แก้สมการกำลังสอง สมการตรรกยะ

เรื่อง

พีชคณิต

ระดับ

หัวข้อและหมายเลขบทเรียนในหัวข้อ

"สมการกำลังสอง"; บทที่ 14

บทช่วยสอนพื้นฐาน

พีชคณิต 8, ed. ช.อ. Alimov et al., มอสโก: การศึกษา, 2552

5. วัตถุประสงค์ของบทเรียน: แก้ไขอัลกอริธึมสำหรับการแก้สมการทวิภาคและตรรกยะเศษส่วน

6. งาน:

- เกี่ยวกับการศึกษา: รู้รูปแบบของสมการทวิภาคและตรรกยะเศษส่วน อัลกอริธึมโซลูชัน biquad

และสมการตรรกยะเศษส่วน สามารถแก้สมการทวิภาคและตรรกยะเศษส่วนได้

-กำลังพัฒนา : การก่อตัวของความสามารถในการเน้นสิ่งที่สำคัญเปรียบเทียบวิเคราะห์และสรุป;

การก่อตัวของความสามารถในการกำหนดงานด้านความรู้ความเข้าใจวางแผนกิจกรรมทางปัญญา

พัฒนาลักษณะบุคลิกภาพ - ความขยัน, ความถูกต้อง, ความอุตสาหะในการบรรลุเป้าหมาย;

- เกี่ยวกับการศึกษา: การผลิต การประเมินวัตถุประสงค์ความสำเร็จของพวกเขา การก่อตัวของความรับผิดชอบ

การพัฒนาทักษะการทำงานเป็นทีม

7. ประเภทของบทเรียน: ที่ชะตากรรมของการรวบรวมความรู้.

8. แบบงานของนิสิต : หน้าผากบุคคล;กลุ่ม.

9. อุปกรณ์ทางเทคนิคที่จำเป็น: คอมพิวเตอร์, โปรเจ็กเตอร์, ID.

การ์ดเทคโนโลยีของบทเรียน

การสอน โครงสร้างท้องฟ้า ทัวร์บทเรียน	โครงสร้างระเบียบวิธีของบทเรียน
การสอน โครงสร้างท้องฟ้า ทัวร์บทเรียน		อัพเดทความรู้	การก่อตัวของ ZUN	ทอดสมอ	ควบคุม		การบรรยายสรุปที่บ้าน
	เตรียมนักเรียนเข้าทำงานในห้องเรียน	ให้แรงจูงใจ อัพเดทความรู้พื้นฐานและทักษะ	ทำซ้ำอัลกอริทึมสำหรับการแก้ biquadras ur-th และวิธีแก้ปัญหาเศษส่วน-rac สมการ	รู้จักอัลกอริธึมในการแก้สมการไบควอดรา ur-th และวิธีแก้ปัญหาเศษส่วน-rac สมการและความสามารถในการนำไปใช้ในทางปฏิบัติ	งานกลุ่ม	ดำเนินการวิเคราะห์และประเมินความสำเร็จในการบรรลุเป้าหมายของบทเรียนและสรุปแนวโน้มสำหรับการทำงานในอนาคต	ให้ความเข้าใจในวัตถุประสงค์ เนื้อหา และวิธีการดำเนินการ d / z
		วันนี้เราจะเป็นสิบสองหน้า ในการแก้ไขใบหน้าของสิบสองหน้า คุณต้องแก้ บางชนิดสมการ คุณเรียนรู้วิธีแก้สมการประเภทใดในบทเรียนที่แล้ว	1. ร่วมกับนักเรียนกำหนดเป้าหมายของบทเรียน 2. ทำซ้ำอัลกอริทึมเพื่อแก้สมการสองกำลังสอง เงื่อนไขความเท่าเทียมกันของเศษส่วน 0; สูตรรากที่สอง สมการ	1. มีการเสนอสูตรรากที่สองหลายแบบ คุณ. - เลือกคำนำที่ถูกต้อง L. No. 2 2. สร้างการติดต่อระหว่างขั้นตอนของอัลกอริทึมและจุดของการแก้ปริศนา ur-i Prez. L. No. 3 3. เลือกจากสามคำตอบเงื่อนไขสำหรับการมีอยู่ของเศษส่วน Prez L. No. 4 4. ค้นหาข้อผิดพลาดในการแก้ปัญหาของคุณ ปธน. L. No. 5	กลุ่มระดับต่าง ๆ ทำงานบนการ์ด แอพ #1 บนสไลด์มีใบหน้าของสิบสองหน้าพร้อมคำตอบที่ถูกต้อง ปธน. ล. ลำดับที่ 6 แต่ละทีมจะได้รับสีที่กำหนดไว้ล่วงหน้า หากทีมแก้สมการได้ถูกต้อง ใบหน้าที่เลือกจะจับคู่สีในสามตำแหน่ง ในตอนท้ายของงาน นักเรียนตรวจสอบผลลัพธ์ของการสร้างการกวาดสิบสองหน้า	ครูร่วมกับนักเรียนสรุปงานที่ทำ	ทำงานกับจุดบกพร่อง: แก้ไขการแก้สมการ งานในชั้นเรียนที่มีข้อผิดพลาด
วิธีการสอน		เจริญพันธุ์	เจริญพันธุ์	ค้นหาบางส่วน	สำรวจบางส่วน สำรวจ ควบคุมตนเอง	การควบคุมตนเอง	การควบคุมตนเอง
แบบฟอร์ม ความรู้ความเข้าใจ-		หน้าผาก	หน้าผาก	หน้าผาก	กลุ่ม	ส่วนบุคคลหน้าผาก	หน้าผาก
ผลลัพธ์ที่แท้จริง	นักเรียนทุกคนรวมอยู่ในสภาพแวดล้อมการทำงาน	นักเรียนเตรียมพร้อมสำหรับการเรียนรู้เชิงรุก กิจกรรมทางปัญญา	นักเรียนทำความคุ้นเคยกับสมการที่ลดรูปเป็นกำลังสองและวิธีแก้สมการ	นักเรียนรู้วิธีแก้สมการกำลังสอง	นักเรียนมีแนวคิดเกี่ยวกับระดับการดูดซึมของวัสดุที่ศึกษา ความสำเร็จและช่องว่างในหัวข้อที่ศึกษา	นักเรียนทำการประเมินความรู้และทักษะด้วยตนเองในหัวข้อสรุปเกี่ยวกับผลงานของพวกเขา	สร้างเงื่อนไขในการทำการบ้าน

ในบทความนี้ฉันจะแสดงให้คุณเห็น อัลกอริธึมโซลูชันเจ็ดประเภท สมการตรรกยะ ซึ่งถูกลดให้เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสโดยการเปลี่ยนตัวแปร ในกรณีส่วนใหญ่ การเปลี่ยนแปลงที่นำไปสู่การแทนที่นั้นไม่สำคัญนัก และเป็นการยากที่จะคาดเดาเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ด้วยตัวของคุณเอง

สำหรับสมการแต่ละประเภท ฉันจะอธิบายวิธีเปลี่ยนตัวแปรในสมการ จากนั้นฉันจะแสดงวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดในวิดีโอสอนที่เกี่ยวข้อง

คุณมีโอกาสที่จะแก้สมการต่อไปด้วยตัวเอง จากนั้นตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาของคุณด้วยวิดีโอสอน

เริ่มกันเลย

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

โปรดทราบว่าผลคูณของวงเล็บเหลี่ยมสี่ตัวอยู่ด้านซ้ายของสมการ และตัวเลขอยู่ทางด้านขวา

1. ลองจัดกลุ่มวงเล็บสองอันเพื่อให้ผลรวมของเงื่อนไขอิสระเท่ากัน

2. คูณพวกเขา

3. ให้เราแนะนำการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร

ในสมการของเรา เราจัดกลุ่มวงเล็บแรกกับวงเล็บที่สาม และวงเล็บที่สองกับวงเล็บที่สี่ เนื่องจาก (-1) + (-4) \u003d (-7) + 2:

ณ จุดนี้ การเปลี่ยนแปลงตัวแปรจะชัดเจน:

เราจะได้สมการ

ตอบ:

2 .

สมการประเภทนี้จะคล้ายกับสมการก่อนหน้าโดยมีข้อแตกต่างอย่างหนึ่งคือ ทางด้านขวาของสมการเป็นผลคูณของจำนวนคูณ และมันถูกแก้ไขด้วยวิธีที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง:

1. เราจัดกลุ่มวงเล็บสองอันเพื่อให้ผลคูณของเงื่อนไขอิสระเหมือนกัน

2. เราคูณวงเล็บแต่ละคู่

3. จากแต่ละปัจจัย เรานำ x ออกจากวงเล็บ

4. หารสมการทั้งสองข้างด้วย .

5. เราแนะนำการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร

ในสมการนี้ เราจัดกลุ่มวงเล็บแรกกับวงเล็บที่สี่ และวงเล็บที่สองกับวงเล็บที่สาม เนื่องจาก:

โปรดทราบว่าในแต่ละวงเล็บ สัมประสิทธิ์ at และระยะว่างจะเท่ากัน ลองเอาตัวคูณออกจากวงเล็บแต่ละอัน:

เนื่องจาก x=0 ไม่ใช่รากของสมการดั้งเดิม เราจึงหารทั้งสองข้างของสมการด้วย เราได้รับ:

เราได้รับสมการ:

ตอบ:

3 .

สังเกตว่าตัวส่วนของเศษส่วนทั้งสองเป็นพหุนามกำลังสอง ซึ่งสัมประสิทธิ์นำหน้าและเทอมอิสระจะเท่ากัน เรานำ x ออกจากวงเล็บเช่นเดียวกับในสมการประเภทที่สอง เราได้รับ:

หารตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนแต่ละส่วนด้วย x:

ตอนนี้เราสามารถแนะนำการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรได้:

เราได้สมการสำหรับตัวแปร t:

4 .

โปรดทราบว่าสัมประสิทธิ์ของสมการมีความสมมาตรเมื่อเทียบกับค่าส่วนกลาง สมการดังกล่าวเรียกว่า คืนได้ .

แก้ใข

1. หารสมการทั้งสองข้างด้วย (เราทำได้เพราะ x=0 ไม่ใช่รากของสมการ) เราจะได้

2. จัดกลุ่มเงื่อนไขในลักษณะนี้:

3. ในแต่ละกลุ่ม เราจะนำปัจจัยร่วมออก:

4. มาแนะนำการแทนที่:

5. มาแสดงนิพจน์ในรูปของ t:

จากที่นี่

เราได้สมการสำหรับ t:

ตอบ:

5. สมการเอกพันธ์

สมการที่มีโครงสร้างเป็นเนื้อเดียวกันสามารถพบได้เมื่อแก้สมการเลขชี้กำลัง ลอการิทึม และ สมการตรีโกณมิติดังนั้นจึงจำเป็นต้องรับรู้

สมการเอกพันธ์มีโครงสร้างดังนี้

ในความเท่าเทียมกันนี้ A, B และ C เป็นตัวเลข และนิพจน์เดียวกันจะแสดงด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสและวงกลม นั่นคือ ทางด้านซ้ายของสมการเอกพันธ์คือผลรวมของโมโนเมียลที่มีดีกรีเท่ากัน (in กรณีนี้ดีกรีของโมโนเมียลคือ 2) และไม่มีเทอมอิสระ

เพื่อแก้ปัญหา สมการเอกพันธ์, หารทั้งสองส่วนด้วย

ความสนใจ! เมื่อหารด้านขวาและด้านซ้ายของสมการด้วยนิพจน์ที่ไม่ทราบค่า คุณจะสูญเสียราก ดังนั้นจึงจำเป็นต้องตรวจสอบว่ารากของนิพจน์ที่เราแบ่งทั้งสองส่วนของสมการเป็นรากของสมการเดิมหรือไม่

ไปทางแรกกันเลย เราได้รับสมการ:

ตอนนี้เราแนะนำการแทนที่ตัวแปร:

ลดความซับซ้อนของนิพจน์และรับสมการกำลังสองสำหรับ t:

ตอบ:หรือ

7 .

สมการนี้มีโครงสร้างดังนี้

ในการแก้คุณต้องเลือกทางด้านซ้ายของสมการ สี่เหลี่ยมเต็ม.

ในการเลือกสี่เหลี่ยมจัตุรัสเต็ม คุณต้องเพิ่มหรือลบผลคูณสอง จากนั้นเราจะได้กำลังสองของผลรวมหรือส่วนต่าง นี่เป็นสิ่งสำคัญสำหรับการทดแทนตัวแปรที่ประสบความสำเร็จ

เริ่มต้นด้วยการค้นหาผลิตภัณฑ์สองเท่า มันจะเป็นกุญแจสำคัญในการแทนที่ตัวแปร ในสมการของเรา สินค้าคู่เท่ากับ

ทีนี้ลองหาว่าอันไหนสะดวกกว่าสำหรับเรา - กำลังสองของผลบวกหรือส่วนต่าง สำหรับการเริ่มต้น ให้พิจารณาผลรวมของนิพจน์:

ยอดเยี่ยม! นิพจน์นี้เท่ากับสองเท่าของผลิตภัณฑ์ จากนั้น เพื่อให้ได้กำลังสองของผลรวมในวงเล็บ คุณต้องบวกและลบผลคูณสอง:

สมการกำลังสองคือสมการ ax²+bx+c=0, โดยที่ a, b, c ถูกกำหนดเป็นตัวเลข, a0, x เป็นค่าที่ไม่ทราบค่า ค่าสัมประสิทธิ์ a, b, c ของสมการกำลังสองมักจะเรียกดังนี้: a - ค่าสัมประสิทธิ์แรกหรือค่าสูงสุด, b - สัมประสิทธิ์ที่สอง, c - เทอมอิสระ ตัวอย่างเช่น ในสมการ 3x²-x+2=0, สัมประสิทธิ์อาวุโส (อันดับแรก) a=3, สัมประสิทธิ์ที่สอง b=-1 และเทอมอิสระ c=2 การแก้ปัญหาหลายอย่างของคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ เทคโนโลยี มาจากการแก้สมการกำลังสอง: 2x²+x-1=0, x²-25=0, 4x²=0, 5t²-10t+3=0. เมื่อแก้โจทย์หลายๆ ข้อ จะได้สมการว่าด้วยความช่วยเหลือของ การแปลงพีชคณิตลดลงเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ตัวอย่างเช่น สมการ 2x²+3x=x²+2x+2 หลังจากย้ายพจน์ทั้งหมดไปทางด้านซ้ายและนำพจน์ที่เหมือนกันมา ให้ลดลงเป็นสมการกำลังสอง x²+x-2=0

พิจารณาสมการ ปริทัศน์: ax²+bx+c=0, โดยที่ a0 รากของสมการหาได้จากสูตร: นิพจน์นี้เรียกว่า discriminant ของสมการกำลังสอง ถ้า D 0 สมการจะมีรากจริงสองราก ในกรณีที่ D=0 บางครั้งกล่าวว่าสมการกำลังสองมีรากเหมือนกันสองราก

สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์ ถ้าในสมการกำลังสอง ax²+bx+c=0 สัมประสิทธิ์ที่สอง b หรือเทอมอิสระ c เท่ากับศูนย์ สมการกำลังสองจะเรียกว่าไม่สมบูรณ์ สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์สามารถมีได้หนึ่งใน ประเภทต่อไปนี้: สมการไม่สมบูรณ์แตกต่างเพราะในการหารากของพวกมัน คุณไม่สามารถใช้สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสองได้ - มันง่ายกว่าที่จะแก้สมการโดยแยกตัวประกอบด้านซ้ายของมันออกมาเป็นตัวประกอบ

สมการกำลังสองของรูปแบบ x 2 +px+q=0 เรียกว่า รีดิวซ์ ในสมการนี้สัมประสิทธิ์นำหน้า เท่ากับหนึ่ง: ก=1. รากของสมการกำลังสองข้างต้นหาได้จากสูตร: สูตรนี้สะดวกที่จะใช้เมื่อ p เป็นจำนวนคู่ ตัวอย่าง: แก้สมการ x 2 -14x-15=0 ตามสูตรที่เราพบ: คำตอบ: x 1 \u003d 15, x 2 \u003d -1

ฟรองซัว เวียด? ทฤษฎีบทของเวียตา หากสมการกำลังสองลด x 2 +px+q=0 มีรากจริง ผลรวมจะเท่ากับ -p และผลคูณเท่ากับ q นั่นคือ x 1 +x 2 = -p, x 1 x 2 = q (ผลรวมของรากของสมการกำลังสองลดลงเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ที่สองที่นำมาจาก เครื่องหมายตรงข้ามและผลคูณของรากจะเท่ากับระยะอิสระ) การตรวจสอบความเชื่อมโยงระหว่างรากและสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง

ประโยคที่ 1: ให้ x 1 และ x 2 เป็นรากของสมการ x 2 +px+q=0 จากนั้นตัวเลข x 1, x 2, p, q สัมพันธ์กันด้วยความเท่าเทียมกัน: x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q คำชี้แจง 2: ให้ตัวเลข x 1, x 2, p, q สัมพันธ์กันด้วยความเท่าเทียมกัน x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q จากนั้น x 1 และ x 2 จะเป็นรากของสมการ x 2 + px + q \u003d 0 ข้อพิสูจน์: x 2 + px + q \u003d (x-x 1) (x-x 2) สถานการณ์ที่สามารถใช้ทฤษฎีบทของเวียตาได้ ตรวจสอบความถูกต้องของรากที่พบ การหาสัญญาณของรากของสมการกำลังสอง การหารากของจำนวนเต็มของสมการกำลังสองที่ให้มา การรวบรวมสมการกำลังสองด้วยรากที่กำหนด การสลายตัว ไตรนามสี่เหลี่ยมสำหรับตัวคูณ

สมการกำลังสอง สมการกำลังสองคือสมการของรูปแบบ โดยที่ 0 สมการกำลังสองถูกแก้ไขโดยการแนะนำตัวแปรใหม่: วาง เราได้สมการกำลังสอง t2=3 ตอนนี้ปัญหาลดลงเป็นการแก้สมการ x 2 = -7, x 2 =3 สมการแรกไม่มีรากที่แท้จริง จากสมการที่สองที่เราพบ: ซึ่งเป็นรากของสมการสองกำลังสองที่ให้มา

การแก้ปัญหาโดยใช้สมการกำลังสอง ปัญหาที่ 1 : รถออกจากสถานีขนส่งไปสนามบิน ระยะทาง 40 กม. หลังจาก 10 นาที ผู้โดยสารบนรถแท็กซี่ก็เดินตามรถบัสไป ความเร็วของแท็กซี่นั้นมากกว่าความเร็วของรถบัส 20 กม./ชม. ค้นหาความเร็วของรถแท็กซี่และรถบัสหากพวกเขามาถึงสนามบินพร้อมกัน ความเร็ว V (km/h) เวลา t (h) ระยะทาง S (km) Busx40 TaxiX+2040 เป็นเวลา 10 นาที 10 นาที =h เขียนและแก้สมการ:

เราคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 6x(x+20) เราจะได้: รากของสมการนี้: สำหรับค่า x เหล่านี้ ตัวส่วนของเศษส่วนที่รวมอยู่ในสมการจะไม่เท่ากับ 0 ดังนั้นจึงเป็น รากของสมการ เนื่องจากความเร็วของบัสเป็นบวก มีเพียงรูทเดียวเท่านั้นที่ตรงตามเงื่อนไขของปัญหา: x=60 ดังนั้น ความเร็วแท็กซี่คือ 80 กม./ชม. คำตอบ: ความเร็วของรถบัสคือ 60 กม./ชม. ความเร็วของแท็กซี่คือ 80 กม./ชม.

ภารกิจที่ 2: พนักงานพิมพ์ดีดคนแรกใช้เวลาพิมพ์ต้นฉบับซ้ำน้อยกว่าการพิมพ์ครั้งที่สอง 3 ชั่วโมง ทำงานพร้อมกัน พิมพ์ต้นฉบับซ้ำทั้งฉบับใน 6 ชั่วโมง 40 นาที ใช้เวลานานเท่าใดในการพิมพ์ต้นฉบับซ้ำทั้งฉบับ จำนวนงานต่อชั่วโมง เวลา t (h) จำนวนงาน ผู้พิมพ์คนแรก x1 ผู้พิมพ์คนที่สอง x + 31 รวมกันเป็นเวลา 6 ชั่วโมง 40 นาที 6 ชั่วโมง 40 นาที = 6 ชั่วโมง เขียนและแก้สมการดังนี้

สมการนี้สามารถเขียนได้ดังนี้: คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 20x(x+3) เราได้: รากของสมการนี้: สำหรับค่า x เหล่านี้ ตัวส่วนของเศษส่วนที่รวมอยู่ในสมการจะไม่ เท่ากับ 0 ดังนั้น - รากของสมการ เนื่องจากเวลาเป็นบวก x=12h ดังนั้นพนักงานพิมพ์ดีดคนแรกจึงใช้เวลาทำงาน 12 ชั่วโมง คนที่สอง - 12 ชั่วโมง + 3 ชั่วโมง \u003d 15 ชั่วโมง คำตอบ: 12 ชั่วโมง 15 ชั่วโมง 15

Francois Viet Francois Viet เกิดในปี 1540 ในประเทศฝรั่งเศส พ่อของเวียตาเป็นอัยการ ลูกชายเลือกอาชีพของพ่อและกลายเป็นทนายความหลังจากสำเร็จการศึกษาจากมหาวิทยาลัยปัวตู ในปี ค.ศ. 1563 เขาออกจากกฎหมายและเป็นครูในตระกูลขุนนาง เป็นการสอนที่กระตุ้นความสนใจในวิชาคณิตศาสตร์ในทนายความรุ่นเยาว์ Viet ย้ายไปปารีส ซึ่งง่ายต่อการเรียนรู้เกี่ยวกับความสำเร็จของนักคณิตศาสตร์ชั้นนำของยุโรป ตั้งแต่ปี ค.ศ. 1571 เวียดได้ครอบครองสิ่งสำคัญ ตำแหน่งราชการแต่ในปี ค.ศ. 1584 เขาถูกถอดและขับออกจากปารีส ตอนนี้เขามีโอกาสเรียนคณิตศาสตร์อย่างจริงจัง ในปี ค.ศ. 1591 เขาได้ตีพิมพ์บทความเรื่อง "Introduction to the Analytical Art" ซึ่งเขาแสดงให้เห็นว่าด้วยการใช้สัญลักษณ์เราสามารถได้ผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องกับปริมาณที่เกี่ยวข้อง ทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงได้รับการตีพิมพ์ในปีเดียวกัน เขาได้รับชื่อเสียงอย่างมากภายใต้พระเจ้าเฮนรีที่ 2 ระหว่างสงครามฝรั่งเศส-สเปน ภายในสองสัปดาห์ หลังจากนั่งทำงานทั้งกลางวันและกลางคืน เขาพบกุญแจไขรหัสภาษาสเปน เสียชีวิตในปารีสในปี 1603 โดยสงสัยว่าเขาถูกฆาตกรรม

พิจารณาปัญหา Cauchy: (14) (15) พารามิเตอร์อยู่ที่ไหน ต่อไปนี้ เราจะพิจารณาฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ผ่านวิธีแก้ปัญหาของ Cauchy (14),(15) จากนั้นสมการเกรเดียนท์จะขึ้นอยู่กับอนุพันธ์เทียบกับการแก้ปัญหา (14),(15)...

การระบุพารามิเตอร์ของกระบวนการสั่นในสัตว์ป่า จำลองด้วยสมการเชิงอนุพันธ์

เราเขียนปัญหา Cauchy สำหรับสมการของ Lotka (5) ข้อ 2 โดยใช้มาตรฐานมากขึ้น สัญกรณ์คณิตศาสตร์: , (1) , (2) ปัญหา Cauchy (17), (18) ข้อ 1 จะเป็นดังนี้: , , (3) , (4) อย่างที่เราเห็น ปัญหา Cauchy (1), (2), (3), (4) พหุนาม...

ค่าคงที่ของการแจกแจงแบบคงที่ของเครือข่ายสามโหนด เข้าคิว

สมมติว่ามีการกระจายแบบคงที่ มาสร้างสมการดุลยภาพกัน...

บูรณาการ สมการเชิงอนุพันธ์โดยใช้ ชุดพลัง

สมการเชิงอนุพันธ์สามัญของลำดับที่ n สำหรับฟังก์ชันอาร์กิวเมนต์คือความสัมพันธ์ของรูปแบบ (1.10) โดยที่ - ฟังก์ชันที่กำหนดข้อโต้แย้งของพวกเขา ในนามคลาสนี้ สมการทางคณิตศาสตร์คำว่า "แตกต่าง" เน้น...

สมการอตรรกยะ

ตัวอย่างที่ 1 แก้สมการ วิธีการแก้. ลองยกกำลังสองของสมการเดิมทั้งสองข้าง คำตอบ: (6) ตัวอย่างที่ 2 แก้สมการ วิธีการแก้. ทางด้านซ้ายของสมการเดิมคือเลขคณิต รากที่สอง- โดยนิยามว่าไม่เป็นลบ...

สมการอตรรกยะ

บ่อยครั้ง เมื่อแก้สมการประเภทนี้ นักเรียนใช้สูตรต่อไปนี้ของคุณสมบัติผลิตภัณฑ์ "ผลคูณของสองปัจจัยเท่ากับศูนย์เมื่ออย่างน้อยหนึ่งตัวมีค่าเท่ากับศูนย์" บันทึก...

สมการอตรรกยะ

สมการเหล่านี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีการพื้นฐานในการแก้สมการอตรรกยะ (ยกกำลังสองข้างของสมการ) แต่บางครั้งสามารถแก้ด้วยวิธีอื่นได้ พิจารณาสมการ (1) อนุญาต เป็นรากของสมการ (1)...

สมการกำลังสองแก้ไขในอินเดีย ปัญหาเกี่ยวกับสมการกำลังสองมีอยู่แล้วในบทความทางดาราศาสตร์ Aryabhattam ซึ่งรวบรวมในปี 499 โดยนักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวอินเดีย Aryabhatta นักวิทยาศาสตร์อินเดียอีกคน...

สมการกำลังสองและลำดับที่สูงกว่า

สมการส่งคืนคือสมการพีชคณิต a0xn + a1xn - 1 + ... + an - 1x + an \u003d 0, โดยที่ ak \u003d an - k โดยที่ k \u003d 0, 1, 2 ... n ยิ่งกว่านั้น ห๊ะ? 0...

การพึ่งพาเชิงเส้นและกำลังสอง ฟังก์ชัน x และสมการและอสมการที่เกี่ยวข้อง

ในงานบางอย่างของการสอบเข้า ไม่เพียงแต่จะต้องตรวจสอบตำแหน่งของรากของไตรนามสแควร์เท่านั้น แต่ยังต้องค้นหาว่าค่าใดของพารามิเตอร์นี้หรือคำสั่งเชิงตรรกะนั้นสำเร็จ ...

ฟังก์ชันลอการิทึมในงาน

ตัวอย่างที่ 1 แก้สมการ วิธีแก้ไข: ภูมิภาค ค่าที่อนุญาต- ชุดทั้งหมด ตัวเลขจริงเนื่องจากทั้งหมด โดยนิยามของลอการิทึม เรามี รับ สมการเลขชี้กำลังซึ่งเราจะแก้โดยวิธีลดเป็นพีชคณิต...

วิธีการแก้สมการของประเภทการบิดงอ

ตัวอย่างที่ 3.1 สมการไม่เชิงเส้นด้วยเคอร์เนลของ Hilbert: (3.12) (3.13) พวกเขามีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะในพื้นที่ของ Hilbert ในปี 1977 G.M. Magomedov พิจารณาสมการปริพันธ์เอกพจน์ไม่เชิงเส้นที่มีเคอร์เนล Cauchy ในรูปแบบ (3...

วิธีการโดยประมาณในการแก้ปัญหาค่าขอบเขต สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์กับอนุพันธ์ย่อย

ระลึกถึงสมการปัวซอง (4) (4) ในทางปฏิบัติ มีการใช้เทมเพลตหลายแบบเพื่อสร้างโครงร่างความแตกต่างแบบจำกัด 1. โครงการจำกัดความแตกต่าง "ข้าม"...

แอพลิเคชันของความแตกต่างและ แคลคูลัสเชิงปริพันธ์เพื่อแก้ปัญหาทางกายภาพและ ปัญหาทางเรขาคณิตใน MATLab

มากมาย กฎทางกายภาพมีรูปแบบของสมการเชิงอนุพันธ์ กล่าวคือ ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันและอนุพันธ์ งานในการรวมสมการเหล่านี้คือ งานที่สำคัญที่สุดคณิตศาสตร์...

การประยุกต์ใช้การแทนที่ตรีโกณมิติในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับพีชคณิต

สมการอตรรกยะมักพบใน การสอบเข้าในวิชาคณิตศาสตร์เนื่องจากด้วยความช่วยเหลือของพวกเขาทำให้ง่ายต่อการวินิจฉัยความรู้เกี่ยวกับแนวคิดเช่น การแปลงที่เทียบเท่า, ขอบเขตและอื่น ๆ ...

ประเภทสมการมาตรฐานและวิธีการแก้ปัญหา

1. สมการของแบบฟอร์ม
= ข↔ f(x) = b 2 สำหรับ b ≥ 0; ไม่มีคำตอบสำหรับ b

กฎทอง.ในการแก้รูตคุณต้องแยก

ตัวอย่าง.

3)
. ไม่มีวิธีแก้ปัญหาเพราะ

2. สมการของแบบฟอร์ม

ตัวอย่าง.

คำตอบ: x = - 1

2) ในตัวอย่างลดลงเป็น สายพันธุ์นี้สมการ เมื่อใช้การเปลี่ยนภาพที่เท่ากัน จำเป็นต้องค้นหาช่วงของค่าที่ยอมรับได้

ตัวอย่าง.

ตอบ

3. สมการของแบบฟอร์ม

หรือ

เลือกความไม่เท่าเทียมกันที่ง่ายกว่า

ตัวอย่าง.

, sinх = t, |t| ≤ 1, เสื้อ ≥ 0, 0 ≤ เสื้อ ≤ 1

2t 2 + เสื้อ – 1 = 0

t = -1 , t = ½ จำกัด t = ½

ตอบ:

4. สมการที่ลดเป็นกำลังสอง

สมการดังกล่าวมีรากที่มีนิพจน์รุนแรงเหมือนกัน ซึ่งองศาต่างกันด้วยปัจจัยสอง (
). แก้โดยการเปลี่ยนรูท
อยู่ภายใต้ข้อจำกัด

ตัวอย่าง.

= t โดยที่ t ≥ 0

เสื้อ 2 - 2 เสื้อ - 3 = 0, เสื้อ = - 1 , เสื้อ = 3, เนื่องจากเสื้อ ≥ 0, เสื้อ = 3

= 3

คำตอบ: x = ± 7

= t แล้ว

= 2 หรือ = ½

= 32 = 1/32

16z \u003d 32 16 32z - z \u003d - 1

z = 2 z = - 1/511
5. สมการที่มีมากกว่าหนึ่งรูทเป็นเทอม

ในสมการประเภทนี้จำเป็นต้องกำจัดราก ส่วนใหญ่มักเกิดขึ้นจากการยกกำลังสองส่วน ควรสังเกตว่าเมื่อยกกำลัง ODZ ของสิ่งที่ไม่รู้จักจะขยายตัวซึ่งสามารถนำไปสู่ รากต่างประเทศสมการ การยกกำลังสองไม่ได้ให้การเปลี่ยนแปลงที่เท่ากัน ดังนั้นต้องตรวจสอบค่าที่ได้รับของค่าที่ไม่รู้จัก

เมื่อตัดสินใจต้องปฏิบัติตามกฎต่อไปนี้:

กระจายราก ด้านต่างๆเนื่องจากการแปลงในกรณีนี้ง่ายกว่า
ค้นหาชุดของค่าที่มีรูทอยู่
สี่เหลี่ยมทั้งสองส่วน
นำสมการมาสู่รูปแบบมาตรฐาน
แก้ตามประเภท 1 - 3;
ไม่รวมรากภายนอก
ตรวจสอบรากที่เหลืออยู่

ตัวอย่าง.

เราแก้ด้วยการทำข้อ 5 (สมการของแบบฟอร์ม )

ตรวจสอบ x = 3

ความเท่าเทียมกันถูกต้อง

คำตอบ: x = 3
2)

3x - 4 - 2
= x - 2

2x - 2 = (1) x – 1 =

โปรดทราบว่าโดยยึดตามความเท่าเทียมกัน เราแก้สมการ (1) เท่านั้น ไม่ใช่สมการเดิม ดังนั้นเราจึงต้องตรวจสอบ

เป็นไปได้ที่จะแก้ไขโดยไม่คำนึงถึง ODZ และไม่ใช้ความเท่าเทียมกัน แต่ในกรณีนี้จะต้องตรวจสอบค่าที่ได้รับทั้งหมดของ x ในบางสมการนี่ค่อนข้างยาก

การตรวจสอบ. x = 3

ความเท่าเทียมกันถูกต้อง

คำตอบ: x = 3
6. สมการแก้โดยวิธีการเปลี่ยนตัวแปร

6.1 การแทนที่ที่ชัดเจน

หากตัวอย่างประกอบด้วยสมาชิกที่มีนิพจน์ซ้ำ แนะนำให้เปลี่ยนตัวแปร ซึ่งอันที่จริงไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาโดยตรง แต่ทำให้การแปลงนิพจน์ง่ายขึ้นอย่างมากและนำสมการมาอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน

กฎทอง . ทำการแทนที่ - กำหนดขอบเขตของตัวแปรใหม่ (ใส่ข้อจำกัดในตัวแปรใหม่)

ตัวอย่าง.

ให้ = t โดยที่ t ≥ 0 เนื่องจากรากเลขคณิต

เราได้รับ: t 2 - 2t - 3 \u003d 0

t=-1, t=3

เพราะ t ≥ 0, t = 3

ไปกันเถอะ x

\u003d 3 x 2 + 32 \u003d 81, x \u003d ± 7

คำตอบ: x = ± 7

ที. ถึง.
และ
นิพจน์ผกผันซึ่งกันและกัน ถ้า
= เสื้อ

= โดยที่ t > 0

เราได้ t + = , 2t 2 - 5t + 2 = 0,

เสื้อ = ½, เสื้อ = 2,

= หรือ = 2

8x = 1+2x, 2x = 4 + 8x

x = 1/6 x = - 2/3

รากที่ใหญ่ที่สุดคือ x = 1/6

= t, t ≥ 0 เปลี่ยนรูทและแสดงด้านขวาในรูปของ t

\u003d เสื้อ 2,
เสื้อ 2 - 20

t \u003d - (t 2 - 20), t 2 + t - 20 \u003d 0. t \u003d - 5 หรือ t \u003d 4

เพราะ เสื้อ ≥ 0 จากนั้น เสื้อ = 4

= 4,

x 2 + 2x + 8 = 16,

x 2 + 2x - 8 = 0, x = - 4 หรือ x = 2

คำตอบ: x \u003d - 4, x \u003d 2

4)
. มาผลิตกัน เปลี่ยนคู่:

เสื้อ =
โดยที่ t ≥ 0, d =
โดยที่ d ≥ 0

เราแสดง x จากแต่ละรายการ: x \u003d 5 - t 2 หรือ x \u003d d 2 + 3 เข้าระบบกันเลย:

. t=0 หรือ d=0

= 0 หรือ = 0

x=5 หรือ x=3

คำตอบ: x = 5; x = 3

6.2 การทดแทนที่ไม่ชัดเจน

การแทนที่ตัวแปรอาจไม่เกิดขึ้นทันที แต่หลังจากการแปลง

ตัวอย่าง.

ODZ: - 1 ≤ x ≤ 3

กำหนดเวลาใหม่
สิทธิในการมากขึ้น การแสดงออกที่ซับซ้อน
เหลืออีกหนึ่ง.

ลองยกกำลังสองส่วนโดยคาดหวังนิพจน์เดียวกัน:

ความคาดหวังนั้นสมเหตุสมผล

= t, t ≥0
= เสื้อ 2 + 4

4t \u003d t 2 + 4, t 2 - 4t + 4 \u003d 0, (t - 2) 2 \u003d 0, t \u003d 2

= 2,
= 4,

x \u003d 1 คือรากของสมการ เนื่องจากผลรวมของสัมประสิทธิ์และพจน์ว่างเป็นศูนย์

มาแบ่งกัน
บน x - 1 เราได้ x 2 - 2x + 1 \u003d 0. x \u003d 1 ±
.

ทั้งสามรากเป็นคำตอบเนื่องจากเป็นไปตามเงื่อนไข - 1 ≤ x ≤ 3

คำตอบ: x = 1, x = 1 ±
7. สมการของผลิตภัณฑ์แบบฟอร์มมีค่าเท่ากับศูนย์

ผลคูณเท่ากับศูนย์เมื่อตัวประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวมีค่าเท่ากับศูนย์ ในขณะที่อีกตัวหนึ่งไม่สูญเสียความหมายไป

ฉ(x) ก.(x) = 0

ตัวอย่าง.

= 0

ไม่มีคำตอบ x = - 1, x = 2

คำตอบ: x \u003d - 1, x \u003d 2

ความไม่เท่าเทียมกันที่รวมอยู่ในระบบไม่สามารถแก้ไขได้ในทันที แต่แทนที่รากที่เป็นผลลัพธ์ลงในความไม่เท่าเทียมกัน

2) จำเป็นต้องแยกตัวประกอบ

= 4

ไม่มีคำตอบ x = 0, x = 5

คำตอบ: x = 0, x = 5

สมการที่มีรากที่สองและรากที่สาม

สมการเหล่านี้ควรแก้ได้โดยการแทนที่แต่ละรูท แสดงค่าที่ไม่รู้จักในรูปของตัวแปรที่ถูกแทนที่ และรวบรวมระบบสมการ

ตัวอย่าง.

= เสื้อ
= d โดยที่ d ≥ 0

x \u003d 2 - t 3, x \u003d d 2 + 1 มาสร้างระบบกันเถอะ:

เพราะ สำหรับค่าที่พบทั้งหมด t d ≥ 0 จากนั้น d ไม่พบจากระบบและ x สามารถพบได้จากเงื่อนไข x = 2 - t 3 .

x=2, x=10, x=1

คำตอบ: x = 2, x = 10, x = 1

2)
.

1 ทาง. แก้เป็นสมการก่อนหน้า

2 ทาง. โปรดทราบว่าด้านซ้ายของสมการแสดงถึงฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น เนื่องจากประกอบด้วยผลรวมของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นสองฟังก์ชันในโดเมนของคำจำกัดความ: x ≥ - 1 ส่วนขวาเป็นค่าคงที่ กราฟของฟังก์ชันเหล่านี้ตัดกันที่จุดหนึ่ง ซึ่ง abscissa จะเป็นคำตอบของสมการนี้ นั่นคือ สมการมีคำตอบเดียว มาลองหยิบกันดู

แน่นอน การเลือกจะต้องดำเนินการในสมการ ODZ ก็ต้องสันนิษฐานเอาว่าต้องถอนรากออกเพราะ ผลรวมคือ 3

เราตรวจสอบให้แน่ใจว่า x \u003d 3 เป็นรากของสมการ

คำตอบ: x = 3

3)
.

เพราะ
เรานำรากไปสู่ระดับเดียวกัน

, x = - 1

(x + 1) (x 2 - 4x + 4)

x 2 - 4x + 4 \u003d 0 x \u003d 2

รากทั้งสองตอบสนอง ODZ

คำตอบ: x \u003d - 1, x \u003d 2

สมการที่มีผลรวม (ผลต่าง) ของสองรากของดีกรีที่สาม

ในการแก้สมการดังกล่าว สะดวกในการใช้สูตร:

(a + b) 3 = a 3 + b 3 + 3ab(a + b),

(a - b) 3 = a 3 - b 3 - 3ab(a - b) .

โปรดทราบว่าวงเล็บ (a ± b) =

ตัวอย่าง.

1)
. ลองยกทั้งสองส่วนเป็นลูกบาศก์:

แต่
= 2 ดังนั้นแทนที่วงเล็บสุดท้ายด้วย 2

รับ

x = 0

คำตอบ: x = 0

โปรดทราบว่านิพจน์ 2 - x และ 7 + x ซ้ำกัน มาทำสิ่งทดแทนกัน:

เสื้อ =
, d =
. โดยที่ x \u003d 2 - t 3 หรือ x \u003d d 3 - 7

คุณไม่สามารถหา t และ d ได้ แต่ใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า td = 2

= 2

- x 2 - 5x + 14 \u003d 8, x 2 + 5x - 6 \u003d 0, x \u003d - 6, x \u003d 1

คำตอบ: x \u003d - 6, x \u003d 1

สมการที่มีอนุมูลเชิงซ้อน

ในที่ที่มีอนุมูลเชิงซ้อน เช่น รูทใต้รูท ให้ใช้โปรแกรมการดำเนินการต่อไปนี้:

พิจารณาว่านิพจน์รากไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์หรือไม่
เลือกตารางเต็ม
ในกรณีที่ไม่มีวรรค 1 ให้ใช้สูตรของอนุมูลเชิงซ้อน
ในกรณีที่ไม่มีรายการที่ 1–3 ให้ใช้การแปลงมาตรฐาน (การแทนที่ การแยกตัวประกอบ การยกกำลัง ฯลฯ)

ตัวอย่าง.

ลองหากำลังสองที่สมบูรณ์แบบกัน (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 . คุณควรคิดเกี่ยวกับสิ่งนี้:

อนุญาต
- ผลิตภัณฑ์คู่ 2ab.

อนุญาต
- ตัวแรก ก.

จากนั้นหมายเลขที่สอง b \u003d 1 ดังนั้นผลรวมของกำลังสองของตัวเลขที่หนึ่งและที่สองคือ x - 3 นิพจน์รากเป็นกำลังสองเต็ม

อนุญาต
- งานคู่

อนุญาต เป็นจำนวนแรก a.

จากนั้นจำนวนที่สอง b = 2 ดังนั้นผลรวมของกำลังสองของตัวเลขที่หนึ่งและที่สองคือ x นิพจน์รากเป็นกำลังสองเต็ม

+ = 1

เพราะ
│a│ เราจะได้สมการดังนี้
│
│ + │
│ = 1

ตอนนี้เรามาทำการแทนที่กัน = t , = t - 1

│เสื้อ │ + │t – 1 │ = 1

ค้นหาศูนย์ของโมดูล: t = 0, t = 1

│t│

- │ + │ +

│t - 1 │- 0 - 1 + x

ไม่มีวิธีแก้ปัญหา
ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

0 ≤ ≤ 1

1 ≤ ≤ 2 อสมการทุกส่วนเป็นบวก ลองยกกำลังสองกัน

1 ≤ x - 4 ≤ 4, 5 ≤ x ≤ 8

ตอบ:

วิธีการแก้สมการอตรรกยะ

โดยใช้คุณสมบัติของความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชัน

11.1 ถ้า f(x) = g(x) และ f(x) - เพิ่มขึ้น (ลดลง) และ g(x) - ลดลง (เพิ่มขึ้น) หรือหนึ่งในฟังก์ชันเป็นค่าคงที่ กราฟของฟังก์ชันเหล่านี้จะตัดกันที่หนึ่ง จุด. คำตอบของสมการคือ abscissa ของจุดตัด สมการมีคำตอบเดียว ซึ่งสามารถกำหนดได้โดยการเลือก

ในการทำเช่นนั้น พึงระลึกไว้เสมอว่า:

ผลรวมของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น (ลดลง) สองฟังก์ชันคือฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น (ลดลง)
การเพิ่มขึ้น ลดลงของฟังก์ชันสามารถกำหนดได้โดยอนุพันธ์

ตัวอย่าง.

1)
.

ให้ f(x) =
. f(x) - ลดลงเมื่อ D(f) = (-∞; 3]

g(x) = 6 เป็นค่าคงที่ กราฟฟังก์ชันตัดกันที่จุดหนึ่ง สมการมีคำตอบเดียว

เราเลือกจาก D(f) = (-∞; 3] โดยพิจารณาว่าต้องแยกรากออก

x = - 1

การตรวจสอบ.

, 4 + 2 = 6 ความเท่าเทียมกันเป็นจริง

คำตอบ: x = - 1

ให้ f(x) =
. ฟังก์ชันกำลังลดลง

มาพิสูจน์กัน ง(ฉ) =

f′(x) =

f′(x) = 0, = 0, x = 2 ง(ฉ)

ฉ(1) =
, ฉ(2) = 3, f(3) =

อี(ฉ) = [; 3]

ก.(x) =
, D(g) =

g′(x) =

ก. ′(x) = 0 = 0, x = 1 D(ก.)

ก.(0) = 3, ก.(1) = 4, ก.(2) = 3

อี(ก.) =

โปรดทราบว่าจะได้รับค่าเดียวกันของฟังก์ชันสำหรับ x = 2 . เท่านั้น

นอกจากนี้ยังสามารถโต้แย้งได้ดังนี้: มูลค่าสูงสุดหนึ่งฟังก์ชันเท่ากับ ค่าที่น้อยที่สุดฟังก์ชันอื่นสำหรับค่า x เดียวกัน ดังนั้นคำตอบของสมการ f(x) = g(x) คือค่าของ x เหล่านี้

max f = 3, min g = 3 , max f = min g = 3 ที่ x = 2

คำตอบ: x = 2

1 ทาง.

ให้ f(x) =
, ด(ฉ) = R.

f ′(x) \u003d 4x 3 + 12x 2 + 12x + 4

f ′(x) \u003d 0 4x 3 + 12x 2 + 12x + 4 \u003d 0

x 3 + 3x 2 + 3x + 1 = 0, (x + 1) 3 = 0

x = - 1
f′(x) - │ +

f(x) - 1
f นาที = f(-1) = - 1 E(f) = [ - 1; ∞)
ก.(x) =
D(g) = ร.

g′(x) =
, g′(x) = 0 x = - 1

ก.(x) + -

ก.(x)│-1

g สูงสุด = g(-1) = - 1 E(g) =(- ∞; - 1]
ขั้นต่ำ f \u003d สูงสุด g \u003d - 1 ที่ x \u003d -1

คำตอบ: x = - 1

2 ทาง.

เลือกกำลังสองเต็มของพหุนาม:

(x 2 + 2x) 2 + 2x 2 + 4x เราได้รับ:

(X 2 + 2x) 2 + 2(x 2 + 2x) +
.

ตอนนี้คุณสามารถทำการทดแทนได้:

x 2 + 2x = t

t2+2t+
= 2

เป็นไปได้ว่าใน สมการที่กำหนดวิธีที่ 2 จะดีกว่า แต่วิธีการประเมินจะต้องเชี่ยวชาญเป็นอย่างดี เนื่องจากสมการ ระบบ ความไม่เท่าเทียมกันจำนวนมากได้รับการแก้ไขด้วยวิธีนี้

การใช้ DHS

บางครั้งก็มีประโยชน์ในการค้นหา ODZ ของสิ่งที่ไม่รู้จัก ซึ่งอาจนำไปสู่การจำกัดการค้นหาคำตอบและคำตอบของสมการเอง
การวิเคราะห์แสดงให้เห็นว่าการประยุกต์ใช้วิธีการใด ๆ นั้นยาก ลองหา ODZ กัน
ดังนั้น x = 4 จึงเป็นค่าเดียวที่เป็นไปได้
การตรวจสอบ.
, 0 = 0 ความเท่าเทียมกันเป็นจริง
คำตอบ: x = 4
14. การใช้ความไม่เท่าเทียมกันที่เห็นได้ชัดเจน
เป็นที่ทราบกันดีว่า
(ค่าเฉลี่ยเลขคณิตมากกว่าหรือเท่ากับค่าเฉลี่ยเรขาคณิต) ในกรณีนี้ จะสังเกตความเท่าเทียมกันถ้า a = b
หากมีผลิตภัณฑ์อยู่ใต้รูทในสมการ ขอแนะนำให้ใช้คุณสมบัตินี้
ตัวอย่าง.
1)

เราแยกการแสดงออกที่รุนแรงเป็นตัวประกอบ
ให้ a = x + 1, b = 2x + 3 จากนั้น a + b = 3x + 4
ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตอยู่ทางด้านซ้าย ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอยู่ทางด้านขวา
ความเท่าเทียมกันจะเป็นถ้า a = b
x + 1 = 2x + 3, x = - 2
คำตอบ: x = - 2
15. การใช้ Dot Product
ให้เวกเตอร์ มีพิกัด (a 1 ; a 2) เวกเตอร์ (ข 1 ; ข 2).
แล้ว ผลิตภัณฑ์สเกลาร์\u003d a 1 b 1 + a 2 b 2 เนื่องจาก a 1 b 1 + a 2 b 2 = ││∙ ││ cosα ดังนั้น a 1 b 1 + a 2 b 2 ≤ ││∙ ││
││ =
││=
│ =

พิจารณาใช้ DHS;

พิจารณาใช้ฟังก์ชัน monotonicity

พิจารณาใช้คุณสมบัติของฟังก์ชัน (ช่วง ใหญ่ที่สุด เล็กที่สุด) เช่น ใช้คะแนน;

พิจารณาใช้นิพจน์ที่อยู่ติดกัน

ลองใช้อสมการที่เห็นได้ชัด ดอทโปรดัค
สังเกตว่าสมการเดียวกันแก้ได้ วิธีทางที่แตกต่าง. คุณต้องเลือกวิธีที่เรียนรู้ได้ดีกว่า ซึ่งมีเหตุผลมากกว่าสำหรับสมการนี้