ตัวอย่างของความขัดแย้ง: หากวัดแนวชายฝั่งของสหราชอาณาจักรเป็นส่วนๆ ละ 100 กม. ก็จะมีความยาวประมาณ 2,800 กม. หากใช้ส่วนต่างๆ 50 กม. ความยาวจะอยู่ที่ประมาณ 3,400 กม. ซึ่งมากกว่า 600 กม.

ความยาว แนวชายฝั่งขึ้นอยู่กับวิธีการวัด เนื่องจากความโค้งของขนาดต่างๆ สามารถแยกแยะได้สำหรับพื้นที่ดิน ตั้งแต่หลายร้อยกิโลเมตรไปจนถึงเศษเสี้ยวของมิลลิเมตรหรือน้อยกว่า จึงเป็นไปไม่ได้ที่จะเลือกขนาดขององค์ประกอบที่เล็กที่สุดที่ควรนำมาวัดด้วยวิธีที่ชัดเจน ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะกำหนดขอบเขตของส่วนนี้อย่างชัดเจน มีการประมาณทางคณิตศาสตร์ที่หลากหลายสำหรับการแก้ปัญหานี้

วิธีหลักในการประมาณความยาวของเขตแดนหรือแนวชายฝั่งคือการซ้อนทับ เอ็นความยาวเท่ากัน ลลงบนแผนที่หรือภาพถ่ายทางอากาศโดยใช้เข็มทิศ ปลายแต่ละส่วนต้องอยู่ในขอบเขตที่วัดได้ การสำรวจความคลาดเคลื่อนในการประเมินขอบเขต ริชาร์ดสันค้นพบสิ่งที่เรียกว่า ริชาร์ดสัน เอฟเฟ็กต์: มาตราส่วนการวัดแปรผกผันกับความยาวรวมของทุกส่วน นั่นคือยิ่งใช้ไม้บรรทัดสั้นเท่าใด เส้นขอบที่วัดได้ก็จะยิ่งยาวขึ้นเท่านั้น ดังนั้น นักภูมิศาสตร์ชาวสเปนและโปรตุเกสจึงได้รับคำแนะนำง่ายๆ จากมาตราส่วนที่แตกต่างกัน

สิ่งที่โดดเด่นที่สุดสำหรับริชาร์ดสันก็คือเมื่อค่าตัว ลมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ ความยาวของชายฝั่งมีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุด ในขั้นต้น ริชาร์ดสันเชื่อตามเรขาคณิตแบบยุคลิดว่าความยาวนี้จะถึงค่าคงที่ ดังที่เกิดขึ้นในกรณีของ รูปทรงเรขาคณิต. ตัวอย่างเช่นปริมณฑล รูปหลายเหลี่ยมปกติ, จารึกไว้ในวงกลม, เข้าใกล้ความยาวของวงกลมด้วยจำนวนด้านที่เพิ่มขึ้น (และความยาวของแต่ละด้านลดลง) ในทฤษฎีการวัดทางเรขาคณิต เช่น เส้นโค้งเรียบเป็นวงกลม ซึ่งสามารถแสดงโดยประมาณเป็นส่วนเล็กๆ ที่มีขีดจำกัดที่กำหนด เรียกว่า เส้นโค้งที่แก้ไขได้

กว่าทศวรรษหลังจากริชาร์ดสันทำงานเสร็จ แมนเดลบรอตได้พัฒนาสาขาใหม่ของคณิตศาสตร์ ซึ่งก็คือเรขาคณิตเศษส่วน เพื่ออธิบายถึงสิ่งที่ซับซ้อนที่แก้ไขไม่ได้ซึ่งมีอยู่ในธรรมชาติ เช่น แนวชายฝั่งที่ไม่มีที่สิ้นสุด ของเขา คำนิยามของตัวเองเศษส่วนเป็นพื้นฐานของการวิจัยของเขามีดังนี้:

ฉันสร้างคำขึ้นมา เศษส่วนอ้างอิงจาก คำคุณศัพท์ภาษาละติน เศษส่วน. คำกริยาภาษาละตินที่สอดคล้องกัน แฟรนเจอร์วิธี หยุดพัก: สร้างชิ้นส่วนที่ไม่สม่ำเสมอ ดังนั้นจึงสมเหตุสมผลที่นอกจาก "ไม่เป็นชิ้นเป็นอัน" แล้ว เศษส่วนควรหมายถึง "ผิดปกติ" ด้วย

คุณสมบัติที่สำคัญของแฟร็กทัลคือความคล้ายคลึงกันซึ่งประกอบด้วยการแสดงตัวเลขทั่วไปที่เหมือนกันในทุกระดับ แนวชายฝั่งถูกมองว่าเป็นการสลับกันของอ่าวและแหลม สมมุติฐาน หากแนวชายฝั่งที่กำหนดมีคุณสมบัติคล้ายตัวเอง ไม่ว่าส่วนหนึ่งหรือส่วนอื่นจะถูกปรับขนาดเท่าใด รูปแบบของอ่าวและแหลมที่เล็กกว่าก็ยังคงปรากฏ ซ้อนทับบนอ่าวและแหลมที่ใหญ่กว่า จนถึงเม็ดทราย ในระดับดังกล่าว แนวชายฝั่งดูเหมือนจะเปลี่ยนแปลงอย่างฉับพลัน ซึ่งอาจไม่มีที่สิ้นสุดด้วยการจัดเรียงอ่าวและแหลมแบบสุ่ม ภายใต้เงื่อนไขดังกล่าว (ตรงข้ามกับเส้นโค้งเรียบ) แมนเดลบรอตกล่าวว่า: "ความยาวของแนวชายฝั่งกลายเป็นแนวคิดที่ไม่มีทางบรรลุได้ ลื่นไถลระหว่างนิ้วของผู้ที่พยายามทำความเข้าใจ"

โดยที่ความยาวแนวชายฝั่ง L เป็นฟังก์ชันของหน่วย ε และประมาณด้วยนิพจน์ทางด้านขวา F เป็นค่าคงที่ D เป็นพารามิเตอร์ของ Richardson ขึ้นอยู่กับแนวชายฝั่ง (Richardson ไม่ได้ให้ คำอธิบายทางทฤษฎีของปริมาณนี้ อย่างไรก็ตาม Mandelbrot กำหนด D เป็นรูปแบบที่ไม่ใช่จำนวนเต็มของมิติ Hausdorff ต่อมาเป็นมิติเศษส่วน กล่าวอีกนัยหนึ่ง D คือค่าที่วัดได้จริงของ "ความหยาบ") จัดกลุ่มใหม่ ด้านขวานิพจน์ เราได้รับ:

โดยที่ Fε -D ควรเป็นจำนวนหน่วยของ ε ที่ต้องใช้เพื่อให้ได้ L มิติเศษส่วนคือจำนวนของขนาดวัตถุที่ใช้ในการประมาณเศษส่วน: 0 สำหรับจุด, 1 สำหรับเส้น, 2 สำหรับตัวเลขพื้นที่ เพราะว่า สายหักซึ่งวัดความยาวของชายฝั่ง ไม่ได้ขยายออกไปในทิศทางเดียว และในขณะเดียวกันก็ไม่ได้แสดงถึงพื้นที่ ค่าของ D ในนิพจน์จะอยู่ตรงกลางระหว่าง 1 และ 2 (สำหรับชายฝั่ง โดยปกติจะน้อยกว่า 1.5) สามารถตีความได้ว่าเป็นเส้นหนาหรือแถบกว้าง 2ε ชายฝั่งที่ "หัก" มากขึ้นมีค่า D มากขึ้น ดังนั้น L จึงยาวขึ้นสำหรับ ε เดิม Mandelbrot แสดงให้เห็นว่า D ไม่ได้ขึ้นอยู่กับ ε

โดยทั่วไป แนวชายฝั่งแตกต่างจากแฟร็กทัลทางคณิตศาสตร์เนื่องจากพวกมันก่อตัวขึ้นโดยใช้รายละเอียดเล็กๆ น้อยๆ มากมายที่สร้างรูปแบบในเชิงสถิติเท่านั้น

ในความเป็นจริง ไม่มีรายละเอียดที่เล็กกว่า 1 ซม. บนแนวชายฝั่ง [ ] . นี่เป็นเพราะการกัดเซาะและปรากฏการณ์ทางทะเลอื่นๆ ในสถานที่ส่วนใหญ่ ขนาดขั้นต่ำจะสูงกว่ามาก ดังนั้นแบบจำลองเศษส่วนที่ไม่สิ้นสุดจึงไม่เหมาะสำหรับแนวชายฝั่ง

ด้วยเหตุผลทางปฏิบัติ จึงเลือกขนาดขั้นต่ำของชิ้นส่วนให้เท่ากับลำดับของหน่วยการวัด ดังนั้นหากวัดชายฝั่งเป็นกิโลเมตร การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยเส้นที่เล็กกว่าหนึ่งกิโลเมตรจะถูกละเว้น ในการวัดแนวชายฝั่งเป็นหน่วยเซนติเมตร ต้องพิจารณาการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยทั้งหมดที่มีขนาดประมาณหนึ่งเซนติเมตร อย่างไรก็ตาม ในสเกลลำดับของเซนติเมตร ต้องมีการตั้งสมมติฐานที่ไม่ใช่เศษส่วนตามอำเภอใจ เช่น ปากแม่น้ำเชื่อมกับทะเล หรือวัดที่วัตต์กว้าง นอกจากนี้การใช้ วิธีการต่างๆการวัดสำหรับหน่วยการวัดที่แตกต่างกันไม่อนุญาตให้คุณแปลงหน่วยเหล่านี้โดยใช้การคูณอย่างง่าย

เพื่อกำหนดสถานะ น่านน้ำสร้างส่วนโค้งที่เรียกว่าชายฝั่งของจังหวัดบริติชโคลัมเบียของแคนาดาซึ่งคิดเป็นมากกว่า 10% ของความยาวของแนวชายฝั่งแคนาดา (รวมถึงเกาะทั้งหมดในหมู่เกาะอาร์กติกของแคนาดา) - 25,725 กม. จาก 243,042 กม. ที่เส้นตรง ระยะทางเท่ากับเพียง 965 กม

ความยาวชายฝั่ง

สามารถวัดได้หรือไม่?
เรามีสิทธิที่จะให้ในตำรายาว
แนวชายฝั่งแล้วเราจะไม่อายหรือ
ถามตัวเลขนี้จากนักเรียน?

เค.เอส. ลาซาเรวิช

ในบทเรียนภูมิศาสตร์ เราดำเนินการโดยใช้ตัวบ่งชี้ทางสถิติที่หลากหลาย ส่วนใหญ่ดูเรียบง่ายและชัดเจน ผู้คนหลายล้านคน ถ่านหินหลายล้านตัน หลายกิโลเมตร แต่ถ้าคุณไม่คิดถึงมัน และมีเพียงการขุดร่างใด ๆ ให้ลึกลงไป - และมันก็ไม่ชัดเจน บางครั้งก็สลายเป็นผุยผง นี่คือตัวอย่าง
เราเปิดตัว Atlas of the World ที่เผยแพร่เมื่อเร็ว ๆ นี้และเพิ่งวางจำหน่าย (M.: FSUE Production Mapping Association "Cartography", 2003.) ในตาราง "รัฐและดินแดนของโลก" เราพบ: "เมืองหลวงของฝรั่งเศสคือปารีส (ประชากร 2,125.2 พันคน) หากนักเรียนให้เลขดังกล่าวในข้อสอบ ผู้ตรวจจะพอใจหรือไม่? ท้ายที่สุด ปารีสเป็นหนึ่งใน ศูนย์ที่ใหญ่ที่สุดยุโรปและไม่น้อยกว่าเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก แต่ไม่มีข้อผิดพลาดในรูปที่กำหนด: นี่คือปารีสภายในเขตการปกครองของเมืองปารีส และอยู่ในขอบเขตของกลุ่มเมืองที่พัฒนาแล้วอย่างแท้จริง - นี่คือหนึ่งในสิบล้าน มากขึ้นอยู่กับวิธีการนับของคุณ นี่ไม่ได้หมายความว่าเราสามารถยอมรับจากนักเรียนเป็นคำตอบของตัวเลขใด ๆ ในช่วงตั้งแต่ 2.2 ถึง 10 การให้ตัวเลขนี้หรือตัวเลขนั้นนักเรียนจะต้องเข้าใจว่ามีอะไรอยู่เบื้องหลังมันวัดอะไรและอย่างไร
ถ่านหินที่มีความร้อนสูงและถ่านหินสีน้ำตาลหนึ่งล้านตัน - ต่างกันหลายล้าน
แต่ที่นี่ดูเหมือนจะเป็นกิโลเมตร หนึ่งกิโลเมตรก็เท่ากับหนึ่งกิโลเมตรในแอฟริกา และสามารถถามอะไรที่วัดได้เป็นกิโลเมตร? แต่ปรากฎว่าแม้จะให้ความยาวเป็นกิโลเมตรผู้เขียนตำราก็ต้องคิดก่อน ครูที่ใช้ตำราเรียนจะต้องบังคับตัวเลขด้วย การวิเคราะห์ที่สำคัญก่อนถ่ายทอดให้นักเรียนและให้นักเรียนท่องจำ เราอ่านหนังสือเรียนสำหรับเกรด 10: "แคนาดาไปสามมหาสมุทรและ ความยาวทั้งหมดชายฝั่งทะเลของมัน (ประมาณ 250,000 กม.) หาตัวจับยากในโลก” วัดชายฝั่งอย่างไร วัดอะไร วัดอย่างไร วัดอย่างไร คุณจะวัดแนวชายฝั่งได้อย่างไร

สามารถวัดเส้นโค้งที่ผิดปกติบนแผนที่ได้โดยใช้เครื่องวัดความโค้ง - ล้อของอุปกรณ์นี้หมุนไปตามเส้นโค้งโดยเขียนแต่ละคดเคี้ยวอย่างระมัดระวัง อย่างไรก็ตาม ความคดเคี้ยวของแนวชายฝั่งมักมีมากเสียจนไม่สามารถใช้เครื่องวัดความโค้งเคลื่อนผ่านได้ คุณต้องเดินไปตามทางโค้งด้วยเข็มทิศเมตร ความยาวขั้นบันไดที่สบายที่สุดคือ 2 มม. ในระดับที่แตกต่างกันขั้นตอนนี้สอดคล้องกับระยะทางที่แตกต่างกันการวัดดังกล่าวจะไม่ให้ความยาวที่แน่นอนเนื่องจากแต่ละขั้นตอนจะทำให้เส้นโค้งตรงส่วนเล็ก ๆ แต่ ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์เก็บรักษาไว้มากหรือน้อย
เพื่อเป็นตัวอย่าง ลองวัดความยาวของแนวชายฝั่งของเขตปกครองตนเองชูโคตกา มาดูแผนที่จาก School Atlas บนภูมิศาสตร์ของรัสเซีย (มาตราส่วน 1: 22,000,000) และด้วยเข็มทิศสองมิลลิเมตร (44 กม.) เราจะเดินไปตามชายฝั่ง Chukchi ทั้งหมด ผลลัพธ์จะเป็น 4300 กม. (98 ขั้นตอนเข็มทิศ) มาทำการวัดแบบเดียวกันในแผนที่มาตราส่วนกัน
1: 7,500,000 ที่นี่เรานับแล้ว 345 ก้าวสองมิลลิเมตร (15 กม.) นั่นคือ
5,200 กม. มีเหตุผลที่จะสันนิษฐานว่าหากใช้แผนที่มาตราส่วนที่ใหญ่ขึ้นในการวัด แนวชายฝั่งที่วัดได้จะยาวยิ่งขึ้น
มาตั้งค่าการทดสอบอื่นกัน ความยาวของแนวชายฝั่งของภูมิภาคเลนินกราด บนแผนที่
1: 22,000,000 - 300 กม. ตามแผนที่ 1: 2,500,000 - 555 กม. และตาม แผนที่ภูมิประเทศ
1: 500,000 - 670 กม. ในเวลาเดียวกันความยาวของแนวชายฝั่งของอ่าว Vyborg เพียงแห่งเดียว (โดยเฉพาะอย่างยิ่งอ่าวและอ่าวเยื้องชายฝั่ง) วัดบนแผนที่ภูมิประเทศคือ 338 กม. ในขณะที่ตามแผนที่โรงเรียน - 65 กม. (ความแตกต่าง เป็นมากกว่า
5 ครั้ง!).
ดังนั้นจึงมีการเพิ่มความยาวของแนวชายฝั่งที่วัดได้อย่างสม่ำเสมอพร้อมกับการขยายมาตราส่วน เหตุผลไม่ใช่แค่เพียงการเลื่อนขั้นสองมิลลิเมตรของเข็มทิศให้สอดคล้องกับค่าที่น้อยลงบนพื้นเท่านั้น แต่โดยหลักแล้วก็คือเส้นเอง แม้ว่าจะถูกวัดและแปลงอย่างแม่นยำมากตามมาตราส่วนเป็นกิโลเมตร อันที่จริงแล้วกลายเป็น อีกต่อไป (รูปที่ 1) . บนแผนที่ของรัสเซียใกล้กับชายฝั่งของภูมิภาคเลนินกราด มีเพียงอ่าว Vyborg, Neva Bay และส่วนโค้งเล็ก ๆ ของชายฝั่งทางตอนใต้ของอ่าวฟินแลนด์เท่านั้น ในแผนที่มาตราส่วน 1:2,500,000 โครงร่างของอ่าว Vyborg นั้นค่อนข้างซับซ้อนอยู่แล้ว และอ่าว Koporskaya และ Luga นั้นมองเห็นได้ชัดเจนทางทิศใต้ มีอ่าวเล็ก ๆ อื่น ๆ อีกมากมายบนแผนที่ครึ่งล้านภายในอ่าว Vyborg ซึ่งบางแห่งก็มี ชื่อที่เหมาะสม(อ่าวบัลติเอตส์, อ่าวคลูเชฟสกายา) และมีเพียงชายฝั่งทางตอนใต้ของอ่าวฟินแลนด์เท่านั้นที่ดูเปลี่ยนไปเล็กน้อยเมื่อเทียบกับมาตราส่วนก่อนหน้านี้ ซึ่งชายฝั่งมีรอยเว้าน้อยกว่ามาก

จะกำหนดความยาวที่แน่นอนของแนวชายฝั่งได้อย่างไร?
เป้าหมายนี้กำหนดโดยริชาร์ดสัน นักอุตุนิยมวิทยาชาวอังกฤษ โดยเลือกเกาะบ้านเกิดของเขา บริเตนใหญ่ เป็นสถานที่ทดสอบ เขาได้ข้อสรุปว่าความยาวของแนวชายฝั่งเพิ่มขึ้นตามขนาดของแผนที่ที่เพิ่มขึ้นตามการวัดความยาวนี้ (รูปที่ 2) การเพิ่มขึ้นดังกล่าวมีขีดจำกัดหรือไม่? แทบจะไม่. ความยาวของแนวชายฝั่งเพิ่มขึ้นจากทรายเล็กๆ ทุกเม็ดที่ไหลลงสู่ทะเล ทุกโพรงที่สร้างอ่าวเล็กๆ ก้อนกรวดทุกก้อนที่ไหลรอบๆ น้ำ แม้แต่บนแผนที่ขนาดใหญ่ที่สุดก็ไม่สามารถมองเห็นได้ แต่ในความเป็นจริงแล้ว ความขรุขระของแนวชายฝั่งเหล่านี้มีอยู่จริง

มีตัวอย่างวิธีใช้มากมาย วิธีการทางคณิตศาสตร์ช่วยให้คุณทำการวิจัยทางภูมิศาสตร์ได้อย่างน่าเชื่อถือและน่าเชื่อถือมากขึ้น สิ่งที่ตรงกันข้ามเกิดขึ้น: การวิจัยทางภูมิศาสตร์ - การศึกษาความยาวของแนวชายฝั่ง - มีส่วนทำให้เกิดสิ่งใหม่ แนวคิดทางคณิตศาสตร์. ชื่อเรื่องภาษาอังกฤษแนวคิดนี้เป็นเศษส่วน ในภาษารัสเซียยังไม่ยุติลง และพบในสามเวอร์ชัน: เศษส่วน(ผู้ปกครองและ เครื่องมือจะ เศษส่วน, เศษส่วน), เศษส่วนในเพศชาย ( เศษส่วน, เศษส่วน) และ เศษส่วนในความเป็นหญิง ( เศษส่วน, เศษส่วน); ต่อ ครั้งล่าสุดดูเหมือนจะเอนเอียงไปทาง เศษส่วน.
แฟร็กทัลคือเส้นตรง ซึ่งแต่ละแฟรกเมนต์จะซับซ้อนขึ้นเรื่อยๆ ความยาวของแต่ละแฟรกเมนต์และทั้งเส้นจะเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง ตัวอย่างคือรูปที่มักจะเรียกว่าเกล็ดหิมะ Koch แม้ว่าชื่อจะไม่ถูกต้อง: เธอสร้างเกล็ดหิมะนี้เมื่อต้นศตวรรษที่ 20 Helga von Koch และชื่อของเธอไม่ควรถูกปฏิเสธ
เอาล่ะ สามเหลี่ยมด้านเท่า. ให้เราแบ่งด้านแต่ละด้านออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กัน และสร้างสามเหลี่ยมด้านเท่าบนส่วนตรงกลางของแต่ละด้าน คุณจะได้ดาวหกแฉกปกติ รูปที่มีมุมนูนหกมุม และอีกหกอันที่เข้ามา เราแบ่งแต่ละด้าน (และด้านเหล่านี้คือ 12) ออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กัน และที่ส่วนตรงกลางของแต่ละด้าน เราสร้างรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าอีกครั้ง คุณจะได้รูปที่มี 48 ด้าน โดยมีมุมนูน 18 มุม และมุมเข้า 30 มุม ทำซ้ำการดำเนินการนี้จำนวนไม่ จำกัด (ซึ่งสามารถทำได้แน่นอนทางจิตใจเท่านั้น) เราจะได้ร่างที่มีพื้นที่เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง แต่ช้ากว่านั้นค่อย ๆ เข้าใกล้ขีด จำกัด (รูปที่ 3) เส้นรอบวงของรูปนี้เพิ่มขึ้นอย่างไม่มีกำหนด เนื่องจากทุกครั้งที่เราสร้างสามเหลี่ยมด้านเท่าใหม่ที่ด้านข้างของรูป ไม่ว่ามันจะเล็กแค่ไหนก็ตาม ส่วนที่เท่ากันสามส่วนของด้านนี้จะถูกแทนที่ด้วยสี่ส่วนที่เท่ากัน ดังนั้นความยาวของ แต่ละด้าน (และดังนั้นปริมณฑลทั้งหมด) จะเพิ่มขึ้น 4/3 เท่า และจำนวนใด ๆ ที่มากกว่าหนึ่งยกกำลังเท่ากับอนันต์ (และเราทำการสร้างเป็นจำนวนครั้งที่ไม่สิ้นสุด) มีแนวโน้มที่จะเป็นอนันต์

ข้าว. 3 เกล็ดหิมะ Koch - ขั้นตอนต่าง ๆ ของการก่อสร้าง

เส้นขอบของเกล็ดหิมะจะเป็นเส้นที่กว้างและมีขนดกซึ่งเต็มพื้นที่ขอบทั้งหมดของรูปนี้ แนวคิดของ "เส้นกว้าง" "พื้นผิวหนา" ดูไร้สาระจากมุมมองของคณิตศาสตร์คลาสสิก (เส้นไม่มีความกว้างและพื้นผิวไม่มีความหนา) ด้วยการพัฒนาทฤษฎีเศษส่วนพวกเขาได้รับ สิทธิของความเป็นพลเมือง เชื่อกันว่าเส้นเป็นหนึ่งมิติ มีความยาวเพียงตำแหน่งเดียว ตำแหน่งของจุดที่กำหนดโดยพิกัดเดียว พื้นผิวเป็นแบบสองมิติมีพื้นที่ตำแหน่งของจุดที่กำหนดโดยสองพิกัด ร่างกายเป็นสามมิติมีปริมาณสามพิกัดที่จำเป็นแล้ว และทฤษฎีเศษส่วนแนะนำแนวคิดของมิติเศษส่วน: เส้นไม่ได้กลายเป็นสองมิติ แต่ได้หยุดเป็นมิติเดียวแล้ว มันค่อนข้างยากสำหรับคนที่ไม่ได้เตรียมตัวมาก่อนที่จะเข้าใจ (คุณไม่สามารถจามได้หนึ่งครั้งครึ่ง) แต่ถ้าเราจำได้ว่าแนวชายฝั่งมีพฤติกรรมอย่างไร - ไม่เพียง แต่ในแผนที่เท่านั้น แต่ยังรวมถึงในธรรมชาติด้วย การเปลี่ยนแปลงเมื่อคุณดู มัน นั่งยองๆ แล้วยืดตัวขึ้นจนเต็มความสูง จากนั้นปีนภูเขา จากนั้นขึ้นเครื่องบินหรือยานอวกาศ เราจะไม่เพียงเข้าใจ แต่รู้สึกได้ว่า ระบบที่ซับซ้อนแสดงถึงบรรทัดนี้ สำหรับเธอแล้วคุณสมบัติเดียวนั้นไม่เพียงพออย่างแน่นอน - ความยาว
และทฤษฎีแฟร็กทัลที่เกิดจากการวิจัยทางภูมิศาสตร์ก็เข้ามาช่วยภูมิศาสตร์ วิธีการศึกษาการผ่อนปรนในรูปแบบเศษส่วนยังไม่ได้รับการพัฒนา แต่มีโอกาสแน่นอน มองไปที่ภูมิประเทศ ปริทัศน์วาดลงบนแผนที่ขนาดเล็ก เราเห็นทิวเขา ที่ราบสูง หุบเขาลึก โดยเฉลี่ยแล้ว เนินเขา หุบเขาเล็กๆ และหุบเหวปรากฏขึ้นแล้ว ใหญ่ขึ้น - และมองเห็นการกระแทก ระลอกคลื่นลมบนผืนทราย แต่นี่ไม่ใช่ขีด จำกัด มีก้อนกรวดเม็ดทรายแยกจากกัน ในทางปฏิบัติ ทั้งหมดนี้มีความสำคัญเนื่องจากคุณต้องเรียนรู้วิธีเลือกวัตถุอย่างถูกต้องสำหรับการแสดงภาพบนแผนที่ที่มีขนาดต่างกัน หนึ่งในข้อผิดพลาดหลักของตัวรวบรวมแผนที่คือความคลาดเคลื่อนระหว่างเนื้อหาของแผนที่และมาตราส่วน แผนที่มีการโหลดน้อยไปหรือมากเกินไป
แต่จะทำอย่างไรกับความยาวของแนวชายฝั่ง? ปฏิเสธที่จะวัดเพราะมันวัดไม่ได้?
ไม่ นี่ไม่ใช่ตัวเลือก พูดง่าย ๆ เมื่ออ้างถึงความยาวของแนวชายฝั่ง เราควรระบุเสมอว่าแผนที่วัดมาตราส่วนใด วัดด้วยวิธีใด และโปรดระบุ แนวชายฝั่งของเกาะถูกพิจารณาหรือไม่หากไม่มีการระบุขนาดของแผนที่และพิจารณาว่าเกาะต่างๆ ถูกนำมาพิจารณาด้วยหรือไม่ ข้อมูลใด ๆ เกี่ยวกับความยาวของแนวชายฝั่งจะสูญเสียความหมายไป น่าเสียดายที่แม้ในแหล่งข้อมูลที่อ้างว่ามีของแข็งล้วน ๆ ก็อาจพบความไร้สาระที่น่ากลัวได้ ตัวอย่างเช่น เว็บไซต์ CIA ที่รู้จักกันดี " โลกหนังสือข้อเท็จจริง ที่นี่ ให้ข้อมูลแนวชายฝั่งสำหรับแต่ละประเทศและมหาสมุทร แต่ไม่ได้ระบุวิธีการวัด เป็นผลให้แนวชายฝั่งของแคนาดากลายเป็นมากกว่า 200,000 กม., มหาสมุทรอาร์คติก - 45.4,000 กม., มหาสมุทรแอตแลนติก - 111,900 กม. (ข้อมูลที่ได้รับ - อย่าคิดว่าแย่! - แม่นยำถึงหนึ่งกิโลเมตร) แคนาดาได้รับการพิจารณาโดยคำนึงถึงหมู่เกาะนี้อย่างไม่ต้องสงสัย ไม่ทราบว่ามีการนับจำนวนมหาสมุทรอย่างไร แต่แนวชายฝั่งของมหาสมุทรสองในสามแห่งที่ล้อมรอบแคนาดานั้น โดยรวมแล้วมีขนาดเล็กกว่าแนวชายฝั่งของแคนาดาเพียงแห่งเดียว สำหรับนอร์เวย์ ให้ตัวเลข 21,925 กม. และระบุข้อความว่า “แผ่นดินใหญ่ 3419 กม. เกาะใหญ่ 2413 กม. ฟยอร์ดยาว เกาะเล็กๆ มากมาย และโค้งเล็กๆ [แปลตามตัวอักษร หยัก] ชายฝั่งทะเล 16,093 กม. โดยรวมแล้วจะได้รับเพียงความยาวรวมของแนวชายฝั่งที่ระบุ แต่นั่นเป็นสาเหตุที่ชายฝั่งของฟยอร์ดไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของแนวชายฝั่งของแผ่นดินใหญ่ เหตุใดความยาวของรอยบากจึงถูกเพิ่มเข้าไปในความยาวของแนวชายฝั่งของแผ่นดินใหญ่ ซึ่งเกาะต่างๆ ถือว่าใหญ่ - ทั้งหมดนี้สามารถเดาได้เท่านั้น ข้อมูลที่เถียงไม่ได้อย่างแน่นอนในตารางนี้มีให้เฉพาะในอันดอร์รา ออสเตรีย บอตสวานา ฮังการี สวาซิแลนด์ และประเทศที่คล้ายกันซึ่งไม่สามารถเข้าถึงทะเลได้ ซึ่งเขียนว่า "0 กม."

ข้อเท็จจริงที่รู้จักกันดี:

ตัวอย่างของความขัดแย้ง: หากวัดแนวชายฝั่งของสหราชอาณาจักรเป็นส่วนๆ ละ 100 กม. ก็จะมีความยาวประมาณ 2,800 กม. หากใช้ส่วนต่างๆ 50 กม. ความยาวจะอยู่ที่ประมาณ 3,400 กม. ซึ่งมากกว่า 600 กม.

ความยาวของแนวชายฝั่งขึ้นอยู่กับวิธีการวัด เนื่องจากความโค้งของขนาดต่างๆ สามารถแยกแยะได้สำหรับพื้นที่ดิน ตั้งแต่หลายร้อยกิโลเมตรไปจนถึงเศษเสี้ยวของมิลลิเมตรหรือน้อยกว่า จึงเป็นไปไม่ได้ที่จะเลือกขนาดขององค์ประกอบที่เล็กที่สุดที่ควรนำมาวัดด้วยวิธีที่ชัดเจน ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะกำหนดขอบเขตของส่วนนี้อย่างชัดเจน มีการประมาณทางคณิตศาสตร์ที่หลากหลายสำหรับการแก้ปัญหานี้

ผลกระทบที่คล้ายคลึงกันนี้มีอยู่สำหรับตลาด เนื่องจากมีอยู่ในคุณสมบัติของความคล้ายตนเองหรือเศษส่วน และการเปลี่ยนมาตราส่วนการพิจารณาของกระบวนการเปลี่ยนแปลงราคาจะส่งผลต่อความยาวของกราฟ
และนี่ Tatarin30? ความจริงข้อนี้เป็นที่รู้จักกันดีและไม่ได้มีไว้สำหรับคนเกียจคร้านเท่านั้น แต่ในที่สุด Tatarin30 ก็บังคับให้ฉันใช้ข้อเท็จจริงนี้ในการกระทำของฉันในตลาด แม่นยำกว่านั้น ไม่ใช่ตัวทาทารินเอง30 แต่เป็นบทสัมภาษณ์ของเขากับทิโมเฟย มาร์ทินอฟ ขอโทษ ฉันไม่ได้ให้ลิงค์เพราะฉันจำไม่ได้
ข้อสรุปของฉันคืออะไร ...
ความยาวของแนวชายฝั่งสามารถวัดได้ในระดับต่างๆ และระยะเวลาของการเคลื่อนไหวของตลาดด้วย
คุณสามารถซื้อขายการเคลื่อนไหวขนาดใหญ่ได้ มีอยู่ แต่มีน้อย คุณสามารถทำกำไรได้มากจากพวกเขา แต่คุณสามารถขาดทุนได้มากพอสมควรหากตลาดปฏิเสธที่จะปฏิบัติตามทิศทางของการเดิมพัน
แต่คุณสามารถวัดความยาวของกราฟในระดับเล็กๆ ได้ ไม่ต้องกังวลกับโอกาสเชิงกลยุทธ์สำหรับการเคลื่อนไหวของราคาตลาดและเป้าหมายทั่วโลก และกำหนดกำไรของคุณในส่วนเล็ก ๆ ของสายการวัด /
ข้อดีของกลยุทธ์ดังกล่าวคืออะไร - การควบคุมการสูญเสียอย่างแน่นหนาหากตลาดไปผิดทาง
ข้อเสียคืออะไร - ขาดกำไรหากตลาดไปที่นั่น ...
จากข้อเท็จจริงที่ว่าแนวโน้มขนาดใหญ่นั้นหายากกว่าการเคลื่อนไหวเล็ก ๆ มากและความจริงที่ว่าการเคลื่อนไหวครั้งใหญ่ในทิศทางใด ๆ จะถูกรับรู้ด้วยแรงกระตุ้นและแรงดึงมากมายเมื่อเทียบกับทิศทางเชิงกลยุทธ์ของตลาด แนวทางนี้ควรให้ผลมากกว่าในระยะยาว กว่าข้อเสีย
ใช่ เป็นการดีที่จะประเมินทิศทางอย่างถูกต้องและรับผลกำไร แต่ราคาของความผิดพลาดในการซื้อขายระยะยาวก็สูงเช่นกัน การเดินทาง 1,000 ลี้เริ่มต้นด้วยก้าวเดียว ดังนั้นจึงเป็นการดีกว่าที่จะตอบสนองต่อขั้นตอนนี้และทำกำไรมากกว่าที่จะรอการเลี้ยวในทิศทางเดียวกันโดยนั่งขาดทุน
และเกี่ยวกับเศษส่วน Billy Williams กับแฟร็กทัลของเขาไม่มีอะไรเกี่ยวข้องกับมันเลย

เมื่อศึกษาภูมิศาสตร์แน่นอนว่าคุณต้องจำไว้ว่าแต่ละประเทศมีพื้นที่ของตนเองและความยาวของชายแดนโดยเฉพาะอย่างยิ่งหากประเทศใดถูกล้างด้วยทะเลหรือมหาสมุทร เส้นขอบทะเลที่มีความยาวระดับหนึ่ง คุณเคยสงสัยหรือไม่ว่าความยาวของเส้นขอบนี้ถูกกำหนดอย่างไร? ในปี 1977 Benoit Mandelbrot นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกันได้ตั้งตัว คำถามต่อไป: แนวชายฝั่งของสหราชอาณาจักรมีความยาวเท่าไร? ปรากฎว่าไม่สามารถตอบ "คำถามหน่อมแน้ม" นี้ได้อย่างถูกต้อง ในปี 1988 Jens Feder นักวิทยาศาสตร์ชาวนอร์เวย์ได้ตัดสินใจค้นหาความยาวของแนวชายฝั่งของนอร์เวย์ โปรดทราบว่าชายฝั่งของนอร์เวย์มีรอยเว้าอย่างหนักจากแนวปะการัง นักวิทยาศาสตร์คนอื่น ๆ ได้ถามตัวเองด้วยคำถามที่คล้ายกันเกี่ยวกับความยาวของแนวชายฝั่งออสเตรเลีย แอฟริกาใต้, เยอรมัน , โปรตุเกส และประเทศอื่นๆ.

เราสามารถวัดความยาวของชายฝั่งได้โดยประมาณเท่านั้น เมื่อเราซูมออก เราต้องวัดแหลมและอ่าวเล็ก ๆ มากขึ้นเรื่อยๆ ความยาวของแนวชายฝั่งเพิ่มขึ้น และไม่มีขีดจำกัดวัตถุประสงค์ในการซูมออก (และทำให้ความยาวของแนวชายฝั่งเพิ่มขึ้น) ต้องยอมรับว่าเส้นนี้มี ความยาวไม่สิ้นสุด. เรารู้ว่ามิติของเส้นตรงคือหนึ่ง มิติของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือสอง และมิติของลูกบาศก์คือสาม Mandelbrot เสนอให้ใช้ขนาดเศษส่วนสำหรับการวัดเส้นโค้ง "มหึมา" - ขนาดของ Hausdorff - Besicovich เส้นโค้งที่ขรุขระอย่างไม่มีที่สิ้นสุดเช่นชายฝั่งไม่ได้เป็นเส้นตรง พวกมันดูเหมือนจะ "กวาด" ส่วนหนึ่งของระนาบเหมือนพื้นผิว แต่ไม่ใช่พื้นผิว ซึ่งหมายความว่ามีเหตุผลที่จะสันนิษฐานว่ามิติของมันมากกว่าหนึ่งแต่น้อยกว่าสอง นั่นคือมันเป็นออบเจกต์เศษส่วน

นักวิทยาศาสตร์ชาวนอร์เวย์ E. Feder ได้เสนอวิธีอื่นในการวัดความยาวของแนวชายฝั่ง แผนที่ถูกปกคลุมด้วยตารางสี่เหลี่ยมเซลล์ที่มีขนาด e? e. จะเห็นได้ว่าจำนวน N(e) ของเซลล์ดังกล่าวที่ครอบคลุมแนวชายฝั่งบนแผนที่มีค่าประมาณเท่ากับจำนวนขั้นบันไดที่คุณสามารถเดินไปรอบๆ แนวชายฝั่งบนแผนที่ด้วยเข็มทิศพร้อมวิธีแก้ปัญหา e. ถ้า e ลดลง จำนวน N(e) จะเพิ่มขึ้น หากแนวชายฝั่งของบริเตนใหญ่มี ความยาวที่แน่นอน L แล้วจำนวนขั้นตอนของเข็มทิศกับวิธีแก้ปัญหา (หรือหมายเลข เซลล์สี่เหลี่ยม N(e) ที่ครอบคลุมแนวชายฝั่งบนแผนที่) จะเป็นสัดส่วนผกผันกับ e และค่า Ln (e)=N(e) ? e มีแนวโน้มจะคงที่ L เมื่อ k ลดลง น่าเสียดายที่การคำนวณของนักวิทยาศาสตร์หลายคนแสดงให้เห็นว่าไม่เป็นความจริงทั้งหมด เมื่อระยะห่างลดลง ความยาวที่วัดได้จะเพิ่มขึ้น ปรากฎว่าความสัมพันธ์ระหว่างความยาวที่วัดได้ L(e) และระยะพิทช์ e สามารถอธิบายได้ด้วยความสัมพันธ์โดยประมาณ

ค่าสัมประสิทธิ์ D เรียกว่ามิติเศษส่วน คำว่าเศษส่วนมาจาก คำภาษาละตินเศษส่วน - เศษส่วนที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม ชุดเรียกว่าแฟร็กทัลหากมีมิติที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม สำหรับนอร์เวย์ D=1.52 และสำหรับสหราชอาณาจักร D=1.3 ดังนั้น แนวชายฝั่งของนอร์เวย์และบริเตนใหญ่จึงเป็นแฟร็กทัลที่มีมิติเศษส่วน D การคำนวณได้ดำเนินการสำหรับวงกลมด้วย และมิติเศษส่วนของวงกลมคือ D=1 ซึ่งเป็นไปตามคาด ดังนั้น มิติเศษส่วนจึงเป็นลักษณะทั่วไปของมิติปกติ

สิ่งนี้จะเข้าใจได้อย่างไรและหมายความว่าอย่างไร นักคณิตศาสตร์เริ่มจำได้ว่ามีอะไรที่คล้ายกันมาก่อนในคณิตศาสตร์หรือไม่? และพวกเขาก็จำได้! พิจารณาส่วนหนึ่งของเส้น AB บนระนาบ (รูปที่ 3) ให้เราใช้สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีขอบ e แล้วถามตัวเองว่า: ต้องใช้สี่เหลี่ยมจัตุรัส N(e) ที่มีขอบยาว e จำนวนเท่าใดจึงจะครอบคลุมเส้น AB ด้วยสี่เหลี่ยมดังกล่าว จะเห็นได้ว่า N(e) เป็นสัดส่วนกับ

ในทำนองเดียวกัน หากพื้นที่ปิดบนระนาบ (รูปที่ 4) ถูกปกคลุมด้วยตารางสี่เหลี่ยมที่มีด้าน e ดังนั้นจำนวนขั้นต่ำของสี่เหลี่ยมที่มีด้าน e ครอบคลุมพื้นที่จะเท่ากับ

ถ้าเราพิจารณาพื้นที่ที่มีขอบเขตปิดในปริภูมิสามมิติและหาลูกบาศก์ที่มีขอบ e จำนวนลูกบาศก์ที่เติมเต็มพื้นที่นี้คือ

ให้เรากำหนดขนาดเศษส่วนตามที่ระบุไว้ข้างต้น กรณีทั่วไปด้วยวิธีการดังต่อไปนี้:

ใช้ลอการิทึมของด้านซ้ายและด้านขวา

ผ่านขีดจำกัดเมื่อ e มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ (N มีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุด) เราได้รับ

ความเท่าเทียมกันนี้คือคำจำกัดความของมิติซึ่งแสดงโดย d

แฟร็กทัลเรียกว่าวัตถุทางเรขาคณิต: เส้นพื้นผิว วัตถุเชิงพื้นที่ที่มีรูปร่างเว้าแหว่งมาก และมีคุณสมบัติคล้ายตัวเอง คำว่า เศษส่วน มาจากคำว่า เศษส่วน และแปลว่า เศษส่วน แตก ความคล้ายคลึงกันในตนเองเป็นลักษณะสำคัญ หมายความว่ามีการจัดเรียงอย่างเท่าเทียมกันมากหรือน้อยในสเกลที่หลากหลาย ดังนั้นเมื่อซูมเข้าเศษส่วนเล็ก ๆ ของแฟร็กทัลจะคล้ายกับเศษส่วนขนาดใหญ่มาก ในกรณีอุดมคติ ความคล้ายตัวเองดังกล่าวนำไปสู่ความจริงที่ว่าวัตถุเศษส่วนกลายเป็นสิ่งไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การขยาย นั่นคือ กล่าวกันว่ามีความสมมาตรแบบขยาย โดยจะถือว่าค่าคงที่ของลักษณะทางเรขาคณิตหลักของแฟร็กทัลเมื่อมาตราส่วนเปลี่ยนไป

แน่นอนว่าสำหรับแฟร็กทัลธรรมชาติจริง ๆ จะมีมาตราส่วนความยาวขั้นต่ำที่แน่นอน ซึ่งคุณสมบัติหลัก - ความคล้ายตัวเอง - จะหายไปในระยะทาง นอกจากนี้ ในสเกลความยาวที่ใหญ่เพียงพอ ลักษณะเฉพาะอยู่ที่ไหน มิติทางเรขาคณิตวัตถุคุณสมบัติความคล้ายตนเองนี้ถูกละเมิดเช่นกัน ดังนั้นคุณสมบัติของแฟร็กทัลธรรมชาติจึงพิจารณาจากตาชั่งเท่านั้น ลิตรอัตราส่วนที่น่าพอใจ . ข้อ จำกัด ดังกล่าวค่อนข้างเป็นธรรมชาติเพราะเมื่อเรายกตัวอย่างเศษส่วน - เส้นทางการเคลื่อนที่ที่ไม่ราบรื่นของอนุภาคบราวเนียนเราจะเข้าใจว่าภาพนั้นเป็นอุดมคติที่ชัดเจน ประเด็นคือความแน่นอนของเวลาการชนมีผลกับสเกลเล็กๆ เมื่อคำนึงถึงสถานการณ์เหล่านี้ วิถีโคจรของอนุภาคบราวเนียนจะกลายเป็นเส้นโค้งเรียบ

โปรดทราบว่าคุณสมบัติความคล้ายตนเองเป็นลักษณะเฉพาะของแฟร็กทัลปกติเท่านั้น ถ้า แทนที่จะเป็นวิธีการสร้างเชิงกำหนด องค์ประกอบบางอย่างของการสุ่มจะรวมอยู่ในอัลกอริทึมสำหรับการสร้างองค์ประกอบเหล่านั้น (เช่น ที่เกิดขึ้น เช่น ในหลายๆ กระบวนการของการเติบโตของการแพร่กระจายของคลัสเตอร์ ไฟฟ้าขัดข้องฯลฯ ) จากนั้นเศษส่วนแบบสุ่มที่เรียกว่าเกิดขึ้น ข้อแตกต่างหลักจากคุณสมบัติทั่วไปคือคุณสมบัติความคล้ายตนเองจะใช้ได้ก็ต่อเมื่อมีค่าเฉลี่ยที่เหมาะสมในการรับรู้อ็อบเจกต์อิสระทางสถิติทั้งหมดเท่านั้น ในกรณีนี้ ส่วนที่ขยายใหญ่ขึ้นของแฟร็กทัลนั้นไม่เหมือนกับแฟรกเมนต์ดั้งเดิมทุกประการ ลักษณะทางสถิติจับคู่. แต่แฟร็กทัลที่เรากำลังศึกษาอยู่นั้นเป็นหนึ่งในแฟร็กทัลแบบคลาสสิก ดังนั้นจึงเป็นแบบปกติ

ความยาวชายฝั่ง

ในขั้นต้นแนวคิดของเศษส่วนเกิดขึ้นในฟิสิกส์ที่เกี่ยวข้องกับปัญหาในการค้นหาแนวชายฝั่ง เมื่อทำการวัดโดยใช้แผนที่ที่มีอยู่ของพื้นที่นั้น รายละเอียดที่น่าสงสัยก็ถูกเปิดเผย ยิ่งใช้แผนที่ขนาดใหญ่เท่าใด แนวชายฝั่งก็จะยิ่งยาวขึ้นเท่านั้น

รูปที่ 1 - แผนที่แนวชายฝั่ง

ตัวอย่างเช่น ระยะทางเป็นเส้นตรงระหว่างจุดที่อยู่บนแนวชายฝั่ง กและ ขเท่ากับ ร(ดูรูปที่ 1) จากนั้นเพื่อวัดความยาวของแนวชายฝั่งระหว่างจุดเหล่านี้ เราจะจัดแนวชายฝั่งอย่างเข้มงวด เพื่อนผูกพันกับเสาอีกต้นเพื่อให้มีระยะห่างระหว่างเสาที่อยู่ติดกัน เช่น ลิตร=10กม. ความยาวของชายฝั่งเป็นกิโลเมตรระหว่างจุด กและ ขจากนั้นเราจะเอาเท่ากับจำนวนพินลบหนึ่งคูณด้วยสิบ เราจะทำการวัดความยาวนี้ในครั้งต่อไปด้วยวิธีเดียวกัน แต่เราจะทำให้ระยะห่างระหว่างเสาข้างเคียงเท่ากับ ล.=1กม.

ปรากฎว่าผลลัพธ์ของการวัดเหล่านี้จะแตกต่างกัน เมื่อซูมออก ลเราจะได้รับทุกสิ่ง ค่าขนาดใหญ่ความยาว. ตรงกันข้ามกับเส้นโค้งเรียบ แนวชายฝั่งทะเลมักจะเยื้องกัน (จนถึงขนาดที่เล็กที่สุด) ซึ่งมีความเชื่อมโยงลดลง ลขนาด แอล- ความยาวของแนวชายฝั่ง - ไม่มีแนวโน้ม ขีด จำกัด สูงสุดและเพิ่มขึ้นตามกฎหมายอย่างค่อยเป็นค่อยไป

ที่ไหน ง- เลขชี้กำลังบางตัวซึ่งเรียกว่ามิติเศษส่วนของแนวชายฝั่ง ยิ่งมีมูลค่ามาก งยิ่งแนวชายฝั่งนี้ขรุขระมากเท่าไร จุดกำเนิดของการพึ่งพาอาศัย (1) เป็นสัญชาตญาณ: ยิ่งเราใช้มาตราส่วนที่เล็กลง รายละเอียดเล็ก ๆ ของชายฝั่งจะถูกนำมาพิจารณา และจะนำไปสู่ความยาวที่วัดได้ ในทางตรงกันข้าม การเพิ่มขนาด เราปรับชายฝั่งให้ตรง ลดความยาวลง แอล.

ดังนั้นจึงเห็นได้ชัดว่าเพื่อกำหนดความยาวของแนวชายฝั่ง แอลด้วยมาตราส่วนแข็ง ล(เช่น ใช้เข็มทิศโซลูชันคงที่) คุณต้องทำ N=ลิตร/ลิตรขั้นตอนและมูลค่า แอลการเปลี่ยนแปลง ค ลดังนั้น เอ็นขึ้นอยู่กับ ลในกฎหมาย เป็นผลให้เมื่อขนาดลดลงความยาวของแนวชายฝั่งก็เพิ่มขึ้นอย่างไม่มีกำหนด สถานการณ์นี้แยกเส้นโค้งเศษส่วนออกจากเส้นโค้งเรียบธรรมดาได้อย่างชัดเจน (เช่น วงกลม วงรี) ซึ่งขีดจำกัดของความยาวของเส้นหักโดยประมาณ แอลเนื่องจากความยาวของลิงก์มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ ลจำกัด เป็นผลให้เส้นโค้งเรียบมิติเศษส่วน ง=1, เช่น. ตรงกับทอพอโลยี

ให้เรานำเสนอค่าของมิติเศษส่วน งสำหรับแนวชายฝั่งต่างๆ ตัวอย่างเช่นสำหรับเกาะอังกฤษ ด? 13และสำหรับนอร์เวย์ ด? 15. มิติเศษส่วนของชายฝั่งออสเตรเลีย D ? 1. 1. ขนาดเศษส่วนของชายฝั่งอื่น ๆ ก็ใกล้เคียงกับความสามัคคีเช่นกัน

ข้างต้น แนวคิดของมิติเศษส่วนของแนวชายฝั่งได้ถูกนำมาใช้ เดี๋ยวจัดให้ครับ คำนิยามทั่วไปค่านี้ ปล่อย ง- มิติแบบยุคลิดตามปกติของพื้นที่ซึ่งวัตถุเศษส่วนของเราตั้งอยู่ ( ง=1- ไลน์, ง=2- เครื่องบิน, ง=3- ตามปกติ พื้นที่สามมิติ). ตอนนี้มาครอบคลุมวัตถุนี้อย่างสมบูรณ์ ง-มิติ "ลูก" ของรัศมี ล. สมมติว่าเราต้องการอย่างน้อย ยังไม่มีข้อความ(ล.)ลูก จากนั้นหากมีขนาดเล็กเพียงพอ ลขนาด N(ล) แตกต่างกันไปตามกฎหมายพลังงาน:

แล้ว ง- เรียกว่า Hausdorff หรือเศษส่วนมิติของวัตถุนี้