เท่ากับค่าคงที่ e คณิตศาสตร์ที่ฉันชอบ

ทุกคนรู้ ความหมายทางเรขาคณิตตัวเลข π คือเส้นรอบวงของวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางหนึ่งหน่วย:

และนี่คือความหมายของค่าคงที่ที่สำคัญอีกค่าหนึ่ง อีมีแนวโน้มที่จะถูกลืมอย่างรวดเร็ว นั่นคือฉันไม่รู้เกี่ยวกับคุณ แต่ทุกครั้งที่ฉันพยายามจำว่าทำไมตัวเลขนี้ถึงมีค่าเท่ากับ 2.7182818284590 จึงมีค่ามาก ... (อย่างไรก็ตามฉันจดค่าจากหน่วยความจำ) ดังนั้นฉันจึงตัดสินใจเขียนบันทึกเพื่อไม่ให้หน่วยความจำเกิน

ตัวเลข อีตามความหมาย - ขีด จำกัด ของฟังก์ชัน ย = (1 + 1 / x) xที่ x → ∞:

x	ย
1	(1 + 1 / 1) 1	= 2
2	(1 + 1 / 2) 2	= 2,25
3	(1 + 1 / 3) 3	= 2,3703703702...
10	(1 + 1 / 10) 10	= 2,5937424601...
100	(1 + 1 / 100) 100	= 2,7048138294...
1000	(1 + 1 / 1000) 1000	= 2,7169239322...
∞	ลิม × → ∞	= 2,7182818284590...

น่าเสียดายที่คำจำกัดความนี้ไม่ชัดเจน ไม่ชัดเจนว่าทำไมขีด จำกัด นี้จึงน่าทึ่ง (แม้ว่าจะเรียกว่า "น่าทึ่งที่สอง") แค่คิด พวกเขาใช้ฟังก์ชันเงอะงะคำนวณขีดจำกัด ฟังก์ชั่นอื่นจะมีอีก

แต่เบอร์ อีด้วยเหตุผลบางอย่างปรากฏขึ้นในกลุ่มส่วนใหญ่ สถานการณ์ที่แตกต่างกันในวิชาคณิตศาสตร์

สำหรับฉัน จุดหลักตัวเลข อีถูกเปิดเผยในพฤติกรรมของฟังก์ชันอื่นที่น่าสนใจกว่ามาก ย = เค x. คุณลักษณะนี้มี คุณสมบัติเฉพาะที่ เค = อีซึ่งสามารถแสดงเป็นกราฟิกได้ดังนี้

ที่จุด 0 ฟังก์ชันจะรับค่า อี 0 = 1. ถ้าเราวาดเส้นสัมผัสที่จุด x= 0 แล้วมันจะผ่านไปยังแกน x ที่มุมที่มีเส้นสัมผัส 1 (นิ้ว สามเหลี่ยมสีเหลืองอัตราส่วนของขาตรงข้าม 1 ต่อ 1 ที่อยู่ติดกันคือ 1) ที่จุดที่ 1 ฟังก์ชันจะรับค่า อี 1 = อี. หากเราวาดเส้นสัมผัสที่จุดหนึ่ง x= 1 แล้วมันจะผ่านไปทำมุมกับเส้นสัมผัส อี(V สามเหลี่ยมสีเขียวอัตราส่วนขาตรงข้าม อีติดกับ 1 เท่ากับ อี). ที่จุดที่ 2 ค่า อีฟังก์ชัน 2 เกิดขึ้นอีกครั้งพร้อมกับสัมผัสของความชันของเส้นสัมผัสกับมัน ด้วยเหตุนี้ ในเวลาเดียวกัน เส้นสัมผัสเองก็ตัดแกน x ที่จุด −1, 0, 1, 2 เป็นต้น

ในบรรดาคุณสมบัติทั้งหมด ย = เค x(เช่น 2 x , 10 x , π xเป็นต้น) ฟังก์ชั่น อี x- สิ่งเดียวที่มีความสวยงามนั้นสัมผัสของความชันที่แต่ละจุดนั้นสอดคล้องกับค่าของฟังก์ชันเอง ดังนั้น ตามนิยามแล้ว ค่าของฟังก์ชันนี้ในแต่ละจุดจะตรงกับค่าของอนุพันธ์ ณ จุดนี้: ( อี x)´ = อี x. ด้วยเหตุผลบางอย่างหมายเลข อี=2.7182818284590...ต้องยกให้ องศาที่แตกต่างกันเพื่อให้ได้ภาพนี้

ในความคิดของฉันนั่นคือความหมายของมัน

ตัวเลข π และ อีรวมอยู่ในสูตรที่ฉันโปรดปราน - สูตรของออยเลอร์ซึ่งเชื่อมต่อค่าคงที่ที่สำคัญที่สุด 5 ค่า - ศูนย์, หนึ่ง, ค่าจินตภาพ ฉันและตัวเลขจริงๆ π และ อี:

อีป + 1 = 0

ทำไมเลข 2.7182818284590...เข้า ระดับที่ซับซ้อน 3,1415926535...ฉันก็เท่ากับลบหนึ่ง? คำตอบสำหรับคำถามนี้อยู่นอกเหนือขอบเขตของบันทึกย่อ และอาจเป็นเนื้อหาของหนังสือเล่มเล็กๆ ที่ต้องใช้ความเข้าใจเบื้องต้นเกี่ยวกับตรีโกณมิติ ลิมิต และอนุกรม

ฉันประหลาดใจกับความงามของสูตรนี้เสมอ บางทีในวิชาคณิตศาสตร์อาจมีมากกว่านั้น ข้อเท็จจริงที่น่าทึ่งแต่สำหรับระดับของฉัน (สามใน Physics and Mathematics Lyceum และห้าสำหรับ การวิเคราะห์ที่ซับซ้อนที่มหาวิทยาลัย) เป็นปาฏิหาริย์ที่สำคัญที่สุด

จำนวน อี
จำนวนโดยประมาณเท่ากับ 2.718 ซึ่งมักพบในวิชาคณิตศาสตร์และ วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ. ตัวอย่างเช่นเมื่อทำลาย สารกัมมันตภาพรังสีหลังจากเวลา t เศษส่วนที่เท่ากับ e-kt จะยังคงอยู่จากปริมาณเริ่มต้นของสาร โดยที่ k คือตัวเลขที่แสดงลักษณะอัตราการสลายตัว สารที่ได้รับ. ค่าส่วนกลับของ 1/k เรียกว่าอายุเฉลี่ยของอะตอมของสสารหนึ่งๆ เนื่องจากโดยเฉลี่ยแล้วอะตอมจะมีอยู่ในช่วงเวลา 1/k ก่อนที่จะสลายตัว ค่า 0.693/k เรียกว่าครึ่งชีวิตของสารกัมมันตภาพรังสี นั่นคือ เวลาที่ใช้ในการสลายตัวครึ่งหนึ่งของปริมาณดั้งเดิม จำนวน 0.693 มีค่าประมาณเท่ากับล็อก 2 เช่น ลอการิทึมของ 2 เป็นฐาน e ในทำนองเดียวกัน ถ้าแบคทีเรียในอาหารเลี้ยงเชื้อเพิ่มจำนวนในอัตราที่เป็นสัดส่วนกับจำนวนใน ตอนนี้, หลังจากนั้น t ปริมาณเริ่มต้นแบคทีเรีย N กลายเป็น Nekt การลดทอน กระแสไฟฟ้าในวงจรง่ายๆด้วย การเชื่อมต่อแบบอนุกรม, ความต้านทาน R และความเหนี่ยวนำ L เกิดขึ้นตามกฎ I = I0e-kt โดยที่ k = R/L, I0 คือความแรงของกระแส ณ เวลา t = 0 สูตรที่คล้ายกันอธิบายถึงการผ่อนคลายความเครียดในของไหลหนืดและการลดทอน สนามแม่เหล็ก. ตัวเลข 1/k มักจะเรียกว่าเวลาพักผ่อน ในสถิติ ค่าของ e-kt เกิดจากความน่าจะเป็นที่ในช่วงเวลา t ไม่มีเหตุการณ์ใดๆ เกิดขึ้นแบบสุ่มโดยมีความถี่เฉลี่ยเป็น k เหตุการณ์ต่อหน่วยเวลา ถ้า S คือจำนวนเงินที่ลงทุนที่ r เปอร์เซ็นต์โดยมีค่าคงค้างต่อเนื่องแทนที่จะเป็นคงค้างในช่วงเวลาที่ไม่ต่อเนื่อง ดังนั้น ตามเวลา t จำนวนเงินเริ่มต้นจะเพิ่มขึ้นเป็น Setr/100 เหตุผลในการ "อยู่ทั่วไปทุกหนทุกแห่ง" ของจำนวน e คือสูตร การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ซึ่งประกอบด้วยฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลหรือลอการิทึม จะเขียนได้ง่ายกว่าถ้านำลอการิทึมไปที่ฐาน e แทนที่จะเป็น 10 หรือฐานอื่นๆ ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์ของ log10 x คือ (1/x)log10 e ในขณะที่อนุพันธ์ของ log10 x คือ 1/x ในทำนองเดียวกัน อนุพันธ์ของ 2x คือ 2xloge 2 ในขณะที่อนุพันธ์ของ ex เป็นเพียง ex ซึ่งหมายความว่าสามารถกำหนดจำนวน e เป็นฐาน b ซึ่งกราฟของฟังก์ชัน y = logb x มีเส้นสัมผัสที่จุด x = 1 ด้วย ปัจจัยความชันเท่ากับ 1 หรือเส้นโค้ง y = bx มีเส้นสัมผัสที่ x = 0 โดยมีความชันเท่ากับ 1 ลอการิทึมในฐาน e เรียกว่า "ธรรมชาติ" และเขียนแทนด้วย ln x บางครั้งพวกเขาเรียกอีกอย่างว่า "ไม่ใช่ Perean" ซึ่งไม่ถูกต้องเนื่องจากในความเป็นจริง J. Napier (1550-1617) ได้คิดค้นลอการิทึมที่มีฐานต่างกัน: ลอการิทึมที่ไม่ใช่ Perian ของจำนวน x คือ 107 log1 / e (x / 107) (ดูลอการิทึมด้วย) การรวมกันของพลังของ e เป็นเรื่องธรรมดาในวิชาคณิตศาสตร์จนมีชื่อพิเศษ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก

กราฟของฟังก์ชัน y = ch x เรียกว่า catenary; ด้ายหรือโซ่ยืดออกไม่ได้หนักที่ปลายมีรูปร่างเช่นนี้ สูตรออยเลอร์

โดยที่ i2 = -1 ให้เชื่อมโยงจำนวน e กับตรีโกณมิติ กรณีพิเศษ x = p นำไปสู่ความสัมพันธ์ที่มีชื่อเสียง eip + 1 = 0 ซึ่งเชื่อมโยง 5 ตัวเลขที่มีชื่อเสียงที่สุดในคณิตศาสตร์ เมื่อคำนวณค่า e สามารถใช้สูตรอื่นได้ (สูตรแรกมักใช้บ่อยที่สุด):

ค่าของ e ที่มีทศนิยม 15 ตำแหน่งคือ 2.718281828459045 ในปี 1953 ค่าของ e ถูกคำนวณด้วยทศนิยม 3333 ตำแหน่ง สัญลักษณ์ e สำหรับหมายเลขนี้ถูกนำมาใช้ในปี 1731 โดย L. Euler (1707-1783) การขยายทศนิยมของจำนวน e ไม่เป็นคาบ (e เป็นจำนวนอตรรกยะ) นอกจากนี้ e เช่น p เป็นจำนวนเหนือธรรมชาติ (ไม่ใช่รากของจำนวนใด ๆ สมการพีชคณิตด้วยสัมประสิทธิ์ตรรกยะ). สิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์ในปี พ.ศ. 2416 โดย Sh. Hermit แสดงให้เห็นเป็นครั้งแรกว่าตัวเลขที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติในวิชาคณิตศาสตร์นั้นเป็นตัวเลขเหนือธรรมชาติ
ดูสิ่งนี้ด้วย
การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ;
เศษส่วนต่อเนื่อง ;
ทฤษฎีตัวเลข;
จำนวน p;
แถว

สารานุกรมถ่านหิน. - สังคมเปิด. 2000 .

ดูว่า "NUMBER e" คืออะไรในพจนานุกรมอื่นๆ:

ตัวเลข- แหล่งรับสัญญาณ: GOST 111 90: แผ่นกระจก ข้อมูลจำเพาะ เอกสารต้นฉบับ ดูเพิ่มเติมคำที่เกี่ยวข้อง: 109. จำนวนการสั่นของ betatron ... หนังสืออ้างอิงพจนานุกรมของเงื่อนไขของเอกสารเชิงบรรทัดฐานและทางเทคนิค

เช่น., s., ใช้. บ่อยมาก สัณฐานวิทยา: (ไม่) อะไรนะ? ตัวเลขเพื่ออะไร หมายเลข (ดู) อะไร จำนวนกว่า? เลขเกี่ยวกับอะไร เกี่ยวกับจำนวน; กรุณา อะไร ตัวเลข (ไม่) อะไรนะ? ตัวเลขเพื่ออะไร ตัวเลข (ดู) อะไร ตัวเลขกว่า? ตัวเลขเกี่ยวกับอะไร เกี่ยวกับเลขคณิต 1. เลข ... ... พจนานุกรมดมิทรีวา

NUMBER, ตัวเลข, pl. ตัวเลข ตัวเลข ตัวเลข cf. 1. แนวคิด ทำหน้าที่เป็นนิพจน์ปริมาณที่ใช้ในการนับวัตถุและปรากฏการณ์ (มธ.) จำนวนเต็ม. จำนวนเศษส่วน. หมายเลขชื่อ จำนวนเฉพาะ. (ดูแบบ1อิน1ค่า)… … พจนานุกรมอธิบายของ Ushakov

การกำหนดนามธรรม ปราศจากเนื้อหาพิเศษ ของสมาชิกใดๆ ของอนุกรมหนึ่งๆ ซึ่งสมาชิกนี้นำหน้าหรือตามด้วยสมาชิกที่ชัดเจนอื่นๆ ลักษณะที่เป็นนามธรรมที่ทำให้ชุดหนึ่งแตกต่างจาก ... ... สารานุกรมปรัชญา

ตัวเลข- ตัวเลข หมวดหมู่ไวยากรณ์แสดง ลักษณะเชิงปริมาณวัตถุแห่งความคิด หมายเลขทางไวยากรณ์หนึ่งในอาการทั่วไปมากขึ้น หมวดหมู่ภาษาปริมาณ (ดูหมวดภาษา) พร้อมกับ การแสดงศัพท์("คำศัพท์ ... ... พจนานุกรมสารานุกรมภาษาศาสตร์

ก; กรุณา ตัวเลข หมู่บ้าน สแลม; เปรียบเทียบ 1. หน่วยบัญชีที่แสดงปริมาณอย่างใดอย่างหนึ่ง เศษส่วน จำนวนเต็ม ชั่วโมงอย่างง่าย ชั่วโมงคู่ คี่ นับเป็นตัวเลขกลมๆ (โดยประมาณ นับเป็นหน่วยทั้งหมดหรือนับสิบ) ชั่วโมงธรรมชาติ (จำนวนเต็มบวก ... พจนานุกรมสารานุกรม

พุธ ปริมาณ, นับ, คำถาม: เท่าไหร่? และเครื่องหมายที่แสดงปริมาณคือตัวเลข ไม่มีเลข; ไม่นับ ไม่นับ มากมาย มากมาย วางเครื่องใช้ตามจำนวนแขก ตัวเลขโรมัน อารบิก หรือโบสถ์ จำนวนเต็มตรงกันข้าม เศษส่วน ... ... พจนานุกรมอธิบายของ Dahl

NUMBER, a, pl. เลขเด็ด หมู่บ้านสแลม cf. 1. แนวคิดพื้นฐานของคณิตศาสตร์คือค่าด้วยความช่วยเหลือซึ่งคำนวณฝูง ชั่วโมงจำนวนเต็ม ชั่วโมงเศษส่วน ชั่วโมงจริง ชั่วโมงเชิงซ้อน ชั่วโมงธรรมชาติ (จำนวนเต็ม จำนวนบวก). ง่าย h. ( จำนวนธรรมชาติ, ไม่… … พจนานุกรมอธิบายของ Ozhegov

NUMBER "E" (EXP) ซึ่งเป็นจำนวนอตรรกยะที่ทำหน้าที่เป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ มันถูกต้อง เลขฐานสิบ, เศษส่วนอนันต์เท่ากับ 2.7182818284590...., คือลิมิตของนิพจน์ (1/) เมื่อ n มีแนวโน้มเป็นอนันต์ ในความเป็นจริง,… … พจนานุกรมสารานุกรมทางวิทยาศาสตร์และทางเทคนิค

ปริมาณ, เงินสด, องค์ประกอบ, กำลัง, ภาระผูกพัน, จำนวนเงิน, รูปร่าง; วัน..พ. . ดู วัน ปริมาณ. ไม่ เบอร์ใหญ่, ไม่มีจำนวน, เพิ่มจำนวนขึ้น ... พจนานุกรมคำพ้องความหมายและสำนวนภาษารัสเซียที่มีความหมายคล้ายกัน ภายใต้. เอ็ด N. Abramova, M.: รัสเซีย ... ... พจนานุกรมคำพ้อง

หนังสือ

• หมายเลขชื่อ. ความลับของตัวเลข ออกจากร่างกายสำหรับคนเกียจคร้าน ตำราว่าด้วยการรับรู้นอกสัมผัส (จำนวนเล่ม : 3)
• หมายเลขชื่อ. มุมมองใหม่ของตัวเลข Numerology - หนทางแห่งความรู้ (จำนวนเล่ม: 3), Lawrence Shirley หมายเลขชื่อ. ความลับของตัวเลข หนังสือของ Shirley B. Lawrence เป็นการศึกษาที่ครอบคลุมเกี่ยวกับระบบลึกลับโบราณ - ตัวเลข หากต้องการเรียนรู้วิธีใช้การสั่นตัวเลขเพื่อ...

การอธิบาย e ว่า “ค่าคงที่โดยประมาณเท่ากับ 2.71828…” เหมือนกับการเรียกเลข pi “ จำนวนอตรรกยะโดยประมาณเท่ากับ 3.1415 ... ". ไม่ต้องสงสัยเลย แต่สาระสำคัญยังคงหลบเลี่ยงเรา

จำนวนพายคืออัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมต่อเส้นผ่านศูนย์กลาง ซึ่งเท่ากันสำหรับวงกลมทั้งหมด. นี่เป็นสัดส่วนพื้นฐานทั่วไปสำหรับวงกลมทั้งหมด ดังนั้นจึงเกี่ยวข้องกับการคำนวณเส้นรอบวง พื้นที่ ปริมาตร และพื้นที่ผิวของวงกลม ทรงกลม ทรงกระบอก ฯลฯ Pi แสดงให้เห็นว่าวงกลมทั้งหมดเชื่อมต่อกันไม่ต้องพูดถึง ฟังก์ชันตรีโกณมิติมาจากวงกลม (ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์)

จำนวน e คืออัตราส่วนการเติบโตพื้นฐานสำหรับกระบวนการเติบโตอย่างต่อเนื่องทั้งหมดจำนวน e ช่วยให้คุณใช้อัตราการเติบโตอย่างง่าย (โดยจะเห็นความแตกต่างได้เฉพาะช่วงสิ้นปี) และคำนวณส่วนประกอบของตัวบ่งชี้นี้ การเติบโตตามปกติ ซึ่งทุก ๆ นาโนวินาที (หรือเร็วกว่านั้น) ทุกสิ่งจะเพิ่มขึ้นเล็กน้อย มากกว่า.

จำนวน e มีส่วนร่วมในทั้งระบบการเติบโตแบบทวีคูณและแบบคงที่: ประชากร การสลายตัวของสารกัมมันตรังสีการคำนวณดอกเบี้ยและอื่น ๆ อีกมากมาย แม้แต่ระบบขั้นบันไดที่ไม่เติบโตอย่างสม่ำเสมอก็สามารถประมาณด้วยจำนวน e

เช่นเดียวกับตัวเลขใดๆ ก็ตามที่สามารถคิดได้ว่าเป็นเวอร์ชัน "ปรับขนาด" ของ 1 (หน่วยฐาน) วงกลมใดๆ ก็สามารถคิดได้ว่าเป็นเวอร์ชัน "ปรับขนาด" ของ วงกลมหน่วย(มีรัศมี ๑). และปัจจัยการเจริญเติบโตใด ๆ ที่สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นรุ่น "ปรับขนาด" ของ e (ปัจจัยการเจริญเติบโต "เดี่ยว")

ดังนั้นเลข e จึงไม่ใช่เลขสุ่มที่ได้มาโดยสุ่ม ตัวเลข e แสดงถึงแนวคิดที่ว่าระบบที่มีการเติบโตอย่างต่อเนื่องทั้งหมดเป็นเวอร์ชันที่ปรับขนาดตามเมตริกเดียวกัน

แนวคิดของการเติบโตแบบทวีคูณ

เรามาเริ่มดูระบบพื้นฐานกันเลยครับว่า เพิ่มเป็นสองเท่าด้านหลัง บางช่วงเวลา. ตัวอย่างเช่น:

• แบคทีเรียแบ่งตัวและเพิ่มจำนวนเป็นสองเท่าทุกๆ 24 ชั่วโมง
• เราจะได้บะหมี่มากเป็นสองเท่าถ้าเราผ่าครึ่ง
• เงินของคุณจะเพิ่มเป็นสองเท่าทุกปีหากคุณได้รับผลกำไร 100% (โชคดี!)

และดูเหมือนว่า:

การหารด้วยสองหรือสองเท่าเป็นความก้าวหน้าที่ง่ายมาก แน่นอน เราสามารถเพิ่มเป็นสามเท่าหรือสี่เท่าได้ แต่การเพิ่มเป็นสองเท่าจะสะดวกกว่าสำหรับการอธิบาย

ในทางคณิตศาสตร์ ถ้าเรามีตัวหาร x เราจะได้ผลลัพธ์ที่ดีกว่าตอนเริ่มต้น 2^x เท่า ถ้าสร้างเพียง 1 พาร์ติชัน เราจะได้ 2^1 เท่า ถ้ามี 4 ส่วน เราจะได้ 2^4=16 ส่วน สูตรทั่วไปดูเหมือนว่า:

ความสูง= 2 x

กล่าวอีกนัยหนึ่ง สองเท่าคือเพิ่มขึ้น 100% เราสามารถเขียนสูตรใหม่ได้ดังนี้:

ความสูง= (1+100%) x

นี่คือความเท่าเทียมกัน เราเพิ่งแบ่ง "2" ออกเป็นส่วนต่างๆ ซึ่งโดยหลักแล้วตัวเลขนี้คือ: ค่าเริ่มต้น(1) บวก 100% ฉลาดใช่ไหม?

แน่นอน เราสามารถแทนที่ตัวเลขอื่น (50%, 25%, 200%) แทน 100% และรับสูตรการเติบโตสำหรับอัตราส่วนใหม่นี้ สูตรทั่วไปสำหรับช่วงเวลา x ของอนุกรมเวลาจะมีลักษณะดังนี้:

ความสูง = (1+การเจริญเติบโต) x

นี่หมายความว่าเราใช้อัตราผลตอบแทน (1 + การเติบโต) "x" เท่าติดต่อกัน

ลองมาดูกันดีกว่า

สูตรของเราอนุมานว่าการเจริญเติบโตเกิดขึ้นเป็นขั้นๆ แบคทีเรียของเรารอ รอ แล้ว ปัง! และใน นาทีสุดท้ายพวกเขาเพิ่มจำนวนขึ้นเป็นสองเท่า กำไรจากดอกเบี้ยเงินฝากของเราจะปรากฏขึ้นอย่างน่าอัศจรรย์หลังจากผ่านไป 1 ปี ตามสูตรที่เขียนไว้ข้างต้น กำไรจะเติบโตเป็นขั้นๆ จุดสีเขียวปรากฏขึ้นทันที

แต่โลกไม่ได้เป็นเช่นนั้นเสมอไป หากเราขยาย เราจะเห็นว่าเพื่อนแบคทีเรียของเราแบ่งตัวตลอดเวลา:

เด็กสีเขียวไม่ได้เกิดจากความว่างเปล่า มันค่อยๆ เติบโตจากผู้ปกครองสีน้ำเงิน หลังจากผ่านไป 1 ช่วงเวลา (ในกรณีของเรา 24 ชั่วโมง) เพื่อนสีเขียวก็สุกเต็มที่แล้ว เมื่อโตเต็มที่แล้ว เขาจะกลายเป็นสมาชิกสีน้ำเงินที่สมบูรณ์ของฝูงและสามารถสร้างเซลล์สีเขียวใหม่ได้เอง

ข้อมูลนี้จะเปลี่ยนสมการของเราหรือไม่?

ไม่. ในกรณีของแบคทีเรีย เซลล์สีเขียวที่มีครึ่งเดียวยังคงไม่สามารถทำอะไรได้จนกว่าพวกมันจะโตขึ้นและแยกจากพ่อแม่สีน้ำเงินอย่างสมบูรณ์ สมการจึงถูกต้อง

ตัวเลข อี. ตัวเลขประมาณ 2.718 ซึ่งมักพบในวิชาคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ ตัวอย่างเช่น ระหว่างการสลายตัวของสารกัมมันตภาพรังสีเมื่อเวลาผ่านไประยะหนึ่ง ทีจากปริมาณเริ่มต้นของสารยังคงเป็นเศษส่วนเท่ากับ จ-kt, ที่ไหน เค- ตัวเลขที่แสดงอัตราการสลายตัวของสารที่กำหนด ซึ่งกันและกัน 1/ เคเรียกว่า อายุเฉลี่ยของอะตอมของสารหนึ่งๆ เนื่องจาก โดยเฉลี่ยแล้ว อะตอมก่อนสลายตัวจะมีอยู่ช่วงหนึ่ง 1/ เค. มูลค่า 0.693/ เคเรียกว่า ครึ่งชีวิตของสารกัมมันตภาพรังสี กล่าวคือ เวลาที่ใช้ในการสลายตัวครึ่งหนึ่งของปริมาณดั้งเดิม จำนวน 0.693 มีค่าเท่ากับล็อกโดยประมาณ อี 2 เช่น ลอการิทึมฐานของ 2 อี. ในทำนองเดียวกัน ถ้าแบคทีเรียในอาหารเลี้ยงเชื้อเพิ่มจำนวนในอัตราที่เป็นสัดส่วนกับจำนวนของแบคทีเรียในขณะนั้น หลังจากนั้นเมื่อเวลาผ่านไป ทีจำนวนเริ่มต้นของแบคทีเรีย เอ็นกลายเป็น เนอะ จขกท. การลดทอนของกระแสไฟฟ้า ฉันในวงจรอย่างง่ายด้วยการต่อแบบอนุกรม ความต้านทาน รและความเหนี่ยวนำ แอลเกิดขึ้นตามกฎหมาย ฉัน = ฉัน 0 จ-kt, ที่ไหน k = R/ลิตร, ฉัน 0 - ความแรงในปัจจุบัน ณ เวลานั้น ที= 0 สูตรที่คล้ายกันอธิบายถึงการผ่อนคลายความเครียดในของไหลหนืดและการลดสนามแม่เหล็ก หมายเลข 1/ เคมักเรียกว่าเป็นเวลาพักผ่อน ในทางสถิติ ค่า จ-ktเกิดขึ้นตามความน่าจะเป็นเมื่อเวลาผ่านไป ทีไม่มีเหตุการณ์ใดเกิดขึ้นแบบสุ่มด้วยความถี่เฉลี่ย เคเหตุการณ์ต่อหน่วยเวลา ถ้า ส- จำนวนเงินที่ลงทุน รดอกเบี้ยที่มีการคงค้างอย่างต่อเนื่องแทนการคงค้างในช่วงเวลาที่ไม่ต่อเนื่อง จากนั้นตามเวลา ทีจำนวนเงินเริ่มต้นจะเพิ่มขึ้นเป็น ตั้งค่า/100.

เหตุผลในการ "อยู่ทั่วไปทุกหนทุกแห่ง" ของจำนวน อีคือสูตรการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ที่มีฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลหรือลอการิทึมจะเขียนได้ง่ายขึ้นหากนำลอการิทึมมาเป็นฐาน อีไม่ใช่ 10 หรือฐานอื่น ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์ของล็อก 10 xเท่ากับ (1/ x) บันทึก 10 อีในขณะที่อนุพันธ์ของล็อก อดีตเป็นเพียง 1/ x. ในทำนองเดียวกัน อนุพันธ์ของ 2 xเท่ากับ 2 xบันทึก อี 2 ในขณะที่อนุพันธ์ของ อดีตเท่ากับ อดีต. แปลว่า ตัวเลข อีสามารถกำหนดเป็นพื้นฐานได้ ขซึ่งกราฟของฟังก์ชัน y=บันทึก ข xได้ตรงจุด x= 1 เส้นสัมผัสที่มีความชันเท่ากับ 1 หรือที่เส้นโค้ง y = ข xมีใน x= 0 แทนเจนต์ที่มีความชันเท่ากับ 1 ลอการิทึมฐาน อีเรียกว่า "ธรรมชาติ" และแสดงโดย ln x. บางครั้งเรียกอีกอย่างว่า "ไม่ใช่เปอร์เรียน" ซึ่งไม่ถูกต้อง เนื่องจากในความเป็นจริง เจ. เนเปียร์ (ค.ศ. 1550–1617) ได้คิดค้นลอการิทึมที่มีฐานต่างกัน: ลอการิทึมที่ไม่ใช่เปอร์เรียนของตัวเลข xเท่ากับ 10 7 ล็อก 1/ อี (x/10 7) .

การผสมผสานระดับต่างๆ อีเป็นเรื่องธรรมดาในวิชาคณิตศาสตร์จนมีชื่อพิเศษ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก

กราฟฟังก์ชัน ย= ช xเรียกว่าโซ่; ด้ายหรือโซ่ยืดออกไม่ได้หนักที่ปลายมีรูปร่างเช่นนี้ สูตรออยเลอร์

ที่ไหน ฉัน 2 = -1, หมายเลขผูก อีด้วยตรีโกณมิติ กรณีพิเศษ x = หน้านำไปสู่ความสัมพันธ์ที่โด่งดัง ไอพี+ 1 = 0 เชื่อมโยง 5 ตัวเลขที่มีชื่อเสียงที่สุดในคณิตศาสตร์

| หมายเลขออยเลอร์ (E)

อี - ฐานของลอการิทึมธรรมชาติ ค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ จำนวนอตรรกยะ และจำนวนอตรรกยะ ประมาณเท่ากับ 2.71828 บางครั้งก็เรียกเบอร์นั้น หมายเลขออยเลอร์หรือ หมายเลขเนเปียร์. ระบุด้วยตัวพิมพ์เล็ก อักษรละติน « อี».

เรื่องราว

ตัวเลข อี ปรากฏตัวครั้งแรกในวิชาคณิตศาสตร์ว่าเป็นสิ่งที่ไม่มีนัยสำคัญ เรื่องนี้เกิดขึ้นในปี 1618 ในภาคผนวกของงานของ John Napier เกี่ยวกับลอการิทึม ตารางของลอการิทึมธรรมชาติได้รับ ตัวเลขต่างๆ. อย่างไรก็ตาม ไม่มีใครเข้าใจว่าสิ่งเหล่านี้เป็นลอการิทึมฐาน อี เนื่องจากสิ่งนั้นเป็นฐานไม่รวมอยู่ในแนวคิดของลอการิทึมในเวลานั้น นี่คือสิ่งที่เราเรียกว่าลอการิทึมซึ่งเป็นกำลังที่ต้องยกฐานเพื่อให้ได้จำนวนที่ต้องการ เราจะกลับมาที่นี่ในภายหลัง ตารางในภาคผนวกน่าจะสร้างโดย Ougthred แม้ว่าผู้เขียนจะไม่ได้รับเครดิตก็ตาม ไม่กี่ปีต่อมา ในปี 1624 วรรณกรรมทางคณิตศาสตร์ปรากฏขึ้นอีกครั้ง อี แต่ถูกปิดบังอีกครั้ง ในปีนี้ บริกส์ได้ประมาณลอการิทึมฐาน 10 เป็นตัวเลข อี แต่เบอร์ตัวเอง อี ไม่ได้กล่าวถึงในงานของเขา

ลำดับถัดไปของตัวเลข อี สงสัยอีกแล้ว ในปี ค.ศ. 1647 Saint-Vincent ได้คำนวณพื้นที่ของเซกเตอร์ไฮเพอร์โบลิก ไม่ว่าเขาจะเข้าใจการเชื่อมต่อกับลอการิทึมหรือไม่ใคร ๆ ก็สามารถเดาได้ แต่แม้ว่าเขาจะเข้าใจ แต่ก็ไม่น่าเป็นไปได้ที่เขาจะมาถึงตัวเลขได้ อี . จนกระทั่งในปี ค.ศ. 1661 Huygens เข้าใจความเชื่อมโยงระหว่างไฮเปอร์โบลาหน้าจั่วและลอการิทึม เขาพิสูจน์ว่าพื้นที่ใต้กราฟของไฮเพอร์โบลาหน้าจั่ว xy = 1 ไฮเปอร์โบลาหน้าจั่วในช่วงเวลาตั้งแต่ 1 ถึง อี คือ 1. คุณสมบัตินี้ทำให้ อี ฐานของลอการิทึมธรรมชาติ แต่นักคณิตศาสตร์ในสมัยนั้นไม่เข้าใจสิ่งนี้ แต่พวกเขาก็เข้าใกล้ความเข้าใจนี้อย่างช้าๆ

Huygens ก้าวไปอีกขั้นในปี 1661 เขานิยามเส้นโค้งที่เขาเรียกว่าลอการิทึม (ในศัพท์ของเรา เราจะเรียกว่า exponential) นี่คือเส้นโค้งของแบบฟอร์ม y = กะ x . และอีกครั้งมีลอการิทึมทศนิยม อี ซึ่ง Huygens พบว่าไม่เกิน 17 หลักทศนิยม อย่างไรก็ตาม มันเกิดขึ้นใน Huygens เป็นค่าคงที่ชนิดหนึ่ง และไม่เกี่ยวข้องกับลอการิทึมของตัวเลข (ดังนั้น อีกครั้งที่พวกเขาเข้าใกล้ อี แต่เบอร์ตัวเอง อี ยังไม่ทราบ)

ในการทำงานต่อไปเกี่ยวกับลอการิทึม ตัวเลขอีกครั้ง อี ไม่ปรากฏอย่างชัดเจน อย่างไรก็ตาม การศึกษาลอการิทึมยังคงดำเนินต่อไป ในปี ค.ศ. 1668 Nicolaus Mercator ได้ตีพิมพ์ผลงาน ลอการิทึมโมเทคเนียซึ่งมีส่วนขยายซีรีส์ บันทึก (1 + x) . ในงานนี้ Mercator ใช้ชื่อแรกว่า " ลอการิทึมธรรมชาติ” สำหรับลอการิทึมฐาน อี . ตัวเลข อี เห็นได้ชัดว่าไม่ปรากฏขึ้นอีก แต่ยังคงเข้าใจยากในที่ห่างไกล

น่าแปลกที่จำนวน อี เกิดขึ้นอย่างชัดเจนเป็นครั้งแรกที่ไม่ได้เกี่ยวข้องกับลอการิทึม แต่เกี่ยวข้องกับผลิตภัณฑ์ที่ไม่มีที่สิ้นสุด ในปี ค.ศ. 1683 Jacob Bernoulli พยายามค้นหา

เขาใช้ทฤษฎีบททวินามเพื่อพิสูจน์ว่าลิมิตนี้อยู่ระหว่าง 2 และ 3 และเราอาจคิดว่าเป็นการประมาณค่าแรกของจำนวน อี . แม้ว่าเราจะใช้สิ่งนี้เป็นคำจำกัดความ อี นี่เป็นครั้งแรกที่มีการกำหนดตัวเลขเป็นขีดจำกัด แน่นอนว่า Bernoulli ไม่เข้าใจความเชื่อมโยงระหว่างงานของเขากับงานเกี่ยวกับลอการิทึม

ก่อนหน้านี้มีการกล่าวไว้ว่าลอการิทึมในตอนต้นของการศึกษาไม่เกี่ยวข้องกับเลขชี้กำลังแต่อย่างใด แน่นอนจากสมการ x = a t เราพบว่า t = บันทึก x แต่นี่เป็นวิธีการรับรู้ในภายหลัง ในที่นี้เราหมายถึงฟังก์ชันของลอการิทึม ในขณะที่ในตอนแรก ลอการิทึมถูกพิจารณาว่าเป็นตัวเลขที่ช่วยในการคำนวณเท่านั้น บางที Jacob Bernoulli อาจเป็นคนแรกที่รู้เรื่องนี้ ฟังก์ชันลอการิทึมเป็นเลขชี้กำลังแบบผกผัน ในทางกลับกัน คนแรกที่เชื่อมโยงลอการิทึมกับเลขยกกำลังอาจเป็นเจมส์ เกรกอรี ในปี ค.ศ. 1684 เขาจำความเชื่อมโยงระหว่างลอการิทึมและเลขยกกำลังได้อย่างแน่นอน แต่เขาอาจไม่ใช่คนแรก

เรารู้ว่าจำนวน อี ปรากฏในรูปแบบที่เป็นอยู่ในปัจจุบัน ในปี ค.ศ. 1690 ไลบ์นิซในจดหมายถึงฮอยเกนส์ใช้ชื่อแทน ข . ในที่สุด อี การกำหนดปรากฏขึ้น (แม้ว่าจะไม่ตรงกับสมัยใหม่) และการกำหนดนี้ได้รับการยอมรับ

ในปี ค.ศ. 1697 Johann Bernoulli เริ่มศึกษาฟังก์ชันเลขชี้กำลังและเผยแพร่ Principia calculi exponentialum seu percurrentium. ในบทความนี้ ผลรวมของอนุกรมเลขชี้กำลังต่างๆ จะถูกคำนวณ และผลลัพธ์บางอย่างได้จากการรวมพวกมันทีละเทอม

Leonhard Euler ได้แนะนำสิ่งต่างๆมากมาย สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์ซึ่งไม่น่าแปลกใจที่การกำหนด อี เป็นของเขาด้วย มันดูไร้สาระที่จะบอกว่าเขาใช้จดหมาย อี เพราะเป็นอักษรตัวแรกของชื่อ มันคงไม่ใช่เพราะ อี นำมาจากคำว่า "เลขชี้กำลัง" แต่เป็นสระตัวถัดไปตามหลัง "a" และออยเลอร์ใช้สัญกรณ์ "a" ในงานของเขาแล้ว โดยไม่คำนึงถึงเหตุผล ชื่อนี้ปรากฏครั้งแรกในจดหมายจากออยเลอร์ถึงโกลด์บาคในปี ค.ศ. 1731 เขาค้นพบหลายอย่างโดยการศึกษา อี ต่อมา แต่เฉพาะใน พ.ศ. 2291 บทนำใน Analysin infinitorumเขาให้เหตุผลอย่างเต็มที่กับความคิดทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับ อี . เขาแสดงให้เห็นอย่างนั้น

ออยเลอร์ยังพบทศนิยม 18 ตำแหน่งแรกของตัวเลขอีกด้วย อี :

จริงโดยไม่ต้องอธิบายว่าเขาได้มาอย่างไร ดูเหมือนว่าเขาจะคำนวณค่านี้ด้วยตัวเอง ความจริงแล้ว ถ้าคุณใช้พจน์ของอนุกรมประมาณ 20 พจน์ (1) คุณจะได้ความแม่นยำที่ออยเลอร์ได้ ท่ามกลางคนอื่น ๆ ผลลัพธ์ที่น่าสนใจในงานของเขา ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันไซน์และโคไซน์และคอมเพล็กซ์ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังซึ่งออยเลอร์ได้มาจากสูตรของเดอมัวร์

ที่น่าสนใจ ออยเลอร์พบการสลายตัวของจำนวนด้วยซ้ำ อี เป็นเศษส่วนอย่างต่อเนื่องและยกตัวอย่างการขยายความดังกล่าว โดยเฉพาะอย่างยิ่งเขาได้รับ

ออยเลอร์ไม่ได้พิสูจน์ว่าเศษส่วนเหล่านี้ยังคงดำเนินต่อไปในลักษณะเดียวกัน แต่เขารู้ว่าหากมีการพิสูจน์เช่นนั้น มันก็จะพิสูจน์ได้ว่าไม่มีเหตุผล อี . แน่นอน ถ้าเศษส่วนต่อเนื่องสำหรับ (จ - 1) / 2 ต่อในลักษณะเดียวกับตัวอย่างข้างต้น 6,10,14,18,22,26, (ทุกครั้งที่เราบวก 4) มันก็จะไม่ถูกขัดจังหวะและ (จ-1) / 2 (และดังนั้นจึง อี ) ไม่สามารถมีเหตุผลได้ เห็นได้ชัดว่านี่เป็นความพยายามครั้งแรกในการพิสูจน์ความไร้เหตุผล อี .

คนแรกที่คำนวณทศนิยมจำนวนมากพอสมควร อี คือแชงค์สในปี 1854 เกลเชอร์แสดงให้เห็นว่าอักขระ 137 ตัวแรกที่แชงค์สคำนวณนั้นถูกต้อง แต่แล้วก็พบข้อผิดพลาด แชงค์สแก้ไขแล้ว และได้รับทศนิยม 205 ตำแหน่ง อี . ในความเป็นจริง ต้องใช้เงื่อนไขในการขยาย (1) ประมาณ 120 หลักเพื่อให้ได้ตัวเลขที่ถูกต้อง 200 หลัก อี .

ในปี 1864 เบนจามิน เพียร์ซ (เพียรซ) ยืนอยู่ที่กระดานดำที่เขียนไว้

ในการบรรยาย เขาอาจพูดกับนักเรียนว่า "ท่านสุภาพบุรุษ เราไม่รู้ว่าสิ่งนี้หมายความว่าอย่างไร แต่เรามั่นใจได้ว่านั่นหมายถึงสิ่งที่สำคัญมาก"

ส่วนใหญ่เชื่อว่าออยเลอร์พิสูจน์ความไม่ลงตัวของจำนวน อี . อย่างไรก็ตาม Hermite ทำสิ่งนี้ในปี 1873 มันยังคงอยู่ คำถามเปิดไม่ว่าจะเป็นเบอร์ อี อี เกี่ยวกับพีชคณิต ผลลัพธ์สุดท้ายในทิศทางนี้คืออย่างน้อยหนึ่งหมายเลข อี อี และ อี อี 2 อยู่เหนือธรรมชาติ

ถัดไป คำนวณตำแหน่งทศนิยมต่อไปนี้ อี . ในปี พ.ศ. 2427 บอร์แมนคำนวณตัวเลขได้ 346 หลัก อี ซึ่ง 187 คนแรกนั้นตรงกับสัญลักษณ์ของแชงค์ส แต่อันต่อมานั้นแตกต่างออกไป ในปี 1887 อดัมส์คำนวณได้ 272 หลัก ลอการิทึมทศนิยม อี .

เจ. เจ. คอนเนอร์, อี. เอฟ. โรเบิร์ตสัน. จำนวน อี.