З 3 раціональні нерівності. Вирішення раціональних нерівностей методом інтервалів

За допомогою даного урокуви дізнаєтеся про раціональні нерівності та їх системи. Вирішується система раціональних нерівностей за допомогою еквівалентних перетворень. Розглядається визначення еквівалентності, спосіб заміни дробово-раціональної нерівності - квадратною, а також розбирається в чому відмінність нерівності від рівняння та як здійснюються рівносильні перетворення.

Вступ

Алгебра 9 клас

Підсумкове повторення курсу алгебри 9-го класу

Раціональні нерівності та їх системи. Системи раціональних нерівностей.

1.1 Конспект.

Еквівалентні перетворення раціональних нерівностей

1. Еквівалентні перетворення раціональних нерівностей.

Вирішити раціональна нерівністьозначає знайти всі його рішення. На відміну від рівняння, під час вирішення нерівності, зазвичай, виникає безліч рішень. Безлічрішень не можна перевірити шляхом підстановки. Тому потрібно так перетворювати вихідну нерівність, щоб у кожному наступному рядку виходила нерівність з тією ж безліччю рішень.

Раціональні нерівностівирішуються лише за допомогою еквівалентнихабо рівносильних перетворень. Такі перетворення не спотворюють безліч рішень.

Визначення. Раціональні нерівностіназивають еквівалентними, якщо безліч їхніх рішень збігаються.

Для позначення еквівалентностівикористовують знак

Розв'язання системи нерівностей. Еквівалентні перетворення системи

2. Розв'язання системи нерівностей

Перша та друга нерівність – це дробово- раціональні нерівності. Методи їх вирішення є природним продовженням методів розв'язання лінійних та квадратних нерівностей.

Перенесемо числа, що стоять у правій частині, до лівої з протилежним знаком.

У результаті правої частини залишиться 0. Це перетворення є еквівалентним. На це вказує знак

Виконаємо дії, які наказує алгебра. Віднімемо «1» у першій нерівності та «2» у другій.

Вирішення першої нерівності методом інтервалів

3. Вирішення нерівності методом інтервалів

1) Введемо функцію. Нам потрібно дізнатися, коли ця функція менша за 0.

2) Знайдемо область визначення функції: у знаменнику не повинен стояти 0. «2» - точка розриву. При х = 2 функція невизначена.

3) Знайдемо коріння функції. Функція дорівнює 0, якщо в чисельнику стоїть 0.

Поставлені точки розбивають числову вісь на три інтервали – це інтервали знакопостійності. У кожному інтервалі функція зберігає знак. Визначимо знак першому інтервалі. Підставимо якесь значення. Наприклад, 100. Зрозуміло, як і чисельник, і знаменник більше 0. Значить і весь дріб позитивна.

Визначимо знаки інших проміжках. При переході через точку х=2 лише знаменник змінює знак. Значить, і весь дріб поміняє знак, і буде негативним. Проведемо аналогічне міркування. Під час переходу через точку х=-3 тільки чисельник змінює знак. Значить, дріб поміняє знак і буде позитивним.

Виберемо інтервал, що відповідає умові нерівності. Заштрихуємо його та запишемо у вигляді нерівності

Прийом відомості дробово-раціональної нерівності до квадратної.

Розв'язання першої нерівності шляхом зведення до квадратного

4. Вирішення нерівності за допомогою квадратичної нерівності

Важливий факт.

У порівнянні з 0 (у разі суворої нерівності) дріб можна замінити на твір чисельника на знаменник або поміняти чисельник чи знаменник місцями.

Це так, тому що всі три нерівності виконуються за умови, що u та v різного знаку. Ці три нерівності еквівалентні.

Використовуємо цей факт та замінимо дробово-раціональна нерівністьквадратним.

Вирішимо квадратну нерівність.

Введемо квадратичну функцію. Знайдемо її коріння та побудуємо ескіз її графіка.

Значить, гілки параболи вгору. Всередині інтервалу коріння функція зберігає знак. Вона негативна.

Поза інтервалом коренів функція позитивна.

Розв'язання першої нерівності:

Вирішення другої нерівності

5. Вирішення нерівності

Введемо функцію:

Знайдемо її інтервали знаковості:

Для цього знайдемо коріння та точки розриву області визначення функції. Точки розриву виколюємо завжди. (х=3/2) Коріння виколюємо залежно від знаку нерівності. Наша нерівність сувора. Тому корінь виколюємо.

Розставимо знаки:

Запишемо рішення:

Перетин множин рішень першої та другої нерівностей. Форма запису рішення

Закінчимо рішення системи. Знайдемо перетин безлічі рішень першої нерівності та безлічі рішень другої нерівності.

Вирішити систему нерівностей означає знайти перетин безлічі рішень першої нерівності і безлічі рішень другої нерівності. Тому, вирішивши першу і другу нерівність окремо, потрібно записати отримані результати в одну систему.

Зобразимо розв'язання першої нерівності над віссю Ох.

Рішення другої нерівності зобразимо під віссю.

Рішенням системи будуть ті значення змінної, які задовольняють як першій, так і другій нерівності. Отже, вирішення системи :

Висновок

Алгебра, 9 клас. Частина 1 із 2. Підручник (А. Г. Мордкович, П. В. Семенов) 2010 Алгебра, 9 клас. Частина 2 з 2. Задачник (А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. М. Мішустіна та ін.) 2010 Алгебра, 9 клас (Л. В. Кузнєцова, С. Б. Суворова, Є. А. Бунімович та ін) 2010 Алгебра, 9 клас. Задачник (Л. І. Звавіч, А. Р. Рязановський, П. В. Семенов) 2008 Алгебра, 9 клас (Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова) 2009 Алгебра , 9 клас (Л. В. Кузнєцова, С. Б. Суворова, Є. А. Бунімович та ін.) 2010

1.3. Додаткові веб-ресурси

http://slovo. ws/urok/algebra -Навчальні матеріали(Підручники, статті) з алгебри для 9 класу. Всі підручники, вказані у списку, можна подивитися в режимі онлайн, без скачування.

http://math-portal. ru/matematika-shkolnaya/

1.4. Зроби вдома

Алгебра, 9 клас. Частина 2 з 2. Задачник (А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. М. Мішустіна та ін.) 2010

Домашнє завдання: 4.24; 4.28

Інші завдання: 4.25; 4.26

Потрібно завантажити плановий планпо темі » Раціональні нерівності та їх системи. Системи раціональних нерівностей?

Раціональні нерівності та їх системи. Системи раціональних нерівностей
Підсумкове повторення курсу алгебри 9-го класу

За допомогою цього уроку ви дізнаєтеся про раціональні нерівності та їх системи. Вирішується система раціональних нерівностей за допомогою еквівалентних перетворень. Розглядається визначення еквівалентності, спосіб заміни дробово-раціональної нерівності - квадратним, а також розуміється на чому відмінність нерівності від рівняння і як здійснюються рівносильні перетворення.

Алгебра 9 клас

Підсумкове повторення курсу алгебри 9-го класу

Раціональні нерівності та їх системи. Системи раціональних нерівностей.

1.1 Конспект.

1. Еквівалентні перетворення раціональних нерівностей.

Вирішити раціональна нерівністьозначає знайти всі його рішення. На відміну від рівняння, під час вирішення нерівності, зазвичай, виникає безліч рішень. Численна безліч рішень не можна перевірити методом підстановки. Тому потрібно так перетворювати вихідну нерівність, щоб у кожному наступному рядку виходила нерівність з тією ж безліччю рішень.

Раціональні нерівностівирішуються лише за допомогою еквівалентнихчи рівносильних перетворень. Такі перетворення не спотворюють безліч рішень.

Визначення. Раціональні нерівностіназивають еквівалентними, якщо безліч їхніх рішень збігаються.

Для позначення еквівалентностівикористовують знак

2. Розв'язання системи нерівностей

Перша та друга нерівність – це дробово-раціональні нерівності. Методи їх вирішення є природним продовженням методів розв'язання лінійних та квадратних нерівностей.

Перенесемо числа, що стоять у правій частині, до лівої з протилежним знаком.

У результаті правої частини залишиться 0. Це перетворення є еквівалентним. На це вказує знак

Виконаємо дії, які наказує алгебра. Віднімемо «1» у першій нерівності та «2» у другій.

3. Вирішення нерівності методом інтервалів

1) Введемо функцію. Нам потрібно дізнатися, коли ця функція менша за 0.

2) Знайдемо область визначення функції: у знаменнику не повинен стояти 0. «2» - точка розриву. При х = 2 функція невизначена.

3) Знайдемо коріння функції. Функція дорівнює 0, якщо в чисельнику стоїть 0.

Поставлені точки розбивають числову вісь на три інтервали – це інтервали знакопостійності. У кожному інтервалі функція зберігає знак. Визначимо знак першому інтервалі. Підставимо якесь значення. Наприклад, 100. Зрозуміло, як і чисельник, і знаменник більше 0. Значить і весь дріб позитивна.

Визначимо знаки інших проміжках. При переході через точку х=2 лише знаменник змінює знак. Значить, і весь дріб поміняє знак, і буде негативним. Проведемо аналогічне міркування. Під час переходу через точку х=-3 тільки чисельник змінює знак. Значить, дріб поміняє знак і буде позитивним.

Виберемо інтервал, що відповідає умові нерівності. Заштрихуємо його та запишемо у вигляді нерівності

4. Вирішення нерівності за допомогою квадратичної нерівності

Важливий факт.

У порівнянні з 0 (у разі суворої нерівності) дріб можна замінити на твір чисельника на знаменник або поміняти чисельник чи знаменник місцями.

Це так тому, що всі три нерівності виконуються за умови, що u і v різного знака. Ці три нерівності еквівалентні.

Використовуємо цей факт і замінимо дробово-раціональну нерівність квадратною.

Вирішимо квадратну нерівність.

Введемо квадратичну функцію. Знайдемо її коріння та побудуємо ескіз її графіка.

Значить, гілки параболи вгору. Всередині інтервалу коріння функція зберігає знак. Вона негативна.

Поза інтервалом коренів функція позитивна.

Розв'язання першої нерівності:

5. Вирішення нерівності

Введемо функцію:

Знайдемо її інтервали знаковості:

Для цього знайдемо коріння та точки розриву області визначення функції. Точки розриву виколюємо завжди. (х=3/2) Коріння виколюємо залежно від знаку нерівності. Наша нерівність сувора. Тому корінь виколюємо.

Розставимо знаки:

Запишемо рішення:

Закінчимо рішення системи. Знайдемо перетин безлічі рішень першої нерівності та безлічі рішень другої нерівності.

Вирішити систему нерівностей означає знайти перетин безлічі рішень першої нерівності і безлічі рішень другої нерівності. Тому, вирішивши першу і другу нерівність окремо, потрібно записати отримані результати в одну систему.

Зобразимо розв'язання першої нерівності над віссю Ох.

Рішення другої нерівності зобразимо під віссю.

Системи раціональних нерівностей

Текст уроку

• конспект [Безгрошових Л.В.]

  Алгебра, 9 клас УМК: А.Г.Мордкович. Алгебра. 9 клас. О 2ч. Ч.1.Підручник; Ч.2.Задачник; М.: Мнемозина, 2010 Тема уроку: Системи раціональних нерівностей. (Перший урок на тему, всього на вивчення теми відводиться 3 години) Урок вивчення нової теми. Мета уроку: повторити розв'язання лінійних нерівностей; запровадити поняття системи нерівностей, пояснити розв'язання найпростіших систем лінійних нерівностей; формувати вміння розв'язувати системи лінійних нерівностей будь-якої складності. Завдання: Освітні: вивчення теми на основі наявних знань, закріплення практичних умінь та навичок рішень систем лінійних нерівностей у результаті самостійної роботиучнів та лекційно-консультативної діяльності найбільш підготовлених з них. Розвиваючі: розвиток пізнавального інтересу, самостійності мислення, пам'яті, ініціативи учнів через використання комунікативно - діяльнісної методики та елементів проблемного навчання Виховні: формування комунікативних умінь, культури спілкування, співробітництва Методи проведення: - лекція з елементами розмови та проблемного навчання; -самостійна робота учнів з теоретичним та практичним матеріаломза підручником; -вироблення культури оформлення розв'язання систем лінійних нерівностей. Заплановані результати: учні згадають як вирішувати лінійні нерівності, відзначати перетинання розв'язків нерівностей на числовій прямій, навчаться вирішувати системи лінійних нерівностей. Обладнання уроку: класна дошка, роздатковий матеріал(Додаток), підручники, робочі зошити. Зміст уроку: 1. Організаційний момент. Перевірка домашнього завдання. 2. Актуалізація знань. Учні разом із учителем заповнюють таблицю на дошці: Нерівність Малюнок Проміжок Нижче наводиться готова таблиця: Нерівність Малюнок Проміжок 3. Математичний диктант. Підготовка до сприйняття нової теми. 1.За зразком таблиці вирішити нерівності: Варіант 1 Варіант 2 Варіант 3 Варіант 4 2.Вирішити нерівності, намалювати два малюнки на одній осі і перевірити, чи є число 5 розв'язанням двох нерівностей: Варіант 1 Варіант 2 Варіант 3 Варіант 4 4. . Пояснення нового матеріалу (стор.40-44): 1. Дати визначення системи нерівностей (стор. 41). Опр-е: Декілька нерівностей з однією змінною х утворюють систему нерівностей, якщо ставиться завдання знайти такі значення змінної, у яких кожне із заданих нерівностей зі змінною звертається у правильне числове нерівність. 2. Ввести поняття приватне та загальне рішеннясистеми нерівностей. Будь-яке таке значення х називають розв'язком (або приватним розв'язком) системи нерівностей. Безліч всіх приватних рішень системи нерівностей є загальним рішенням системи нерівностей. 3. Розглянути у підручнику розв'язання систем нерівностей з прикладу №3(а, б, в). 4. Узагальнити міркування, вирішивши систему:. 5. Закріплення нового матеріалу. Розв'язати завдання з № 4.20(а,б), 4.21(а,б). 6. Перевірна робота Перевірити засвоєння нового матеріалу, активно допомагаючи у вирішенні завдань за варіантами: Варіант 1 а, №4.6, 4.8 Варіант 2 б, г № 4.6, 4.8 7. Підбиття підсумків. Рефлексія З якими новими поняттями сьогодні ви познайомилися? Чи навчилися ви знаходити рішення системи лінійних нерівностей? Що вам найбільше удалося, які моменти були виконані найбільш успішно? 8. Домашнє завдання: № 4.5, 4.7; теорія у підручнику стор. 40-44; Для учнів із підвищеною мотивацією № 4.23 (в,г). Додаток. Варіант 1. Нерівність Малюнок Проміжок 2.Вирішити нерівності, намалювати два малюнки на одній осі і перевірити, чи є число 5 розв'язанням двох нерівностей: Нерівності Малюнок Відповідь на запитання. Варіант 2. Нерівність Малюнок Проміжок 2.Вирішити нерівності, намалювати два малюнки на одній осі і перевірити, чи є число 5 розв'язанням двох нерівностей: Нерівності Малюнок Відповідь на запитання. Варіант 3. Нерівність Малюнок Проміжок 2.Вирішити нерівності, намалювати два малюнки на одній осі і перевірити, чи є число 5 розв'язанням двох нерівностей: Нерівності Малюнок Відповідь на запитання. Варіант 4. Нерівність Малюнок Проміжок 2.Вирішити нерівності, намалювати два малюнки на одній осі і перевірити, чи є число 5 розв'язанням двох нерівностей: Нерівності Малюнок Відповідь на запитання.

  Завантажити: Алгебра 9кл - конспект [Безгрошових Л.В.].docx

• конспект уроків 2-4 [Зверєва Л.П.]

   Алгебра 9клас УМК: АЛГЕБРА-9КЛАС, А.Г. МОРДКОВИЧ.П.В. Семенів, 2014р. Тема уроку: Системи раціональних нерівностей Загальна кількість годин, відведена на вивчення теми-4години Місце уроку в системі уроків на тему урок №2 ;№3; №4. Мета уроку: Навчити учнів складати системи нерівностей, і навіть навчити вирішувати вже готові системи, запропоновані автором навчального посібника. Завдання уроку: Формувати вміння: вільно вирішувати системи нерівностей аналітично, а також вміти переносити рішення на координатну пряму з метою правильного запису відповіді самостійно працювати із заданим матеріалом. .Плановані результати: Учні повинні вміти вирішувати вже готові системи, і навіть складати системи нерівностей за умовою завдань і вирішувати складену модель. Технічне забезпечення уроку: УМК: АЛГЕБРА-9КЛАС, А.Г. МОРДКОВИЧ.П.В. Семенів. Робочий зошит, проектор для проведення усного рахунку. додаткових завданьдля сильних учнів. Додаткове методичне та дидактичне забезпечення уроку (можливі посилання на Інтернет-ресурси): 1.Посібник Н.Н.Хлевнюк, М.В. Іванова, В.Г. Іващенко, Н.С. Мелкова «Формування обчислювальних навичок під час уроків математики 5-9 классы» 2.Г.Г.Левитас «Математичні диктанти» 7-11 класс.3. Т.Г. Гуліна «Математичний тренажер» 5-11 (4 рівні складності) Вчитель математики: Звєрєва Л.П. Урок № 2 Цілі: Відпрацювання навичок вирішення системи раціональних нерівностей з використанням для наочності результату вирішення геометричної інтерпретації. Хід уроку 1.Організаційний момент: Налаштування класу на роботу, повідомлення теми та мети уроку 11 Перевірка домашньої роботи 1. Теоретична частина: * Що являє собою аналітичний запис раціональної нерівності * Що являє собою аналітичний запис системи раціональних нерівностей *Що означає вирішити систему нерівностей Чим є результат розв'язання системи раціональних нерівностей. 2. Практична частина: *Вирішити на дошці завдання, що викликали труднощі у учнів. Під час виконання домашнього завдання II1 Виконання вправ. 1.Повторити способи розкладання многочлена на множники. 2. Повторити, у чому полягає метод інтервалів під час вирішення нерівностей. 3. Вирішити систему. Рішення веде учень сильний біля дошки під контролем вчителя. 1) Вирішимо нерівність 3х - 10> 5х - 5; 3х - 5х> - 5 + 10; - 2х> 5; х< – 2,5. 2) Решим неравенство х2 + 5х + 6 < 0; Найдём корни данного трёхчлена х2 + 5х + 6 = 0; D = 1; х1=-3 х2 = – 2; тогда квадратний тричленрозкладемо по коріння (х + 3) (х + 2)< 0. Имеем – 3 <х< – 2. 3) Найдем решение системы неравенств, для этого вынесим оба решения на одну числовую прямую. Вывод: решения совпали на промежутке от-3 до - 2,5(произошло перекрытие штриховок) О т в е т: – 3 <х< – 2,5. 4. Решить № 4.9 (б) самостоятельно споследующей проверкой. О т в е т: нет решений. 5.Повторяем теорему о квадратном трехчлене с отрицательным и положительным дискриминантом. Решаем №4.10(г) 1) Решим неравенство – 2х2 + 3х – 2 < 0; Найдём корни – 2х2 + 3х – 2 = 0; D = 9 – 16 = = – 7 < 0. По теореме неравенство верно при любых значениях х. 2) Решим неравенство –3(6х – 1) – 2х<х; – 18х + 3 – 2х<х; – 20х – х<< – 3; – 21х<– 3; 3) х>Розв'язання даної системи нерівностей х> Відповідь: х> 6. Вирішити № 4.10 (в) на дошці та в зошитах. Розв'яжемо нерівність 5х2 – 2х + 1 ≤ 0. 5х2–2х + 1 = 0; D = 4 - 20 = -16< 0. По теореме неравенство не имеет решений, а это значит, что данная система не имеет решений. О т в е т: нет решений. 7. Решить № 4.11 (в) самостоятельно. Один учащийся решает на доске, другие в тетрадях, потом проверяется решение. в) 1) Решим неравенство 2х2 + 5х + 10 >0. 2х2 + 5х + 10 = 0; D = -55< 0. По теореме неравенство верно при всех значениях х.-любое число 2) Решим неравенство х2 ≥ 16; х2 – 16 ≥ 0; (х – 4)(х + 4) ≥ 0; х = 4; х = – 4. Решение х ≤ –4 их ≥ 4. Объединяем решения двух неравенств в систему 3) Решение системы неравенств являются два неравенства О т в е т: х ≤ – 4; х ≥ 4. 8. Решить № 4.32 (б) на доске и в тетрадях. Решение Наименьшее целое число равно –2; наибольшее целое число равно 6. О т в е т: –2; 6. 9. Повторение ранее изученного материала. 1) Решить № 4.1 (а; -г) 4.2(а-г) на с. 25 устно. 2) Решить графически уравнение Строим графики функций y = –1 – x. О т в е т: –2. III. Итоги урока. 1. В курсе алгебры 9 класса мы будем рассматривать только системы из двух неравенств. 2. Если в системе из нескольких неравенств с одной переменной одно неравенство не имеет решений, то и система не имеет решений. 3. Если в системе из двух неравенств с одной переменной одно неравенство выполняется при любых значениях переменной, то решением системы служит решение второго неравенства системы. Домашнее задание: рассмотреть по учебнику решение примеров 4 и 5 на с. 44–47 и записать решение в тетрадь; решить № 4.9 (а; в), № 4.10 (а; б), № 4.11 (а; б), № 4.13 (а;б). . У р о к 3 Цели: Научить учащихся при решении двойных неравенств и нахождении области определения выражений, составлять системы неравенств и решать их, а также научить решать системы содержащих модули; Ход урока 1.Организационный момент: Настрой класса на работу, сообщение темы и цели урока 1I. Проверка домашнего задания. 1. Проверить выборочно у нескольких учащихся выполнение ими домашнего задания. 2. Решить на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся. 3. Устно решить № 4.2 (б) и № 4.1 (г). 4.Устная вычислительная работа: Вычисли рациональным способом: а)53,76*(-7.9) -53,76 *2,1 б) -0,125*32.6*(-8) в) Выразим указанную переменную из заданной формулы: 2a= ,y=? II. Объяснение нового материала. 1. Двойное неравенство можно решить двумя способами: а) сведением к системе двух неравенств; б) без системы неравенств с помощью преобразований. 2. Решить двойное неравенство № 4.15 (в) двумя способами. а) сведением к системе двух неравенств; I с п о с о б Решение – 2 <х< – 1. О т в е т: (– 2; – 1). б) без системы неравенств с помощью преобразований II с п о с о б 6 < – 6х< 12 | : (– 6) – 1 >х> - 2, тоді - 2< х < – 1. О т в е т: (– 2; – 1). 3. Решить № 4.16 (б; в). I с п о с о б сведением к системе двух неравенств; б) – 2 ≤ 1 – 2х ≤ 2. Решим систему неравенств: О т в е т: II с п о с о б без системы неравенств с помощью преобразований – 2 ≤ 1 – 2х ≤ 2; прибавим к каждой части неравенства число (– 1), получим – 3 ≤ – 2х ≤ 1; разделим на (– 2), тогда в) – 3 << 1. Умножим каждую часть неравенства на 2, получим – 6 < 5х + 2 < 2. Решим систему неравенств: О т в е т: – 1,6 <х< 0. III. Выполнение упражнений. 1. Решить № 4.18 (б) и № 4.19 (б) на доске и в тетрадях. 2. Решить № 4.14 (в) методом интервалов. в) 1) х2 – 9х + 14 < 0; Найдём корни квадратного трёхчлена и разложим квадратный трёхчлен по корням (х – 7)(х – 2) < 0; х = 7; х = 2 Решение 2<х< 7. 2) х2 – 7х – 8 ≤ 0; Найдём корни квадратного трёхчлена и разложим квадратный трёхчлен по корням (х – 8)(х + 1) ≤ 0; х = 8; х = – 1 Решение – 1 ≤ х ≤ 8. Соединим решения каждого неравенства на одной прямой т.е. создадим геометрическую модель. та часть прямой где произошло пересечение решений есть конечный результат О т в е т: 2 <х< 7. 4) Решить № 4.28 (в) самостоятельно с проверкой. в) Решим систему неравенств составленную из подкоренных выражений. 1) (х – 2)(х – 3) ≥ 0; х = 2; х = 3 Решение х ≤ 2 и х ≥ 3. 2) (5 – х)(6 – х) ≥ 0; – 1(х – 5) · (– 1)(х – 6) ≥ 0; (х – 5)(х – 6) ≥ 0 х = 5; х = 6 Решение х ≤ 5 и х ≥ 6. 3) О т в е т: х ≤ 2, 3 ≤ х ≤ 5, х ≥ 6. 5. Решение систем неравенств, содержащих переменную под знаком модуля. Решить № 4.34 (в; г). Учитель объясняет решение в) 1) | х + 5 | < 3 находим точку где модуль обращается в 0 х = -5 Решение – 8 <х< – 2. 2) | х – 1 | ≥ 4 находим точку где модуль обращается в 0 х = 1 Решение х ≤ – 3 и х ≥ 5. Соединили решения каждого неравенства в единую модель 3) О т в е т: – 8 <х ≤ 3. г) 1) | х – 3 | < 5; Решение – 2 <х< 8. 2) | х + 2 | ≥ 1 Решение х ≤ – 3 и х ≥ – 1. 3) О т в е т: –1 ≤ х< 8. 6. Решить № 4.31 (б). Учащиеся решают самостоятельно. Один ученик решает на доске, остальные в тетрадях, затем проверяется решение. б) Решение Середина промежутка О т в е т: 7. Решить № 4.38 (а; б). Учитель на доске с помощью числовой прямой показывает решение данного упражнения, привлекая к рассуждениям учащихся. О т в е т: а) р< 3; р ≥ 3; б) р ≤ 7; р>7. 8. Повторення раніше вивченого матеріалу. Вирішити №2.33. Нехай початкова швидкість велосипедиста х км/год, після зменшення стала (х – 3) км/год. 15x - 45 + 6x = 1,5x (x - 3); 21x - 45 = 1,5x2 - 4,5x; 1,5 x2 - 25,5 x + 45 = 0 | : 1,5; тоді х2 - 17х + 30 = 0; D = 169; х1 = 15; х2 = 2 не задовольняє сенс завдання. Відповідь: 15 км/год; 12 км/год. IV.Вивод з уроку: Науроці вчилися вирішувати системи нерівностей ускладненого виду особливо з модулем, спробували свої сили у самостійній роботі. Виставлення відміток. Домашнє завдання: виконати на окремих листочках домашню контрольну роботу №1 з №7 до №10 на с. 32–33 № 4.34 (а; б), № 4.35 (а; б). Урок 4 Підготовка до контрольної роботи Цілі: узагальнити та систематизувати вивчений матеріал, підготувати учнів до контрольної роботи на тему «Системи раціональних нерівностей». 11. Повторення вивченого матеріалу. *Що означає вирішити систему нерівностей *Чим є результат розв'язання системи раціональних нерівностей 1. Зібрати листочки з виконаною домашньою контрольною роботою. 2. Які правила застосовують під час вирішення нерівностей? Поясніть розв'язання нерівностей: а) 3х – 8<х + 2; б) 7(х – 1) ≥ 9х + 3. 3. Сформулируйте теорему для квадратного трехчлена с отрицательным дискриминантом. Устно решите неравенства: а) х2 + 2х + 11 >0; б) - 2х2 + х - 5> 0; в) 3х2 – х + 4 ≤ 0. 4. Сформулюйте визначення системи нерівностей із двома змінними. Що означає розв'язати систему нерівностей? 5. У чому полягає метод інтервалів, що активно використовується при вирішенні раціональних нерівностей? Поясніть це на прикладі розв'язання нерівності: (2x – 4)(3 – x) ≥ 0; I11. Тренувальні вправи. 1. Вирішити нерівність: а) 12(1 – х) ≥ 5х – (8х + 2); б) - 3х2 + 17х + 6< 0; в) 2. Найдите область определения выражения. а) f(х) = 12 + 4х – х2 ≥ 0; – х2 + 4х + 12 ≥ 0 | · (– 1); х2 – 4х – 12 ≤ 0; D = 64; х1 = 6; х2 = – 2; (х – 6)(х + 2) ≤ 0 О т в е т: – 2 ≤ х ≤ 6 или [– 2; 6]. б) f(х)= х2 + 2х + 14 ≥ 0; D< 0. По теореме о квадратном трехчлене с отрицательным дискриминантом имеемх – любое число. О т в е т: множество решений или (– ∞; ∞). 2. Решите двойное неравенство и укажите, если возможно, наибольшее и наименьшее целое решение неравенства Р е ш е н и е Умножим каждую часть неравенства на 5, получим 0 – 5 < 3 – 8х ≤ 15; – 8 < – 8х ≤ 12; – 1,5 ≤ х< 1. Наибольшее целое число 0, наименьшее целое число (– 1). О т в е т: 0; – 1. 4. Решить № 76 (б) на доске и в тетрадях. б) Р е ш е н и е Для нахождения области определения выражения решим систему неравенств 1) х = х = 5. Решение ≤х< 5. 2) Решение х< 3,5 и х ≥ 4. 3) О т в е т: ≤х< 3,5 и 4 ≤ х< 5. 5. Найти область определения выражения. а) f(х) = б) f(х) = а) О т в е т: – 8 <х ≤ – 5; х ≥ – 3. б) О т в е т: х ≤ – 3; – 2 <х ≤ 4. 6. Решить систему неравенств (самостоятельно). Р е ш е н и е Выполнив преобразования каждого из неравенств системы, получим: О т в е т: нет решений. 7. Решить № 4.40*. Решение объясняет учитель. Если р = 2, то неравенство примет вид 2х + 4 >0, х> - 2. Це не відповідає ні завдання а), ні завдання б). Отже, вважатимуться, що р ≠ 2, тобто задану нерівність є квадратним. а) Квадратна нерівність виду ах2 + bх + с> 0 не має рішень, якщо а< 0, D< 0. Имеем D = (р – 4)2 – 4(р – 2)(3р – 2) = – 11р2 + 24р. Значит, задача сводится к решению системы неравенств Решив эту систему, получим р< 0. б) Квадратное неравенство вида ах2 + bх + с>0 виконується за будь-яких значень х, якщо а> 0 і D< 0. Значит, задача сводится к решению системы неравенств Решив эту систему, получим р>IV. Підсумки уроку. Необхідно вдома переглянути весь вивчений матеріал та підготуватися до контрольної роботи. Домашнє завдання: № 1.21 (б; г), № 2.15 (в; г); №4.14(г), №4.28(г); №4.19(а), №4.33(г).

  Тема уроку "Рішення систем раціональних нерівностей"

  Клас 10

  Тип уроку: пошуковий

  Мета: пошук способів вирішення нерівностей із модулем, застосування методу інтервалів у новій ситуації.

  Завдання уроку:

  Перевірити вміння та навички у вирішенні раціональних нерівностей та їх систем; - показати учням можливості застосування методу інтервалів під час вирішення нерівностей з модулем;

  Навчити логічно мислити;

  Виробити навичку самооцінки своєї роботи;

  Навчити висловлювати свої думки,

  Навчити аргументовано відстоювати свою думку;

  Сформувати в учнів позитивний мотив вчення;

  Розвинути самостійність учнів.

  Хід уроку

  I. Організаційний момент(1 хв)

  Здрастуйте, сьогодні ми з вами продовжимо вивчення теми "Система раціональних нерівностей", будемо застосовувати свої знання та вміння у новій ситуації.

  Запишіть число та тему уроку "Рішення систем раціональних нерівностей". Сьогодні я вас запрошую в подорож дорогами математики, де на вас чекають випробування, перевірка на міцність. У вас на партах лежать дорожні карти із завданнями, дорожній лист самооцінки, який наприкінці подорожі здасте мені (диспетчеру).

  Девізом подорожі служитиме афоризм "Дорогу здолає той, хто йде, а математику мислить". Візьміть із собою ваш багаж знань. Увімкніть розумовий процес і в дорогу. Дорогою нас супроводжуватиме дорожнє радіо.Звучить фрагмент музики (1 хв). Далі різкий звук сигналу.

  ІІ. Етап перевірки знань. Робота у групах.«Догляд багажу»,

  Ось і перше випробування «Догляд багажу», перевірка ваших знань на тему

  Зараз ви поділіться на групи по 3 або 4 особи. Кожен на парті має листок із завданням. Розподіліть ці завдання між собою, вирішіть їх, на загальному аркуші запишіть готові відповіді. Група, що складається з 3 осіб, вибирає 3 будь-які завдання. Хто виконає всі завдання, повідомить про це вчителя. Я або мої помічники звіримо відповіді, і якщо хоч одна відповідь буде невірною, групі повертається листок на повторну перевірку. (Відповіді діти не бачать, їм тільки повідомляється, в якому завданні неправильна відповідь).Переможе та група, яка першою без помилок упорається з усіма завданнями. Вперед за перемогою.

  Звучить дуже тиха музика.

  Якщо закінчать роботу дві чи три групи одночасно, то вчителю допоможе перевірити хтось із хлопців іншої групи. Відповіді на аркуші у вчителя (4 екземпляри).

  Робота зупиняється, коли з'явиться група-переможець.

  Не забудьте заповнити дорожній лист самооцінки. І їдемо далі.

  Аркуш із завданням для «Догляду багажу»

  1) 3)

  2) 4)

  ІІІ. Етап актуалізації знань та відкриття нових знань. "Еврика"

  Огляд показав, що багаж знань у вас є.

  Але в дорозі всякі ситуації бувають, іноді потрібна кмітливість, а чи не забули ви прихопити її з собою, перевіримо.

  Ви навчилися вирішувати системи раціональних нерівностей шляхом інтервалів. Сьогодні ми подивимося, під час вирішення яких завдань доцільно застосування цього. Але спочатку згадаємо, що таке модуль.

  1. Продовжіть речення «Модуль числа дорівнює самому числу, якщо..."(усно)

  «Модуль числа дорівнює протилежному числу, якщо...»

  2. Нехай А(Х) - багаточлен від x

  Продовжіть запис:

  Відповідь:

  Запишіть вираз, протилежний виразу А(х)

  А(х) = 5 - 4х; А(х) = 6х 2 - 4х + 2

  А(х)=-А(х)=

  На дошці пише учень, хлопці, записують у зошити.

  3. Зараз спробуємо знайти спосіб розв'язання квадратичного нерівності з модулем

  Ваші пропозиції щодо вирішення цієї нерівності.

  Вислухати пропозиції хлопців та дівчат.

  Якщо пропозицій не буде, то запитати: «Чи можна вирішити цю нерівність за допомогою систем нерівностей?»

  Виходить учень, вирішує.

  IV. Етап первинного закріплення нових знань, складання алгоритму розв'язання. Поповнення багажу.

  (Робота у групах по 4 особи).

  Зараз я пропоную вам поповнити ваш багаж. Працюватимете в групах.Кожній групі видаються по 2 картки із завданнями.

  На першій картці потрібно записати системи для вирішення нерівностей, представлених на дошці та розробити алгоритм розв'язання подібних нерівностей, вирішувати не потрібно.

  Перша картка у груп різна, друга однакова

  Що вийшло?

  Під кожним рівнянням на дошці слід написати сукупність систем.

  Виходять 4 учні, і пишуть системи. У цей час із класом обговорюємо алгоритм.

  V. Етап закріплення знань."Дорога додому".

  Багаж поповнений, тепер настав час у зворотний шлях. Зараз вирішіть самостійно будь-яку із запропонованих нерівностей з модулем відповідно до складеного алгоритму.

  З вами у дорозі знову буде дорожнє радіо.

  Увімкнути тиху фонову музику. Вчитель перевіряє оформлення та за потреби консультує.

  Завдання на дошці.

  Роботу закінчили. Звірте відповіді (вони на звороті дошки), заповніть дорожній лист самооцінки.

  Постановка домашнього завдання.

  Запишіть домашнє завдання (перепишіть у зошит нерівності, які не зробили або зробили з помилками, додатково № 84 (а) на стор. 373 підручника за бажанням)

  VI. Етап релаксації.

  Чим корисною була для вас ця подорож?

  Чого ви навчилися?

  Підсумуйте. Підрахуйте, скільки балів кожен із вас заробив.(Хлопці називають підсумковий бал).Листи із самооцінкою здайте диспетчеру, тобто мені.

  Закінчити урок я хочу притчею.

  «Ішов мудрець, а назустріч йому троє людей, які везли під гарячим сонцем візки з камінням для будівництва. Мудрець зупинився і поставив кожному з питання. У першого спитав: «Що ти робив цілий день?», і той з усмішкою відповів, що цілий день возив прокляте каміння. У другого мудрець запитав: «А що ти робив цілий день?», і той відповів: «А я сумлінно виконував свою роботу», а третій усміхнувся, його обличчя засвітилося радістю та задоволенням: «А я брав участь у будівництві Храму!»

  Урок завершено.

  Аркуш самооцінки

  Прізвище, ім'я, клас		Кількість балів
  Робота у групі у вирішенні нерівностей чи систем нерівностей.	2 бали, якщо виконав правильно без сторонньої допомоги; 1 бал, якщо виконав правильно із сторонньою допомогою; 0 балів, якщо не виконав завдання 1 бал додатковий за перемогу групи

  
  Приклади:
  

  \(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(\leq0\)

  \(\frac(1)(2x)\) \(+\) \(\frac(x)(x+1)\) \(<\)\(\frac{1}{2}\)

  \(\frac(6)(x+1)\) \(>\) \(\frac(x^2-5x)(x+1)\) .

  При розв'язанні дрібних раціональних нерівностей використовується метод інтервалів. Тому якщо алгоритм, наведений нижче, викличе у вас труднощі, перегляньте статтю по .

  Як вирішувати дробові раціональні нерівності:

  Алгоритм розв'язання дробово-раціональних нерівностей.

  Приклади:
  
  

  Розставте знаки на інтервалах числової осі. Нагадаю правила розміщення знаків:

  Визначаємо знак у крайньому правому інтервалі - беремо число з цього інтервалу і підставляємо його в нерівність замість ікса. Після цього визначаємо знаки у дужках та результат перемноження цих знаків;

  Приклади:
  
  
  

  Виділіть потрібні проміжки. Якщо є корінь, що окремо стоїть, то позначте його прапорцем, щоб не забути внести його у відповідь (див. приклад нижче).

  Приклади:
  

  Запишіть у відповідь виділені проміжки та коріння, позначені прапорцем (якщо вони є).

  Приклади:
  Відповідь: \((-∞;-1)∪(-1;1,2]∪)