นิพจน์ สมการ และระบบสมการ
ด้วยจำนวนเชิงซ้อน

วันนี้ในบทเรียน เราจะพิจารณาการกระทำทั่วไปที่มีจำนวนเชิงซ้อน รวมทั้งฝึกฝนเทคนิคการแก้นิพจน์ สมการ และระบบสมการที่ตัวเลขเหล่านี้มีอยู่ เวิร์กชอปนี้เป็นบทเรียนที่ต่อเนื่องกัน ดังนั้นหากคุณไม่คุ้นเคยกับหัวข้อนี้ โปรดไปที่ลิงก์ด้านบน ฉันขอแนะนำให้ผู้อ่านที่เตรียมพร้อมมากขึ้นอุ่นเครื่องทันที:

ตัวอย่างที่ 1

ลดความซับซ้อนของนิพจน์ , ถ้า . นำเสนอผลลัพธ์ในรูปแบบตรีโกณมิติและพรรณนาบนระนาบเชิงซ้อน

วิธีการแก้: ดังนั้น คุณต้องแทนที่ในส่วนที่ "แย่มาก" ดำเนินการทำให้เข้าใจง่ายและแปลผลลัพธ์ จำนวนเชิงซ้อนใน แบบฟอร์มตรีโกณมิติ. แถมด่า.

วิธีที่ดีที่สุดในการตัดสินใจคืออะไร? ด้วย "ความแฟนซี" นิพจน์พีชคณิตดีกว่าที่จะทีละขั้นตอน ประการแรก ความสนใจจะกระจัดกระจายน้อยลง และประการที่สอง หากงานไม่ได้รับเครดิต การค้นหาข้อผิดพลาดจะง่ายกว่ามาก

1) มาทำให้ตัวเศษง่ายขึ้นก่อน แทนที่ค่าลงในนั้นเปิดวงเล็บและแก้ไขทรงผม:

... ใช่แล้ว Quasimodo จากจำนวนเชิงซ้อนกลับกลายเป็น ...

ฉันเตือนคุณว่าในระหว่างการแปลงนั้น มีการใช้สิ่งที่ชาญฉลาดอย่างสมบูรณ์ - กฎของการคูณพหุนามและความเท่าเทียมกันซ้ำซากอยู่แล้ว สิ่งสำคัญคือต้องระวังและไม่สับสนในสัญญาณ

2) ตอนนี้ตัวส่วนอยู่ถัดไป ถ้า แล้ว:

สังเกตว่ามีการใช้การตีความที่ผิดปกติอย่างไร สูตรผลรวมกำลังสอง. หรือเปลี่ยนได้ที่นี่ สูตรย่อย ผลลัพธ์ย่อมตรงกันแน่นอน

3) และสุดท้าย นิพจน์ทั้งหมด ถ้า แล้ว:

ในการกำจัดเศษส่วน เราคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วยนิพจน์คอนจูเกตกับตัวส่วน อย่างไรก็ตาม สำหรับวัตถุประสงค์ในการสมัคร ความแตกต่างของสูตรกำลังสองควรจะเป็นเบื้องต้น (และแน่นอน!)ใส่ส่วนจริงเชิงลบในตำแหน่งที่ 2:

และตอนนี้กฎสำคัญ:

ไม่ว่าในกรณีใดเราไม่รีบ! ดีกว่าที่จะเล่นอย่างปลอดภัยและกำหนดขั้นตอนเพิ่มเติม
ในนิพจน์ สมการ และระบบที่มีจำนวนเชิงซ้อน เกรงว่าจะใช้คำนวนได้ อิ่มเหมือนเดิม!

มีการหดตัวที่ดีในขั้นตอนสุดท้าย และนั่นเป็นเพียงสัญญาณที่ดี

บันทึก : พูดง่ายๆ ก็คือ การหารจำนวนเชิงซ้อนด้วยจำนวนเชิงซ้อน 50 เกิดขึ้นที่นี่ (จำได้ว่า ) ฉันได้เก็บเงียบเกี่ยวกับความแตกต่างนี้จนถึงขณะนี้ และเราจะพูดถึงมันในภายหลังเล็กน้อย

มาแสดงความสำเร็จของเราด้วยตัวอักษร

มาแทนผลลัพธ์ในรูปแบบตรีโกณมิติ โดยทั่วไป คุณสามารถทำได้โดยไม่ต้องวาดรูป แต่ทันทีที่มันจำเป็น มันก็มีเหตุผลมากกว่าที่จะทำตอนนี้ให้เสร็จ:

คำนวณโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน:

หากคุณวาดภาพในระดับ 1 หน่วย \u003d 1 ซม. (2 เซลล์ tetrad) จากนั้นค่าผลลัพธ์จะง่ายต่อการตรวจสอบโดยใช้ไม้บรรทัดปกติ

มาหาข้อโต้แย้งกัน เนื่องจากตัวเลขอยู่ในตัวที่2 พิกัด, แล้ว:

มุมจะถูกตรวจสอบโดยไม้โปรแทรกเตอร์ นี่คือข้อดีที่ไม่ต้องสงสัยของการวาดภาพ

ดังนั้น: - จำนวนที่ต้องการในรูปแบบตรีโกณมิติ

มาตรวจสอบกัน:
ซึ่งต้องได้รับการตรวจสอบ

สะดวกในการค้นหาค่าไซน์และโคไซน์ที่ไม่คุ้นเคยโดย ตารางตรีโกณมิติ.

ตอบ:

ตัวอย่างที่คล้ายกันสำหรับ โซลูชันอิสระ:

ตัวอย่าง 2

ลดความซับซ้อนของนิพจน์ , ที่ไหน . วาดจำนวนผลลัพธ์บนระนาบเชิงซ้อนแล้วเขียนในรูปแบบเลขชี้กำลัง

พยายามอย่าพลาด กรณีศึกษา. พวกเขาอาจดูเรียบง่าย แต่หากไม่มีการฝึกอบรม "การลงไปในแอ่งน้ำ" ไม่ใช่เรื่องง่าย แต่ง่ายมาก ดังนั้นเรามาลงมือทำกันเถอะ

บ่อยครั้งที่ปัญหาช่วยให้มีวิธีแก้ปัญหามากกว่าหนึ่งวิธี:

ตัวอย่างที่ 3

คำนวณถ้า ,

วิธีการแก้: ก่อนอื่น มาใส่ใจกับเงื่อนไขเดิมกันก่อน - ตัวเลขหนึ่งแสดงในรูปแบบพีชคณิตและอีกตัวอยู่ในรูปแบบตรีโกณมิติและแม้กระทั่งองศา มาเขียนใหม่ในรูปแบบที่คุ้นเคยกันทันที: .

การคำนวณควรทำในรูปแบบใด? เห็นได้ชัดว่านิพจน์เกี่ยวข้องกับการคูณครั้งแรกและการเพิ่มเป็นกำลังที่ 10 ใน สูตร De Moivreซึ่งเป็นสูตรสำหรับรูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้นจึงดูเหมือนมีเหตุผลมากกว่าที่จะแปลงตัวเลขแรก ค้นหาโมดูลและอาร์กิวเมนต์:

เราใช้กฎการคูณจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติ:
ถ้า แล้ว

ทำให้เศษส่วนถูกต้องเราจึงสรุปได้ว่าสามารถ "บิด" 4 รอบ ( ยินดี.):

วิธีที่สองในการแก้ปัญหาคือการแปลเลขตัวที่ 2 ให้อยู่ในรูปพีชคณิต , ทำการคูณใน รูปแบบพีชคณิตแปลผลลัพธ์เป็นรูปแบบตรีโกณมิติและใช้สูตรของ De Moivre

อย่างที่คุณเห็น หนึ่งการกระทำ "พิเศษ" ผู้ที่ต้องการสามารถทำตามวิธีแก้ปัญหาได้จนจบและให้แน่ใจว่าผลลัพธ์ตรงกัน

เงื่อนไขไม่ได้บอกอะไรเกี่ยวกับรูปแบบของจำนวนเชิงซ้อนที่เป็นผลลัพธ์ ดังนั้น:

ตอบ:

แต่ "เพื่อความงาม" หรือตามความต้องการ สามารถแสดงผลลัพธ์ในรูปแบบพีชคณิตได้อย่างง่ายดาย:

ด้วยตัวเอง:

ตัวอย่างที่ 4

ลดความซับซ้อนของนิพจน์

ที่นี่จำเป็นต้องจำไว้ การกระทำที่มีอำนาจถึงแม้ว่าหนึ่ง กฎที่มีประโยชน์ไม่มีในคู่มือ นี่คือ: .

อีกหนึ่งสิ่ง โน๊ตสำคัญ: ตัวอย่างสามารถแก้ไขได้ในสองรูปแบบ ตัวเลือกแรกคือการทำงานร่วมกับ สองตัวเลขและประกอบเป็นเศษส่วน ตัวเลือกที่สองคือการแสดงตัวเลขแต่ละตัวในรูปแบบ ผลหารของตัวเลขสองตัว: และ กำจัดสี่เรื่อง. จากมุมมองที่เป็นทางการ การตัดสินใจนั้นไม่แตกต่างกัน แต่มีความแตกต่างที่มีความหมาย! โปรดพิจารณาให้ดี:
เป็นจำนวนเชิงซ้อน
คือผลหารของจำนวนเชิงซ้อนสองตัว ( และ ) อย่างไรก็ตาม ขึ้นอยู่กับบริบท เราสามารถพูดแบบนี้ได้: ตัวเลขที่แสดงเป็นผลหารของจำนวนเชิงซ้อนสองตัว

โซลูชั่นด่วนและคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

นิพจน์ดี แต่สมการดีกว่า:

สมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงซ้อน

ต่างจากสมการ "ธรรมดา" อย่างไร? ค่าสัมประสิทธิ์ =)

จากข้อสังเกตข้างต้น เรามาเริ่มกันด้วยตัวอย่างนี้:

ตัวอย่างที่ 5

แก้สมการ

และคำนำทันทีในการแสวงหาอย่างร้อนแรง: เดิม ส่วนขวาสมการอยู่ในตำแหน่งเป็นผลหารของจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวน (และ 13) ดังนั้นการเขียนเงื่อนไขด้วยตัวเลขใหม่จึงเป็นรูปแบบที่ไม่ดี (ถึงจะไม่ทำให้เกิดความผิดพลาดก็ตาม). อย่างไรก็ตาม ความแตกต่างนี้จะเห็นได้ชัดเจนยิ่งขึ้นในเศษส่วน - ถ้า ค่อนข้างพูด ค่านี้จะเข้าใจเป็นหลักว่า "เต็ม" รากที่ซับซ้อนของสมการและ ไม่ เป็น ตัว หาร ของ จำนวน , และ ยิ่ง กว่า นั้น - ไม่ เป็น ส่วน ของ จำนวน !

วิธีการแก้โดยหลักการแล้วสามารถวาดขึ้นทีละขั้นตอนได้ แต่ใน กรณีนี้เกมไม่คุ้มกับเทียน งานเริ่มต้นคือการทำให้ทุกอย่างง่ายขึ้นโดยไม่มี "Z" ที่ไม่รู้จักอันเป็นผลมาจากการที่สมการจะถูกลดขนาดลงในรูปแบบ:

ลดความซับซ้อนของเศษส่วนเฉลี่ยอย่างมั่นใจ:

เราโอนผลลัพธ์ไปทางด้านขวาและพบความแตกต่าง:

บันทึก : และอีกครั้งฉันดึงความสนใจของคุณไปที่จุดที่มีความหมาย - ที่นี่เราไม่ได้ลบตัวเลขออกจากตัวเลข แต่สรุปเศษส่วนเป็น ตัวส่วนร่วม! ควรสังเกตว่าในระหว่างการแก้ปัญหาห้ามมิให้ทำงานกับตัวเลข: อย่างไรก็ตาม ในตัวอย่างที่กำลังพิจารณา รูปแบบดังกล่าวเป็นอันตรายมากกว่ามีประโยชน์ =)

ตามกฎของสัดส่วนเราแสดง "z":

ตอนนี้คุณสามารถหารและคูณด้วยนิพจน์ adjoint ได้อีกครั้ง แต่จำนวนที่ใกล้เคียงกันอย่างน่าสงสัยของตัวเศษและตัวส่วนแนะนำการเคลื่อนไหวต่อไปนี้:

ตอบ:

เพื่อวัตถุประสงค์ในการตรวจสอบ เราแทนที่ค่าผลลัพธ์ที่ด้านซ้ายของสมการดั้งเดิมและทำการย่อ:

- ได้ทางด้านขวาของสมการดั้งเดิม ดังนั้นจึงพบรูทอย่างถูกต้อง

…ตอนนี้-ตอนนี้…ฉันจะเลือกสิ่งที่น่าสนใจกว่านี้สำหรับคุณ…เดี๋ยวก่อน:

ตัวอย่างที่ 6

แก้สมการ

สมการนี้ลดลงเป็นรูปแบบ และด้วยเหตุนี้จึงเป็นเส้นตรง ฉันคิดว่าคำใบ้นั้นชัดเจน - ไปเลย!

แน่นอน ... คุณจะอยู่ได้โดยปราศจากมันได้อย่างไร:

สมการกำลังสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงซ้อน

ในบทเรียน ตัวเลขที่ซับซ้อนสำหรับหุ่นเราได้เรียนรู้ว่า สมการกำลังสองด้วยสัมประสิทธิ์ที่แท้จริงสามารถมีคอนจูเกตรากที่ซับซ้อนได้หลังจากนั้นจึงเกิดคำถามเชิงตรรกะ: ทำไมในความเป็นจริงสัมประสิทธิ์ตัวเองไม่สามารถซับซ้อนได้? ฉันจะกำหนด กรณีทั่วไป:

สมการกำลังสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงซ้อนตามอำเภอใจ (1 หรือ 2 อันหรือทั้งสามข้ออาจใช้ได้โดยเฉพาะ)มันมี สองและสองเท่านั้นรากที่ซับซ้อน (อาจมีข้อใดข้อหนึ่งหรือทั้งสองข้อถูกต้อง). ในขณะที่ราก (ทั้งส่วนจริงและส่วนจินตภาพที่ไม่ใช่ศูนย์)อาจตรงกัน (หลาย)

สมการกำลังสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงซ้อนถูกแก้ด้วยวิธีเดียวกับ สมการ "โรงเรียน"โดยมีความแตกต่างบางประการในเทคนิคการคำนวณ:

ตัวอย่าง 7

หารากของสมการกำลังสอง

วิธีการแก้: หน่วยจินตภาพอยู่ในตำแหน่งแรก และโดยหลักการแล้ว คุณสามารถกำจัดมันได้ (คูณทั้งสองข้างด้วย )อย่างไรก็ตาม ไม่จำเป็นสำหรับสิ่งนี้โดยเฉพาะ

เพื่อความสะดวก เราเขียนสัมประสิทธิ์:

เราไม่เสีย "ลบ" ของสมาชิกฟรี! ... อาจไม่ชัดเจนสำหรับทุกคน - ฉันจะเขียนสมการใหม่เป็น แบบฟอร์มมาตรฐาน :

ลองคำนวณการเลือกปฏิบัติ:

นี่คืออุปสรรค์หลัก:

แอปพลิเคชัน สูตรทั่วไปการสกัดราก (ดูย่อหน้าสุดท้ายของบทความ ตัวเลขที่ซับซ้อนสำหรับหุ่น) มีความซับซ้อนโดยปัญหาร้ายแรงที่เกี่ยวข้องกับอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนรากศัพท์ (ดูด้วยตัวคุณเอง). แต่มีอีกวิธี "พีชคณิต"! เราจะค้นหารูทในรูปแบบ:

ลองยกกำลังสองทั้งสองข้างกัน:

จำนวนเชิงซ้อนสองจำนวนจะเท่ากันถ้าส่วนจริงและส่วนจินตภาพเท่ากัน ดังนั้นเราจึงได้รับ ระบบถัดไป:

ระบบแก้ง่ายกว่าโดยเลือก (วิธีที่ละเอียดกว่าคือแสดงจากสมการที่ 2 - แทนใน 1 ได้และแก้ สมการกำลังสอง) . สมมติว่าผู้เขียนปัญหาไม่ใช่สัตว์ประหลาด เราตั้งสมมติฐานว่าเป็นจำนวนเต็ม จากสมการที่ 1 จะได้ว่า "x" โมดูโลมากกว่า "ย" นอกจากนี้ ผลบวกยังบอกเราด้วยว่าสิ่งที่ไม่รู้เป็นสัญญาณเดียวกัน จากที่กล่าวมาและเน้นที่สมการที่ 2 เราจดคู่ทั้งหมดที่ตรงกับมัน:

เห็นได้ชัดว่าสองคู่สุดท้ายเป็นไปตามสมการที่ 1 ของระบบ ดังนั้น:

การตรวจสอบระดับกลางจะไม่ทำให้เสียหาย:

ซึ่งต้องตรวจสอบ

ในฐานะรูท "ทำงาน" คุณสามารถเลือกได้ ใดๆความหมาย. เป็นที่ชัดเจนว่าควรใช้เวอร์ชันที่ไม่มี "ข้อเสีย" จะดีกว่า:

เราพบรากไม่ลืมโดยวิธีการที่:

ตอบ:

มาตรวจดูว่ารากที่พบเป็นไปตามสมการหรือไม่ :

1) ทดแทน:

ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง

2) ทดแทน:

ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง

ดังนั้นจึงพบวิธีแก้ปัญหาอย่างถูกต้อง

แรงบันดาลใจจากปัญหาที่เพิ่งกล่าวถึง:

ตัวอย่างที่ 8

หารากของสมการ

ควรสังเกตว่า รากที่สองจาก ซับซ้อนอย่างหมดจดสกัดตัวเลขได้อย่างลงตัวและใช้สูตรทั่วไป , ที่ไหน ดังนั้นทั้งสองวิธีจึงแสดงในตัวอย่าง ข้อสังเกตที่มีประโยชน์ข้อที่สองเกี่ยวข้องกับข้อเท็จจริงที่ว่าการสกัดรากจากค่าคงที่ในเบื้องต้นไม่ได้ทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้นเลย

และตอนนี้คุณก็ผ่อนคลายได้แล้ว - ในตัวอย่างนี้ คุณจะตื่นตกใจเล็กน้อย :)

ตัวอย่างที่ 9

แก้สมการและตรวจสอบ

คำตอบและคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

ย่อหน้าสุดท้ายของบทความอุทิศให้กับ

ระบบสมการที่มีจำนวนเชิงซ้อน

เราผ่อนคลายและ ... เราไม่เครียด =) พิจารณา กรณีที่ง่ายที่สุด- ระบบสอง สมการเชิงเส้นด้วยสองสิ่งที่ไม่รู้จัก:

ตัวอย่าง 10

แก้ระบบสมการ นำเสนอคำตอบในรูปแบบพีชคณิตและเลขชี้กำลัง พรรณนาถึงรากในภาพวาด

วิธีการแก้: เงื่อนไขตัวเองแนะนำว่าระบบมีคำตอบเฉพาะ นั่นคือ เราต้องหาตัวเลขสองตัวที่ตรงใจ ถึงแต่ละคนสมการระบบ

ระบบสามารถแก้ไขได้แบบ "หน่อมแน้ม" จริงๆ (แสดงตัวแปรหนึ่งในรูปของอีกตัวแปรหนึ่ง) แต่ใช้งานสะดวกกว่ามาก สูตรของแครมเมอร์. คำนวณ ตัวกำหนดหลักระบบ:

ดังนั้นระบบจึงมีโซลูชันที่ไม่เหมือนใคร

ฉันขอย้ำว่าอย่ารีบเร่งและกำหนดขั้นตอนให้ละเอียดที่สุดเท่าที่จะทำได้:

เราคูณทั้งเศษและส่วนด้วยหน่วยจินตภาพและรับรูทที่ 1:

ในทำนองเดียวกัน:

ทางด้านขวามือที่สอดคล้องกัน ป.ป.ช.

มาวาดรูปกันเถอะ:

เราเป็นตัวแทนของรากในรูปแบบเลขชี้กำลัง ในการทำเช่นนี้ คุณต้องค้นหาโมดูลและอาร์กิวเมนต์:

1) - อาร์คแทนเจนต์ของ "สอง" คำนวณได้ "ไม่ดี" ดังนั้นเราจึงปล่อยให้เป็นดังนี้:

ในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อน คุณต้องเข้าใจคำจำกัดความพื้นฐาน งานหลักของบทความทบทวนนี้ - เพื่ออธิบายว่าจำนวนเชิงซ้อนคืออะไรและเพื่อนำเสนอวิธีการแก้ปัญหาพื้นฐานเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้น จำนวนเชิงซ้อนจึงเป็นตัวเลขของรูปแบบ z = a + bi, ที่ไหน ก, ข- จำนวนจริงซึ่งเรียกว่าส่วนจริงและส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อนตามลำดับและแสดงว่า a = Re(z), b=Im(z).
ผมเรียกว่า หน่วยจินตภาพ ฉัน 2 \u003d -1. โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จำนวนจริงใดๆ อาจถือได้ว่าซับซ้อน: a = a + 0iโดยที่ a เป็นจริง ถ้า a = 0และ ข ≠ 0แล้วเรียกจำนวนนั้นว่าจินตภาพล้วนๆ

ตอนนี้เราแนะนำการดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อน
พิจารณาจำนวนเชิงซ้อนสองตัว z 1 = a 1 + b 1 iและ z 2 = a 2 + b 2 i.

พิจารณา z = a + bi.

เซตของจำนวนเชิงซ้อนขยายเซตของจำนวนจริงซึ่งจะขยายเซต สรุปตัวเลขเป็นต้น ห่วงโซ่การลงทุนนี้สามารถเห็นได้จากรูป: N - จำนวนเต็ม, Z เป็นจำนวนเต็ม, Q เป็นตรรกยะ, R เป็นจำนวนจริง, C เป็นจำนวนเชิงซ้อน

การแทนค่าจำนวนเชิงซ้อน

สัญกรณ์พีชคณิต

พิจารณาจำนวนเชิงซ้อน z = a + bi, รูปแบบการเขียนจำนวนเชิงซ้อนนี้เรียกว่า พีชคณิต. เราได้กล่าวถึงรูปแบบการเขียนนี้โดยละเอียดแล้วในหัวข้อที่แล้ว มักใช้ภาพวาดภาพประกอบต่อไปนี้

แบบฟอร์มตรีโกณมิติ

จะเห็นได้จากตัวเลขว่า z = a + biสามารถเขียนต่างกันได้ เห็นได้ชัดว่า a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, เพราะเหตุนี้ z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) เรียกว่าอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน การแสดงจำนวนเชิงซ้อนนี้เรียกว่า แบบฟอร์มตรีโกณมิติ. บางครั้งรูปแบบตรีโกณมิติของสัญกรณ์สะดวกมาก ตัวอย่างเช่น สะดวกในการเพิ่มจำนวนเชิงซ้อนเป็นยกกำลังจำนวนเต็ม กล่าวคือ if z = rcos(φ) + rsin(φ)i, แล้ว z n = r n cos(nφ) + r n บาป(nφ)i, สูตรนี้เรียกว่า สูตรของ De Moivre.

แบบฟอร์มการสาธิต

พิจารณา z = rcos(φ) + rsin(φ)iเป็นจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติ เราเขียนมันในอีกรูปแบบหนึ่ง z = r(cos(φ) + บาป (φ)i) = อีกครั้ง iφความเท่าเทียมกันสุดท้ายตามมาจากสูตรออยเลอร์ ดังนั้นเราจึงได้ แบบฟอร์มใหม่รายการจำนวนเชิงซ้อน: z = อีกครั้ง iφ, ซึ่งเรียกว่า สาธิต. รูปแบบของสัญกรณ์นี้สะดวกมากสำหรับการเพิ่มจำนวนเชิงซ้อนเป็นยกกำลัง: z n = r n อี ในφ, ที่นี่ นไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็ม แต่สามารถกำหนดเองได้ เบอร์จริง. การเขียนแบบนี้มักใช้ในการแก้ปัญหา

ทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตที่สูงขึ้น

ลองนึกภาพว่าเรามีสมการกำลังสอง x 2 + x + 1 = 0 . แน่นอน ดิสคริมิแนนต์ของสมการนี้เป็นค่าลบ และไม่มีรากที่แท้จริง แต่ปรากฎว่าสมการนี้มีรากเชิงซ้อนสองแบบที่แตกต่างกัน ดังนั้น ทฤษฎีบทหลักของพีชคณิตระดับสูงระบุว่าพหุนามของดีกรี n ใดๆ มีรากเชิงซ้อนอย่างน้อยหนึ่งราก จากนี้ไปพหุนามของดีกรี n ใดๆ มีรากเชิงซ้อน n ตัวพอดี โดยคำนึงถึงหลายหลากของพวกมัน ทฤษฎีบทนี้ดีมาก ผลลัพธ์ที่สำคัญในวิชาคณิตศาสตร์และมีการใช้กันอย่างแพร่หลาย ผลที่ตามมาอย่างง่ายของทฤษฎีบทนี้คือผลลัพธ์ดังต่อไปนี้: มี n . ตรงทั้งหมด รากต่างๆพลัง n ออกจากความสามัคคี

งานประเภทหลัก

ส่วนนี้จะครอบคลุมประเภทหลัก งานง่ายๆเป็นจำนวนเชิงซ้อน ตามอัตภาพ ปัญหาของจำนวนเชิงซ้อนสามารถแบ่งออกเป็นประเภทต่อไปนี้

• ดำเนินการเลขคณิตอย่างง่ายกับจำนวนเชิงซ้อน
• การหารากของพหุนามในจำนวนเชิงซ้อน
• การเพิ่มจำนวนเชิงซ้อนเป็นยกกำลัง
• การสกัดรากจากจำนวนเชิงซ้อน
• การนำจำนวนเชิงซ้อนมาแก้ปัญหาอื่นๆ

ตอนนี้พิจารณา วิธีการทั่วไปแนวทางแก้ไขปัญหาเหล่านี้

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ง่ายที่สุดด้วยจำนวนเชิงซ้อนเกิดขึ้นตามกฎที่อธิบายไว้ในส่วนแรก แต่ถ้าแสดงจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติหรือเลขชี้กำลัง ในกรณีนี้ พวกเขาสามารถแปลงเป็นรูปแบบพีชคณิตและดำเนินการตามกฎที่ทราบ

การหารากของพหุนามมักจะมาจากการหารากของสมการกำลังสอง สมมุติว่าเรามีสมการกำลังสอง ถ้า discriminant ไม่เป็นลบ รากของมันจะเป็นจริงและหาได้ตามสูตรที่ทราบกันดี หากการเลือกปฏิบัติเป็นลบแล้ว D = -1∙a 2, ที่ไหน เอเป็นจำนวนหนึ่งแล้วเราสามารถแสดงการเลือกปฏิบัติในรูปแบบ D = (ia) 2, เพราะเหตุนี้ √D = ฉัน|a|จากนั้นคุณสามารถใช้ สูตรดังสำหรับรากของสมการกำลังสอง

ตัวอย่าง. กลับไปที่สมการกำลังสองที่กล่าวถึงข้างต้น x 2 + x + 1 = 0
การเลือกปฏิบัติ - D \u003d 1 - 4 ∙ 1 \u003d -3 \u003d -1 (√3) 2 \u003d (i√3) 2.
ตอนนี้เราสามารถหารากได้ง่าย:

การเพิ่มจำนวนเชิงซ้อนเป็นยกกำลังสามารถทำได้หลายวิธี หากคุณต้องการเพิ่มจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบพีชคณิตให้เป็นกำลังน้อย (2 หรือ 3) คุณสามารถทำได้โดยการคูณโดยตรง แต่ถ้าดีกรีสูงกว่า (ในปัญหามักจะมากกว่านั้นมาก) คุณต้อง เขียนตัวเลขนี้ในรูปแบบตรีโกณมิติหรือเลขชี้กำลัง และใช้วิธีการที่ทราบอยู่แล้ว

ตัวอย่าง. พิจารณา z = 1 + i แล้วยกกำลังสิบ
เราเขียน z ในรูปแบบเลขชี้กำลัง: z = √2 e iπ/4 .
แล้ว z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
กลับไปที่รูปแบบพีชคณิต: z 10 = -32i

การแยกรากออกจากจำนวนเชิงซ้อนเป็นการดำเนินการผกผันของการยกกำลัง ดังนั้นจึงทำในลักษณะเดียวกัน ในการแยกราก มักใช้รูปแบบเลขชี้กำลังในการเขียนตัวเลข

ตัวอย่าง. หารากของระดับ 3 ของความสามัคคีทั้งหมด เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะหารากของสมการ z 3 = 1 ทั้งหมด เราจะหารากในรูปแบบเลขชี้กำลัง
แทนที่ในสมการ: r 3 e 3iφ = 1 หรือ r 3 e 3iφ = e 0 .
ดังนั้น: r = 1, 3φ = 0 + 2πk ดังนั้น φ = 2πk/3
ได้รากต่างๆ ที่ φ = 0, 2π/3, 4π/3
ดังนั้น 1 , e i2π/3 , e i4π/3 เป็นราก
หรือในรูปแบบพีชคณิต:

ประเภทงานสุดท้ายรวมถึง มวลชนมากมายปัญหาและไม่มีวิธีการทั่วไปในการแก้ปัญหา นี่คือตัวอย่างง่ายๆ ของงานดังกล่าว:

หาจำนวนเงิน บาป(x) + บาป(2x) + บาป(2x) + … + บาป(nx).

แม้ว่าการกำหนดปัญหานี้จะไม่เกิดขึ้น ในคำถามเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อน แต่ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา มันสามารถแก้ได้อย่างง่ายดาย ในการแก้ปัญหาจะใช้การแทนค่าต่อไปนี้:


หากตอนนี้เราแทนที่การแทนค่านี้เป็นผลรวม ปัญหาก็จะลดลงเหลือเป็นผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตตามปกติ

บทสรุป

ตัวเลขเชิงซ้อนถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในวิชาคณิตศาสตร์ ในบทความทบทวนนี้มีการพิจารณาการดำเนินการพื้นฐานของจำนวนเชิงซ้อน อธิบายปัญหามาตรฐานหลายประเภทและอธิบายสั้นๆ วิธีการทั่วไปวิธีแก้ปัญหาของพวกเขาสำหรับการศึกษารายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับความเป็นไปได้ของจำนวนเชิงซ้อน ขอแนะนำให้ใช้วรรณกรรมเฉพาะทาง

วรรณกรรม

บริการแก้สมการออนไลน์จะช่วยคุณแก้สมการใด ๆ เมื่อใช้เว็บไซต์ของเรา คุณจะไม่เพียงได้คำตอบของสมการเท่านั้น แต่ยังได้ดู วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดนั่นคือการแสดงขั้นตอนในการรับผลลัพธ์ทีละขั้นตอน บริการของเราจะเป็นประโยชน์สำหรับนักเรียนมัธยมปลาย โรงเรียนการศึกษาทั่วไปและพ่อแม่ของพวกเขา นักเรียนจะสามารถเตรียมตัวสอบ สอบ ทดสอบความรู้ และผู้ปกครองจะสามารถควบคุมการตัดสินใจได้ สมการทางคณิตศาสตร์กับลูกๆ ของพวกเขา ความสามารถในการแก้สมการเป็นข้อกำหนดบังคับสำหรับนักเรียน บริการนี้จะช่วยให้คุณเรียนรู้ด้วยตนเองและปรับปรุงความรู้ของคุณในด้านสมการคณิตศาสตร์ ด้วยวิธีนี้ คุณสามารถแก้สมการใดๆ: กำลังสอง, ลูกบาศก์, อตรรกยะ, ตรีโกณมิติ ฯลฯ บริการออนไลน์แต่ประเมินค่าไม่ได้ เพราะนอกจากจะได้คำตอบที่ถูกต้องแล้ว คุณยังได้รับคำตอบโดยละเอียดของสมการแต่ละข้ออีกด้วย ประโยชน์ของการแก้สมการออนไลน์ คุณสามารถแก้สมการออนไลน์บนเว็บไซต์ของเราได้ฟรี บริการนี้เป็นไปโดยอัตโนมัติโดยสมบูรณ์ คุณไม่จำเป็นต้องติดตั้งอะไรบนคอมพิวเตอร์ของคุณ คุณเพียงแค่ต้องป้อนข้อมูลและโปรแกรมจะแก้ไขปัญหาให้ ไม่รวมข้อผิดพลาดในการคำนวณหรือข้อผิดพลาดในการพิมพ์ การแก้สมการออนไลน์กับเรานั้นง่ายมาก ดังนั้นโปรดใช้เว็บไซต์ของเราเพื่อแก้สมการแบบใดก็ได้ คุณจะต้องป้อนข้อมูลและการคำนวณจะเสร็จสิ้นภายในไม่กี่วินาที โปรแกรมทำงานอย่างอิสระโดยปราศจากการแทรกแซงของมนุษย์ และคุณจะได้รับคำตอบที่ถูกต้องและละเอียด การแก้สมการใน ปริทัศน์. ในสมการดังกล่าว สัมประสิทธิ์ตัวแปรและรากที่ต้องการจะเชื่อมโยงถึงกัน กำลังสูงสุดของตัวแปรเป็นตัวกำหนดลำดับของสมการดังกล่าว จากนี้สำหรับสมการใช้ วิธีการต่างๆและทฤษฏีในการหาคำตอบ การแก้สมการ ประเภทนี้หมายถึงการหารากที่ต้องการในแง่ทั่วไป บริการของเราช่วยให้คุณแก้สมการพีชคณิตที่ซับซ้อนที่สุดทางออนไลน์ได้ คุณสามารถได้ทั้งคำตอบทั่วไปของสมการและคำตอบส่วนตัวสำหรับคำตอบที่คุณระบุ ค่าตัวเลขค่าสัมประสิทธิ์ ในการแก้สมการพีชคณิตบนไซต์ ให้กรอกเพียงสองฟิลด์อย่างถูกต้องเท่านั้น: ส่วนซ้ายและขวา สมการที่กำหนด. ที่ สมการพีชคณิตด้วยค่าสัมประสิทธิ์ตัวแปร จำนวนโซลูชันที่ไม่สิ้นสุด และโดยการตั้งค่าเงื่อนไขบางอย่าง ค่าส่วนตัวจะถูกเลือกจากชุดของโซลูชัน สมการกำลังสอง. สมการกำลังสองมีรูปแบบ ax^2+bx+c=0 สำหรับ a>0 การแก้สมการ มุมมองสี่เหลี่ยมหมายถึงการหาค่า x ซึ่ง ax ที่เท่ากัน^2+bx+c=0เป็นที่พอใจ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ค่าของการเลือกปฏิบัติจะพบโดยสูตร D=b^2-4ac หาก discriminant น้อยกว่าศูนย์ แสดงว่าสมการนั้นไม่มีรากที่แท้จริง (รากมาจากช่องของจำนวนเชิงซ้อน) หากเป็นศูนย์ สมการนั้นก็มีรากจริงหนึ่งราก และหากตัวจำแนกประเภท เหนือศูนย์จากนั้นสมการจะมีรากจริงสองราก ซึ่งพบโดยสูตร: D \u003d -b + -sqrt / 2a ในการแก้สมการกำลังสองแบบออนไลน์ คุณเพียงแค่ป้อนค่าสัมประสิทธิ์ของสมการดังกล่าว (จำนวนเต็ม เศษส่วน หรือค่าทศนิยม) หากมีเครื่องหมายลบในสมการ คุณต้องใส่เครื่องหมายลบนำหน้าพจน์ที่เกี่ยวข้องของสมการ คุณยังสามารถแก้สมการกำลังสองออนไลน์ได้ โดยขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ กล่าวคือ ตัวแปรในสัมประสิทธิ์ของสมการ บริการออนไลน์ของเราสำหรับการค้นหา วิธีแก้ปัญหาทั่วไป. สมการเชิงเส้น ในการแก้สมการเชิงเส้น (หรือระบบสมการ) ในทางปฏิบัติจะใช้วิธีการหลักสี่วิธี มาอธิบายแต่ละวิธีโดยละเอียดกัน วิธีการทดแทน การแก้สมการโดยใช้วิธีการทดแทนจำเป็นต้องมีการแสดงตัวแปรหนึ่งตัวในรูปของตัวแปรอื่น หลังจากนั้นนิพจน์จะถูกแทนที่ด้วยสมการอื่นของระบบ ดังนั้นชื่อของวิธีการแก้ปัญหา นั่นคือ แทนที่จะเป็นตัวแปร นิพจน์ผ่านตัวแปรที่เหลือจะถูกแทนที่ ในทางปฏิบัติ วิธีการนี้ต้องการการคำนวณที่ซับซ้อน แม้ว่าจะเข้าใจได้ง่าย ดังนั้นการแก้สมการดังกล่าวทางออนไลน์จะช่วยประหยัดเวลาและทำให้การคำนวณง่ายขึ้น คุณเพียงแค่ต้องระบุจำนวนไม่ทราบค่าในสมการและกรอกข้อมูลจากสมการเชิงเส้น จากนั้นบริการจะทำการคำนวณ วิธีเกาส์ วิธีการจะขึ้นอยู่กับการแปลงที่ง่ายที่สุดของระบบเพื่อที่จะมา ระบบเทียบเท่า สามเหลี่ยม. สิ่งที่ไม่รู้จักจะถูกกำหนดทีละคนจากมัน ในทางปฏิบัติจำเป็นต้องแก้สมการออนไลน์ด้วย คำอธิบายโดยละเอียดต้องขอบคุณวิธีการเกาส์ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น เขียนระบบสมการเชิงเส้นในรูปแบบที่ถูกต้องและคำนึงถึงจำนวนที่ไม่ทราบค่าเพื่อแก้ระบบได้อย่างถูกต้อง วิธีการของแครมเมอร์ วิธีนี้จะแก้ระบบสมการในกรณีที่ระบบมีคำตอบเฉพาะ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์หลักที่นี่คือการคำนวณ ตัวกำหนดเมทริกซ์. การแก้สมการโดยวิธี Cramer ดำเนินการทางออนไลน์ คุณจะได้รับผลลัพธ์ทันทีพร้อมคำอธิบายโดยละเอียดและครบถ้วน แค่เติมระบบด้วยค่าสัมประสิทธิ์และเลือกจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จักก็เพียงพอแล้ว วิธีเมทริกซ์ วิธีนี้ประกอบด้วยการรวบรวมสัมประสิทธิ์ของนิรนามในเมทริกซ์ A, ค่านิรนามในคอลัมน์ X และพจน์อิสระในคอลัมน์ B ดังนั้น ระบบสมการเชิงเส้นจึงลดลงเป็น สมการเมทริกซ์ในรูปแบบ AxX=B สมการนี้มีคำตอบเฉพาะเมื่อดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ A ไม่เป็นศูนย์ มิฉะนั้น ระบบจะไม่มีคำตอบ หรือคำตอบจำนวนอนันต์ การแก้สมการ วิธีเมทริกซ์คือการหา เมทริกซ์ผกผันแต่.

การใช้สมการแพร่หลายในชีวิตของเรา ใช้ในการคำนวณ การก่อสร้างโครงสร้าง และแม้กระทั่งกีฬา มนุษย์ใช้สมการมาตั้งแต่สมัยโบราณและนับแต่นั้นมาการใช้สมการก็เพิ่มขึ้นเท่านั้น เพื่อความชัดเจน มาแก้ปัญหาต่อไปนี้:

คำนวณ \"[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] ถ้า \

ก่อนอื่น ให้ใส่ใจกับความจริงที่ว่าตัวเลขหนึ่งแสดงอยู่ในรูปแบบพีชคณิต อีกจำนวนหนึ่ง - ในรูปแบบตรีโกณมิติ จะต้องทำให้ง่ายขึ้นและ ชนิดต่อไป

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

นิพจน์ \ บอกว่า อย่างแรกเลย เราทำการคูณและเพิ่มกำลังที่ 10 ตามสูตร Moivre สูตรนี้จัดทำขึ้นสำหรับรูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน เราได้รับ:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

ตามกฎสำหรับการคูณจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติ เราจะทำสิ่งต่อไปนี้:

ในกรณีของเรา:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ พาย)(3).\]

ทำให้เศษส่วน \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] ถูกต้อง เราสรุปได้ว่าสามารถ "บิด" 4 รอบ \[(8\pi rad.):\ ]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

คำตอบ: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

สมการนี้สามารถแก้ได้อีกทางหนึ่ง ซึ่งก็คือการนำตัวเลขที่ 2 มาอยู่ในรูปแบบพีชคณิต จากนั้นทำการคูณในรูปแบบพีชคณิต แปลผลลัพธ์เป็นรูปแบบตรีโกณมิติและใช้สูตร Moivre:

ฉันจะแก้ระบบสมการด้วยจำนวนเชิงซ้อนทางออนไลน์ได้ที่ไหน

คุณสามารถแก้ระบบสมการบนเว็บไซต์ของเรา https://site. โปรแกรมแก้ปัญหาออนไลน์ฟรีจะช่วยให้คุณแก้สมการออนไลน์ของความซับซ้อนใด ๆ ในไม่กี่วินาที สิ่งที่คุณต้องทำคือเพียงแค่ป้อนข้อมูลของคุณลงในโปรแกรมแก้ไข คุณสามารถชมวิดีโอการสอนและเรียนรู้วิธีแก้สมการบนเว็บไซต์ของเรา และหากคุณมีคำถามใดๆ คุณสามารถถามพวกเขาได้ในกลุ่ม Vkontakte ของเรา http://vk.com/pocketteacher เข้าร่วมกลุ่มของเรา เรายินดีที่จะช่วยเหลือคุณเสมอ