Знайти невизначений інтеграл: початку, приклади рішень. Калькулятор онлайн. Обчислити невизначений інтеграл (первоподібну)

Знайти невизначений інтеграл (безліч первісних або "антипохідних") означає відновити функцію за відомою похідною цієї функції. Відновлена безліч первісних F(x) + З для функції f(x) враховує константу інтегрування C. За швидкістю переміщення матеріальної точки (похідної) то, можливо відновлено закон руху цієї точки (первообразная); щодо прискорення руху точки - її швидкість та закон руху. Як видно, інтегрування - широке поле діяльності Шерлоков Холмсов від фізики. Та й в економіці багато понять надаються через функції та їх похідні і тому, наприклад, можна за продуктивністю праці у певний момент часу (похідної) відновити обсяг продукції, випущений у відповідний час.

Щоб знайти невизначений інтеграл, потрібна невелика кількість основних формул інтегрування. Але процес його знаходження значно складніше, ніж лише застосування цих формул. Вся складність відноситься не до інтегрування, а до приведення інтегрованого виразу до такого виду, який дає змогу знайти невизначений інтеграл за вищезазначеними основними формулами. Це означає, що для початку практики інтегрування потрібно активізувати отримані в середній школінавички перетворення виразів.

Вчитися знаходити інтеграли будемо, користуючись властивостями та таблицею невизначених інтегралівз уроку про основні поняття цієї теми (відкриється у новому вікні).

Існує кілька методів знаходження інтеграла, з яких метод заміни змінноїі метод інтегрування частинами- обов'язковий джентльменський набір кожного, хто успішно здав найвищу математику. Однак починати освоювати інтегрування корисніше і приємніше із застосуванням методу розкладання, заснованому на двох теоремах про властивості невизначеного інтеграла, які для зручності повторимо тут.

Теорема 3.Постійний множник у подынтегральном вираженні можна виносити за знак невизначеного інтеграла, тобто.

Теорема 4.Невизначений інтеграл суми алгебри кінцевого числафункцій дорівнює алгебраїчній суміневизначених інтегралів цих функцій, тобто.

(2)

Крім того, в інтегруванні може стати в нагоді наступне правило: якщо вираз підінтегральної функції містить постійний множник, то вираз первісної множиться на число, зворотне постійному множнику, тобто

(3)

Оскільки цей урок - вступний у вирішення завдань інтегрування, важливо відзначити дві речі, які або вже насправді початковому етапіабо трохи пізніше можуть вас здивувати. Здивування пов'язане з тим фактом, що інтегрування - операція, зворотна диференціюванню і невизначений інтеграл можна справедливо називати "антипохідною".

Перша річ, яку не слід дивуватися при інтегруванні.У таблиці інтегралів існують формули, які не мають аналогів серед формул похідної таблиці . Це такі формули:

Однак можна переконатися в тому, що похідні виразів, що стоять у правих частинах цих формул, збігаються з підінтегральними функціями.

Друга річ, якій не слід дивуватися при інтегруванні. Хоча похідна будь-якої елементарної функції є також елементарною функцією, невизначені інтеграли від деяких елементарних функцій не є елементарними функціями . Прикладами таких інтегралів можуть бути такі:

Для вироблення техніки інтегрування стануть у нагоді такі навички: скорочення дробів, розподіл багаточлена в чисельнику дробу на одночлен у знаменнику (для отримання суми невизначених інтегралів), перетворення коренів у ступеня, множення одночлена на багаточлен, зведення в ступінь. Ці навички потрібні для перетворень підінтегрального виразу, у яких має вийти сума інтегралів, присутніх у таблиці інтегралів.

Знаходимо невизначені інтеграли разом

приклад 1.Знайти невизначений інтеграл

Рішення. Бачимо в знаменнику підінтегрального виразу багаточлен, у якому ікс у квадраті. Це майже вірна ознака того, що можна застосувати табличний інтеграл 21 (з арктангенсом у результаті). Виносимо із знаменника множник-двійку (є така властивість інтеграла - постійний множник можна виносити за знак інтеграла, вище воно було згадано як теорема 3). Результат всього цього:

Тепер у знаменнику є сума квадратів, а це означає, що можемо застосувати згаданий табличний інтеграл. Остаточно отримуємо відповідь:

приклад 2.Знайти невизначений інтеграл

Рішення. Знову застосовуємо теорему 3 - властивість інтеграла, на підставі якого постійний множник можна виносити за знак інтеграла:

Застосовуємо формулу 7 з таблиці інтегралів (змінна ступеня) до підінтегральної функції:

Скорочуємо дроби, що вийшли, і перед нами кінцева відповідь:

Приклад 3.Знайти невизначений інтеграл

Рішення. Застосовуючи спочатку теорему 4, а потім теорему 3 про властивості, знайдемо цей інтеграл як суму трьох інтегралів:

Усі три отримані інтеграли – табличні. Використовуємо формулу (7) з таблиці інтегралів при n = 1/2, n= 2 та n= 1/5, і тоді

об'єднує всі три довільні постійні, які були введені при знаходженні трьохінтегралів. Тому в аналогічних ситуаціях слід запроваджувати лише одну довільну постійну (константу) інтегрування.

Приклад 4.Знайти невизначений інтеграл

Рішення. Коли в знаменнику підінтегрального дробу – одночлен, можемо почленно розділити чисельник на знаменник. Вихідний інтеграл перетворився на суму двох інтегралів:

Щоб застосувати табличний інтеграл, перетворимо коріння в міру і ось вже остаточна відповідь:

Продовжуємо знаходити невизначені інтеграли разом

Приклад 7.Знайти невизначений інтеграл

Рішення. Якщо ми перетворимо підінтегральну функцію, звівши двочлен у квадрат і розділивши почленно чисельник на знаменник, то вихідний інтеграл стане сумою трьох інтегралів.

Функція F(x) називається первісною для функції f(x) на проміжку (a; b), якщо f(x) для всіх x(a; b) виконується рівність F(x) = f(x). 2

Теорема 1. Якщо F(x) – первісна для f(x) на (a; b), то F(x) + C, де C – число, теж первісна для f(x) на (a; b). Доказ: (F + C) = F + C = f + 0 = f 3

Доведемо дві допоміжні теореми: Якщо функція g(x) постійна на (a; b), то g (x) = 0. Якщо g (x) = 0 при всіх x (a; b), то g(x) = C на (a; b). 4

Теорема 2. Якщо F(x) є первісною для f(x) на проміжку (a; b), а G(x) – іншою первісною для f(x) на (a; b), то G = F + C, де C – число. 5

Безліч всіх первісних для функції f(x) на проміжку (a; b) називається невизначеним інтегралом та позначається інтегралом f(x)dx. dx Обчислення не певного інтегралувід заданої функціїназивається інтегруванням 6

Якщо функція f(x) безперервна, а функція (t) має безперервну похідну (t), має місце формула: f((t)) (t) dt = f(x) dx, де x = (t). 8

Нехай u(x) та v(x) - диференційовані на деякому проміжку функції. Тоді (uv) = u v + v u Звідси випливає (uv) dx = (u v + v u)dx = = u v dx + v u dx або uv dx = uv – u v dx. 10

Звідси випливає формула, яка називається формулою інтегрування частинами: інтегрування частинами u(x)dv(x) = u(x) v(x) – v(x)du(x) 11

Певним інтегралом від функції проміжку називається межа, якого прагне інтегральна сума у цьому процесі, якщо межа існує: 13

Число a називається нижньою межею інтегрування, а число b верхньою інтегрування межею інтегрування На рисунку 2 криволінійна трапеціявиділено штрихуванням. Площа цієї трапеції визначається формулою 14

Нехай функція f(t) визначена та безперервна на деякому проміжку, що містить точку a. Тоді кожному числу x з цього проміжку можна поставити у відповідність число визначивши цим на проміжку функцію I(x), яка називається певним інтегралом зі змінною верхньою межею 17

Похідна певного інтеграла по верхній межіу точці x дорівнює значенню підінтегральної функції у точці x. 18

Нехай функція y = f(x) визначена та безперервна на напівнескінченному проміжку (t) dt

що з урахуванням введених позначень є вихідним припущенням. Теорему доведено.

приклад.Знайти невизначений інтеграл
.

Зробимо заміну t = sinx, dt = cosxdt.

приклад.

Заміна
Отримуємо:

Нижче буде розглянуто інші приклади застосування методу підстановки для різних типів функцій.

Інтегрування частинами.

Спосіб заснований на відомій формулі похідної праці:

(uv)=uv+vu

де uіv - деякі функції від х.

У диференціальній формі: d(uv) =udv+vdu

Проінтегрувавши, отримуємо:
, а відповідно до наведених вище властивостей невизначеного інтеграла:

або
;

Отримали формулу інтегрування частинами, що дозволяє знаходити інтеграли багатьох елементарних функцій.

приклад.

Як видно, послідовне застосування формули інтегрування частинами дозволяє поступово спростити функцію і привести інтеграл до табличного.

приклад.

Видно, що в результаті повторного застосування інтегрування частинами функцію не вдалося спростити до табличного виду. Однак останній отриманий інтеграл нічим не відрізняється від вихідного. Тому перенесемо їх у ліву частину рівності.

Таким чином, інтеграл знайдено взагалі без застосування таблиць інтегралів.

Перш ніж докладно розглянути методи інтегрування різних класів функцій, наведемо ще кілька прикладів знаходження невизначених інтегралів приведенням їх до табличних.

приклад.

Інтегрування елементарних дробів.

Визначення: Елементарниминазиваються дроби наступних чотирьох типів:

I.
ІІІ.

ІІ.
IV.

m,n- натуральні числа(m2,n2) иb 2 – 4ac<0.

Перші два типи інтегралів від елементарних дробів досить просто наводяться до табличних підстановок t=ax+b.

Розглянемо спосіб інтегрування елементарних дробів виду III.

Інтеграл дробу виду III може бути представлений у вигляді:

Тут, в загальному виглядіпоказано приведення інтеграла дробу виду III до двох табличних інтегралів.

Розглянемо застосування зазначеної вище формули на прикладах.

приклад.

Взагалі кажучи, якщо у тричлена ax 2 +bx+cвираз b 2 – 4ac>0, то дріб за визначенням не є елементарним, проте, проте його можна інтегрувати вказаним вище способом.

Приклад.

приклад.

Розглянемо тепер методи інтегрування найпростіших дробів IV типу.

Спочатку розглянемо окремий випадок при М = 0, N = 1.

Тоді інтеграл виду
можна шляхом виділення у знаменнику повного квадрата подати у вигляді
. Зробимо таке перетворення:

Другий інтеграл, що входить у цю рівність, будемо брати частинами.

Позначимо:

Для вихідного інтеграла отримуємо:

Отримана формула називається рекурентної.Якщо застосувати її n-1 раз, то вийде табличний інтеграл
.

Повернемося тепер до інтегралу від елементарного дробу виду IV у загальному випадку.

В отриманій рівності перший інтеграл за допомогою підстановки t = u 2 + sнаводиться до табличного до другого інтегралу застосовується розглянута вище рекурентна формула.

Незважаючи на складність інтегрування елементарного дробу виду IV, що здається, на практиці його досить легко застосовувати для дробів з невеликим ступенем n, А універсальність і спільність підходу уможливлює дуже просту реалізацію цього на ЕОМ.

Приклад:

Інтегрування оптимальних функцій.

Інтегрування раціональних дробів.

Для того, щоб проінтегрувати раціональний дріб, необхідно розкласти його на елементарні дроби.

Теорема: Якщо
- правильний раціональний дріб, знаменник P(x) якого представлений у вигляді твору лінійних та квадратичних множників (зазначимо, що будь-який багаточлен з дійсними коефіцієнтами може бути представлений у такому вигляді: P(x) = (x - a)  …(x - b)  (x 2 + px + q)  …(x 2 + rx + s)  ), то цей дріб може бути розкладений на елементарні за наступною схемою:

де A i ,B i ,M i ,N i ,R i ,S i - деякі постійні величини.

При інтегруванні раціональних дробів вдаються до розкладання вихідного дробу елементарні. Для знаходження величинA i ,B i ,M i ,N i ,R i ,S i застосовують так званий метод невизначених коефіцієнтів, Суть якого полягає в тому, що для того, щоб два многочлена були тотожно рівні, необхідно і достатньо, щоб були рівні коефіцієнти при однакових ступенях х.

Застосування цього розглянемо на конкретному прикладі.

приклад.

Приводячи до спільного знаменника та прирівнюючи відповідні чисельники, отримуємо:

приклад.

Т.к. дріб неправильний, то попередньо слід виділити в нього цілу частину:

6x 5 – 8x 4 – 25x 3 + 20x 2 – 76x– 7 3x 3 – 4x 2 – 17x+ 6

6x 5 – 8x 4 – 34x 3 + 12x 2 2x 2 + 3

9x 3 + 8x 2 – 76x - 7

9x 3 – 12x 2 – 51x +18

20x 2 – 25x – 25

Розкладемо знаменник отриманого дробу на множники. Видно, що за х = 3 знаменник дробу перетворюється на нуль. Тоді:

3x 3 – 4x 2 – 17x+ 6x-3

3x 3 – 9x 2 3x 2 + 5x-2

Таким чином, 3x 3 – 4x 2 – 17x+ 6 = (x– 3)(3x 2 + 5x– 2) = (x– 3)(x+ 2)(3x– 1). Тоді:

Для того, щоб уникнути при знаходженні невизначених коефіцієнтів розкриття дужок, угруповання та вирішення системи рівнянь (яка в деяких випадках може виявитися досить великою) застосовують так званий метод довільних значень. Суть методу у тому, що у отримане вище вираз підставляються почергово кілька (за кількістю невизначених коефіцієнтів) довільних значень х. Для спрощення обчислень прийнято як довільні значення приймати точки, у яких знаменник дробу дорівнює нулю, тобто. у разі – 3, -2, 1/3. Отримуємо:

Остаточно отримуємо:

приклад.

Знайдемо невизначені коефіцієнти:

Тоді значення заданого інтегралу:

Інтегрування деяких тригонометричних

функцій.

Інтегралів від тригонометричних функційможе бути нескінченно багато. Більшість із цих інтегралів взагалі не можна вирахувати аналітично, тому розглянемо деякі найголовніші типифункцій, які можуть бути інтегровані завжди.

Інтеграл виду
.

Тут R - позначення деякої раціональної функції від змінних sinxіcosx.

Інтеграли цього виду обчислюються за допомогою підстановки
. Ця підстановка дозволяє перетворити тригонометричну функцію на раціональну.

Тоді

Таким чином:

Описане вище перетворення називається універсальною тригонометричною підстановкою.

приклад.

Безперечною перевагою цієї підстановки є те, що з її допомогою завжди можна перетворити тригонометричну функцію на раціональну і обчислити відповідний інтеграл. До недоліків можна віднести те, що при перетворенні може вийти досить складна раціональна функція, інтегрування якої займе багато часу та сил.

Однак при неможливості застосувати раціональнішу заміну змінної цей метод є єдино результативним.

приклад.

Інтеграл виду
якщо

функціяRcosx.

Незважаючи на можливість обчислення такого інтеграла за допомогою універсальної тригонометричної підстановки, раціональніше застосувати підстановку t = sinx.

Функція
може містити cosx тільки в парних ступенях, а, отже, може бути перетворена на раціональну функцію щодо sinx.

приклад.

Взагалі кажучи, для застосування цього методу необхідна лише непарність функції щодо косинуса, а ступінь синуса, що входить у функцію, може бути будь-якою, як цілою, так і дробовою.

Інтеграл виду
якщо

функціяRє непарною щодоsinx.

За аналогією з розглянутим вище випадком робиться підстановка t = cosx.

приклад.

Інтеграл виду

функціяRпарна щодоsinxіcosx.

Для перетворення функції Rв раціональну використовується підстановка

t = tgx.

приклад.

Інтеграл твору синусів та косінусів

різних аргументів.

Залежно від типу твору застосовується одна з трьох формул:

приклад.

Іноді при інтегруванні тригонометричних функцій зручно використовувати загальновідомі тригонометричні формули зниження порядку функцій.

приклад.

Іноді застосовуються деякі нестандартні прийоми.

приклад.

Інтегрування деяких ірраціональних функцій.

Далеко не кожна ірраціональна функціяможе мати інтеграл, виражений елементарними функціями. Для знаходження інтеграла від ірраціональної функції слід застосувати підстановку, яка дозволить перетворити функцію на раціональну, інтеграл від якої може бути знайдений як відомо завжди.

Розглянемо деякі прийоми інтегрування різних типів ірраціональних функций.

Інтеграл виду
деn- натуральне число.

За допомогою підстановки
функція раціоналізується.

приклад.

Якщо до складу ірраціональної функції входять корені різних ступенів, то як нова змінна раціонально взяти корінь ступеня, що дорівнює найменшому загальному кратному ступеню коренів, що входять у вираз.

Проілюструємо це з прикладу.

приклад.

Інтегрування біномних диференціалів.

Визначення: Біномінальним диференціаломназивається вираз

x m (a + bx n ) p dx

де m, n, і p- Раціональні числа.

Як було підтверджено академіком Чебишевим П.Л. (1821-1894), інтеграл від біномінального диференціала може бути виражений через елементарні функції лише у наступних трьох випадках:

Якщо р- ціле число, то інтеграл раціоналізується за допомогою підстановки

, де- спільний знаменник mі n.

Раніше ми за заданою функцією, керуючись різними формулами та правилами, знаходили її похідну. Похідна має численні застосування: це швидкість руху (або узагальнюючи швидкість протікання будь-якого процесу); кутовий коефіцієнтщо стосується графіку функції; за допомогою похідної можна досліджувати функцію на монотонність та екстремуми; вона допомагає вирішувати завдання оптимізацію.

Але поряд із завданням про знаходження швидкості за відомим законом руху зустрічається і зворотне завдання- Завдання про відновлення закону руху по відомій швидкості. Розглянемо одне з таких завдань.

приклад 1.По прямій рухається матеріальна точка, Швидкість її руху в момент часу t задається формулою v = gt. Знайти закон руху.
Рішення. Нехай s = s(t) – шуканий закон руху. Відомо, що s"(t) = v(t). Отже, для вирішення задачі потрібно підібрати функцію s = s(t), похідна якої дорівнює gt. Неважко здогадатися, що $s(t) = \frac(gt^) 2) (2) $.
$s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt$
Відповідь: $s(t) = \frac(gt^2)(2) $

Відразу зауважимо, що приклад вирішено правильно, але неповно. Ми отримали $s(t) = \frac(gt^2)(2) $. Насправді завдання має безліч рішень: будь-яка функція виду $s(t) = \frac(gt^2)(2) + C $, де C - довільна константа, може служити законом руху, оскільки $\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt $

Щоб завдання стало більш визначеним, нам треба було зафіксувати вихідну ситуацію: вказати координату точки, що рухається в якийсь момент часу, наприклад при t = 0. Якщо, скажімо, s(0) = s 0 , то з рівності s(t) = (gt 2)/2 + C отримуємо: s(0) = 0 + З, тобто C = s 0 . Тепер закону руху визначено однозначно: s(t) = (gt 2)/2 + s 0 .

У математиці взаємно зворотним операціям надають різні назви, вигадують спеціальні позначення, наприклад: зведення в квадрат (х 2) та витяг квадратного кореня($\sqrt(x) $), синус (sin x) та арксинус (arcsin x) і т. д. Процес знаходження похідної за заданою функцією називають диференціюванням, А зворотну операцію, тобто процес знаходження функції за заданою похідною, - інтегруванням.

Сам термін «похідна» можна обґрунтувати «по-житейськи»: функція у = f(x) «виробляє світ» нову функціюу "= f"(x). Функція у = f(x) виступає як би «батьком», але математики, природно, не називають її «батьком» або «виробником», вони кажуть, що це, по відношенню до функції у" = f"(x) , первинний образ, або первісна.

Визначення.Функцію y = F(x) називають первісною для функції y = f(x) на проміжку X, якщо для (x \ in X \) виконується рівність F"(x) = f(x)

Насправді проміжок X зазвичай не вказують, але мають на увазі (як природної області визначення функції).

Наведемо приклади.
1) Функція у = х 2 є першорядною для функції у = 2х, оскільки для будь-якого х справедлива рівність (x 2) "= 2х
2) Функція у = х 3 є першорядною для функції у = 3х2, оскільки для будь-якого х справедлива рівність (x3) "=3х2
3) Функція у = sin(x) є первісною для функції y = cos(x), оскільки для будь-якого x справедлива рівність (sin(x))" = cos(x)

При знаходженні первісних, як і похідних, застосовуються як формули, а й деякі правила. Вони безпосередньо пов'язані з відповідними правилами обчислення похідних.

Ми знаємо, що похідна сума дорівнює сумі похідних. Це породжує відповідне правило знаходження первісних.

Правило 1Первісна сума дорівнює сумі первісних.

Ми знаємо, що множник можна винести за знак похідної. Це породжує відповідне правило знаходження первісних.

Правило 2Якщо F(x) - первісна для f(x), то kF(x) - первісна для kf(x).

Теорема 1.Якщо y = F(x) - первісна для функції y = f(x), то першорядною для функції у = f(kx + m) служить функція $y=\frac(1)(k)F(kx+m) $

Теорема 2.Якщо y = F(x) - первісна для функції y = f(x) на проміжку X, то у функції у = f(x) нескінченно багато первісних, і всі вони мають вигляд y = F(x) + C.

Методи інтегрування

Метод заміни змінної (метод підстановки)

Метод інтегрування підстановкою полягає у запровадженні нової змінної інтегрування (тобто підстановки). При цьому заданий інтеграл приводиться до нового інтеграла, який є табличним або зводиться до нього. Загальних методівпідбору підстановок немає. Уміння правильно визначити підстановку набуває практики.
Нехай потрібно обчислити інтеграл $\textstyle \int F(x)dx $. Зробимо підстановку $x= \varphi(t) $ де $\varphi(t) $ - функція, що має безперервну похідну.
Тоді $dx = \varphi "(t) \cdot dt $ і на підставі властивості інваріантності формули інтегрування невизначеного інтеграла отримуємо формулу інтегрування підстановкою:
$\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi "(t) dt $

Інтегрування виразів виду $\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx $

Якщо m непарне, m > 0, то зручніше зробити підстановку sin x = t.
Якщо n непарне, n > 0, то зручніше зробити підстановку cos x = t.
Якщо n і m парні, зручніше зробити підстановку tg x = t.

Інтегрування частинами

Інтегрування частинами - застосування наступної формули для інтегрування:
$\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du $
або:
$\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx $

Таблиця невизначених інтегралів (первоподібних) деяких функцій

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) + C \; \; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x + C $$

А чи можна під знак диференціалу підбивати нелінійну функцію? Так, якщо підінтегральний вираз є твір двох множників: один множник - складна функція від якоїсь нелінійної функції, А інший множник є похідною від цієї нелінійної функції. Розглянемо сказане з прикладах.

Знайти невизначені інтеграли.

Приклад 1. ∫(2x + 1)(x 2 + x + 2) 5 dx = ∫(x 2 + x + 2) 5 d (x 2 + x + 2) =(x²+x+2) 6 : 6+C.

Що являє собою цей підінтегральний вираз? твір степеневої функціївід (х 2 + х + 2) та множника (2х + 1), який дорівнює похідній від основи ступеня: (х 2 + х + 2)" = 2х + 1.

Це дозволило нам підвести (2х + 1) під знак диференціала:

∫u 5 du=u 6 : 6+ C. (Формула 1). )

Перевірка. (F(x)+C)" =((x²+x+2) 6 : 6 + C) = 1/6 · 6 (x 2 + x + 2) 5 · (x 2 + x + 2)" =

=(x 2 + x + 2) 5 · (2x + 1) = (2x + 1)(x 2 + x + 2) 5 = f(x).

приклад 2.∫(3x 2 – 2x + 3)(x 3 - x 2 + 3x + 1) 5 dx = ∫(x 3 – x 2 + 3x + 1) 5 d (x 3 – x 2 + 3x + 1) =

=(x³- x²+3x+1) 6 : 6 + C

І чим цей приклад відрізняється від прикладу 1? Та нічим! Той самий п'ятий ступінь з основою (х 3 – х 2 + 3х + 1) множиться на тричлен (3х 2 – 2х + 3), який є похідною основи ступеня: (х 3 – х 2 + 3х + 1)" = 3х 2 - 2х + 3. Це підставу ступеня ми і підвели під знак диференціала, від чого значення підінтегрального виразу не змінилося, а потім застосували ту саму формулу 1). Інтеграли)

Приклад 3.

Тут похідна від (2х3 – 3х) дасть (6х2 – 3), а у нас

є (12х 2 – 6), тобто вираз у 2 рази більше, значить, підіб'ємо (2х 3 – 3х) під знак диференціала, а перед інтегралом поставимо множник 2 . Застосуємо формулу 2) (лист ).

Ось що вийде:

Зробимо перевірку, враховуючи, що:

приклади. Знайти невизначені інтеграли.

1. ∫(6х+5) 3 dx. Як вирішуватимемо? Дивимося в лист і розмірковуємо приблизно так: підінтегральна функція є ступенем, а у нас є формула для інтеграла ступеня (формула 1) ), але в ній підстава ступеня uі змінна інтеграціятеж u.

А у нас змінна інтеграція х, а підстава ступеня (6х+5). Зробимо заміну змінної інтегрування: замість dx запишемо d(6х+5). Що змінилося? Оскільки те, що стоїть після знака диференціала d, за замовчуванням, диференціюється,

то d (6x +5) = 6dx, тобто. при заміні змінної х на змінну (6х+5) підінтегральна функція зросла у 6 разів, тому перед знаком інтеграла ставимо множник 1/6. Записати ці міркування можна так:

Отже, ми вирішили цей приклад запровадженням нової змінної (змінну х замінили на змінну 6х+5). А куди записали нову змінну (6х+5)? Під знак диференціалу. Тому, даний методвведення нової змінної часто називають методом (або способом ) підведення(новою змінною ) під знак диференціалу.

У другому прикладі ми спочатку отримали ступінь з негативним показником, а потім підвели під знак диференціала (7х-2) і використали формулу інтеграла ступеня 1) (Інтеграли ).

Розберемо рішення прикладу 3.

Перед інтегралом стоїть коефіцієнт 1/5. Чому? Так як d (5x-2) = 5dx, то, підвівши під знак диференціала функцію u = 5x-2, ми збільшили підінтегральний вираз у 5 разів, тому щоб значення даного виразу не змінилося - треба було розділити на 5, тобто . помножити на 1/5. Далі була використана формула 2) (Інтеграли) .

Усі найпростіші формули інтегралів матимуть вигляд:

∫f(x) dx=F(x)+C, причому, має виконуватись рівність:

(F(x)+C)"=f(x).

Формули інтегрування можна отримати зверненням відповідних формул диференціювання.

Справді,

Показник ступеня nможе бути і дрібним. Часто доводиться знаходити невизначений інтеграл від функції у=х. Обчислимо інтеграл від функції f(x)=√x, використовуючи формулу 1) .

Запишемо цей приклад як формули 2) .

Оскільки (х+С)"=1, то ∫dx=x+C.

3) ∫dx=x+C.

Замінюючи 1/х2 на х -2, обчислимо інтеграл від 1/х2.

А можна було отримати цю відповідь зверненням відомої формулидиференціювання:

Запишемо наші міркування у вигляді формули 4).

Помноживши обидві частини набутої рівності на 2, отримаємо формулу 5).

Знайдемо інтеграли від основних тригонометричних функцій, знаючи їх похідні: (sinx) "= cosx; (cosx)" = - sinx; (tgx)"=1/cos²x; (ctgx)"=-1/sin²x. Отримуємо формули інтегрування 6) — 9).

6) ∫cosxdx=sinx+C;

7) ∫sinxdx=-cosx+C;

Після вивчення показової та логарифмічні функції, додамо ще кілька формул.

Основні характеристики невизначеного інтеграла.

I.Похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції .

(∫f(x)dx)"=f(x).

ІІ.Диференціал невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу.

d∫f(x) dx=f(x) dx.

ІІІ.Невизначений інтеграл від диференціалу (похідної) деякої функції дорівнює суміцієї функції та довільної постійної З.

∫dF(x)=F(x)+Cабо ∫F"(x) dx=F(x)+C.

Зверніть увагу: у I, II та III властивостях знаки диференціала та інтеграла (інтеграла та диференціала) «з'їдають» один одного!

IV.Постійний множник підінтегрального виразу можна винести за знак інтегралу.

∫kf (x) dx=k·∫f (x) dx,де k - постійна величинане дорівнює нулю.

V.Інтеграл від алгебраїчної суми функцій дорівнює сумі алгебри інтегралів від цих функцій.

∫(f(x)±g(x)) dx=∫f(x) dx±∫g (x) dx.

VI.Якщо F(x) є первісною для f(x), а kі b- Постійні величини, причому, k≠0, то (1/k)·F (kx+b) є первинна для f (kx+b). Справді, за правилом обчислення похідної складної функціїмаємо:

Можна записати:

Для кожного математичного впливу існує зворотний йому вплив. Для дії диференціювання (знаходження похідних функцій) теж існує зворотна дія – інтегрування. За допомогою інтегрування знаходять (відновлюють) функцію за заданою похідною або диференціалу. Знайдену функцію називають первісної.

Визначення.Диференційована функція F(x)називається первісною для функції f(x)на заданому проміжку, якщо для всіх хз цього проміжку справедлива рівність: F′(x)=f(x).

приклади. Знайти первинні для функцій: 1) f(x) = 2x; 2) f(x) = 3cos3x.

1) Оскільки (х²)′=2х, то, за визначенням, функція F(x)=x² буде першорядною для функції f(x)=2x.

2) (sin3x)′=3cos3x. Якщо позначити f(x)=3cos3x і F(x)=sin3x, то, за визначенням першорядної, маємо: F′(x)=f(x), і, отже, F(x)=sin3x є первісною для f( x) = 3cos3x.

Зауважимо, що і (sin3x +5 )′= 3cos3x, та (sin3x -8,2 )′= 3cos3x, ... у загальному вигляді можна записати: (sin3x +С)′= 3cos3x, де З- Деяка постійна величина. Ці приклади свідчать про неоднозначності дії інтегрування, на відміну дії диференціювання, коли в будь-якої диференційованої функції існує єдина похідна.

Визначення.Якщо функція F(x)є первинною для функції f(x)на деякому проміжку, то безліч всіх первісних цієї функції має вигляд:

F(x)+Cде С - будь-яке дійсне число.

Сукупність всіх первісних F (x) + C функції f (x) на проміжку, що розглядається, називається невизначеним інтегралом і позначається символом ∫ (Знак інтеграла). Записують: ∫f(x) dx=F(x)+C.

Вираз ∫f (x) dxчитають: «інтеграл еф від ікс до де ікс».

f(x) dx- Підінтегральний вираз,

f(x)- Підінтегральна функція,

х- Змінна інтегрування.

F(x)- Первісна для функції f(x),

З- Деяка постійна величина.

Тепер розглянуті приклади можна записати так:

1) ∫ 2хdx=x²+C. 2) ∫ 3cos3xdx=sin3x+C.

Що означає знак d?

d -знак диференціала - має подвійне призначення: по-перше, цей знак відокремлює підінтегральну функцію від змінної інтегрування; по-друге, все, що стоїть після цього знака, диференціюється за умовчанням і множиться на підінтегральну функцію.

приклади. Знайти інтеграли: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.

3) Після піктограми диференціала dстоїть хх, а р

∫ 2хрdx=рх²+С. Порівняйте з прикладом 1).

Зробимо перевірку. F′(x)=(px²+C)′=p·(x²)′+C′=p·2x=2px=f(x).

4) Після піктограми диференціала dстоїть р. Отже, змінна інтеграція р, а множник хслід вважати деякою постійною величиною.

∫ 2хрdр=р²х+С. Порівняйте з прикладами 1) і 3).

Зробимо перевірку. F′(p)=(p²x+C)′=x·(p²)′+C′=x·2p=2px=f (p).

Сторінка 1 з 1 1