ВИЗНАЧЕННЯ

Алгебраїчною формою комплексного числа є запис комплексного числа \(\ z \) у вигляді \(\ z=x+i y \), де \(\ x \) і \(\ y \) - речові числа, \(\ i \ ) - уявна одиниця, що задовольняє співвідношення \(\ i^(2)=-1 \)

Число \(\ x \) називається речовою частиною комплексного числа \(\ z \) і позначається \(\ x=\operatorname(Re) z \)

Число \(\ y \) називається уявною частиною комплексного числа \(\ z \) і позначається \(\ y=\operatorname(Im) z \)

Наприклад:

Комплексне число \(\ z=3-2 i \) та його приєднане число \(\ \overline(z)=3+2 i \)записані в формі алгебри.

Уявна величина (z = 5 i) записується в алгебраїчній формі.

Крім того, залежно від розв'язуваної задачі, ви можете перевести комплексне число в тригонометричну або експоненційну.

Завдання

Напишіть число \(\ z=\frac(7-i)(4)+13 \) в формі алгебри, знайдіть її дійсну і уявну частини, а також сполучене число.

Рішення.

Застосовуючи термін розподіл фракцій та правило складання дробів, отримаємо:

\(\ z=\frac(7-i)(4)+13=\frac(7)(4)+13-\frac(i)(4)=\frac(59)(4)-\frac( 1) (4) i \)

Тому речова частина комплексного числа \(\ z=\frac(5 g)(4)-\frac(1)(4) i \) є число \(\ x=\operatorname(Re) z=\frac(59) (4) \) , уявна частина - число \(\ y=\operatorname(Im) z=-\frac(1)(4) \)

Сполучене число: \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)

Відповідь

\(\ z=\frac(59)(4)-\frac(1)(4) i \), \(\ \operatorname(Re) z=\frac(59)(4) \), \(\ \operatorname(Im) z=-\frac(1)(4) \), \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)

Дії комплексних чисел в формі алгебри порівняння

Два комплексні числа \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) називаються рівними, якщо \(\ x_(1)=x_(2) \), \(\ y_(1)= y_(2) \) т. e. Їхня дійсна і уявна частини рівні.

Завдання

Визначити, для яких х і у два комплексних числа \(\ z_(1)=13+y i \) та \(\ z_(2)=x+5 i \) рівні.

Рішення

За визначенням два комплексні числа рівні, якщо їх дійсна і уявна частини рівні, тобто e. \(\x=13\), \(\y=5\).

Відповідь \(\x=13\), \(\y=5\)

додаток

Додавання комплексних чисел \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) виконується шляхом прямого підсумовування речовинної та уявної частин:

\(\ z_(1)+z_(2)=x_(1)+i y_(1)+x_(2)+i y_(2)=\left(x_(1)+x_(2)\right) +i\left(y_(1)+y_(2)\right) \)

Завдання

Знайти суму комплексних чисел \(\ z_(1)=-7+5 i \), \(\ z_(2)=13-4 i \)

Рішення.

Справжньою частиною комплексного числа \(\ z_(1)=-7+5 i \) є число \(\ x_(1)=\operatorname(Re) z_(1)=-7 \) , уявна частина - число \( \ y_(1)=\mathrm(Im) \), \(\ z_(1)=5 \) . Реальна та уявна частини комплексного числа \(\ z_(2)=13-4 i \) рівні відповідно \(\ x_(2)=\operatorname(Re) z_(2)=13 \) та \(\ y_(2) )=\operatorname(Im) z_(2)=-4 \) .

Отже, сума комплексних чисел:

\(\ z_(1)+z_(2)=\left(x_(1)+x_(2)\right)+i\left(y_(1)+y_(2)\right)=(-7+ 13) + i (5-4) = 6 + i \)

Відповідь

\(\ z_(1)+z_(2)=6+i \)

Докладніше про додавання комплексних чисел в окремій статті: Додавання комплексних чисел.

Віднімання

Віднімання комплексних чисел \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) і \(\ z_(2)=x_(2)+i y_(2) \) виконується шляхом прямого віднімання дійсної і уявної частин:

\(\ z_(1)-z_(2)=x_(1)+i y_(1)-\left(x_(2)+i y_(2)\right)=x_(1)-x_(2) +\left(i y_(1)-i y_(2)\right)=\left(x_(1)-x_(2)\right)+i\left(y_(1)-y_(2)\right ) \)

Завдання

знайти різницю складних чисел \(\ z_(1)=17-35 i \), \(\ z_(2)=15+5 i \)

Рішення.

Знайдіть дійсну та уявну частини комплексних чисел \(\ z_(1)=17-35 i \), \(\ z_(2)=15+5 i \) :

\(\ x_(1)=\operatorname(Re) z_(1)=17, x_(2)=\operatorname(Re) z_(2)=15 \)

\(\ y_(1)=\operatorname(Im) z_(1)=-35, y_(2)=\operatorname(Im) z_(2)=5 \)

Тому різниця комплексних чисел:

\(\ z_(1)-z_(2)=\left(x_(1)-x_(2)\right)+i\left(y_(1)-y_(2)\right)=(17-15 )+i(-35-5)=2-40 i \)

Відповідь

\(\ z_(1)-z_(2)=2-40 i \) множення

Множення комплексних чисел \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) і \(\ z_(2)=x_(2)+i y_(2) \)виконується шляхом безпосереднього народження чисел в алгебраїчної формі з урахуванням властивості уявної одиниці \(\ i^(2)=-1 \) :

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\left(x_(1)+i y_(1)\right) \cdot\left(x_(2)+i y_(2)\right)=x_ (1) \cdot x_(2)+i^(2) \cdot y_(1) \cdot y_(2)+\left(x_(1) \cdot i y_(2)+x_(2) \cdot i y_(1)\right)= \)

\(\ =\left(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\right)+i\left(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2) ) \cdot y_(1)\right) \)

Завдання

Знайти добуток комплексних чисел \(\ z_(1)=1-5 i \)

Рішення.

Комплекс комплексних чисел:

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\left(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\right)+i\left(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2) \cdot y_(1)\right)=(1 \cdot 5-(-5) \cdot 2)+i(1 \cdot 2+(-5) \cdot 5 ) = 15-23 i \)

Відповідь

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=15-23 i \) поділ

Фактор комплексних чисел \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) і \(\ z_(2)=x_(2)+i y_(2) \) визначається шляхом множення чисельника та знаменника на сполучене число зі знаменником:

\(\ \frac(z_(1))(z_(2))=\frac(x_(1)+i y_(1))(x_(2)+i y_(2))=\frac(\left (x_(1)+i y_(1)\right)\left(x_(2)-i y_(2)\right))(\left(x_(2)+i y_(2)\right)\left (x_(2)-i y_(2)\right))=\frac(x_(1) \cdot x_(2)+y_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2) +y_(2)^(2))+i \frac(x_(2) \cdot y_(1)-x_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2)+y_(2) )^(2)) \)

Завдання

Щоб поділити число 1 на комплексне число \(\z=1+2i).

Рішення.

Оскільки уявна частина дійсного числа 1 дорівнює нулю, фактор дорівнює:

\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1 \cdot 1)(1^(2)+2^(2))-i \frac(1 \cdot 2)(1^( 2)+2^(2))=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5) \)

Відповідь

\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5) \)

Комплексні числа - розширення множини дійсних чисел, зазвичай позначається . Будь-яке комплексне число може бути представлене як формальна сума , де і - речові числа, - уявна одиниця.

Запис комплексного числа у вигляді , , називається формою алгебри комплексного числа.

Властивості комплексних чисел. Геометрична інтерпретація комплексного числа.

Дії над комплексними числами, заданими в формі алгебри:

Розглянемо правила, якими проводяться арифметичні дії над комплексними числами.

Якщо дано два комплексні числа α = a + bi і β = c + di, то

α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

α – β = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i . (11)

Це випливає з визначення дій складання та віднімання двох упорядкованих пар дійсних чисел (див. формули (1) та (3)). Ми отримали правила складання та віднімання комплексних чисел: щоб скласти два комплексні числа, треба окремо скласти їх дійсні частини і відповідно уявні частини; щоб від одного комплексного числа відняти інше, необхідно відняти відповідно їх дійсні та уявні частини.

Число – α = – a – bi називають протилежним числу α = a + bi. Сума цих двох чисел дорівнює нулю: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b)i = 0.

Для отримання правила множення комплексних чисел скористаємося формулою (6), тобто тим, що i2 = -1. З огляду на це співвідношення, знаходимо (a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc) i – bd, тобто.

(a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc) i. (12)

Ця формула відповідає формулі (2), якою визначалося множення впорядкованих пар дійсних чисел.

Зазначимо, що сума та добуток двох комплексно сполучених чисел є дійсними числами. Насправді, якщо α = a + bi, = a – bi, то α = (a + bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2 , α + = (a + bi) + (a - bi) = ( a + a) + (b - b) i = 2a, тобто.

α + = 2a, α = a2 + b2. (13)

При розподілі двох комплексних чисел в формі алгебри слід очікувати, що приватне виражається також числом того ж виду, тобто α/β = u + vi, де u, v R. Виведемо правило поділу комплексних чисел. Нехай дані числа α = a + bi, β = c + di, причому β ≠ 0, тобто c2 + d2 ≠ 0. Остання нерівність означає, що c і d одночасно в нуль не звертаються (виключається випадок, коли с = 0, d = 0). Застосовуючи формулу (12) та другу з рівностей (13), знаходимо:

Отже, частка двох комплексних чисел визначається формулою:

відповідної формули (4).

За допомогою отриманої формули для числа β = с + di можна знайти зворотне число β-1 = 1/β. Вважаючи у формулі (14) а = 1, b = 0, отримуємо

Ця формула визначає число, обернене даному комплексному числу, відмінному від нуля; це число також є комплексним.

Наприклад: (3+7i) + (4+2i) = 7+9i;

(6 + 5i) - (3 + 8i) = 3 - 3i;

(5 - 4i) (8 - 9i) = 4 - 77i;

Дії над комплексними числами в формі алгебри.

55. Аргумент комплексного числа. Тригонометрична форма запису комплексного числа (висновок).

Арг.ком.числа. – між позитивним напрямком дійсної осі Х вектором, що зображує дане число.

Формула тригон. Числа: ,

Комплексні числа

Уявні і комплексні числа. Абсциса та ордината

комплексного числа. Сполучені комплексні числа.

Операції із комплексними числами. Геометричне

подання комплексних чисел. Комплексна площина.

Модуль та аргумент комплексного числа. Тригонометрична

Форма комплексного числа. Операції з комплексними

числами у тригонометричній формі. Форма Муавра.

Початкові відомості про уявних і комплексних числах наведено у розділі «Уявні та комплексні числа». Необхідність у цих числах нового типу з'явилася під час вирішення квадратних рівнянь для випадкуD< 0 (здесь D– дискримінант квадратного рівняння). Довгий час ці числа не знаходили фізичного застосування, тому їх і назвали «уявними» числами. Однак зараз вони дуже широко застосовують у різних галузях фізики.

та техніки: електротехніці, гідро- та аеродинаміці, теорії пружності та ін.

Комплексні числа записуються у вигляді:a + bi. Тут aі b – дійсні числа , а i – уявна одиниця, т.е. e. i 2 = –1. Число aназивається абсцисою, a b – ординатоюкомплексного числаa + bi.Два комплексні числаa + biі a – bi називаються пов'язанимикомплексними числами.

Основні домовленості:

1. Справжнє числоаможе бути також записано у формікомплексного числа:a + 0 iабо a – 0 i. Наприклад, записи 5 + 0iта 5 – 0 iозначають те саме число 5 .

2. Комплексне число 0 + biназивається чисто уявним числом. Записbiозначає те саме, що і 0 + bi.

3. Два комплексні числаa + bi іc + diвважаються рівними, якщоa = cі b = d. В іншому випадку комплексні числа не рівні.

Додавання. Сумою комплексних чиселa + biі c + diназивається комплексне число (a + c ) + (b + d ) i.Таким чином, при складанні комплексних чисел окремо складаються їх абсциси та ординати.

Це визначення відповідає правилам дій із звичайними багаточленами.

Віднімання. Різницею двох комплексних чиселa + bi(зменшуване) та c + di(віднімається) називається комплексне число (a – c ) + (b – d ) i.

Таким чином, при відніманні двох комплексних чисел окремо віднімаються їх абсциси та ординати.

множення. Добутком комплексних чиселa + biі c + di називається комплексне число:

(ac – bd ) + (ad + bc ) i.Це визначення випливає із двох вимог:

1) числа a + biі c + diповинні перемножуватися, як алгебраїчнідвочлени,

2) число iмає основну властивість:i 2 = – 1.

Примірник. ( a+ bi )(a – bi) = a 2 + b 2 . Отже, твір

двох сполучених комплексних чисел дорівнює дійсному

позитивного числа.

Розподіл. Розділити комплексне числоa + bi (ділене) на іншеc + di(Дільник) - значить знайти третє числоe + f i(чатне), яке будучи помноженим на дільникc + diдає в результаті діленеa + bi.

Якщо дільник не дорівнює нулю, поділ завжди можливий.

П р і м е р. Знайти (8 +i ) : (2 – 3 i) .

Розв'язання. Перепишемо це ставлення у вигляді дробу:

Помноживши її чисельник та знаменник на 2 + 3i

І виконавши всі перетворення, отримаємо:

Геометричне уявлення комплексних чисел. Дійсні числа зображуються точками на числовій прямій:

Тут крапка Aозначає число -3, точкаB- Число 2, і O- Нуль. На відміну від цього, комплексні числа зображуються точками на координатній площині. Виберемо при цьому прямокутні (декартові) координати з однаковими масштабами обох осях. Тоді комплексне числоa + bi буде представлено точкою Р з абсцисою а і ординатою b (Див. рис.). Ця система координат називається комплексною площиною .

Модулем комплексного числа називається довжина вектораOP, що зображує комплексне число на координатній ( комплексної) площині. Модуль комплексного числаa + biпозначається | a + bi| або буквою r

Розглянемо квадратне рівняння.

Визначимо його коріння.

Немає дійсного числа, квадрат якого дорівнює -1. Але якщо формулою визначити оператор iяк уявну одиницю, то розв'язання цього рівняння можна записати у вигляді . При цьому і - Комплексні числа, в яких -1 це дійсна частина, 2 або в другому випадку -2 - уявна частина. Уявна частина – це також дійсне (речове) число. Уявна частина, помножена на уявну одиницю, означає вже уявна кількість.

У загальному вигляді комплексне число має вигляд

z = x + iy ,

де x, y– речові числа, – уявна одиниця. У ряді прикладних наук, наприклад, в електротехніці, електроніці, теорії сигналів уявна одиниця позначається через j. Речові числа x = Re(z)і y =Im(z)називаються речовинної та уявної частинамичисла z.Вираз називається алгебраїчною формоюзаписи комплексного числа.

Будь-яке дійсне число є окремим випадком комплексного числа у вигляді . Уявне число теж окремий випадок комплексного числа .

Визначення безлічі комплексних чисел С

Цей вираз читається так: безліч З, що складається з елементів , таких як xі yналежать безлічі дійсних чисел Rі - це уявна одиниця. Зазначимо, що й т.д.

Два комплексні числа і рівні, якщо тільки якщо рівні їх дійсні і уявні частини, тобто. та .

Комплексні числа та функції широко використовуються в науці та техніці, зокрема, в механіці, аналізі та розрахунку ланцюгів змінного струму, аналогової електроніки, в теорії та обробці сигналів, в теорії автоматичного управління та ін прикладних науках.

1. Арифметика комплексних чисел

Додавання двох комплексних чисел полягає у додаванні їх дійсних і уявних частин, тобто.

Відповідно різниця двох комплексних чисел

Комплексне число називається комплексно пов'язанимчислу z =x +iy.

Комплексно пов'язані числа z і z * відрізняються знаками уявної частини. Очевидно, що

.

Будь-яка рівність між комплексними виразами залишається справедливою, якщо у цій рівності всюди iзамінити на - i, тобто. перейти до рівності сполучених чисел. Числа iі – iалгебраїчно невиразні, оскільки .

Добуток (множення) двох комплексних чисел може бути обчислено наступним чином:

Розподіл двох комплексних чисел:

приклад:

1. Комплексна площина

Комплексне число графічно можна у прямокутної системі координат. Задамо в площині прямокутну систему координат (x, y).

На осі Oxбудемо мати дійсні частини x, вона називається справжньою (речовинною) віссю, на осі Ой-Уявні частини yкомплексних чисел. Вона має назву уявної осі. При цьому кожному комплексному числу відповідає певна точка площини і така площина називається комплексною площиною. Точці Акомплексної площині буде відповідати вектор ОА.

Число xназивається абсцисоюкомплексного числа y – ординатою.

Пара комплексно сполучених чисел відображається точками, розташованими симетрично щодо дійсної осі.

Якщо на площині поставити полярну систему координат, то кожне комплексне число zвизначається полярними координатами. При цьому модульчисла – це полярний радіус крапки, а кут - її полярний кут чи аргумент комплексного числа z.

Модуль комплексного числа завжди невід'ємний. Аргумент комплексного числа не визначається однозначно. Головне значення аргументу має задовольняти умову . Кожній точці комплексної площини відповідає також загальне значення аргументу. Аргументи, що відрізняються значенням, кратним 2π, вважаються рівними. Аргумент числа нуль не визначено.

Головне значення аргументу визначають за словами:

Очевидно, що

При цьому
, .

Подання комплексного числа zу вигляді

називається тригонометричною формоюкомплексного числа.

приклад.

1. Показова форма комплексних чисел

Розкладання в ряд Маклоренадля функцій дійсного аргументу має вигляд:

Для експоненційної функції комплексного аргументу zрозкладання має аналогічний характер

.

Розкладання до ряду Маклорена для експоненційної функції уявного аргументу можна як

Тотоство, що вийшло, називається формулою Ейлера.

Для негативного аргументу воно має вигляд

Комбінуючи ці вирази, можна визначити такі вирази для синуса та косинуса

.

Користуючись формулою Ейлера, із тригонометричної форми подання комплексних чисел

можна отримати показову(Експоненційну, полярну) форму комплексного числа, тобто. його подання у вигляді

,

де - Полярні координати точки з прямокутними координатами ( x,y).

Число, пов'язане комплексному числу, у показовій формі записується наступним чином.

Для показової форми легко визначити наступні формули множення та поділу комплексних чисел

Тобто, у показовій формі твір та поділ комплексних чисел виконується простіше, ніж у формі алгебри. При множенні модулі помножувачів перемножуються, а аргументи складаються. Це правило поширюється на будь-яку кількість співмножників. Зокрема, при множенні комплексного числа zна iвектор zповертається проти годинникової стрілки на 90

При розподілі модуль чисельника ділиться на модуль знаменника, і з аргументу чисельника віднімається аргумент знаменника.

Використовуючи показову форму комплексних чисел, можна отримати вирази відомих тригонометричних тотожностей. Наприклад, з тотожності

за допомогою формули Ейлера можна записати

Прирівнюючи дійсну та уявну частини в даному виразі, отримуємо вирази для косинуса та синуса суми кутів.

1. Ступені, коріння та логарифми комплексних чисел

Зведення комплексного числа у натуральний ступінь nпроводиться за формулою

приклад. Обчислимо .

Уявимо число у тригонометричній формі

’

Застосовуючи формулу зведення у ступінь, отримаємо

Поклавши у виразі значення r= 1, отримаємо так звану формулу Муавра, за допомогою якої можна визначати вирази синусів та косінусів кратних кутів.

Корінь n-й ступеня з комплексного числа zмає nрізних значень, що визначаються за виразом

приклад. Знайдемо.

Для цього висловимо комплексне число () до тригонометричної форми

.

За формулою обчислення кореня з комплексного числа, одержуємо

Логарифм комплексного числа z– це число w, для котрого . Натуральний логарифм комплексного числа має безліч значень і обчислюється за формулою

Складається з дійсної (косинусоїдальної) та уявної (синусоїдальної) частини. Таку напругу можна представляти як вектор довжиною U m, початковою фазою (кутом) , що обертається з кутовою швидкістю ω .

При цьому якщо комплексні функції складаються, то складаються їх речові та уявні частини. Якщо комплексна функція множиться на константу чи речову функцію, її речова і уявна частини множаться той самий множник. Диференціювання/інтегрування такої комплексної функції зводиться до диференціювання/інтегрування речовинної та уявної частини.

Наприклад, диференціювання виразу комплексної напруги

полягає в множенні його на iω - речова частина функції f(z), а - Уявна частина функції. Приклади: .

Значення zзображується точкою в комплексній площині z, а відповідне значення w- точкою в комплексній площині w. При відображенні w = f(z)лінії площини zпереходять у лінії площини w, фігури однієї площини фігури інший, але форми ліній або фігур можуть істотно змінитися.