Mathcad - програмний засіб, середовище для виконання на комп'ютері різноманітних математичних та технічних розрахунків, забезпечене простим у освоєнні та в роботі графічним інтерфейсом, що надає користувачеві інструменти для роботи з формулами, числами, графіками та текстами. У середовищі Mathcad доступні більше сотні операторів та логічних функцій, призначених для чисельного та символьного вирішення математичних завдань різної складності.

Для автоматизації математичних, інженерно-технічних та наукових розрахунків використовуються різноманітні обчислювальні засоби – від програмованих мікрокалькуляторів до надпотужних суперЕОМ. Проте такі розрахунки для багатьох залишаються складною справою. Понад те, застосування комп'ютерів для розрахунків внесло нові проблеми: як розпочати розрахунки, користувач повинен освоїти ази алгоритмізації, вивчити одне чи кілька мов програмування, і навіть чисельні методи розрахунків. Положення істотно змінилося після випуску спеціалізованих програмних комплексів для автоматизації математичних та інженерно-технічних розрахунків.

До таких комплексів відносяться пакети програм Mathcad, MatLab, Mathematica, Maple, MuPAD, Derive та ін. Mathcad займає в цьому ряду особливе положення.

Mathcad є інтегрованою системою вирішення математичних, інженерно-технічних та наукових завдань. Він містить текстовий і формульний редактор, обчислювач, засоби наукової та ділової графіки, а також величезну базу довідкової інформації, як математичної, так і інженерної, оформленої у вигляді вбудованого в Mathcad довідника, комплекту електронних книг та звичайних «паперових» книг, у тому числі та російською мовою

Текстовий редактор служить для введення та редагування текстів. Тексти є коментарями, і які входять у них математичні висловлювання не виконуються. Текст може складатися зі слів, математичних символів, виразів та формул.

Формульний процесор забезпечує природний «багатоповерховий» набір формул у звичній математичній нотації (розподіл, множення, квадратний корінь, інтеграл, сума тощо). Остання версія Mathcad повністю підтримує літери кирилиці у коментарях, формулах та на графіках.

Обчислювач забезпечує обчислення за складними математичними формулами, має великий набір вбудованих математичних функцій, дозволяє обчислювати ряди, суми, твори, інтеграли, похідні, працювати з комплексними числами, вирішувати лінійні та нелінійні рівняння, а також диференціальні рівняння та системи, проводити мінімізацію та максимізацію функцій , виконувати векторні та матричні операції, статистичний аналіз тощо. Можна легко змінювати розрядність і базу чисел (двійкова, вісімкова, десяткова і шістнадцяткова), а також похибка ітераційних методів. Автоматично ведеться контроль розмірностей і перерахунок у різних системах виміру (СІ, СГС, англо-американська, а також користувальницька).

У Mathcad вбудовані засоби символьної математики, що дозволяють вирішувати завдання через аналітичні комп'ютерні перетворення.

Графічний процесор служить до створення графіків і діаграм. Він поєднує простоту спілкування з користувачем з великими можливостями засобів ділової та наукової графіки. Графіка спрямовано рішення типових математичних завдань. Можлива швидка зміна вигляду та розміру графіків, накладення на них текстових написів та переміщення їх у будь-яке місце документа.

Mathcad є універсальною системою, тобто. може використовуватися в будь-якій галузі науки та техніки – скрізь, де застосовуються математичні методи. Запис команд в системі Mathcad мовою, дуже близькою до стандартної мови математичних розрахунків, спрощує постановку та вирішення завдань.

Mathcad інтегрований з усіма іншими комп'ютерними системами рахунку.

Mathcad дозволяє легко вирішувати такі завдання як:

введення на комп'ютері різноманітних математичних виразів (для подальших розрахунків або створення документів, презентацій, Web-сторінок або електронних та звичайних «паперових» книг);

проведення математичних розрахунків (як аналітичних, і з допомогою чисельних методів);

підготовка графіків (як двовимірних, і тривимірних) з результатами розрахунків;

введення вихідних даних та виведення результатів у текстові файли або файли з базами даних в інших форматах;

підготовка звітів роботи у вигляді друкованих документів;

підготовка Web-сторінок та публікація результатів в Інтернеті;

отримання різної довідкової інформації

та багато інших завдань.

Починаючи з 14 версії, Mathcad інтегрований з Pro/ENGINEER (а також і з SolidWorks). В основі інтеграції Mathcad та Pro/ENGINEER лежить двосторонній зв'язок між цими додатками. Їх користувачі можуть легко зв'язати будь-який файл Mathcad з деталлю та складання Pro/ENGINEER за допомогою такої функції системи Pro/ENGINEER, як фічер аналізу

Mathcad створює зручне обчислювальне середовище для найрізноманітніших математичних розрахунків та документування результатів роботи в рамках затверджених стандартів. Mathcad дозволяє створювати корпоративні та галузеві засоби сертифікованих розрахунків у різних галузях науки та техніки, що забезпечують єдину методологію для всіх організацій, що входять до корпорації чи галузі

Остання версія Mathcad підтримує 9 мов, що дозволяє вести більш потужні та ясні обчислення.

NEEDHAM (Массачусетс). 12 лютого 2007 р. PTC (на біржі Nasdaq: PMTC), компанія з розробки систем CAD/CAM/CAE/PLM, оголосила про випуск Mathcad 14.0, найостаннішої версії популярної системи автоматизації інженерно-технічних розрахунків. Починаючи з моменту придбання фірми Mathsoft у квітні 2006 року, компанія PTC зосередила свої зусилля над тим, щоб далі розсунути географічні межі застосування технології Mathcad та значно збільшити армію її користувачів. Mathcad 14.0 значно розширює можливості користувачів у вирішенні обчислювальних завдань, що постійно зростають, покращує зв'язаність розрахункових документів протягом усього процесу розробки виробу.

У сучасних умовах глобального поділу процесу розробки виробу науково-технічні обчислення набувають украй важливого значення. Випускаючи Mathcad 14.0, PTC забезпечує повну підтримку кодування Unicode і незабаром запропонує цей продукт дев'ятьма мовами. Новими серед них будуть такі мови, як італійська, іспанська, корейська та обидва китайські – традиційна та спрощена. Розширена мовна підтримка в Mathcad 14.0 дозволить географічно розкиданим командам виконувати та документувати розрахунки своєю місцевою мовою та в результаті підвищити продуктивність праці, завдяки збільшенню її швидкості та точності, а також скорочення помилок, що відбуваються при перекладі з однієї мови на іншу.

Mathcad 14.0 також дозволяє виконувати більш складні розрахунки, зберігаючи їхню ясність за допомогою нових функцій робочого листа WorkSheet (документа, відкритого в середовищі Mathcad), додаткових засобів оперативної числової оцінки та розширеного набору символів. Це допоможе користувачам під час виведення формул, відображення обчислювального процесу та документального обґрунтування розрахунків. Зрештою, спеціальні додаткові можливості дозволять користувачам працювати з ширшим діапазоном інженерно-технічних завдань.

В основі інтеграції Mathcad та Pro/ENGINEER лежить двосторонній зв'язок між цими додатками. Їх користувачі можуть легко зв'язати будь-який файл Mathcad з деталлю та складання Pro/ENGINEER за допомогою такої функції системи Pro/ENGINEER, як фічер аналізу. Базові величини, розраховані в системі Mathcad, можуть бути переведені в параметри та розміри CAD-моделі для керування геометричним об'єктом. Параметри моделі Pro/ENGINEER також можна ввести в Mathcad для подальших інженерно-конструкторських розрахунків. При зміні параметрів взаємна інтеграція двох систем дозволяє динамічно оновлювати обчислення та креслення об'єкта. Більше того, тепер коректність керованих системою Mathcad моделей Pro/ENGINEER може бути обґрунтована за допомогою таких розрахункових модулів Pro/ENGINEER, як Pro/ENGINEER Mechanica®, Structural And Thermal Simulation, Fatique Advisor Option та Mechanism Dynamics Option.

Що нового в Mathcad 14.0?

Новий тандем операторів інтерфейсу («Два в одному»)

Формат чисел на графіках

Зміни у командах Find/Replace

Команда Compare

Нове у рішенні ОДУ

Нові засоби символьної математики

Підтримка кодової таблиці Unicode

Інтерфейс користувача

Під інтерфейсом користувача мається на увазі сукупність засобів графічної оболонки Math CAD, що забезпечують легке керування системою як з клавішного пульта, так і за допомогою миші. Під керуванням розуміється і просто набір необхідних символів, формул, текстових коментарів тощо, і можливість повної підготовки серед MathCAD документів (Work Sheets) і електронних книг із подальшим їх запуском у часі. Користувальницький інтерфейс системи створено так, що користувач, який має елементарні навички роботи з програмами Windows, може відразу почати роботу з MathCAD.

Вікно редагування.

Головне меню системи.

Другий рядок вікна системи – головне меню. Призначення його команд наведено нижче:

File (Файл) – робота з файлами, мережею інтернет та електронною поштою;

PAGE_BREAK--

Низка меню містить команди, стандартні для Windows-програм.

Edit (Правка) – редагування документів;

Спадне меню також містить команди, стандартні для Windows-програм.Більшість з них доступні тільки у випадку, якщо в документі виділено одна або кілька областей (текст, формула, графік і т.д.)

View (Огляд) - Зміна засобів огляду;

Toolbars (Панелі) – дозволяє відображати або приховувати панелі інструментів Standart (Стандартна), Formatting (Форматування), Math (Математика).

Status bar (Рядок стану) - увімкнення або вимкнення відображення рядка стану системи.

Ruler (лінійка) - увімкнення-відключення лінійки.

Regions (Кордони) - робить видимими межі областей (текстових, графічних, формул).

Zoom (зміна масштабу).

Refresh (Оновити) – оновлення вмісту екрана.

Animate (Анімація) - Команда дозволяє створити анімацію.

Playback (Програвач) - Відтворення анімації, що зберігається у файлі з розширенням AVI.

Preferences (Налаштування) - Одна з вкладок спливаючого вікна (General) дозволяє задати деякі параметри роботи в програмі, що не впливають на обчислення, інша вкладка (Internet) служить для введення інформації при спільній роботі з MathCAD-документами через Internet.

Insert (Вставка) – Команди цього меню дозволяють поміщати в MathCAD-документ графіки, функції, гіперпосилання, компоненти та вбудовувати об'єкти.

Формат – зміна формату об'єктів

Equation (Рівняння) - Форматування формул та створення власних стилів для представлення даних

Result (Результат) - Дозволяє задати формат представлення результатів обчислень. (Див. розділ 1.4 цієї лекції)

Text(Текст) - Форматування текстового фрагмента (шрифт, розмір, зображення)

Paragraf (Абзац) - Зміна формату поточного абзацу (відступи, вирівнювання).

Tabs (Табуляція) - Завдання позицій маркерів табуляції.

Style (Стиль) – Оформлення текстових абзаців.

Properties (Властивості) - Вкладка Display (Відображення) дозволяє встановити колір фону для найважливіших текстових та графічних областей; вставлений у документ малюнок (Insert->Picture) дозволяє укласти в рамку, повернути йому початковий розмір. Вквадка Calculation (Обчислення) дозволяє для виділеної формули включити та відключити обчислення; в останньому випадку у правому верхньому кутку області формули з'являється маленький чорний прямокутник і формула перетворюється на коментар.

Graf (Графік) - Дозволяє змінювати параметри відображення графіків

Separate regions (Розділити області) - Дозволяє розсовувати області, що перекриваються.

Align regions(Вирівняти області) - Вирівнює виділені області по горизонталі або по вертикалі.

Headers/Footers (Колонтитули) - створення та редагування колонтитулів.

Repaganite Now (Перенумерація сторінок) - Розбиває поточний документ на сторінки.

Math (Математика) - управління процесом обчислень; у MathCAD існує два режими обчислень: автоматичний та ручний. В автоматичному режимі результати обчислень повністю оновлюються за будь-якої зміни у формулі.

Automatic Calculation (Автоматичне обчислення) – дозволяє перемикати режими обчислень.

Calculate (Обчислити) - При ручному режимі обчислень дозволяє перерахувати видиму частину екрана.

Optimization (Оптимізація) - За допомогою цієї команди можна змусити MathCAD перед чисельною оцінкою виразу зробити символьні обчислення і при знаходженні компактнішої форми виразу використовувати саме її. Якщо вираз вдалося оптимізувати, то праворуч від нього з'являється маленька червона зірочка. Подвійне клацання на ній відкриває вікно, в якому знаходиться оптимізований результат.

Options (Параметри) – дозволяє задавати параметри обчислень

Symbolik (Символіка) – вибір операцій символьного процесора;

Позиції цього меню докладно розглядаються у Лекції 6, присвяченій символьним обчисленням у системі MathCAD.

Window (Вікно) – керування вікнами системи;

Help (?) – робота з довідковою базою даних про систему;

Mathcad Help (Довідка з MathCAD) – містить три вкладки: Зміст – довідка впорядкована за темами; Покажчик – предметний покажчик; Пошук - знаходить потрібне поняття при введенні його у форму.

Resource Center (Центр ресурсів) - Інформаційний центр, що містить огляд обчислювальних здібностей MathCAD (Overview and Tutorials), швидку довідку у вигляді прикладів з різних галузей математики (Quicksheets and Reference tables).

Tip of the Day - Спливаючі вікна-підказки з корисними порадами (виникають при завантаженні системи).

Open Book (Відкрити книгу) – дозволяє відкрити довідник системи MathCAD.

About Mathcad (Про програму Mathcad) - інформація про версію програми, авторські права та користувача.

Кожна позиція головного меню може бути активною. Для цього достатньо вказати на неї курсором – стрілкою миші та натиснути її ліву клавішу. Можна також натиснути клавішу F10 та використовувати клавіші переміщення вправо та вліво. Потім вибір фіксується натисканням клавіші Enter. Якщо будь-яка позиція головного меню робиться активною, вона виводить спадне підменю зі списком доступних і недоступних (але можливих надалі) операцій. Переміщення по списку підменю та вибір потрібної операції здійснюється аналогічно до того, як це описано для головного меню.

Стандартна панель інструментів.

Третій рядок вікна системи займає панель інструментів (Toolbox). Вона містить кілька груп кнопок управління з піктограмами, кожна з яких дублює одну з найважливіших операцій головного меню. Варто лише зупинити курсор миші на будь-якій із цих піктограм, як у жовтому віконці з'явиться текст, який пояснює функції піктограм. Розглянемо дію клавіш швидкого управління системою.

Кнопки операцій із файлами.

Документи системи MathCAD є файлами, тобто. що мають імена блоками зберігання інформації на магнітних дисках. Файли можна створювати, завантажувати (відкривати), записувати та роздруковувати на принтері. Можливі операції з файлами представлені на панелі інструментів першою групою з трьох кнопок:

New Worksheet (Створювати) - створення нового документа з очищенням вікна редагування;

Open Worksheet (Відкрити) – завантаження раніше створеного документа з діалогового вікна;

Save Worksheet (Зберегти) – запис поточного документа з його ім'ям.

Друк та контроль документів.

Print Worksheet (Друк) – роздрук документа на принтері;

Print Preview (Перегляд) – перегляд документа;

Check Speling (Перевірка) – перевірка орфографії документа.

Кнопки операцій редагування.

Під час підготовки документів доводиться редагувати, тобто. видозмінювати та доповнювати.

Продовження
--PAGE_BREAK--

Cut (Вирізати) – перенесення виділеної частини документа до буфера обміну з очищенням цієї частини документа;

Copy (Копіювати) – копіювання виділеної частини документа у буфер обміну із збереженням виділеної частини документа;

Paste (Вставити) – перенесення вмісту буфера обміну у вікно редагування на місце, вказане курсором миші;

Undo (Скасувати) – скасування попередньої операції редагування;

Три останні операції пов'язані із застосуванням буфера обміну. Він призначений для тимчасового зберігання даних та їхнього перенесення з однієї частини документа в іншу, або для організації обміну даними між різними додатками.

Кнопки розміщення блоків.

Документи складаються із різних блоків: текстових, формальних, графічних тощо. Блоки проглядаються системою, інтерпретуються та виконуються. Перегляд йде справа наліво та знизу вгору.

/>- Align Across (Вирівняти по горизонталі) – блоки вирівнюються по горизонталі.

/>- Align Down (Вирівняти вниз) – блоки вирівнюються по вертикалі, розташовуючись зверху вниз.

Піктограми цих кнопок зображають блоки та зазначені варіанти їх розміщення.

Кнопки операцій із виразами

Формульні блоки часто є виразами, що обчислюються, або виразами, що входять до складу заданих користувачем нових функцій. Для роботи з виразами є піктограми

Наступні групи кнопок є специфічними для системи MathCAD.

/>Insert Function (Вставити функції) – вставка функції зі списку, що з'являється у діалоговому вікні;

/>Insert Unit (Вставити одиниці) – вставка одиниць виміру;

Доступ до нових можливостей MathCAD.

Починаючи з версії MathCAD 7.0, з'явилися нові кнопки, що дають доступ до нових можливостей системи:

/>Component Wizard (Майстер компонентів) – відкриває вікно Майстра, що дає зручний доступ до всіх компонентів системи;

/>Ran Math Connex (Запуск системи Math Connex) - запуск системи для стимулювання блочно-заданих пристроїв.

Кнопки керування ресурсами.

/>Resource Center (Центр ресурсів) - дає доступ до центру ресурсів;

Help (Довідка) – дає доступ до ресурсів довідкової бази даних системи.

Панель форматування.

Четвертий рядок верхньої частини екрану містить типові засоби керування шрифтами:

Style - Перемикач вибору стилів;

Font – Перемикач вибору набору символів;

Point Size - Перемикач вибору розмірів символів;

Bold - Встановлення жирних знаків;

Italik - Встановлення похилих символів;

Underline – встановлення підкреслених символів;

Left Align - Встановлення лівостороннього вирівнювання;

Center Align – Встановлення вирівнювання центром;

Right Align – встановлення правостороннього вирівнювання.

До тих пір, поки не розпочато набір елементів документа, частина описаних кнопок та інших об'єктів інтерфейсу користувача знаходиться в пасивному стані. Зокрема, у вікнах перемикачів панелі форматування немає написів. Піктограми та перемикачі стають активними, як тільки виникає потреба у їх використанні.

Внизу екрана крім смуги горизонтального прокручування розташований ще один рядок – рядок стану. У ній виводиться службова інформація, стислі коментарі, номер сторінки та ін. Ця інформація корисна для оперативної оцінки стану системи під час роботи з нею.

Набір інструментів математичні панелі.

Для введення математичних знаків у MathCAD використовуються зручні набірні панелі зі знаками. Вони служать виведення заготовок – шаблонів математичних символів (цифр, символів арифметичних операцій, матриць, символів інтегралів, похідних тощо. буд.). Для виведення панелі Math необхідно виконати команду View -> Toolbar -> Math. Набірні панелі з'являються у вікні редагування документів під час активації відповідних піктограм – перша лінія піктограм керування системою. Використовуючи загальну набірну панель, можна вивести всі панелі відразу або тільки ті, що потрібні для роботи. Для встановлення з їх допомогою необхідного шаблону достатньо помістити курсор у бажане місце вікна редагування (червоний хрестик на кольоровому дисплеї) і потім активізувати піктограму потрібного шаблону, встановивши курсор миші і натиснувши її ліву клавішу.

Багато функцій та операцій, які вставляються в документ за допомогою наборних математичних панелей, можуть бути поміщені в документ за допомогою швидких клавіш. При цьому робота в системі MathCAD стає більш продуктивною. Рекомендуємо запам'ятати поєднання клавіш хоча б для деяких найбільш часто вживаних команд.

Докладніше робота з додатковими панелями, що включаються кнопками панелі Math, буде описано у відповідних розділах.

1. Робоче вікно MathCAD

· Панель Математика(Рис. 1.4).

Рис. 1.4. Панель Математика

При натисканні на кнопці математичної панелі інструментів відкривається додаткова панель:

2. Елементи мови MathCAD

До основних елементів математичних виразів MathCAD відносяться оператори, константи, змінні, масиви та функції.

2.1 Оператори

Оператори -- елементи MathCAD, з допомогою яких можна створювати математичні висловлювання. До них, наприклад, відносяться символи арифметичних операцій, знаки обчислення сум, творів, похідної, інтеграла тощо.

Оператор визначає:

а) дію, що має виконуватися за наявності тих чи інших значень операндів;

б) скільки, де та які операнди мають бути введені в оператор.

Операнд - Число або вираз, на яке діє оператор. Наприклад, у виразі 5! +3 числа 5! і 3 - операнди оператора "+" (плюс), а число 5 - операнд факторіалу (!).

Будь-який оператор у MathCAD можна ввести двома способами:

· Натиснувши клавішу (поєднання клавіш) на клавіатурі;

· Використовуючи математичну панель.

Для присвоєння або виведення вмісту комірки пам'яті, пов'язаної зі змінною, використовуються такі оператори:

Знак присвоєння (вводиться натисканням клавіші : на клавіатурі (двокрапка в англійській розкладці клавіатури) або натисканням відповідної кнопки на панелі Калькулятор );

Таке присвоєння називається локальним. До цього присвоєння змінна не визначена і її не можна використати.

Глобальний оператор присвоєння. Це присвоєння може проводитись будь-де документа. Наприклад, якщо змінної присвоєно в такий спосіб значення наприкінці документа, вона матиме це значення і на початку документа.

Оператор наближеної рівності (x1). Використовується під час вирішення систем рівнянь. Вводиться натисканням клавіші ; на клавіатурі (точка з комою в англійській розкладці клавіатури) або натисканням відповідної кнопки на Бульової панелі.

Оператор (просте рівне), відведений для виведення значення константи або змінної.

Найпростіші обчислення

Процес обчислення здійснюється за допомогою:

Панелі Калькулятора, Панелі Обчислень та Панелі Оцінки.

Увага. Якщо необхідно поділити всі вирази в чисельнику, його потрібно спочатку виділити, натиснувши пробіл на клавіатурі або помістивши в дужки.

2.2 Константи

Константи -- об'єкти, що зберігають певні значення, які не можуть бути змінені.

Наприклад, = 3.14.

Розмірні константи - це загальноприйняті одиниці виміру. Наприклад, метри, секунди тощо.

Щоб записати розмірну константу, необхідно після числа ввести знак * (помножити), вибрати пункт меню Вставкапідпункт Юніт. У вимірах найбільш відомі вам категорії: Length – довжина (м, км, см); Mass - вага (гр, кг, т); Time - час (хв, сік, година).

2.3 Змінні

Змінні є поіменованими об'єктами, що мають деяке значення, яке може змінюватися під час виконання програми. Змінні можуть бути числовими, рядковими, символьними і т.д.

Увага. MathCAD великі і малі літери сприймає як різні ідентифікатори.

Системні змінні

В MathCADміститься невелика група спеціальних об'єктів, які можна віднести ні до класу констант, ні до класу змінних, значення яких визначено відразу після запуску програми. Їх правильніше рахувати системними змінними.Це, наприклад, TOL - похибка числових розрахунків, ORIGIN - нижня межа значення індексу індексації векторів, матриць та інших. Значення цим змінним за необхідності можна задати інші.

Ранжовані змінні

Ці змінні мають ряд фіксованих значень, або цілих, або змінюються з певним кроком від початкового значення до кінцевого.

Для створення ранжованої змінної використовується вираз:

Name = N begin ,(N begin +Step).N end ,

де Name - ім'я змінної;

N begin - початкове значення;

Step - заданий крок зміни змінної;

N end - кінцеве значення.

Ранжовані змінні широко використовуються при побудові графіків. Наприклад, для побудови графіка деякої функції f(x) Насамперед необхідно створити ряд значень змінної x- для цього вона повинна бути ранжированою змінною.

Увага.Якщо в діапазоні зміни змінної не вказувати крок, програма автоматично прийме його рівним 1.

Приклад . Змінна xзмінюється в діапазоні від -16 до +16 із кроком 0.1

Щоб записати ранжовану змінну, потрібно ввести:

- Ім'я змінної ( x);

- Знак присвоєння (:=)

- Перше значення діапазону (-16);

- Кому;

- друге значення діапазону, яке є сумою першого значення та кроку (-16+0.1);

- багатокрапка ( . ) - Зміна змінної в заданих межах (багатоточка вводиться натисканням точки з комою в англійській розкладці клавіатури);

- останнє значення діапазону (16).

В результаті у вас вийде: x := -16,-16+0.1.16.

Таблиці виводу

Будь-який вираз із ранжованими змінними після знаку рівності ініціює таблицю виведення.

У таблиці виведення можна і вставляти числові значення та коригувати їх.

Змінна з індексом

Змінна з індексом- це змінна, якій присвоєно набір не пов'язаних один з одним чисел, кожне з яких має власний номер (індекс).

Введення індексу здійснюється натисканням лівої квадратної дужки на клавіатурі або за допомогою кнопки x nна панелі Калькулятор.

Як індекс можна використовувати як константу, так і вираз. Для ініціалізації змінної з індексом необхідно ввести елементи масиву, розділяючи їх комами.

Приклад. Введення індексних змінних.

Введення числових значень таблицю проводиться через кому;

Виведення значення першого елемента вектора S;

Виведення значення нульового елемента вектора S.

2.4 Масиви

Масив -- має унікальне ім'я сукупність кінцевого числа числових чи символьних елементів, які впорядковані певним чином і мають певні адреси.

У пакеті MathCADвикористовуються масиви двох найпоширеніших типів:

одномірні (вектори);

двомірні (матриці).

Вивести шаблон матриці або вектора можна одним із способів:

вибрати пункт меню Вставка - Матриця;

натиснути комбінацію клавіш Ctrl + M;

натиснути кнопку на Панель і векторів та матриць.

В результаті з'явиться діалогове вікно, в якому задається необхідна кількість рядків та стовпців:

Rows-- число рядків

Columns- Число стовпців Якщо матриці (вектору) потрібно присвоїти ім'я, то спочатку вводиться ім'я матриці (вектора), потім - оператор присвоєння і після - шаблон матриці.

Наприклад:

Матриця - Двомірний масив з ім'ям М n , m , що складається з n рядків і m стовпців.

З матрицями можна виконувати різні математичні операції.

2.5 Функції

Функція - Вираз, згідно з яким проводяться деякі обчислення з аргументами і визначається його числове значення. Приклади функцій: sin(x), tan(x) та ін.

Функції в пакеті MathCAD можуть бути як вбудованими, так і певними користувачем. Способи вставки вбудованої функції:

Вибрати пункт меню Вставка — Функція.

Натиснути комбінацію клавіш Ctrl + E.

Натисніть на кнопці на панелі інструментів.

Наберіть назву функції на клавіатурі.

Функції користувача зазвичай використовуються при багаторазових обчисленнях одного і того ж виразу. Для того, щоб задати функцію користувача необхідно:

· ввести ім'я функції з обов'язковою вказівкою в дужках аргументу, наприклад, f(x);

· Ввести оператор присвоєння (:=);

· Ввести обчислюване вираз.

Приклад. f (z) := sin (2 z 2)

3. Форматування чисел

У MathCAD можна змінити формат виведення чисел. Зазвичай обчислення виконуються з точністю 20 символів, але виводяться на екран не всі цифри. Щоб змінити формат числа, необхідно двічі клацнути на потрібний чисельний результат. З'явиться вікно форматування чисел, відкрите на вкладці Номер Формат (Формат чисел) з наступними форматами:

o General (Основний) - прийнятий за умовчанням. Числа відображаються з порядком (наприклад, 1.2210 5). Число знаків мантиси визначається в полі Exponential Threshold(поріг експоненційного уявлення). При перевищенні порога кількість відображається з порядком. Число знаків після десяткової точки змінюється у полі Номер of decimal places.

o Decimal (Десятичне) - десяткове уявлення чисел з плаваючою точкою (наприклад, 12.2316).

o Scientific (Науковий) - цифри відображаються лише з порядком.

o Engineering (Інженерний) - числа відображаються лише з порядком, кратним трьом (наприклад, 1.2210 6).

Увага. Якщо після встановлення потрібного формату у вікні форматування чисел вибрати кнопку Ок, формат встановиться лише виділеного числа. А якщо вибрати кнопку Set as Default, формат буде застосований до всіх цифр цього документа.

Автоматично числа округляються до нуля, якщо вони менші за встановлений поріг. Поріг встановлюється для документа, а чи не для конкретного результату. Щоб змінити поріг округлення до нуля, необхідно вибрати пункт меню Форматування - Результатта у вкладці Tolerance , в полі Zero threshold ввести потрібне значення порога.

4. Робота з текстом

Текстові фрагменти є шматками тексту, які користувач хотів би бачити у своєму документі. Це можуть бути пояснення, посилання, коментарі тощо. Вони вставляються за допомогою пункту меню Вставка — Текстовий регіон.

Ви можете відформатувати текст: змінити шрифт, його розмір, зображення, вирівнювання тощо. Для цього потрібно його виділити та вибрати відповідні параметри на панелі шрифтів або в меню Форматування — Текст.

5. Робота з графікою

При вирішенні багатьох завдань, де проводиться дослідження функції, часто виникає необхідність у побудові її графіка, де наочно буде відображено поведінку функції певному проміжку.

У системі MathCAD існує можливість побудови різних видів графіків: у декартовій та полярній системі координат, тривимірних графіків, поверхонь тіл обертання, багатогранників, просторових кривих, графіків векторного поля. Ми розглянемо прийоми побудови деяких із них.

5.1 Побудова двовимірних графіків

Для побудови двовимірного графіка функції необхідно:

· Задати функцію;

· встановити курсор в те місце, де повинен бути побудований графік, на математичній панелі вибрати кнопку Graph (графік) і в панелі, що відкрилася, кнопку X-Y Plot (двовимірний графік);

· у шаблоні двомірного графіка, що представляє собою порожній прямокутник з мітками даних, в центральну мітку даних по осі абсцис (вісь X) ввести ім'я змінної, а на місці центральної мітки даних по осі ординат (вісь Y) ввести ім'я функції (рис. 2.1 );

Рис. 2.1. Шаблон двовимірного графіка

клацнути мишею поза шаблоном графіка - графік функції буде побудований.

Діапазон зміни аргументу складається з 3-х значень: початкове, друге та кінцеве.

Нехай потрібно побудувати графік функції на інтервалі [-2,2] з кроком 0.2. Значення змінної tзадаються у вигляді діапазону наступним чином:

t:= —2, - 1.8 . 2 ,

де: -2 - Початкове значення діапазону;

1.8 (-2 + 0.2) - друге значення діапазону (початкове значення плюс крок);

2 - кінцеве значення діапазону.

Увага. Багатокрапка вводиться натисканням точки з комою в англійській розкладці клавіатури.

Приклад. Побудова графіка функції y = x 2 на інтервалі [-5,5] з кроком 0.5 (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Побудова графіка функції y = x 2

При побудові графіків необхідно враховувати наступне:

° Якщо діапазон значень аргументу не заданий, то стандартний графік будується в діапазоні [-10,10].

° Якщо в одному шаблоні необхідно розмістити кілька графіків, то імена функцій вказуються через кому.

° Якщо дві функції мають різні аргументи, наприклад f1(x) і f2(y), то на осі ординат (Y) через кому вказуються імена функцій, а по осі абсцис (X) - імена обох змінних теж через кому.

° Останні позначки даних на шаблоні графіка служать для вказівки граничних значень абсцис і ординат, тобто вони задають масштаб графіка. Якщо залишити ці позначки незаповненими, масштаб буде встановлено автоматично. Автоматичний масштаб який завжди відбиває графік у потрібному вигляді, тому граничні значення абсцис і ординат доводиться редагувати, змінюючи вручну.

Примітка.Якщо після побудови графік не набуває потрібного вигляду, можна:

· Зменшити крок.

· Змінити інтервал побудови графіка.

· Зменшити на графіку граничні значення абсцис та ординат.

Приклад. Побудова кола з центром у точці (2,3) та радіусом R = 6.

Рівняння кола з центром у точці з координатами ( x 0 ,y 0) і радіусом Rзаписується у вигляді:

Виразимо з цього рівняння y:

Таким чином, для побудови кола необхідно задати дві функції: верхню та нижню півкола. Діапазон значень аргументу обчислюється так:

- Початкове значення діапазону = x 0 — R;

- Кінцеве значення діапазону = x 0 + R;

- крок краще взяти рівним 0.1 (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Побудова кола

Параметричний графік функції

Іноді буває зручніше замість рівняння лінії, що зв'язує прямокутні координати xі y, розглядати так звані параметричні рівняння лінії, що дають вирази поточних координат x та y у вигляді функцій від певної змінної величини t(параметра): x(t) та y(t). При побудові параметричного графіка на осях ординат та абсцис вказуються імена функцій одного аргументу.

Приклад. Побудова кола з центром у точці з координатами (2,3) та радіусом R= 6. Для побудови використовується параметричне рівняння кола

x = x 0 + R cos ( t) y = y 0 + R sin ( t) (рис. 2.4.).

Рис. 2.4. Побудова кола

Форматування графіків

Щоб відформатувати графік, необхідно двічі клацнути область графіка. Відкриється діалогове вікно форматування графіка. Нижче наведено вкладки вікна форматування графіка:

§ X- Y Axes- Форматування осей координат. Встановивши потрібні прапорці можна:

· Log Scale-- уявити чисельні значення на осях у логарифмічному масштабі (за замовчуванням чисельні значення наносяться у лінійному масштабі)

· Grid Lines- нанести сітку ліній;

· Numbered- Розставити числа по координатних осях;

· Auto Scale- автоматичний вибір граничних чисельних значень на осях (якщо цей прапорець знято, граничними будуть максимальні обчислені значення);

· Show Marker-- нанесення міток на графік у вигляді горизонтальних або вертикальних пунктирних ліній, що відповідають зазначеному значенню на осі, причому самі значення виводяться в кінці ліній (на кожній осі з'являються 2 місця введення, в які можна ввести чисельні значення, нічого не вводити, ввести одне число або літерні позначення констант);

· Auto Grid-- автоматичний вибір числа ліній сітки (якщо цей прапорець знято, треба задати число ліній у полі Number of Grids);

· Crossed- вісь абсцис проходить через нуль ординати;

· Boxed- Вісь абсцис проходить по нижньому краю графіка.

§ Trace- Форматування лінії графіків функцій. Для кожного графіка окремо можна змінити:

· Символ (Symbol) на графіку для вузлових точок (гурток, хрестик, прямокутник, ромб);

· вид лінії (Solid - суцільна, Dot - пунктир, Dash - штрихи, Dadot - штрих-пунктир);

· Колір лінії (Color);

· Тип (Турі) графіка (Lines - лінія, Points - точки, Ваr або Solidbar - стовпчики, Step - ступінчастий графік і т. д.);

· Товщину лінії (Weight).

§ Label -заголовок у сфері графіка. В полі Title (Заголовок) можна записати текст заголовка, вибрати його положення - вгорі або внизу графіка ( Above - вгорі, Below - Внизу). Можна вписати, якщо треба, назви аргументу та функції ( Axis Labels ).

§ Defaults --за допомогою цієї вкладки можна повернутися до типу графіка, прийнятого за замовчуванням (Change to default), або зроблені вами зміни на графіку використовувати за промовчанням для всіх графіків цього документа (Use for Defaults).

5.2 Побудова полярних графіків

Для побудови полярного графіка функції необхідно:

· Задати діапазон значень аргументу;

· Задати функцію;

· встановити курсор у те місце, де повинен бути побудований графік, на математичній панелі вибрати кнопку Graph (графік) і в панелі, що відкрилася, кнопку Polar Plot (полярний графік);

· у місцях введення шаблону, що з'явився, необхідно ввести кутовий аргумент функції (внизу) та ім'я функції (ліворуч).

Приклад. Побудова лемніскат Бернуллі: (рис. 2.6.)

Рис. 2.6. Приклад побудови полярного графіка

5.3 Побудова графіків поверхонь (тривимірні або 3D-графіки)

При побудові тривимірних графіків використовується панель Graph(Графік) математичної панелі. Можна побудувати тривимірний графік з допомогою майстра, викликаного головного меню; можна побудувати графік, створивши матрицю значень функції двох змінних; можна використовувати прискорений спосіб побудови; можна викликати спеціальні функції CreateMech та CreateSpase, призначені для створення масиву значень функції та побудови графіка. Ми розглянемо прискорений спосіб побудови тривимірного графіка.

Швидка побудова графіка

Для швидкого побудови тривимірного графіка функції необхідно:

· Задати функцію;

· встановити курсор у те місце, де має бути побудований графік, на математичній панелі вибрати кнопку Graph(Графік) і в панелі, що відкрилася, кнопку ( Поверхневий графік);

· у єдине місце шаблону введіть ім'я функції (не вказуючи змінні);

· Клацнути мишею поза шаблоном графіка - графік функції буде побудований.

Приклад. Побудова графіка функції z(x,y) = x 2 + y 2 - 30 (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Приклад швидкої побудови поверхневого графіка

Побудованим графіком можна керувати:

° обертання графіка виконується після наведення на нього покажчика миші при натиснутій лівій кнопці миші;

° масштабування графіка виконується після наведення на нього покажчика миші при одночасному натисканні лівої кнопки миші та клавіші Ctrl (якщо рухати мишу, графік наближається або видаляється);

° анімація графіка виконується аналогічно, але при натиснутій клавіші Shift. Необхідно тільки почати обертання графіка мишею, анімація буде виконуватися автоматично. Для зупинки обертання слід клацнути лівою кнопкою миші в області графіка.

Існує можливість побудови відразу кількох поверхонь однією малюнку. Для цього необхідно задати обидві функції і через кому вказати імена функцій на шаблоні графіка.

При швидкій побудові графіка за замовчуванням вибираються значення обох аргументів у межах від -5 до +5 та число контурних ліній, що дорівнює 20. Для зміни цих значень необхідно:

· Двічі клацнути за графіком;

· у вікні вибрати вкладку Quick Plot Data;

· ввести нові значення в області вікна Range1 - для першого аргументу та Range2 - для другого аргументу (start - початкове значення, end - кінцеве значення);

· у полі # of Grids змінити кількість ліній сітки, що покривають поверхню;

· Клацнути на кнопці Ок.

Приклад. Побудова графіка функції z(x,y) = -sin ( x 2 + y 2) (рис. 2.9).

При побудові графіка межі зміни значень обох аргументів краще вибрати від -2 до +2.

Рис. 2.9. Приклад побудови графіка функції z(x,y) = -sin ( x 2 + y 2)

Форматування тривимірних графіків

Для форматування графіка необхідно двічі клацнути по області побудови - з'явиться вікно форматування з кількома вкладками: Appearance, General, Axes, Lighting, Title, Backplanes, Special, Advanced, Quick Plot Data.

Призначення вкладки Quick Plot Dataбуло розглянуто вище (23, "https://сайт").

Вкладка Appearanceдозволяє міняти зовнішній вигляд графіка. Поле Fill Optionsдозволяє змінити параметри заливки, поле Line Option- параметри ліній, Point Options- Параметри точок.

У вкладці General (загальні) у групі Viewможна вибрати кути повороту зображеної поверхні навколо трьох осей; у групі Display asможна змінити тип графіка.

У вкладці Lighting(освітлення) можна керувати освітленням, встановивши прапорець Enable Lighting(включити освітлення) та перемикач On(увімкнути). Одна з 6-ти можливих схем освітлення вибирається у списку Lighting scheme(схема висвітлення).

6. Способи розв'язання рівнянь у MathCAD

У цьому розділі ми дізнаємося, яким чином у системі MathCAD вирішуються найпростіші рівняння виду F ( x) = 0. Вирішити рівняння аналітично - значить знайти всі його коріння, тобто такі числа, при підстановці яких у вихідне рівняння отримаємо правильну рівність. Вирішити рівняння графічно - значить знайти точки перетину графіка функції з віссю ОХ.

6. 1 Вирішення рівнянь за допомогою функції root (f(x), x)

Для рішень рівняння з одним невідомим видом F ( x) = 0 існує спеціальна функція

root(f(x), x) ,

де f(x) - вираз, що дорівнює нулю;

х- аргумент.

Ця функція повертає із заданою точністю значення змінної, у якому вираз f(x) дорівнює 0.

Уважайтобто.Якщо права частина рівняння 0, необхідно привести його до нормального вигляду (перенести все в ліву частину).

Перед використанням функції rootнеобхідно задати аргументу хпочаткове наближення. Якщо коріння кілька, то для відшукання кожного кореня необхідно ставити своє початкове наближення.

Увага. Перед рішенням бажано побудувати графік функції, щоб перевірити, чи є коріння (чи перетинає графік вісь Ох), і якщо є, то скільки. Початкове наближення можна вибрати за графіком ближче до точки перетину.

приклад.Вирішення рівняння за допомогою функції rootпредставлено малюнку 3.1. Перед тим, як приступити до вирішення в системі MathCAD, у рівнянні все перенесемо в ліву частину. Рівняння набуде вигляду: .

Рис. 3.1. Вирішення рівняння за допомогою функції root

6. 2 Вирішення рівнянь за допомогою функції Polyroots (v)

Для одночасного знаходження всіх коренів полінома використовують функцію Polyroots(v), де v - вектор коефіцієнтів полінома, починаючи з вільного члена . Нульові коефіцієнти опускати не можна. На відміну від функції rootфункція Polyrootsне потребує початкового наближення.

Приклад. Вирішення рівняння за допомогою функції polyrootsпредставлено малюнку 3.2.

Рис. 3.2. Вирішення рівняння за допомогою функції polyroots

6.3 Вирішення рівнянь за допомогою функції Find (x)

Функція Find (Знайти) працює у ключовій зв'язці із ключовим словом Given (Дано). Конструкція Given — Find

Якщо задано рівняння f(x) = 0, то його можна вирішити наступним чином за допомогою блоку Given - Find:

- Задати початкове наближення

- Ввести службове слово

- Записати рівняння, використовуючи знак жирне одно

— написати функцію find з невідомою змінною як параметр

У результаті після знака і виведеться знайдений корінь.

Якщо існує кілька коренів, їх можна знайти, змінюючи початкове наближення х0 на близьке до шуканого кореня.

приклад.Рішення рівняння за допомогою функції find представлено малюнку 3.3.

Рис. 3.3. Вирішення рівняння за допомогою функції find

Іноді виникає потреба відзначити на графіку будь-які точки (наприклад, точки перетину функції з віссю Ox). Для цього необхідно:

· Вказати значення x даної точки (по осі Ох) та значення функції в цій точці (по осі Оy);

· двічі клацнути за графіком та у вікні форматування у вкладці Tracesдля відповідної лінії вибрати тип графіка - points, товщину лінії - 2 або 3.

приклад.На графіці зазначено точку перетину функції з віссю Ох. Координата хцієї точки було знайдено у попередньому прикладі: х= 2.742 (корінь рівняння ) (Рис. 3.4).

Рис. 3.4. Графік функції з точкою перетину У вікні форматування графіка у вкладці Tracesдля trace2 змінено: тип графіка - points, товщина лінії - 3, колір - чорний.

7. Вирішення систем рівнянь

7.1 Вирішення систем лінійних рівнянь

Систему лінійних рівнянь можна вирішити м атричним методом (або через зворотну матрицю або використовуючи функцію lsolve(A, B)) та з використанням двох функцій Findта функції Minerr.

Матричний метод

приклад.Дана система рівнянь:

Вирішення даної системи рівнянь матричним методом представлено малюнку 4.1.

Рис. 4.1. Вирішення системи лінійних рівнянь матричним методом

Використання функції lsolve(A, B)

Lsolve(A, B) - це вбудована функція, яка повертає вектор Х для системи лінійних рівнянь при заданій матриці коефіцієнтів, А та векторі вільних членів .

Приклад. Дана система рівнянь:

Спосіб вирішення даної системи з використанням функції lsolve (A, B) наведено на малюнку 4.2.

Рис. 4.2. Вирішення системи лінійних рівнянь з використанням функції lsolve

Вирішення системи лінійних рівнянь за допомогою функціїі Find

При цьому методі рівняння вводяться без використання матриць, тобто в «натуральному вигляді». Попередньо необхідно вказати початкові наближення невідомих змінних. Це можуть бути будь-які числа, що входять до області визначення. Часто за них беруть стовпець вільних членів.

Для того, щоб вирішити систему лінійних рівнянь за допомогою обчислювального блоку Given - Find, необхідно:

2) запровадити службове слово Given;

жирне одно();

4) написати функцію Find,

приклад.Дана система рівнянь:

Вирішення даної системи за допомогою обчислювального блоку Given - Findнаведено малюнку 4.3.

Рис. 4.3. Вирішення системи лінійних рівнянь за допомогою функції Find

Наближене решение системи лінійних рівнянь

Вирішення системи лінійних рівнянь за допомогою функції Minerrаналогічно рішенню за допомогою функції Find(використовується той же алгоритм), тільки функція Findдає точне рішення, а Minerr- Наближене. Якщо результат пошуку не може бути отримано подальше уточнення поточного наближення до рішення, Minerrповертає це наближення. Функція Findу цьому випадку повертає повідомлення про помилку.

· Можна підібрати інше початкове наближення.

· Можна збільшити або зменшити точність розрахунків. Для цього в меню вибрати Math > Options(Математика - Опції), вкладка Built- In Variables(Вбудовані змінні). У вкладці необхідно зменшити допустиму похибку обчислень (Convergence Tolerance (TOL)). За промовчанням TOL = 0.001.

Вніманія. При матричному методі вирішення необхідно переставити коефіцієнти відповідно до зростання невідомих х 1, х 2, х 3, х 4.

7.2 Вирішення систем нелінійних рівнянь

Системи нелінійних рівнянь у MathCAD вирішуються за допомогою обчислювального блоку Given - Find.

Конструкція Given - Findвикористовує розрахункову методику, засновану на пошуку кореня поблизу точки початкового наближення, заданої користувачем.

Для вирішення системи рівнянь за допомогою блоку Given - Findнеобхідно:

1) задати початкові наближення всім змінних;

2) запровадити службове слово Given;

3) записати систему рівнянь, використовуючи знак жирне одно();

4) написати функцію Find, перерахувавши невідомі змінні як параметри функції.

Через війну розрахунків виведеться вектор рішення системи.

Якщо система має кілька рішень, алгоритм слід повторити коїться з іншими початковими наближеннями.

Примітка. Якщо вирішується система із двох рівнянь із двома невідомими, перед рішенням бажано побудувати графіки функцій, щоб перевірити, чи є коріння у системи (чи перетинаються графіки заданих функцій), і якщо є, то скільки. Початкове наближення можна вибрати за графіком ближче до точки перетину.

Приклад. Дана система рівнянь

Перед розв'язанням системи побудуємо графіки функцій: параболи (перше рівняння) та прямий (друге рівняння). Побудова графіка прямої та параболи в одній системі координат наведено на малюнку 4.5:

Рис. 4.5. Побудова графіка двох функцій в одній системі координат Пряма та парабола перетинаються у двох точках, отже система має два рішення. За графіком вибираємо початкові наближення невідомих xі yдля кожного рішення. Знаходження коріння системи рівнянь представлено малюнку 4.6.

Рис. 4.6. Знаходження коренів системи нелінійних рівнянь Для того щоб відзначити на графіку точки перетину параболи і прямої, координати точок, знайдені при вирішенні системи, введемо по осі Ох (значення х ) та по осі Оу (значення у ) через кому. У вікні форматування графіка у вкладці Tracesдля trace3 і trace4 змінимо: тип графіка - points, товщина лінії - 3, колір - чорний (рис. 4.7).

Рис. 4.7. Графіки функцій із зазначеними точками перетину

8 . Приклади використання основних можливостей MathCAD для вирішення деяких математичних завдань

У цьому розділі наведено приклади розв'язання задач, для вирішення яких необхідно вирішити рівняння або систему рівнянь.

8. 1 Знаходження локальних екстремумів функцій

Необхідна умова екстремуму (максимуму та/або мінімуму) безперервної функції формулюється так: екстремуми можуть мати місце тільки в тих точках, де похідна або дорівнює нулю, або не існує (зокрема, звертається до нескінченності). Для знаходження екстремумів безперервної функції спочатку знаходять точки, що задовольняють необхідній умові, тобто знаходять все дійсне коріння рівняння.

Якщо побудований графік функції, можна відразу побачити -- максимум чи мінімум досягається у цій точці х. Якщо графіка немає, то кожен із знайдених коренів досліджують одним із способів.

1-й з посібників . З рівняння е знаків похідної . Визначають знак похідної на околиці точки (у точках, що віддалені від екстремуму функції з різних боків на невеликих відстанях). Якщо знак похідної у своїй змінюється від «+» до «-», то цій точці функція має максимум. Якщо знак змінюється від «-» до «+», то ця функція має мінімум. Якщо знак похідної змінюється, то екстремумів немає.

2-й з посібників . В вирахуй е другий похідний . І тут обчислюється друга похідна у точці екстремуму. Якщо вона менша за нуль, то в даній точці функція має максимум, якщо вона більша за нуль, то мінімум.

Приклад. Знаходження екстремумів (мінімумів/максимумів) функції.

Спочатку збудуємо графік функції (рис. 6.1).

Рис. 6.1. Побудова графіка функції

Визначимо за графіком початкові наближення значень х, що відповідають локальним екстремумам функції f(x). Знайдемо ці екстремуми, розв'язавши рівняння. Для вирішення використовуємо блок Given - Find (рис. 6.2.).

Рис. 6.2. Знаходження локальних екстремумів

Визначимо вид екстремумів першним способом, Досліджуючи зміну знака похідної на околиці знайдених значень (рис. 6.3).

Рис. 6.3. Визначення виду екстремуму

З таблиці значень похідної та з графіка видно, що знак похідної на околиці точки x 1 змінюється з плюсу на мінус, тому у цій точці функція досягає максимуму. А на околиці точки x 2 знак похідної змінився з мінусу на плюс, тому в цій точці функція досягає мінімуму.

Визначимо вид екстремумів другним способом, обчислюючи знак другої похідної (рис. 6.4)

Рис. 6.4. Визначення виду екстремуму за допомогою другої похідної

Видно, що у точці x 1 друга похідна менша за нуль, значить, точка х 1 відповідає максимуму функції. А в точці x 2 друга похідна більша за нуль, значить, точка х 2 відповідає мінімуму функції.

8.2 Визначення площ фігур, обмежених безперервними лініями

Площа криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції f(x) , відрізком на осі Ox та двома вертикалями х = аі х = b, a < b, визначається за такою формулою: .

Приклад. Знаходження площі фігури, обмеженої лініями f(x) = 1 — x 2 та y = 0.

Рис. 6.5. Знаходження площі фігури, обмеженої лініями f(x) = 1 — x 2 та y = 0

Площа фігури, укладеної між графіками функцій f1(x) і f2(x) та прямими х = аі х = b, обчислюється за такою формулою:

Увага. Щоб уникнути помилок при обчисленні площі, функцію треба брати за модулем. Таким чином, площа завжди буде позитивною величиною.

Приклад. Знаходження площі фігури, обмеженої лініями та. Рішення представлене малюнку 6.6.

1. Будуємо графік функцій.

2. Знаходимо точки перетину функції за допомогою функції root. Початкові наближення визначимо за графіком.

3. Знайдені значення x підставляємо у формулу як межі інтегрування.

8. 3 Побудова кривих за заданими точками

Побудова прямої, що проходить через дві задані точки

Для складання рівняння прямої, що проходить через дві точки А ( x 0,y 0) та B ( x 1,y 1), пропонується наступний алгоритм:

де aі b- Коефіцієнти прямої, які нам потрібно знайти.

2. Ця система є лінійною. У ній дві невідомі змінні: aі b

приклад.Побудова прямої, що проходить через точки А (-2,-4) і (5,7).

Підставимо в рівняння прямої координати даних точок та отримаємо систему:

Рішення цієї системи в MathCAD представлене малюнку 6.7.

Рис. 6.7.Рішення системи

В результаті вирішення системи отримуємо: а = 1.57, b= -0.857. Значить, рівняння прямої матиме вигляд: y = 1.57x- 0.857. Побудуємо цю пряму (рис. 6.8).

Рис. 6.8. Побудова прямої

Побудова параболи, проходить через три задані точки

Для побудови параболи, що проходить через три точки А ( x 0,y 0), B ( x 1,y 1) та C ( x 2,y 2), алгоритм наступний:

1. Парабола задається рівнянням

y = ax 2 + bх + з, де

а, bі з- Коефіцієнти параболи, які нам потрібно знайти.

Підставляємо в це рівняння задані координати точок та отримуємо систему:

2. Ця система є лінійною. У ній три невідомі змінні: a, bі з. Систему можна вирішити матричним способом.

3. Отримані коефіцієнти підставляємо в рівняння та будуємо параболу.

приклад.Побудова параболи, що проходить через точки А(-1,-4), B(1,-2) та C(3,16).

Підставляємо в рівняння параболи задані координати точок та отримуємо систему:

Розв'язання цієї системи рівнянь у MathCAD представлене малюнку 6.9.

Рис. 6.9. Вирішення системи рівнянь

В результаті отримано коефіцієнти: a = 2, b = 1, c= -5. Отримуємо рівняння параболи: 2 x 2 +x -5 = y. Побудуємо цю параболу (рис. 6.10).

Рис. 6.10. Побудова параболи

Побудова кола, що проходить через три задані точки

Для побудови кола, що проходить через три точки А ( x 1,y 1), B ( x 2,y 2) та C ( x 3,y 3), можна скористатися наступним алгоритмом:

1. Окружність задається рівнянням

де x0, y0 - координати центру кола;

R - радіус кола.

2. Підставимо в рівняння кола задані координати точок та отримаємо систему:

Ця система є нелінійною. У ній три невідомі змінні: x 0, y 0 і R. Система вирішується із застосуванням обчислювального блоку Given - Find.

Приклад. Побудова кола, що проходить через три точки А (-2,0), B (6,0) та C (2,4).

Підставимо в рівняння кола задані координати точок та отримаємо систему:

Рішення системи MathCAD представлене малюнку 6.11.

Рис. 6.11. Рішення системи

В результаті вирішення системи отримано: x 0 = 2, y 0 = 0, R = 4. Підставимо отримані координати центру кола та радіус у рівняння кола. Отримаємо:. Висловимо звідси y і побудуємо коло (рис. 6.12).

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ

Державний освітній заклад вищої професійної освіти

«КАЗАНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ЕНЕРГЕТИЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ»

Л.Р. БЕЛЯЄВА, Р.С. ЗАРІПОВА, Р.А. ІШМУРАТІВ

ОСНОВИ РОБОТИ В MATHCAD

Методичні вказівки до практичних занять

Казань 2012

УДК 621.37 ББК 32.811.3

Рецензенти:

доктор фізико-математичних наук, професор Казанського державного енергетичного університету О.О. Попов;

кандидат технічних наук, доцент Казанського національного дослідницького технологічного університету М.Ю. Васильєва

		Бєляєва Л.Р.
		Основи роботи у MathCAD. Методичні вказівки до практичних занять
		/ Л.Р. Бєляєва, Р.С. Заріпова, Р.А. Ішмуратов - Казань: Казан. держ. енерг. ун-т, 2012
		У першій частині методичного посібника представлені основні відомості про
		Mathcad 13 та прийоми роботи з його текстовим, формульним та графічним
		редакторами. Розглядаються введення різних типів даних, основи чисельних та
		символьних обчислень, побудова графіків математичних функцій, прийоми
		інтегрування та диференціювання за допомогою MathCAD.
		У другій частині наведено приклад практичного використання програмного
		пакету MathCAD при вирішенні розрахункового завдання за курсом «Перетворення
		вимірювальних сигналів». Наведено необхідні теоретичні відомості для
		рішення розрахункового завдання, приклад обчислення та індивідуальні завдання для
		студентів.
		У методичному посібнику також наведено контрольні питання щодо
		вивченому матеріалу та самостійні завдання для закріплення основ роботи в
		Практикум призначений для студентів спеціальності «Інформаційно-
		вимірювальна техніка та технології» напрямки 200100 – Приладобудування, а
		також студентів інших спеціальностей та напрямів КДЕУ, які вивчають
		дисципліни «Інформатика» та «Інформаційні технології».

© Казанський державний енергетичний університет, 2012

Вступ

MathCAD є системою комп'ютерної математики, що дозволяє здійснювати різноманітні наукові та інженерні розрахунки, починаючи від елементарної арифметики та закінчуючи складними реалізаціями чисельних методів. Користувачі MathCAD – студенти, вчені, інженери, технічні фахівці.

MathCAD, на відміну від більшості інших сучасних математичних програм, побудований відповідно до принципу

WYSIWYG ("What You See Is What You Get" - "що ви бачите, те й отримаєте"). Тому він дуже простий у використанні, зокрема, через відсутність необхідності спочатку писати програму, що реалізує ті чи інші математичні розрахунки, а потім запускати її на виконання. Натомість досить просто вводити математичні висловлювання з допомогою вбудованого редактора формул, і відразу отримувати результат.

До складу MathCAD 13 входять кілька інтегрованих між собою компонентів, поєднання яких створює зручне обчислювальне середовище для різноманітних математичних розрахунків і одночасно документування результатів роботи:

− потужний текстовий редактор, що дозволяє вводити, редагувати

і форматувати як текст, і математичні висловлювання;

− обчислювальний процесор, що вміє проводити розрахунки за введеними формулами, використовуючи вбудовані чисельні методи;

− символьний процесор, що є системою штучного інтелекту;

− Велике сховище довідкової інформації, як математичної, і інженерної, оформленої як бібліотеки інтерактивних електронних книг.

Для ефективної роботи з редактором MathCAD достатньо мати базові навички користувача. Відповідно до проблем реального життя, інженерам доводиться вирішувати одне або кілька з наступних завдань:

− введення на комп'ютері різноманітних математичних виразів (для подальших розрахунків або створення документів, презентацій, Web-сторінок або електронних книг);

− проведення математичних розрахунків;

− підготовка графіків із результатами розрахунків;

− введення вихідних даних та виведення результатів у текстові файли або файли з базами даних в інших форматах;

− підготовка звітів роботи у вигляді друкованих документів;

− підготовка Web-сторінок та публікація результатів в Інтернеті;

− отримання різної довідкової інформації з галузі математики.

З усіма цими завданнями з успіхом справляється MathCAD 13:

− математичні висловлювання і текст вводяться за допомогою формульного редактора MathCAD, який за можливостями та простотою використання не поступається, наприклад, редактору формул, вбудованому в

− математичні розрахунки здійснюються негайно, відповідно до введених формул;

− графіки різних типів на вибір користувача з багатими можливостями форматування вставляються безпосередньо в документи;

− можливе введення та виведення даних у файли різних форматів;

− документи можуть бути роздруковані безпосередньо в MathCAD у тому вигляді, який користувач бачить на екрані комп'ютера, або збережені

в формат RTF для подальшого редагування в текстових редакторах;

− можливе повноцінне збереження документів MathCAD у форматі RTF-документів, а також Web-сторінок у форматах HTML та XML;

− є опція об'єднання документів, що розробляються користувачем, в електронні книги;

− символьні обчислення дозволяють здійснювати аналітичні перетворення, і навіть миттєво отримувати різноманітну довідкову математичну інформацію.

Справжньою окрасою MathCAD, доступною вже в перших версіях, була підтримка дискретних змінних, що дозволяють одночасно обчислювати функції цілого ряду значень аргументу, що забезпечувало можливість побудови таблиць та графіків без застосування операторів програмування. Майже до досконалості доведені засоби побудови графіків поверхонь, що дозволяють створювати із графіків твори мистецтва. Складні інженерно-технологічні розрахунки серед MathCAD виконуються значно простіше, зрозуміліше й у кілька разів швидше, ніж у інших програмах.

Частина 1. ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Глава 1. ІНТЕРФЕЙС MATHCAD

Інтерфейс MathCAD аналогічний інтерфейсу інших Windows додатків. Після запуску на екрані з'являється робоче вікно MathCAD з головним меню та трьома панелями інструментів: Standard (Стандартна), Formatting (Форматування)і Math (Математична).

Рядок меню розташовується у верхній частині вікна MathCAD. Вона містить дев'ять заголовків, клацання мишею на кожному з яких наводить

до появі відповідного меню з переліком команд:

− File (Файл) – команди, пов'язані зі створенням, відкриттям, збереженням, пересиланням електронною поштою та роздруківкою на принтері файлів з документами;

− Edit (Правка) – команди, що належать до правки тексту (копіювання, вставка, видалення фрагментів тощо);

− View (Вигляд) – команди, що управляють зовнішнім виглядом документа у вікні редактора MathCAD, а також команди, які створюють файли анімації;

− Insert (Вставка) – команди вставки різних об'єктів у документи;

− Format (Формат) – команди форматування тексту, формул, графіків;

− Tools (Сервіс) – команди управління обчислювальним процесом та додатковими можливостями;

− Symbolics (Символіка) – команди символьних обчислень;

− Window (Вікно) – команди управління розташуванням вікон із різними документами на екрані;

− Help (Довідка) – команди виклику контекстно-залежної довідкової інформації, відомостей про версію програми, а також доступу до ресурсів та електронних книг.

Щоб вибрати команду, потрібно клацнути мишею на меню, що містить її, і повторно на відповідному елементі меню. Деякі команди знаходяться не в самих меню, а в підменю, як показано на рис. 1.1. Щоб виконати таку команду, наприклад команду виклику на екран панелі інструментів Symbolic (Символіка), потрібно навести вказівник миші на пункт Toolbars (Панелі інструментів) меню View (Вид) і вибрати в підменю пункт Symbolic (Символіка).

Рис. 1.1. Робота з меню

Крім верхнього меню, схожі функції виконують спливаючі меню (рис. 1.2). Вони з'являються при натисканні будь-якого місця документа правої кнопки миші. При цьому склад даних меню залежить від місця їхнього виклику, тому їх ще називають контекстними. MathCAD сам "здогадується", залежно від контексту, які операції можуть знадобитися в даний момент, і поміщає в меню відповідні команди. Тому використовувати контекстне меню простіше ніж верхнє.

Рис. 1.2. Контекстне меню

1.2. Панелі інструментів

Панелі інструментів служать для швидкого (в одне клацання миші) виконання найчастіше застосовуваних команд. Всі дії, які можна виконати за допомогою панелей інструментів, доступні через

Верхнє меню. На рис. 1.3 зображено вікно MathCAD із п'ятьма основними панелями інструментів, розташованими безпосередньо під рядком меню. Кнопки в панелях згруповані за подібною дією команд:

− Standard (Стандартна) – служить для виконання більшості операцій, таких як дії з файлами, редакторська правка, вставка об'єктів, доступ до довідкових систем;

− Formatting (Форматування) – служить для форматування (зміни типу та розміру шрифту, вирівнювання тощо) тексту та формул;

− Math (Математика) – служить для вставки математичних символів

і операторів у документи;

− Resources (Ресурси) – служить для виклику ресурсів MathCAD;

− Controls (Елементи управління) – служить для вставки в документи стандартних елементів керування інтерфейсу користувача;

− Debug (Налагодження) – служить для управління налагодженням MathCAD-програм.

Рис. 1.3. Основні панелі інструментів

Групи клавіш на панелях інструментів розмежовані за змістом вертикальними лініями - роздільниками. При наведенні покажчика миші на будь-яку з кнопок поруч з кнопкою з'являється підказка (рис. 1.4). Поряд зі спливаючою підказкою, більш розгорнуте пояснення операції, що готується, можна знайти в рядку стану.

Рис. 1.4. Використання панелей інструментів Math та Calculator

Панель Math (Математика) призначена для виклику на екран ще дев'яти панелей (рис. 1.5), за допомогою яких відбувається вставка математичних операцій в документи. Щоб показати якусь із них, потрібно натиснути відповідну кнопку на панелі Math (рис. 1.4).

Рис. 1.5. Математичні панелі інструментів

Перерахуємо призначення математичних панелей:

− Calculator (Калькулятор) – служить для вставки основних математичних операцій, отримала свою назву через схожість набору кнопок з кнопками типового калькулятора;

− Graph (Графік) – для вставки графіків;

− Matrix (Матриця) – для вставки матриць та матричних операторів;

− Evaluation (Обчислення) – для вставки операторів управління обчисленнями;

− Calculus (Матаналіз) – для вставки операторів інтегрування, диференціювання, підсумовування та ін;

− Boolean (Булеві оператори) – для вставки логічних (бульових) операторів;

− Programming (Програмування) – для програмування засобами MathCAD;

− Greek (Грецькі символи) – для вставки грецьких символів;

− Symbolic (Символіка) – для вставки символьних операторів. Важливо зазначити, що при наведенні вказівника миші на багато хто

кнопок математичних панелей з'являється підказка, що містить ще й поєднання «гарячих клавіш», натискання яких призведе до еквівалентної дії.

1.3. Рядок стану

В нижній частині вікна MathCAD, під горизонтальною смугою прокручування, знаходиться рядок стану. На ній відображається основна інформація про режим редагування (рис. 1.6), розмежована роздільниками (зліва направо):

− контекстно-залежна підказка про підготовку дії;

− режим обчислень: автоматичний (AUTO) або задається вручну (Calc F9);

− поточний режим розкладки клавіатури САР; − поточний режим розкладки клавіатури NUM; − номер сторінки, на якій знаходиться курсор.

Рис. 1.6. Рядок стану

Глава 2. ОСНОВИ РОБОТИ В MATHCAD

2.1. Переміщення документом

Переглядати документ вгору-вниз і вправо-ліворуч зручно за допомогою вертикальної та горизонтальної смуг прокручування, переміщуючи їх бігунки (у цьому випадку забезпечується плавне переміщення вздовж документа) або клацаючи мишею з однієї з двох сторін бігунка (при цьому переміщення по документу буде стрибкоподібним). Також для переміщення курсору документом можна використовувати клавіші перегортання сторінок І В усіх випадках ситуація курсора не змінюється, а проглядається зміст документа. Крім того, якщо документ має великий розмір, переглядати його вміст зручно за допомогою меню

Edit | Go to Page (Правка | Перейти до сторінки). Коли вибрано цей пункт, відкриється діалог, який дозволяє перейти до сторінки із заданим номером.

Щоб рухатися по документу вгору-вниз і вправо-вліво, переміщуючи курсор, слід натискати на відповідні клавіші керування курсором. Потрапляючи в область регіонів з формулами та текстом, курсор перетворюється на дві лінії введення – вертикальну та горизонтальну синього кольору. При подальшому переміщенні курсору всередині регіону лінії введення зміщуються на один символ у відповідний бік. При виході межі регіону курсор знову стає курсором введення як червоного хрестика. Перемістити курсор можна і клацанням миші у відповідному місці. Якщо клацнути на порожньому місці, то в ньому з'явиться курсор введення, а якщо в межах регіону – лінії введення.

2.2. Введення та редагування формул

Формульний редактор MathCAD дозволяє швидко та ефективно вводити та змінювати математичні вирази.

Перерахуємо ще раз елементи інтерфейсу редактора MathCAD:

− покажчик миші – грає звичайну додатків Windows роль, слідуючи рухами миші;

− курсор – обов'язково знаходиться в одному із трьох видів:

– курсор введення – хрестик червоного кольору, який відзначає порожнє місце у документі, куди можна вводити текст чи формулу;

– лінії введення – горизонтальна та вертикальна лінії синього кольору, що виділяють у тексті чи формулі певну частину;

– лінія введення тексту – вертикальна лінія, аналог ліній введення текстових областей;

− місцезаповнювачі – з'являються всередині незавершених формул у місцях, які мають бути заповнені символом або оператором:

− місцезаповнювач символу – чорний прямокутник;

− місцезаповнювач оператора – чорна прямокутна рамка. Вводити математичний вираз можна у будь-якому порожньому місці

документа MathCAD. Для цього потрібно помістити курсор введення в бажане місце документа, клацнувши в ньому мишею і ввести формулу, натискаючи клавіші. При цьому в документі створюється математична область, призначена для зберігання формул, що інтерпретуються процесором MathCAD. Продемонструємо послідовність дій на прикладі введення виразу x 5 + x (рис. 2.1):

1. Натиснути мишею, позначивши місце введення.

1. Робоче вікно MathCAD

· Панель Математика(Рис. 1.4).

Рис. 1.4. Панель Математика

При натисканні на кнопці математичної панелі інструментів відкривається додаткова панель:

2. Елементи мови MathCAD

До основних елементів математичних виразів MathCAD відносяться оператори, константи, змінні, масиви та функції.

2.1 Оператори

Оператори -- елементи MathCAD, з допомогою яких можна створювати математичні висловлювання. До них, наприклад, відносяться символи арифметичних операцій, знаки обчислення сум, творів, похідних, інтегралів тощо.

Оператор визначає:

а) дію, що має виконуватися за наявності тих чи інших значень операндів;

б) скільки, де та які операнди мають бути введені в оператор.

Операнд - Число або вираз, на яке діє оператор. Наприклад, у виразі 5! +3 числа 5! і 3 - операнди оператора "+" (плюс), а число 5 - операнд факторіалу (!).

Будь-який оператор у MathCAD можна ввести двома способами:

· Натиснувши клавішу (поєднання клавіш) на клавіатурі;

· Використовуючи математичну панель.

Для присвоєння або виведення вмісту комірки пам'яті, пов'язаної зі змінною, використовуються такі оператори:

Знак присвоєння (вводиться натисканням клавіші : на клавіатурі (двокрапка в англійській розкладці клавіатури) або натисканням відповідної кнопки на панелі Калькулятор );

Таке присвоєння називається локальним. До цього присвоєння змінна не визначена і її не можна використати.

Глобальний оператор присвоєння. Це присвоєння може проводитись будь-де документа. Наприклад, якщо змінної присвоєно в такий спосіб значення наприкінці документа, вона матиме це значення і на початку документа.

Оператор наближеної рівності (x1). Використовується під час вирішення систем рівнянь. Вводиться натисканням клавіші ; на клавіатурі (точка з комою в англійській розкладці клавіатури) або натисканням відповідної кнопки на Бульової панелі.

Оператор (просте рівне), відведений для виведення значення константи або змінної.

Найпростіші обчислення

Процес обчислення здійснюється за допомогою:

Панелі Калькулятора, Панелі Обчислень та Панелі Оцінки.

Увага. Якщо необхідно поділити всі вирази в чисельнику, його потрібно спочатку виділити, натиснувши пробіл на клавіатурі або помістивши в дужки.

2.2 Константи

Константи -- об'єкти, що зберігають певні значення, які не можуть бути змінені.

Наприклад, = 3.14.

Розмірні константи - це загальноприйняті одиниці виміру. Наприклад, метри, секунди тощо.

Щоб записати розмірну константу, необхідно після числа ввести знак * (помножити), вибрати пункт меню Вставкапідпункт Юніт. У вимірах найбільш відомі вам категорії: Length – довжина (м, км, см); Mass - вага (гр, кг, т); Time - час (хв, сік, година).

2.3 Змінні

Змінні є поіменованими об'єктами, що мають деяке значення, яке може змінюватися під час виконання програми. Змінні може бути числовими, рядковими, символьними тощо. Значення змінним задаються за допомогою символу присвоїти (: =).

Увага. MathCAD великі і малі літери сприймає як різні ідентифікатори.

Системні змінні

В MathCADміститься невелика група спеціальних об'єктів, які можна віднести ні до класу констант, ні до класу змінних, значення яких визначено відразу після запуску програми. Їх правильніше рахувати системними змінними.Це, наприклад, TOL - похибка числових розрахунків, ORIGIN - нижня межа значення індексу індексації векторів, матриць та інших. Значення цим змінним за необхідності можна задати інші.

Ранжовані змінні

Ці змінні мають ряд фіксованих значень, або цілих, або змінюються з певним кроком від початкового значення до кінцевого.

Для створення ранжованої змінної використовується вираз:

Name = N begin ,(N begin +Step)..N end ,

де Name - ім'я змінної;

N begin - початкове значення;

Step - заданий крок зміни змінної;

N end - кінцеве значення.

Ранжовані змінні широко використовуються при побудові графіків. Наприклад, для побудови графіка деякої функції f(x) Насамперед необхідно створити ряд значень змінної x- для цього вона повинна бути ранжированою змінною.

Увага.Якщо в діапазоні зміни змінної не вказувати крок, програма автоматично прийме його рівним 1.

Приклад . Змінна xзмінюється в діапазоні від -16 до +16 із кроком 0.1

Щоб записати ранжовану змінну, потрібно ввести:

Ім'я змінної ( x);

Знак присвоєння (:=)

Перше значення діапазону (-16);

Кому;

Друге значення діапазону, яке є сумою першого значення та кроку (-16+0.1);

Багатокрапка ( .. ) - Зміна змінної в заданих межах (багатоточка вводиться натисканням точки з комою в англійській розкладці клавіатури);

Останнє значення діапазону (16).

В результаті у вас вийде: x := -16,-16+0.1..16.

Таблиці виводу

Будь-який вираз із ранжованими змінними після знаку рівності ініціює таблицю виведення.

У таблиці виведення можна і вставляти числові значення та коригувати їх.

Змінна з індексом

Змінна з індексом- це змінна, якій присвоєно набір не пов'язаних один з одним чисел, кожне з яких має власний номер (індекс).

Введення індексу здійснюється натисканням лівої квадратної дужки на клавіатурі або за допомогою кнопки x nна панелі Калькулятор.

Як індекс можна використовувати як константу, так і вираз. Для ініціалізації змінної з індексом необхідно ввести елементи масиву, розділяючи їх комами.

Приклад. Введення індексних змінних.

Введення числових значень таблицю проводиться через кому;

Виведення значення першого елемента вектора S;

Виведення значення нульового елемента вектора S.

2.4 Масиви

Масив -- має унікальне ім'я сукупність кінцевого числа числових чи символьних елементів, які впорядковані певним чином і мають певні адреси.

У пакеті MathCADвикористовуються масиви двох найпоширеніших типів:

одномірні (вектори);

двомірні (матриці).

Вивести шаблон матриці або вектора можна одним із способів:

вибрати пункт меню Вставка - Матриця;

натиснути комбінацію клавіш Ctrl + M;

натиснути кнопку на Панель і векторів та матриць.

В результаті з'явиться діалогове вікно, в якому задається необхідна кількість рядків та стовпців:

Rows-- число рядків

Columns- Число стовпців

Якщо матриці (вектору) потрібно присвоїти ім'я, спочатку вводиться ім'я матриці (вектора), потім - оператор присвоєння і після - шаблон матриці.

Наприклад:

Матриця - Двомірний масив з ім'ям М n , m , що складається з n рядків і m стовпців.

З матрицями можна виконувати різні математичні операції.

2.5 Функції

Функція - Вираз, згідно з яким проводяться деякі обчислення з аргументами і визначається його числове значення. Приклади функцій: sin(x), tan(x) та ін.

Функції в пакеті MathCAD можуть бути як вбудованими, так і певними користувачем. Способи вставки вбудованої функції:

Вибрати пункт меню Вставка - Функція.

Натиснути комбінацію клавіш Ctrl + E.

Натисніть на кнопці на панелі інструментів.

Наберіть назву функції на клавіатурі.

Функції користувача зазвичай використовуються при багаторазових обчисленнях одного і того ж виразу. Для того, щоб задати функцію користувача необхідно:

· ввести ім'я функції з обов'язковою вказівкою в дужках аргументу, наприклад, f(x);

· Ввести оператор присвоєння (:=);

· Ввести обчислюване вираз.

Приклад. f (z) := sin(2 z 2)

3. Форматування чисел

У MathCAD можна змінити формат виведення чисел. Зазвичай обчислення виконуються з точністю 20 символів, але виводяться на екран не всі цифри. Щоб змінити формат числа, необхідно двічі клацнути на потрібний чисельний результат. З'явиться вікно форматування чисел, відкрите на вкладці Номер Формат (Формат чисел) з наступними форматами:

o General (Основний) - прийнятий за умовчанням. Числа відображаються з порядком (наприклад, 1.2210 5). Число знаків мантиси визначається в полі Exponential Threshold(поріг експоненційного уявлення). При перевищенні порога кількість відображається з порядком. Число знаків після десяткової точки змінюється у полі Номер of decimal places.

o Decimal (Десятичне) - десяткове уявлення чисел з плаваючою точкою (наприклад, 12.2316).

o Scientific (Науковий) - цифри відображаються лише з порядком.

o Engineering (Інженерний) - числа відображаються лише з порядком, кратним трьом (наприклад, 1.2210 6).

Увага. Якщо після встановлення потрібного формату у вікні форматування чисел вибрати кнопку Ок, формат встановиться лише виділеного числа. А якщо вибрати кнопку Set as Default, формат буде застосований до всіх цифр цього документа.

Автоматично числа округляються до нуля, якщо вони менші за встановлений поріг. Поріг встановлюється для документа, а чи не для конкретного результату. Щоб змінити поріг округлення до нуля, необхідно вибрати пункт меню Форматування - Результатта у вкладці Tolerance , в полі Zero threshold ввести потрібне значення порога.

4. Робота з текстом

Текстові фрагменти є шматками тексту, які користувач хотів би бачити у своєму документі. Це може бути пояснення, посилання, коментарі тощо. Вони вставляються за допомогою пункту меню Вставка - Текстовий регіон.

Ви можете відформатувати текст: змінити шрифт, його розмір, зображення, вирівнювання і т.д. Для цього потрібно його виділити та вибрати відповідні параметри на панелі шрифтів або в меню Форматування - Текст.

5. Робота з графікою

При вирішенні багатьох завдань, де проводиться дослідження функції, часто виникає необхідність у побудові її графіка, де наочно буде відображено поведінку функції певному проміжку.

У системі MathCAD існує можливість побудови різних видів графіків: у декартовій та полярній системі координат, тривимірних графіків, поверхонь тіл обертання, багатогранників, просторових кривих, графіків векторного поля. Ми розглянемо прийоми побудови деяких із них.

5.1 Побудова двовимірних графіків

Для побудови двовимірного графіка функції необхідно:

· Задати функцію;

· встановити курсор в те місце, де повинен бути побудований графік, на математичній панелі вибрати кнопку Graph (графік) і в панелі, що відкрилася, кнопку X-Y Plot (двовимірний графік);

· у шаблоні двомірного графіка, що представляє собою порожній прямокутник з мітками даних, в центральну мітку даних по осі абсцис (вісь X) ввести ім'я змінної, а на місці центральної мітки даних по осі ординат (вісь Y) ввести ім'я функції (рис. 2.1 );

Рис. 2.1. Шаблон двовимірного графіка

клацнути мишею поза шаблоном графіка - графік функції буде побудований.

Діапазон зміни аргументу складається з 3-х значень: початкове, друге та кінцеве.

Нехай потрібно побудувати графік функції на інтервалі [-2,2] з кроком 0.2. Значення змінної tзадаються у вигляді діапазону наступним чином:

t:= -2, - 1.8 .. 2 ,

де: -2 - Початкове значення діапазону;

1.8 (-2 + 0.2) - друге значення діапазону (початкове значення плюс крок);

2 - кінцеве значення діапазону.

Увага. Багатокрапка вводиться натисканням точки з комою в англійській розкладці клавіатури.

Приклад. Побудова графіка функції y = x 2 на інтервалі [-5,5] з кроком 0.5 (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Побудова графіка функції y = x 2

При побудові графіків необхідно враховувати наступне:

° Якщо діапазон значень аргументу не заданий, то стандартний графік будується в діапазоні [-10,10].

° Якщо в одному шаблоні необхідно розмістити кілька графіків, то імена функцій вказуються через кому.

° Якщо дві функції мають різні аргументи, наприклад f1(x) і f2(y), то на осі ординат (Y) через кому вказуються імена функцій, а по осі абсцис (X) - імена обох змінних теж через кому.

° Останні позначки даних на шаблоні графіка служать для вказівки граничних значень абсцис і ординат, тобто. вони ставлять масштаб графіка. Якщо залишити ці позначки незаповненими, масштаб буде встановлено автоматично. Автоматичний масштаб який завжди відбиває графік у потрібному вигляді, тому граничні значення абсцис і ординат доводиться редагувати, змінюючи вручну.

Примітка.Якщо після побудови графік не набуває потрібного вигляду, можна:

· Зменшити крок.

· Змінити інтервал побудови графіка.

· Зменшити на графіку граничні значення абсцис та ординат.

Приклад. Побудова кола з центром у точці (2,3) та радіусом R = 6.

Рівняння кола з центром у точці з координатами ( x 0 ,y 0) і радіусом Rзаписується у вигляді:

Виразимо з цього рівняння y:

Таким чином, для побудови кола необхідно задати дві функції: верхню та нижню півкола. Діапазон значень аргументу обчислюється так:

Початкове значення діапазону = x 0 - R;

Кінцеве значення діапазону = x 0 + R;

Крок краще взяти рівним 0.1 (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Побудова кола

Параметричний графік функції

Іноді буває зручніше замість рівняння лінії, що зв'язує прямокутні координати xі y, Розглядати так звані параметричні рівняння лінії, що дають вирази поточних координат x і y у вигляді функцій від деякої змінної величини t(параметра): x(t) та y(t). При побудові параметричного графіка на осях ординат та абсцис вказуються імена функцій одного аргументу.

Приклад. Побудова кола з центром у точці з координатами (2,3) та радіусом R= 6. Для побудови використовується параметричне рівняння кола

x = x 0 + R cos( t) y = y 0 + R sin( t) (рис. 2.4.).

Рис.2.4. Побудова кола

Форматування графіків

Щоб відформатувати графік, необхідно двічі клацнути область графіка. Відкриється діалогове вікно форматування графіка. Нижче наведено вкладки вікна форматування графіка:

§ X- Y Axes- Форматування осей координат. Встановивши потрібні прапорці можна:

· Log Scale-- уявити чисельні значення на осях у логарифмічному масштабі (за замовчуванням чисельні значення наносяться у лінійному масштабі)

· Grid Lines- нанести сітку ліній;

· Numbered- Розставити числа по координатних осях;

· Auto Scale- автоматичний вибір граничних чисельних значень на осях (якщо цей прапорець знято, граничними будуть максимальні обчислені значення);

· Show Marker-- нанесення міток на графік у вигляді горизонтальних або вертикальних пунктирних ліній, що відповідають зазначеному значенню на осі, причому самі значення виводяться в кінці ліній (на кожній осі з'являються 2 місця введення, які можна ввести чисельні значення, не вводити нічого, ввести одне число або літерні позначення констант);

· Auto Grid-- автоматичний вибір числа ліній сітки (якщо цей прапорець знято, треба задати число ліній у полі Number of Grids);

· Crossed- вісь абсцис проходить через нуль ординати;

· Boxed- Вісь абсцис проходить по нижньому краю графіка.

§ Trace- Форматування лінії графіків функцій. Для кожного графіка окремо можна змінити:

· Символ (Symbol) на графіку для вузлових точок (гурток, хрестик, прямокутник, ромб);

· вид лінії (Solid - суцільна, Dot - пунктир, Dash - штрихи, Dadot - штрих-пунктир);

· Колір лінії (Color);

· Тип (Турі) графіка (Lines - лінія, Points - точки, Ваr або Solidbar - стовпчики, Step - ступінчастий графік і т.д.);

· Товщину лінії (Weight).

§ Label -заголовок у сфері графіка. В полі Title (Заголовок) можна записати текст заголовка, вибрати його положення - вгорі або внизу графіка ( Above - вгорі, Below - Внизу). Можна вписати, якщо треба, назви аргументу та функції ( Axis Labels ).

§ Defaults --за допомогою цієї вкладки можна повернутися до типу графіка, прийнятого за замовчуванням (Change to default), або зроблені вами зміни на графіку використовувати за промовчанням для всіх графіків цього документа (Use for Defaults).

5.2 Побудова полярних графіків

Для побудови полярного графіка функції необхідно:

· Задати діапазон значень аргументу;

· Задати функцію;

· встановити курсор у те місце, де повинен бути побудований графік, на математичній панелі вибрати кнопку Graph (графік) і в панелі, що відкрилася, кнопку Polar Plot (полярний графік);

· у місцях введення шаблону, що з'явився, необхідно ввести кутовий аргумент функції (внизу) та ім'я функції (ліворуч).

Приклад. Побудова лемніскат Бернуллі: (рис. 2.6.)

Рис.2.6. Приклад побудови полярного графіка

5.3 Побудова графіків поверхонь (тривимірні або 3D-графіки)

При побудові тривимірних графіків використовується панель Graph(Графік) математичної панелі. Можна побудувати тривимірний графік з допомогою майстра, викликаного головного меню; можна побудувати графік, створивши матрицю значень функції двох змінних; можна використовувати прискорений спосіб побудови; можна викликати спеціальні функції CreateMech та CreateSpase, призначені для створення масиву значень функції та побудови графіка. Ми розглянемо прискорений спосіб побудови тривимірного графіка.

Швидка побудова графіка

Для швидкого побудови тривимірного графіка функції необхідно:

· Задати функцію;

· встановити курсор у те місце, де має бути побудований графік, на математичній панелі вибрати кнопку Graph(Графік) і в панелі, що відкрилася, кнопку ( Поверхневий графік);

· у єдине місце шаблону введіть ім'я функції (не вказуючи змінні);

· Клацнути мишею поза шаблоном графіка - графік функції буде побудований.

Приклад. Побудова графіка функції z(x,y) = x 2 + y 2 – 30 (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Приклад швидкої побудови поверхневого графіка

Побудованим графіком можна керувати:

° обертання графіка виконується після наведення на нього покажчика миші при натиснутій лівій кнопці миші;

° масштабування графіка виконується після наведення на нього покажчика миші при одночасному натисканні лівої кнопки миші та клавіші Ctrl (якщо рухати мишу, графік наближається або видаляється);

° анімація графіка виконується аналогічно, але при натиснутій клавіші Shift. Необхідно тільки почати обертання графіка мишею, анімація буде виконуватися автоматично. Для зупинки обертання слід клацнути лівою кнопкою миші в області графіка.

Існує можливість побудови відразу кількох поверхонь однією малюнку. Для цього необхідно задати обидві функції і через кому вказати імена функцій на шаблоні графіка.

При швидкій побудові графіка за замовчуванням вибираються значення обох аргументів у межах від -5 до +5 та число контурних ліній, що дорівнює 20. Для зміни цих значень необхідно:

· Двічі клацнути за графіком;

· у вікні вибрати вкладку Quick Plot Data;

· ввести нові значення в області вікна Range1 - для першого аргументу та Range2 - для другого аргументу (start - початкове значення, end - кінцеве значення);

· у полі # of Grids змінити кількість ліній сітки, що покривають поверхню;

· Клацнути на кнопці Ок.

Приклад. Побудова графіка функції z(x,y) = -sin( x 2 + y 2) (рис. 2.9).

При побудові графіка межі зміни значень обох аргументів краще вибрати від -2 до +2.

Рис. 2.9. Приклад побудови графіка функції z(x,y) = -sin( x 2 + y 2)

Форматування тривимірних графіків

Для форматування графіка необхідно двічі клацнути по області побудови - з'явиться вікно форматування з кількома вкладками: Appearance, General, Axes, Lighting, Title, Backplanes, Special, Advanced, Quick Plot Data.

Призначення вкладки Quick Plot Dataбуло розглянуто вище.

Вкладка Appearanceдозволяє міняти зовнішній вигляд графіка. Поле Fill Optionsдозволяє змінити параметри заливки, поле Line Option- параметри ліній, Point Options- Параметри точок.

У вкладці General (загальні) у групі Viewможна вибрати кути повороту зображеної поверхні навколо трьох осей; у групі Display asможна змінити тип графіка.

У вкладці Lighting(освітлення) можна керувати освітленням, встановивши прапорець Enable Lighting(включити освітлення) та перемикач On(увімкнути). Одна з 6-ти можливих схем освітлення вибирається у списку Lighting scheme(схема висвітлення).

6. Способи розв'язання рівнянь у MathCAD

У цьому розділі ми дізнаємося, як у системі MathCAD вирішуються найпростіші рівняння виду F( x) = 0. Вирішити рівняння аналітично - отже знайти всі його коріння, тобто. такі числа, при підстановці яких у вихідне рівняння отримаємо правильну рівність. Вирішити рівняння графічно - значить знайти точки перетину графіка функції з віссю ОХ.

6. 1 Вирішення рівнянь за допомогою функції root(f(x),x)

Для вирішення рівняння з одним невідомим видом F( x) = 0 існує спеціальна функція

root(f(x), x) ,

де f(x) - вираз, що дорівнює нулю;

х- аргумент.

Ця функція повертає із заданою точністю значення змінної, у якому вираз f(x) дорівнює 0.

Уважайтобто.Якщо права частина рівняння 0, необхідно привести його до нормального вигляду (перенести все в ліву частину).

Перед використанням функції rootнеобхідно задати аргументу хпочаткове наближення. Якщо коріння кілька, то для відшукання кожного кореня необхідно ставити своє початкове наближення.

Увага. Перед рішенням бажано побудувати графік функції, щоб перевірити, чи є коріння (чи перетинає графік вісь Ох), і якщо є, то скільки. Початкове наближення можна вибрати за графіком ближче до точки перетину.

приклад.Вирішення рівняння за допомогою функції rootпредставлено малюнку 3.1. Перед тим, як приступити до вирішення в системі MathCAD, у рівнянні все перенесемо в ліву частину. Рівняння набуде вигляду: .

Рис. 3.1. Вирішення рівняння за допомогою функції root

6. 2 Вирішення рівнянь за допомогою функції Polyroots(v)

Для одночасного знаходження всіх коренів полінома використовують функцію Polyroots(v), де v - вектор коефіцієнтів полінома, починаючи з вільного члена . Нульові коефіцієнти опускати не можна. На відміну від функції rootфункція Polyrootsне потребує початкового наближення.

Приклад. Вирішення рівняння за допомогою функції polyrootsпредставлено малюнку 3.2.

Рис. 3.2. Вирішення рівняння за допомогою функції polyroots

6.3 Вирішення рівнянь за допомогою функції Find(x)

Функція Find (Знайти) працює у ключовій зв'язці із ключовим словом Given (Дано). Конструкція Given - Findвикористовує розрахункову методику, засновану на пошуку кореня поблизу точки початкового наближення, заданої користувачем.

Якщо задано рівняння f(x) = 0, то його можна вирішити наступним чином за допомогою блоку Given - Find:

Задати початкове наближення

Ввести службове слово

Записати рівняння, використовуючи знак жирне одно

Написати функцію find з невідомою змінною як параметр

У результаті після знака і виведеться знайдений корінь.

Якщо існує кілька коренів, їх можна знайти, змінюючи початкове наближення х0 на близьке до шуканого кореня.

приклад.Рішення рівняння за допомогою функції find представлено малюнку 3.3.

Рис. 3.3. Вирішення рівняння за допомогою функції find

Іноді виникає потреба відзначити на графіку будь-які точки (наприклад, точки перетину функції з віссю Ox). Для цього необхідно:

· Вказати значення x даної точки (по осі Ох) та значення функції в цій точці (по осі Оy);

· двічі клацнути за графіком та у вікні форматування у вкладці Tracesдля відповідної лінії вибрати тип графіка - points, товщину лінії - 2 або 3.

приклад.На графіці зазначено точку перетину функції з віссю Ох. Координата хцієї точки було знайдено у попередньому прикладі: х= 2.742 (корінь рівняння ) (Рис. 3.4).

Рис. 3.4. Графік функції із зазначеною точкою перетину

У вікні форматування графіка у вкладці Tracesдля trace2 змінено: тип графіка - points, товщина лінії - 3, колір - чорний.

7. Вирішення систем рівнянь

7.1 Вирішення систем лінійних рівнянь

Систему лінійних рівнянь можна вирішити м атричним методом (або через зворотну матрицю або використовуючи функцію lsolve(A,B)) та з використанням двох функцій Findта функції Minerr.

Матричний метод

приклад.Дана система рівнянь:

Вирішення даної системи рівнянь матричним методом представлено малюнку 4.1.

Рис. 4.1. Вирішення системи лінійних рівнянь матричним методом

Використання функції lsolve(A, B)

Lsolve(A,B) - це вбудована функція, яка повертає вектор Х для системи лінійних рівнянь при заданій матриці коефіцієнтів А та векторі вільних членів .

Приклад. Дана система рівнянь:

Спосіб вирішення даної системи з використанням функції lsolve (A, B) наведено на малюнку 4.2.

Рис. 4.2. Вирішення системи лінійних рівнянь з використанням функції lsolve

Вирішення системи лінійних рівнянь за допомогою функціїі Find

При цьому методі рівняння вводяться без використання матриць, тобто. у «натуральному вигляді». Попередньо необхідно вказати початкові наближення невідомих змінних. Це можуть бути будь-які числа, що входять до області визначення. Часто за них беруть стовпець вільних членів.

Для того, щоб вирішити систему лінійних рівнянь за допомогою обчислювального блоку Given - Find, необхідно:

2) запровадити службове слово Given;

жирне одно();

4) написати функцію Find,

приклад.Дана система рівнянь:

Вирішення даної системи за допомогою обчислювального блоку Given - Findнаведено малюнку 4.3.

Рис. 4.3. Вирішення системи лінійних рівнянь за допомогою функції Find

Наближене решение системи лінійних рівнянь

Вирішення системи лінійних рівнянь за допомогою функції Minerrаналогічно рішенню за допомогою функції Find(використовується той же алгоритм), тільки функція Findдає точне рішення, а Minerr- Наближене. Якщо результат пошуку не може бути отримано подальше уточнення поточного наближення до рішення, Minerrповертає це наближення. Функція Findу цьому випадку повертає повідомлення про помилку.

· Можна підібрати інше початкове наближення.

· Можна збільшити або зменшити точність розрахунків. Для цього в меню вибрати Math > Options(Математика - Опції), вкладка Built- In Variables(Вбудовані змінні). У вкладці необхідно зменшити допустиму похибку обчислень (Convergence Tolerance (TOL)). За промовчанням TOL = 0.001.

Вніманія. При матричному методі вирішення необхідно переставити коефіцієнти відповідно до зростання невідомих х 1, х 2, х 3, х 4.

7.2 Вирішення систем нелінійних рівнянь

Системи нелінійних рівнянь у MathCAD вирішуються за допомогою обчислювального блоку Given - Find.

Конструкція Given - Findвикористовує розрахункову методику, засновану на пошуку кореня поблизу точки початкового наближення, заданої користувачем.

Для вирішення системи рівнянь за допомогою блоку Given - Findнеобхідно:

1) задати початкові наближення всім змінних;

2) запровадити службове слово Given;

3) записати систему рівнянь, використовуючи знак жирне одно();

4) написати функцію Find, перерахувавши невідомі змінні як параметри функції.

Через війну розрахунків виведеться вектор рішення системи.

Якщо система має кілька рішень, алгоритм слід повторити коїться з іншими початковими наближеннями.

Примітка. Якщо вирішується система із двох рівнянь із двома невідомими, перед рішенням бажано побудувати графіки функцій, щоб перевірити, чи є коріння у системи (чи перетинаються графіки заданих функцій), і якщо є, то скільки. Початкове наближення можна вибрати за графіком ближче до точки перетину.

Приклад. Дана система рівнянь

Перед розв'язанням системи побудуємо графіки функцій: параболи (перше рівняння) та прямий (друге рівняння). Побудова графіка прямої та параболи в одній системі координат наведено на малюнку 4.5:

Рис. 4.5. Побудова графіка двох функцій у одній системі координат

Пряма і парабола перетинаються у двох точках, отже система має два рішення. За графіком вибираємо початкові наближення невідомих xі yдля кожного рішення. Знаходження коріння системи рівнянь представлено малюнку 4.6.

Рис. 4.6. Знаходження коріння системи нелінійних рівнянь

Для того щоб відзначити на графіку точки перетину параболи і прямої, координати точок, знайдені при вирішенні системи, введемо по осі Ох (значення х ) та по осі Оу (значення у ) через кому. У вікні форматування графіка у вкладці Tracesдля trace3 і trace4 змінимо: тип графіка - points, товщина лінії - 3, колір - чорний (рис. 4.7).

Рис. 4.7. Графіки функцій із зазначеними точками перетину

8 . Приклади використання основних можливостей MathCAD для вирішення деяких математичних завдань

У цьому розділі наведено приклади розв'язання задач, для вирішення яких необхідно вирішити рівняння або систему рівнянь.

8. 1 Знаходження локальних екстремумів функцій

Необхідна умова екстремуму (максимуму та/або мінімуму) безперервної функції формулюється так: екстремуми можуть мати місце тільки в тих точках, де похідна або дорівнює нулю, або не існує (зокрема, звертається до нескінченності). Для знаходження екстремумів безперервної функції спочатку знаходять точки, що задовольняють необхідній умові, тобто знаходять все дійсне коріння рівняння.

Якщо побудований графік функції, можна відразу побачити -- максимум чи мінімум досягається у цій точці х. Якщо графіка немає, то кожен із знайдених коренів досліджують одним із способів.

1-й з посібників . З рівняння е знаків похідної . Визначають знак похідної на околиці точки (у точках, віддалених від екстремуму функції з різних боків невеликих відстанях). Якщо знак похідної у своїй змінюється від «+» до «-», то цій точці функція має максимум. Якщо знак змінюється від «-» до «+» , то ця функція має мінімум. Якщо знак похідної змінюється, то екстремумів немає.

2-й з посібників . В вирахуй е другий похідний . І тут обчислюється друга похідна у точці екстремуму. Якщо вона менша за нуль, то в даній точці функція має максимум, якщо вона більша за нуль, то мінімум.

Приклад. Знаходження екстремумів (мінімумів/максимумів) функції.

Спочатку збудуємо графік функції (рис. 6.1).

Рис. 6.1. Побудова графіка функції

Визначимо за графіком початкові наближення значень х, що відповідають локальним екстремумам функції f(x). Знайдемо ці екстремуми, розв'язавши рівняння. Для вирішення використовуємо блок Given – Find (рис. 6.2.).

Рис. 6.2. Знаходження локальних екстремумів

Визначимо вид екстремумів першним способом, Досліджуючи зміну знака похідної на околиці знайдених значень (рис. 6.3).

Рис. 6.3. Визначення виду екстремуму

З таблиці значень похідної та з графіка видно, що знак похідної на околиці точки x 1 змінюється з плюсу на мінус, тому у цій точці функція досягає максимуму. А на околиці точки x 2 знак похідної змінився з мінусу на плюс, тому в цій точці функція досягає мінімуму.

Визначимо вид екстремумів другним способом, обчислюючи знак другої похідної (рис. 6.4)

Рис. 6.4. Визначення виду екстремуму за допомогою другої похідної

Видно, що у точці x 1 друга похідна менша за нуль, значить, точка х 1 відповідає максимуму функції. А в точці x 2 друга похідна більша за нуль, значить, точка х 2 відповідає мінімуму функції.

8.2 Визначення площ фігур, обмежених безперервними лініями

Площа криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції f(x) , відрізком на осі Ox та двома вертикалями х = аі х = b, a < b, визначається за такою формулою: .

Приклад. Знаходження площі фігури, обмеженої лініями f(x) = 1 - x 2 та y = 0.

Рис. 6.5. Знаходження площі фігури, обмеженої лініями f(x) = 1 - x 2 та y = 0

Площа фігури, укладеної між графіками функцій f1(x) і f2(x) та прямими х = аі х = b, обчислюється за такою формулою:

Увага. Щоб уникнути помилок при обчисленні площі, функцію треба брати за модулем. Таким чином, площа завжди буде позитивною величиною.

Приклад. Знаходження площі фігури, обмеженої лініями та. Рішення представлене малюнку 6.6.

1. Будуємо графік функцій.

2. Знаходимо точки перетину функції за допомогою функції root. Початкові наближення визначимо за графіком.

3. Знайдені значення x підставляємо у формулу як межі інтегрування.

8. 3 Побудова кривих за заданими точками

Побудова прямої, що проходить через дві задані точки

Для складання рівняння прямої, що проходить через дві точки А( x 0,y 0) і B( x 1,y 1), пропонується наступний алгоритм:

де aі b- Коефіцієнти прямої, які нам потрібно знайти.

2. Ця система є лінійною. У ній дві невідомі змінні: aі b

приклад.Побудова прямої, що проходить через точки А(-2,-4) та В(5,7).

Підставимо в рівняння прямої координати даних точок та отримаємо систему:

Рішення цієї системи в MathCAD представлене малюнку 6.7.

Рис. 6.7.Рішення системи

В результаті вирішення системи отримуємо: а = 1.57, b= -0.857. Значить, рівняння прямої матиме вигляд: y = 1.57x– 0.857. Побудуємо цю пряму (рис. 6.8).

Рис. 6.8. Побудова прямої

Побудова параболи, проходить через три задані точки

Для побудови параболи, що проходить через три точки А( x 0,y 0), B( x 1,y 1) і C( x 2,y 2), алгоритм наступний:

1. Парабола задається рівнянням

y = ax 2 + bх + з, де

а, bі з- Коефіцієнти параболи, які нам потрібно знайти.

Підставляємо в це рівняння задані координати точок та отримуємо систему:

2. Ця система є лінійною. У ній три невідомі змінні: a, bі з. Систему можна вирішити матричним способом.

3. Отримані коефіцієнти підставляємо в рівняння та будуємо параболу.

приклад.Побудова параболи, що проходить через точки А(-1,-4), B(1,-2) та C(3,16).

Підставляємо в рівняння параболи задані координати точок та отримуємо систему:

Розв'язання цієї системи рівнянь у MathCAD представлене малюнку 6.9.

Рис. 6.9. Вирішення системи рівнянь

В результаті отримано коефіцієнти: a = 2, b = 1, c= -5. Отримуємо рівняння параболи: 2 x 2 +x -5 = y. Побудуємо цю параболу (рис. 6.10).

Рис. 6.10. Побудова параболи

Побудова кола, що проходить через три задані точки

Для побудови кола, що проходить через три точки А( x 1,y 1), B( x 2,y 2) та C( x 3,y 3), можна скористатися наступним алгоритмом:

1. Окружність задається рівнянням

де x0, y0 - координати центру кола;

R - радіус кола.

2. Підставимо в рівняння кола задані коорді...........

Надіслати свою гарну роботу до бази знань просто. Використовуйте форму, розташовану нижче

Студенти, аспіранти, молоді вчені, які використовують базу знань у своєму навчанні та роботі, будуть вам дуже вдячні.

1. Робоче вікно MathCAD

· Панель Математика(Рис. 1.4).

Рис. 1.4. Панель Математика

При натисканні на кнопці математичної панелі інструментів відкривається додаткова панель:

2. Елементи мови MathCAD

До основних елементів математичних виразів MathCAD відносяться оператори, константи, змінні, масиви та функції.

2.1 Оператори

Оператори -- елементи MathCAD, з допомогою яких можна створювати математичні висловлювання. До них, наприклад, відносяться символи арифметичних операцій, знаки обчислення сум, творів, похідних, інтегралів тощо.

Оператор визначає:

а) дію, що має виконуватися за наявності тих чи інших значень операндів;

б) скільки, де та які операнди мають бути введені в оператор.

Операнд - Число або вираз, на яке діє оператор. Наприклад, у виразі 5! +3 числа 5! і 3 - операнди оператора "+" (плюс), а число 5 - операнд факторіалу (!).

Будь-який оператор у MathCAD можна ввести двома способами:

· Натиснувши клавішу (поєднання клавіш) на клавіатурі;

· Використовуючи математичну панель.

Для присвоєння або виведення вмісту комірки пам'яті, пов'язаної зі змінною, використовуються такі оператори:

- Знак присвоєння (вводиться натисканням клавіші : на клавіатурі (двокрапка в англійській розкладці клавіатури) або натисканням відповідної кнопки на панелі Калькулятор );

Таке присвоєння називається локальним. До цього присвоєння змінна не визначена і її не можна використати.

- Глобальний оператор присвоєння. Це присвоєння може проводитись будь-де документа. Наприклад, якщо змінної присвоєно в такий спосіб значення наприкінці документа, вона матиме це значення і на початку документа.

- Оператор наближеної рівності (x1). Використовується під час вирішення систем рівнянь. Вводиться натисканням клавіші ; на клавіатурі (точка з комою в англійській розкладці клавіатури) або натисканням відповідної кнопки на Бульової панелі.

= -- оператор (просте одно), відведений виведення значення константи чи змінної.

Найпростіші обчислення

Процес обчислення здійснюється за допомогою:

Панелі Калькулятора, Панелі Обчислень та Панелі Оцінки.

Увага. Якщо необхідно поділити всі вирази в чисельнику, його потрібно спочатку виділити, натиснувши пробіл на клавіатурі або помістивши в дужки.

2.2 Константи

Константи -- названі об'єкти, що зберігають деякі значення, які не можуть бути змінені.

Наприклад, = 3.14.

Розмірні константи - це загальноприйняті одиниці виміру. Наприклад, метри, секунди тощо.

Щоб записати розмірну константу, необхідно після числа ввести знак * (помножити), вибрати пункт меню Вставкапідпункт Юніт. У вимірах найбільш відомі вам категорії: Length – довжина (м, км, см); Mass - вага (гр, кг, т); Time - час (хв, сік, година).

2.3 Змінні

Змінні є поіменованими об'єктами, що мають деяке значення, яке може змінюватися під час виконання програми. Змінні може бути числовими, рядковими, символьними тощо. Значення змінним задаються за допомогою символу присвоїти (: =).

Увага. MathCAD великі і малі літери сприймає як різні ідентифікатори.

Системні змінні

В MathCADміститься невелика група спеціальних об'єктів, які можна віднести ні до класу констант, ні до класу змінних, значення яких визначено відразу після запуску програми. Їх правильніше рахувати системними змінними.Це, наприклад, TOL - похибка числових розрахунків, ORIGIN - нижня межа значення індексу індексації векторів, матриць та інших. Значення цим змінним за необхідності можна задати інші.

Ранжовані змінні

Ці змінні мають ряд фіксованих значень, або цілих, або змінюються з певним кроком від початкового значення до кінцевого.

Для створення ранжованої змінної використовується вираз:

Name = N begin,(N begin+Step)..N end,

де Name - ім'я змінної;

N begin - початкове значення;

Step - заданий крок зміни змінної;

N end - кінцеве значення.

Ранжовані змінні широко використовуються при побудові графіків. Наприклад, для побудови графіка деякої функції f(x) Насамперед необхідно створити ряд значень змінної x- для цього вона повинна бути ранжированою змінною.

Увага. Якщо в діапазоні зміни змінної не вказувати крок, то про грама автоматично прийме його рівним 1.

Приклад . Змінна xзмінюється в діапазоні від -16 до +16 із кроком 0.1

Щоб записати ранжовану змінну, потрібно ввести:

Ім'я змінної ( x);

Знак присвоєння (:=)

Перше значення діапазону (-16);

Кому;

Друге значення діапазону, яке є сумою першого значення та кроку (-16+0.1);

Багатокрапка ( .. ) - Зміна змінної в заданих межах (багатоточка вводиться натисканням точки з комою в англійській розкладці клавіатури);

Останнє значення діапазону (16).

В результаті у вас вийде: x := -16,-16+0.1..16.

Таблиці виводу

Будь-який вираз із ранжованими змінними після знаку рівності ініціює таблицю виведення.

У таблиці виведення можна і вставляти числові значення та коригувати їх.

Змінна з індексом

Змінна з індексом- це змінна, якій присвоєно набір не пов'язаних один з одним чисел, кожне з яких має власний номер (індекс).

Введення індексу здійснюється натисканням лівої квадратної дужки на клавіатурі або за допомогою кнопки x nна панелі Калькулятор.

Як індекс можна використовувати як константу, так і вираз. Для ініціалізації змінної з індексом необхідно ввести елементи масиву, розділяючи їх комами.

Приклад. Введення індексних змінних.

Введення числових значень таблицю проводиться через кому;

Виведення значення першого елемента вектора S;

Виведення значення нульового елемента вектора S.

2.4 Масиви

Масив -- має унікальне ім'я сукупність кінцевого числа числових або символьних елементів, які впорядковані певним чином і мають певні адреси.

У пакеті MathCADвикористовуються масиви двох найпоширеніших типів:

одномірні (вектори);

двомірні (матриці).

Вивести шаблон матриці або вектора можна одним із способів:

вибрати пункт меню Вставка - Матриця;

натиснути комбінацію клавіш Ctrl+ M;

натиснути кнопку на Панель і векторів та матриць.

В результаті з'явиться діалогове вікно, в якому задається необхідна кількість рядків та стовпців:

Rows-- число рядків

Columns- Число стовпців

Якщо матриці (вектору) потрібно присвоїти ім'я, спочатку вводиться ім'я матриці (вектора), потім - оператор присвоєння і після - шаблон матриці.

Наприклад:

Матриця - Двомірний масив з ім'ям М n , m , що складається з n рядків і m стовпців.

З матрицями можна виконувати різні математичні операції.

2.5 Функції

Функція - Вираз, згідно з яким проводяться деякі обчислення з аргументами і визначається його числове значення. Приклади функцій: sin(x), tan(x) та ін.

Функції в пакеті MathCAD можуть бути як вбудованими, так і певними користувачем. Способи вставки вбудованої функції:

Вибрати пункт меню Вставка- Функція.

Натиснути комбінацію клавіш Ctrl+ E.

Натисніть на кнопці на панелі інструментів.

Наберіть назву функції на клавіатурі.

Функції користувача зазвичай використовуються при багаторазових обчисленнях одного і того ж виразу. Для того, щоб задати функцію користувача необхідно:

· ввести ім'я функції з обов'язковою вказівкою в дужках аргументу, наприклад, f(x);

· Ввести оператор присвоєння (:=);

· Ввести обчислюване вираз.

Приклад. f (z) := sin(2 z 2)

3. Форматування чисел

У MathCAD можна змінити формат виведення чисел. Зазвичай обчислення виконуються з точністю 20 символів, але виводяться на екран не всі цифри. Щоб змінити формат числа, необхідно двічі клацнути на потрібний чисельний результат. З'явиться вікно форматування чисел, відкрите на вкладці Номер Формат (Формат чисел) з наступними форматами:

o General (Основний) - прийнятий за умовчанням. Числа відображаються з порядком (наприклад, 1.2210 5). Число знаків мантиси визначається в полі Exponential Threshold(поріг експоненційного уявлення). При перевищенні порога кількість відображається з порядком. Число знаків після десяткової точки змінюється у полі Номер of decimal places.

o Decimal (Десятичне) - десяткове уявлення чисел з плаваючою точкою (наприклад, 12.2316).

o Scientific (Науковий) - цифри відображаються лише з порядком.

o Engineering (Інженерний) - числа відображаються лише з порядком, кратним трьом (наприклад, 1.2210 6).

Увага. Якщо після встановлення потрібного формату у вікні форматування чисел вибрати кнопку Ок, формат встановиться лише виділеного числа. А якщо вибрати кнопку Set as Default, формат буде застосований до всіх цифр цього документа.

Автоматично числа округляються до нуля, якщо вони менші за встановлений поріг. Поріг встановлюється для документа, а чи не для конкретного результату. Щоб змінити поріг округлення до нуля, необхідно вибрати пункт меню Форматування - Результатта у вкладці Tolerance , в полі Zero threshold ввести потрібне значення порога.

4 . Робота з текстом

Текстові фрагменти є шматками тексту, які користувач хотів би бачити у своєму документі. Це може бути пояснення, посилання, коментарі тощо. Вони вставляються за допомогою пункту меню Вставка - Текстовий регіон.

Ви можете відформатувати текст: змінити шрифт, його розмір, зображення, вирівнювання і т.д. Для цього потрібно його виділити та вибрати відповідні параметри на панелі шрифтів або в меню Форматування - Текст.

5. Робота з графікою

При вирішенні багатьох завдань, де проводиться дослідження функції, часто виникає необхідність у побудові її графіка, де наочно буде відображено поведінку функції певному проміжку.

У системі MathCAD існує можливість побудови різних видів графіків: у декартовій та полярній системі координат, тривимірних графіків, поверхонь тіл обертання, багатогранників, просторових кривих, графіків векторного поля. Ми розглянемо прийоми побудови деяких із них.

5.1 Побудова двовимірних графіків

Для побудови двовимірного графіка функції необхідно:

· Задати функцію;

· встановити курсор в те місце, де повинен бути побудований графік, на математичній панелі вибрати кнопку Graph (графік) і в панелі, що відкрилася, кнопку X-Y Plot (двовимірний графік);

· у шаблоні двомірного графіка, що представляє собою порожній прямокутник з мітками даних, в центральну мітку даних по осі абсцис (вісь X) ввести ім'я змінної, а на місці центральної мітки даних по осі ординат (вісь Y) ввести ім'я функції (рис. 2.1 );

Рис. 2.1. Шаблон двовимірного графіка

клацнути мишею поза шаблоном графіка - графік функції буде побудований.

Діапазон зміни аргументу складається з 3-х значень: початкове, друге та кінцеве.

Нехай потрібно побудувати графік функції на інтервалі [-2,2] з кроком 0.2. Значення змінної tзадаються у вигляді діапазону наступним чином:

t:= -2, - 1.8 .. 2 ,

де: -2 - Початкове значення діапазону;

-1.8 (-2 + 0.2) - друге значення діапазону (початкове значення плюс крок);

2-кінцеве значення діапазону.

Увага. Багатокрапка вводиться натисканням точки з комою в англійській розкладці клавіатури.

Приклад. Побудова графіка функції y = x 2 на інтервалі [-5,5] з кроком 0.5 (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Побудова графіка функції y = x 2

При побудові графіків необхідно враховувати наступне:

° Якщо діапазон значень аргументу не заданий, то стандартний графік будується в діапазоні [-10,10].

° Якщо в одному шаблоні необхідно розмістити кілька графіків, то імена функцій вказуються через кому.

° Якщо дві функції мають різні аргументи, наприклад f1(x) і f2(y), то на осі ординат (Y) через кому вказуються імена функцій, а по осі абсцис (X) - імена обох змінних теж через кому.

° Останні позначки даних на шаблоні графіка служать для вказівки граничних значень абсцис і ординат, тобто. вони ставлять масштаб графіка. Якщо залишити ці позначки незаповненими, масштаб буде встановлено автоматично. Автоматичний масштаб який завжди відбиває графік у потрібному вигляді, тому граничні значення абсцис і ординат доводиться редагувати, змінюючи вручну.

Примітка.Якщо після побудови графік не набуває потрібного вигляду, можна:

· Зменшити крок.

· Змінити інтервал побудови графіка.

· Зменшити на графіку граничні значення абсцис та ординат.

Приклад. Побудова кола з центром у точці (2,3) та радіусом R = 6.

Рівняння кола з центром у точці з координатами ( x 0 ,y 0) і радіусом Rзаписується у вигляді:

Виразимо з цього рівняння y:

Таким чином, для побудови кола необхідно задати дві функції: верхню та нижню півкола. Діапазон значень аргументу обчислюється так:

Початкове значення діапазону = x 0 - R;

Кінцеве значення діапазону = x 0 + R;

Крок краще взяти рівним 0.1 (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Побудова кола

Параметричний графік функції

Іноді буває зручніше замість рівняння лінії, що зв'язує прямокутні координати xі y, розглядати так звані параметричні рівняння лінії, що дають вирази поточних координат x та y у вигляді функцій від певної змінної величини t(параметра): x(t) та y(t). При побудові параметричного графіка на осях ординат та абсцис вказуються імена функцій одного аргументу.

Приклад. Побудова кола з центром у точці з координатами (2,3) та радіусом R= 6. Для побудови використовується параметричне рівняння кола

x = x 0 + R cos( t) y = y 0 + R sin( t) (рис. 2.4.).

Рис.2.4. Побудова кола

Форматування графіків

Щоб відформатувати графік, необхідно двічі клацнути область графіка. Відкриється діалогове вікно форматування графіка. Нижче наведено вкладки вікна форматування графіка:

§ X- YAxes- Форматування осей координат. Встановивши потрібні прапорці можна:

· LogScale--представити чисельні значення на осях у логарифмічному масштабі (за замовчуванням чисельні значення наносяться у лінійному масштабі)

· GridLines- нанести сітку ліній;

· Numbered- Розставити числа по координатних осях;

· AutoScale--автоматичний вибір граничних чисельних значень на осях (якщо цей прапорець знято, граничними будуть максимальні обчислені значення);

· ShowMarker-- нанесення міток на графік у вигляді горизонтальних або вертикальних пунктирних ліній, що відповідають зазначеному значенню на осі, причому самі значення виводяться в кінці ліній (на кожній осі з'являються 2 місця введення, в які можна ввести чисельні значення, нічого не вводити, ввести одне число або літерні позначення констант);

· AutoGrid-- автоматичний вибір числа ліній сітки (якщо цей прапорець знято, треба задати число ліній у полі Number of Grids);

· Crossed- вісь абсцис проходить через нуль ординати;

· Boxed- Вісь абсцис проходить по нижньому краю графіка.

§ Trace- Форматування лінії графіків функцій. Для кожного графіка окремо можна змінити:

· Символ (Symbol) на графіку для вузлових точок (гурток, хрестик, прямокутник, ромб);

· вид лінії (Solid - суцільна, Dot - пунктир, Dash - штрихи, Dadot - штрих-пунктир);

· Колір лінії (Color);

· Тип (Турі) графіка (Lines - лінія, Points - точки, Ваr або Solidbar - стовпчики, Step - ступінчастий графік і т.д.);

· Товщину лінії (Weight).

§ Label -заголовок у сфері графіка. В полі Title (Заголовок) можна записати текст заголовка, вибрати його положення - вгорі або внизу графіка ( Above - вгорі, Below - Внизу). Можна вписати, якщо треба, назви аргументу та функції ( Axis Labels ).

§ Defaults --за допомогою цієї вкладки можна повернутися до типу графіка, прийнятого за замовчуванням (Change to default), або зроблені вами зміни на графіку використовувати за промовчанням для всіх графіків цього документа (Use for Defaults).

5. 2 Побудова полярних графіків

Для побудови полярного графіка функції необхідно:

· Задати діапазон значень аргументу;

· Задати функцію;

· встановити курсор у те місце, де повинен бути побудований графік, на математичній панелі вибрати кнопку Graph (графік) і в панелі, що відкрилася, кнопку Polar Plot (полярний графік);

· у місцях введення шаблону, що з'явився, необхідно ввести кутовий аргумент функції (внизу) та ім'я функції (ліворуч).

Приклад. Побудова лемніскат Бернуллі: (рис. 2.6.)

Рис.2.6. Приклад побудови полярного графіка

5. 3 Побудова графіків поверхонь (тривимірні або 3 D - графіки)

При побудові тривимірних графіків використовується панель Graph(Графік) математичної панелі. Можна побудувати тривимірний графік з допомогою майстра, викликаного головного меню; можна побудувати графік, створивши матрицю значень функції двох змінних; можна використовувати прискорений спосіб побудови; можна викликати спеціальні функції CreateMech та CreateSpase, призначені для створення масиву значень функції та побудови графіка. Ми розглянемо прискорений спосіб побудови тривимірного графіка.

Швидка побудова графіка

Для швидкого побудови тривимірного графіка функції необхідно:

· Задати функцію;

· встановити курсор у те місце, де має бути побудований графік, на математичній панелі вибрати кнопку Graph(Графік) і в панелі, що відкрилася, кнопку ( Поверхневий графік);

· у єдине місце шаблону введіть ім'я функції (не вказуючи змінні);

· Клацнути мишею поза шаблоном графіка - графік функції буде побудований.

Приклад. Побудова графіка функції z(x,y) = x 2 + y 2 – 30 (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Приклад швидкої побудови поверхневого графіка

Побудованим графіком можна керувати:

° обертання графіка виконується після наведення на нього покажчика миші при натиснутій лівій кнопці миші;

° масштабування графіка виконується після наведення на нього покажчика миші при одночасному натисканні лівої кнопки миші та клавіші Ctrl (якщо рухати мишу, графік наближається або видаляється);

° анімація графіка виконується аналогічно, але при натиснутій клавіші Shift. Необхідно тільки почати обертання графіка мишею, анімація буде виконуватися автоматично. Для зупинки обертання слід клацнути лівою кнопкою миші в області графіка.

Існує можливість побудови відразу кількох поверхонь однією малюнку. Для цього необхідно задати обидві функції і через кому вказати імена функцій на шаблоні графіка.

При швидкій побудові графіка за замовчуванням вибираються значення обох аргументів у межах від -5 до +5 та число контурних ліній, що дорівнює 20. Для зміни цих значень необхідно:

· Двічі клацнути за графіком;

· у вікні вибрати вкладку Quick Plot Data;

· ввести нові значення в області вікна Range1 - для першого аргументу та Range2 - для другого аргументу (start - початкове значення, end - кінцеве значення);

· у полі # of Grids змінити кількість ліній сітки, що покривають поверхню;

· Клацнути на кнопці Ок.

Приклад. Побудова графіка функції z(x,y) = -sin( x 2 + y 2) (рис. 2.9).

При побудові графіка межі зміни значень обох аргументів краще вибрати від -2 до +2.

Рис. 2.9. Приклад побудови графіка функції z(x,y) = -sin( x 2 + y 2)

Форматування тривимірних графіків

Для форматування графіка необхідно двічі клацнути по області побудови - з'явиться вікно форматування з кількома вкладками: Appearance,General,Axes,Lighting,Title,Backplanes,Special, Advanced, QuickPlotData.

Призначення вкладки QuickPlotDataбуло розглянуто вище.

Вкладка Appearanceдозволяє міняти зовнішній вигляд графіка. Поле Fill Optionsдозволяє змінити параметри заливки, поле Line Option- параметри ліній, Point Options- Параметри точок.

У вкладці General (загальні) у групі Viewможна вибрати кути повороту зображеної поверхні навколо трьох осей; у групі Displayasможна змінити тип графіка.

У вкладці Lighting(освітлення) можна керувати освітленням, встановивши прапорець EnableLighting(включити освітлення) та перемикач On(увімкнути). Одна з 6-ти можливих схем освітлення вибирається у списку Lightingscheme(схема висвітлення).

6. Способи розв'язання рівнянь у MathCAD

У цьому розділі ми дізнаємося, як у системі MathCAD вирішуються найпростіші рівняння виду F( x) = 0. Вирішити рівняння аналітично - отже знайти всі його коріння, тобто. такі числа, при підстановці яких у вихідне рівняння отримаємо правильну рівність. Вирішити рівняння графічно - значить знайти точки перетину графіка функції з віссю ОХ.

6. 1 Розв'язання рівнянь за допомогою ф ункці і root ( f ( x ), x )

Для вирішення рівняння з одним невідомим видом F( x) = 0 існує спеціальна функція

root(f(x), x) ,

де f(x) - вираз, що дорівнює нулю;

х- аргумент.

Ця функція повертає із заданою точністю значення змінної, у якому вираз f(x) дорівнює 0.

Уважайтобто.Якщо права частина рівняння 0, необхідно привести його до нормального вигляду (перенести все в ліву частину).

Перед використанням функції rootнеобхідно задати аргументу хпочаткове наближення. Якщо коріння кілька, то для відшукання кожного кореня необхідно ставити своє початкове наближення.

Увага. Перед рішенням бажано побудувати графік функції, щоб перевірити, чи є коріння (чи перетинає графік вісь Ох), і якщо є, то скільки. Початкове наближення можна вибрати за графіком ближче до точки перетину.

приклад.Вирішення рівняння за допомогою функції rootпредставлено малюнку 3.1. Перед тим, як приступити до вирішення в системі MathCAD, у рівнянні все перенесемо в ліву частину. Рівняння набуде вигляду: .

Рис. 3.1. Вирішення рівняння за допомогою функції root

6. 2 Розв'язання рівнянь за допомогою ф ункці і Polyroots ( v )

Для одночасного знаходження всіх коренів полінома використовують функцію Polyroots(v), де v - вектор коефіцієнтів полінома, починаючи з вільного члена . Нульові коефіцієнти опускати не можна. На відміну від функції rootфункція Polyrootsне потребує початкового наближення.

Приклад. Вирішення рівняння за допомогою функції polyrootsпредставлено малюнку 3.2.

Рис. 3.2. Вирішення рівняння за допомогою функції polyroots

6. 3 Розв'язання рівнянь за допомогою функцііFind(x)

Функція Find (Знайти) працює у ключовій зв'язці із ключовим словом Given (Дано). Конструкція Given-Find

Якщо задано рівняння f(x) = 0, то його можна вирішити наступним чином за допомогою блоку Given - Find:

Задати початкове наближення

Ввести службове слово

Записати рівняння, використовуючи знак жирне одно

Написати функцію find з невідомою змінною як параметр

У результаті після знака і виведеться знайдений корінь.

Якщо існує кілька коренів, їх можна знайти, змінюючи початкове наближення х0 на близьке до шуканого кореня.

приклад.Рішення рівняння за допомогою функції find представлено малюнку 3.3.

Рис. 3.3. Вирішення рівняння за допомогою функції find

Іноді виникає потреба відзначити на графіку будь-які точки (наприклад, точки перетину функції з віссю Ox). Для цього необхідно:

· Вказати значення x даної точки (по осі Ох) та значення функції в цій точці (по осі Оy);

· двічі клацнути за графіком та у вікні форматування у вкладці Tracesдля відповідної лінії вибрати тип графіка - points, товщину лінії - 2 або 3.

приклад.На графіці зазначено точку перетину функції з віссю Ох. Координата хцієї точки було знайдено у попередньому прикладі: х= 2.742 (корінь рівняння ) (Рис. 3.4).

Рис. 3.4. Графік функції із зазначеною точкою перетину

У вікні форматування графіка у вкладці Tracesдля trace2 змінено: тип графіка - points, товщина лінії - 3, колір - чорний.

7. Вирішення систем рівнянь

7. 1 Вирішення систем лінійних рівнянь

Систему лінійних рівнянь можна вирішити м атричним методом (або через зворотну матрицю або використовуючи функцію lsolve(A,B)) та з використанням двох функцій Findта функції Minerr.

Матричний метод

приклад.Дана система рівнянь:

Вирішення даної системи рівнянь матричним методом представлено малюнку 4.1.

Рис. 4.1. Вирішення системи лінійних рівнянь матричним методом

Використання функціїlsolve(A, B)

Lsolve(A,B) - це вбудована функція, яка повертає вектор Х для системи лінійних рівнянь при заданій матриці коефіцієнтів А та векторі вільних членів .

Приклад. Дана система рівнянь:

Спосіб вирішення даної системи з використанням функції lsolve (A, B) наведено на малюнку 4.2.

Рис. 4.2. Вирішення системи лінійних рівнянь з використанням функції lsolve

Вирішення системи лінійних рівняньза допомогоюфункціїіFind

При цьому методі рівняння вводяться без використання матриць, тобто. у «натуральному вигляді». Попередньо необхідно вказати початкові наближення невідомих змінних. Це можуть бути будь-які числа, що входять до області визначення. Часто за них беруть стовпець вільних членів.

Для того, щоб вирішити систему лінійних рівнянь за допомогою обчислювального блоку Given - Find, необхідно:

2) запровадити службове слово Given;

жирне одно();

4) написати функцію Find,

приклад.Дана система рівнянь:

Вирішення даної системи за допомогою обчислювального блоку Given - Findнаведено малюнку 4.3.

Рис. 4.3. Вирішення системи лінійних рівнянь за допомогою функції Find

Наближене решение системи лінійних рівнянь

Вирішення системи лінійних рівнянь за допомогою функції Minerrаналогічно рішенню за допомогою функції Find(використовується той же алгоритм), тільки функція Findдає точне рішення, а Minerr- Наближене. Якщо результат пошуку не може бути отримано подальше уточнення поточного наближення до рішення, Minerrповертає це наближення. Функція Findу цьому випадку повертає повідомлення про помилку.

· Можна підібрати інше початкове наближення.

· Можна збільшити або зменшити точність розрахунків. Для цього в меню вибрати Math > Options(Математика - Опції), вкладка Built- InVariables(Вбудовані змінні). У вкладці необхідно зменшити допустиму похибку обчислень (Convergence Tolerance (TOL)). За промовчанням TOL = 0.001.

Вніманія. При матричному методі вирішення необхідно переставити коефіцієнти відповідно до зростання невідомих х 1, х 2, х 3, х 4.

7. 2 Вирішення систем нелінійних рівнянь

Системи нелінійних рівнянь у MathCAD вирішуються за допомогою обчислювального блоку Given - Find.

Конструкція Given - Findвикористовує розрахункову методику, засновану на пошуку кореня поблизу точки початкового наближення, заданої користувачем.

Для вирішення системи рівнянь за допомогою блоку Given - Findнеобхідно:

1) задати початкові наближення всім змінних;

2) запровадити службове слово Given;

3) записати систему рівнянь, використовуючи знак жирне одно();

4) написати функцію Find, перерахувавши невідомі змінні як параметри функції.

Через війну розрахунків виведеться вектор рішення системи.

Якщо система має кілька рішень, алгоритм слід повторити коїться з іншими початковими наближеннями.

Примітка. Якщо вирішується система із двох рівнянь із двома невідомими, перед рішенням бажано побудувати графіки функцій, щоб перевірити, чи є коріння у системи (чи перетинаються графіки заданих функцій), і якщо є, то скільки. Початкове наближення можна вибрати за графіком ближче до точки перетину.

Приклад. Дана система рівнянь

Перед розв'язанням системи побудуємо графіки функцій: параболи (перше рівняння) та прямий (друге рівняння). Побудова графіка прямої та параболи в одній системі координат наведено на малюнку 4.5:

Рис. 4.5. Побудова графіка двох функцій у одній системі координат

Пряма і парабола перетинаються у двох точках, отже система має два рішення. За графіком вибираємо початкові наближення невідомих xі yдля кожного рішення. Знаходження коріння системи рівнянь представлено малюнку 4.6.

Рис. 4.6. Знаходження коріння системи нелінійних рівнянь

Для того щоб відзначити на графіку точки перетину параболи і прямої, координати точок, знайдені при вирішенні системи, введемо по осі Ох (значення х ) та по осі Оу (значення у ) через кому. У вікні форматування графіка у вкладці Tracesдля trace3 і trace4 змінимо: тип графіка - points, товщина лінії - 3, колір - чорний (рис. 4.7).

Рис. 4.7. Графіки функцій із зазначеними точками перетину

8 . Приклади використання основних можливостей MathCAD для вирішення деяких математичних завдань

У цьому розділі наведено приклади розв'язання задач, для вирішення яких необхідно вирішити рівняння або систему рівнянь.

8. 1 Знаходження локальних екстремумів функцій

Необхідна умова екстремуму (максимуму та/або мінімуму) безперервної функції формулюється так: екстремуми можуть мати місце тільки в тих точках, де похідна або дорівнює нулю, або не існує (зокрема, звертається до нескінченності). Для знаходження екстремумів безперервної функції спочатку знаходять точки, що задовольняють необхідній умові, тобто знаходять все дійсне коріння рівняння.

Якщо побудований графік функції, можна відразу побачити -- максимум чи мінімум досягається у цій точці х. Якщо графіка немає, то кожен із знайдених коренів досліджують одним із способів.

1-й з посібників . З рівняння е знаків похідної . Визначають знак похідної околиці точки (у точках, що віддалені від екстремуму функції з різних боків на невеликих відстанях). Якщо знак похідної у своїй змінюється від «+» до «-», то цій точці функція має максимум. Якщо знак змінюється від «-» до «+» , то ця функція має мінімум. Якщо знак похідної змінюється, то екстремумів немає.

2-й з посібників . В вирахуй е другий похідний . І тут обчислюється друга похідна у точці екстремуму. Якщо вона менша за нуль, то в даній точці функція має максимум, якщо вона більша за нуль, то мінімум.

Приклад. Знаходження екстремумів (мінімумів/максимумів) функції.

Спочатку збудуємо графік функції (рис. 6.1).

Рис. 6.1. Побудова графіка функції

Визначимо за графіком початкові наближення значень х, що відповідають локальним екстремумам функції f(x). Знайдемо ці екстремуми, розв'язавши рівняння. Для вирішення використовуємо блок Given – Find (рис. 6.2.).

Рис. 6.2. Знаходження локальних екстремумів

Визначимо вид екстремумів першним способом, Досліджуючи зміну знака похідної на околиці знайдених значень (рис. 6.3).

Рис. 6.3. Визначення виду екстремуму

З таблиці значень похідної та з графіка видно, що знак похідної на околиці точки x 1 змінюється з плюсу на мінус, тому у цій точці функція досягає максимуму. А на околиці точки x 2 знак похідної змінився з мінусу на плюс, тому в цій точці функція досягає мінімуму.

Визначимо вид екстремумів другним способом, обчислюючи знак другої похідної (рис. 6.4)

Рис. 6.4. Визначення виду екстремуму за допомогою другої похідної

Видно, що у точці x 1 друга похідна менша за нуль, значить, точка х 1 відповідає максимуму функції. А в точці x 2 друга похідна більша за нуль, значить, точка х 2 відповідає мінімуму функції.

8.2 Визначення площ фігур, обмежених безперервними лініями

Площа криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції f(x) , відрізком на осі Ox та двома вертикалями х = аі х = b, a < b, визначається за такою формулою: .

Приклад. Знаходження площі фігури, обмеженої лініями f(x) = 1 - x 2 та y = 0.

Рис. 6.5. Знаходження площі фігури, обмеженої лініями f(x) = 1 - x 2 та y = 0

Площа фігури, укладеної між графіками функцій f1(x) і f2(x) та прямими х = аі х = b, обчислюється за такою формулою:

Увага. Щоб уникнути помилок при обчисленні площі, функцію треба брати за модулем. Таким чином, площа завжди буде позитивною величиною.

Приклад. Знаходження площі фігури, обмеженої лініями та. Рішення представлене малюнку 6.6.

1. Будуємо графік функцій.

2. Знаходимо точки перетину функції за допомогою функції root. Початкові наближення визначимо за графіком.

3. Знайдені значення x підставляємо у формулу як межі інтегрування.

8. 3 Побудова кривих за заданими точками

Побудова прямої, що проходить через дві задані точки

Для складання рівняння прямої, що проходить через дві точки А( x 0,y 0) і B( x 1,y 1), пропонується наступний алгоритм:

1. Пряма задається рівнянням y = ax + b,

де aі b- Коефіцієнти прямої, які нам потрібно знайти.

2. Ця система є лінійною. У ній дві невідомі змінні: aі b

приклад.Побудова прямої, що проходить через точки А(-2,-4) та В(5,7).

Підставимо в рівняння прямої координати даних точок та отримаємо систему:

Рішення цієї системи в MathCAD представлене малюнку 6.7.

Рис. 6.7.Рішення системи

В результаті вирішення системи отримуємо: а = 1.57, b= -0.857. Значить, рівняння прямої матиме вигляд: y = 1.57x– 0.857. Побудуємо цю пряму (рис. 6.8).

Рис. 6.8. Побудова прямої

Побудова параболи, проходить через три задані точки

Для побудови параболи, що проходить через три точки А( x 0,y 0), B( x 1,y 1) і C( x 2,y 2), алгоритм наступний:

1. Парабола задається рівнянням

y = ax 2 + bх + з, де

а, bі з- Коефіцієнти параболи, які нам потрібно знайти.

Підставляємо в це рівняння задані координати точок та отримуємо систему:

.

2. Ця система є лінійною. У ній три невідомі змінні: a, bі з. Систему можна вирішити матричним способом.

3. Отримані коефіцієнти підставляємо в рівняння та будуємо параболу.

приклад.Побудова параболи, що проходить через точки А(-1,-4), B(1,-2) та C(3,16).

Підставляємо в рівняння параболи задані координати точок та отримуємо систему:

Розв'язання цієї системи рівнянь у MathCAD представлене малюнку 6.9.

Рис. 6.9. Вирішення системи рівнянь

В результаті отримано коефіцієнти: a = 2, b = 1, c= -5. Отримуємо рівняння параболи: 2 x 2 +x -5 = y. Побудуємо цю параболу (рис. 6.10).

Рис. 6.10. Побудова параболи

Побудова кола, що проходить через три задані точки

Для побудови кола, що проходить через три точки А( x 1,y 1), B( x 2,y 2) та C( x 3,y 3), можна скористатися наступним алгоритмом:

1. Окружність задається рівнянням

,

де x0, y0 - координати центру кола;

R - радіус кола.

2. Підставимо в рівняння кола задані координати точок та отримаємо систему:

.

Ця система є нелінійною. У ній три невідомі змінні: x 0, y 0 і R. Система вирішується із застосуванням обчислювального блоку Given - Find.

Приклад. Побудова кола, що проходить через три точки А(-2,0), B(6,0) та C(2,4).

Підставимо в рівняння кола задані координати точок та отримаємо систему:

Рішення системи MathCAD представлене малюнку 6.11.

Рис. 6.11. Рішення системи

В результаті вирішення системи отримано: x 0 = 2, y 0 = 0, R = 4. Підставимо отримані координати центру кола та радіус у рівняння кола. Отримаємо: . Висловимо звідси y і побудуємо коло (рис. 6.12).

Рис. 6.12. Побудова кола

Подібні документи

Використання ранжованих змінних у програмному пакеті Mathcad. Створення матриць без використання шаблонів матриць, опис операторів для роботи з векторами та матрицями. Вирішення систем лінійних та нелінійних рівнянь за допомогою функцій Mathcad.

контрольна робота , доданий 06.03.2011


Загальний вигляд вікна MathCad, меню панелі інструментів програми, що досліджується. Документ MathCad, його загальна характеристика та методи редагування. Поділ областей та контекстне меню, вирази. Визначення дискретного аргументу, змінних та констант.

презентація , доданий 29.09.2013


Поняття математичної моделі та моделювання. Загальні відомості про систему MathCad. Структурний аналіз завдання у MathCAD. Режим безперервних символьних перетворень. Оптимізація чисельних вкладок через символьні перетворення. Розрахунок опорної реакції.

курсова робота , доданий 06.03.2014


Призначення та склад системи MathCAD. Основні об'єкти вхідної мови та мови реалізації. Характеристика елементів інтерфейсу користувача, налаштування складу панелей інструментів. Завдання лінійної алгебри та вирішення диференціальних рівнянь у MathCAD.

курс лекцій, доданий 13.11.2010


Загальна інформація про систему Mathcad. Вікно програми Mathcad та панелі інструментів. Обчислення функцій алгебри. Інтерполяція функцій кубічними сплайнами. Обчислення квадратного кореня. Аналіз чисельного диференціювання та інтегрування.

курсова робота , доданий 25.12.2014


Вивчення структури робочого документа MathCad – програми, призначеної для автоматизації математичних розрахунків. Робота зі змінними, функціями та матрицями. Застосування MathCad для побудови графіків, розв'язання рівнянь та символьних обчислень.

презентація , доданий 07.03.2013


Поняття математичної моделі, властивості та класифікація. Характеристика елементів системи Mathcad. Алгоритмічний аналіз задач: опис математичної моделі, графічна схема алгоритму. Реалізація базової моделі та опис досліджень MathCAD.

реферат, доданий 20.03.2014


Mathcad та його основні поняття. Можливості та функції системи в матричних обчисленнях. Найпростіші операції із матрицями. Вирішення систем лінійних рівнянь алгебри. Власний вектор. Розкладання Холецького. Елементарна теорія лінійних операторів.

курсова робота , доданий 25.11.2014


Основні елементи системи MathCAD, огляд її можливостей. Інтерфейс системи, концепція побудови документа. Типи даних, вхідна мова системи. Класифікація стандартних функций. Графічні можливості системи MathCAD. Вирішення рівнянь системи.

курс лекцій, доданий 01.03.2015


Ознайомлення з текстовими редакторами Windows. Настроювання редактора Microsoft Word. Розробка документів MS Excel. Створення Web-сторінок серед MS Word. Побудова кадрів. Керування параметрами шрифту. Побудова графіків у математичному пакеті MathCad.