Визначення рівняння прямої за двома точками. Рівняння прямої, що проходить через точку, рівняння прямої, що проходить через дві точки, кут між двома прямими, кутовий коефіцієнт прямий

Урок із серії «Геометричні алгоритми»

Здрастуйте, дорогий читачу!

Сьогодні ми почнемо вивчати алгоритми, пов'язані із геометрією. Справа в тому, що олімпіадних завдань з інформатики, пов'язаних з обчислювальною геометрією, досить багато і вирішення таких завдань часто спричиняє труднощі.

За кілька уроків ми розглянемо ряд елементарних підзавдань, куди спирається вирішення більшості завдань обчислювальної геометрії.

На цьому уроці ми складемо програму для знаходження рівняння прямої, що проходить через задані дві точки. Для вирішення геометричних завдань нам знадобляться деякі знання з обчислювальної геометрії. Частину уроку ми присвятимо знайомству з ними.

Відомості з обчислювальної геометрії

Обчислювальна геометрія – це розділ інформатики, вивчає алгоритми розв'язання геометричних завдань.

Вихідними даними для таких завдань можуть бути безліч точок на площині, набір відрізків, багатокутник (заданий, наприклад, списком своїх вершин у порядку руху за годинниковою стрілкою) і т.п.

Результатом може бути або відповідь на якесь питання (типу належить точка відрізка, чи перетинаються два відрізки, …), або якийсь геометричний об'єкт (наприклад, найменший опуклий багатокутник, що з'єднує задані точки, площа багатокутника, тощо) .

Ми розглядатимемо завдання обчислювальної геометрії тільки на площині і тільки в декартовій системі координат.

Вектори та координати

Щоб застосовувати методи обчислювальної геометрії, необхідно геометричні образи перекласти мову чисел. Вважатимемо, що у площині задана декартова система координат, у якій напрямок повороту проти годинникової стрілки називається позитивним.

Тепер геометричні об'єкти набувають аналітичного виразу. Так, щоб задати точку, досить зазначити її координати: пару чисел (x; y). Відрізок можна задати, вказавши координати його кінців, можна задати пряму, вказавши координати пари її точок.

Але основним інструментом під час вирішення завдань у нас будуть вектори. Нагадаю тому деякі відомості про них.

Відрізок АВ, у якого точку Авважають початком (точкою програми), а точку В– кінцем, називають вектором АВі позначають або , або жирною малою літерою, наприклад а .

Для позначення довжини вектора (тобто довжини відповідного відрізка) користуватимемося символом модуля (наприклад, ).

Довільний вектор матиме координати, рівні різниці відповідних координат його кінця та початку:

,

тут крапки Aі B мають координати відповідно.

Для обчислень ми будемо використовувати поняття орієнтованого кута, тобто кута, що враховує взаємне розташування векторів.

Орієнтований кут між векторами a і b позитивний, якщо поворот від вектора a до вектору b відбувається в позитивному напрямку (проти годинникової стрілки) і негативний - в іншому випадку. Див рис.1а, рис.1б. Говорять також, що пара векторів a і b позитивно (негативно) орієнтована.

Отже, величина орієнтованого кута залежить від порядку перерахування векторів може приймати значення інтервалі .

Багато завдань обчислювальної геометрії використовують поняття векторного (косого чи псевдоскалярного) творів векторів.

Векторним твором векторів a і b називатимемо добуток довжин цих векторів на синус кута між ними:

.

Векторний твір векторів у координатах:

Вираз праворуч – визначник другого порядку:

На відміну від визначення, яке дається у аналітичній геометрії, це скаляр.

Знак векторного твору визначає положення векторів один щодо одного:

a і b позитивно орієнтована.

Якщо величина , то пара векторів a і b негативно орієнтована.

Векторний твір ненульових векторів дорівнює нулю і тоді, коли вони колінеарні ( ). Це означає, що вони лежать на одній прямій або паралельних прямих.

Розглянемо кілька найпростіших завдань, необхідних під час вирішення складніших.

Визначимо рівняння прямої за координатами двох точок.

Рівняння прямої, що проходить через дві різні точки, задані своїми координатами.

Нехай на прямій задані дві точки, що не збігаються: з координатами (x1; y1) і з координатами (x2; y2). Відповідно вектор з початком у точці та кінцем у точці має координати (x2-x1, y2-y1). Якщо P(x, y) – довільна точка нашої прямої, то координати вектора рівні (x-x1, y – y1).

За допомогою векторного твору умову колінеарності векторів можна записати так:

Тобто. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Останнє рівняння перепишемо так:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Отже, пряму можна встановити рівнянням виду (1).

Завдання 1. Задано координати двох точок. Знайти її уявлення як ax + by + c = 0.

На цьому уроці ми познайомилися із деякими відомостями з обчислювальної геометрії. Вирішили задачу знаходження рівняння лінії за координатами двох точок.

На наступному уроці складемо програму знаходження точки перетину двох ліній, заданих своїми рівняннями.

У цій статті ми розглянемо загальне рівняння прямої на площині. Наведемо приклади побудови загального рівняння прямої, якщо відомі дві точки цієї прямої або якщо відома одна точка та нормальний вектор цієї прямої. Представимо методи перетворення рівняння у вигляді у канонічний і параметричний види.

Нехай задана довільна декартова прямокутна система координат Oxy. Розглянемо рівняння першого ступеня або лінійне рівняння:

Ax+By+C=0,

(1)

де A, B, C− деякі постійні, причому хоча б один із елементів Aі Bвідмінно від нуля.

Покажемо, що лінійне рівняння на площині визначає пряму. Доведемо таку теорему.

Теорема 1. У довільній декартовій прямокутній системі координат на площині кожна пряма лінія може бути задана лінійним рівнянням. Назад, кожне лінійне рівняння (1) у довільній декартовій прямокутній системі координат на площині визначає пряму лінію.

Доведення. Достатньо довести, що пряма Lвизначається лінійним рівнянням при якійсь одній декартовій прямокутній системі координат, оскільки тоді вона буде визначатися лінійним рівнянням і при будь-якому виборі декартової прямокутної системи координат.

Нехай на площині задана пряма L. Виберемо систему координат так, щоб вісь Oxзбігався з прямою L, а вісь Ойбув перпендикулярним до неї. Тоді рівняння прямої Lнабуде наступного вигляду:

y=0.

(2)

Усі точки на прямій Lбудуть задовольняти лінійному рівнянню (2), а всі точки поза цією прямою, не задовольнятимуть рівняння (2). Перша частина теореми доведена.

Нехай задана декартова прямокутна система координат і нехай задана лінійне рівняння (1), де хоча б один із елементів Aі Bвідмінний від нуля. Знайдемо геометричне місце точок, координати яких задовольняють рівняння (1). Бо хоча б один із коефіцієнтів Aі Bвідмінний від нуля, то рівняння (1) має хоча б одне рішення M(x 0 ,y 0). (Наприклад, при A≠0, точка M 0 (−C/A, 0) належить даному геометричному місцю точок). Підставляючи ці координати в (1) отримаємо тотожність

Ax 0 +By 0 +C=0.

(3)

Віднімемо з (1) тотожність (3):

A(x−x 0)+B(y−y 0)=0.

(4)

Очевидно, що рівняння (4) еквівалентне рівняння (1). Тому достатньо довести, що (4) визначає певну пряму.

Оскільки ми розглядаємо декартову прямокутну систему координат, то з рівності (4) випливає, що вектор з компонентами ( x−x 0 , y−y 0 ) ортогональний вектор nз координатами ( A,B}.

Розглянемо деяку пряму L, що проходить через точку M 0 (x 0 , y 0) та перпендикулярною вектору n(Мал.1). Нехай точка M(x,y) належить прямий L. Тоді вектор із координатами x−x 0 , y−y 0 перпендикулярний nта рівняння (4) задоволено (скалярний твір векторів nі одно нулю). Назад, якщо точка M(x,y) не лежить на прямій Lто вектор з координатами x−x 0 , y−y 0 не ортогональний вектор nта рівняння (4) не задоволене. Теорему доведено.

Доведення. Оскільки прямі (5) і (6) визначають ту саму пряму, то нормальні вектори n 1 ={A 1 ,B 1 ) n 2 ={A 2 ,B 2) колінеарні. Оскільки вектори n 1 ≠0, n 2 ≠0, то існує таке число λ , що n 2 =n 1 λ . Звідси маємо: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ . Доведемо, що C 2 =C 1 λ . Очевидно, що прямі, що збігаються, мають спільну точку M 0 (x 0 , y 0). Помножуючи рівняння (5) на λ і віднімаючи з нього рівняння (6) отримаємо:

Оскільки виконані перші дві рівності з виразів (7), то C 1 λ −C 2 = 0. Тобто. C 2 =C 1 λ . Зауваження підтверджено.

Зауважимо, що рівняння (4) визначає рівняння прямої, що проходить через точку M 0 (x 0 , y 0) і має нормальний вектор n={A,B). Тому, якщо відомий нормальний вектор прямої і точка, що належить цій прямій, можна побудувати загальне рівняння прямої за допомогою рівняння (4).

Приклад 1. Пряма проходить через точку M=(4,−1) і має нормальний вектор n= (3, 5). Побудувати загальне рівняння прямої.

Рішення. Маємо: x 0 =4, y 0 =−1, A=3, B=5. Для побудови загального рівняння прямої, підставимо ці значення рівняння (4):

Відповідь:

Вектор паралельний прямий Lі, отже, перпердикулярний до нормального вектора прямий L. Побудуємо нормальний вектор прямий L, враховуючи, що скалярний витвір векторів nі одно нулю. Можемо записати, наприклад, n={1,−3}.

Для побудови загального рівняння прямої скористаємося формулою (4). Підставимо в (4) координати точки M 1 (можемо взяти також координати точки M 2) та нормального вектора n:

Підставляючи координати точок M 1 та M 2 (9) можемо переконатися, що пряма задана рівнянням (9) проходить через ці точки.

Відповідь:

Віднімемо (10) з (1):

Ми отримали канонічне рівняння прямого. Вектор q={−B, A) є напрямним вектором прямої (12).

Зворотне перетворення дивіться.

Приклад 3. Пряма на площині представлена ​​наступним загальним рівнянням:

Перемістимо на право другу складову і розділимо обидві частини рівняння на 2.5.

Канонічними рівняннями прямої в просторі називаються рівняння, що визначають пряму, що проходить через задану точку колінеарно спрямовуючому вектору.

Нехай дана точка та напрямний вектор. Довільна точка лежить на прямій lтільки в тому випадку, якщо вектори та колінеарні, тобто для них виконується умова:

.

Наведені вище рівняння є канонічні рівняння прямої.

Числа m , nі pє проекціями напрямного вектора координатні осі. Оскільки вектор ненульовий, всі числа m , nі pне можуть одночасно дорівнювати нулю. Але один або два з них можуть виявитися рівними нулю. В аналітичній геометрії допускається, наприклад, такий запис:

,

яка означає, що проекції вектора на осі Ойі Ozрівні нулю. Тому і вектор, і пряма, задана канонічними рівняннями, перпендикулярні до осей. Ойі Oz, тобто площині yOz .

приклад 1.Скласти рівняння прямої у просторі, перпендикулярній площині і проходить через точку перетину цієї площини з віссю Oz .

Рішення. Знайдемо точку перетину даної площини з віссю Oz. Оскільки будь-яка точка, що лежить на осі Ozмає координати , то, вважаючи в заданому рівнянні площини x = y = 0 , отримаємо 4 z- 8 = 0 або z= 2 . Отже, точка перетину даної площини з віссю Ozмає координати (0; 0; 2). Оскільки пряма перпендикулярна площині, вона паралельна вектору її нормалі . Тому напрямним вектором прямий може бути вектор нормалі заданої поверхні.

Тепер запишемо шукані рівняння прямої, що проходить через точку A= (0; 0; 2) у напрямку вектора:

Рівняння прямої, що проходить через дві дані точки

Пряма може бути задана двома точками, що на ній лежать і У цьому випадку напрямним вектором прямий може бути вектор . Тоді канонічні рівняння прямий набудуть вигляду

.

Наведені вище рівняння визначають пряму, що проходить через дві задані точки.

приклад 2.Скласти рівняння прямої в просторі, що проходить через точки і .

Рішення. Запишемо шукані рівняння прямої у вигляді, наведеному вище в теоретичній довідці:

.

Оскільки , то пряма перпендикулярна осі Ой .

Пряма як лінія перетину площин

Пряма у просторі може бути визначена як лінія перетину двох непаралельних площин і, тобто як безліч точок, що задовольняють системі двох лінійних рівнянь

Рівняння системи називаються загальними рівняннями прямої в просторі.

Приклад 3.Скласти канонічні рівняння прямої у просторі, заданій загальними рівняннями

Рішення. Щоб написати канонічні рівняння прямої або, що те саме, рівняння прямої, що проходить через дві дані точки, потрібно знайти координати будь-яких двох точок прямої. Ними можуть бути точки перетину прямої з якими-небудь двома координатними площинами, наприклад yOzі xOz .

Точка перетину пряма з площиною yOzмає абсцису x= 0. Тому, вважаючи в даній системі рівнянь x= 0 отримаємо систему з двома змінними:

Її вирішення y = 2 , z= 6 разом з x= 0 визначає точку A(0; 2; 6) шуканої прямої. Вважаючи потім у заданій системі рівнянь y= 0 , отримаємо систему

Її вирішення x = -2 , z= 0 разом з y= 0 визначає точку B(-2; 0; 0) перетину прямої з площиною xOz .

Тепер запишемо рівняння прямої, що проходить через крапки A(0; 2; 6) та B (-2; 0; 0) :

,

або після поділу знаменників на -2:

,

Визначення.Будь-яка пряма на площині може бути задана рівнянням першого порядку

Ах + Ву + З = 0,

причому постійні А, не рівні нулю одночасно. Це рівняння першого порядку називають загальним рівнянням прямої.Залежно від значень постійних А, В і С можливі такі окремі випадки:

C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – пряма проходить через початок координат

А = 0, В ≠0, С ≠0 ( By + C = 0) - пряма паралельна осі Ох

В = 0, А ≠0, С ≠ 0 (Ax + C = 0) – пряма паралельна осі Оу

В = С = 0, А ≠0 - пряма збігається з віссю Оу

А = С = 0, В ≠0 - пряма збігається з віссю Ох

Рівняння прямий може бути представлене в різному вигляді залежно від будь-яких заданих початкових умов.

Рівняння прямої за точкою та вектором нормалі

Визначення.У декартовій прямокутній системі координат вектор з компонентами (А, В) перпендикулярний до прямої, заданої рівнянням Ах + Ву + С = 0.

Приклад. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку А(1, 2) перпендикулярно (3, -1).

Рішення. Складемо при А = 3 і В = -1 рівняння прямої: 3х - у + С = 0. Для знаходження коефіцієнта С підставимо в отриманий вираз координати заданої точки А. Отримуємо: 3 - 2 + C = 0, отже, С = -1 . Разом: шукане рівняння: 3х - у - 1 = 0.

Рівняння прямої, що проходить через дві точки

Нехай у просторі задані дві точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) і M 2 (x 2 , y 2 , z 2), тоді рівняння прямої, що проходить через ці точки:

Якщо якийсь із знаменників дорівнює нулю, слід прирівняти нулю відповідний чисельник.

якщо х 1 ≠ х 2 і х = х 1 якщо х 1 = х 2 .

Дроб = k називається кутовим коефіцієнтомпрямий.

Приклад. Знайти рівняння прямої, що проходить через точки А(1, 2) та В(3, 4).

Рішення.Застосовуючи записану вище формулу, отримуємо:

Рівняння прямої за точкою та кутовим коефіцієнтом

Якщо загальне Ах + Ву + С = 0 привести до вигляду:

та позначити , то отримане рівняння називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтомk.

Рівняння прямої по точці та напрямному вектору

За аналогією з пунктом, що розглядає рівняння прямої через вектор нормалі, можна ввести завдання прямої через точку і напрямний вектор прямої.

Визначення.Кожен ненульовий вектор (α 1 , α 2), компоненти якого задовольняють умові А α 1 + В α 2 = 0 називається напрямним вектором прямої

Ах+Ву+С=0.

приклад. Знайти рівняння прямої з напрямним вектором (1, -1) і проходить через точку А(1, 2).

Рішення.Рівняння шуканої прямої шукатимемо у вигляді: Ax + By + C = 0. Відповідно до визначення, коефіцієнти повинні задовольняти умови:

1 * A + (-1) * B = 0, тобто. А = В.

Тоді рівняння прямої має вигляд: Ax + Ay + C = 0, або x + y + C / A = 0. при х = 1, у = 2 отримуємо С/A = -3, тобто. шукане рівняння:

Рівняння прямої у відрізках

Якщо в загальному рівнянні прямий Ах + Ву + С = 0 С 0, то, розділивши на -С, отримаємо: або

Геометричний сенс коефіцієнтів у тому, що коефіцієнт ає координатою точки перетину прямої з віссю Ох, а b- Координацією точки перетину прямої з віссю Оу.

приклад.Задано загальне рівняння прямої х – у + 1 = 0. Знайти рівняння цієї прямої у відрізках.

С = 1, а = -1, b = 1.

Нормальне рівняння прямої

Якщо обидві частини рівняння Ах + Ву + С = 0 помножити на число , Яке називається нормуючим множником, то отримаємо

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

нормальне рівняння прямої. Знак ± нормуючого множника треба вибирати так, щоб μ*С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Приклад. Дано загальне рівняння прямої 12х - 5у - 65 = 0. Потрібно написати різні типи рівнянь цієї прямої.

рівняння цієї прямої у відрізках:

рівняння цієї прямої з кутовим коефіцієнтом: (ділимо на 5)

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Слід зазначити, що не кожну пряму можна уявити рівнянням у відрізках, наприклад, прямі, паралельні осям або проходять через початок координат.

Приклад. Пряма відсікає на координатних осях рівні позитивні відрізки. Скласти рівняння прямої, якщо площа трикутника, утвореного цими відрізками, дорівнює 8 см 2 .

Рішення.Рівняння прямої має вигляд: , ab/2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Приклад. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку А(-2, -3) та початок координат.

Рішення. Рівняння прямої має вигляд: де х 1 = у 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.

Кут між прямими на площині

Визначення.Якщо задані дві прямі y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 то гострий кут між цими прямими буде визначатися як

.

Дві прямі паралельні, якщо k1 = k2. Дві прямі перпендикулярні, якщо k1 = -1/k2.

Теорема.Прямі Ах + Ву + С = 0 і А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 паралельні, коли пропорційні коефіцієнти А 1 = А, В 1 = В. Якщо ще й С1 = С, то прямі збігаються. Координати точки перетину двох прямих перебувають як розв'язання системи рівнянь цих прямих.

Рівняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно даній прямій

Визначення.Пряма, що проходить через точку М 1 (х 1 у 1) і перпендикулярна до прямої у = kx + b представляється рівнянням:

Відстань від точки до прямої

Теорема.Якщо задана точка М (х 0, у 0), то відстань до прямої Ах + Ву + С = 0 визначається як

.

Доведення.Нехай точка М 1 (х 1, у 1) - основа перпендикуляра, опущеного з точки М на задану пряму. Тоді відстань між точками М та М 1:

(1)

Координати x 1 і 1 можуть бути знайдені як розв'язання системи рівнянь:

Друге рівняння системи – це рівняння прямої, що проходить через задану точку М0 перпендикулярно заданій прямій. Якщо перетворити перше рівняння системи до виду:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

то, вирішуючи, отримаємо:

Підставляючи ці вирази рівняння (1), знаходимо:

Теорему доведено.

Приклад. Визначити кут між прямими: y = -3 x + 7; y = 2 x +1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= π/4.

Приклад. Показати, що прямі 3х – 5у + 7 = 0 та 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярні.

Рішення. Знаходимо: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 * k 2 = -1, отже, прямі перпендикулярні.

Приклад. Дано вершини трикутника А(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Знайти рівняння висоти, проведеної з вершини З.

Рішення. Знаходимо рівняння сторони АВ: ; 4 x = 6 y - 6;

2 x - 3 y + 3 = 0;

Шукане рівняння висоти має вигляд: Ax + By + C = 0 або y = kx + b. k =. Тоді y = . Т.к. висота проходить через точку С, її координати задовольняють даному рівнянню: звідки b = 17. Разом: .

Відповідь: 3 x + 2 y - 34 = 0.

Властивості прямої в евклідовій геометрії.

Через будь-яку точку можна провести безліч прямих.

Через будь-які дві точки, що не співпадають, можна провести єдину пряму.

Дві несхожі прямі на площині або перетинаються в єдиній точці, або є

паралельними (випливає з попереднього).

У тривимірному просторі існують три варіанти взаємного розташування двох прямих:

• прямі перетинаються;

• прямі паралельні;

• прямі схрещуються.

Пряма лінія- алгебраїчна крива першого порядку: у декартовій системі координат пряма лінія

визначається на площині рівнянням першого ступеня (лінійне рівняння).

Загальне рівняння прямої.

Визначення. Будь-яка пряма на площині може бути задана рівнянням першого порядку

Ах + Ву + З = 0,

причому постійні А, Вне дорівнюють нулю одночасно. Це рівняння першого порядку називають загальним

рівнянням прямої.Залежно від значень постійних А, Ві Зможливі такі окремі випадки:

. C = 0, А ≠0, В ≠ 0- пряма проходить через початок координат

. А = 0, В ≠0, С ≠0 ( By + C = 0)- пряма паралельна осі Ох

. В = 0, А ≠ 0, С ≠ 0 (Ax + C = 0)- пряма паралельна осі Оу

. В = С = 0, А ≠0- пряма збігається з віссю Оу

. А = С = 0, В ≠0- пряма збігається з віссю Ох

Рівняння прямої може бути представлене в різному вигляді залежно від будь-яких заданих

початкових умов.

Рівняння прямої за точкою та вектором нормалі.

Визначення. У декартовій прямокутній системі координат вектор з компонентами (А, В)

перпендикулярний прямій, заданій рівнянням

Ах+Ву+С=0.

Приклад. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку А(1, 2)перпендикулярно вектору (3, -1).

Рішення. Складемо за А = 3 і В = -1 рівняння прямої: 3х - у + С = 0. Для знаходження коефіцієнта С

підставимо в отриманий вираз координати заданої точки А. Отримуємо: 3 - 2 + C = 0, отже

З = -1. Разом: шукане рівняння: 3х – у – 1 = 0.

Рівняння прямої, що проходить через дві точки.

Нехай у просторі задані дві точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1)і M2 (x 2, y 2 , z 2),тоді рівняння прямої,

проходить через ці точки:

Якщо якийсь із знаменників дорівнює нулю, слід прирівняти нулю відповідний чисельник. На

площині записане вище рівняння прямої спрощується:

якщо х 1 ≠ х 2і х = х 1, якщо х 1 = х 2 .

Дроби = kназивається кутовим коефіцієнтом прямий.

Приклад. Знайти рівняння прямої, що проходить через точки А(1, 2) та В(3, 4).

Рішення. Застосовуючи записану вище формулу, отримуємо:

Рівняння прямої за точкою та кутовим коефіцієнтом.

Якщо загальне рівняння прямої Ах + Ву + С = 0привести до вигляду:

та позначити , то отримане рівняння називається

рівнянням прямої із кутовим коефіцієнтом k.

Рівняння прямої по точці та напрямному вектору.

За аналогією з пунктом, що розглядає рівняння прямої через вектор нормалі, можна ввести завдання

прямий через точку та напрямний вектор прямий.

Визначення. Кожен ненульовий вектор (α 1 , α 2), компоненти якого задовольняють умові

Аα 1 + Вα 2 = 0називається напрямним вектором прямий.

Ах+Ву+С=0.

Приклад. Знайти рівняння прямої з напрямним вектором (1, -1) і проходить через точку А(1, 2).

Рішення. Рівняння шуканої прямої шукатимемо у вигляді: Ax+By+C=0.Відповідно до визначення,

коефіцієнти повинні відповідати умовам:

1 * A + (-1) * B = 0, тобто. А = В.

Тоді рівняння прямої має вигляд: Ax + Ay + C = 0,або x + y + C/A = 0.

при х = 1, у = 2отримуємо З/A = -3, тобто. шукане рівняння:

х + у - 3 = 0

Рівняння прямої у відрізках.

Якщо в загальному рівнянні прямий Ах + Ву + С = 0 С 0, то, розділивши на -С, отримаємо:

або , де

Геометричний сенс коефіцієнтів у тому, що коефіцієнт а є координатою точки перетину

прямий з віссю Ох,а b- координатою точки перетину прямої з віссю Оу.

Приклад. Задано загальне рівняння прямої х – у + 1 = 0.Знайти рівняння цієї прямої у відрізках.

С = 1, а = -1, b = 1.

Нормальне рівняння прямої.

Якщо обидві частини рівняння Ах + Ву + С = 0розділити на число , Яке називається

нормуючим множником, то отримаємо

xcosφ + ysinφ - p = 0 -нормальне рівняння прямої.

Знак ± нормуючого множника треба вибирати так, щоб μ * С< 0.

р- Довжина перпендикуляра, опущеного з початку координат на пряму,

а φ - кут, утворений цим перпендикуляром з позитивним напрямком осі Ох.

Приклад. Дано загальне рівняння прямої 12х - 5у - 65 = 0. Потрібно написати різні типи рівнянь

цієї прямої.

Рівняння цієї прямої у відрізках:

Рівняння цієї прямої з кутовим коефіцієнтом: (ділимо на 5)

Рівняння прямої:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Слід зазначити, що не кожну пряму можна уявити рівнянням у відрізках, наприклад, прямі,

паралельні осям або проходять через початок координат.

Кут між прямими на площині.

Визначення. Якщо задані дві прямі y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, то гострий кут між цими прямими

визначатиметься як

Дві прямі паралельні, якщо k 1 = k 2. Дві прямі перпендикулярні,

якщо k 1 = -1/k 2 .

Теорема.

Прямі Ах + Ву + С = 0і А 1 х + У 1 у + С 1 = 0паралельні, коли пропорційні коефіцієнти

А 1 = λА, В 1 = λВ. Якщо ще й С 1 = С, То прямі збігаються. Координати точки перетину двох прямих

перебувають як розв'язання системи рівнянь цих прямих.

Рівняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно даній прямій.

Визначення. Пряма, що проходить через точку М 1 (х 1, у 1)і перпендикулярна до прямої у = kx + b

є рівнянням:

Відстань від точки до прямої.

Теорема. Якщо задана точка М(х 0, у 0),то відстань до прямої Ах + Ву + С = 0визначається як:

Доведення. Нехай точка М 1 (х 1, у 1)- основа перпендикуляра, опущеного з точки Мна задану

пряму. Тоді відстань між точками Мі М 1:

(1)

Координати x 1і у 1можуть бути знайдені як розв'язання системи рівнянь:

Друге рівняння системи - це рівняння прямої, що проходить через задану точку М0 перпендикулярно

заданої прямої. Якщо перетворити перше рівняння системи до виду:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

то, вирішуючи, отримаємо:

Підставляючи ці вирази рівняння (1), знаходимо:

Теорему доведено.