หลักการของแฮร์มันน์ ออยเลอร์ ดาล็องแบร์สำหรับประเด็นสำคัญ หลักการกลศาสตร์เชิงทฤษฎีของดาล็องแบร์

วิธีการแก้ไขปัญหาทางกลที่ได้รับการพิจารณาจนถึงตอนนี้นั้นขึ้นอยู่กับสมการที่เป็นไปตามกฎของนิวตันโดยตรงหรือจากทฤษฎีบททั่วไปที่เป็นผลมาจากกฎเหล่านี้ อย่างไรก็ตาม เส้นทางนี้ไม่ใช่เส้นทางเดียวเท่านั้น ปรากฎว่าสมการการเคลื่อนที่หรือสภาวะสมดุลของระบบกลไกสามารถหาได้จากหลักการทั่วไปอื่นๆ ที่เรียกว่าหลักการของกลศาสตร์ แทนที่จะเป็นกฎของนิวตัน ในหลายกรณี การประยุกต์ใช้หลักการเหล่านี้จะช่วยให้สามารถค้นหาวิธีที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องได้ บทนี้จะกล่าวถึงหลักการทั่วไปประการหนึ่งของกลศาสตร์ ที่เรียกว่า หลักการของดาล็องแบร์

ขั้นแรกให้เราค้นหาการแสดงออกของหลักการสำหรับจุดวัสดุหนึ่งจุด ปล่อยให้จุดวัตถุที่มีมวลถูกกระทำโดยระบบแรงกระทำ ซึ่งผลลัพธ์จะแสดงด้วยปฏิกิริยาคัปปลิ้ง N (หากจุดไม่เป็นอิสระ) ภายใต้อิทธิพลของแรงทั้งหมดนี้ จุดจะเคลื่อนที่สัมพันธ์กับกรอบอ้างอิงเฉื่อยด้วยความเร่ง a

ให้เราแนะนำในการพิจารณาปริมาณ

มีมิติแห่งพลัง ปริมาณเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับผลคูณของมวลของจุดและความเร่งและตรงข้ามกับความเร่งนี้เรียกว่าแรงเฉื่อยของจุด

จากนั้นปรากฎว่าการเคลื่อนที่ของจุดมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: หาก ณ เวลาใดเวลาหนึ่งแรงเฉื่อยถูกเพิ่มให้กับแรงกระทำที่กระทำต่อจุดและปฏิกิริยาคัปปลิ้ง จากนั้นระบบแรงที่เกิดขึ้นจะมีความสมดุล เช่น.

ตำแหน่งนี้แสดงให้เห็นถึงหลักการของ d'Alembert สำหรับจุดสำคัญ เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่ามันเทียบเท่ากับกฎข้อที่สองของนิวตันและในทางกลับกัน ในความเป็นจริงกฎข้อที่สองของนิวตันสำหรับประเด็นที่กำลังพิจารณาให้ไว้ การโอนค่า m ไปทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันและคำนึงถึงสัญกรณ์บัญชี (84) เราจะมาถึงความสัมพันธ์ (85) ในทางตรงกันข้าม การโอนปริมาณในสมการ (85) ไปยังอีกส่วนหนึ่งของความเท่าเทียมกันและคำนึงถึงสัญลักษณ์ (84) เราจะได้นิพจน์สำหรับกฎข้อที่สองของนิวตัน

ให้เราพิจารณาระบบกลไกที่ประกอบด้วยจุดวัสดุ ให้เราเลือกจุดใดจุดหนึ่งของระบบที่มีมวล ภายใต้อิทธิพลของแรงภายนอกและภายในที่ใช้กับมัน (ซึ่งรวมถึงทั้งแรงแอคทีฟและปฏิกิริยาคัปปลิ้ง) จุดจะเคลื่อนที่สัมพันธ์กับกรอบอ้างอิงเฉื่อยด้วยความเร่งบางส่วน เมื่อนำแรงเฉื่อยสำหรับจุดนี้มา เราจะได้ตาม ความเท่าเทียมกัน (85) นั้น

กล่าวคือ พวกมันสร้างระบบกำลังที่สมดุล การให้เหตุผลซ้ำๆ กันสำหรับแต่ละจุดของระบบ เราจะได้ผลลัพธ์ต่อไปนี้ โดยแสดงหลักการของดาล็องแบร์สำหรับระบบ: ถ้า ณ เวลาใดก็ตาม แรงเฉื่อยที่สอดคล้องกันถูกเพิ่มเข้าไปในจุดแต่ละจุดของระบบ นอกจากแรงภายนอกและภายในที่กระทำต่อมันแล้ว ระบบแรงที่ได้จะสมดุลและสามารถใช้สมการทางสถิตศาสตร์ทั้งหมดได้

ในทางคณิตศาสตร์ หลักการของดาล็องแบร์สำหรับระบบแสดงออกมาด้วยความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์ในรูปแบบ (85) ซึ่งเทียบเท่ากับสมการเชิงอนุพันธ์การเคลื่อนที่ของระบบ (13) อย่างชัดเจน ซึ่งได้มาจากมาตรา 106 ดังนั้น จากหลักการของดาล็องแบร์ เช่นเดียวกับจากสมการ (13) เราสามารถรับวิทยากรทฤษฎีบททั่วไปทั้งหมดได้

ความสำคัญของหลักการของดาล็องแบร์อยู่ที่ว่าเมื่อนำมาประยุกต์ใช้กับปัญหาพลศาสตร์โดยตรง สมการการเคลื่อนที่ของระบบจะถูกรวบรวมไว้ในรูปแบบของสมการสมดุลที่รู้จักกันดี ทำให้แนวทางในการแก้ปัญหามีความสม่ำเสมอและมักจะทำให้การคำนวณที่เกี่ยวข้องง่ายขึ้น นอกจากนี้ เมื่อรวมกับหลักการของการกระจัดที่เป็นไปได้ซึ่งจะกล่าวถึงในบทต่อไป หลักการของดาล็องแบร์ทำให้เราได้รับวิธีการทั่วไปแบบใหม่ในการแก้ปัญหาพลวัต (ดูมาตรา 141)

จากสถิติเป็นที่ทราบกันดีว่าผลรวมทางเรขาคณิตของแรงในสมดุลและผลรวมของโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นสัมพันธ์กับจุดศูนย์กลาง O ใดๆ เท่ากับศูนย์ และดังที่แสดงในมาตรา 120 สิ่งนี้เป็นจริงสำหรับแรงที่กระทำไม่เพียงแต่บนวัตถุแข็งเกร็งเท่านั้น แต่ยัง รวมถึงระบบกลไกแบบแปรผันด้วย

จากนั้น ตามหลักการของดาล็องแบร์ ​​มันควรจะเป็น:

ให้เราแนะนำสัญกรณ์ต่อไปนี้:

ปริมาณแสดงถึงเวกเตอร์หลักและโมเมนต์หลักที่สัมพันธ์กับจุดศูนย์กลาง O ของระบบแรงเฉื่อย ด้วยเหตุนี้ เมื่อพิจารณาว่าผลรวมทางเรขาคณิตของแรงภายในและผลรวมของโมเมนต์ของพวกมันเท่ากับศูนย์ เราจึงได้มาจากความเท่าเทียมกัน (86):

การใช้สมการ (88) ซึ่งเป็นผลลัพธ์จากหลักการของดาล็องแบร์ ​​ทำให้กระบวนการแก้ปัญหาง่ายขึ้น เนื่องจากสมการเหล่านี้ไม่มีแรงภายใน โดยพื้นฐานแล้ว สมการ (88) เทียบเท่ากับสมการที่แสดงทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมและโมเมนตัมหลักของระบบ และแตกต่างจากสมการในรูปแบบเท่านั้น

สมการ (88) สะดวกเป็นพิเศษในการใช้เมื่อศึกษาการเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็งหรือระบบของวัตถุแข็งเกร็ง สำหรับการศึกษาการเคลื่อนที่ของระบบตัวแปรใดๆ อย่างสมบูรณ์ สมการเหล่านี้จะไม่เพียงพอ เช่นเดียวกับที่สมการทางสถิตศาสตร์ไม่เพียงพอที่จะศึกษาสมดุลของระบบกลไกใดๆ (ดูมาตรา 120)

ในการฉายภาพลงบนแกนพิกัด ความเท่าเทียมกัน (88) จะให้สมการที่คล้ายกับสมการคงที่ที่สอดคล้องกัน (ดูมาตรา 16, 30) หากต้องการใช้สมการเหล่านี้ในการแก้ปัญหา คุณจำเป็นต้องรู้นิพจน์ของเวกเตอร์หลักและโมเมนต์หลักของแรงเฉื่อย

โดยสรุป ควรเน้นย้ำว่าเมื่อศึกษาการเคลื่อนที่เกี่ยวกับกรอบอ้างอิงเฉื่อย ซึ่งพิจารณาในที่นี้ แรงเฉื่อยจะถูกนำมาใช้ก็ต่อเมื่อนำหลักการของดาล็องแบร์มาใช้เพื่อแก้ปัญหาเท่านั้น

หลักการของดาล็องแบร์ใช้ในการแก้ไขปัญหาหลักประการแรกของพลวัตของจุดที่ไม่อิสระเมื่อทราบการเคลื่อนที่ของจุดและแรงกระทำที่กระทำต่อจุดนั้นและค้นหาปฏิกิริยาที่เกิดขึ้นของการเชื่อมต่อ

ให้เราเขียนสมการพื้นฐานสำหรับไดนามิกของจุดที่ไม่อิสระในกรอบอ้างอิงเฉื่อย:

ลองเขียนสมการใหม่เป็น:

.

แสดงถึงเราได้รับ

, (11.27)

โดยที่เวกเตอร์ถูกเรียกว่า แรงเฉื่อยของดาล็องแบร์.

คำแถลงหลักการ: ในแต่ละช่วงเวลาของการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุที่ไม่อิสระ แรงแอคทีฟและปฏิกิริยาของจุดเชื่อมต่อจะถูกสมดุลด้วยแรงเฉื่อยดาล็องแบร์.

ด้วยการฉายสมการเวกเตอร์ (11.27) ลงบนแกนพิกัดใดๆ เราจะได้สมการสมดุลที่สอดคล้องกัน ซึ่งเราจะใช้ค้นหาปฏิกิริยาที่ไม่ทราบได้

ลองฉายสมการ (11.27) ลงบนแกนธรรมชาติ:

(11.28)

ที่ไหน เรียกว่าแรงเหวี่ยงหนีศูนย์ซึ่งมุ่งไปในทิศทางลบของเส้นปกติหลักเสมอ .

หมายเหตุ:

1). ในความเป็นจริง นอกเหนือจากแรงแล้ว ไม่มีแรงทางกายภาพอื่นๆ ที่ใช้กับจุดนั้น และแรงทั้งสามนั้นไม่ได้ประกอบขึ้นเป็นระบบแรงที่สมดุล ในแง่นี้ แรงเฉื่อยของดาล็องแบร์เป็นแรงสมมติที่ใช้กับจุดหนึ่งอย่างมีเงื่อนไข

2). หลักการของดาล็องแบร์ควรได้รับการพิจารณาว่าเป็นอุปกรณ์ระเบียบวิธีที่สะดวกซึ่งช่วยให้ปัญหาด้านพลศาสตร์ลดลงจนเป็นปัญหาทางสถิตยศาสตร์ได้

ตัวอย่างที่ 1ให้เราพิจารณาปฏิกิริยาการมีเพศสัมพันธ์ที่กระทำต่อนักบินเมื่อเครื่องบินที่เคลื่อนที่ในระนาบแนวตั้งออกจากการบินดำน้ำ (รูปที่ 11.5)

นักบินได้รับผลกระทบจากแรงโน้มถ่วงและปฏิกิริยาของเบาะนั่ง ลองใช้หลักการของดาล็องแบร์ ​​โดยเพิ่มแรงเฉื่อยดาล็องแบร์ให้กับแรงเหล่านี้:

(11.29)

ให้เราเขียนสมการ (11.29) ในการฉายภาพลงบนเส้นปกติ:

(11.30)

ที่ไหน ร- รัศมีของวงกลมเมื่อเครื่องบินเข้าสู่ระดับการบิน

ความเร็วสูงสุดของเครื่องบิน ณ เวลานี้

จากสมการ (11.30)

(11.31)

ตัวอย่างที่ 2ให้เราพิจารณาปฏิกิริยาแบบเดียวกันกับนักบินในขณะที่ออกจากโหมดไต่ (รูปที่ 11.6)

การเคลื่อนที่สัมพัทธ์ของจุดวัสดุ

หากระบบอ้างอิงไม่เคลื่อนที่ในเชิงแปลสัมพันธ์กับระบบอ้างอิงเฉื่อย หรือต้นกำเนิดของพิกัดเคลื่อนที่ไม่เท่ากันหรือเป็นเส้นโค้ง ดังนั้นระบบอ้างอิงดังกล่าว ไม่ใช่เฉื่อย. ในกรอบอ้างอิงเหล่านี้สัจพจน์ ก 1 และ กไม่ได้สังเกตค่า 2 แต่ไม่ได้ติดตามจากนี้ว่าจะมีการศึกษาเฉพาะการเคลื่อนไหวที่เกิดขึ้นในระบบอ้างอิงเฉื่อยในพลศาสตร์เท่านั้น ขอให้เราพิจารณาการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุในระบบพิกัดที่ไม่เฉื่อย หากทราบแรงที่กระทำต่อจุดวัสดุและมีการระบุการเคลื่อนที่ของระบบอ้างอิงที่ไม่เฉื่อยสัมพันธ์กับระบบอ้างอิงเฉื่อย ต่อไปนี้ กรอบอ้างอิงเฉื่อยจะเรียกว่ากรอบอ้างอิงที่เคลื่อนที่ และกรอบอ้างอิงที่ไม่เฉื่อยจะเรียกว่ากรอบอ้างอิงที่เคลื่อนที่ อนุญาต เป็นผลลัพธ์ของแรงแอคทีฟที่กระทำต่อจุด และให้ เป็นผลลัพธ์ของปฏิกิริยาของพันธะ - ระบบพิกัดคงที่ - ระบบพิกัดเคลื่อนที่

พิจารณาการเคลื่อนที่ของจุดวัตถุ ม(รูปที่ 11.7) ไม่ได้เชื่อมต่ออย่างเหนียวแน่นกับระบบพิกัดการเคลื่อนที่ แต่เคลื่อนที่สัมพันธ์กับระบบนั้น ในจลนศาสตร์ การเคลื่อนที่ของจุดนี้เรียกว่าสัมพัทธ์ การเคลื่อนที่ของจุดสัมพันธ์กับระบบพิกัดคงที่เรียกว่าสัมบูรณ์ และการเคลื่อนที่ของระบบพิกัดการเคลื่อนที่เรียกว่าแบบพกพา

กฎพื้นฐานของพลศาสตร์สำหรับการเคลื่อนที่สัมบูรณ์ของจุด มจะมีลักษณะเช่นนี้

(11.33)

โดยที่ความเร่งสัมบูรณ์ของจุดคือเท่าใด

ตามทฤษฎีบทของการบวกความเร่งของจลนศาสตร์ (ทฤษฎีบทโคลิโอลิส) ความเร่งสัมบูรณ์คือผลรวมของความเร่งสัมพัทธ์ การเคลื่อนตัว และความเร่งของโบลิทาร์

. (11.34)

แทน (11.34) ลงใน (11.33) เราจะได้

และหลังจากโอนและป้อนสัญกรณ์แล้ว

(11.35)

ที่ไหน ; เวกเตอร์เรียกว่าแรงถ่ายโอนของความเฉื่อย - แรงเฉื่อยโบลิทาร์

ความเท่าเทียมกัน (11.35) เป็นการแสดงออกถึงกฎการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ของจุด ดังนั้น การเคลื่อนที่ของจุดในกรอบอ้างอิงที่ไม่เฉื่อยถือได้ว่าเป็นการเคลื่อนที่ในกรอบเฉื่อย ถ้าเราบวกการถ่ายโอนและแรงเฉื่อยโบลิทาร์เข้ากับจำนวนแรงแอคทีฟและปฏิกิริยาคู่ควบที่กระทำต่อจุดนั้น

วิธีการทั้งหมดในการแก้ปัญหาพลวัตที่เราได้พิจารณามานั้นขึ้นอยู่กับสมการที่เป็นไปตามกฎของนิวตันโดยตรงหรือจากทฤษฎีบททั่วไปที่เป็นผลมาจากกฎเหล่านี้ อย่างไรก็ตาม เส้นทางนี้ไม่ใช่เส้นทางเดียวเท่านั้น ปรากฎว่าสมการการเคลื่อนที่หรือสภาวะสมดุลของระบบกลไกสามารถหาได้จากหลักการทั่วไปอื่นๆ ที่เรียกว่าหลักการของกลศาสตร์ แทนที่จะเป็นกฎของนิวตัน ในหลายกรณี การประยุกต์ใช้หลักการเหล่านี้จะช่วยให้สามารถค้นหาวิธีที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องได้ บทนี้จะกล่าวถึงหลักการทั่วไปประการหนึ่งของกลศาสตร์ ที่เรียกว่า หลักการของดาล็องแบร์

ขอให้เรามีระบบที่ประกอบด้วย nจุดวัสดุ ให้เราเลือกจุดใดจุดหนึ่งของระบบที่มีมวล ภายใต้อิทธิพลของแรงภายนอกและภายในที่กระทำต่อจุดนั้น (ซึ่งรวมถึงแรงกระทำและปฏิกิริยาคู่ควบ) จุดดังกล่าวจะได้รับความเร่งบางส่วนสัมพันธ์กับกรอบอ้างอิงเฉื่อย

ให้เราแนะนำในการพิจารณาปริมาณ

มีมิติแห่งพลัง ปริมาณเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับผลคูณของมวลของจุดและความเร่งของมันและตรงข้ามกับความเร่งนี้เรียกว่าแรงเฉื่อยของจุด (บางครั้งเรียกว่าแรงเฉื่อยดาล็องแบร์)

จากนั้นปรากฎว่าการเคลื่อนที่ของจุดมีคุณสมบัติทั่วไปดังต่อไปนี้: หากในแต่ละช่วงเวลาเราเพิ่มแรงเฉื่อยให้กับแรงที่กระทำต่อจุดจริง ระบบผลลัพธ์ของแรงจะมีความสมดุล กล่าวคือ จะ

.

สำนวนนี้เป็นการแสดงออกถึงหลักการของ d'Alembert สำหรับจุดสำคัญจุดเดียว เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่ามันเทียบเท่ากับกฎข้อที่สองของนิวตันและในทางกลับกัน ที่จริงแล้ว กฎข้อที่สองของนิวตันสำหรับประเด็นที่เป็นปัญหาให้ไว้ . ย้ายเทอมนี้ไปทางด้านขวาของความเสมอภาค เราก็มาถึงความสัมพันธ์สุดท้าย

ทำซ้ำการให้เหตุผลข้างต้นโดยสัมพันธ์กับแต่ละจุดของระบบ เราจะได้ผลลัพธ์ต่อไปนี้ โดยแสดงหลักการของดาล็องแบร์สำหรับระบบ: หาก ณ เวลาใดเวลาหนึ่งแรงเฉื่อยที่สอดคล้องกันถูกนำไปใช้กับแต่ละจุดของระบบ นอกเหนือจากแรงภายนอกและภายในที่กระทำต่อมันจริง ๆ แล้วระบบแรงที่เกิดขึ้นจะอยู่ในสมดุลและสมการคงที่ทั้งหมดสามารถเป็นได้ นำไปใช้กับมัน

ความสำคัญของหลักการของดาล็องแบร์อยู่ที่ว่าเมื่อนำมาประยุกต์ใช้กับปัญหาพลศาสตร์โดยตรง สมการการเคลื่อนที่ของระบบจะถูกรวบรวมไว้ในรูปแบบของสมการสมดุลที่รู้จักกันดี ซึ่งทำให้มีแนวทางการแก้ปัญหาที่สม่ำเสมอและมักจะช่วยลดความยุ่งยากในการคำนวณที่เกี่ยวข้องอย่างมาก นอกจากนี้ เมื่อรวมกับหลักการของการกระจัดที่เป็นไปได้ซึ่งจะกล่าวถึงในบทถัดไป หลักการของดาล็องแบร์ทำให้เราได้วิธีการทั่วไปแบบใหม่ในการแก้ปัญหาพลวัต

เมื่อใช้หลักการของดาล็องแบร์ ​​ควรระลึกไว้ว่าจุดของระบบกลไกที่กำลังศึกษาการเคลื่อนที่นั้นถูกกระทำโดยแรงภายนอกและภายในเท่านั้น และ ซึ่งเกิดขึ้นจากอันเป็นผลมาจากอันตรกิริยาของจุดต่างๆ ของ ระบบซึ่งกันและกันและมีเนื้อหาที่ไม่รวมอยู่ในระบบ ภายใต้อิทธิพลของแรงเหล่านี้ จุดต่างๆ ของระบบจะเคลื่อนที่ด้วยความเร่งที่สอดคล้องกัน แรงเฉื่อยซึ่งถูกอภิปรายในหลักการของดาล็องแบร์ ​​จะไม่กระทำการใดๆ กับจุดที่เคลื่อนที่ (ไม่เช่นนั้น จุดเหล่านี้จะอยู่นิ่งหรือเคลื่อนที่โดยไม่มีความเร่ง และจากนั้นก็จะไม่มีแรงเฉื่อยในตัวเอง) การใช้แรงเฉื่อยเป็นเพียงเทคนิคที่ช่วยให้เราสามารถเขียนสมการไดนามิกโดยใช้วิธีสถิติที่ง่ายกว่า

จากสถิติเป็นที่ทราบกันว่าผลรวมทางเรขาคณิตของแรงในสภาวะสมดุลและผลรวมของโมเมนต์ที่สัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางใดๆ เกี่ยวกับมีค่าเท่ากับศูนย์ และตามหลักการแข็งตัว สิ่งนี้เป็นจริงสำหรับแรงที่กระทำไม่เพียงแต่กับวัตถุที่เป็นของแข็งเท่านั้น แต่ยังรวมถึงระบบตัวแปรใดๆ ด้วย จากนั้นตามหลักการของดาล็องแบร์ก็ควรจะเป็นเช่นนั้น

หลักการของดาล็องแบร์ช่วยให้เราสามารถกำหนดปัญหาเกี่ยวกับพลศาสตร์ของระบบเครื่องกลให้เป็นปัญหาทางสถิตยศาสตร์ได้ ในกรณีนี้ สมการเชิงอนุพันธ์แบบไดนามิกของการเคลื่อนที่จะอยู่ในรูปของสมการสมดุล วิธีการนี้เรียกว่า วิธีจลนศาสตร์ .

หลักการของดาล็องแบร์สำหรับประเด็นสำคัญ: « ในแต่ละช่วงเวลา การเคลื่อนที่ของจุดวัสดุ แรงแอคทีฟที่กระทำต่อจุดนั้นจริง ปฏิกิริยาของการเชื่อมต่อและแรงเฉื่อยที่ใช้อย่างมีเงื่อนไขกับจุดนั้นก่อให้เกิดระบบแรงที่สมดุล»

โดยแรงเฉื่อยของจุดหนึ่ง เรียกว่าปริมาณเวกเตอร์ที่มีมิติแรงเท่ากับขนาดกับผลคูณของมวลของจุดและความเร่งของมัน และมีทิศทางตรงข้ามกับเวกเตอร์ความเร่ง

. (3.38)

เมื่อพิจารณาระบบทางกลว่าเป็นชุดของจุดวัสดุ ซึ่งแต่ละจุดถูกกระทำตามหลักการของดาล็องแบร์ ​​โดยระบบแรงที่สมดุล เราจึงได้รับผลที่ตามมาจากหลักการนี้เมื่อนำไปใช้กับระบบ เวกเตอร์หลักและโมเมนต์หลักที่สัมพันธ์กับศูนย์กลางของแรงภายนอกที่ใช้กับระบบและแรงเฉื่อยของจุดทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์:

(3.39)

แรงภายนอกในที่นี้คือแรงแอคทีฟและปฏิกิริยาของการเชื่อมต่อ

เวกเตอร์หลักของแรงเฉื่อยระบบกลไกมีค่าเท่ากับผลคูณของมวลของระบบและความเร่งของจุดศูนย์กลางมวล และมุ่งไปในทิศทางตรงกันข้ามกับความเร่งนี้

. (3.40)

โมเมนต์หลักของแรงเฉื่อยระบบที่เกี่ยวข้องกับศูนย์โดยพลการ เกี่ยวกับเท่ากับอนุพันธ์ของเวลาที่มีเครื่องหมายตรงข้ามกับโมเมนตัมเชิงมุมเทียบกับจุดศูนย์กลางเดียวกัน

. (3.41)

สำหรับตัวถังที่แข็งเกร็งหมุนรอบแกนคงที่ ออนซ์ลองหาโมเมนต์หลักของแรงเฉื่อยที่สัมพันธ์กับแกนนี้กัน

. (3.42)

3.8. องค์ประกอบของกลศาสตร์วิเคราะห์

ส่วน “กลศาสตร์การวิเคราะห์” จะตรวจสอบหลักการทั่วไปและวิธีการวิเคราะห์สำหรับการแก้ปัญหาในกลศาสตร์ของระบบวัสดุ

3.8.1. การเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้ของระบบ การจัดหมวดหมู่

การเชื่อมต่อบางอย่าง

การเคลื่อนไหวของจุดที่เป็นไปได้
ของระบบกลไกคือการเคลื่อนไหวในจินตภาพและเพียงเล็กน้อยที่ได้รับอนุญาตจากการเชื่อมต่อที่กำหนดบนระบบ ณ จุดคงที่ของเวลา A-ไพรเออรี่ จำนวนองศาอิสระ ระบบกลไกเรียกว่าจำนวนการเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้อย่างอิสระ

การเชื่อมต่อที่กำหนดบนระบบเรียกว่า ในอุดมคติ ถ้าผลรวมของงานเบื้องต้นของปฏิกิริยาต่อการกระจัดที่เป็นไปได้ของระบบมีค่าเท่ากับศูนย์

. (3. 43)

การเชื่อมต่อที่มีข้อจำกัดที่กำหนดจะถูกเก็บรักษาไว้ในตำแหน่งใดๆ ของระบบจะถูกเรียก โฮลดิ้ง . เรียกว่าความสัมพันธ์ที่ไม่เปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลา และสมการที่ไม่รวมถึงเวลาอย่างชัดเจนเรียกว่า เครื่องเขียน . การเชื่อมต่อที่จำกัดเฉพาะการเคลื่อนที่ของจุดในระบบเรียกว่า เรขาคณิต และขีดจำกัดความเร็วก็คือ จลนศาสตร์ . ต่อไปนี้ เราจะพิจารณาเฉพาะการเชื่อมต่อทางเรขาคณิตและทางจลน์ศาสตร์ที่สามารถลดให้เหลือทางเรขาคณิตได้โดยการอินทิเกรต

3.8.2. หลักการเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้

เพื่อความสมดุลของระบบกลไกที่มีจุดเชื่อมต่อในอุดมคติและแบบยึดอยู่กับที่ จึงมีความจำเป็นและเพียงพอ

ผลรวมของงานเบื้องต้นของแรงกระทำทั้งหมดที่กระทำต่อมัน สำหรับการกระจัดที่เป็นไปได้ของระบบ มีค่าเท่ากับศูนย์

. (3.44)

ในการฉายภาพบนแกนพิกัด:

. (3.45)

หลักการของการกระจัดที่เป็นไปได้ทำให้สามารถสร้างสภาวะสมดุลของระบบกลไกใด ๆ ในรูปแบบทั่วไปได้ โดยไม่คำนึงถึงความสมดุลของแต่ละส่วน ในกรณีนี้จะพิจารณาเฉพาะแรงกระทำที่กระทำต่อระบบเท่านั้น ปฏิกิริยาที่ไม่รู้จักของพันธะในอุดมคติจะไม่รวมอยู่ในเงื่อนไขเหล่านี้ ในเวลาเดียวกัน หลักการนี้ทำให้สามารถระบุปฏิกิริยาที่ไม่ทราบของพันธะในอุดมคติได้โดยการละทิ้งพันธะเหล่านี้และนำปฏิกิริยาของพันธะเหล่านี้ไปใส่ในจำนวนของแรงกระทำ เมื่อทิ้งพันธะที่ต้องพิจารณาปฏิกิริยา ระบบจะได้รับระดับความอิสระเพิ่มเติมตามจำนวนที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่างที่ 1 . ค้นหาความสัมพันธ์ระหว่างกองกำลัง และ แจ็คถ้ารู้อย่างนั้นทุกครั้งที่หมุนที่จับ เอบี = ล, สกรู กับขยายออกไปตามจำนวน ชม.(รูปที่ 3.3)

สารละลาย

การเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้ของกลไกคือการหมุนที่จับ  และการเคลื่อนที่ของโหลด  ชม.. เงื่อนไขสำหรับงานเบื้องต้นของกำลังให้เท่ากับศูนย์:

กรุณา–ถามชั่วโมง = 0;

แล้ว
. ตั้งแต่ ชม. 0 แล้ว

3.8.3. สมการพลศาสตร์แปรผันทั่วไป

พิจารณาการเคลื่อนที่ของระบบที่ประกอบด้วย nคะแนน กองกำลังที่ปฏิบัติการอยู่กระทำการต่อมัน และปฏิกิริยาของการเชื่อมต่อ .(เค = 1,…,n) ถ้าเราบวกแรงเฉื่อยของจุดเข้ากับแรงกระทำ
ดังนั้น ตามหลักการของดาล็องแบร์ ​​ระบบแรงที่เกิดขึ้นจะอยู่ในสภาวะสมดุล ดังนั้น นิพจน์ที่เขียนบนพื้นฐานของหลักการของการกระจัดที่เป็นไปได้ (3.44) จึงใช้ได้:

. (3.46)

หากการเชื่อมต่อทั้งหมดเหมาะสม ผลรวมที่สองจะเท่ากับศูนย์และในการฉายภาพบนความเท่าเทียมกันของแกนพิกัด (3.46) จะมีลักษณะดังนี้:

ความเท่าเทียมกันสุดท้ายคือสมการแปรผันทั่วไปของไดนามิกในการฉายภาพบนแกนพิกัดซึ่งช่วยให้เราสามารถเขียนสมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่ของระบบกลไกได้

สมการแปรผันทั่วไปของพลศาสตร์คือนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ หลักการดาล็องแบร์-ลากรองจ์: « เมื่อระบบเคลื่อนที่ ขึ้นอยู่กับจุดเชื่อมต่อแบบคงที่ อุดมคติ และควบคุม ณ เวลาใดก็ตาม ผลรวมของงานเบื้องต้นของแรงแอคทีฟทั้งหมดที่ใช้กับระบบและแรงเฉื่อยต่อการเคลื่อนที่ที่เป็นไปได้ของระบบจะเป็นศูนย์».

ตัวอย่างที่ 2 . สำหรับระบบกลไก (รูปที่ 3.4) ที่ประกอบด้วยสามส่วน ให้พิจารณาความเร่งของโหลด 1 และความตึงของสายเคเบิล 1-2 หาก: ม 1 = 5ม; ม 2 = 4ม; ม 3 = 8ม; ร 2 = 0,5ร 2 ; รัศมีการหมุนของบล็อก 2 ฉัน = 1,5ร 2. โรลเลอร์ 3 เป็นดิสก์เนื้อเดียวกันต่อเนื่องกัน

สารละลาย

ให้เราพรรณนาถึงแรงที่ทำงานเบื้องต้นกับการกระจัดที่เป็นไปได้ สโหลด 1:

ให้เราเขียนการเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้ของวัตถุทั้งหมดผ่านการเคลื่อนที่ที่เป็นไปได้ของภาระ 1:

ขอให้เราแสดงความเร่งเชิงเส้นและเชิงมุมของวัตถุทั้งหมดผ่านการเร่งความเร็วที่ต้องการของโหลด 1 (ความสัมพันธ์จะเหมือนกับในกรณีของการกระจัดที่เป็นไปได้):

.

สมการแปรผันทั่วไปสำหรับปัญหานี้มีรูปแบบ:

แทนที่นิพจน์ที่ได้รับก่อนหน้านี้สำหรับแรงแอคทีฟ แรงเฉื่อย และการกระจัดที่เป็นไปได้ หลังจากการแปลงแบบง่าย ๆ ที่เราได้รับ

ตั้งแต่  ส 0 ดังนั้น นิพจน์ในวงเล็บที่มีความเร่งจะเท่ากับศูนย์ ก 1 , ที่ไหน ก 1 = 5ก/8,25 = 0,606ก.

เพื่อกำหนดความตึงของสายเคเบิลที่รับภาระเราจะปล่อยโหลดออกจากสายเคเบิลโดยแทนที่การกระทำด้วยปฏิกิริยาที่ต้องการ . ภายใต้อิทธิพลของพลังที่ได้รับ ,และแรงเฉื่อยที่กระทำต่อโหลด
เขาอยู่ในความสมดุล ดังนั้น หลักการของดาล็องแบร์จึงใช้ได้กับภาระ (จุด) ที่เป็นปัญหา เช่น มาเขียนมันกันดีกว่า
. จากที่นี่
.

3.8.4. สมการลากรองจ์ชนิดที่ 2

พิกัดทั่วไปและความเร็วทั่วไป. เรียกว่าพารามิเตอร์ที่เป็นอิสระร่วมกันซึ่งกำหนดตำแหน่งของระบบกลไกในอวกาศโดยไม่ซ้ำกัน พิกัดทั่วไป . พิกัดเหล่านี้แสดงไว้ ถาม 1 ,....ถามฉันสามารถมีมิติใดก็ได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พิกัดทั่วไปอาจเป็นการกระจัดหรือมุมการหมุน

สำหรับระบบที่พิจารณา จำนวนพิกัดทั่วไปจะเท่ากับจำนวนดีกรีอิสระ ตำแหน่งของแต่ละจุดของระบบ เป็นฟังก์ชันค่าเดียวของพิกัดทั่วไป

ดังนั้นการเคลื่อนที่ของระบบในพิกัดทั่วไปจึงถูกกำหนดโดยการขึ้นต่อกันดังต่อไปนี้:

อนุพันธ์อันดับหนึ่งของพิกัดทั่วไปเรียกว่า ความเร็วทั่วไป :
.

กองกำลังทั่วไปสำนวนสำหรับงานเบื้องต้นของกำลัง ในการย้ายถิ่นฐานที่เป็นไปได้
มีรูปแบบ:

.

สำหรับการดำเนินการเบื้องต้นของระบบแรง เราเขียน

เมื่อใช้การขึ้นต่อกันที่ได้รับ นิพจน์นี้สามารถเขียนเป็น:

,

แรงทั่วไปที่สอดคล้องกับอยู่ที่ไหน ฉันพิกัดทั่วไป

. (3.49)

ดังนั้น, แรงทั่วไปที่สอดคล้องกัน ฉันพิกัดทั่วไปคือค่าสัมประสิทธิ์ของการแปรผันของพิกัดนี้ในการแสดงออกของผลรวมของงานเบื้องต้นของแรงแอคทีฟต่อการกระจัดที่เป็นไปได้ของระบบ . ในการคำนวณแรงทั่วไปจำเป็นต้องแจ้งระบบของการกระจัดที่เป็นไปได้ในระหว่างที่มีการเปลี่ยนแปลงเฉพาะพิกัดทั่วไปเท่านั้น ถาม ฉัน. ค่าสัมประสิทธิ์ที่
และจะเป็นกำลังทั่วไปที่ต้องการ

สมการการเคลื่อนที่ของระบบในพิกัดทั่วไป. ให้เรามีระบบกลไกด้วย สระดับความอิสระ. เมื่อทราบถึงแรงที่กระทำต่อมันจำเป็นต้องสร้างสมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่ในพิกัดทั่วไป
. ให้เราใช้ขั้นตอนในการเขียนสมการเชิงอนุพันธ์การเคลื่อนที่ของระบบ - สมการลากรองจ์ประเภทที่ 2 - โดยการเปรียบเทียบกับที่มาของสมการเหล่านี้สำหรับจุดวัสดุอิสระ เราเขียนตามกฎข้อที่ 2 ของนิวตัน

ขอให้เราได้รับความคล้ายคลึงของสมการเหล่านี้โดยใช้สัญกรณ์สำหรับพลังงานจลน์ของจุดวัสดุ

อนุพันธ์บางส่วนของพลังงานจลน์ที่เกี่ยวข้องกับการฉายภาพความเร็วบนแกน
เท่ากับการฉายภาพโมเมนตัมบนแกนนี้ กล่าวคือ

เพื่อให้ได้สมการที่จำเป็น เราจะคำนวณอนุพันธ์ตามเวลา:

ระบบสมการที่ได้คือสมการลากรองจ์ชนิดที่ 2 สำหรับจุดวัสดุ

สำหรับระบบเครื่องกลเรานำเสนอสมการลากรองจ์ประเภทที่ 2 ในรูปแบบของสมการซึ่งแทนที่จะฉายภาพของแรงกระทำ ป x , ป ย , ป zใช้กำลังทั่วไป ถาม 1 , ถาม 2 ,...,ถามฉัน และโดยทั่วไปจะคำนึงถึงการพึ่งพาพลังงานจลน์ในพิกัดทั่วไป

สมการลากรองจ์ประเภทที่ 2 สำหรับระบบเครื่องกลมีรูปแบบดังนี้

. (3.50)

สามารถใช้เพื่อศึกษาการเคลื่อนที่ของระบบกลไกใดๆ ที่มีข้อจำกัดทางเรขาคณิต อุดมคติ และข้อจำกัด

ตัวอย่างที่ 3 . สำหรับระบบเครื่องกล (รูปที่ 3.5) ข้อมูลที่ให้ไว้ในตัวอย่างก่อนหน้านี้สร้างสมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่โดยใช้สมการลากรองจ์ประเภทที่ 2

สารละลาย

ระบบกลไกมีอิสระระดับหนึ่ง ให้เราใช้การเคลื่อนที่เชิงเส้นของโหลดเป็นพิกัดทั่วไป ถาม 1 = ส; ความเร็วทั่วไป – . เมื่อคำนึงถึงสิ่งนี้แล้ว เราจึงเขียนสมการลากรองจ์แบบที่ 2

.

เรามาสร้างนิพจน์สำหรับพลังงานจลน์ของระบบกันดีกว่า

.

ขอให้เราแสดงความเร็วเชิงมุมและความเร็วเชิงเส้นทั้งหมดผ่านความเร็วทั่วไป:

ตอนนี้เราได้รับ

มาคำนวณแรงทั่วไปโดยการเขียนนิพจน์สำหรับงานเบื้องต้นเกี่ยวกับการกระจัดที่เป็นไปได้  สกองกำลังปฏิบัติการทั้งหมด โดยไม่คำนึงถึงแรงเสียดทานงานในระบบจะดำเนินการโดยแรงโน้มถ่วงของโหลด 1 เท่านั้น
ให้เราเขียนแรงทั่วไปที่  สเป็นค่าสัมประสิทธิ์ในงานประถมศึกษา ถาม 1 = 5มก. ต่อไปเราจะพบกับ

สุดท้ายสมการเชิงอนุพันธ์การเคลื่อนที่ของระบบจะมีรูปแบบดังนี้

หากเราพิจารณาระบบที่ประกอบด้วยจุดวัสดุหลายจุด โดยเน้นจุดใดจุดหนึ่งด้วยมวลที่ทราบ จากนั้นภายใต้การกระทำของแรงภายนอกและภายในที่กระทำต่อจุดนั้น ระบบจะได้รับความเร่งบางส่วนสัมพันธ์กับกรอบอ้างอิงเฉื่อย ในบรรดาแรงดังกล่าวอาจมีทั้งแรงแอคทีฟและปฏิกิริยาคัปปลิ้ง

แรงเฉื่อยของจุดคือปริมาณเวกเตอร์ซึ่งมีขนาดเท่ากับผลคูณของมวลของจุดและความเร่ง ปริมาณนี้บางครั้งเรียกว่าแรงเฉื่อยดาล็องแบร์เชียนซึ่งมีทิศทางตรงกันข้ามกับความเร่ง ในกรณีนี้ คุณสมบัติต่อไปนี้ของจุดที่เคลื่อนที่จะถูกเปิดเผย: หากในแต่ละช่วงเวลาเราเพิ่มแรงเฉื่อยให้กับแรงที่กระทำต่อจุดจริง ระบบผลลัพธ์ของแรงจะมีความสมดุล นี่คือวิธีที่เราสามารถกำหนดหลักการของดาล็องแบร์สำหรับจุดวัสดุจุดเดียวได้ ข้อความนี้สอดคล้องกับกฎข้อที่สองของนิวตันโดยสมบูรณ์

หลักการของดาล็องแบร์สำหรับระบบ

หากเราทำซ้ำการให้เหตุผลทั้งหมดสำหรับแต่ละจุดในระบบ มันจะนำไปสู่ข้อสรุปต่อไปนี้ ซึ่งแสดงถึงหลักการของดาล็องแบร์ที่ถูกกำหนดไว้สำหรับระบบ: หาก ณ เวลาใดเวลาหนึ่งเรานำไปใช้กับแต่ละจุดในระบบ นอกจากนี้ กับแรงภายนอกและแรงภายในที่กระทำจริง ระบบนี้จะอยู่ในสภาวะสมดุล ดังนั้นสมการทั้งหมดที่ใช้ในสถิติจึงสามารถนำไปใช้กับแรงนั้นได้

หากเราใช้หลักการของดาล็องแบร์ในการแก้ปัญหาพลศาสตร์ สมการการเคลื่อนที่ของระบบก็สามารถรวบรวมได้ในรูปแบบของสมการสมดุลที่เรารู้จัก หลักการนี้ช่วยลดความยุ่งยากในการคำนวณอย่างมากและทำให้แนวทางการแก้ปัญหามีความสม่ำเสมอ

การประยุกต์หลักการของดาล็องแบร์

ควรคำนึงว่ามีเพียงแรงภายนอกและภายในเท่านั้นที่กระทำต่อจุดที่เคลื่อนที่ในระบบกลไกซึ่งเกิดขึ้นจากการมีปฏิสัมพันธ์ของจุดซึ่งกันและกันรวมถึงกับวัตถุที่ไม่รวมอยู่ในระบบนี้ จุดเคลื่อนที่ด้วยความเร่งบางอย่างภายใต้อิทธิพลของแรงทั้งหมดเหล่านี้ แรงเฉื่อยไม่กระทำต่อจุดที่เคลื่อนที่ มิฉะนั้น แรงเฉื่อยจะเคลื่อนที่โดยไม่เร่งความเร็วหรืออยู่นิ่ง

แรงเฉื่อยถูกนำมาใช้เพื่อประกอบสมการไดนามิกโดยใช้วิธีสถิติที่ง่ายและสะดวกยิ่งขึ้นเท่านั้น นอกจากนี้ยังคำนึงถึงด้วยว่าผลรวมทางเรขาคณิตของแรงภายในและผลรวมของช่วงเวลามีค่าเท่ากับศูนย์ การใช้สมการที่ตามมาจากหลักการของดาล็องแบร์ทำให้กระบวนการแก้ปัญหาง่ายขึ้น เนื่องจากสมการเหล่านี้ไม่มีแรงภายในอีกต่อไป