีของตัวเศษน้อยกว่าดีกรีของตัวส่วนนั่นคือ m< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

เศษส่วน – ฟังก์ชันตรรกยะ ลด เศษส่วนเกินถึง ชนิดที่ถูกต้อง: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 63 x 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

เศษส่วนตรรกยะที่ง่ายที่สุด เศษส่วนตรรกยะที่เหมาะสมในรูปแบบ: เรียกว่าเศษส่วนตรรกยะที่ง่ายที่สุดในประเภทต่างๆ ขวาน ก); 2(Nkk ขวาน A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx kVV,

การสลายตัวของเศษส่วนตรรกยะให้เป็นเศษส่วนอย่างง่าย ทฤษฎีบท: เศษส่วนตรรกยะใดๆ ซึ่งมีตัวส่วนเป็นการแยกตัวประกอบ: สามารถแทนได้ ยิ่งกว่านั้น ด้วยวิธีพิเศษเฉพาะในรูปแบบของผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย: sk qxpxxxxxx Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx)

การสลายตัวของเศษส่วนตรรกยะเป็นเศษส่วนอย่างง่าย ให้เราอธิบายการกำหนดทฤษฎีบทโดยใช้ตัวอย่างต่อไปนี้: หากต้องการค้นหาสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอน A, B, C, D... จะใช้สองวิธี: วิธีเปรียบเทียบค่าสัมประสิทธิ์และวิธีการ ของค่าบางส่วนของตัวแปร ลองดูวิธีแรกโดยใช้ตัวอย่าง 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22 3xx x 2 21 x ก 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x

การสลายตัวของเศษส่วนตรรกยะให้เป็นเศษส่วนอย่างง่าย แสดงเศษส่วนเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย: ให้เราลดเศษส่วนอย่างง่ายเป็น ตัวส่วนร่วมลองเอาตัวเศษของผลลัพธ์และเศษส่วนดั้งเดิมมาเทียบกับค่าสัมประสิทธิ์ของกำลังเท่ากัน x)52)(1(332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx)52)(1()1)(()52( 2 2 xxx x CBxxx . A 33252 222 xx

การรวมเศษส่วนที่ง่ายที่สุด มาดูปริพันธ์ของเศษส่วนตรรกยะที่ง่ายที่สุดกัน: ลองดูที่การรวมเศษส่วนประเภท 3 โดยใช้ตัวอย่าง dx ขวาน A k dx qpxx NMx 2 ขวาน axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ขวาน A k

อินทิเกรตของเศษส่วนอย่างง่ายdx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t t 9 23 2 9 322 t dtt 9 9 2 3 2 2 t td 33 2 t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln

การอินทิกรัลของเศษส่วนอย่างง่าย อินทิกรัล ประเภทนี้โดยใช้การทดแทน: ลดลงเหลือผลรวมของปริพันธ์สองค่า: อินทิกรัลตัวแรกคำนวณโดยการใส่ t ไว้ใต้เครื่องหมายดิฟเฟอเรนเชียล อินทิกรัลตัวที่สองคำนวณโดยใช้สูตรการเกิดซ้ำ: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk ที่ dt N ที่ dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt

การรวมเศษส่วนอย่างง่าย a = 1; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t tarctg 2223)1)(13(2232 332 t t C t t tarctg 222)1 (4)1(

กฎทั่วไปสำหรับการปริพันธ์เศษส่วนที่เป็นตรรกยะ ถ้าเศษส่วนนั้นไม่เหมาะสม ให้แทนเศษส่วนนั้นเป็นผลรวมของพหุนามและเศษส่วนแท้ เมื่อแยกตัวประกอบของเศษส่วนตรรกยะที่เหมาะสมแล้ว ให้แสดงเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่ายที่มีค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน ค้นหาค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนโดยวิธีการเปรียบเทียบค่าสัมประสิทธิ์หรือโดยวิธีค่าบางส่วนของตัวแปร รวมพหุนามและผลรวมของเศษส่วนอย่างง่ายเข้าด้วยกัน

ตัวอย่าง การใส่เศษส่วนให้อยู่ในรูปแบบที่ถูกต้อง dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx xx xx 23 2 2 2 48 52 5 xxx 5105 23 48 2 x x

ตัวอย่าง ลองแยกตัวส่วนของเศษส่วนแท้มาแทนเศษส่วนด้วยผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย ลองหาสัมประสิทธิ์ที่ไม่ได้กำหนดโดยใช้วิธีค่าย่อยของตัวแปร xxx xx 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2 )1(1 x C x B x A 2 2)1 ()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx ขวาน 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124 xxx

ตัวอย่าง dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln

ฟังก์ชันตรรกยะคือเศษส่วนของรูปแบบ ซึ่งทั้งเศษและส่วนเป็นพหุนามหรือผลคูณของพหุนาม

ตัวอย่างที่ 1 ขั้นตอนที่ 2

.

เราคูณค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ได้กำหนดไว้ด้วยพหุนามที่ไม่ได้อยู่ในเศษส่วนแต่ละตัวนี้ แต่อยู่ในเศษส่วนผลลัพธ์อื่น:

เราเปิดวงเล็บและถือเอาตัวเศษของจำนวนเต็มดั้งเดิมกับนิพจน์ผลลัพธ์:

ในความเท่าเทียมกันทั้งสองด้าน เรามองหาพจน์ที่มีกำลัง x เท่ากัน และเขียนระบบสมการจากพวกมัน:

.

เรายกเลิกค่า x ทั้งหมดและได้ระบบสมการที่เทียบเท่า:

.

ดังนั้นการขยายตัวขั้นสุดท้ายของอินทิเกรตให้เป็นผลรวม เศษส่วนอย่างง่าย:

.

ตัวอย่างที่ 2 ขั้นตอนที่ 2ในขั้นตอนที่ 1 เราได้การสลายตัวของเศษส่วนดั้งเดิมเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่ายด้วย ค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอนในตัวเศษ:

.

ตอนนี้เราเริ่มมองหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอน ในการทำเช่นนี้ เราถือเอาตัวเศษของเศษส่วนดั้งเดิมในนิพจน์ฟังก์ชันกับตัวเศษของนิพจน์ที่ได้รับหลังจากลดผลรวมของเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม:

ตอนนี้คุณต้องสร้างและแก้ระบบสมการ ในการทำเช่นนี้เราถือค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรให้เท่ากับระดับที่สอดคล้องกันในตัวเศษของนิพจน์ดั้งเดิมของฟังก์ชันและค่าสัมประสิทธิ์ที่คล้ายกันในนิพจน์ที่ได้รับในขั้นตอนก่อนหน้า:

เราแก้ไขระบบผลลัพธ์:

ดังนั้นจากที่นี่

.

ตัวอย่างที่ 3 ขั้นตอนที่ 2ในขั้นตอนที่ 1 เราได้การสลายตัวของเศษส่วนดั้งเดิมเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่ายที่มีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ระบุในตัวเศษ:

เราเริ่มมองหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอน ในการทำเช่นนี้ เราถือเอาตัวเศษของเศษส่วนดั้งเดิมในนิพจน์ฟังก์ชันกับตัวเศษของนิพจน์ที่ได้รับหลังจากลดผลรวมของเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม:

ดังตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราเขียนระบบสมการ:

เราลดค่า x และได้ระบบสมการที่เทียบเท่า:

เราได้รับการแก้ปัญหาระบบ ค่าต่อไปนี้ค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอน:

เราได้การสลายตัวสุดท้ายของปริพันธ์เป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย:

.

ตัวอย่างที่ 4 ขั้นตอนที่ 2ในขั้นตอนที่ 1 เราได้การสลายตัวของเศษส่วนดั้งเดิมเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่ายที่มีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ระบุในตัวเศษ:

.

จากตัวอย่างก่อนหน้านี้เรารู้อยู่แล้วว่าจะถือเอาตัวเศษของเศษส่วนดั้งเดิมกับนิพจน์ในตัวเศษที่ได้รับหลังจากแยกเศษส่วนออกเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่ายแล้วนำผลรวมนี้มาเป็นตัวส่วนร่วม ดังนั้น เพื่อจุดประสงค์ในการควบคุม เราจึงนำเสนอระบบสมการผลลัพธ์:

การแก้ระบบเราได้รับค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอนดังต่อไปนี้:

เราได้การสลายตัวสุดท้ายของปริพันธ์เป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย:

ตัวอย่างที่ 5 ขั้นตอนที่ 2ในขั้นตอนที่ 1 เราได้การสลายตัวของเศษส่วนดั้งเดิมเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่ายที่มีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ระบุในตัวเศษ:

.

เราลดผลรวมนี้ให้เป็นตัวส่วนร่วมโดยอิสระ โดยให้ตัวเศษของนิพจน์นี้เท่ากับตัวเศษของเศษส่วนเดิม ผลลัพธ์ควรจะเป็น ระบบถัดไปสมการ:

การแก้ระบบเราได้รับค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอนดังต่อไปนี้:

.

เราได้การสลายตัวสุดท้ายของปริพันธ์เป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย:

.

ตัวอย่างที่ 6 ขั้นตอนที่ 2ในขั้นตอนที่ 1 เราได้การสลายตัวของเศษส่วนดั้งเดิมเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่ายที่มีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ระบุในตัวเศษ:

เราทำการกระทำเดียวกันกับจำนวนนี้เหมือนกับในตัวอย่างก่อนหน้านี้ ผลลัพธ์ควรเป็นระบบสมการต่อไปนี้:

การแก้ระบบเราได้รับค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอนดังต่อไปนี้:

.

เราได้การสลายตัวสุดท้ายของปริพันธ์เป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย:

.

ตัวอย่างที่ 7 ขั้นตอนที่ 2ในขั้นตอนที่ 1 เราได้การสลายตัวของเศษส่วนดั้งเดิมเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่ายที่มีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ระบุในตัวเศษ:

.

หลังจากการกระทำบางอย่างด้วยจำนวนผลลัพธ์ควรได้รับระบบสมการต่อไปนี้:

การแก้ระบบเราได้รับค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอนดังต่อไปนี้:

เราได้การสลายตัวสุดท้ายของปริพันธ์เป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย:

.

ตัวอย่างที่ 8 ขั้นตอนที่ 2ในขั้นตอนที่ 1 เราได้การสลายตัวของเศษส่วนดั้งเดิมเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่ายที่มีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ระบุในตัวเศษ:

.

มาทำการเปลี่ยนแปลงบางอย่างกับการกระทำที่ได้นำไปสู่ความเป็นอัตโนมัติแล้วเพื่อให้ได้ระบบสมการ มีเทคนิคประดิษฐ์ซึ่งในบางกรณีช่วยหลีกเลี่ยงการคำนวณที่ไม่จำเป็น เมื่อนำผลรวมของเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม เราได้รับและทำให้ตัวเศษของนิพจน์นี้เท่ากับตัวเศษของเศษส่วนดั้งเดิมที่เราได้รับ

“นักคณิตศาสตร์ก็เหมือนกับศิลปินหรือกวี ที่สร้างรูปแบบขึ้นมา และถ้ารูปแบบของเขามั่นคงกว่านี้ก็เพียงเพราะมันประกอบด้วยความคิด... รูปแบบของนักคณิตศาสตร์ เช่นเดียวกับรูปแบบของศิลปินหรือกวี จะต้องสวยงาม; ความคิด เช่นเดียวกับสีหรือคำพูด จะต้องสอดคล้องกัน ความงามคือข้อกำหนดแรก: ไม่มีที่ใดในโลกสำหรับคณิตศาสตร์ที่น่าเกลียด».

จี.เอช.ฮาร์ดี

ในบทแรกจะสังเกตได้ว่ามีพื้นฐานค่อนข้างมาก ฟังก์ชั่นง่ายๆซึ่งไม่สามารถแสดงออกผ่านได้อีกต่อไป ฟังก์ชั่นเบื้องต้น- ในเรื่องนี้ คลาสของฟังก์ชันเหล่านั้นซึ่งเราสามารถพูดได้อย่างแม่นยำว่าแอนติเดริเวทีฟของพวกมันเป็นฟังก์ชันพื้นฐานได้รับความสำคัญในทางปฏิบัติอย่างมาก ฟังก์ชันคลาสนี้ประกอบด้วย ฟังก์ชันตรรกยะซึ่งแสดงถึงอัตราส่วนของพหุนามพีชคณิตสองตัว ปัญหามากมายนำไปสู่การรวมตัวของเศษส่วนที่เป็นตรรกยะ ดังนั้นจึงเป็นเรื่องสำคัญมากที่จะต้องบูรณาการฟังก์ชันดังกล่าวเข้าด้วยกัน

2.1.1. ฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วน

เศษส่วนที่เป็นตรรกยะ(หรือ ฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วน) คือความสัมพันธ์ของพหุนามพีชคณิตสองตัว:

ที่ไหน และ เป็นพหุนาม

ให้เรานึกถึงสิ่งนั้น พหุนาม (พหุนาม, ฟังก์ชันตรรกศาสตร์ทั้งหมด) nปริญญาเรียกว่าฟังก์ชันของแบบฟอร์ม

ที่ไหน – ตัวเลขจริง ตัวอย่างเช่น,

– พหุนามของดีกรีแรก

– พหุนามของดีกรีที่ 4 เป็นต้น

เรียกว่าเศษส่วนตรรกยะ (2.1.1) ถูกต้องถ้าระดับต่ำกว่าระดับคือ n<มมิฉะนั้นจะเรียกว่าเศษส่วน ผิด.

เศษส่วนเกินใดๆ สามารถแสดงเป็นผลรวมของพหุนาม (ส่วนจำนวนเต็ม) และเศษส่วนแท้ (ส่วนที่เป็นเศษส่วน)การแยกส่วนทั้งหมดและเศษส่วนของเศษส่วนเกินสามารถทำได้ตามกฎสำหรับการหารพหุนามด้วย "มุม"

ตัวอย่าง 2.1.1.ระบุส่วนทั้งหมดและเศษส่วนของเศษส่วนตรรกยะที่ไม่เหมาะสมต่อไปนี้:

ก) , ข) .

สารละลาย - ก) เราได้การใช้อัลกอริธึมการแบ่ง "มุม"

ดังนั้นเราจึงได้

.

b) ที่นี่เรายังใช้อัลกอริธึมการแบ่ง "มุม":

เป็นผลให้เราได้รับ

.

มาสรุปกัน ในกรณีทั่วไป อินทิกรัลไม่กำหนดของเศษส่วนตรรกยะสามารถแสดงเป็นผลรวมของปริพันธ์ของพหุนามและเศษส่วนตรรกยะแท้ การค้นหาแอนติเดริเวทีฟของพหุนามนั้นไม่ใช่เรื่องยาก ดังนั้น ต่อไปนี้เราจะพิจารณาเศษส่วนตรรกยะที่เหมาะสมเป็นหลัก

2.1.2. เศษส่วนตรรกยะที่ง่ายที่สุดและการอินทิเกรตของมัน

ในบรรดาเศษส่วนตรรกยะแท้นั้นมีอยู่ 4 ประเภท ซึ่งจำแนกได้ดังนี้ เศษส่วนเหตุผลที่ง่ายที่สุด (ประถมศึกษา):

3) ,

4) ,

จำนวนเต็มอยู่ที่ไหน , เช่น. ตรีโกณมิติกำลังสอง ไม่มีรากที่แท้จริง

การรวมเศษส่วนอย่างง่ายประเภท 1 และประเภท 2 ไม่ได้ทำให้เกิดความยากมากนัก:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

ตอนนี้ให้เราพิจารณาการรวมเศษส่วนอย่างง่ายของประเภทที่ 3 แต่เราจะไม่พิจารณาเศษส่วนของประเภทที่ 4

เริ่มจากอินทิกรัลของแบบฟอร์มกันก่อน

.

โดยทั่วไปอินทิกรัลนี้คำนวณโดยการแยกกำลังสองสมบูรณ์ของตัวส่วนออก ผลลัพธ์ที่ได้คืออินทิกรัลของตารางตามแบบฟอร์มต่อไปนี้

หรือ .

ตัวอย่างที่ 2.1.2ค้นหาอินทิกรัล:

ก) , ข) .

สารละลาย - ก) เลือกกำลังสองที่สมบูรณ์จากตรีโกณมิติกำลังสอง:

จากที่นี่เราพบว่า

b) โดยการแยกกำลังสองที่สมบูรณ์ออกจากตรีโกณมิติกำลังสอง เราจะได้:

ดังนั้น,

.

เพื่อหาอินทิกรัล

คุณสามารถแยกอนุพันธ์ของตัวส่วนในตัวเศษและขยายอินทิกรัลเป็นผลรวมของอินทิกรัลสองตัว: อันแรกโดยการแทนที่ ลงมาสู่รูปลักษณ์ภายนอก

,

และอย่างที่สอง - สำหรับสิ่งที่กล่าวถึงข้างต้น

ตัวอย่างที่ 2.1.3ค้นหาอินทิกรัล:

.

สารละลาย - โปรดทราบว่า - ให้เราแยกอนุพันธ์ของตัวส่วนในตัวเศษ:

อินทิกรัลแรกคำนวณโดยใช้การทดแทน :

ในอินทิกรัลที่สอง เราเลือกกำลังสองสมบูรณ์ในตัวส่วน

ในที่สุดเราก็ได้

2.1.3. การขยายเศษส่วนแบบตรรกยะที่เหมาะสม
สำหรับผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย

เศษส่วนตรรกยะใดๆ สามารถแสดงด้วยวิธีพิเศษเฉพาะเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ตัวส่วนจะต้องถูกแยกตัวประกอบ จากพีชคณิตชั้นสูงจะทราบได้ว่าพหุนามทุกตัวที่มีค่าสัมประสิทธิ์จริง

หัวข้อ: การบูรณาการเศษส่วนตรรกยะ

ความสนใจ! เมื่อศึกษาวิธีการอินทิเกรตขั้นพื้นฐานวิธีใดวิธีหนึ่ง ได้แก่ การอินทิเกรตเศษส่วนที่เป็นตรรกยะ จำเป็นต้องพิจารณาพหุนามในโดเมนที่ซับซ้อนเพื่อทำการพิสูจน์อย่างเข้มงวด ดังนั้นจึงมีความจำเป็น ศึกษาล่วงหน้า คุณสมบัติบางประการของจำนวนเชิงซ้อนและการดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อน

การอินทิเกรตเศษส่วนตรรกยะอย่างง่าย

ถ้า ป(z) และ ถาม(z) เป็นพหุนามในโดเมนเชิงซ้อน จากนั้นจึงเป็นเศษส่วนตรรกยะ มันถูกเรียกว่า ถูกต้องถ้าปริญญา ป(z) ปริญญาน้อยกว่า ถาม(z) , และ ผิดถ้าปริญญา ร ไม่น้อยกว่าปริญญา ถาม.

เศษส่วนเกินใดๆ สามารถแสดงได้ดังนี้: ,

P(z) = Q(z) S(z) + R(z)

ก ร(z) – พหุนามที่มีดีกรีน้อยกว่าดีกรี ถาม(z).

ดังนั้น การอินทิเกรตเศษส่วนตรรกยะจึงลงมาจนถึงการอินทิเกรตของพหุนาม ซึ่งก็คือ ฟังก์ชันยกกำลัง และเศษส่วนแท้ เนื่องจากมันเป็นเศษส่วนแท้

คำจำกัดความที่ 5 เศษส่วนที่ง่ายที่สุด (หรือระดับประถมศึกษา) คือเศษส่วนประเภทต่อไปนี้:

1) , 2) , 3) , 4) .

มาดูกันว่าพวกเขาบูรณาการกันอย่างไร

3) (ศึกษาก่อนหน้านี้).

ทฤษฎีบท 5 เศษส่วนแท้ทุกตัวสามารถแสดงเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่ายได้ (ไม่มีการพิสูจน์)

ข้อพิสูจน์ 1. หาก เป็นเศษส่วนตรรกยะที่เหมาะสมและหากในบรรดารากของพหุนามนั้นมีเพียงรากจริงอย่างง่ายจากนั้นในการสลายตัวของเศษส่วนเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่ายจะมีเพียงเศษส่วนอย่างง่ายของประเภทที่ 1:

ตัวอย่างที่ 1

ข้อพิสูจน์ 2. ถ้า เป็นเศษส่วนตรรกยะที่เหมาะสม และหากในบรรดารากของพหุนามนั้นมีรากจริงหลายค่าเท่านั้น ดังนั้นในการสลายตัวของเศษส่วนเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่ายจะมีเพียงเศษส่วนอย่างง่ายของประเภทที่ 1 และ 2 : :

ตัวอย่างที่ 2

ข้อพิสูจน์ 3. หาก เป็นเศษส่วนตรรกยะที่เหมาะสมและหากในบรรดารากของพหุนามนั้นมีเพียงรากคอนจูเกตที่ซับซ้อนอย่างง่ายจากนั้นในการสลายตัวของเศษส่วนเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่ายจะมีเพียงเศษส่วนอย่างง่ายของประเภทที่ 3:

ตัวอย่างที่ 3

ข้อพิสูจน์ 4. ถ้า เป็นเศษส่วนตรรกยะที่เหมาะสม และหากในบรรดารากของพหุนามนั้นมีรากคอนจูเกตที่ซับซ้อนเพียงหลายตัว ดังนั้นในการสลายตัวของเศษส่วนเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่ายจะมีเพียงเศษส่วนอย่างง่ายของอันดับที่ 3 และ 4 ประเภท:

เพื่อกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จักในการขยายที่กำหนดให้ดำเนินการดังนี้ ด้านซ้ายและด้านขวาของส่วนขยายที่มีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จักจะถูกคูณด้วย จะได้ค่าความเท่าเทียมกันของพหุนามสองตัว จากนั้นจะได้สมการสำหรับสัมประสิทธิ์ที่ต้องการโดยใช้:

1. ความเท่าเทียมกันเป็นจริงสำหรับค่าใด ๆ ของ X (วิธีค่าบางส่วน) ในกรณีนี้ จะได้สมการจำนวนเท่าใดก็ได้ โดยที่ m ใดๆ ก็สามารถหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จักได้

2. ค่าสัมประสิทธิ์ตรงกับองศา X เท่ากัน (วิธีค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน) ในกรณีนี้จะได้ระบบสมการ m กับ m - ไม่ทราบ ซึ่งพบค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ทราบ

3. วิธีผสมผสาน

ตัวอย่างที่ 5 ขยายเศษส่วน ที่ง่ายที่สุด

สารละลาย:

ลองหาสัมประสิทธิ์ A และ B

วิธีที่ 1 - วิธีมูลค่าส่วนตัว:

วิธีที่ 2 - วิธีการของสัมประสิทธิ์ที่ไม่ได้กำหนด:

คำตอบ:

การบูรณาการเศษส่วนตรรกยะ

ทฤษฎีบท 6 อินทิกรัลไม่ จำกัด ของเศษส่วนตรรกยะใดๆ ในช่วงเวลาใดๆ ที่มีตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์ และแสดงผ่านฟังก์ชันเบื้องต้น ได้แก่ เศษส่วนตรรกยะ ลอการิทึม และอาร์กแทนเจนต์

การพิสูจน์.

ลองจินตนาการถึงเศษส่วนตรรกยะในรูปแบบ: - ในกรณีนี้ พจน์สุดท้ายคือเศษส่วนแท้ และตามทฤษฎีบทที่ 5 สามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของเศษส่วนอย่างง่ายได้ ดังนั้น การอินทิเกรตของเศษส่วนตรรกยะจึงลดลงเหลือเพียงการอินทิเกรตของพหุนาม ส(x) และเศษส่วนอย่างง่าย ซึ่งแอนติเดริเวทีฟดังที่แสดงไว้มีรูปแบบระบุไว้ในทฤษฎีบท

ความคิดเห็น ปัญหาหลักในกรณีนี้คือการสลายตัวของตัวส่วนเป็นปัจจัยนั่นคือการค้นหารากทั้งหมดของมัน

ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาอินทิกรัล