Інтегральне перетворення. Розділ xxxiii

Операційні методи.

Для багатьох завдань теплопровідності використання класичних методів виявляється неефективним, наприклад, застосування методу поділу змінних для завдань із внутрішніми джерелами тепла.

Основні правила та теореми операційного обчислення були отримані М.Віщенком-Захарченком та Хевісвйдом. Найбільшого поширення вони набули в електротехніці завдяки роботам Хевісайду.

Операційний метод Хевісвіда рівнозначний методу інтегрального перетворення Лапласа.

Метод перетворення Лапласа у тому, що вивчається сама функція (оригінал), та її видозміна (зображення).

Інтегральне перетворення функції
визначається формулою

(40)

Тут S може бути комплексним числом; але при цьому річ частина більше 0.

- оригінал;
- Зображення функції. Щоб зображення існувало необхідно, інтеграл (51) має сходитися.

Якщо завдання вирішено у зображеннях, то оригінал визначається за зображенням (обр-е преобр-е) за допомогою формули звернення

(41)

Замість формули (52) для визначення оригіналу функції її зображення можна скористатися наступною формулою звернення

(41.а)

Ця формула дає можливість одержати оригінал функції лише з допомогою операція диференціювання і до межі.

Якщо зображення є функцією

(42)

яка є частковим випадком двох цілих трансцендентних функцій, то за теоремою розкладання маємо

(43)

де - просте корінняфункції
; при цьому знаменник не містить вільних членів та

2. Якщо зображення
є відношенням двох номіналів (дрібно-раціональна функція), причому ступінь номіналу
менше ступеня номіналу
, та номінал
має коріння кратності K у точках , то

де сума береться за всім корінням
. Якщо всі коріння просте, тобто. всі До рівні одиниці, то формула (5) перетворюється на (43)

Інтегральне перетворення Лапласа має недоліки. Зокрема, труднощі виникають під час вирішення завдань, де умови задані як функції просторових координат, чи вирішенні багатовимірних завдань.

У зв'язку з цим було запропоновано низку методів інтегральних перетворень за просторовими координатами відповідно до геометричної форми тіла.

Якщо перетворення береться за просторовою координатою х, то інтегральне перетворення функції
може бути представлено так:

(44)

Якщо ядро ​​перетворення K(p,x) береться як
або
, то це інтегральне перетворення називається відповідно синус-або косинус-перетворенням Фур'є.

Якщо ж ядром перетворення вибрано функцію Бесселя
, то воно називається перетворенням Ханкеля.

Комплексне перетворення Фур'є зручно застосовувати для тіл необмеженої протяжності, синус-перетворення Фур'є слід використовувати, коли поверхні тіла задано значення формулами, тобто. при ГУ!, а косинус - перетворення Фур'є, коли вирішується диф. рівняння перенесення при ГУ2. Перетворення Ханкеля застосовні у разі, коли тіло має осьову симетрично. Практичне застосування названих інтегральних перетворень за наявності докладних таблиць зображення не викликають особливих труднощів.

Перехід від зображень до оригіналів можна здійснити за формулами звернення для:

Комплексне перетворення Фур'є

(45)

Синус-перетворення Фур'є

(46)

Косинус-перетворення Фур'є

(47)

Перетворення Ханкелю

(48)

Розглянуті інтегральні перетворення можна застосовувати для тіл напівобмеженої протяжності.

Кінцеві інтегральні перетворення

Обмеженість інтегральних перетворень Фур'є, Ханкеля, і частково Лапласа, з одного боку, і гостра потреба у вирішенні завдань із кінцевою областю зміни змінних, з іншого, призвели до створення методів кінцевих інтегральних перетворень. Вони кращі навіть для завдань, розв'язуваних класичними методами.

Ідею методу кінцевих інтегральних перетворень запропоновано Н.С. Комековим

(49)

Подальше опрацювання питань методу кінцевих інтегральних перетворень відбито у працях Гриабарга Г.А., Следдона, Трантера, Дега (Дейг) та інших.

Якщо межа інтегрування полягає між 0 і е, ядро ​​кінцевих синус- і косинус-перетворень Фур'є, а також перетворення Ханкеля відповідно мають вигляд:

(50)

(51)

При ГУ1 та ГУ2
, а за ГУ3 є корінням рівняння

(52)

Перетворення невизначених інтегралів Подібно до того, як в алгебрі даються правила, що дозволяють перетворювати алгебраїчні виразиз метою їх спрощення, так і для невизначеного інтегралуІснують правила, що дозволяють проводити його перетворення. I. Інтеграл від суми алгебри функцій дорівнює алгебраїчній суміінтегралів від кожного члена окремо, тобто S dx=lf(x)dx+l (i)="" ii.="" постійний множник можна "винести="" за="" знак="" інтеграла, е.="" ( с-постійна величинаформула інтегрування частинами, а саме: Доведемо формулу (III). Візьмемо диференціал від правої частини рівності (III) Застосовуючи формулу 4 таблиці § 2 гл. IX отримаємо x. Член перетворимо за формулою 5 тієї ж таблиці: а член d J /" (д:) ф (л;) dx за формулою (Б) § 1 цього розділу дорівнює df (*)ф = =/ (х) ф" (л:) dx + ф (х) / "(х) dx -/" (х) ф (*) dx = = f (x) y" (x) dx, тобто ми отримали те, що виходить При диференціації лівої частини рівності (III) Аналогічно перевіряються формули (I) і (II) Приклад 1. ^ (лг* - Застосовуючи правило інтегрування I і формули 1 і 5 з таблиці інтегралів, отримуємо J (х1- sin л:) dx = ^ хг dx-^ sin xdx = х * х9 = (-cosх) + С = y + cos х + С. Приклад 2. I ^ dx.Застосовуючи правило II і формулу J COS X 6 з таблиці інтегралів , отримуємо J cos2* J COS2* to 1 Приклад 3. ^ Inx dx.У таблиці іцегралів, наведених у § 1, такого інтеграла немає.Обчислимо його, інтегруючи частинами, для цього перепишемо даний інтеграл таким чином: In л: 1 dx.Поклавши /(х) = In л: і<р"(д;)=п1, применим правило интегрирования по частям: J 1 п лг tf* = 1 п л: ср (л;) - J (In х)" ф (х) dx. Но так как ф (л:) = J ф" (л:) dx = ^ 1. = j х0 dx, то, применяя формулу 1 таблицы интегралов (п = 0), получим Ф = *. Окончательно получаем Inxdx = x In л:- = л: In х- J dx - x In jc - x + C. Пример 4. Рассмотрим ^ л; sfn л; rfx. Положим f(x) - x и ф" (л:) = sinx. Тогда ф(лг) = - cosjc, так как (-cos*)" = = sin*. Применяя интегрирование по частям, будем иметь J х sin х dx = - х cos *- J (*)" (- cos x) dx = = - x cos * + ^ cos x dx = - x cos x + sin x + C. Пример 5. Рассмотрим ^ хгехdx. Положим /(x) = xг и ф"(лг) = е*. Тогда ф(лг) = е*, так как (ех)" = ех. Применяя интегрирование по частям, будем иметь J хгех dx = x*ex- J (л:1)" dx = = хгех - 2 ^ хех dx. (*) Таким образом, заданный интеграл выражен при помощи более простого интеграла J хех dx. Применим к последнему интегралу еще раз формулу интегрирования по частям, для этого положим f(x) = x и ф/(лг) = ех. Преобразования неопределенных интегралов Отсюда ^ хех dx = хех - ^ (х)" ех dx = ~хе*-J ех dx = xe* - ех Соединяя равенства (*) и (**), получим окончательно ^ х2е* dx = x2ex - 2 [хех - ех + С] = = х2ех - 2хех + 2ех - 2 С = = хгех - 2хех + 2ех + С, где Ct = - 2С, так что С, есть произвольное постоянное интегрирования.

Перетворення, яким функції речових змінних зіставляється функція

Речовинних змінних, і змінної 7, взагалі кажучи комплексною, називають інтегральним перетворенням за змінною Змінну називають змінною перетворення. Для більшої наочності нижче змінну перетворення будемо позначати символом Інтегральне перетворення (1) визначається межами перетворення , ядром і ваговою функцією Межі можуть бути і нескінченними; властивості функцій буде встановлено нижче. Функцію називають інтегральним перетворенням, а також інтегральною трансформацією, зображенням або образом функції. Нижче буде застосовуватися переважно перший із цих рівнозначних термінів. Функцію часто називають оригіналом чи прообразом функції

Можливі інтегральні перетворення відразу з кількох чи всім змінним. Узагальнення на цей випадок вище

визначення очевидно. Нижче розглядатимуться перетворення лише по одній змінній. Послідовне застосування таких перетворень, однак, еквівалентне деякому перетворенню за декількома змінними.

Перетворені функції будемо позначати тими самими символами, що й до перетворення, але з будь-яким значком над символом: рисою, хвилястою рисою і за якою змінною здійснено перетворення, зрозуміло, від яких аргументів залежить перетворена функція. Наприклад, інтегральне перетворення функції змінної Аргументи у випадках, коли це може повести до непорозумінь, явно виписувати не будемо.

Перетворення, яким функція знову перетворюється на функцію називають зворотним інтегральним перетворенням (1) або просто зворотним перетворенням. У цьому саме перетворення (1) називають прямим.

Інтегральне перетворення визначено, коли інтеграл у правій частині (1) існує. Для практичного застосування інтегральних перетворень, однак, важливо, щоб існували зворотні перетворення, які, спільно з (1), встановлювали б взаємно однозначну відповідність між двома класами функцій: вихідним класом функцій і класом функцій є їх інтегральними перетвореннями. При цій умові можна встановити відповідність також між операціями на обох класах функцій та розв'язання задачі, заданої для функцій одного класу, призвести до задачі для функцій іншого класу, яка може бути простішою. Розв'язавши цю останню, з допомогою зворотного перетворення знаходять рішення початкового завдання. Добре відомим читачеві прикладом є операційне літочислення, засноване на використанні інтегрального перетворення Лапласа. Тут диференціювання функцій вихідного класу функцій відповідає множення на незалежну змінну функцій, що є перетворення Лапласа. Завдяки цьому завдання для звичайних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами призводять до завдань алгебри для перетворених функцій.

Аналогічною є ідея застосування інтегральних перетворень і в завданнях для рівнянь з приватними похідними: прагнуть вибрати інтегральне перетворення, яке дозволило б диференціальні операції по одній зі змінних замінити алгебраїчними операціями. Коли це вдається, перетворена задача зазвичай простіша за вихідну. Знайшовши рішення перетвореної задачі, за допомогою зворотного перетворення знаходять рішення вихідної. Основною відмінністю від операційного обчислення у застосуванні інтегральних перетворень до рівнянь з

приватними похідними є використання ширшого набору інтегральних перетворень, що важливо, коли коефіцієнти рівнянь змінні.