Що називають розв'язком лінійного рівняння. Як розв'язати кубічне рівняння? Принцип розв'язання лінійних рівнянь

При вирішенні лінійних рівнянь ми прагнемо знайти корінь, тобто таке значення для змінної, яке перетворить рівняння на правильну рівність.

Щоб знайти корінь рівняння потрібно рівносильними перетворення привести дане нам рівняння до виду

\(x=[число]\)

Це і буде корінням.

Тобто, ми перетворюємо рівняння, роблячи його з кожним кроком все простіше, доки не зведемо до примітивного рівняння «ікс = число», де корінь – очевидний. Найчастіше застосовуваними при вирішенні лінійних рівняньє такі перетворення:

Наприклад: додамо \(5\) до обох частин рівняння \(6x-5=1\)

\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)

Зверніть увагу, що той самий результат ми могли б отримати швидше - просто записавши п'ятірку з іншого боку рівняння і змінивши її знак. Власне, саме так і робиться шкільний «перенесення через рівно зі зміною знака на протилежний».

2. Множення або розподіл обох частин рівняння на однакове число або вираз.

НаприкладРозділимо рівняння \(-2x=8\) на мінус два

\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(x=-4\)

Зазвичай даний кроквиконується в самому кінці, коли рівняння вже приведено до виду (ax = b), і ми ділимо на (a), щоб прибрати його зліва.

3. Використання властивостей та законів математики: розкриття дужок, приведення подібних доданків, скорочення дробів тощо.

Додаємо (2x) ліворуч і праворуч

Віднімаємо \(24\) з обох частин рівняння

Знову наводимо подібні доданки

Тепер ділимо рівняння на (-3), тим самим прибираючи перед іксом у лівій частині.

Відповідь : \(7\)

Відповідь знайдено. Однак давайте його перевіримо. Якщо сімка дійсно корінь, то при підстановці її замість ікса в початкове рівняння має вийти правильна рівність - однакові числаліворуч і праворуч. Пробуємо.

Перевірка:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cdot(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)

Зійшлося. Значить, сімка і справді є коренем вихідного лінійного рівняння.

Не лінуйтеся перевіряти підстановкою знайдені відповіді, особливо якщо ви вирішуєте рівняння на контрольній або іспиті.

Залишається питання – а як визначити, що робити із рівнянням на черговому кроці? Як саме його перетворювати? Ділити на щось? Або віднімати? І що саме віднімати? На що ділити?

Відповідь проста:

Ваша мета – привести рівняння до виду \(x=[число]\), тобто зліва ікс без коефіцієнтів і чисел, а праворуч – лише число без змінних. Тому дивіться, що вам заважає та робіть дію, зворотне тому, що робить компонент, що заважає.

Щоб краще це зрозуміти, розберемо кроки рішення лінійного рівняння \(x+3=13-4x\).

Давайте подумаємо: чим дане рівняннявідрізняється від \(x=[число]\)? Що нам заважає? Що не так?

Ну, по-перше, заважає трійка, бо ліворуч має бути лише самотній ікс, без чисел. А що "робить" трійка? Додаєтьсядо ікса. Значить, щоб її прибрати віднімемотаку ж трійку. Але якщо ми віднімаємо трійку зліва, то маємо відняти її і праворуч, щоб рівність не була порушена.

\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)

Добре. Тепер що заважає? \(4x\) праворуч, адже там мають бути лише числа. \(4x\) віднімається- прибираємо додатком.

\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)

Тепер наводимо подібні доданки ліворуч і праворуч.

Вже майже готове. Залишилося забрати п'ятірку зліва. Що вона робить"? Помножуєтьсяна ікс. Тому прибираємо її розподілом.

\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac(5x)(5)\) \(=\)\(\frac(10)(5)\)
\(x=2\)

Рішення завершено, корінь рівняння – двійка. Можете перевірити підстановку.

Зауважимо, що найчастіше корінь у лінійних рівняннях лише один. Однак можуть зустрітися два особливі випадки.

Особливий випадок 1 – у лінійному рівнянні немає коріння.

приклад . Розв'язати рівняння \(3x-1=2(x+3)+x\)

Рішення :

Відповідь : немає коренів

Насправді, те, що ми прийдемо до такого результату, було видно раніше, ще коли ми отримали \(3x-1=3x+6\). Вдумайтесь: як можуть бути рівні \(3x\) з яких відняли \(1\), і \(3x\) до яких додали \(6\)? Очевидно, що ніяк, адже з тим самим зробили різні дії! Зрозуміло, що результати відрізнятимуться.

Особливий випадок 2 – у лінійному рівнянні нескінченна кількість коренів.

приклад . Розв'язати лінійне рівняння \(8(x+2)-4=12x-4(x-3)\)

Рішення :

Відповідь : будь-яке число

Це, до речі, було помітно ще раніше, на етапі: (8x + 12 = 8x + 12). Справді, ліворуч і праворуч – однакові вирази. Який ікс не підстав - буде одне і те ж число і там, і там.

Більш складні лінійні рівняння.

Вихідне рівняння не завжди відразу виглядає як лінійне, іноді воно маскується під інші, більше складні рівняння. Однак у процесі перетворень маскування спадає.

приклад . Знайдіть корінь рівняння \(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)

Рішення :

\(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)		Здавалося б, тут є ікс у квадраті – це не лінійне рівняння! Але не поспішайте. Давайте застосуємо
\(2x^(2)-(x^(2)-8x+16)=9+6x+x^(2)-15\)		Чому результат розкриття \((x-4)^(2)\) стоїть у дужці, а результат \((3+x)^(2)\) немає? Тому що перед першим квадратом стоїть мінус, який змінить усі знаки. І щоб не забути про це – беремо результат у дужки, яку тепер розкриваємо.
\(2x^(2)-x^(2)+8x-16=9+6x+x^(2)-15\)		Наводимо подібні доданки
\(x^(2)+8x-16=x^(2)+6x-6\)
\(x^(2)-x^(2)+8x-6x=-6+16\)		Знову наводимо такі.
		Ось так. Виявляється, вихідне рівняння – цілком лінійне, а ікси в квадраті лише ширма, щоб нас заплутати. :) Дорішуємо, ділячи рівняння на (2), і отримуємо відповідь.

Відповідь : \(x=5\)

приклад . Розв'язати лінійне рівняння \(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6 )\)

Рішення :

\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\)		Рівняння не схоже на лінійне, дроби якісь... Однак позбавимося знаменників, помноживши обидві частини рівняння на спільний знаменниквсіх – шістку
\(6\cdot\)\((\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3))\) \(=\) \(\frac( 9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Розкриваємо дужку зліва
\(6\cdot\)\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(6\cdot\)\(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Тепер скорочуємо знаменники
\(3(x+2)-2=9+7x\)		Ось тепер схоже на звичайне лінійне! Дорішуємо його.
		Переносом через збираємо ікси праворуч, а числа зліва
		Ну і поділивши на \(-4\) праву та ліву частину, отримуємо відповідь

Відповідь : \ (x = -1,25 \)

Лінійне рівняння - це рівняння алгебри, повна ступінь багаточленів якого дорівнює одиниці. Вирішення лінійних рівнянь - частина шкільної програми, причому не найскладніша. Однак деякі все ж таки відчувають труднощі при проходженні цієї теми. Сподіваємося, прочитавши даний матеріал, всі проблеми для вас залишаться в минулому. Отже, розбираймося. як розв'язувати лінійні рівняння.

Загальний вигляд

Лінійне рівняння подається у вигляді:

• ax + b = 0, де a та b - будь-які числа.

Незважаючи на те, що a та b можуть бути будь-якими числами, їх значення впливають на кількість рішень рівняння. Виділяють кілька окремих випадків рішення:

• Якщо a = b = 0, рівняння має безлічрішень;
• Якщо a=0, b≠0, рівняння немає рішення;
• Якщо a≠0, b=0, рівняння має розв'язок: x = 0.

У тому випадку, якщо обидва числа мають не нульові значення, рівняння потрібно вирішити, щоб вивести кінцевий вираз для змінної.

Як вирішувати?

Вирішити лінійне рівняння - отже, знайти, чому дорівнює змінна. Як це зробити? Так дуже просто - використовуючи прості алгебраїчні операції і дотримуючись правил перенесення. Якщо рівняння постало перед вами у загальному вигляді, вам пощастило все, що необхідно зробити:

1. Перенести b у праву сторону рівняння, не забувши змінити знак (правило перенесення!), таким чином, з виразу виду ax + b = 0 має вийти вираз виду: ax = -b.
2. Застосувати правило: щоб знайти один із множників (x - у нашому випадку), потрібно твір (-b у нашому випадку) поділити на інший множник (a - у нашому випадку). Таким чином, має бути вираз виду: x = -b/а.

Ось і все – рішення знайдено!

Тепер давайте розберемо на конкретному прикладі:

1. 2x + 4 = 0 - переносимо b, рівне в даному випадку 4, у правий бік
2. 2x = -4 - ділимо b на a (не забуваємо про знак мінус)
3. x = -4/2 = -2

От і все! Наше рішення: x = -2.

Як бачите, рішення лінійного рівняння з однією змінною знайти досить просто, проте так просто все, якщо нам пощастило зустріти рівняння у загальному вигляді. У більшості випадків, перш ніж вирішувати рівняння в описані вище два ступені, потрібно ще привести наявний вираз до загального вигляду. Втім, це теж не складне завдання. Давайте розберемо деякі окремі випадки на прикладах.

Рішення окремих випадків

По-перше, давайте розберемо випадки, які ми описали на початку статті, і пояснимо, що ж означає безліч рішень і відсутність рішення.

• Якщо a = b = 0, рівняння матиме вигляд: 0x + 0 = 0. Виконуючи перший крок, отримуємо: 0x = 0. Що означає це безглуздя, вигукніть ви! Адже яке число на нуль не помножуй, завжди вийде нуль! Правильно! Тому і кажуть, що рівняння має безліч рішень - яке число не візьми, рівність буде вірною, 0x = 0 або 0 = 0.
• Якщо a=0, b≠0, рівняння матиме вигляд: 0x + 3 = 0. Виконуємо перший крок, отримуємо 0x = -3. Знову нісенітниця! Очевидно ж, що ця рівність ніколи не буде вірною! Тому й кажуть – рівняння не має рішень.
• Якщо a≠0, b=0, рівняння матиме вигляд: 3x + 0 = 0. Виконуючи перший крок, отримуємо: 3x = 0. Яке рішення? Це просто, x = 0.

Складнощі перекладу

Описані окремі випадки - це не все, чим нас можуть здивувати лінійні рівняння. Іноді рівняння взагалі з першого погляду важко ідентифікувати. Розберемо приклад:

• 12x - 14 = 2x + 6

Хіба це лінійне рівняння? А як же нуль у правій частині? Поспішати з висновками не будемо, будемо діяти - перенесемо всі складові нашого рівняння у лівий бік. Отримаємо:

• 12x - 2x - 14 - 6 = 0

Тепер віднімемо подібне з подібного, отримаємо:

• 10x - 20 = 0

Впізнали? Найкраще лінійне рівняння! Рішення якого: x = 20/10 = 2.

А якщо перед нами такий приклад:

• 12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)

Так, це теж лінійне рівняння, тільки перетворень потрібно провести якомога більше. Спочатку розкриємо дужки:

1. (12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
2. 4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - тепер виконуємо перенесення:
4. 25x – 4 = 0 – залишилося знайти рішення за вже відомою схемою:
5. 25x = 4,
6. x = 4/25 = 0.16

Як бачите, все вирішуване, головне – не переживати, а діяти. Запам'ятайте, якщо у вашому рівнянні тільки змінні першого ступеня та числа, перед вами лінійне рівняння, яке, хоч би як воно виглядало спочатку, можна привести до загального вигляду і вирішити. Сподіваємось, у вас все вийде! Успіхів!

• Рівність із змінною називають рівнянням.
• Вирішити рівняння - значить знайти безліч його коренів. Рівняння може мати один, два, кілька, безліч коренів або не мати їх зовсім.
• Кожне значення змінної, у якому дане рівняння перетворюється на правильну рівність, називається коренем рівняння.
• Рівняння, що мають те саме коріння, називаються рівносильними рівняннями.
• Будь-яке доданок рівняння можна перенести з однієї частини рівності в іншу, змінивши при цьому знак доданку на протилежний.
• Якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на те саме відмінне від нуля число, то вийде рівняння, рівносильне даному рівнянню.

приклади. Вирішити рівняння.

1. 1,5 х +4 = 0,3 х-2.

1,5 х-0,3 х = -2-4. Зібрали доданки, що містять змінну, у лівій частині рівності, а вільні члени – у правій частині рівності. При цьому застосовували властивість:

1,2 х = -6. Навели подібні доданки за правилом:

х = -6 : 1,2. Обидві частини рівності розділили на коефіцієнт при змінній, оскільки

х = -5. Ділили за правилом розподілу десяткового дробу на десятковий дріб:

щоб розділити число на десятковий дріб, потрібно перенести коми в діленому і дільнику на стільки цифр вправо, скільки їх коштує після коми в дільнику, а потім виконати поділ на натуральне число:

6 : 1,2 = 60 : 12 = 5.

Відповідь: 5.

2. 3∙ (2х-9) = 4 ∙ (Х-4).

6х-27 = 4х-16. Розкрили дужки, використовуючи розподільчий закон множення щодо віднімання: (a-b) ∙ c = a ∙ c-b ∙ c.

6х-4х = -16 +27. Зібрали доданки, що містять змінну, у лівій частині рівності, а вільні члени – у правій частині рівності. При цьому застосовували властивість: будь-яке доданок рівняння можна перенести з однієї частини рівності в іншу, змінивши при цьому знак доданку на протилежний.

2х = 11. Навели подібні доданки за правилом: щоб привести подібні доданки, треба скласти їх коефіцієнти та отриманий результат помножити на їхню загальну буквену частину (тобто до отриманого результату приписати їхню загальну буквену частину).

х = 11 : 2. Обидві частини рівності розділили на коефіцієнт при змінній, оскільки якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на те саме відмінне від нуля число, то вийде рівняння, рівносильне даному рівнянню.

Відповідь: 5,5.

3. 7х-(3+2х) = х-9.

7х-3-2х = х-9. Розкрили дужки за правилом розкриття дужок, перед якими стоїть знак «-»: якщо перед дужками стоїть знак "-", то прибираємо дужки, знак "-" і записуємо доданки, що стояли в дужках, із протилежними знаками.

7х-2х-х = -9 +3. Зібрали доданки, що містять змінну, у лівій частині рівності, а вільні члени – у правій частині рівності. При цьому застосовували властивість: будь-яке доданок рівняння можна перенести з однієї частини рівності в іншу, змінивши при цьому знак доданку на протилежний.

4х = -6. Навели подібні доданки за правилом: щоб привести подібні доданки, треба скласти їх коефіцієнти та отриманий результат помножити на їхню загальну буквену частину (тобто до отриманого результату приписати їхню загальну буквену частину).

х = -6 : 4. Обидві частини рівності розділили на коефіцієнт при змінній, оскільки якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на те саме відмінне від нуля число, то вийде рівняння, рівносильне даному рівнянню.

Відповідь: -1,5.

3 ∙ (х-5) = 7 ∙ 12 — 4 ∙ (2х-11). Помножили обидві частини рівності на 12 – найменший загальний знаменник для знаменників цих дробів.

3х-15 = 84-8х +44. Розкрили дужки, використовуючи розподільчий закон множення щодо віднімання: щоб різницю двох чисел помножити на третє число, можна окремо зменшується і окремо віднімається помножити на третє число, а потім від першого результату відняти другий результат, тобто.(a-b) ∙ c = a ∙ c-b ∙ c.

3х +8 х = 84 +44 +15. Зібрали доданки, що містять змінну, у лівій частині рівності, а вільні члени – у правій частині рівності. При цьому застосовували властивість: будь-яке доданок рівняння можна перенести з однієї частини рівності в іншу, змінивши при цьому знак доданку на протилежний.

У статті розглянемо принцип розв'язання таких рівнянь як лінійні рівняння. Запишемо визначення цих рівнянь, поставимо загальний вигляд. Розберемо всі умови знаходження рішень лінійних рівнянь, використовуючи, зокрема, практичні приклади.

Звернемо увагу, що матеріал нижче містить інформацію щодо лінійних рівнянь з однією змінною. Лінійні рівняння із двома змінними розглядаються в окремій статті.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Що таке лінійне рівняння

Визначення 1

Лінійне рівняння- Це рівняння, запис якого такий:
a · x = b, де x- Змінна, aі b- Деякі числа.

Таке формулювання використано у підручнику алгебри (7 клас) Ю.М.Макаричова.

Приклад 1

Прикладами лінійних рівнянь будуть:

3 · x = 11(Рівняння з однією змінною xпри а = 5і b = 10);

− 3 , 1 · y = 0 (лінійне рівняння зі змінною y, де а = - 3, 1і b = 0);

x = − 4і − x = 5 , 37(лінійні рівняння, де число aзаписано у явному вигляді і дорівнює 1 і - 1 відповідно. Для першого рівняння b = - 4;для другого - b = 5, 37) і т.п.

В різноманітних навчальних матеріалахможуть зустрічатися різні визначення. Наприклад, Віленкін Н.Я. до лінійних відносить також ті рівняння, які можна перетворити на вигляд a · x = bза допомогою перенесення доданків з однієї частини до іншої зі зміною знака та приведення подібних доданків. Якщо слідувати такому трактуванню, рівняння 5 · x = 2 · x + 6 -також лінійне.

А ось підручник алгебри (7 клас) Мордковіча А.Г. задає такий опис:

Визначення 2

Лінійне рівняння з однією змінною x – це рівняння виду a · x + b = 0, де aі b- Деякі числа, звані коефіцієнтами лінійного рівняння.

Приклад 2

Прикладом лінійних рівнянь такого виду можуть бути:

3 · x − 7 = 0 (a = 3 , b = − 7) ;

1, 8 · y + 7, 9 = 0 (a = 1, 8, b = 7, 9).

Але також наведено приклади лінійних рівнянь, які ми вже використовували вище: виду a · x = b, наприклад, 6 · x = 35.

Ми відразу домовимося, що в цій статті під лінійним рівнянням з однією змінною ми розумітимемо рівняння запису a · x + b = 0, де x- Змінна; a, b – коефіцієнти. Подібна форма лінійного рівняння нам бачиться найбільш виправданою, оскільки лінійні рівняння – це алгебраїчні рівнянняпершого ступеня. А інші рівняння, вказані вище, та рівняння, наведені рівносильними перетвореннямина вигляд a · x + b = 0, Визначимо, як рівняння, що зводяться до лінійних рівнянь.

За такого підходу рівняння 5 · x + 8 = 0 – лінійне, а 5 · x = − 8- Рівняння, що зводиться до лінійного.

Принцип розв'язання лінійних рівнянь

Розглянемо, як визначити, чи буде задане лінійне рівняння мати коріння і, якщо так, то скільки і як його визначити.

Визначення 3

Факт наявності коренів лінійного рівняння визначаться значеннями коефіцієнтів aі b.Запишемо ці умови:

• при a ≠ 0лінійне рівняння має єдиний корінь x = - b a;
• при a = 0і b ≠ 0лінійне рівняння не має коріння;
• при a = 0і b = 0лінійне рівняння має безліч коренів. По суті, у даному випадку будь-яке число може стати коренем лінійного рівняння.

Дамо пояснення. Нам відомо, що в процесі розв'язування рівняння можливо здійснювати перетворення заданого рівняння в рівносильне йому, а значить має те ж коріння, що вихідне рівняння, або також не має коріння. Ми можемо робити наступні рівносильні перетворення:

• перенести доданок з однієї частини до іншої, змінивши знак на протилежний;
• помножити або розділити обидві частини рівняння на те саме число, не рівне нулю.

Таким чином, перетворимо лінійне рівняння a · x + b = 0, перенісши доданок bз лівої частини в праву частинузі зміною значок. Отримаємо: a · x = − b.

Отже, виробляємо поділ обох частин рівняння на рівне нулю число а,отримавши в результаті рівність виду x = - b a. Тобто, коли a ≠ 0 ,вихідне рівняння a · x + b = 0рівносильно рівності x = - ba , в якому очевидний корінь - ba .

Методом від протилежного можна продемонструвати, що знайдений корінь - єдиний. Задамо позначення знайденого кореня - b a як х 1 .Висловимо припущення, що є ще один корінь лінійного рівняння з позначенням х 2 .І звичайно: x 2 ≠ x 1 ,а це, у свою чергу, спираючись на визначення рівних чиселчерез різницю, рівносильно умові x 1 − x 2 ≠ 0 .З урахуванням вищесказаного ми можемо скласти такі рівності, підставивши коріння:
a · x 1 + b = 0і a · x 2 + b = 0.
Властивість числових рівностей дає можливість зробити почленное віднімання частин рівностей:

a · x 1 + b − (a · x 2 + b) = 0 − 0, звідси: a · (x 1 − x 2) + (b − b) = 0і далі a · (x 1 - x 2) = 0 .Рівність a · (x 1 − x 2) = 0є невірною, оскільки раніше умовою було поставлено, що a ≠ 0і x 1 − x 2 ≠ 0 .Отримана суперечність і служить доказом того, що при a ≠ 0лінійне рівняння a · x + b = 0має лише один корінь.

Обґрунтуємо ще два пункти умов, що містять a = 0.

Коли a = 0лінійне рівняння a · x + b = 0запишеться як 0 · x + b = 0. Властивість множення числа на нуль дає нам право стверджувати, що яке б число не було взято як x, підставивши його на рівність 0 · x + b = 0отримаємо b = 0 . Рівність справедлива при b = 0; в інших випадках, коли b ≠ 0 ,рівність стає невірною.

Таким чином, коли a = 0та b = 0 , будь-яке число може стати коренем лінійного рівняння a · x + b = 0, оскільки при виконанні цих умов, підставляючи замість xбудь-яке число, отримуємо вірну числову рівність 0 = 0 . Коли ж a = 0і b ≠ 0лінійне рівняння a · x + b = 0зовсім не матиме коріння, оскільки при виконанні зазначених умов, підставляючи замість xбудь-яке число, отримуємо неправильну числову рівність b = 0.

Всі наведені міркування дають нам можливість записати алгоритм, що дає змогу знайти рішення будь-якого лінійного рівняння:

• за видом запису визначаємо значення коефіцієнтів aі bта аналізуємо їх;
• при a = 0і b = 0рівняння матиме нескінченно багато коренів, тобто. будь-яке число стане коренем заданого рівняння;
• при a = 0і b ≠ 0
• при a, відмінному від нуля, починаємо пошук єдиного кореня вихідного лінійного рівняння:

1. перенесемо коефіцієнт bу праву частину зі зміною знака на протилежний, наводячи лінійне рівняння до виду a · x = − b;
2. обидві частини отриманої рівності ділимо на число a, що дасть нам корінь заданого рівняння, що шукається: x = - b a .

Власне описана послідовність дій і є відповідь на питання, як знаходити рішення лінійного рівняння.

Насамкінець уточнимо, що рівняння виду a · x = bвирішуються за схожим алгоритмом з єдиною відмінністю, що число bу такому записі вже перенесено до потрібну частинурівняння, і при a ≠ 0можна відразу виконувати розподіл частин рівняння на число a.

Таким чином, щоб знайти рішення рівняння a · x = b,використовуємо такий алгоритм:

• при a = 0і b = 0рівняння матиме нескінченно багато коренів, тобто. будь-яке число може стати його коренем;
• при a = 0і b ≠ 0задане рівняння не матиме коріння;
• при a, не рівному нулю, обидві частини рівняння поділяються на число a, що дає можливість знайти єдиний корінь, який дорівнює b a.

Приклади розв'язування лінійних рівнянь

Приклад 3

Необхідно вирішити лінійне рівняння 0 · x − 0 = 0.

Рішення

Після запису заданого рівняння бачимо, що a = 0і b = − 0(або b = 0,що те саме). Таким чином, задане рівняння може мати безліч коренів або будь-яке число.

Відповідь: x- Будь-яке число.

Приклад 4

Необхідно визначити, чи має коріння рівняння 0 · x + 2, 7 = 0.

Рішення

За записом визначаємо, що а = 0, b = 2, 7. Таким чином, задане рівняння не матиме коріння.

Відповідь:вихідне лінійне рівняння немає коренів.

Приклад 5

Задано лінійне рівняння 0 , 3 · x − 0 , 027 = 0 .Потрібно вирішити його.

Рішення

По запису рівняння визначаємо, що а = 0,3; b = - 0 , 027 що дозволяє нам стверджувати наявність єдиного кореня у заданого рівняння.

Наслідуючи алгоритм, переносимо b у праву частину рівняння, змінивши знак, отримуємо: 0,3 · x = 0,027.Далі розділимо обидві частини отриманої рівності на а = 0 3 тоді, x = 0 027 0 3 .

Здійснимо поділ десяткових дробів:

0,027 0,3 = 27 300 = 3 · 9 3 · 100 = 9 100 = 0, 09

Отриманий результат є коренем заданого рівняння.

Коротко рішення запишемо так:

0 , 3 · x - 0 , 027 = 0 , 0 , 3 · x = 0 , 027 , x = 0 , 027 0 , 3 , x = 0 , 09 .

Відповідь: x = 0,09.

Для наочності наведемо рішення рівняння запису a · x = b.

Приклад N

Задані рівняння: 1) 0 · x = 0; 2) 0 · x = − 9; 3) - 3 8 · x = - 3 3 4 . Потрібно вирішити їх.

Рішення

Усе задані рівняннявідповідають записи a · x = b. Розглянемо по черзі.

У рівнянні 0 · x = 0, a = 0 і b = 0що означає: будь-яке число може бути коренем цього рівняння.

У другому рівнянні 0 · x = − 9: a = 0 і b = − 9 ,таким чином, це рівняння не матиме коріння.

По виду останнього рівняння - 3 8 · x = - 3 3 4 запишемо коефіцієнти: a = - 3 8, b = - 3 3 4, тобто. рівняння має єдиний корінь. Знайдемо його. Поділимо обидві частини рівняння на a отримаємо в результаті: x = - 3 3 4 - 3 8 . Спростимо дріб, застосувавши правило поділу негативних чиселз наступним перекладом змішаного числав звичайний дрібі розподілом звичайних дробів:

3 3 4 - 3 8 = 3 3 4 3 8 = 15 4 3 8 = 15 4 · 8 3 = 15 · 8 4 · 3 = 10

Коротко рішення запишемо так:

3 8 · x = - 3 3 4 , x = - 3 3 4 - 3 8 x = 10 .

Відповідь: 1) x– будь-яке число, 2) рівняння немає коренів, 3) x = 10 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter