Як визначити координати вектора. Вектори для чайників

Нарешті у мене дісталися руки до великої та довгоочікуваної теми. аналітичної геометрії. Спочатку трохи про цей розділ вищої математики. Напевно, вам зараз згадався курс шкільної геометрії з численними теоремами, їх доказами, кресленнями тощо. Що приховувати, зненавиджений і часто малозрозумілий предмет для значної частки учнів. Аналітична геометрія, як не дивно, може здатися більш цікавою та доступною. Що означає прикметник «аналітична»? На думку відразу приходять два штамповані математичні обороти: «графічний метод рішення» та «аналітичний метод рішення». Графічний метод, Зрозуміло, пов'язані з побудовою графіків, креслень. Аналітичнийж методпередбачає вирішення завдань переважноза допомогою алгебраїчних процесів. У зв'язку з цим алгоритм розв'язання практично всіх завдань аналітичної геометрії простий і прозорий, часто досить акуратно застосувати потрібні формули – і відповідь готова! Ні, звичайно, зовсім без креслень тут не обійдеться, до того ж для кращого розуміння матеріалу я намагатимусь наводити їх понад необхідність.

Відкривається курс уроків з геометрії не претендує на теоретичну повноту, він орієнтований рішення практичних завдань. Я включу у свої лекції тільки те, що, на мій погляд, є важливим у практичному плані. Якщо вам потрібна повна довідка по якомусь підрозділу, рекомендую наступну цілком доступну літературу:

1) Річ, з якою, без жартів, знайомо кілька поколінь: Шкільний підручник з геометрії, автори – Л.С. Атанасян та Компанія. Ця вішалка шкільної роздягальні вже витримала 20 (!) перевидань, що, звичайно, не є межею.

2) Геометрія у 2 томах. Автори Л.С. Атанасян, Базильов В.Т. Це література для вищої школи, вам знадобиться перший том. З мого поля зору можуть випадати завдання, що рідко зустрічаються, і навчальний посібник надасть неоціненну допомогу.

Обидві книги можна завантажити безкоштовно в Інтернеті. Крім того, можете використовувати мій архів із готовими рішеннями, який можна знайти на сторінці Завантажити приклади з вищої математики.

З інструментальних засобів пропоную знову ж таки власну розробку – програмний комплексз аналітичної геометрії, який значно спростить життя та заощадить масу часу.

Передбачається, що читач знайомий з базовими геометричними поняттями та фігурами: точка, пряма, площина, трикутник, паралелограм, паралелепіпед, куб тощо. Бажано пам'ятати деякі теореми, хоча б теорему Піфагора, привіт другорічникам)

Нині ж ми послідовно розглянемо: поняття вектора, дії з векторами, координати вектора. Далі рекомендую прочитати найважливішу статтю Скалярний добуток векторів, а також і Векторний та змішаний твір векторів. Не зайвою буде і локальне завдання - Розподіл відрізка в цьому відношенні. На основі вищезгаданої інформації можна освоїти рівняння прямої на площиніз найпростішими прикладами рішеньщо дозволить навчитися вирішувати завдання з геометрії. Також корисні такі статті: Рівняння площини у просторі, Рівняння прямої у просторі, Основні завдання на пряму та площину, інші розділи аналітичної геометрії. Природно, принагідно розглядатимуть типові завдання.

Концепція вектор. Вільний вектор

Спочатку повторимо шкільне визначення вектора. Векторназивається спрямованийвідрізок, для якого вказано його початок та кінець:

У разі початком відрізка є точка , кінцем відрізка – точка . Сам вектор позначений через . Напряммає важливе значення, якщо переставити стрілку в інший кінець відрізка, то вийде вектор , і це вже зовсім інший вектор. Поняття вектора зручно ототожнювати з рухом фізичного тіла: погодьтеся, зайти в двері інституту або вийти з дверей інституту – це різні речі.

Окремі точки площини, простору зручно вважати так званим нульовим вектором. У такого вектора кінець і початок збігаються.

!!! Примітка: Тут і далі можете вважати, що вектори лежать в одній площині або можете вважати, що вони розташовані в просторі - суть матеріалу, що викладається, справедлива і для площини і для простору.

Позначення:Багато хто відразу звернув увагу на паличку без стрілочки в позначенні і сказав, там же зверху ще стрілку ставлять! Правильно, можна записати зі стрілкою: , але допустима і запис , який я використовуватиму надалі. Чому? Мабуть, така звичка склалася з практичних міркувань, надто різнокаліберними та волохатими виходили мої стрілки у школі та ВНЗ. У навчальній літературі іноді взагалі не морочаться клинописом, а виділяють букви жирним шрифтом: , маючи на увазі тим самим, що це вектор.

То була стилістика, а зараз про способи запису векторів:

1) Вектори можна записати двома великими латинськими літерами:
і так далі. При цьому перша літера обов'язковопозначає точку-початок вектора, а друга літера - точку-кінець вектора.

2) Вектори також записують маленькими латинськими літерами:
Зокрема, наш вектор можна для стислості перепозначити маленькою латинською літерою.

Довжиноюабо модулемненульового вектора називається довжина відрізка. Довжина нульового вектора дорівнює нулю. Логічно.

Довжина вектора позначається знаком модуля: ,

Як знаходити довжину вектора ми дізнаємося (або повторимо, для кого як) трохи згодом.

Це були елементарні відомості про вектор, знайомі всім школярам. В аналітичній геометрії розглядається так званий вільний вектор.

Якщо дуже просто – вектор можна відкласти від будь-якої точки:

Такі вектори ми звикли називати рівними (визначення рівних векторів буде дано нижче), але чисто з математичної точки зору це ОДИН І ТОЙ Ж ВЕКТОР або вільний вектор. Чому вільний? Тому що в ході вирішення завдань ви можете «прилаштувати» той чи інший «шкільний» вектор у БУДЬ-ЯКУ, потрібну вам точку площини чи простору. Це дуже крута властивість! Уявіть спрямований відрізок довільної довжини та напрямки – його можна «клонувати» нескінченну кількість разів і в будь-якій точці простору, по суті, він існує СКРІЗЬ. Є така студентська приказка: Кожному лектору в ж**у по вектору. Адже не просто дотепна рима, все майже коректно – спрямований відрізок можна влаштувати і туди. Але не поспішайте радіти, частіше страждають самі студенти.

Отже, вільний вектор– це безліч однакових спрямованих відрізків. Шкільне визначення вектора, дане на початку параграфа: «Вектором називається спрямований відрізок…», має на увазі конкретнийспрямований відрізок, взятий з цієї множини, який прив'язаний до певної точки площини або простору.

Слід зазначити, що з погляду фізики поняття вільного вектора у випадку некоректно, і точка застосування має значення. Дійсно, прямий удар однакової сили по носі або по лобі вистачить розвивати мій безглуздий приклад спричиняє різні наслідки. Втім, невільнівектори зустрічаються і в курсі вышмата (не ходіть туди:)).

Дії з векторами. Колінеарність векторів

У шкільному курсі геометрії розглядається ряд дій та правил із векторами: додавання за правилом трикутника, додавання за правилом паралелограма, правило різниці векторів, множення вектора на число, скалярний добуток векторів та ін.Для затравки повторимо два правила, які особливо актуальні на вирішення завдань аналітичної геометрії.

Правило складання векторів за правилом трикутників

Розглянемо два довільні ненульові вектори і :

Потрібно знайти суму даних векторів. Через те, що всі вектори вважаються вільними, відкладемо вектор від кінцявектор :

Сумою векторів і є вектор. Для кращого розуміння правила в нього доцільно вкласти фізичний зміст: нехай деяке тіло зробило шлях вектором, а потім вектором. Тоді сума векторів є вектором результуючого шляху з початком у точці відправлення і кінцем у точці прибуття. Аналогічне правило формулюється для будь-якої кількості векторів. Як кажуть, тіло може пройти свій шлях сильно підданим по зигзагу, а може і на автопілоті - по результуючого вектора суми.

До речі, якщо вектор відкласти початкувектора , то вийде еквівалентне правило паралелограмадодавання векторів.

Спочатку про колінеарність векторів. Два вектори називаються колінеарнимиякщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. Грубо кажучи, йдеться про паралельні вектори. Але стосовно них завжди використовують прикметник «колінеарні».

Уявіть два колінеарні вектори. Якщо стрілки даних векторів спрямовані в однаковому напрямку, такі вектори називаються співспрямованими. Якщо стрілки дивляться в різні боки, вектори будуть протилежно спрямовані.

Позначення:колінеарність векторів записують звичним значком паралельності: при цьому можлива деталізація: (вектори сонаправлены) або (вектори спрямовані протилежно).

Творомненульового вектора число є такий вектор , довжина якого дорівнює , причому вектори і сонаправлены при і протилежно спрямовані при .

Правило множення вектора на число легко зрозуміти за допомогою малюнка:

Розбираємось детальніше:

1) Напрямок. Якщо множник негативний, то вектор змінює напрямокна протилежне.

2) Довжина. Якщо множник укладено в межах або , то довжина вектора зменшується. Так, довжина вектора вдвічі менша за довжину вектора . Якщо множник за модулем більше одиниці, то довжина вектора збільшуєтьсяв раз.

3) Зверніть увагу, що всі вектори колінеарніпри цьому один вектор виражений через інший, наприклад, . Назад теж справедливоЯкщо один вектор можна виразити через інший, то такі вектори обов'язково колінеарні. Таким чином: якщо ми множимо вектор на число, то вийде колінеарний(По відношенню до вихідного) вектор.

4) Вектори спрямовані. Вектори також співспрямовані. Будь-який вектор першої групи протилежно спрямований стосовно будь-якого вектора другої групи.

Які вектори є рівними?

Два вектори рівні, якщо вони спрямовані і мають однакову довжину. Зауважте, що сонаправленность передбачає колінеарність векторів. Визначення буде неточним (надлишковим), якщо сказати: «Два вектори рівні, якщо вони колінеарні, співспрямовані та мають однакову довжину».

З погляду поняття вільного вектора, рівні вектори – це той самий вектор, що вже йшлося у попередньому параграфі.

Координати вектора на площині та у просторі

Першим пунктом розглянемо вектори на площині. Зобразимо декартову прямокутну систему координат і від початку координат відкладемо одиничнівектори та :

Вектори та ортогональні. Ортогональні = Перпендикулярні. Рекомендую потихеньку звикати до термінів: замість паралельності та перпендикулярності використовуємо відповідно слова колінеарністьі ортогональність.

Позначення:ортогональність векторів записують звичною позначкою перпендикулярності, наприклад: .

Вектори, що розглядаються, називають координатними векторамиабо ортами. Дані вектори утворюють базисна площині. Що таке базис, думаю, інтуїтивно багатьом зрозуміло, більш детальну інформацію можна знайти у статті Лінійна (не) залежність векторів. Базис векторів.Простими словами, базис і початок координат задають всю систему - це своєрідний фундамент, на якому вирує повне і насичене геометричне життя.

Іноді побудований базис називають ортонормованимбазисом площини: «орто» – оскільки координатні вектори ортогональні, прикметник «нормований» означає одиничний, тобто. Довжина векторів базису дорівнює одиниці.

Позначення:базис зазвичай записують у круглих дужках, усередині яких у суворій послідовностіперераховуються базисні вектори, наприклад: . Координатні вектори не можнапереставляти місцями.

Будь-якийвектор площині єдиним чиномвиражається у вигляді:
, де - числаякі називаються координатами векторау цьому базисі. А сам вираз називається розкладання векторапо базису .

Вечеря подана:

Почнемо з першої літери алфавіту: . По кресленню добре видно, що з розкладанні вектора по базису використовуються щойно розглянуті:
1) правило множення вектора на число: і;
2) складання векторів за правилом трикутника: .

А тепер подумки відкладіть вектор від будь-якої іншої точки площини. Цілком очевидно, що його розкладання «невідступно слідуватиме за ним». Ось вона, свобода вектора - вектор "все носить при собі". Ця властивість, зрозуміло, слушна для будь-якого вектора. Смішно, що самі базисні (вільні) вектори не обов'язково відкладати від початку координат, один можна намалювати, наприклад, зліва внизу, а інший – праворуч вгорі, і від цього нічого не зміниться! Щоправда, робити так не потрібно, оскільки викладач теж виявить оригінальність і намалює вам зараховане в несподіваному місці.

Вектори , ілюструють в точності правило множення вектора на число, вектор направлений з базисним вектором , вектор спрямований протилежно до базисного вектора . У даних векторів одна з координат дорівнює нулю, прискіпливо можна записати так:


А базисні вектори, до речі, так: (по суті вони виражаються самі через себе).

І наостанок: , . До речі, що таке віднімання векторів, і чому я не розповів про правило віднімання? Десь у лінійній алгебрі, вже не пам'ятаю де, я зазначав, що віднімання – це окремий випадок складання. Так, розкладання векторів «де» і «е» спокійнісінько записуються як суми: , . Прослідкуйте за кресленням, як чітко у цих ситуаціях працює старе добре складання векторів за правилом трикутника.

Розглянуте розкладання виду іноді називають розкладанням вектора у системі орт(Тобто в системі одиничних векторів). Але це не єдиний спосіб запису вектора, поширений наступний варіант:

Або зі знаком рівності:

Самі базисні вектори записуються так: і

Тобто, у круглих дужках зазначаються координати вектора. У практичних завданнях використовуються усі три варіанти запису.

сумнівався, чи говорити, але все-таки скажу: координати векторів переставляти не можна. Суворо на першому місцізаписуємо координату, яка відповідає одиничному вектору , суворо на другому місцізаписуємо координату, яка відповідає одиничному вектору. Справді, і – це два різних вектори.

З координатами на площині розібралися. Тепер розглянемо вектори в тривимірному просторі, тут практично так само! Тільки додасться ще одна координата. Тривимірні креслення виконувати важко, тому обмежуся одним вектором, який для простоти відкладу від початку координат:

Будь-якийвектор тривимірного простору можна єдиним способомрозкласти по ортонормованому базису:
, де - Координати вектора (числа) в даному базисі.

Приклад з картинки: . Давайте подивимося, як тут працюють правила дій із векторами. По-перше, множення вектора на число: (червона стрілка), (зелена стрілка) та (малінова стрілка). По-друге, перед вами приклад додавання кількох, у разі трьох, векторов: . Вектор суми починається у вихідній точці відправлення (початок вектора) і втикається у підсумкову точку прибуття (кінець вектора).

Всі вектори тривимірного простору, природно, теж вільні, спробуйте подумки відкласти вектор від будь-якої іншої точки, і ви зрозумієте, що його розкладання залишиться при ньому.

Аналогічно плоскому випадку, крім запису широко використовуються версії з дужками: або .

Якщо у розкладанні відсутня один (або два) координатні вектори, то замість них ставляться нулі. Приклади:
вектор (прискіпливо ) - Запишемо;
вектор (прискіпливо ) - Запишемо;
вектор (прискіпливо ) – запишемо.

Базисні вектори записуються так:

Ось, мабуть, і всі мінімальні теоретичні знання, необхідні вирішення завдань аналітичної геометрії. Можливо забагато термінів та визначень, тому чайникам рекомендую перечитати та осмислити цю інформацію ще раз. Та й будь-якому читачеві буде корисно іноді звертатися до базового уроку для кращого засвоєння матеріалу. Колінеарність, ортогональність, ортонормований базис, розкладання вектора – ці та інші поняття часто використовуватимуться надалі. Зазначу, що матеріалів сайту недостатньо для здачі теоретичного заліку, колоквіуму з геометрії, тому що всі теореми (до того ж без доказів) я акуратно шифрую – на шкоду науковому стилю викладу, але плюсом до вашого розуміння предмета. Для отримання докладної теоретичної довідки прошу слідувати на уклін до професора Атанасяна.

А ми переходимо до практичної частини:

Найпростіші завдання аналітичної геометрії.
Дії з векторами в координатах

Завдання, які будуть розглянуті, дуже бажано навчитися вирішувати на повному автоматі, а формули запам'ятати напам'ятьЦе дуже важливо, оскільки на найпростіших елементарних прикладах базуються інші завдання аналітичної геометрії, і буде прикро витрачати додатковий час на поїдання пішаків. Не потрібно застібати верхні гудзики на сорочці, багато речей знайомі вам зі школи.

Виклад матеріалу піде паралельним курсом – і площині, і простору. З тієї причини, що всі формули самі побачите.

Як знайти вектор по двох точках?

Якщо дані дві точки площини і , то вектор має такі координати:

Якщо дані дві точки простору і , то вектор має такі координати:

Тобто, з координат кінця векторапотрібно відняти відповідні координати початку вектора.

Завдання:Для тих самих точок запишіть формули знаходження координат вектора. Формули наприкінці уроку.

Приклад 1

Дано дві точки площини і . Знайти координати вектора

Рішення:за відповідною формулою:

Як варіант, можна було використати наступний запис:

Естети вирішать і так:

Особисто я звик до першої версії запису.

Відповідь:

За умовою не потрібно будувати креслення (що характерно для завдань аналітичної геометрії), але з метою пояснення деяких моментів чайникам, не полінуюся:

Обов'язково потрібно розуміти відмінність між координатами точок та координатами векторів:

Координати точок- Це звичайні координати у прямокутній системі координат. Відкладати крапки на координатній площині, гадаю, всі вміють ще з 5-6 класу. Кожна точка має суворе місце на площині, і переміщати їх кудись не можна.

Координати ж вектора- Це його розкладання по базису, в даному випадку. Будь-який вектор є вільним, тому за бажання чи необхідності ми легко можемо відкласти його від будь-якої іншої точки площини. Цікаво, що векторів можна взагалі будувати осі, прямокутну систему координат, потрібен лише базис, у разі ортонормований базис площини .

Записи координат точок і координат векторів начебто схожі: , а сенс координатабсолютно різний, і вам слід добре розуміти цю різницю. Ця відмінність, зрозуміло, справедлива і для простору.

Пані та панове, набиваємо руку:

Приклад 2

а) Дані точки та . Знайти вектори та .
б) Дані точки та . Знайти вектори та .
в) Дані точки та . Знайти вектори та .
г) Дані точки. Знайти вектори .

Мабуть, достатньо. Це приклади для самостійного рішення, постарайтеся ними не ігнорувати, окупиться;-). Креслення робити не потрібно. Рішення та відповіді наприкінці уроку.

Що важливо під час вирішення завдань аналітичної геометрії?Важливо бути гранично уважним, щоб не припуститися майстерної помилки «два плюс два і нулю». Відразу перепрошую, якщо де помилився =)

Як знайти довжину відрізка?

Довжина, як зазначалося, позначається знаком модуля.

Якщо дані дві точки площини і , то довжину відрізка можна обчислити за формулою

Якщо дані дві точки простору і , то довжину відрізка можна обчислити за формулою

Примітка: Формули залишаться коректними, якщо переставити місцями відповідні координати: і , але стандартніший перший варіант

Приклад 3

Рішення:за відповідною формулою:

Відповідь:

Для наочності виконаю креслення

Відрізок – це не вектор, і переміщати його кудись, звичайно, не можна. Крім того, якщо ви виконаєте креслення в масштабі: 1 од. = 1 см (дві зошити), то отриману відповідь можна перевірити звичайною лінійкою, безпосередньо вимірявши довжину відрізка.

Так, рішення коротке, але в ньому є ще кілька важливих моментів, які хотілося б пояснити:

По-перше, у відповіді ставимо розмірність: «одиниці». В умові не сказано, ЩО це, міліметри, сантиметри, метри чи кілометри. Тому математично грамотним рішенням буде загальне формулювання: «одиниці» – скорочено «од.».

По-друге, повторимо шкільний матеріал, який корисний не тільки для розглянутого завдання:

Зверніть увагу на важливий технічний прийом – винесення множника з-під кореня. В результаті обчислень у нас вийшов результат і хороший математичний стиль передбачає винесення множника з-під кореня (якщо це можливо). Докладніше процес виглядає так: . Звичайно, залишити відповідь у вигляді не буде помилкою - але недоліком точно і вагомим аргументом для причіпки з боку викладача.

Ось інші поширені випадки:

Нерідко під коренем виходить досить велика кількість, наприклад. Як бути у таких випадках? На калькуляторі перевіряємо, чи число ділиться на 4: . Так, розділилося націло, таким чином: . А може, число ще раз вдасться поділити на 4? . Таким чином: . У числа остання цифра непарна, тому розділити втретє на 4 явно не вдасться. Пробуємо поділити дев'ять: . В результаті:
Готово.

Висновок:якщо під коренем виходить невитягне націло число, то намагаємося винести множник з-під кореня - на калькуляторі перевіряємо, чи число на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 і т.д.

У ході вирішення різних завдань корені зустрічаються нерідко, завжди намагайтеся витягувати множники з-під кореня, щоб уникнути нижчої оцінки і непотрібних проблем з доопрацюванням ваших рішень за зауваженням викладача.

Давайте заразом повторимо зведення коренів у квадрат та інші ступені:

Правила дій зі ступенями у загальному вигляді можна знайти в шкільному підручнику з алгебри, але, гадаю, з наведених прикладів все чи майже все вже ясно.

Завдання для самостійного вирішення з відрізком у просторі:

Приклад 4

Дано крапки і . Знайти довжину відрізка.

Рішення та відповідь наприкінці уроку.

Як знайти довжину вектора?

Якщо дано вектор площини, його довжина обчислюється за такою формулою.

Якщо дано вектор простору, то його довжина обчислюється за формулою .

На осі абсцис та ординат називаються координатами вектора. Координати вектора загальноприйнято вказувати як (х, у)а сам вектор як: =(х, у).

Формула визначення координат вектора двовимірних завдань.

У випадку двовимірного завдання вектор з відомими координатами точок A(х 1 ;у 1)і B(x 2 ; y 2 ) можна обчислити:

= (x 2 - x 1; y 2 - y 1).

Формула визначення координат вектора для просторових завдань.

У разі просторового завдання вектор з відомими координатами точок A (х 1; у 1;z 1 ) та B (x 2 ; y 2 ; z 2 ) можна обчислити застосувавши формулу:

= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1 ).

Координати дають всеосяжну характеристику вектора, оскільки за координатами можна побудувати і сам вектор. Знаючи координати, легко обчислити та довжину вектора. (Властивість 3, наведена нижче).

Властивості координат вектора.

1. Будь-які рівні векторив єдиній системі координат мають рівні координати.

2. Координати колінеарних векторівпропорційні. За умови, що жоден із векторів не дорівнює нулю.

3. Квадрат довжини будь-якого вектора дорівнює сумі квадратів його координат.

4.При операції множення векторана дійсне числокожна його координата множиться цього числа.

5. Під час операції складання векторів обчислюємо суму відповідні координати векторів.

6. Скалярний твірдвох векторів дорівнює сумі творів відповідних координат.

Знаходження координат вектора досить часто зустрічається умова багатьох завдань у математиці. Вміння знаходити координати вектора допоможе вам в інших, складніших завданнях зі схожою тематикою. У цій статті ми розглянемо формулу знаходження координат вектора та кілька завдань.

Знаходження координат вектора у площині

Що таке площину? Площиною вважається двомірне простір, простір з двома вимірами (вимір x і вимір y). Наприклад, папір – площину. Поверхня столу – площина. Якась необ'ємна фігура (квадрат, трикутник, трапеція) теж є площиною. Таким чином, якщо за умови завдання потрібно знайти координати вектора, що лежить на площині, відразу згадуємо про x та y. Знайти координати такого вектора можна так: Координати AB вектора = (xB – xA; yB – xA). З формули видно, що з координат кінцевої точки потрібно відібрати координати початкової точки.

Приклад:

• Вектор CD має початкові (5; 6) та кінцеві (7; 8) координати.
• Знайти координати вектора.
• Використовуючи вищезгадану формулу, отримаємо такий вираз: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
• Таким чином, координати CD вектор = (2; 2).
• Відповідно, x координата дорівнює двом, y координата - теж двом.

Знаходження координат вектора у просторі

Що таке місце? Простір це вже тривимірне вимір, де дано 3 координати: x, y, z. Якщо потрібно знайти вектор, який лежить у просторі, формула практично не змінюється. Додається лише одна координата. Для знаходження вектора потрібно від координат кінця відібрати координати початку. AB = (xB - xA; yB - yA; zB - zA)

Приклад:

• Вектор DF має початкові (2; 3; 1) та кінцеві (1; 5; 2).
• Застосовуючи вищезазначену формулу, отримаємо: Координати вектора DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
• Пам'ятайте, значення координат може бути негативним, у цьому немає жодної проблеми.

Як знайти координати вектора онлайн?

Якщо з якихось причин вам не хочеться знаходити координати самостійно, можна скористатися калькулятором онлайн . Для початку виберіть розмірність вектора. Розмірність вектора відповідає за його виміри. Розмірність 3 означає, що вектор перебуває у просторі, розмірність 2 – що у площині. Далі вставте координати точок у відповідні поля та програма визначить вам координати самого вектора. Все дуже просто.

Натиснувши кнопку, сторінка автоматично прокрутиться вниз і видасть вам правильну відповідь разом з етапами рішення.

Рекомендовано добре вивчити цю тему, оскільки поняття вектора зустрічається у математиці, а й у фізиці. Студенти факультету Інформаційних Технологій також вивчають тему векторів, але на складнішому рівні.

Аналітична геометрія

		Тиждень проведення	Оцінка за модуль у балах
		контролю модуля
			Максимальна		Мінімальна
Семестр 1
ДЗ №1, частина 1
ДЗ №1, частина 2
Контроль за модулем №1
Преміальні бали
Контроль за модулем №2
Преміальні бали

Контрольні заходи та терміни їх проведення Модуль 1

1. ДЗ №1 частина 1 «Векторна алгебра» Термін видачі 2 тиждень, термін здачі – 7 тиждень

2. ДЗ №1 частина 2 «Прямі та площини»

Термін видачі 1 тиждень, термін здачі – 9 тиждень

3. Контроль за модулем №1 (РК №1) «Векторна алгебра, прямі та площини». Термін проведення – 10 тиждень

1. ДЗ №2 «Криві та поверхні 2-го порядку» Термін видачі 6 тиждень, термін здачі – 13 тиждень

5. Контрольна робота «Криві та поверхні 2-го порядку». Термін проведення – 14 тиждень

6. Контроль за модулем №2 (РК №2) «Матриці та системи лінійних рівнянь алгебри»

Термін проведення – 16 тиждень

Типові завдання, що використовуються для формування варіантів поточного контролю

1. Домашнє завдання №1. «Векторна алгебра та аналітична геометрія»

Дано: точки A (0; 3; 2), B (1; 4; 2), D (0; 1; 2),			A (1; 2; 0); числа a 30				b 1; кут
1. Знайти довжину вектора |		n | , якщо			p aq ,	n bp q	і p, q - одиничні

вектори, кут між якими дорівнює.

2. Знайти координати точки М, що ділить вектор AB щодо a:1.

3. Перевірити, чи можна на векторах AB та AD побудувати паралелограм. Якщо так, то знайти довжину сторін паралелограма.

4. Знайти кути між діагоналями паралелограма ABCD.

5. Знайти площу паралелограма ABCD.

6. Переконатись, що на векторах AB, AD, AA 1 можна побудувати паралелепіпед. Знайти обсяг цього паралелепіпеда та довжину його висоти.

7. Знайти координати вектора AH , спрямованого по висоті паралелепіпеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , проведеної з точки A до площини основи A 1 B 1 C 1 D 1

координати точки H і координати одиничного вектора, що збігається у напрямку вектора AH .

8. Знайти розкладання вектора AH векторами AB , AD , AA 1 .

9. Знайти векторну проекцію AH вектор AA 1 .

10. Написати рівняння площин: а) P, яка проходить через точки A, B, D;

б) P1, що проходить через точку A і пряму A1 B1;

в) P2 , що проходить через точку A1 паралельно площині P; г) P3, що містить прямі AD та AA1;

д) P4 , що проходить через точки A і C1 перпендикулярно площині P.

11. Знайти відстань між прямими, на яких лежать ребра AB та CC 1; написати канонічні та параметричні рівняння загального до них перпендикуляра.

12. Знайти точку A 2 , симетричну точці A1 щодо площини основи

13. Знайти кут між прямою, на якій лежить діагональ A 1 C, та площиною основи ABCD.

14. Знайти гострий кут між площинами ABC 1 D (площина P) та ABB1 A1 (площина P1 ).

2. Домашнє завдання №2. «Криві та поверхні другого порядку»

У задачах 1–2 задане рівняння лінії другого порядку призвести до канонічного вигляду та побудувати криву у системі координат OXY.

У Завдання 3 за наведеними даними знайти рівняння кривої в системі координат OXY. Для завдань 1–3 вказати:

1) канонічний вид рівняння лінії;

2) перетворення паралельного перенесення, що веде до канонічного вигляду;

3) у разі еліпса: півосі, ексцентриситет, центр, вершини, фокуси, відстані від точки C до фокусів; у разі гіперболи: півосі, ексцентриситет, центр, вершини, фокуси, відстані від точки C до фокусів, рівняння асимптот; у разі параболи: параметр, вершину, фокус, рівняння директриси, відстані від точки C до фокусу та директриси;

4) для точки C перевірити властивість, що характеризує цей тип кривих як геометричне місце точок.

У задачі 4 вказати перетворення паралельного переносу, що приводить дане рівняння поверхні до канонічного вигляду, канонічний вид рівняння поверхні та тип поверхні. Побудувати поверхню у канонічній системі координат OXYZ.

	5x 2 y 2 20x 2y 4 C (0;1				2) 5x 2 4y 2 20x 8y 64, C (12; 14).
		5) ;
	Парабола симетрична щодо прямої y 1 0 має фокус							; 1 ,
	перетинає вісь OX у точці C				; 0 , а її гілки лежать у напівплощині	x0.
	4y 2 z 2 8y 4z 1 0 .

Контроль за модулем №1 “Векторна алгебра. Аналітична геометрія”

1. Праві та ліві трійки векторів. Визначення векторного добутку векторів. Сформулювати властивості векторного добутку векторів. Вивести формулу обчислення векторного добутку двох векторів, заданих своїми координатами в ортонормованому базисі.

векторами

а m n ,

m n ,

1, m, n

можливо,

розкладання вектора

з 3 i

12 j 6k

векторів

3 j 2 k та b 2 i 3 j 4 k .

Скласти рівняння площини,

проходить через точки M 1 5, 1, 4

M 2 2, 3,1 та

перпендикулярній площині

6x 5y 4z 1 0. Скласти канонічні рівняння

прямий, що проходить через точку M 0 0, 2,1 і ортогональні до знайденої площини.

Контрольна робота «Криві та поверхні другого порядку»

1. Визначення еліпса як геометричного місця точок. Виведення канонічного рівняння еліпса у прямокутній декартовій системі координат. Основні параметри кривої.

2. Рівняння поверхні x 2 4y 2 z 2 8x 4y 6z 17 0 призвести до канонічного

виду. Зробити малюнок у канонічній системі координат. Вказати назву даної поверхні.

3. Скласти рівняння рівноосної гіперболи, якщо відомі її центр O 1 1, 1 та один з фокусів F 1 3, 1 . Зробити малюнок.

Контроль за модулем №2 «Криві та поверхні другого порядку. Матриці та системи лінійних рівнянь алгебри»

1. Однорідні системи лінійних рівнянь алгебри (СЛАУ). Форми запису однорідної СЛАУ. Доказ критерію існування ненульових рішень однорідної СЛАУ.

2. Розв'язати матричне рівняння AX B ,

Зробити перевірку.

3. а) Вирішити СЛАУ. б) Знайти нормальну фундаментальну систему розв'язків відповідної однорідної системи, приватне розв'язання неоднорідної системи; записати через них загальне рішення цієї неоднорідної системи:

x 1 2 x 2 3 x 3 4 x 4 4 x 2 x 3 x 4 3

x 1 3 x 2 3 x 4 1

7 x 2 3 x 3 x 4 3

Питання для підготовки до контролю за модулями, контрольною роботою, заліком та іспитом

1. Вектор геометричні. Вільні вектори. Визначення колінеарних та компланарних векторів. Лінійні операції над векторами та їх властивості.

2. Визначення лінійної залежності та лінійної незалежності векторів. Докази умов лінійної залежності 2-х та 3-х векторів.

3. Визначення базису у просторах векторів V1, V2, V3. Доказ теореми про існування та єдиність розкладання вектора за базисом. Лінійні операції над векторами, заданими своїми координатами у базисі.

4. Визначення скалярного твору векторів, його зв'язок із ортогональною проекцією вектора на вісь. Властивості скалярного твору, їх підтвердження. Висновок формули обчислення скалярного добутку векторів в ортонормованому базисі.

5. Визначення ортонормованого базису. Зв'язок координат вектора в ортонормованому базисі та його ортогональних проекцій на вектори базису. Висновок формул обчислення довжини вектора, його напрямних косінусів, кута між двома векторами в ортонормованому базисі.

6. Праві та ліві трійки векторів. Визначення векторного твору векторів, його механічний та геометричний зміст. Властивості векторного твору (бездок-ва). Висновок формули обчислення векторного добутку в ортонормованому базисі.

7. Визначення змішаного добутку векторів. Об'єм паралелепіпеда та обсяг піраміди, побудованих на некомпланарних векторах. Умова компланарності трьох векторів. Властивості змішаного твору. Висновок формули обчислення змішаного твору в ортонормованому базисі.

8. Визначення прямокутної декартової системи координат. Вирішення найпростіших завдань аналітичної геометрії.

9. Різні види прямого рівняння на площині: векторне, параметричні, канонічне. Напрямний вектор прямий.

10. Виведення рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.

11. Доказ теореми про те, що в прямокутній декартовій системі координат на площині рівняння першого ступеня задає пряму. Визначення нормального вектора прямої.

12. Рівняння з кутовим коефіцієнтом, рівняння прямої "у відрізках". Геометричний зміст параметрів, що входять до рівняння. Кут між двома прямими. Умови паралельності та перпендикулярності двох прямих, заданих своїми загальними чи канонічними рівняннями.

13. Висновок формули відстані від точки до прямої на площині.

14. Доказ теореми про те, що у прямокутній декартовій системі координат у просторі рівняння першого ступеня задає площину. Загальне рівняння площини. Визначення нормального вектора площини. Виведення рівняння площини, що проходить через три задані точки. Рівняння площини "у відрізках".

15. Кут між площинами. Умови паралельності та перпендикулярності двох площин.

16. Висновок формули відстані від точки до площини.

17. Загальні рівняння прямої у просторі. Виведення векторного, канонічних та параметричних рівнянь прямий у просторі.

18. Кут між двома прямими в просторі, умови паралельності та перпендикулярності двох прямих. Умови власності двох прямих однієї площини.

19. Кут між прямою і площиною, умови паралельності та перпендикулярності прямої та площини. Умова належності прямої заданої площини.

20. Завдання про знаходження відстані між схрещуються або паралельними прямими.

21. Визначення еліпса як геометричного місця точок. Виведення канонічного рівняння еліпса.

22. Визначення гіперболи як геометричного місця точок. Виведення канонічного рівняння гіперболи.

23. Визначення параболи як геометричного місця точок. Виведення канонічного рівняння параболи.

24. Визначення циліндричної поверхні. Канонічні рівняння циліндричних поверхонь 2-го порядку.

25. Концепція поверхні обертання. Канонічні рівняння поверхонь, утворених обертанням еліпса, гіперболи та параболи.

26. Канонічні рівняння еліпсоїда та конуса. Дослідження форми цих поверхонь шляхом перерізів.

27. Канонічні рівняння гіперболоїдів. Дослідження форми гіперболоїдів методом перерізів.

28. Канонічні рівняння параболоїдів. Дослідження форми параболоїдів методом перерізів.

29. Концепція матриці. Види матриць. Рівність матриць. Лінійні операції над матрицями та його властивості. Транспонування матриць.

30. Розмноження матриць. Властивості операції множення матриць.

31. Визначення зворотної матриці. Доказ єдиності зворотної матриці. Доказ теореми про зворотну матрицю добутку двох оборотних матриць.

32. Критерій існування зворотної матриці. Поняття приєднаної матриці, її зв'язок із зворотною матрицею.

33. Висновок формул Крамера для розв'язання системи лінійних рівнянь із невиродженою квадратною матрицею.

34. Лінійна залежність та лінійна незалежність рядків (стовпців) матриці. Доказ критерію лінійної залежності рядків (стовпців).

35. Визначення мінору матриці. Базовий мінор. Теорема про базисний мінор (без доква). Доказ її наслідку для квадратних матриць.

36. Метод облямівних мінорів для знаходження рангу матриці.

37. Елементарні перетворення рядків (стовпців) матриці. Знаходження зворотної матриці шляхом елементарних перетворень.

38. Теорема про інваріантність рангу матриці щодо елементарних перетворень. Знаходження рангу матриці шляхом елементарних перетворень.

39. Системи лінійних рівнянь алгебри (СЛАУ). Різні форми запису СЛАУ. Спільні та несумісні СЛАУ. Доказ критерію Кронекера-краплі спільності СЛАУ.

40. Однорідні системи лінійних рівнянь алгебри (СЛАУ). Властивості їх розв'язків.

41. Визначення фундаментальної системи рішень (ФСР) однорідної системи лінійних рівнянь алгебри (СЛАУ). Теорема про структуру загального рішення однорідної СЛАУ. Побудова ФСР.

42. Неоднорідні системи лінійних рівнянь алгебри (СЛАУ). Доказ теореми щодо структури загального рішення неоднорідної СЛАУ.

Контрольний захід	Кількість завдань	Бали за завдання
ДЗ №1, частина 1
Набрані бали
Контрольний захід	Кількість завдань	Бали за завдання
ДЗ №1, частина 2
Набрані бали

Контрольний захід				Кількість завдань			Бали за завдання
Контроль за модулем №1				1 теорія та 3 завдання			теорія – 0; 3; 6
							завдання – 0; 1; 2
			Набрані бали
Контрольний захід				Кількість завдань			Бали за завдання
	Набрані бали
Контрольний захід				Кількість завдань			Бали за завдання
				1 теорія та 3 завдання			теорія – 0; 3; 6
							завдання – 0; 1; 2
			Набрані бали
						01 теорія та 3 завдання			теорія – 0; 3; 6
		завдання – 0; 1; 2
			Набрані бали

Правила виставлення балів у журналі

1. Бали за ДЗ. Бали за ДЗ виставляються наступного тижня після встановленого терміну здачі відповідно до відповідної таблиці. Студент має право здавати на перевірку окремі завдання раніше встановленого терміну та виправляти зазначені викладачем помилки, отримуючи при цьому необхідну консультацію. Якщо до остаточного терміну здавання ДЗ студент доводить розв'язання задачі до правильного варіанту, то йому за це завдання виставляється максимальний бал. Після терміну здачі ДЗ студент, який не набрав мінімального бала за ДЗ, може продовжити роботу над завданням. При цьому, у разі успішної роботи студенту нараховується мінімальний бал за ДЗ.

2. Бали за КР. Якщо студент у термін не набирає мінімального бала за КР, то протягом семестру він може двічі переписати роботу. За позитивного результату (набору балів не менше встановленого мінімального) студенту виставляється мінімальний бал за КР.

3. Бали за «контроль за модулем».Як «контроль за модулем» пропонується письмова робота, що складається з теоретичної та практичної частин. Кожна частина контролю за модулем оцінюється окремо. Студент, який отримав оцінку не нижчу за мінімальну за однією з частин контролю, вважається таким, що здав цю частину і звільняється від її виконання надалі. На розсуд викладача з теоретичної частини завдання може проводитися співбесіда. Якщо студент не набирає встановленого мінімуму за кожну частину роботи, то протягом семестру він має дві спроби з кожної частини виправити ситуацію. При позитивному

внаслідок (наборі балів не менше встановленого мінімального) студенту виставляється мінімальний бал за «контроль за модулем».

4. Оцінка модуль.Якщо студент виконав усі поточні контрольні заходи модуля (набрав щонайменше встановленого мінімального бала),

то оцінкою за модуль вважається сума балів за всі контрольні заходи модуля (при цьому студент автоматично набирає не нижче за мінімальний поріг). Остаточні бали за модуль проставляються у журналі після закриття всіх контрольних заходів.

5. Сумарний бал. Сума балів за два модулі.

6. Оцінка. Підсумкова атестація (іспит, диференційований залік, залік) проводиться за результатами роботи в семестрі після виконання студентом запланованого обсягу навчальних робіт та отримання за кожним модулем оцінки, не нижчою за мінімально встановлену. Максимальна сума балів за всіма модулями, включаючи бали за старанність, дорівнює 100, мінімальна – 60. Сума балів за всіма модулями утворює рейтингову оцінку з дисципліни за семестр. Студент, який здав усі контрольні заходи, отримує підсумкову оцінку з дисципліни за семестр відповідно до шкали:

		Оцінка на іспиті,	Оцінка на заліку
		диференційованому заліку
		задовільно
		незадовільно

Підвищити свій рейтинг, і, отже, екзаменаційну оцінку можна на підсумковому іспиті (писемна робота з матеріалу дисципліни в цілому проводиться в екзаменаційну сесію), максимальний бал – 30, мінімальний -16. Ці бали сумуються з балами, отриманими за всі модулі з дисципліни. При цьому для підвищення оцінки «добре» за іспит студент має набрати не менше 21 бала, до «відмінно» ─ не менше 26 балів. Для спеціальностей, де передбачено залік із дисципліни, підвищення рейтингу не проводиться. Студенти, які мають на початок екзаменаційної сесії рейтинг у діапазоні 0-59, набирають необхідний мінімум для отримання позитивної оцінки з дисципліни, перездаючи контрольні заходи, не зараховані раніше, за окремими модулями. При цьому студенти, які не мають поважної причини, можуть у результаті (до моменту закінчення екзаменаційної сесії) отримати оцінку не вище за «задовільно».