Вступ. Обробка результатів вимірювань у фізичному практикумі вимірювання та похибки вимірювань Аналіз результатів прямих вимірювань

Випадкові похибки мають такі властивості.

При велику кількість вимірів однакові за величиною, але протилежні за знаком похибки зустрічаються однаково часто.

Великі за величиною похибки трапляються з меншою ймовірністю, ніж малі. Зі співвідношень (1), переписавши їх у вигляді

Х = х 1 + х 1

Х = х 2 + х 2

Х = х n + х n

і склавши стовпчиком, можна визначити справжнє значення вимірюваної величини так:

або
.

(2)

тобто. істинне значення вимірюваної величини дорівнює середньому арифметичному значенню результатів вимірювань, якщо їх безліч. При обмеженому, а тим більше при невеликій кількості вимірів, з якими ми маємо справу практично, рівність (2) носить наближений характер.

Нехай у результаті кількох вимірювань отримані наступні значення вимірюваної величини Х: 134; 13,2; 13,3; 13,4; 13,3; 13,2; 13,1; 13,3; 13,3; 13,2; 13,3; 13,1. Побудуємо діаграму розподілу цих результатів, відкладаючи по осі абсцис показання приладу порядку їх зростання. Відстань між сусідніми точками по осі абсцис дорівнює подвоєній максимальній помилці відліку по приладі. У нашому випадку відлік зроблено до 0,1. Цьому і одно розподіл шкали, нанесеної на вісь абсцис. По осі ординат відкладаємо величини, пропорційні відносного числа результатів, що відповідають тому чи іншому показанню приладу. Відносне число, або відносну частоту результатів, рівних х до, будемо позначати W (х к). У нашому випадку

Кожному х до ставимо у відповідність

(3)

де А – коефіцієнт пропорційності.

Діаграма, яку називають гістограмою, відрізняється від звичайного графіка тим, що точки не з'єднані плавною кривою ліній, а через них проведено сходи. Очевидно, що площа сходинки над деяким значенням х до пропорційна відносної частоти появи цього результату. Вибираючи відповідним чином коефіцієнт пропорційності у виразі (3), можна цю площу зробити рівною відносною частотою появи результату х к. Тоді сума площ усіх сходинок, як сума відносних частот всіх результатів, повинна дорівнювати одиниці

Звідси знаходимо А=10. Умова (4) називається умовою нормування функції (3).

Якщо виробляти серії вимірювань по nвимірювань у кожній серії, то при невеликому відносні частоти одного і того ж значення х k , знайдені з різних серій, можуть значно відрізнятися один від одного. У міру збільшення числа вимірювань у серіях коливання у значеннях W(x k) зменшуються і ці значення наближаються до деякого постійного числа, яке називається ймовірністю результату х до і позначається Р(х к).

Припустимо, що, роблячи досвід, ми не відраховуємо результат до цілих поділів шкали або їх часток, а можемо фіксувати ту точку, де зупинилася стрілка. Тоді при необмежено великому числі вимірів стрілка побуває у кожній точці шкали. Розподіл результатів вимірювань набуває в цьому випадку безперервного характеру і замість ступінчастої гістограми описується безперервною кривою y=f(x). З властивостей випадкових похибок можна зробити висновок, що крива має бути симетрична і, отже, максимум її посідає середнє арифметичне значення результатів вимірювань, рівне істинному значенню вимірюваної величини. У разі безперервного розподілу результатів вимірів не має

сенсу говорити про можливість якогось – або з їх значень, т.к. є значення, як завгодно близькі до аналізованого. Тепер слід ставити питання про можливість зустріти при вимірах результат у певному інтервалі біля значення х до, рівному
,
. Подібно до того як на гістограмі відносна частота результату х дорівнювала площі сходинки, побудованої над цим результатом, на графіку для безперервного розподілу ймовірність знаходження результату в інтервалі (
,
), дорівнює площі криволінійної трапеції, побудованої над цим інтервалом та обмеженою кривоюf(x). Математичний запис цього результату має вигляд

якщо
мало, тобто. площа заштрихованої криволінійної трапеції замінюється приблизно площею прямокутника з тією самою основою і висотою, що дорівнює f(х к). Функцію f(х) називають щільністю ймовірності розподілу результатів вимірів. Можливість визначити х на певному інтервалі дорівнює щільності ймовірності для даного інтервалу, помноженої на його довжину.

Крива розподілу результатів вимірювань, отримана експериментально для деякої ділянки шкали приладу, якщо її продовжити, асимптотично наближаючи ліворуч і праворуч до осі абсцис, аналітично добре описується функцією виду

(5)

Подібно до того як сумарна площа всіх сходинок на гістограмі дорівнювала одиниці, вся площа між кривою f(х) і віссю абсцис, що має сенс ймовірності зустріти при вимірах будь-яке значення х, теж дорівнює одиниці. Розподіл, який описується цією функцією, називається нормальним розподілом. Основний параметр нормального розподілу – дисперсія 2 . Наближене значення дисперсії можна знайти з результатів вимірювань за формулою

(6)

Ця формула дає близьке до дійсного значення дисперсії лише за великої кількості вимірів. Наприклад, знайдене за результатами 100 вимірювань 2 може мати відхилення від дійсного значення 15%, знайдене за 10 вимірюванням вже 40%. Дисперсія визначає вид кривій нормального розподілу. Коли випадкові похибки малі, дисперсія, як випливає з (6), невелика. Криваяf(х) у разі вже й гостріше поблизу істинного значення Х і швидше прагне нулю при віддаленні від цього, ніж при великих похибках. Наступний рисунок покаже, як змінюється вид кривоїf(х) для нормального розподілу залежно від σ.

Теоретично ймовірностей доводиться, що й розглядати не розподіл результатів вимірів, а розподіл середніх арифметичних значень, знайдених із серії по nвимірювань у кожної серії, воно теж підпорядковується нормальному закону, але з дисперсією, враз меншою.

Ймовірність знаходження результату вимірювань у певному інтервалі (
) близько істинного значення вимірюваної величини дорівнює площі криволінійної трапеції, побудованої над цим інтервалом і обмеженою зверху кривою f (x). Величину інтервалу
прийнято вимірювати в одиницях, пропорційних кореню квадратному з дисперсії
Залежно від величиниkна інтервал
припадає криволінійна трапеція більшої чи меншої площі, тобто.

де F(k) – деяка функція від. Обчислення показують, що при

k=1,

k=2,

k=3,

Звідси видно, що на інтервалі
припадає приблизно 95% площі під кривою (x). Цей факт у повній відповідності з другим властивістю випадкових похибок, які стверджує, що великі за величиною похибки малоймовірні. Похибки, що перевищують за величиною
, зустрічається з ймовірністю меншою за 5%. Переписане для розподілу середнього арифметичного значення вимірів (7) набуває вигляду

(8)

Величина в (7) та (8) може бути визначена на підставі результатів вимірювань тільки приблизно за формулою (6)

Підставивши це значення у вираз (8), ми отримаємо праворуч вже не F(k), а якусь нову функцію, що залежить не тільки від величини розглянутого інтервалу значень Х, але й від кількості вироблених вимірювань
Причому

т.к. лише за дуже великому числі вимірів формула (6) стає досить точною.

Розв'язавши систему двох нерівностей, що стоять у дужці в лівій частині цього виразу щодо справжнього значення Х, можемо переписати його у вигляді

Вираз (9) визначає ймовірність, з якою справжнє значення Х знаходиться в певному інтервалі завдовжки біля значення . Ця ймовірність теорії помилок називається надійністю, а відповідний їй інтервал для справжнього значення – довірчим інтервалом. Функція
розрахована залежно від t n і ni для неї складена докладна таблиця. Таблиця має 2 входи: по n і поn. З її допомогою для даного числа вимірювань можна знайти, задаючись певною величиною надійності Р, значення величини t n, званої коефіцієнтом Стьюдента.

Аналіз таблиці показує, що з певного числа вимірів з вимогою зростання надійності отримуємо зростаючі значення t n , тобто. збільшення довірчого інтервалу. Надійності, що дорівнює одиниці, відповідав би довірчий інтервал, що дорівнює нескінченності. Задаючись певною надійністю, ми можемо зробити довірчий інтервал для істинного значення більш вузьким, збільшуючи кількість вимірювань, тому що S n при цьому незначно змінюється, а зменшується і рахунок зменшення чисельника, і рахунок збільшення знаменника. Виробивши достатню кількість дослідів, можна зробити довірчий інтервал будь-якої малої величини. Але при більшому подальше збільшення кількості дослідів дуже повільно зменшує довірчий інтервал, а кількість обчислювальної роботи набагато зростає. Іноді в практичній роботі зручно користуватися наближеним правилом: щоб зменшити довірчий інтервал, знайдений за невеликим числом вимірювань, у кілька разів потрібно збільшити кількість вимірювань у стільки ж разів.

ПРИКЛАД ОБРОБКИ РЕЗУЛЬТАТІВ ПРЯМИХ ВИМІР

Візьмемо як досвідчені дані три перші результати з 12, за якими будувалася гістограма Х: 13,4; 13,2; 13,3.

Задамося надійністю, яка зазвичай прийнята у навчальній лабораторії, Р = 95%. З таблиці для Р = 0,95 та n = 3 знаходимо t n = 4,3.

або

із надійністю 95%. Останній результат прийнято записувати у вигляді рівності

Якщо довірчий інтервал такої величини не влаштовує (наприклад, коли приладова похибка дорівнює 0,1), і ми хочемо зменшити його вдвічі, слід збільшити кількість вимірів вдвічі.

Якщо взяти, наприклад, останні 6 значень із тих самих 12 результатів (для перших шести пропонується зробити розрахунок самим)

Х: 13,1; 13,3; 13,3; 13,2; 13,3; 13,1,

то

Значення коефіцієнта t n знаходимо з таблиці для Р = 0,95 та n = 6; t n = 2,6.

В цьому випадку
Зобразимо на числової осі довірчий інтервал для справжнього значення першому і другому випадках.

Інтервал, розрахований за 6 вимірами, знаходиться, як і слід очікувати, всередині інтервалу, знайденого за трьома вимірами.

Приладова похибка вносить результати систематичну помилку, яка розширює зображені на осі довірчі інтервали на 0,1. Тому записані з урахуванням приладової похибки результати мають вигляд

1)
2)

У випадку порядок обробки результатів прямих вимірів наступний (передбачається, що систематичних помилок немає).

Випадок 1.Число вимірів менше п'яти.

1) За формулою (6) перебуває середній результат x, Який визначається як середнє арифметичне від результатів всіх вимірювань, тобто.

2) За формулою (12) обчислюються абсолютні похибки окремих вимірів

.

3) За формулою (14) визначається середня абсолютна похибка

.

4) За формулою (15) обчислюють середню відносну похибку результату вимірювань

.

5) Записують остаточний результат за такою формою:

, при
.

Випадок 2. Число вимірів понад п'ять.

1) За формулою (6) перебуває середній результат

.

2) За формулою (12) визначаються абсолютні похибки окремих вимірів

.

3) За формулою (7) обчислюється середня квадратична похибка одиничного виміру

.

4) Обчислюється середнє відхилення для середнього значення вимірюваної величини за формулою (9).

.

5) Записується остаточний результат за наступною формою

.

Іноді випадкові похибки вимірювань можуть виявитися меншими за ту величину, яку може зареєструвати вимірювальний прилад (інструмент). У цьому випадку при будь-якій кількості вимірів виходить той самий результат. У подібних випадках як середня абсолютна похибка
приймають половину ціни поділу шкали приладу (інструменту). Цю величину іноді називають граничною або приладовою похибкою та позначають
(для ноніусних приладів та секундоміру
дорівнює точності приладу).

Оцінка достовірності результатів вимірів

У будь-якому експерименті кількість вимірювань фізичної величини завжди з тих чи інших причин обмежена. У зв'язку зцим може бути завдання оцінити достовірність отриманого результату. Іншими словами, визначити, з якою ймовірністю можна стверджувати, що припущена при цьому помилка не перевершує задану величину ε. Згадану можливість прийнято називати довірчою ймовірністю. Позначимо її літерою.

Може бути поставлене й обернене завдання: визначити межі інтервалу
, щоб із заданою ймовірністю можна було стверджувати, що дійсне значення вимірів величини не вийде межі зазначеного, так званого довірчого інтервалу.

Довірчий інтервал характеризує точність отриманого результату, а довірча ймовірність – його надійність. p align="justify"> Методи вирішення цих двох груп завдань є і особливо докладно розроблені для випадку, коли похибки вимірювань розподілені за нормальним законом. Теорія ймовірностей дає також методи визначення кількості дослідів (повторних вимірів), у яких забезпечується задана точність і надійність очікуваного результату. У цій роботі ці методи не розглядаються (обмежимося лише їхньою згадкою), тому що при виконанні лабораторних робіт подібні завдання зазвичай не ставляться.

Особливий інтерес, однак, представляє випадок оцінки достовірності результату вимірювань фізичних величин за дуже малого числа повторних вимірювань. Наприклад,
. Це саме той випадок, з яким часто зустрічаємося при виконанні лабораторних робіт з фізики. При вирішенні зазначеного роду завдань рекомендується використовувати метод, основу якого лежить розподіл (закон) Стьюдента.

Для зручності практичного застосування методу, що розглядається, є таблиці, за допомогою яких можна визначити довірчий інтервал
, що відповідає заданій довірчій ймовірності або вирішити зворотне завдання.

Нижче наведені частини згаданих таблиць, які можуть знадобитися при оцінці результатів вимірювань на лабораторних заняттях.

Нехай, наприклад, зроблено рівноточних (в однакових умовах) вимірів деякої фізичної величини та обчислено її середнє значення . Потрібно знайти довірчий інтервал , що відповідає заданій довірчій ймовірності . Завдання у вигляді вирішується так.

За формулою з врахуванням (7) обчислюють

Потім для заданих значень nта знаходять за таблицею (табл. 2) величину . Шукане значення обчислюється на основі формули

(16)

При вирішенні зворотного завдання спочатку обчислюють за формулою (16) параметр. Шукане значення довірчої ймовірності береться з таблиці (табл. 3) для заданого числа та обчисленого параметра .

Таблиця 2.Значення параметра при заданій кількості дослідів

та довірчої ймовірності

Таблиця 3Значення довірчої ймовірності при заданій кількості дослідів nта параметрі ε

Основні положення методів обробки результатів прямих вимірювань із багаторазовими спостереженнями визначено у ГОСТ 8.207-76.

За результат вимірювання приймають середнє арифметичне даних nспостережень, з яких виключені систематичні похибки. При цьому передбачається, що результати спостережень після виключення з них систематичних похибок належать нормальному розподілу. Для обчислення результату вимірювання слід з кожного спостереження виключити систематичну похибку і отримати в результаті виправлений результат i-го спостереження. Потім обчислюється середнє арифметичне цих виправлених результатів, яке приймається за результат виміру. Середнє арифметичне є заможною, незміщеною та ефективною оцінкою вимірюваної величини за нормального розподілу даних спостережень.

Слід зазначити, що іноді у літературі замість терміна результат спостереженняіноді застосовують термін результат окремого виміру, З якого виключені систематичні похибки. При цьому результат вимірювання в даній серії з декількох вимірювань розуміють середнє арифметичне значення. Це не змінює суті викладених нижче процедур обробки результатів.

При статистичній обробці груп результатів спостережень слід виконувати такі операції :

1. Виключити з кожного спостереження відому систематичну похибку та отримати виправлений результат окремого спостереження x.

2. Обчислити середнє арифметичне виправлені результати спостережень, що приймаються за результат вимірювання:

3. Обчислити оцінку середнього квадратичного відхилення

групи спостережень:

Перевірити наявність грубих похибок – чи немає значень, які виходять за межі ±3 S. При нормальному законі розподілів із ймовірністю, практично рівною 1 (0,997), жодне з значень цієї різниці не повинно вийти за вказані межі. Якщо вони є, то слід виключити з розгляду відповідні значення та наново повторити обчислення та оцінку S.

4. Обчислити оцінку СКО результату виміру (середнього

арифметичного)

5. Перевірити гіпотезу щодо нормальності розподілу результатів спостережень.

Існують різні наближені методи перевірки нормальності розподілу результатів спостережень. Деякі їх наведені в ГОСТ 8.207-76. При числі спостережень менше 15 відповідно до цього ГОСТ належність їх до нормального розподілу не перевіряють. Довірчі межі випадкової похибки визначають лише тому випадку, якщо заздалегідь відомо, що результати спостережень належать цьому розподілу. Наближено характер розподілу можна судити, побудувавши гістограму результатів спостережень. Математичні методи перевірки нормальності розподілу розглядаються у спеціальній літературі.

6. Обчислити довірчі межі e випадкової похибки (випадкової складової похибки) результату виміру

де t q- Коефіцієнт Стьюдента, що залежить від числа спостережень та довірчої ймовірності. Наприклад, при n= 14, P= 0,95 t q= 2,16. Значення цього коефіцієнта наведено у додатку до зазначеного стандарту.

7. Обчислити межі сумарної невиключеної систематичної похибки (НСП) результату вимірювань Q (за формулами розділу 4.6).

8. Проаналізувати співвідношення Q і:

Якщо , то НСП у порівнянні з випадковими похибками нехтують, і межа похибки результату D = e.Якщо > 8, то випадкову похибку можна знехтувати і межу похибки результату D =Θ . Якщо обидві нерівності не виконуються, то межу похибки результату знаходять шляхом побудови композиції розподілів випадкових похибок та НСП за формулою: , де До- Коефіцієнт, що залежить від співвідношення випадкової похибки та НСП; S å- Оцінка сумарного СКО результату вимірювання. Оцінку сумарного СКО обчислюють за такою формулою:

.

Коефіцієнт До обчислюють за емпіричною формулою:

.

Довірча ймовірність для обчислення і має бути однією і тією ж.

Похибка від застосування останньої формули для композиції рівномірного (НСП) і нормального (для випадкової похибки) розподілів досягає 12% при довірчій ймовірності 0,99.

9. Записати результати вимірювань. Написання результату вимірювань передбачено у двох варіантах, оскільки слід розрізняти вимірювання, коли отримання значення вимірюваної величини є кінцевою метою, та вимірювання, результати яких будуть використовуватися для подальших обчислень або аналізу.

У першому випадку досить знати загальну похибку результату вимірювання і при симетричній довірчій похибці результати вимірювань представляють у формі: , де

де – результат виміру.

У другому випадку повинні бути відомі характеристики складових похибки виміру - оцінка середнього квадратичного відхилення результату виміру, межі НВП, число виконаних спостережень. За відсутності даних про вид функцій розподілу складових похибки результату та необхідності подальшої обробки результатів або аналізу похибок, результати вимірювань подають у формі:

Якщо межі НВП обчислені відповідно до п.4.6, то додатково вказують довірчу ймовірність Р.

Оцінки і похідні від їх величини можуть бути виражені як в абсолютній формі, тобто в одиницях вимірюваної величини, так і відносної, тобто як відношення абсолютного значення даної величини до результату вимірювання. При цьому обчислення за формулами цього розділу слід проводити з використанням величин, виражених тільки в абсолютній або відносної формі.

Фізика - наука експериментальна, це означає, що фізичні закони встановлюються та перевіряються шляхом накопичення та зіставлення експериментальних даних. Мета фізичного практикуму полягає в тому, щоб студенти вивчили на досвіді основні фізичні явища, навчилися правильно вимірювати числові значення фізичних величин та зіставляти їх із теоретичними формулами.

Усі виміри можна розділити на два види – пряміі непрямі.

При прямихвимірювання значення шуканої величини безпосередньо виходить за показаннями вимірювального приладу. Так, наприклад, довжина вимірюється лінійкою, час за годинником і т.д.

Якщо фізична величина не може бути виміряна безпосередньо приладом, а за допомогою формули виражається через вимірювані величини, то такі вимірювання називаються непрямими.

Вимір будь-якої величини не дає абсолютно точного значення цієї величини. Кожен вимір завжди містить певну похибку (помилка). Помилкою називають різницю між виміряним та справжнім значенням.

Помилки прийнято ділити на систематичніі випадкові.

Систематичноїназивають помилку, яка залишається постійною протягом усієї серії вимірювань. Такі похибки обумовлені недосконалістю вимірювального інструменту (наприклад, зміщенням нуля приладу) або методом вимірювань і можуть бути, у принципі, виключені з кінцевого результату запровадженням відповідної поправки.

До систематичних помилок належать також похибка вимірювальних приладів. Точність будь-якого приладу обмежена і характеризується його класом точності, який зазвичай позначений на вимірювальній шкалі.

Випадковийназивається помилка, яка змінюється у різних дослідах і може бути і позитивною та негативною. Випадкові помилки обумовлені причинами, що залежать як від вимірювального пристрою (тертя, зазори, тощо), так і від зовнішніх умов (вібрації, коливання напруги в мережі тощо).

Випадкові помилки не можна виключити досвідченим шляхом, але їхній вплив на результат можна зменшити багаторазовими вимірами.

Обчислення похибки при прямих вимірах середнє значення та середня абсолютна помилка.

Припустимо, що ми проводимо серію вимірювань величини Х. Через наявність випадкових помилок отримуємо nрізних значень:

Х 1, Х 2, Х 3 … Х n

Як результат вимірювань зазвичай приймають середнє значення

Різниця між середнім значенням та результатом i –го виміру назвемо абсолютною помилкою цього виміру

Як міру помилки середнього значення можна прийняти середнє значення абсолютної помилки окремого виміру

(2)

Величина
називається середньою арифметичною (або середньою абсолютною) помилкою.

Тоді результат вимірювань слід записати як

(3)

Для характеристики точності вимірювань є відносна помилка, яку прийнято виражати у відсотках

(4)

У випадку порядок обробки результатів прямих вимірів наступний (передбачається, що систематичних помилок немає).

Випадок 1.Число вимірів менше п'яти.

x, Який визначається як середнє арифметичне від результатів всіх вимірювань, тобто.

2) За формулою (12) обчислюються абсолютні похибки окремих вимірів

3) За формулою (14) визначається середня абсолютна похибка

.

4) За формулою (15) обчислюють середню відносну похибку результату вимірювань

5) Записують остаточний результат за такою формою:

Випадок 2. Число вимірів понад п'ять.

1) За формулою (6) перебуває середній результат

2) За формулою (12) визначаються абсолютні похибки окремих вимірів

3) За формулою (7) обчислюється середня квадратична похибка одиничного виміру

.

4) Обчислюється середнє відхилення для середнього значення вимірюваної величини за формулою (9).

5) Записується остаточний результат за наступною формою

Іноді випадкові похибки вимірювань можуть виявитися меншими за ту величину, яку може зареєструвати вимірювальний прилад (інструмент). У цьому випадку при будь-якій кількості вимірів виходить той самий результат. У подібних випадках як середня абсолютна похибка приймають половину ціни поділу шкали приладу (інструменту). Цю величину іноді називають граничною або приладовою похибкою та позначають (для ноніусних приладів та секундоміра дорівнює точності приладу).

Оцінка достовірності результатів вимірів

У будь-якому експерименті кількість вимірювань фізичної величини завжди з тих чи інших причин обмежена. У зв'язку з цим може бути завдання оцінити достовірність отриманого результату. Іншими словами, визначити, з якою ймовірністю можна стверджувати, що припущена при цьому помилка не перевершує задану величину ε. Згадану можливість прийнято називати довірчою ймовірністю. Позначимо її літерою.

Може бути поставлена ​​й обернена задача: визначити межі інтервалу, щоб із заданою ймовірністю можна було стверджувати, що справжнє значення вимірів величини не вийде за межі зазначеного, так званого довірчого інтервалу.

Довірчий інтервал характеризує точність отриманого результату, а довірча ймовірність – його надійність. p align="justify"> Методи вирішення цих двох груп завдань є і особливо докладно розроблені для випадку, коли похибки вимірювань розподілені за нормальним законом. Теорія ймовірностей дає також методи визначення кількості дослідів (повторних вимірів), у яких забезпечується задана точність і надійність очікуваного результату. У цій роботі ці методи не розглядаються (обмежимося лише їхньою згадкою), тому що при виконанні лабораторних робіт подібні завдання зазвичай не ставляться.

Особливий інтерес, однак, представляє випадок оцінки достовірності результату вимірювань фізичних величин за дуже малого числа повторних вимірювань. Наприклад, . Це саме той випадок, з яким часто зустрічаємося при виконанні лабораторних робіт з фізики. При вирішенні зазначеного роду завдань рекомендується використовувати метод, основу якого лежить розподіл (закон) Стьюдента.

Для зручності практичного застосування аналізованого методу є таблиці, за допомогою яких можна визначити довірчий інтервал, що відповідає заданій довірчій ймовірності або вирішити обернену задачу.

Нижче наведені частини згаданих таблиць, які можуть знадобитися при оцінці результатів вимірювань на лабораторних заняттях.

Нехай, наприклад, здійснено рівноточних (в однакових умовах) вимірювань деякої фізичної величини та обчислено її середнє значення. Потрібно знайти довірчий інтервал, що відповідає заданій довірчій ймовірності. Завдання у вигляді вирішується так.

За формулою з врахуванням (7) обчислюють

Потім для заданих значень nі знаходять за таблицею (табл. 2) величину. Шукане значення обчислюється на основі формули

При вирішенні зворотного завдання спочатку обчислюють за формулою (16) параметр . Шукане значення довірчої ймовірності береться з таблиці (табл. 3) для заданого числа та обчисленого параметра.

Таблиця 2.Значення параметра при заданій кількості дослідів

та довірчої ймовірності

n	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0.98	0,99	0.995	0,999
	1,000	1,376	1,963	3,08	6,31	12,71	31,8	63,7	127,3	637,2
	0,816	1,061	1,336	1,886	2,91	4,30	6,96	9,92	14,1	31,6
	0,765	0,978	1,250	1,638	2,35	3,18	4,54	5,84	7,5	12,94
	0,741	0,941	1,190	1,533	2,13	2,77	3,75	4,60	5,6	8,61
	0,727	0,920	1,156	1,476	2,02	2,57	3,36	4,03	4,77	6,86
	0.718	0,906	1,134	1,440	1,943	2,45	3,14	3,71	4,32	5,96
	0,711	0,896	1,119	1,415	1,895	2,36	3,00	3,50	4,03	5,40
	0,706	0,889	1,108	1,397	1,860	2,31	2,90	3,36	3,83	5,04
	0,703	0,883	1,110	1,383	1,833	2,26	2,82	3,25	3,69	4,78

Таблиця 3Значення довірчої ймовірності при заданій кількості дослідів nта параметрі ε

n		2,5		3,5
	0,705	0,758	0,795	0,823
	0,816	0,870	0,905	0,928
	0,861	0,912	0,942	0,961
	0,884	0,933	0,960	0,975
б	0,898	0,946	0,970	0,983
	0,908	0,953	0,976	0,987
	0,914	0,959	0,980	0,990
	0,919	0.963	0,983	0,992
	0,923	0,969	0,985	0,993

Обробка результатів непрямих вимірів

Дуже рідко зміст лабораторної роботи чи наукового експерименту зводиться отримання результату прямого виміру. Здебільшого шукана величина є функцією кількох інших величин.

Завдання обробки дослідів при непрямих вимірах полягає в тому, щоб на підставі результатів прямих вимірювань деяких величин (аргументів), пов'язаних з шуканою величиною певною функціональною залежністю, обчислити найбільш ймовірне значення шуканої величини і оцінити похибку непрямих вимірювань.

Існує кілька способів обробки непрямих вимірів. Розглянемо такі два способи.

Нехай методом непрямих вимірів визначається деяка фізична величина.

Результати прямих вимірів її аргументів х, у, z наведено у табл. 4.

Таблиця 4

Номер досвіду	x	y	z	…
				…
				…
…	…	…	…	…
…	…	…	…	…
…	…	…	…	…
n				…

Перший спосіб обробки результатів ось у чому. За допомогою розрахункової (17) формули обчислюють потрібну величину за результатами кожного досвіду

(17)

Описаний спосіб обробки результатів застосовується, в принципі, у всіх без винятку випадках непрямих вимірів. Однак найбільш доцільно застосовувати його тоді, коли число повторних вимірювань аргументів невелике, а розрахункова формула непрямо вимірюваної величини порівняно проста.

При другому способі обробки результатів дослідів спочатку обчислюють, використовуючи результати прямих вимірювань (табл. 4), середні арифметичні значення кожного аргументів, а також похибки їх вимірювання. Підставивши , , ,... розрахункову формулу (17), визначають найбільш ймовірне значення вимірюваної величини

(17*)