Рівняння площини. Як скласти рівняння площини?
Взаємне розташування площин. Завдання

Просторова геометрія не набагато складніша за «плоску» геометрію, і наші польоти в просторі починаються з цієї статті. Для засвоєння теми необхідно добре розібратись у векторахКрім того, бажано бути знайомим з геометрією площини – буде багато схожого, багато аналогій, тому інформація перетравиться значно краще. У серії моїх уроків 2D-світ відкривається статтею Рівняння прямої на площині. Але зараз Бетмен зійшов із плоского екрану телевізора та стартує з космодрому Байконур.

Почнемо з креслень та позначень. Схематично площину можна намалювати як паралелограма, що створює враження простору:

Площина нескінченна, але ми маємо можливість зобразити лише її шматочок. Насправді крім паралелограма також промальовують овал чи навіть хмарку. Мені з технічних причин зручніше зображати площину саме так і саме у такому положенні. Реальні площини, які ми розглянемо в практичних прикладах, можуть розташовуватися як завгодно - подумки візьміть креслення в руки і покрутіть його в просторі, надавши площині будь-який нахил, будь-який кут.

Позначення: площині прийнято позначати маленькими грецькими літерами , мабуть, щоб не плутати їх з прямий на площиніабо з прямий у просторі. Я звик використати букву. На кресленні саме буква «сигма», а не дірочка. Хоча, дірка площина, це, безумовно, дуже кумедно.

У ряді випадків для позначення площин зручно використовувати ті ж грецькі літери з нижніми підрядковими індексами, наприклад .

Очевидно, що площина однозначно визначається трьома різними точками, що не лежать на одній прямій. Тому досить популярні трибуквенні позначення площин – за точками, що належать їм, наприклад, і т.д. Нерідко букви укладають у круглі дужки: щоб не переплутати площину з іншою геометричною фігурою.

Для досвідчених читачів наведу меню швидкого доступу:

• Як скласти рівняння площини за точкою та двома векторами?
• Як скласти рівняння площини за точкою та вектором нормалі?

і ми не будемо нудитися довгими очікуваннями:

Загальне рівняння площини

Загальне рівняння площини має вигляд , де коефіцієнти одночасно не дорівнюють нулю.

Ряд теоретичних викладок та практичних завдань справедливі як для звичного ортонормованого базису, так і для афінного базису простору (якщо олія - ​​олійна, поверніться до уроку Лінійна (не) залежність векторів. Базис векторів). Для простоти будемо вважати, що всі події відбуваються в ортонормованому базисі та декартовій прямокутній системі координат.

А тепер трохи потренуємо просторову уяву. Нічого страшного, якщо у вас воно погане, зараз трохи розвинемо. Навіть для гри на нервах потрібні тренування.

У загальному випадку, коли числа не дорівнюють нулю, площина перетинає всі три координатні осі. Наприклад, так:

Ще раз повторюю, що площина нескінченно продовжується на всі боки, і у нас є можливість зобразити тільки її частину.

Розглянемо найпростіші рівняння площин:

Як розуміти це рівняння? Вдумайтеся: «зет» ЗАВЖДИ, при будь-яких значеннях «ікс» та «ігрок» дорівнює нулю. Це рівняння «рідної» координатної площини. Справді, формально рівняння можна переписати так: , Звідки добре видно, що нам по барабану, які значення набувають «ікс» і «ігрок», важливо, що «Зет» дорівнює нулю.

Аналогічно:
- Рівняння координатної площини;
- Рівняння координатної площини.

Трохи ускладнимо завдання, розглянемо площину (тут і далі в параграфі припускаємо, що числові коефіцієнти не дорівнюють нулю). Перепишемо рівняння як: . Як його розуміти? "Ікс" ЗАВЖДИ, при будь-яких значеннях "ігрок" і "зет" дорівнює деякому числу . Ця площина паралельна координатній площині. Наприклад, площина паралельна площині і проходить через точку .

Аналогічно:
– рівняння площини, яка паралельна координатній площині;
- Рівняння площини, яка паралельна координатній площині.

Додамо членів: . Рівняння можна переписати так: тобто «зет» може бути будь-яким. Що це означає? "Ікс" і "ігрок" пов'язані співвідношенням , яке прокреслює в площині деяку пряму (дізнаєтеся рівняння прямої на площині?). Оскільки "зет" може бути будь-яким, то ця пряма "тиражується" на будь-якій висоті. Таким чином, рівняння визначає площину, паралельну координатній осі

Аналогічно:
- Рівняння площини, яка паралельна координатній осі;
- Рівняння площини, яка паралельна координатній осі .

Якщо вільні члени нульові, то площини безпосередньо проходитимуть через відповідні осі. Наприклад, класична "пряма пропорційність": . Накресліть у площині пряму і подумки розмножте її вгору і вниз (оскільки «зет» будь-яке). Висновок: площина, задана рівнянням, проходить через координатну вісь.

Завершуємо огляд: рівняння площини проходить через початок координат. Ну, тут очевидно, що точка задовольняє даному рівнянню.

І, нарешті, випадок, який зображений на кресленні: - Площина дружить з усіма координатними осями, при цьому вона завжди "відсікає" трикутник, який може розташовуватися в будь-якому з восьми октантів.

Лінійні нерівності у просторі

Для розуміння інформації необхідно добре вивчити лінійні нерівності на площині, оскільки багато речей буду схожі. Параграф матиме короткий оглядовий характер із кількома прикладами, оскільки матеріал практично зустрічається досить рідко.

Якщо рівняння задає площину, то нерівності
задають напівпростору. Якщо нерівність непогана (два останніх у списку), то у розв'язання нерівності крім напівпростору входить і сама площина.

Приклад 5

Знайти одиничний нормальний вектор площині .

Рішення: Одиничний вектор - це вектор, довжина якого дорівнює одиниці Позначимо цей вектор через . Цілком зрозуміло, що вектори колінеарні:

Спочатку з рівняння поверхні знімемо вектор нормалі: .

Як знайти одиничний вектор? Для того щоб знайти одиничний вектор, потрібно кожнукоординату вектора розділити на довжину вектора.

Перепишемо вектор нормалі у вигляді та знайдемо його довжину:

Відповідно до вищесказаного:

Відповідь:

Перевірка: , Що й потрібно перевірити.

Читачі, які уважно вивчили останній параграф уроку, мабуть, помітили, що координати одиничного вектора – це точно напрямні косинуси вектора:

Відвернемося від розібраного завдання: коли вам дано довільний ненульовий вектор, і за умовою потрібно знайти його напрямні косинуси (див. останні завдання уроку Скалярне твір векторів), то ви, по суті, знаходите і одиничний вектор, колінеарний даному. Фактично два завдання в одному флаконі.

Необхідність знайти одиничний вектор нормалі виникає у деяких завданнях математичного аналізу.

З вивуджування нормального вектора розібралися, тепер відповімо на протилежне питання:

Як скласти рівняння площини за точкою та вектором нормалі?

Цю жорстку конструкцію вектора нормалі та точки добре знає мету для гри в дартс. Будь ласка, витягніть руку вперед і оберіть довільну точку простору, наприклад, маленьку кішечку в серванті. Очевидно, що через цю точку можна провести єдину площину, перпендикулярну до вашої руки.

Рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно до вектора , виражається формулою:

Нехай потрібно знайти рівняння площини, що проходить через три дані точки, що не лежать на одній прямій. Позначаючи їх радіуси-вектори через поточний радіус-вектор через , ми легко отримаємо шукане рівняння у векторній формі. Справді, вектори повинні бути компланарні (вони всі лежать у потрібній площині). Отже, векторно-скалярний добуток цих векторів має дорівнювати нулю:

Це і є рівняння площини, що проходить через три дані точки у векторній формі.

Переходячи до координат, отримаємо рівняння в координатах:

Якби три дані точки лежали на одній прямій, то вектори були колінеарні. Тому відповідні елементи двох останніх рядків визначника, що стоїть у рівнянні (18), були пропорційні і визначник тотожно дорівнює нулю. Отже, рівняння (18) зверталося б у тотожність при будь-яких значеннях х, у і z. Геометрично це означає, що через кожну точку простору проходить площину, в якій лежать три дані точки.

Примітка 1. Це завдання можна вирішити, не користуючись векторами.

Позначаючи координати трьох цих точок відповідно через напишемо рівняння будь-якої площини, що проходить через першу точку:

Щоб отримати рівняння шуканої площини, потрібно вимагати, щоб рівняння (17) задовольнялося координатами двох інших точок:

З рівнянь (19) слід визначити відношення двох коефіцієнтів до третього і внести знайдені значення рівняння (17).

Приклад 1. Скласти рівняння площини через крапки .

Рівняння площини, що проходить через першу з даних точок, буде:

Умови проходження площини (17) через дві інші точки і першу точку суть:

Складаючи друге рівняння з першим, знайдемо:

Підставляючи у друге рівняння, отримаємо:

Підставляючи в рівняння (17) замість А, В, З відповідно 1, 5, -4 (числа, їм пропорційні), отримаємо:

Приклад 2. Скласти рівняння площини, що проходить через точки (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Рівняння будь-якої площини, що проходить через точку (0, 0, 0), буде]

Умови проходження цієї площини через точки (1, 1, 1) і (2, 2, 2) суть:

Зменшуючи друге рівняння на 2, бачимо, що для визначення двох невідомих відношенні має одне рівняння з

Звідси отримаємо. Підставляючи тепер рівняння площині замість його значення, знайдемо:

Це і є рівняння шуканої площини; воно залежить від довільних

кількостей У, З (зокрема, від відношення т. е. є безліч площин, що проходять через три дані точки (три дані точки лежать на одній прямій лінії).

Примітка 2. Завдання про проведення площини через три дані точки, що не лежать на одній прямій, легко вирішується у загальному вигляді, якщо скористатися визначниками. Дійсно, так як в рівняннях (17) і (19) коефіцієнти А, В, С не можуть бути одночасно дорівнюють нулю, то, розглядаючи ці рівняння як однорідну систему з трьома невідомими А, В, С, пишемо необхідну та достатню умову існування рішення цієї системи, відмінного від нульового (ч. 1, гл. VI, § 6):

Розклавши цей визначник елементами першого рядка, отримаємо рівняння першого ступеня щодо поточних координат , якому задовольнятимуть, зокрема, координати трьох даних точок.

У цьому останньому також можна переконатися і безпосередньо, якщо підставити в рівняння, записане за допомогою визначника, координати будь-якої з даних точок замість . У лівій частині виходить визначник, у якого елементи першого рядка нулі, або є два однакові рядки. Таким чином, складене рівняння є площиною, що проходить через три дані точки.

Для того, щоб через три якісь точки простору можна було провести єдину площину, необхідно, щоб ці точки не лежали на одній прямій.

Розглянемо точки М 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) у загальній декартовій системі координат.

Для того, щоб довільна точка М(x, y, z) лежала в одній площині з точками М 1 М 2 М 3 необхідно, щоб вектори були компланарні.

(
) = 0

Таким чином,

Рівняння площини, що проходить через три точки:

Рівняння площини за двома точками та вектором, колінеарною площиною.

Нехай задані точки М 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) і вектор
.

Складемо рівняння площини, що проходить через дані точки М 1 і М 2 і довільну точку М(х, у, z) паралельно вектору .

Вектори
та вектор
мають бути компланарні, тобто.

(
) = 0

Рівняння площини:

Рівняння площини по одній точці та двох векторів,

колінеарні площині.

Нехай задані два вектори
і
, колінеарні площини. Тоді для довільної точки М(х, у,z), що належить площині, вектори
мають бути компланарними.

Рівняння площини:

Рівняння площини за точкою та вектором нормалі .

Теорема. Якщо у просторі задана точка М 0 (х 0 , у 0 , z 0 ), то рівняння площини, що проходить через точку М 0 перпендикулярно вектору нормалі (A, B, C) має вид:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Доведення. Для довільної точки М(х, у, z), що належить площині, складемо вектор. Т.к. вектор - Вектор нормалі, то він перпендикулярний площині, а, отже, перпендикулярний і вектору
. Тоді скалярний твір

= 0

Таким чином, отримуємо рівняння площини

Теорему доведено.

Рівняння площини у відрізках.

Якщо у загальному рівнянні Ах + Ву + Сz + D = 0 поділити обидві частини на (-D)

,

замінивши
, Отримаємо рівняння площини у відрізках:

Числа a, b, c є точками перетину площини відповідно до осей х, у, z.

Рівняння площині у векторній формі.

де

- радіус- вектор поточної точки М(х, у, z),

Одиничний вектор, що має напрямок, перпендикуляра, опущеного на площину початку координат.

,  та  - кути, утворені цим вектором з осями х, у, z.

p - Довжина цього перпендикуляра.

У координатах це рівняння має вигляд:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Відстань від точки до площини.

Відстань від довільної точки М 0 (х 0, у 0, z 0) до площини Ах + Ву + Сz + D = 0 дорівнює:

приклад.Знайти рівняння площини, знаючи, що точка Р(4; -3; 12) – основа перпендикуляра, опущеного початку координат на цю площину.

Таким чином, A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, скористаємося формулою:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

приклад.Знайти рівняння площини, що проходить через дві точки P(2; 0; -1) та

Q(1; -1; 3) перпендикулярно до площини 3х + 2у – z + 5 = 0.

Вектор нормалі до площини 3х + 2у – z + 5 = 0
паралельний шуканій площині.

Отримуємо:

приклад.Знайти рівняння площини, що проходить через точки А(2, -1, 4) та

В(3, 2, -1) перпендикулярно площині х + у + 2z – 3 = 0.

Шукане рівняння площини має вигляд: A x+ B y+ C z+ D = 0, вектор нормалі до цієї площини (A, B, C). Вектор
(1, 3, -5) належить площині. Задана нам площина, перпендикулярна до шуканої має вектор нормалі. (1, 1, 2). Т.к. точки А і В належать обом площинам, а площини взаємно перпендикулярні, то

Таким чином, вектор нормалі (11, -7, -2). Т.к. точка А належить шуканої площині, її координати повинні задовольняти рівнянню цієї площині, тобто. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Отже, отримуємо рівняння площини: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.

приклад.Знайти рівняння площини, знаючи, що точка Р(4, -3, 12) - основа перпендикуляра, опущеного початку координат на цю площину.

Знаходимо координати вектора нормалі
= (4, -3, 12). Шукане рівняння площини має вигляд: 4 x – 3y + 12z+ D = 0. Для знаходження коефіцієнта D підставимо рівняння координати точки Р:

16+9+144+D=0

Отже, отримуємо шукане рівняння: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0

приклад.Дані координати вершин піраміди А 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Знайти довжину ребра А1А2.

Знайти кут між ребрами А1А2 і А1А4.

Знайти кут між ребром А1А4 і гранню А1А2А3.

Спочатку знайдемо вектор нормалі до грані А1А2А3 як векторний твір векторів
і
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Знайдемо кут між вектором нормалі та вектором
.

-4 – 4 = -8.

Шуканий кут  між вектором і площиною дорівнюватиме  = 90 0 - .

Знайти площу грані А 1 А 2 А 3 .

Знайти обсяг піраміди.

Знайти рівняння площини А1А2А3.

Скористаємося формулою рівняння площини, що проходить через три точки.

2x + 2y + 2z - 8 = 0

x + y + z - 4 = 0;

При використанні комп'ютерної версії “ Курси вищої математики” можна запустити програму, яка вирішить розглянутий вище приклад будь-яких координат вершин піраміди.

Щоб запустити програму, двічі клацніть на значку:

У вікні програми введіть координати вершин піраміди і, натисніть Enter. Таким чином, по черзі можуть бути отримані усі пункти рішення.

Примітка: Для запуску програми необхідно, щоб на комп'ютері була встановлена ​​програма Maple ( Waterloo Maple Inc.) будь-якої версії, починаючи з MapleV Release 4.

У цьому уроці ми розглянемо, як за допомогою визначника скласти рівняння площини. Якщо ви не знаєте, що таке визначник, зайдіть у першу частину уроку – «Матриці та визначники». Інакше ви ризикуєте нічого не зрозуміти у сьогоднішньому матеріалі.

Рівняння площини за трьома точками

Навіщо взагалі потрібне рівняння площини? Все просто: знаючи його, ми легко вирахуємо кути, відстані та іншу хрень у задачі C2. Загалом без цього рівняння не обійтися. Тому сформулюємо завдання:

Завдання. У просторі дано три точки, що не лежать на одній прямій. Їхні координати:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3);

Потрібно скласти рівняння площини, що проходить через ці три точки. Причому рівняння повинно мати вигляд:

Ax + By + Cz + D = 0

де числа A, B, C і D - коефіцієнти, які, власне, і потрібно знайти.

Ну і як отримати рівняння площини, якщо відомі лише координати точок? Найпростіший спосіб – підставити координати в рівняння Ax + By + Cz + D = 0. Вийде система із трьох рівнянь, яка легко вирішується.

Багато учнів вважають таке рішення вкрай стомлюючим та ненадійним. Торішній ЄДІ з математики показав, що ймовірність припустити обчислювальну помилку справді велика.

Тому найбільш просунуті вчителі стали шукати більш прості та витончені рішення. І знайшли! Щоправда, отриманий прийом швидше належить до найвищої математики. Особисто мені довелося перерити весь Федеральний перелік підручників, щоб переконатися, що ми маємо право застосовувати цей прийом без жодних обґрунтувань та доказів.

Рівняння площини через визначник

Досить лірики, приступаємо до справи. Для початку - теорема про те, як пов'язані визначник матриці та рівняння площини.

Теорема. Нехай дані координати трьох точок, через які треба провести площину: M = (x 1 , y 1 , z 1); N = (x 2, y 2, z 2); K = (x3, y3, z3). Тоді рівняння цієї площини можна записати через визначник:

Наприклад спробуємо визначити пару площин, які реально зустрічаються у завданнях С2. Погляньте, як швидко все вважається:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);

Складаємо визначник і прирівнюємо його до нуля:

Розкриваємо визначник:

a = 1 · 1 · (z − 1) + 0 · 0 · x + (−1) · 1 · y = z − 1 − y;
b = (−1) · 1 · x + 0 · 1 · (z − 1) + 1 · 0 · y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Як бачите, при розрахунку числа d я трохи «зачесал» рівняння, щоб змінні x , y та z йшли у правильній послідовності. От і все! Рівняння площини готове!

Завдання. Складіть рівняння площини, що проходить через точки:

A = (0, 0, 0);
B1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

Відразу підставляємо координати точок у визначник:

Знову розкриваємо визначник:

a = 1 · 1 · z + 0 · 1 · x + 1 · 0 · y = z;
b = 1 · 1 · x + 0 · 0 · z + 1 · 1 · y = x + y;
d = a − b = z − (x + y) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Отже, рівняння поверхні знову отримано! Знову ж таки, на останньому кроці довелося поміняти в ньому знаки, щоб отримати більш «гарну» формулу. Робити це в цьому рішенні зовсім не обов'язково, але все-таки рекомендується - щоб спростити подальше вирішення завдання.

Як бачите, складати рівняння площини тепер набагато простіше. Підставляємо крапки в матрицю, вважаємо визначник – і все, рівняння готове.

На цьому можна було б закінчити урок. Проте багато учнів постійно забувають, що стоїть усередині визначника. Наприклад, в якому рядку стоїть x 2 або x 3 , а в якому - просто x . Щоб остаточно розібратися з цим, простежимо, звідки береться кожне число.

Звідки береться формула із визначником?

Отже, знаємося, звідки виникає таке суворе рівняння з визначником. Це допоможе вам запам'ятати його та успішно застосовувати.

Всі площини, що зустрічаються в задачі C2, задаються трьома точками. Ці точки завжди зазначені на кресленні, або навіть зазначені у тексті завдання. У будь-якому випадку, для складання рівняння нам потрібно виписати їх координати:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x3, y3, z3).

Розглянемо ще одну точку на нашій площині із довільними координатами:

T = (x, y, z)

Беремо будь-яку точку з першої трійки (наприклад, точку M ) і проведемо з неї вектори в кожну з трьох точок, що залишилися. Отримаємо три вектори:

MN = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1);
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1);
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1).

Тепер складемо із цих векторів квадратну матрицю і прирівняємо її визначник до нуля. Координати векторів стануть рядками матриці - і ми отримаємо той самий визначник, який зазначений у теоремі:

Ця формула означає, що обсяг паралелепіпеда, побудованого на векторах MN , MK і MT дорівнює нулю. Отже всі три вектори лежать в одній площині. Зокрема, і довільна точка T = (x, y, z) - саме те, що ми шукали.

Заміна точок та рядків визначника

У визначників є кілька чудових властивостей, які ще спрощують розв'язання задачі C2. Наприклад, нам не важливо, з якої точки проводити вектори. Тому такі визначники дають таке ж рівняння площини, як і наведений вище:

Також можна міняти місцями рядки визначника. Рівняння у своїй залишиться незмінним. Наприклад, багато хто любить записувати рядок з координатами точки T = (x; y; z) в самому верху. Будь ласка, якщо вам так зручно:

Деяких бентежить, що в одному з рядків присутні змінні x, y і z, які не зникають при підстановці точок. Але вони не повинні зникати! Підставивши числа в визначник, ви повинні отримати таку конструкцію:

Потім визначник розкривається за схемою, наведеною на початку уроку, і виходить стандартне рівняння площини:

Ax + By + Cz + D = 0

Погляньте на приклад. Він останній у сьогоднішньому уроці. Я спеціально поміняю рядки місцями, щоб переконатися, що у відповіді вийде одне й те саме рівняння площини.

Завдання. Складіть рівняння площини, що проходить через точки:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1).

Отже, розглядаємо 4 точки:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Для початку складемо стандартний визначник і прирівнюємо його до нуля:

Розкриваємо визначник:

a = 0 · 1 · (z − 1) + 1 · 0 · (x − 1) + (−1) · (−1) · y = 0 + 0 + y;
b = (−1) · 1 · (x − 1) + 1 · (−1) · (z − 1) + 0 · 0 · y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Всі ми отримали відповідь: x + y + z − 2 = 0 .

Тепер переставимо пару рядків у визначнику і подивимося, що відбудеться. Наприклад, запишемо рядок зі змінними x, y, z не внизу, а вгорі:

Знову розкриваємо отриманий визначник:

a = (x − 1) · 1 · (−1) + (z − 1) · (−1) · 1 + y · 0 · 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) · 1 · 0 + y · (−1) · (−1) + (x − 1) · 1 · 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Ми отримали таке саме рівняння площини: x + y + z − 2 = 0. Отже, воно дійсно не залежить від порядку рядків. Залишилось записати відповідь.

Отже, ми переконалися, що рівняння площини залежить від послідовності рядків. Можна провести аналогічні обчислення та довести, що рівняння площини не залежить і від точки, координати якої ми віднімаємо з решти точок.

У розглянутій вище задачі ми використовували точку B 1 = (1, 0, 1), але можна було взяти C = (1, 1, 0) або D 1 = (0, 1, 1). Загалом, будь-яку точку з відомими координатами, що лежить на площині.

В рамках цього матеріалу ми розберемо, як знайти рівняння площини, якщо ми знаємо координати трьох різних точок, які не лежать на одній прямій. Для цього нам потрібно згадати, що таке прямокутна система координат у тривимірному просторі. Для початку ми введемо основний принцип даного рівняння і покажемо, як використовувати його при вирішенні конкретних завдань.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Для початку нам необхідно згадати одну аксіому, яка звучить так:

Визначення 1

Якщо три точки не збігаються одна з одною і не лежать на одній прямій, то в тривимірному просторі через них проходить лише одна площина.

Іншими словами, якщо у нас є три різні точки, координати яких не збігаються і які не можна з'єднати прямий, то ми можемо визначити площину, що проходить через неї.

Допустимо, у нас є прямокутна система координат. Позначимо її O x y z. У ній лежать три точки M з координатами M 1 (x 1 , y 1 , z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) , які не можна з'єднати пряма лінія. З цих умов, ми можемо записати рівняння необхідної нам площині. Є два підходи до вирішення цього завдання.

1. Перший підхід використовує загальне рівняння площини. У буквеному вигляді воно записується як A(x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 . З його допомогою можна задати у прямокутній системі координат якусь площину альфа, яка проходить через першу задану точку M 1 (x 1 , y 1 , z 1) . У нас виходить, що нормальний вектор площини буде мати координати A , B , C .

Визначення N

Знаючи координати нормального вектора та координати точки, якою проходить площину, ми можемо записати загальне рівняння цієї площини.

З цього ми і виходитимемо надалі.

Таким чином, згідно з умовами задачі, ми маємо координати шуканої точки (навіть трьох), через яку проходить площина. Щоб знайти рівняння, потрібно визначити координати її нормального вектора. Позначимо його n → .

Згадаймо правило: будь-який не рівний нулю вектор даної площини є перпендикулярним до нормального вектора цієї ж площини. Тоді ми маємо, що n → буде перпендикулярним до векторів, складених з вихідних точок M 1 M 2 → і M 1 M 3 → . Тоді ми можемо позначити n → як векторний добуток виду M 1 M 2 → M 1 M 3 → .

Оскільки M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) а M 1 M 3 → = x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1 (докази цих рівностей наведені у статті, присвяченій обчисленню координат вектора за координатами точок), тоді виходить, що:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1

Якщо обчислимо визначник, то отримаємо необхідні нам координати нормального вектора n → . Тепер ми можемо записати потрібне нам рівняння площини через три задані точки.

2. Другий підхід знаходження рівняння, що проходить через M 1 (x 1 , y 1 , z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) , заснований на такому понятті, як компланарність векторів.

Якщо у нас є безліч точок M (x , y , z) , то в прямокутній системі координат вони визначають площину для заданих точок M 1 (x 1 , y 1 , z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) тільки в тому випадку, коли вектори M 1 M   → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2   → = ( x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) і M 1 M 3   → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) будуть компланарними.

На схемі це виглядатиме так:

Це означатиме, що змішаний добуток векторів M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → дорівнює нулю: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , оскільки це є основною умовою компланарності: M 1 M   → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2   → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) і M 1 M 3   = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) .

Запишемо отримане рівняння у координатній формі:

Після того, як ми обчислимо визначник, ми зможемо отримати потрібне нам рівняння площини для трьох не лежачих на одній прямій точок M 1 (x 1 , y 1 , z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x3, y3, z3).

Від отриманого в результаті рівняння можна перейти до рівняння площини у відрізках або нормального рівняння площини, якщо цього вимагають умови завдання.

У наступному пункті ми наведемо приклади, як зазначені нами підходи реалізуються практично.

Приклади задач на складання рівняння площини, що проходять через 3 точки

Раніше ми виділили два підходи, за допомогою яких можна знайти потрібне рівняння. Давайте подивимося, як вони застосовуються у розв'язках задач і коли слід вибирати кожен із них.

Приклад 1

Існують три точки, що не лежать на одній прямій, з координатами M 1 (- 3 , 2 , - 1) , M 2 (- 1 , 2 , 4) , M 3 (3 , 3 , - 1) . Складіть рівняння площини через них.

Рішення

Використовуємо по черзі обидва способи.

1. Знайдемо координати двох потрібних нам векторів M 1 M 2 → , M 1 M 3 → :

M 1 M 2 → = - 1 - - 3 , 2 - 2 , 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2 , 0 , 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3 , 3 - 2 , - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6, 1, 0

Тепер обчислимо їхній векторний твір. Обчислення визначника розписувати при цьому:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 · i → + 30 · j → + 2 · k →

У нас вийшов нормальний вектор площини, яка проходить через три точки, що шукаються: n → = (- 5 , 30 , 2) . Далі нам потрібно взяти одну з точок, наприклад, M 1 (- 3 , 2 , - 1) і записати рівняння для площини з вектором n → = (- 5 , 30 , 2) . Ми отримаємо, що: - 5 · (x - (-3)) + 30 · (y - 2) + 2 · (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 =

Це і є необхідне рівняння площини, яка проходить через три точки.

2. Використовуємо інший підхід. Запишемо рівняння для площини з трьома точками M 1 (x 1 , y 1 , z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) у наступному вигляді:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Сюди можна підставити дані умови завдання. Оскільки x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, в результаті ми отримаємо:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

Ми отримали необхідне рівняння.

Відповідь:- 5 x + 30 y + 2 z-73.

А як бути, якщо задані точки все ж таки лежать на одній прямій і нам потрібно скласти рівняння площини для них? Тут одразу треба сказати, що ця умова буде не зовсім коректною. Через такі точки може проходити нескінченно багато площин, тому обчислити одну єдину відповідь неможливо. Розглянемо таку задачу, щоб довести некоректність такої постановки питання.

Приклад 2

У нас є прямокутна система координат у тривимірному просторі, в якій розміщені три точки з координатами M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) . Необхідно скласти рівняння площини, що проходить через неї.

Рішення

Використовуємо перший спосіб і почнемо з обчислення координат двох векторів M 1 M 2 → M1 M 3 → . Підрахуємо їх координати: M 1 M 2 → = (- 4 , 6 , 2) , M 1 M 3 → = - 6 , 9 , 3 .

Векторний твір дорівнює:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 · i ⇀ + 0 · j → + 0 · k → = 0 →

Оскільки M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 → , наші вектори будуть колінеарними (перечитайте статтю про них, якщо забули визначення цього поняття). Таким чином, вихідні точки M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) знаходяться на одній прямій, і наше завдання має безліч варіантів відповіді.

Якщо ми використовуємо другий спосіб, у нас вийде:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8 z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

З рівності також випливає, що задані точки M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) знаходяться на одній прямій.

Якщо ви хочете знайти хоч одну відповідь цього завдання з безлічі її варіантів, то потрібно виконати наступні кроки:

1. Записати рівняння прямої М 1 М 2 , М 1 М 3 або М 2 М 3 (за потреби подивіться матеріал про цю дію).

2. Взяти точку M 4 (x 4 , y 4 , z 4) , яка лежить на прямий М 1 М 2 .

3. Записати рівняння площини, яка проходить через три різні точки М 1 , М 2 та M 4 , що не лежать на одній прямій.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter