Сенс першою похідною. Похідна функції

Наведемо зведену таблицю для зручності та наочності щодо теми.

Константаy = C Ступінна функція y = x p (x p) " = p · x p - 1	Показова функціяy = a x (a x) " = a x · ln a Зокрема, приa = eмаємо y = e x (e x) " = e x
Логарифмічна функція (log a x) "= 1 x · ln a Зокрема, приa = eмаємо y = ln x (ln x) " = 1 x	Тригонометричні функції (sin x) "= cos x (cos x)" = - sin x (t g x) "= 1 cos 2 x (c t g x)" = - 1 sin 2 x
Зворотні тригонометричні функції (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c t g x) " = - 1 1 + x 2	Гіперболічні функції (s h x) "= c h x (c h x)" = s h x (t h x) "= 1 c h 2 x (c t h x)" = - 1 s h 2 x

Розберемо, як було отримано формули зазначеної таблиці чи, інакше кажучи, доведемо висновок формул похідних кожному за виду функций.

Похідна постійною

Доказ 1

Для того щоб вивести цю формулу, візьмемо за основу визначення похідної функції в точці. Використовуємо x 0 = x , де xприймає значення будь-якого дійсного числа, або, інакше кажучи, xє будь-яким числом області визначення функції f (x) = C . Складемо запис межі відношення збільшення функції до збільшення аргументу при ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Зауважте, що під знак межі потрапляє вираз 0 ∆ x . Воно не є невизначеністю «нуль ділити на нуль», оскільки в чисельнику записана не нескінченно мала величина, а саме нуль. Інакше висловлюючись, збільшення постійної функції завжди є нуль.

Отже, похідна постійної функції f(x) = C дорівнює нулю по всій області визначення.

Приклад 1

Дано постійні функції:

f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4 . 13 7 22 f 4 (x) = 0 f 5 (x) = - 8 7

Рішення

Опишемо задані умови. У першій функції бачимо похідну натурального числа 3 . У наступному прикладі необхідно брати похідну від а, де а- будь-яке дійсне число. Третій приклад задає нам похідну ірраціонального числа 4 . 13 7 22 четвертий - похідну нуля (нуль - ціле число). Нарешті, у п'ятому випадку маємо похідний раціональний дроб - 8 7 .

Відповідь:похідні заданих функцій є нуль за будь-якого дійсного x(на всій області визначення)

f 1 "(x) = (3)" = 0, f 2 "(x) = (a)" = 0, a ∈ R, f 3 "(x) = 4. 13 7 22 " = 0, f 4 "(x) = 0" = 0, f 5 "(x) = - 8 7" = 0

Похідна статечної функції

Переходимо до статечної функції та формули її похідної, що має вигляд: (x p) " = p · x p - 1 де показник ступеня pє будь-яким дійсним числом.

Доказ 2

Наведемо доказ формули, коли показник ступеня – натуральне число: p = 1, 2, 3, …

Знову спираємось на визначення похідної. Складемо запис межі відношення збільшення статечної функції до збільшення аргументу:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Щоб спростити вираз у чисельнику, використовуємо формулу бінома Ньютона:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p - x p = = C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2+. . . + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p

Таким чином:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + ... + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p) ∆ x = = lim x → 0 (C p 1 · x p - 1 + C p 2 · x p - 2 · ∆ x + . . . + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 2 + C p p · (∆ x) p - 1) = = C p 1 · x p - 1 + 0 + 0 + .. + 0 = p !1! · (p - 1) !

Так, ми довели формулу похідної статечної функції, коли показник ступеня – натуральне число.

Доказ 3

Щоб навести доказ для випадку, коли p -будь-яке дійсне число, відмінне від нуля, використовуємо логарифмічну похідну (тут слід розуміти на відміну від похідної логарифмічної функції). Щоб мати більш повне розуміння, бажано вивчити похідну логарифмічної функції і додатково розібратися з похідною неявно заданої функції та похідної складної функції.

Розглянемо два випадки: коли xпозитивні і коли xнегативні.

Отже, x> 0 . Тоді: x p > 0. Логарифмуємо рівність y = x p за основою e і застосуємо властивість логарифму:

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

На цьому етапі отримали неявно задану функцію. Визначимо її похідну:

(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y" = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

Тепер розглядаємо випадок, коли x –від'ємне число.

Якщо показник pє парне число, то статечна функція визначається при x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Тоді x p< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Якщо pє непарне число, тоді статечна функція визначена і при x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Останній перехід можливий через те, що якщо p- непарне число, то p - 1або парне число, або нуль (при p = 1), тому, при негативних xправильна рівність (- x) p - 1 = x p - 1 .

Отже, ми довели формулу похідної статечної функції за будь-якого дійсного p .

Приклад 2

Дано функції:

f 1 (x) = 1 x 2 3 f 2 (x) = x 2 - 1 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12

Визначте їх похідні.

Рішення

Частину заданих функцій перетворимо на табличний вигляд y = x p , спираючись на властивості ступеня, а потім використовуємо формулу:

f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 "(x) = - 2 3 · x - 2 3 - 1 = - 2 3 · x - 5 3 f 2 "(x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 · x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 · x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3 "( x) = - log 7 12 · x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 · x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 · x - log 7 84

Похідна показової функції

Доказ 4

Виведемо формулу похідної, взявши за основу визначення:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Ми здобули невизначеність. Щоб розкрити її, запишемо нову змінну z = a ∆ x - 1 (z → 0 при ∆ x → 0). У такому разі a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Для останнього переходу використано формулу переходу до нової основи логарифму.

Здійснимо підстановку у вихідну межу:

(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Згадаймо другу чудову межу і тоді отримаємо формулу похідної показової функції:

(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

Приклад 3

Дано показові функції:

f 1 (x) = 2 3 x f 2 (x) = 5 3 x f 3 (x) = 1 (e) x

Потрібно знайти їх похідні.

Рішення

Використовуємо формулу похідної показової функції та властивості логарифму:

f 1 "(x) = 2 3 x " = 2 3 x · ln 2 3 = 2 3 x · (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x · ln 5 1 3 = 1 3 · 5 3 x · ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x · ln 1 e = 1 e x · ln e - 1 = - 1 e x

Похідна логарифмічна функція

Доказ 5

Наведемо доказ формули похідної логарифмічної функції будь-яких xв області визначення та будь-яких допустимих значеннях підстави алогарифму. Спираючись на визначення похідної, отримаємо:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x · log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

З зазначеного ланцюжка рівностей видно, що перетворення будувалися з урахуванням властивості логарифму. Рівність lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e є вірною відповідно до другої чудової межі.

Приклад 4

Задано логарифмічні функції:

f 1 (x) = log ln 3 x , f 2 (x) = ln x

Необхідно обчислити їх похідні.

Рішення

Застосуємо виведену формулу:

f 1 "(x) = (log ln 3 x)" = 1 x · ln (ln 3); f 2 "(x) = (ln x)" = 1 x · ln e = 1 x

Отже, похідна натурального логарифму є одиниця, поділена на x.

Похідні тригонометричних функцій

Доказ 6

Використовуємо деякі тригонометричні формули та перша чудова межа, щоб вивести формулу похідної тригонометричної функції.

Відповідно до визначення похідної функції синуса, отримаємо:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Формула різниці синусів дозволить нам зробити такі дії:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 · sin x + ∆ x - x 2 · cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Нарешті, використовуємо першу чудову межу:

sin " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Отже, похідної функції sin xбуде cos x.

Цілком також доведемо формулу похідної косинуса:

cos "x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 · sin x + ∆ x - x 2 · sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Тобто. похідної функції cos x буде - sin x.

Формули похідних тангенсу та котангенсу виведемо на основі правил диференціювання:

t g " x = sin x cos x " = sin " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

Похідні зворотних тригонометричних функцій

Розділ про похідну зворотних функцій дає вичерпну інформацію про доказ формул похідних арксинусу, арккосинусу, арктангенсу та арккотангенсу, тому дублювати матеріал тут не будемо.

Похідні гіперболічних функцій

Доказ 7

Виведення формул похідних гіперболічного синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу здійснимо за допомогою правила диференціювання та формули похідної показової функції:

s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Можна виносити за знак похідний:

(af(x)" =af "(x).

Наприклад:

Похідна суми алгебридекількох функцій (взятих у незмінному числі) дорівнює алгебраїчній сумі їх похідних:

(f 1 (x) + f 2 (x) - f 3 (x))" = f 1 "(x) + f 2 "(x) - f 3 "(x).

Наприклад:

(0,3 х 2 - 2 х + 0,8)" = (0,3 х 2)" - (2 х)" + (0,8)" = 0,6 х - 2 ( похіднаостаннього доданкурівняння дорівнює нулю).

Якщо похідна функції g відмінна від нуля, то відношення f/g також має кінцеву похідну. Дану властивість можна записати у вигляді:

.

Нехай функції y = f(x) та y = g(x) мають кінцеві похідніу точці x 0 . Тоді функції f ± g і f · g також мають кінцеві похідні вцією точці. Тоді отримаємо:

(f ± g) ′ = f ′ ± g ′,

(f · g) ′ = f ′ · g + f · g ′.

Похідна складна функція.

Нехай функція y = f(x) має кінцеву похідну в точці x 0 функція z = s (y) має кінцеву похідну в точці y 0 = f (x 0).

Тоді складна функція z = s (f(x)) також має кінцеву похідну у цій точці. Сказане можна записати у вигляді:

.

Похідна зворотної функції.

Нехай функція y = f(x) має зворотну функцію x = g(y) на деякому інтервалі(a, b) і існує відмінна від нуля кінцева похіднацієї функції у точці x 0 , що належить області визначення, тобто. x 0 ∈ (a, b).

Тоді зворотна функціямає похіднуу точці y 0 = f(x 0):

.

Похідна неявна функція.

Якщо функція y = f(x) задана неявно рівнянням F(x, y(x)) = 0, то її похідназнаходиться з умови:

.

Кажуть що функція y = f(x) задана неявно, якщо вона тотожнозадовольняє співвідношення:

де F(x, y) – деяка функція двох аргументів.

Похідна функції заданої параметрично.

Якщо функція y = f(x) задана параметричним чином за допомогою розглянутої

Похідна функції - одна із складних тем у шкільній програмі. Не кожен випускник дасть відповідь на запитання, що таке похідна.

У цій статті просто і зрозуміло розказано про те, що таке похідна і для чого вона потрібна. Ми не будемо зараз прагнути математичної суворості викладу. Найголовніше – зрозуміти сенс.

Запам'ятаємо визначення:

Похідна – це швидкість зміни функції.

На малюнку – графіки трьох функцій. Як ви вважаєте, яка з них швидше росте?

Відповідь очевидна – третя. У неї найбільша швидкість зміни, тобто найбільша похідна.

Ось інший приклад.

Костя, Гриша та Матвій одночасно влаштувалися на роботу. Подивимося, як змінювався їхній дохід протягом року:

На графіці відразу все видно, чи не так? Дохід Кості за півроку зріс більш ніж удвічі. І у Гриші дохід теж зріс, але зовсім трохи. А прибуток Матвія зменшився до нуля. Стартові умови однакові, а швидкість зміни функції, тобто похідна, - Різна. Що ж до Матвія - у його доходу похідна взагалі негативна.

Інтуїтивно ми легко оцінюємо швидкість зміни функції. Але як це робимо?

Насправді ми дивимося, наскільки круто йде нагору (або вниз) графік функції. Іншими словами - наскільки швидко змінюється у зі зміною х. Очевидно, що та сама функція в різних точках може мати різне значення похідної - тобто може змінюватися швидше або повільніше.

Похідна функції позначається.

Покажемо як знайти за допомогою графіка.

Намальовано графік деякої функції. Візьмемо на ньому крапку з абсцисою. Проведемо у цій точці дотичну до графіку функції. Ми хочемо оцінити, наскільки круто вгору йде графік функції. Зручна величина для цього - тангенс кута нахилу дотичної.

Похідна функції у точці дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної, проведеної графіку функції у цій точці.

Зверніть увагу - як кут нахилу дотичної ми беремо кут між дотичним і позитивним напрямом осі.

Іноді учні запитують, що таке, що стосується графіку функції. Це пряма, що має на даній ділянці єдину загальну точку з графіком, причому так, як показано на малюнку. Схоже на дотичну до кола.

Знайдемо. Ми пам'ятаємо, що тангенс гострого кута прямокутного трикутника дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого. З трикутника:

Ми знайшли похідну за допомогою графіка навіть не знаючи формулу функції. Такі завдання часто зустрічаються в ЄДІ з математики під номером.

Є й інше важливе співвідношення. Згадаймо, що пряма задається рівнянням

Величина у цьому рівнянні називається кутовим коефіцієнтом прямої. Вона дорівнює тангенсу кута нахилу прямої до осі.

.

Ми отримуємо, що

Запам'ятаємо цю формулу. Вона виражає геометричний зміст похідної.

Похідна функції у точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, проведеної графіку функції у цій точці.

Іншими словами, похідна дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної.

Ми вже сказали, що в однієї й тієї функції в різних точках може бути різна похідна. Подивимося, як пов'язана похідна з поведінкою функції.

Намалюємо графік деякої функції. Нехай на одних ділянках ця функція зростає, на інших – зменшується, причому з різною швидкістю. І нехай ця функція матиме точки максимуму і мінімуму.

У точці функція зростає. Дотична до графіка, проведена в точці, утворює гострий кут з позитивним напрямом осі. Отже, у точці похідна позитивна.

У точці наша функція зменшується. Стосовна у цій точці утворює тупий кут з позитивним напрямом осі. Оскільки тангенс тупого кута негативний, у точці похідна негативна.

Ось що виходить:

Якщо функція зростає, її похідна є позитивною.

Якщо зменшується, її похідна негативна.

А що ж буде у точках максимуму та мінімуму? Ми бачимо, що у точках (точка максимуму) та (точка мінімуму) дотична горизонтальна. Отже, тангенс кута нахилу дотичної в цих точках дорівнює нулю, і похідна також дорівнює нулю.

Крапка - точка максимуму. У цій точці зростання функції змінюється зменшенням. Отже, знак похідної змінюється у точці з плюсу на мінус.

У точці - точці мінімуму - похідна теж дорівнює нулю, але її знак змінюється з мінусу на плюс.

Висновок: за допомогою похідної можна дізнатися про поведінку функції, що нас цікавить.

Якщо похідна позитивна, то функція зростає.

Якщо похідна негативна, то функція зменшується.

У точці максимуму похідна дорівнює нулю і змінює знак із «плюсу» на «мінус».

У точці мінімуму похідна теж дорівнює нулю і змінює знак з мінусу на плюс.

Запишемо ці висновки у вигляді таблиці:

	зростає	точка максимуму	зменшується	точка мінімуму	зростає
+	0	-	0	+

Зробимо два невеликі уточнення. Одне з них знадобиться вам під час вирішення завдань ЄДІ. Інше - першому курсі, за більш серйозному вивченні функцій і похідних.

Можливий випадок, коли похідна функції у будь-якій точці дорівнює нулю, але ні максимуму, ні мінімуму у функції у цій точці немає. Це так звана :

У точці дотична до графіка горизонтальна і похідна дорівнює нулю. Однак до точки функція зростала – і після точки продовжує зростати. Знак похідної не змінюється – вона як була позитивною, так і залишилася.

Буває й так, що в точці максимуму чи мінімуму похідна не існує. На графіці це відповідає різкому зламу, коли дотичну у цій точці провести неможливо.

Як знайти похідну, якщо функція задана не графіком, а формулою? У цьому випадку застосовується

Вирішувати фізичні завдання чи приклади з математики зовсім неможливо без знань про похідну та методи її обчислення. Похідна – одне з найважливіших понять математичного аналізу. Цій фундаментальній темі ми вирішили присвятити сьогоднішню статтю. Що таке похідна, який її фізичний та геометричний зміст, як порахувати похідну функції? Всі ці питання можна поєднати в одне: як зрозуміти похідну?

Геометричний та фізичний зміст похідної

Нехай є функція f(x) , задана в певному інтервалі (a, b) . Точки х і х0 належать до цього інтервалу. При зміні х змінюється сама функція. Зміна аргументу – різниця його значень х-х0 . Ця різниця записується як дельта ікс і називається збільшенням аргументу. Зміною або збільшенням функції називається різниця значень функції у двох точках. Визначення похідної:

Похідна функції у точці – межа відношення збільшення функції у цій точці до збільшення аргументу, коли останнє прагне нулю.

Інакше це можна записати так:

Який сенс у знаходженні такої межі? А ось який:

похідна від функції в точці дорівнює тангенсу кута між віссю OX і щодо графіку функції в даній точці.

Фізичний зміст похідної: похідна шляхи за часом дорівнює швидкості прямолінійного руху.

Дійсно, ще зі шкільних часів всім відомо, що швидкість – це приватна дорога. x=f(t) та часу t . Середня швидкість за деякий проміжок часу:

Щоб дізнатися швидкість руху в момент часу t0 потрібно обчислити межу:

Правило перше: виносимо константу

Константу можна винести за знак похідної. Більше того – це потрібно робити. При вирішенні прикладів математики візьміть за правило - якщо можете спростити вираз, обов'язково спрощуйте .

приклад. Обчислимо похідну:

Правило друге: похідна суми функцій

Похідна суми двох функцій дорівнює сумі похідних цих функцій. Те саме справедливо і для похідної різниці функцій.

Не наводитимемо доказ цієї теореми, а краще розглянемо практичний приклад.

Знайти похідну функції:

Правило третє: похідна робота функцій

Похідна твори двох функцій, що диференціюються, обчислюється за формулою:

Приклад: знайти похідну функції:

Рішення:

Тут важливо сказати про обчислення похідних складних функцій. Похідна складної функції дорівнює добутку похідної цієї функції за проміжним аргументом на похідну проміжного аргументу за незалежною змінною.

У наведеному вище прикладі ми зустрічаємо вираз:

В даному випадку проміжний аргумент - 8х у п'ятому ступені. Для того, щоб обчислити похідну такого виразу спочатку вважаємо похідну зовнішньої функції за проміжним аргументом, а потім множимо на похідну безпосередньо проміжного аргументу незалежної змінної.

Правило четверте: похідна приватного двох функцій

Формула для визначення похідної від частки двох функцій:

Ми постаралися розповісти про похідні для чайників з нуля. Ця тема не така проста, як здається, тому попереджаємо: у прикладах часто зустрічаються пастки, так що будьте уважні при обчисленні похідних.

З будь-яким питанням з цієї та інших тем ви можете звернутися до студентського сервісу. За короткий термін ми допоможемо вирішити найскладнішу контрольну та розібратися із завданнями, навіть якщо ви ніколи раніше не займалися обчисленням похідних.