Для початку розберемо теорію, далі розв'яжемо кілька прикладів для закріплення матеріалу з розкладання дробово раціональної функції на суму найпростіших дробів. Детально зупинимося на методі невизначених коефіцієнтіві методі приватних значень, а також їх комбінації.

Найпростіші дроби часто називають елементарними дробами.

Розрізняють такі види найпростіших дробів:

де A, M, N, a, p, q - числа, а дискримінант знаменника в дробах 3) і 4) менше нуля.

Називають їх відповідно дробами першого, другого, третього та четвертого типів.

Навіщо взагалі дріб розкладати на найпростіші?

Наведемо математичну аналогію. Часто доводиться займатися спрощенням виду висловлювання, щоб можна було проводити якісь події з нею. Так ось, уявлення дробово раціональної функції у вигляді суми найпростіших дробів приблизно те саме. Застосовується для розкладання функцій у статечні ряди, ряди Лорана і, звичайно, для знаходження інтегралів.

Наприклад, вимагаючи взяти інтеграл від дрібно раціональної функції. Після розкладання підінтегральної функції на найпростіші дроби, все зводиться до досить простих інтегралів

Але про інтеграли в іншому розділі.

приклад.

Розкласти дріб на найпростіші.

Рішення.

Взагалі відношення багаточленів розкладають на найпростіші дроби, якщо ступінь багаточлена чисельника менша від ступеня багаточлена в знаменнику. Інакше спочатку проводять розподіл многочлена чисельника на многочлен знаменника , а потім проводять розкладання правильної дробово раціональної функції.

Виконаємо поділ стовпчиком (кутом):

Отже, вихідний дріб набуде вигляду:

Таким чином, на найпростіші дроби розкладатимемо

Алгоритм методу невизначених коефіцієнтів.

По перше, Розкладаємо знаменник на множники

У нашому прикладі все просто – виносимо їх за дужки.


По-друге, що розкладається дріб подаємо у вигляді суми найпростіших дробів з невизначеними коефіцієнтами.

Тут варто розглянути види виразів, які можуть бути у Вас у знаменнику.

Досить теорії, на практиці все одно зрозуміліше.

Настав час повернутися до прикладу. Дроб розкладається на суму найпростіших дробів першого і третього типів з невизначеними коефіцієнтами A, B і C.


По-третє, наводимо отриману суму найпростіших дробів з невизначеними коефіцієнтами до спільного знаменника і групуємо в чисельнику доданки при однакових ступенях х.



Тобто, дійшли рівності:


При x відмінних від нуля ця рівність зводиться до рівності двох багаточленів


А два многочлени є рівними тоді і лише тоді, коли коефіцієнти при однакових ступенях збігаються.

По-четверте, Прирівнюємо коефіцієнти при однакових ступенях х.

При цьому отримуємо систему лінійних рівнянь алгебри з невизначеними коефіцієнтами як невідомі:


У п'ятих, Вирішуємо отриману систему рівнянь будь-яким способом (при необхідності дивіться статтю), який подобається Вам, знаходимо невизначені коефіцієнти.


По-шосте, записуємо відповідь.

Будь ласка, не лінуйтеся, перевіряйте відповідь, приводячи до спільного знаменника отримане розкладання.

Метод невизначених коефіцієнтівє універсальним способом під час розкладання дробу на найпростіші.

Дуже зручно використовувати метод приватних значень, якщо знаменник є твір лінійних множників, тобто має вигляд схожий на

Розглянемо з прикладу, щоб показати плюси цього.

приклад.

Розкласти дріб на найпростіші.

Рішення.

Так як ступінь багаточлена в чисельнику менше ступеня багаточлена в знаменнику, то робити поділ нам не доведеться. Переходимо до розкладання знаменника на множники.

Для початку виносимо їх за дужки.

Знаходимо коріння квадратного тричлена (наприклад, за теоремою Вієта):

Отже, квадратний тричлен можна записати як

Тобто знаменник набуде вигляду

При цьому знаменнику, вихідний дріб розкладається на суму трьох найпростіших дробів першого типу з невизначеними коефіцієнтами:

Отриману суму приводимо до спільного знаменника, але в чисельнику при цьому дужки не розкриваємо і не наводимо подібні при А, В і С (на цьому етапі якраз відмінність від методу невизначених коефіцієнтів):

Таким чином, дійшли рівності:

А тепер, для знаходження невизначених коефіцієнтів, починаємо підставляти в отриману рівність "приватні значення", при яких знаменник звертається в нуль, тобто х = 0, х = 2 і х = 3 для нашого прикладу.

При х=0 маємо:

При х=2 маємо:

При х=3 маємо:

Відповідь:

Як бачите, відмінність методу невизначених коефіцієнтів та методу приватних значень лише у способі знаходження невідомих. Ці методи можна поєднувати для спрощення обчислень.

Розглянемо приклад.

приклад.

Розкласти дробово раціональний вираз на найпростіші дроби.

Рішення.

Так як ступінь багаточлена чисельника менше ступеня багаточлена знаменника і знаменник вже розкладено на множники, то вихідний вираз представиться у вигляді суми найпростіших дробів такого виду:

Приводимо до спільного знаменника:

Прирівнюємо чисельники.

Вочевидь, що нулями знаменника є значення х=1 , х=-1 і х=3 . Використовуємо метод приватних значень.

При х=1 маємо:

При х=-1 маємо:

При х=3 маємо:

Залишилось знайти невідомі та

Для цього підставляємо знайдені значення в рівність чисельників:

Після розкриття дужок та приведення подібних доданків при однакових ступенях х приходимо до рівності двох багаточленів:

Прирівнюємо відповідні коефіцієнти при однакових ступенях, тим самим складаємо систему рівнянь для знаходження невідомих і . Отримуємо систему з п'яти рівнянь із двома невідомими:

З першого рівняння відразу знаходимо , з другого рівняння

У результаті отримуємо розкладання на найпростіші дроби:

Примітка.

Якби ми одразу вирішили застосувати метод невизначених коефіцієнтів, то довелося б вирішувати систему п'яти лінійних рівнянь алгебри з п'ятьма невідомими. Застосування методу приватних значень дозволило легко знайти значення трьох невідомих із п'яти, що значно спростило подальше рішення.

Вітаю всіх, любі друзі!

Ну що, вітаю! Ми з вами благополучно дісталися основного матеріалу в інтегруванні раціональних дробів. методу невизначених коефіцієнтів. Великого і могутнього.) У чому полягає його величність і могутність? А полягає воно у його універсальності. Чи має сенс ознайомитися, правда? Попереджу, що уроків на цю тему буде кілька. Бо тема дуже довга, а матеріал дуже важливий.)

Відразу скажу, що в сьогоднішньому уроці (і наступних теж) ми займатимемося не так інтегруванням, як… розв'язуванням систем лінійних рівнянь!Так Так! Так що ті, хто має проблеми з системами, повторіть матриці, визначники і метод Крамера. А тих товаришів, у кого і з матрицями туго, закликаю, на крайній край, освіжити в пам'яті хоча б "шкільні" методи вирішення систем - метод підстановки та метод почленного складання/віднімання.

Для початку нашого знайомства відмотаємо плівку трохи тому. Ненадовго повернемося до минулих уроків та проаналізуємо всі ті дроби, які ми з вами інтегрували до цього. Безпосередньо, без жодного способу невизначених коефіцієнтів! Ось вони ці дроби. Я розсортував їх за трьома групами.

Група 1

У знаменнику – лінійна функціяабо сама по собі, або ж у ступені. Одним словом, у знаменнику стоїть твір однаковихдужок виду (х-а).

Наприклад:

(x+4) 1 = (x+4)

(x-10) 2 = (x-10) (x-10)

(2x+5) 3 = (2x+5)(2x+5)(2x+5)

І так далі. До речі, нехай вас не бентежать дужки (4х+5)або (2х+5) 3з коефіцієнтом kвсередині. Це все одно, за своєю сутністю, дужки виду (х-а). Бо це саме kіз таких дужок завжди можна винести назовні.

Ось так:

Ось і все.) І неважливо, що саме при цьому стоїть у чисельнику – просто dxабо багаточлен який. Ми завжди розкладали чисельник за ступенями дужки (x-a), перетворювали великий дріб у суму маленьких, підводили (де треба) дужку під диференціал та інтегрували.

Група 2

Що спільного у цих дробів?

А спільне те, що у всіх знаменниках стоїть квадратний тричленax 2 + bx+ c. Але не просто, а саме в єдиному екземплярі. І не має значення тут, позитивний у нього дискримінант чи негативний.

Такі дроби завжди інтегрувалися одним із двох способів - або розкладанням чисельника за ступенями знаменника, або виділенням повного квадрата в знаменнику з наступною заміною змінної. Все залежить від конкретної підінтегральної функції.

Група 3

Це були найгірші для інтегрування дробу. У знаменнику – нерозкладний квадратний тричлен, та ще й у ступені n. Але, знову ж таки, в єдиному екземплярі. Бо, крім тричлена, інших множників у знаменнику немає. Такі дроби інтегрувалися з . Або безпосередньо, або зводилися до неї після виділення повного квадрата в знаменнику та наступної заміни змінної.

Однак, на жаль, все багате різноманіття раціональних дробів не обмежується тільки цими трьома розглянутими групами.

А як бути, якщо у знаменнику стоять різнідужки? Наприклад, щось типу:

(х-1)(х+1)(х+2)

Або одночасно дужка (х-а)і квадратний тричлен, щось типу (х-10)(х 2 -2х+17)? І в інших подібних випадках? Ось саме в таких випадках і приходить на допомогу метод невизначених коефіцієнтів!

Відразу скажу: працювати ми поки що будемо тільки з правильнимидробами. Тими, у яких ступінь чисельника строго менший за ступінь знаменника. Як бути з неправильними дробами, докладно розказано по дробах. Потрібно виділяти цілу частину (багаточлен). Поділом куточком чисельника на знаменник або розкладанням чисельника – як хочете. І навіть приклад розібраний. А багаточлен ви вже якось сяк-так проінтегруєте. Не маленькі вже йди.) Але на неправильні дроби теж вирішуємо приклади!

А тепер починаємо знайомитись. На відміну від більшості підручників з вищої математики, наше знайомство ми почнемо не з сухої та важкої теорії про основну теорему алгебри, теорему Безу, про розкладання раціонального дробу на суму найпростіших (про ці дроби пізніше) та іншого занудства, а почнемо ми з нескладного прикладу .

Наприклад, нам потрібно знайти такий невизначений інтеграл:

Перший погляд на підінтегральний дріб. У знаменнику стоїть твір трьох дужок:

(x-1)(x+3)(x+5)

Причому всі дужки різні. Тому наша стара технологія з розкладанням чисельника за ступенями знаменника цього разу вже не прокочує: яку саме дужку виділяти у чисельнику? (Х-1)? (Х +3)? Незрозуміло ... Виділення повного квадрата в знаменнику - теж не в касу: там багаточлен третьоїступеня (якщо перемножити всі дужки). Що робити?

При погляді на нашу дріб виникає цілком природне бажання ... Прямо-таки непереборне! З нашого великого дробу, який незручноінтегрувати, якось зробити три маленькі. Хоча б ось так:

Чому саме такий вид треба шукати? А все тому, що в такому вигляді наш вихідний дріб уже зручнадля інтегрування! Підбиваємо знаменник кожного маленького дробу і – вперед.)

А чи взагалі можна отримати таке розкладання? Новина хороша! Відповідна теорема математики каже – так можна! Таке розкладання існує і єдине.

Але є одна проблема: коефіцієнти А, Ві Зми Бувайне знаємо. І зараз нашим основним завданням якраз і буде їх визначити. Дізнатися, чому ж рівні наші літери А, Ві З. Звідси і назва – метод невизначенихкоефіцієнтів. Почнемо нашу казкову подорож!

Отже, у нас є рівність, від якої ми починаємо танцювати:

Давайте приведемо праворуч всі три дроби до спільного знаменника і складемо:

Тепер можна сміливо відкинути знаменники (бо вони однакові) і прирівняти чисельники. Все як у звичайному

Наступним кроком розкриваємо всі дужки(Коефіцієнти А, Ві З Бувайкраще залишити зовні):

А тепер (важливо!) вишиковуємо всю нашу конструкцію праворуч за старшинством ступенів: спочатку збираємо в купку всі члени з х 2, потім - просто з іксом і, нарешті, збираємо вільні члени. Фактично, просто наводимо подібні та групуємо доданки за ступенями ікс.

Ось так:

А тепер осмислюємо результат. Ліворуч - наш вихідний багаточлен. Другий ступінь. Чисельник нашого підінтегрального дробу. Справа - теж деякий багаточлен другого ступеня.Але з невідомими коефіцієнтами.Ця рівність має бути справедливою при всіх допустимих значеннях ікс. Дроби ліворуч і праворуч були однакові (за нашою умовою)! Це означає, що їх чисельниківі (тобто наші багаточлени) - теж однакові. Отже, коефіцієнти при однакових ступенях іксу цих багаточленів обов'язково повинні бути рівними!

Починаємо з найстаршого ступеня. З квадрата. Дивимося, що за коефіцієнти у нас стоять за х 2 ліворуч і праворуч. Праворуч у нас коштує сума коефіцієнтів А+В+С, а ліворуч – двійка. Тож у нас народжується перше рівняння.

Записуємо:

А+В+С = 2

Є. Перше рівняння готове.)

Далі йдемо по траекторії, що знижується - дивимося на члени з іксом в першому ступені. Праворуч при ікс у нас стоїть 8А+4В+2С. Добре. А що у нас при ікс стоїть ліворуч? Гм ... Зліва взагалі ніякого доданку з іксом немає! Там тільки 2х2 – 3. Як бути? Дуже просто! Це означає, що коефіцієнт при ікс зліва у нас дорівнює нулю!Ми ж можемо записати нашу ліву частину так:

А що? Маємо повне право.) Звідси друге рівняння виглядає так:

8 A+4 B+2 C = 0

Ну ось, практично, і все. Залишилося прирівняти вільні члени:

15А-5В-3С = -3

Одним словом, прирівнювання коефіцієнтів при однакових ступенях іксу відбувається за такою схемою:

Усі три наші рівності мають виконуватися одночасно.Тому збираємо із наших виписаних рівнянь систему:

Системка не найважча для старанного студента – три рівняння та три невідомі. Як бажаєте, так і вирішуйте. Можна методом Крамера через матриці з визначниками, можна методом Гаус, можна навіть звичайною шкільною підстановкою.

Спочатку я вирішу цю систему так, як зазвичай вирішують такі системи культурні студенти. А саме – методом Крамера.

Рішення починаємо із складання матриці системи. Нагадую, що ця матриця – просто табличка, складена з коефіцієнтів за невідомих.

Ось вона:

Насамперед обчислюємо визначник матриці системи.Або, коротко, визначник системи.Зазвичай він позначається грецькою літерою ∆ ("дельта"):

Відмінно, визначник системи не дорівнює нулю (-48≠0) . З теорії систем лінійних рівнянь цей факт означає, що наша система є спільною і має єдине рішення.

Наступним кроком обчислюємо визначники невідомих ∆ A , ∆ B , ∆ C. Нагадую, що кожен із цих трьох визначників виходить з основного визначника системи шляхом заміни стовпців з коефіцієнтами за відповідних невідомих на стовпець вільних членів.

Ось і складаємо визначники та вважаємо:

Докладно пояснювати техніку обчислення визначників третього порядку тут не буду. І не просіть. Це вже зовсім відхилення від теми.) Хто в темі, той розуміє, про що йдеться. І, можливо, вже здогадався, яким саме способом я обчислив ці три визначники.

Ось все і готове.

Так зазвичай вирішують системи культурні студенти. Але… Не всі студенти товаришують з та визначниками. На жаль. Для когось ці прості поняття вищої математики так назавжди залишаються китайською грамотою і таємничим монстром у тумані.

Що ж, спеціально для таких некультурних студентів пропоную звичний спосіб вирішення - метод послідовного виключення невідомих.Фактично це просунутий "шкільний" метод підстановки. Тільки кроків більше буде.) Але суть та сама. Насамперед я виключу змінну З. Для цього я висловлю Зз першого рівняння та підставлю у друге та третє:

Спрощуємо, наводимо подібні та отримуємо нову систему, вже з двоманевідомими:

Тепер, у цій новій системі, теж можна висловити одну із змінних через іншу. Але найуважніші студенти, можливо, зауважать, що коефіцієнти перед змінною B – протилежні. Два та мінус два. Отже, дуже зручно буде скласти між собою обидва рівняння, щоб унеможливити змінну Ві залишити тільки букву А.

Складаємо ліві та праві частини, подумки скорочуємо 2Bі -2Bі вирішуємо рівняння лише щодо А:

Є. Перший коефіцієнт знайдено: А = -1/24.

Визначаємо другий коефіцієнт В. Наприклад, із верхнього рівняння:

Звідси отримуємо:

Чудово. Другий коефіцієнт також знайдено: B = -15/8 . Залишилася ще буква З. Для її визначення використовуємо найвище рівняння, де вона у нас виражена через Аі В:

Отже:

Ну от і все. Невідомі коефіцієнти знайдено! Не має значення, через Крамера чи через підстановку. Головне, правильнознайдені.)

Отже, наше розкладання великого дробу на суму маленьких виглядатиме ось так:

І нехай вас не бентежать отримані дробові коефіцієнти: у цій процедурі (методі невизначених коефіцієнтів) це найпростіше явище. :)

А тепер дуже бажано перевірити, чи правильно ми знайшли наші коефіцієнти A, Bі З. Тому зараз беремо чернетку і згадуємо восьмий клас – складаємо назад усі три наші маленькі дроби.

Якщо ми отримаємо вихідний великий дріб – це все добре. Ні - значить, бийте мене шукайте помилку.

Загальний знаменник, мабуть, буде 24(х-1)(х+3)(х+5).

Поїхали:

Єс! Отримали вихідний дріб. Що й потрібно перевірити. Все гуд. Так що прошу не бити.

А тепер повертаємось до нашого вихідного інтегралу. Найлегше він за цей час не став, так. Але тепер, коли наш дріб розкладено на суму маленьких, його інтегрування стало суцільним задоволенням!

Дивіться самі! Вставляємо наше розкладання у вихідний інтеграл.

Отримуємо:

Користуємося властивостями лінійності та розбиваємо наш великий інтеграл на суму маленьких, всі константи виносимо за знаки інтеграла.

Отримуємо:

А отримані три маленькі інтеграли вже легко беруться. .

Продовжуємо інтегрування:

Ось і все.) І не треба в даному уроці запитувати мене, звідки взялися логарифми! Хто пам'ятає, той у темі і все зрозуміє. А хто не пам'ятає – гуляємо за посиланнями. Я їх просто так ставлю.

Остаточна відповідь:

Ось така гарна трійця: три логарифми - боягуз, бувалий і балбес. :) І спробуй, здогадайся до такої хитрої відповіді з ходу! Тільки метод невизначених коефіцієнтів і рятує, так.) Власне, із цією метою і розуміємося. Що, як і звідки?

Як тренувальна вправа, пропоную вам попрактикуватися в методі і проінтегрувати такий дріб:

Потренуйтеся, знайдіть інтеграл, не вважайте за працю! Повинна вийти ось така відповідь:

Метод невизначених коефіцієнтів – штука сильна. Рятує навіть у безнадійній ситуації, коли і так дріб перетворюєш, і так. І ось тут у деяких уважних читачів, що цікавляться, можливо, виникла ціла низка питань:

- Що робити, якщо багаточлен у знаменнику взагалі не розкладено на множники?

- ЯК треба шукати розкладання будь-якого великого раціонального дробу на суму маленьких? В якому вигляді? Чому саме в такому, а не сякому?

- Що робити, якщо у розкладанні знаменника є кратні множники? Або дужки в ступенях типу (х-1) 2? Яким чином шукати розкладання?

- Що робити, якщо крім простих дужок виду (х-а) знаменник одночасно містить і нерозкладний квадратний тричлен? Скажімо, х 2+4х+5? Яким чином шукати розкладання?

Що ж, настав час ґрунтовно розбиратися, звідки ноги ростуть. У наступних уроках.)

Інтегрування дробової раціональної функції.
Метод невизначених коефіцієнтів

Продовжуємо займатися інтегруванням дробів. Інтеграли від деяких видів дробів ми вже розглянули на уроці, і цей урок у певному сенсі можна вважати продовженням. Для успішного розуміння матеріалу необхідні базові навички інтегрування, тому якщо Ви тільки приступили до вивчення інтегралів, то є чайником, то необхідно почати зі статті Невизначений інтеграл. Приклади рішень.

Як не дивно, зараз ми займатимемося не так знаходженням інтегралів, як… вирішенням систем лінійних рівнянь. В зв'язку з цим наполегливорекомендую відвідати урок А саме – потрібно добре орієнтуватися в методах підстановки («шкільному» методі та методі почленного складання (віднімання) рівнянь системи).

Що таке дрібно-раціональна функція? Простими словами, дробно-раціональна функція – це дріб, у чисельнику і знаменнику якої перебувають многочлены чи твори многочленов. При цьому дроби є накрученішими, ніж ті, про які йшлося у статті Інтегрування деяких дробів.

Інтегрування правильної дробово-раціональної функції

Відразу приклад і типовий алгоритм розв'язання інтеграла від дробової раціональної функції.

Приклад 1

Крок 1.Перше, що ми ЗАВЖДИ робимо при вирішенні інтегралу від дробової раціональної функції – це з'ясовуємо наступне питання: чи є дріб правильним?Цей крок виконується усно, і зараз я поясню як:

Спочатку дивимося на чисельник та з'ясовуємо старший ступіньбагаточлена:

Старший ступінь чисельника дорівнює двом.

Тепер дивимося на знаменник та з'ясовуємо старший ступіньзнаменника. Напрошуваний шлях - це розкрити дужки і привести подібні доданки, але можна зробити простіше, кожноюдужці знаходимо старший ступінь

і подумки множимо: - таким чином, старший ступінь знаменника дорівнює трьом. Цілком очевидно, що якщо реально розкрити дужки, ми не отримаємо ступеня, більше трьох.

Висновок: Старший ступінь чисельника СТРОГОменше старшого ступеня знаменника, отже, дріб є правильним.

Якби в цьому прикладі в чисельнику знаходився багаточлен 3, 4, 5 і т.д. ступеня, то дріб був би неправильною.

Зараз ми розглядатимемо лише правильні дробово-раціональні функції. Випадок, коли ступінь чисельника більший або дорівнює ступеню знаменника, розберемо наприкінці уроку.

Крок 2Розкладемо знаменник на множники. Дивимося на наш знаменник:

Взагалі кажучи, тут уже твір множників, але, тим не менше, запитуємо себе: чи не можна щось розкласти ще? Об'єктом тортур, безперечно, виступить квадратний тричлен. Розв'язуємо квадратне рівняння:

Дискримінант більший за нуль, отже, тричлен дійсно розкладається на множники:

Загальне правило: ВСЕ, що в знаменнику МОЖНА розкласти на множники - розкладаємо на множники

Починаємо оформляти рішення:

Крок 3Методом невизначених коефіцієнтів розкладаємо підінтегральну функцію на суму простих (елементарних) дробів. Тепер буде зрозуміліше.

Дивимося на нашу підінтегральну функцію:

І, знаєте, якось проскакує інтуїтивна думка, що непогано б наш великий дріб перетворити на кілька маленьких. Наприклад, ось так:

Виникає питання, а чи взагалі можна так зробити? Зітхнемо з полегшенням, відповідна теорема математичного аналізу стверджує – МОЖНА. Таке розкладання існує і єдино.

Тільки є одна заковика, коефіцієнти ми Бувайне знаємо, звідси й назва метод невизначених коефіцієнтів.

Як ви здогадалися, наступні рухи тіла так, не реготати! будуть спрямовані на те, щоб якраз їх ДІЗНАТИСЯ - з'ясувати, чому ж рівні.

Будьте уважні, докладно пояснюю один раз!

Отже, починаємо танцювати від:

У лівій частині наводимо вираз до спільного знаменника:

Тепер благополучно позбавляємося знаменників (бо вони однакові):

У лівій частині розкриваємо дужки, невідомі коефіцієнти при цьому поки не чіпаємо:

Заодно повторюємо шкільне правило множення багаточленів. Під час свого перебування вчителем, я навчився вимовляти це правило з кам'яним обличчям: Для того, щоб помножити багаточлен на багаточлен, потрібно кожен член одного багаточлена помножити на кожен член іншого багаточлена..

З погляду зрозумілого пояснення коефіцієнти краще внести в дужки (хоча особисто я ніколи цього не роблю з метою економії часу):

Складаємо систему лінійних рівнянь.
Спочатку розшукуємо старші ступені:

І записуємо відповідні коефіцієнти у перше рівняння системи:

Добре запам'ятайте наступний нюанс. Що було б, якби у правій частині взагалі не було? Скажімо, красувалося б просто без жодного квадрата? І тут у рівнянні системи треба було б поставити праворуч нуль: . Чому нуль? А тому що в правій частині завжди можна приписати цей квадрат з нулем: Якщо в правій частині відсутні якісь змінні або (і) вільний член, то в правих частинах відповідних рівнянь системи ставимо нулі .

Записуємо відповідні коефіцієнти у друге рівняння системи:

І, зрештою, мінералка, підбираємо вільні члени.

Ех, ... щось я пожартував. Жарти геть – математика наука серйозна. У нас в інститутській групі ніхто не сміявся, коли доцент сказала, що розкидає члени за числовою прямою і вибере з них найбільші. Налаштовуємось на серйозний лад. Хоча... хто доживе до кінця цього уроку, все одно буде тихо посміхатися.

Система готова:

Вирішуємо систему:

(1) З першого рівняння виражаємо та підставляємо його у 2-е та 3-е рівняння системи. Насправді можна було висловити (або іншу літеру) з іншого рівняння, але в даному випадку вигідно виразити саме з 1-го рівняння, бо там найменші коефіцієнти.

(2) Наводимо подібні доданки у 2-му та 3-му рівняннях.

(3) Почленно складаємо 2-е та 3-е рівняння, при цьому, отримуючи рівність , з якого випливає, що

(4) Підставляємо у друге (або третє) рівняння, звідки знаходимо, що

(5) Підставляємо і перше рівняння, отримуючи .

Якщо виникли труднощі з методами вирішення системи, відпрацюйте їх на уроці Як розв'язати систему лінійних рівнянь?

Після вирішення системи завжди корисно зробити перевірку – підставити знайдені значення у кожнерівняння системи, в результаті все має зійтися.

Майже приїхали. Коефіцієнти знайдені, причому:

Чистове оформлення завдання має виглядати приблизно так:

Як бачите, основна проблема завдання полягала в тому, щоб скласти (правильно!) і вирішити (правильно!) систему лінійних рівнянь. А на завершальному етапі все не так складно: використовуємо властивості лінійності невизначеного інтеграла та інтегруємо. Звертаю увагу, що під кожним із трьох інтегралів у нас «халявна» складна функція, про особливості її інтегрування я розповів на уроці Метод заміни змінної у невизначеному інтегралі.

Перевірка: Диференціюємо відповідь:

Отримано вихідну підінтегральну функцію, отже, інтеграл знайдено правильно.
У ході перевірки довелося висловлюватися до спільного знаменника, і це не випадково. Метод невизначених коефіцієнтів та приведення виразу до спільного знаменника – це взаємно зворотні дії.

Приклад 2

Знайти невизначений інтеграл.

Повернемося до дробу з першого прикладу: . Неважко помітити, що в знаменнику всі множники РІЗНІ. Виникає питання, а що робити, якщо даний, наприклад, такий дріб: ? Тут у знаменнику у нас ступеня, або, по-математично кратні множники. Крім того, є нерозкладний на множник квадратний тричлен (легко переконатися, що дискримінант рівняння негативний, тому на множники тричлен не розкласти). Що робити? Розкладання у суму елементарних дробів виглядатиме на кшталт з невідомими коефіцієнтами вгорі чи якось інакше?

Приклад 3

Уявити функцію

Крок 1.Перевіряємо, чи правильний у нас дріб
Старший ступінь чисельника: 2
Старший ступінь знаменника: 8
Отже, дріб є правильним.

Крок 2Чи можна щось розкласти в знаменнику на множники? Очевидно, що ні, вже розкладено. Квадратний тричлен не розкладається у твір із зазначених вище причин. Гуд. Роботи менші.

Крок 3Подаємо дробово-раціональну функцію у вигляді суми елементарних дробів.
В даному випадку, розкладання має такий вигляд:

Дивимося на наш знаменник:
При розкладанні дробно-раціональної функції на суму елементарних дробів можна назвати три важливих момента:

1) Якщо в знаменнику знаходиться «самотній» множник у першому ступені (у нашому випадку), то вгорі ставимо невизначений коефіцієнт (у нашому випадку). Приклади №1,2 складалися лише з таких «одиноких» множників.

2) Якщо у знаменнику є кратниймножник, то розкладати потрібно так:
– тобто послідовно перебрати всі ступені «ікса» від першого до енного ступеня. У нашому прикладі два кратні множники: і ще раз погляньте на наведене мною розкладання і переконайтеся, що вони розкладені саме за цим правилом.

3) Якщо в знаменнику знаходиться нерозкладний багаточлен другого ступеня (у нашому випадку), то при розкладанні в чисельнику потрібно записати лінійну функцію з невизначеними коефіцієнтами (у нашому випадку з невизначеними коефіцієнтами та).

Насправді є ще 4-й випадок, але про нього я замовчу, оскільки на практиці він зустрічається вкрай рідко.

Приклад 4

Уявити функцію як суми елементарних дробів з невідомими коефіцієнтами.

Це приклад самостійного рішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.
Строго слідуйте алгоритму!

Якщо Ви розібралися, за якими принципами потрібно розкладати дробово-раціональну функцію у суму, то зможете розгризти практично будь-який інтеграл типу, що розглядається.

Приклад 5

Знайти невизначений інтеграл.

Крок 1.Очевидно, що дріб є правильним:

Крок 2Чи можна щось розкласти в знаменнику на множники? Можна, можливо. Тут сума кубів . Розкладаємо знаменник на множники, використовуючи формулу скороченого множення

Крок 3Методом невизначених коефіцієнтів розкладемо підінтегральну функцію на суму елементарних дробів:

Зверніть увагу, що багаточлен нерозкладний на множники (перевірте, що дискримінант негативний), тому вгорі ми ставимо лінійну функцію з невідомими коефіцієнтами, а не просто одну літеру.

Наводимо дріб до спільного знаменника:

Складемо і вирішимо систему:

(1) З першого рівняння виражаємо і підставляємо на друге рівняння системи (це найбільш раціональний спосіб).

(2) Наводимо подібні доданки у другому рівнянні.

(3) Почленно складаємо друге та третє рівняння системи.

Усі подальші розрахунки, у принципі, усні, оскільки система нескладна.

(1) Записуємо суму дробів відповідно до знайдених коефіцієнтів.

(2) Використовуємо властивості лінійності невизначеного інтегралу. Що сталося у другому інтегралі? З цим методом Ви можете ознайомитись в останньому параграфі уроку Інтегрування деяких дробів.

(3) Ще раз використовуємо властивості лінійності. У третьому інтегралі починаємо виділяти повний квадрат (передостанній параграф уроку Інтегрування деяких дробів).

(4) Беремо другий інтеграл, у третьому – виділяємо повний квадрат.

(5) Беремо третій інтеграл. Готово.

МІНІСТЕРСТВО НАУКИ ТА ОСВІТИ РЕСПУБЛІКИ БАШКОРТО СТАН

ГАОУ СПО Башкирський архітектурно-будівельний коледж

Халіуллін Асхат Адельзянович,

викладач математики Башкирського

архітектурно-будівельного коледжу

м.УФА

2014 р.

Вступ ___________________________________________________3

Глава I. Теоретичні аспекти використання методу невизначених коефіцієнтів______________________________________________4

Глава II. Пошуки розв'язання задач із багаточленами методом невизначених коефіцієнтів _______________________________7

2.1.Розкладання многочлена на множники_____________________ 7

2.2. Завдання з параметрами 10

2.3. Розв'язання рівнянь____________________________________14

2.4. Функціональні рівняння_____________________________19

Висновок_________________________________________________23

Список використаної литературы____________________________24

додаток ________________________________________________25

Вступ.

Ця робота присвячена теоретичним і практичним аспектам запровадження у шкільний курс математики методу невизначених коефіцієнтів. Актуальність цієї теми визначається такими обставинами.

Ніхто не буде сперечатися з тим, що математика як наука не стоїть на одному місці, постійно розвивається, з'являються нові завдання підвищеної складності, що часто викликає певні труднощі, оскільки ці завдання, як правило, пов'язані з дослідженням. Такі завдання в останні роки пропонувалися на шкільних, районних та республіканських математичних олімпіадах, вони також є у випадках ЄДІ. Тому був потрібний спеціальний метод, який дозволяв би найбільш швидко, ефективно і доступно вирішувати хоча б частину з них. У цій роботі доступно викладається зміст методу невизначених коефіцієнтів, що широко застосовується в найрізноманітніших розділах математики, починаючи від питань, що входять до курсу загальноосвітньої школи, і до найпоширеніших її частин. Зокрема, застосування методу невизначених коефіцієнтів у вирішенні задач з параметрами, дробно-раціональних та функціональних рівнянь особливо цікаві та ефективні; вони легко можуть зацікавити будь-кого, хто цікавиться математикою. Головна мета запропонованої роботи та добірки завдань полягає в тому, щоб надати широкі можливості для відточування та розвитку здатності знаходити короткі та нестандартні рішення.

Ця робота і двох глав. У першій розглядаються теоретичні аспекти використання

методу невизначених коефіцієнтів, у другому-практико-методологічні аспекти такого використання.

У додатку до роботи наведено умови конкретних завдань самостійного решения.

Глава I . Теоретичні аспекти використанняметоду невизначених коефіцієнтів

«Людина ... народилася бути паном,

володарем, царем природи, але мудрість,

з якою він повинен правити, не дана йому

від народження: вона здобувається вченням»

Н.І.Лобачевський

Існують різні способи та методи вирішення завдань, але одним із найзручнішим, найбільш ефективним, оригінальним, витонченим і водночас дуже простим і зрозумілим усім є метод невизначених коефіцієнтів. Метод невизначених коефіцієнтів -метод, що використовується в математиці для пошуку коефіцієнтів виразів, вид яких наперед відомий.

Перш ніж розглянути застосування методу невизначених коефіцієнтів до розв'язання різноманітних завдань, наведемо ряд відомостей теоретичного характеру.

Нехай дані,

A n (x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + ··· + a n-1 x + a n

B m (x ) = b 0 x m + b 1 x m -1 + b 2 x m -2 + ··· + b m-1 x + b m ,

багаточлени щодо хз будь-якими коефіцієнтами.

Теорема. Два багаточлени, що залежать від одного і того ж аргументу, тотожно рівні в тому і тільки в тому випадку, якщоn = m та їх відповідні коефіцієнти рівніa 0 = b 0 , a 1 = b 1 , a 2 = b 2 ,··· , a n -1 = b m -1 , a n = b m і т. д.

Очевидно, що рівні багаточлени приймають за всіх значень ходнакові значення. І навпаки, якщо значення двох багаточленів дорівнюють при всіх значеннях х, то багаточлени рівні, тобто їх коефіцієнти при однакових ступеняххзбігаються.

Отже, ідея застосування методу невизначених коефіцієнтів для вирішення завдань полягає у наступному.

Нехай нам відомо, що в результаті деяких перетворень виходить певний вид і невідомі лише коефіцієнти в цьому вираженні. Тоді ці коефіцієнти позначають літерами та розглядають як невідомі. Потім визначення цих невідомих складається система рівнянь.

Наприклад, у разі багаточленів ці рівняння складають із умови рівності коефіцієнтів при однакових ступенях ху двох рівних багаточленів.

Покажемо сказане вище на таких конкретних прикладах, причому почнемо з найпростішого.

Так, наприклад, на підставі теоретичних міркувань дріб

може бути подана у вигляді суми

, де a , b і c - коефіцієнти, що підлягають визначенню. Щоб знайти їх, прирівнюємо другий вираз першому:

=

і звільняючись від знаменника і збираючи зліва члени з однаковими ступенями х, отримуємо:

(a + b + c )х 2 + ( b - c )х - а = 2х 2 – 5 х– 1

Оскільки остання рівність повинна виконуватися для всіх значень х, то коефіцієнти при однакових ступеняххправоруч і ліворуч мають бути однакові. Таким чином, виходять три рівняння для визначення трьох невідомих коефіцієнтів:

a + b + c = 2

b - c = - 5

а= 1 , звідки a = 1 , b = - 2 , c = 3

Отже,

=
,

справедливість цієї рівності легко перевірити безпосередньо.

Нехай ще потрібно уявити дріб

у вигляді a + b
+ c
+ d
, де a , b , c і d- Невідомі раціональні коефіцієнти. Прирівнюємо другий вираз першому:

a + b
+ c
+ d
=
або, звільняючись від знаменника, виносячи, де можна, раціональні множники з-під знаків коріння і наводячи подібні члени у лівій частині, отримуємо:

(a - 2 b + 3 c ) + (- a + b +3 d )
+ (a + c - 2 d )
+

+ (b - c + d )
= 1 +
-
.

Але така рівність можлива лише у разі, коли рівні між собою раціональні доданки обох частин та коефіцієнти при однакових радикалах. Таким чином, виходять чотири рівняння для знаходження невідомих коефіцієнтів a , b , c і d :

a - 2b + 3c = 1

- a + b +3 d = 1

a + c - 2 d = - 1

b - c + d= 0 , звідки a = 0 ; b = - ; c = 0 ; d= , тобто
= -
+
.

Глава II. Пошуки розв'язання задач із багаточленами методом невизначених коефіцієнтів.

«Ніщо так не сприяє засвоєнню предметів.

та, як дія з ним у різних ситуаціях »

Академік Б.В.Гнєденко

2. 1.Розкладання многочлена на множники.

Способи розкладання багаточленів на множники:

1) винесення загального множника за дужки; 2) метод групування; 3) застосування основних формул множення; 4) введення допоміжних членів; 5) попереднє перетворення даного багаточлена за допомогою тих чи інших формул; 6) розкладання з допомогою відшукання коренів даного многочлена; 7) метод запровадження параметра; 8) метод невизначених коефіцієнтів.

Задача 1. Розкласти на дійсні множники многочлен х 4 + х 2 + 1 .

Рішення. Серед дільників вільного члена цього багаточлена немає коріння. Іншими елементарними засобами коріння багаточлена знайти не можемо. Тому виконати необхідне розкладання за допомогою попереднього відшукання коренів даного багаточлена неможливо. Залишається шукати розв'язання задачі або методом запровадження допоміжних членів, або методом невизначених коефіцієнтів. Очевидно, що х 4 + х 2 + 1 = х 4 + х 3 + х 2 - х 3 - х 2 - х + х 2 + х + 1 =

= х 2 (х 2 + х + 1) - х (х 2 + х + 1) + х 2 + х + 1 =

= (х 2 + х + 1)(х 2 - х + 1).

Отримані квадратні тричлени немає коренів, тому нерозкладні на дійсні лінійні множники.

Викладений спосіб технічно простий, але важкий через свою штучність. Дійсно, дуже важко придумати допоміжні члени, які потрібні. Знайти це розкладання нам допоміг лише здогад. Але

існують і надійніші способи вирішення таких завдань.

Можна було б діяти так: припустити, що цей багаточлен розкладається на твір

(х 2 + а х + b )(х 2 + c х + d )

двох квадратних тричленів із цілими коефіцієнтами.

Таким чином, матимемо, що

х 4 + х 2 + 1 = (х 2 + а х + b )(х 2 + c х + d )

Залишається визначити коефіцієнтиa , b , c і d .

Перемноживши багаточлени, що стоять у правій частині останньої рівності, отримаємо:х 4 + х 2 + 1 = х 4 +

+ (а+с ) х 3 + (b + а c + d ) х 2 + (ad + bc ) х + bd .

Але оскільки нам необхідно, щоб права частина цієї рівності перетворилася на такий самий багаточлен, який стоїть у лівій частині, вимагатимемо виконання наступних умов:

а+с = 0

b + а c + d = 1

ad + bc = 0

bd = 1 .

Вийшла система чотирьох рівнянь із чотирма невідомимиa , b , c і d . Легко знайти з цієї системи коефіцієнтиa = 1 , b = 1 , c = -1 і d = 1.

Тепер завдання вирішено повністю. Ми отримали:

х 4 + х 2 + 1 = (х 2 + х + 1)(х 2 - х + 1).

Задача 2. Розкласти на дійсні множники многочлен х 3 – 6 х 2 + 14 х – 15 .

Рішення. Представимо цей багаточлен у вигляді

х 3 – 6 х 2 + 14 х – 15 = (х + а )(х 2 + bx + c) , де a , b і з - не визначені поки що коефіцієнти. Так як два багаточлени тотожно рівні тоді і тільки тоді, коли коефіцієнти при однакових ступеняхх рівні, то, прирівнюючи коефіцієнти відповідно прих 2 , х та вільні члени, отримаємо систему трьох рівнянь із трьома невідомими:

a + b= - 6

ab + c = 14

ac = - 15 .

Рішення цієї системи значно спроститься, якщо врахувати, що число 3 (ділитель вільного члена) є коренем цього рівняння, і, отже,a = - 3 ,

b = - 3 і з = 5 .

Тоді х 3 – 6 х 2 + 14 х – 15 = (х – 3)(х 2 – 3 x + 5).

Застосований метод невизначених коефіцієнтів порівняно з викладеним вище методом введення допоміжних членів не містить нічого штучного, проте вимагає застосування багатьох теоретичних положень і супроводжується досить великими викладками. Для багаточленів вищого ступеня такий метод невизначених коефіцієнтів призводить до громіздких систем рівнянь.

2.2.Задач та з параметрами.

Останніми роками у випадках ЄДІ пропонуються завдання з параметрами. Їхнє рішення часто викликає певні труднощі. При вирішенні завдань з параметрами поряд з іншими методами можна ефективно застосувати метод невизначених коефіцієнтів. Саме цей метод дозволяє набагато спростити їх вирішення та швидко отримати відповідь.

Зада ла 3. Визначте, за яких значень параметра арівняння 2 х 3 – 3 х 2 – 36 х + а - 3 = 0 має рівно два корені.

Рішення. 1 спосіб. За допомогою похідної.

Уявимо дане рівняння у вигляді двох функцій

2х 3 – 3 х 2 – 36 х – 3 = – а .

f (x) = 2х 3 – 3 х 2 – 36 х– 3 та φ( х ) = – а .

Досліджуємо функціюf (x) = 2х 3 – 3 х 2 – 36 х – 3 за допомогою похідної та побудуємо схематично її графік (рис. 1.).

f( – x )f (x ) , f (– x ) – f (x ). Функція не є парною і не є непарною.

3. Знайдемо критичні точки функції, її проміжки зростання та спадання, екстремуми. f / (x ) = 6 x 2 – 6 х – 36. D (f / ) = R тому всі критичні точки функції знайдемо, вирішивши рівняння f / (x ) = 0 .

6(х 2 – х– 6) = 0 ,

х 2 – х– 6 = 0 ,

х 1 = 3 , х 2 = - 2 по теоремі, зворотній теоремі Вієта.

f / (x ) = 6(х – 3)(х + 2).

+ max - min +

2 3 x

f / (x) > 0 при всіх х< – 2 та х > 3 та функція безперервна в точкахх =– 2 та х = 3 , отже, вона зростає кожному з проміжків (- ; - 2] та [3; ).

f / (x ) < 0 при - 2 < х< 3 , отже, вона зменшується на проміжку [- 2; 3 ].

х = - 2 точки максимуму, т.к. у цій точці знак похідної змінюється з"+" на "-".

f (– 2) = 2· (– 8) – 3·4 – 36·(– 2) – 3 = – 16 – 12 + 72 – 3 == 72 – 31 = 41 ,

х = 3 точка мінімуму, так як у цій точці знак похідної змінюється"-" на "+".

f (3) = 2 · 27 - 3 · 9 - 36 · 3 - 3 = 54 - 27 - 108 - 3 = - 138 + +54 = - 84 .

Графік функції φ(х ) = – а є пряма, паралельна осі абсцис і проходить через точку з координатами (0; – а ). Графіки мають дві загальні точки –а= 41, тобто. а =– 41 та – а= - 84, тобто. а = 84 .

у

41 φ( х)

2 3 х

3 f ( x ) = 2х 3 – 3 х 2 – 36 х – 3

2 спосіб. методом невизначених коефіцієнтів.

Оскільки за умовою завдання дане рівняння повинно мати лише два корені, то очевидно виконання рівності:

2х 3 – 3 х 2 – 36 х + а – 3 = (х + b ) 2 (2 x + c ) ,

2х 3 – 3 х 2 – 36 х + а – 3 = 2 x 3 + (4 b + c ) x 2 + (2 b 2 + +2 bc ) x + b 2 c ,

Тепер прирівнюючи коефіцієнти за однакових ступенів х, отримаємо систему рівнянь

4 b + c = - 3

2b 2 + 2bc = - 36

b 2 c = a – 3 .

З перших двох рівнянь системи знайдемоb 2 + b – 6 = 0, звідки b 1 = - 3 або b 2 = 2 . Відповідні значенняз 1 та з 2 легко знайти з першого рівняння системи:з 1 = 9 або з 2 =-11. Остаточно, шукане значення параметра, можна визначити з останнього рівняння системи:

а = b 2 c + 3 , a 1 = - 41 або a 2 = 84.

Відповідь: дане рівняння має рівно два різні

кореня при а= - 41 а= 84 .

Задача 4. Знайдіть найбільше значення параметраа , при якому рівняннях 3 + 5 х 2 + ах + b = 0

з цілими коефіцієнтами має три різні корені, один з яких дорівнює – 2 .

Рішення. 1 спосіб. Підставивши х= - 2 у ліву частину рівняння, отримаємо

8 + 20 – 2 а + b= 0, отже, b = 2 a – 12 .

Оскільки число – 2 є коренем, можна винести загальний множник х + 2:

х 3 + 5 х 2 + ах + b = х 3 + 2 х 2 + 3 х 2 + ах + (2 a – 12) =

= x 2 (х + 2) + 3 x (х + 2) – 6 x + ах + (2 a – 12) =

= x 2 (х + 2) + 3 x (х + 2) + (a – 6)(x +2) - 2(a – 6)+ (2 a – 12) =

= (х + 2)(х 2 + 3 x + (a – 6) ) .

За умовою є ще два корені рівняння. Отже, дискримінант другого множника є позитивним.

D =3 2 - 4 (a – 6) = 33 – 4 a > 0 , тобто а < 8,25 .

Здавалося б, що буде відповіддю а = 8 . Але при підстановці числа 8 у вихідне рівняння отримуємо:

х 3 + 5 х 2 + ах + b = х 3 + 5 х 2 + 8 х + 4 = (х + 2)(х 2 + 3 x + 2 ) =

= (х + 1) (х + 2) 2 ,

тобто рівняння має лише два різні корені. А ось при а = 7 дійсно виходить три різні корені.

2 спосіб. Метод невизначених коефіцієнтів.

Якщо рівняння х 3 + 5 х 2 + ах + b = 0 має корінь х = - 2, то завжди можна підібрати числаc і d так, щоб за всіхх була вірна рівність

х 3 + 5 х 2 + ах + b = (х + 2)(х 2 + з x + d ).

Для знаходження чиселc і d розкриємо дужки у правій частині, наведемо подібні члени та отримаємо

х 3 + 5 х 2 + ах + b = х 3 + (2 + з ) х 2 +(2 з + d ) х + 2 d

Прирівнюючи коефіцієнти при відповідних ступенях хмаємо систему

2 + з = 5

2 з + d = a

2 d = b , звідки с = 3 .

Отже, х 2 + 3 x + d = 0 , D = 9 – 4 d > 0 або

d < 2,25 , отже d (- ; 2 ].

Умовою завдання задовольняє значення d = 1 . Остаточне значення параметраа = 7.

Відповідь: при а = 7 дане рівняння має три різні корені.

2.3. Розв'язання рівнянь.

«Пам'ятайте, що вирішуючи маленькі завдання, ви

готуєте себе до вирішення великих і праць-

них завдань.»

Академік С.Л.Соболєв

При вирішенні деяких рівнянь можна і потрібно виявити винахідливість та дотепність, застосовувати спеціальні прийоми. Володіння різноманітними прийомами перетворень та вміння проводити логічні міркування має у математиці велике значення. Один з цих прийомів полягає в тому, щоб додати і відняти деякі вдало підібраний вираз чи число. Сам собою сформульований факт, звичайно, добре всім відомий - основна складність полягає в тому, щоб побачити в конкретній конфігурації ті перетворення рівнянь, до яких його зручно і доцільно застосувати.

На простому рівнянні алгебри проілюструємо один нестандартний прийом рішення рівнянь.

Задача 5. Розв'язати рівняння

=
.

Рішення. Помножимо обидві частини даного рівняння на 5 і перепишемо так

= 0 ; х 0; -
;

= 0 ,

= 0 ,

= 0 або
= 0

Отримані рівняння вирішимо методом невизначених коефіцієнтів

х 4 - х 3 –7 х – 3 = (х 2 + ах + b )(x 2 + cx + d ) = 0

х 4 - х 3 –7 х – 3 = х 4 + (а+с ) х 3 + (b + а c + d ) х 2 + (ad + bc ) х+ + bd

Прирівнюючи коефіцієнти при х 3 , х 2 , хта вільні члени, отримаємо систему

а+с = -1

b + а c + d = 0

ad + bc = -7

bd = -3 Звідки знаходимо:а = -2 ; b = - 1 ;

з = 1 ; d = 3 .

Отже х 4 - х 3 –7х– 3 = (х 2 – 2 х – 1)(х 2 + х + 3) = 0 ,

х 2 – 2 х- 1 = 0 або х 2 + х + 3 = 0

х 1,2 =
немає коріння.

Аналогічно маємо

х 4 – 12х – 5 = (х 2 – 2 х – 1)(х 2 + 2х + 5) = 0 ,

звідки х 2 + 2 х + 5 = 0 , D = - 16 < 0 , нет корней.

Відповідь: х 1,2 =

Задача 6. Розв'язати рівняння

= 10.

Рішення. Для вирішення цього рівняння необхідно підібрати числааі b таким чином, щоб чисельники обох дробів були однаковими. Отже, маємо систему:

= 0 , х 0; -1 ; -

= - 10

Таким чином, завдання полягає в тому, щоб підібрати числааі b , для яких виконується рівність

(а + 6) х 2 + ах – 5 = х 2 + (5 + 2 b ) x + b

Тепер, відповідно до теореми про рівність багаточленів, необхідно, щоб права частина цієї рівності перетворилася на такий самий багаточлен, який стоїть у лівій частині.

Інакше кажучи, повинні виконуватись співвідношення

а + 6 = 1

а = 5 + 2 b

– 5 = b , звідки знаходимо значенняа = - 5 ;

b = - 5 .

При цих значенняхаі b рівність а + b = - 10 теж слушно.

= 0 , х 0; -1 ; -

= 0 ,

= 0 ,

(х 2 – 5х– 5)(х 2 + 3х + 1) = 0 ,

х 2 – 5х- 5 = 0 або х 2 + 3х + 1 = 0 ,

х 1,2 =
, х 3,4 =

Відповідь: х 1,2 =
, х 3,4 =

Задача 7. Розв'язати рівняння

= 4

Рішення. Дане рівняння складніше за попередні і тому згрупуємо таким чином, х 0;-1;3;-8;12

0 ,

= - 4.

З умови рівності двох багаточленів

ах 2 + (а + 6) х + 12 = х 2 + (b + 11) x – 3 b ,

отримаємо і розв'яжемо систему рівнянь щодо невідомих коефіцієнтіваі b :

а = 1

а + 6 = b + 11

12 = – 3 b , звідки а = 1 , b = - 4 .

Багаточлени - 3 - 6х + сх 2 + 8 схі х 2 + 21 + 12 d – dx рівні один одному тотожно лише тоді, коли

з = 1

8 с – 6 = - d

3 = 21 + 12 d , з = 1 , d = - 2 .

При значенняха = 1 , b = - 4 , з = 1 , d = - 2

рівність
= - 4 справедливо.

В результаті дане рівняння набуває наступного вигляду:

= 0 або
= 0 або
= 0 ,

= - 4 , = - 3 , = 1 , = -
.

З розглянутих прикладів видно, як уміле використання методу невизначених коефіцієнтів,

допомагає спростити розв'язання досить складного, незвичайного рівняння.

2.4. Функціональні рівняння.

«Вище призначення математики... складається

в тому, щоб знаходити прихований порядок у

хаос, який нас оточує»

Н.Вінер

Функціональні рівняння - дуже загальний клас рівнянь, в яких шукається деяка функція. Під функціональним рівнянням у вузькому значенні слова розуміють рівняння, у яких шукані функції пов'язані з відомими функціями однієї чи кількох змінних з допомогою операції освіти складної функції. Функціональне рівняння можна також розглядати як вираз властивості, що характеризує той чи інший клас функцій

[ наприклад, функціональне рівняння f ( x ) = f (- x ) характеризує клас парних функцій, функціональне рівнянняf (x + 1) = f (x ) - клас функцій, що мають період 1, і т.д.].

Одним із найпростіших функціональних рівнянь є рівнянняf (x + y ) = f (x ) + f (y ). Безперервні розв'язки цього функціонального рівняння мають вигляд

f (x ) = Cx . Однак у класі розривних функцій це функціональне рівняння має інші рішення. З розглянутим функціональним рівнянням пов'язані

f (x + y ) = f (x ) · f (y ), f (x y ) = f (x ) + f (y ), f (x y ) = f (x )· f (y ),

безперервні рішення, яких мають відповідно вигляд

е сх , Зlnx , x α (x > 0).

Таким чином, ці функціональні рівняння можуть служити для визначення показової, логарифмічної та статечної функцій.

Найбільшого поширення набули рівняння, у складних функціях яких шуканими є зовнішні функції. Теоретичні та практичні застосування

саме таких рівнянь спонукали видатних математиків до вивчення.

Так наприклад, урівняння

f 2 (x) = f (x - y)· f (x + y)

Н.І.Лобачевськийвикористовував щодо кута паралельності у своїй геометрії.

В останні роки завдання, пов'язані з розв'язанням функціональних рівнянь, часто пропонують на математичних олімпіадах. Їхнє рішення не вимагає знань, що виходять за рамки програми з математики загальноосвітніх шкіл. Однак розв'язання функціональних рівнянь часто спричиняє певні труднощі.

Одним із способів знаходження рішень функціональних рівнянь є метод невизначених коефіцієнтів. Його можна застосовувати тоді, коли на вигляд рівняння можна визначити загальний вигляд шуканої функції. Це відноситься, перш за все, до тих випадків, коли розв'язання рівнянь слід шукати серед цілих чи дрібно-раціональних функцій.

Викладемо суть цього прийому, вирішуючи такі завдання.

Задача 8. Функціяf (x ) визначена за всіх дійсних х і задовольняє за всіхх R умовою

3 f(x) - 2 f(1- x) = x 2 .

Знайдітьf (x ).

Рішення. Так як у лівій частині даного рівняння над незалежною змінною х та значеннями функціїf виконуються лише лінійні операції, а права частина рівняння - квадратична функція, то природно припустити, що потрібна функція також квадратична:

f (х) = ax 2 + bx + c , деa, b, c - Коефіцієнти, що підлягають визначенню, тобто невизначені коефіцієнти.

Підставляючи функцію рівняння, приходимо до тотожності:

3(ax 2 + bx+ c) – 2(a(1 – x) 2 + b(1 – x) + c) = x 2 .

ax 2 + (5 b + 4 a) x + (c – 2 a – 2 b) = x 2 .

Два багаточлени будуть тотожно рівні, якщо рівні

коефіцієнти при однакових ступенях змінної:

a = 1

5b + 4a = 0

c– 2 a – 2 b = 0.

З цієї системи знаходимо коефіцієнти

a = 1 , b = - , c = , такожзадовольняєрівності

3 f (x ) - 2 f (1- x ) = x 2 на множині всіх дійсних чисел. При цьому існує такеx 0 Задача 9. Функціяу =f(x) за всіх х визначена, безперервна і задовольняє умовіf (f (x)) – f(x) = 1 + 2 x . Знайдіть такі дві функції.

Рішення. Над функцією виконуються дві дії - операція складання складної функції і

віднімання. Враховуючи, що права частина рівняння – лінійна функція, природно припустити, що потрібна функція теж лінійна:f(x) = ах +b , деа іb - Невизначені коефіцієнти. Підставивши цю функцію вf (f ( (x ) = - х - 1 ;

f 2 (x ) = 2 х+ , що є рішеннями функціонального рівнянняf (f (x)) – f(x) = 1 + 2 x .

Висновок.

У висновку необхідно зазначити, що ця робота безумовно сприятиме подальшому вивченню оригінального та ефективного методу вирішення різноманітних математичних завдань, які є завданнями підвищеної труднощі та потребують глибокого знання шкільного курсу математики та високої логічної культури. Усі бажаючі самостійно поглибити свої знання з математики, також знайдуть у цій роботі матеріал для роздумів та цікаві завдання, вирішення яких принесе користь та задоволення.

У роботі в рамках існуючої шкільної програми та у формі, доступній для ефективного сприйняття, викладено метод невизначених коефіцієнтів, що сприяє поглибленню шкільного курсу математики.

Звичайно, всі можливості методу невизначених коефіцієнтів не можна показати в одній роботі. Насправді метод ще потребує подальшого вивчення та дослідження.

Список використаної литературы.

Глейзер Г.І.. Історія математики в школе.-М.: Просвітництво, 1983.

Гомонов С.А. Функціональні рівняння у шкільному курсі математики// Математика в школі. - 2000. -№10 .

Дорофєєв Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х.. Посібник з математики. - М.: Наука, 1972.

Курош А.Г.. Алгебраїчні рівняння довільних ступенів.-М: Наука, 1983.

Ліхтарніков Л.М.. Елементарне введення у функціональні рівняння. - СПб. : Лань, 1997.

Мантуров О.В., Солнцев Ю.К., Сорокін Ю.І., Федін Н.Г..Тлумачний словник математичних термінів.-М.: Просвітництво, 1971

Моденов В.П.. Посібник з математики. Ч.1.-М: МДУ, 1977.

Моденов В.П.. Завдання з параметрами.-М: Екзамен, 2006.

Потапов М.К., Александров В.В., Пасіченко П.І.. Алгебра та аналіз елементарних функцій.- М.: Наука, 1980.

Халіулін А.А.. Можна вирішувати простіше // Математика в школі. – 2003 . - №8 .

Халіулін.

4. Розкласти багаточлен 2х 4 – 5х 3 + 9х 2 – 5х+ 3 на множники із цілими коефіцієнтами.

5. При якому значенні а х 3 + 6х 2 + ах+ 12 на х+ 4 ?

6. При якому значенні параметраа рівняннях 3 +5 х 2 + + ах + b = 0 з цілими коефіцієнтами має два різні корені, один з яких дорівнює 1 ?

7. Серед коріння багаточлена х 4 + х 3 – 18х 2 + ах + b з цілими коефіцієнтами є три рівні цілих числа. Знайдіть значення b .

8. Знайдіть найбільше значення параметра а,при якому рівняння х 3 – 8х 2 + ах +b = 0 з цілими коефіцієнтами має три різні корені, один з яких дорівнює 2.

9. При яких значеннях аі b виконується без залишку поділ х 4 + 3х 3 – 2х 2 + ах + b на х 2 – 3х + 2 ?

10. Розкласти багаточлени на множники:

а)х 4 + 2 х 2 – х + 2 в)х 4 – 4х 3 +9х 2 –8х + 5 д)х 4 + 12х – 5

б)х 4 + 3х 2 + 2х + 3 г)х 4 – 3х –2 е)х 4 – 7х 2 + 1 .

11. Розв'яжіть рівняння:

а)
= 2 = 2 f (1 – х ) = х 2 .

Знайдіть f (х) .

13. Функція у= f (х) при всіх хвизначена, безперервна та задовольняє умові f ( f (х)) = f (х) + х.Знайдіть такі дві функції.

Метод застосовується для мінімізації функцій алгебри логіки від будь-якого числа змінних.

Розглянемо випадок трьох змінних. Бульова функція в ДНФ може бути представлена ​​у вигляді різних кон'юнктивних членів, які можуть входити до ДНФ:

де kÎ(0,1) - коефіцієнти. Метод полягає у підборі коефіцієнтів таким чином, щоб отримувана ДНФ була мінімальною.

Якщо тепер задати різні значення змінних від 000 до 111, то отримаємо 2 n (2 3 = 8) рівнянь для визначення коефіцієнтів k:

Розглядаючи набори, на яких функція набуває нульового значення, визначають коефіцієнти, які рівні 0, і викреслюють їх з рівнянь, у правій частині яких стоїть 1. З коефіцієнтів, що залишилися, в кожному рівнянні до одиниці прирівнюють по одному коефіцієнту, що визначає кон'юнкцію найменшого рангу. Інші коефіцієнти прирівнюють до 0. Отже, одиничні коефіцієнти kвизначають відповідну мінімальну форму.

Приклад. Мінімізувати задану функцію

якщо відомі значення:
;
;
;
;
;
;
;
.

Рішення.

Після викреслення нульових коефіцієнтів отримаємо:

=1;

=1;

=1;

=1.

Прирівняємо до одиниці коефіцієнт , що відповідає кон'юнкції найменшого рангу і звертає чотири останні рівняння в 1, а в першому рівнянні доцільно прирівняти до 1 коефіцієнт . Інші коефіцієнти прирівнюють до 0.

Відповідь: вид мінімізованої функції.

Слід зазначити, що метод невизначених коефіцієнтів ефективний, коли кількість змінних є невеликою і не перевищує 5-6.

Багатовимірний куб

Розглянемо графічне уявлення функції як багатомірного куба. Кожній вершині n-мірного куба можна поставити у відповідність до конституенту одиниці.

Підмножина зазначених вершин є відображенням на n-мірному кубі булевої функції від nзмінних у СДНФ.

Для відображення функції від nзмінних, представлених у будь-якій ДНФ, необхідно встановити відповідність між її мінітермами та елементами n-Мірного куба.

Мінітерм (n-1)-го рангу
можна розглядати як результат склеювання двох мінітермів n-го рангу, тобто.

=

На n-мірному кубі це відповідає заміні двох вершин, які відрізняються лише значеннями координат х i, що з'єднують ці вершини рубом (кажуть, що ребро покриває інцидентні йому вершини).

Таким чином, мінітермам ( n-1)-го порядку відповідають ребра n-мірного куба.

Аналогічно встановлюється відповідність мінітермів ( n-2)-го порядку граням n-мірного куба, кожна з яких покриває чотири вершини (і чотири ребра).

Елементи n-мірного куба, що характеризуються Sвимірами, називаються S-Кубами.

Так вершини є 0-кубами, ребра 1-кубами, грані 2-кубами тощо.

Узагальнюючи, можна сказати, що мінітерм ( n-S) рангу в ДНФ для функції nзмінних відображається S-кубом, причому кожен S-Куб покриває всі ті куби нижчої розмірності, які пов'язані тільки з його вершинами.

приклад. На рис. дано відображення

Тут мінітерми
і
відповідають 1-кубам ( S=3-2=1), а мінітерм х 3 відображається 2-кубам ( S=3-1=2).

Отже, будь-яка ДНФ відображається на n-мірному кубі сукупністю S-Кубів, які покривають всі вершини, що відповідають конституентам одиницям (0-куба)

Конституенти. Для змінних х 1 ,х 2 ,…х nвираз
називають конституентою одиниці, а
- конституентою нуля ( означає або , або ).

Ця конституента одиниці (нуля) звертається в одиницю (нуль) лише за одному відповідному їй наборі значень змінних, який виходить, якщо всі змінні прийняти рівними одиниці (нулю), які заперечення - нулю (одиниці).

Наприклад: конституент одиниці
відповідає набір (1011), а конституенті нуля
- Набір (1001).

Оскільки СД(К)НФ є диз'юнкцією (кон'юнкцією) конституент одиниці (нуля), можна стверджувати, що представлена ​​нею булева функція f(x 1 , x 2 ,…, x n) звертається в одиницю (нуль) тільки при наборах значень змінних x 1 , x 2 ,…, x n, що відповідають цим копституантам. На інших наборах ця функція звертається до 0 (одиницю).

Справедливе та зворотне твердження, на якому заснований спосіб представлення у вигляді будь-якої формулибульової функції, заданою таблицею.

Для цього необхідно записати диз'юнкції (кон'юнкції) конституент одиниці (нуля), що відповідають наборам значень змінних, на яких функція набуває значення, що дорівнює одиниці (нулю).

Наприклад, функції, заданої таблицею

відповідають

Отримані вирази можна перетворити на інший вид виходячи з властивостей алгебри логіки.

Справедливе та зворотне твердження: якщо деяка сукупність S-Кубів покриває безліч всіх вершин, що відповідають одиничним значенням функції, то диз'юнкція відповідних цим S-кубам мінітермів є виразом цієї функції в ДНФ

Говорять, що така сукупність S-Кубів (або відповідних їм мінітермів) утворює покриття функції. Прагнення до мінімальної форми інтуїтивно розуміється як пошук такого покриття. S-Кубів якого було б менше, а їх розмірність S- Більше. Покриття, що відповідає мінімальній формі, називають мінімальним покриттям.

Наприклад, для функції у=
покриття відповідає немінімальній формі:

рис a) у=,

а покриття на рис б) у=
, рис в) у=
мінімальні.

Рис. Покриття функції у=:

а) немінімальне; б); в) мінімальне.

Відображення функції на n-мірному наочно і просто при n3. Чотиривимірний куб можна зобразити, як показано на рис., де відображені функції чотирьох змінних та її мінімальне покриття, що відповідає виразу у=

Використання цього методу при n>4 вимагає настільки складних побудов, що втрачає всі переваги.