Нехай потрібно знайти рівняння площини, що проходить через три дані точки, що не лежать на одній прямій. Позначаючи їх радіуси-вектори через поточний радіус-вектор через , ми легко отримаємо шукане рівняння у векторній формі. Справді, вектори повинні бути компланарні (вони всі лежать у потрібній площині). Отже, векторно-скалярний добуток цих векторів має дорівнювати нулю:

Це і є рівняння площини, що проходить через три дані точки у векторній формі.

Переходячи до координат, отримаємо рівняння в координатах:

Якби три дані точки лежали на одній прямій, то вектори були колінеарні. Тому відповідні елементи двох останніх рядків визначника, що стоїть у рівнянні (18), були пропорційні і визначник тотожно дорівнює нулю. Отже, рівняння (18) зверталося б у тотожність при будь-яких значеннях х, у і z. Геометрично це означає, що через кожну точку простору проходить площину, в якій лежать три дані точки.

Примітка 1. Це завдання можна вирішити, не користуючись векторами.

Позначаючи координати трьох цих точок відповідно через напишемо рівняння будь-якої площини, що проходить через першу точку:

Щоб отримати рівняння площини, потрібно шукати, щоб рівняння (17) задовольнялося координатами двох інших точок:

З рівнянь (19) слід визначити відношення двох коефіцієнтів до третього і внести знайдені значення рівняння (17).

Приклад 1. Скласти рівняння площини через крапки .

Рівняння площини, що проходить через першу з даних точок, буде:

Умови проходження площини (17) через дві інші точки і першу точку суть:

Складаючи друге рівняння з першим, знайдемо:

Підставляючи у друге рівняння, отримаємо:

Підставляючи в рівняння (17) замість А, В, З відповідно 1, 5, -4 (числа, їм пропорційні), отримаємо:

Приклад 2. Скласти рівняння площини, що проходить через точки (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Рівняння будь-якої площини, що проходить через точку (0, 0, 0), буде]

Умови проходження цієї площини через точки (1, 1, 1) і (2, 2, 2) суть:

Зменшуючи друге рівняння на 2, бачимо, що для визначення двох невідомих відношенні має одне рівняння з

Звідси отримаємо. Підставляючи тепер рівняння площині замість його значення, знайдемо:

Це і є рівняння шуканої площини; воно залежить від довільних

кількостей, З (зокрема, від відношення тобто є незліченна безліч площин, що проходять через три дані точки (три дані точки лежать на одній прямій лінії).

Примітка 2. Завдання про проведення площини через три дані точки, що не лежать на одній прямій, легко вирішується у загальному вигляді, якщо скористатися визначниками. Дійсно, так як в рівняннях (17) і (19) коефіцієнти А, В, С не можуть бути одночасно дорівнюють нулю, то, розглядаючи ці рівняння як однорідну систему з трьома невідомими А, В, С, пишемо необхідну та достатню умову існування рішення цієї системи, відмінного від нульового (ч. 1, гл. VI, § 6):

Розклавши цей визначник елементами першого рядка, отримаємо рівняння першого ступеня щодо поточних координат , якому задовольнятимуть, зокрема, координати трьох даних точок.

У цьому останньому також можна переконатися і безпосередньо, якщо підставити в рівняння, записане за допомогою визначника, координати будь-якої з даних точок замість . У лівій частині виходить визначник, у якого елементи першого рядка нулі, або є два однакові рядки. Таким чином, складене рівняння є площиною, що проходить через три дані точки.

Рівняння площини. Як скласти рівняння площини?
Взаємне розташування площин. Завдання

Просторова геометрія не набагато складніша за «плоску» геометрію, і наші польоти в просторі починаються з цієї статті. Для засвоєння теми необхідно добре розібратись у векторахКрім того, бажано бути знайомим з геометрією площини – буде багато схожого, багато аналогій, тому інформація перетравиться значно краще. У серії моїх уроків 2D-світ відкривається статтею Рівняння прямої на площині. Але зараз Бетмен зійшов із плоского екрану телевізора та стартує з космодрому Байконур.

Почнемо з креслень та позначень. Схематично площину можна намалювати як паралелограма, що створює враження простору:

Площина нескінченна, але ми маємо можливість зобразити лише її шматочок. Насправді крім паралелограма також промальовують овал чи навіть хмарку. Мені з технічних причин зручніше зображати площину саме так і саме у такому положенні. Реальні площини, які ми розглянемо в практичних прикладах, можуть розташовуватися як завгодно - подумки візьміть креслення в руки і покрутіть його в просторі, надавши площині будь-який нахил, будь-який кут.

Позначення: площині прийнято позначати маленькими грецькими літерами , мабуть, щоб не плутати їх з прямий на площиніабо з прямий у просторі. Я звик використати букву. На кресленні саме буква «сигма», а не дірочка. Хоча, дірка площина, це, безумовно, дуже кумедно.

У ряді випадків для позначення площин зручно використовувати ті ж грецькі літери з нижніми підрядковими індексами, наприклад .

Очевидно, що площина однозначно визначається трьома різними точками, що не лежать на одній прямій. Тому досить популярні трибуквенні позначення площин - за точками, що належать їм, наприклад, і т.д. Нерідко букви укладають у круглі дужки: щоб не переплутати площину з іншою геометричною фігурою.

Для досвідчених читачів наведу меню швидкого доступу:

• Як скласти рівняння площини за точкою та двома векторами?
• Як скласти рівняння площини за точкою та вектором нормалі?

і ми не будемо нудитися довгими очікуваннями:

Загальне рівняння площини

Загальне рівняння площини має вигляд , де коефіцієнти одночасно не дорівнюють нулю.

Ряд теоретичних викладок та практичних завдань справедливі як для звичного ортонормованого базису, так і для афінного базису простору (якщо олія - ​​олійна, поверніться до уроку Лінійна (не) залежність векторів. Базис векторів). Для простоти будемо вважати, що всі події відбуваються в ортонормованому базисі та декартовій прямокутній системі координат.

А тепер трохи потренуємо просторову уяву. Нічого страшного, якщо у вас воно погане, зараз трохи розвинемо. Навіть для гри на нервах потрібні тренування.

У загальному випадку, коли числа не дорівнюють нулю, площина перетинає всі три координатні осі. Наприклад, так:

Ще раз повторю, що площина нескінченно продовжується на всі боки, і у нас є можливість зобразити тільки її частину.

Розглянемо найпростіші рівняння площин:

Як розуміти це рівняння? Вдумайтеся: «зет» ЗАВЖДИ, при будь-яких значеннях «ікс» та «ігрок» дорівнює нулю. Це рівняння «рідної» координатної площини. Справді, формально рівняння можна переписати так: , Звідки добре видно, що нам по барабану, які значення набувають «ікс» і «ігрок», важливо, що «Зет» дорівнює нулю.

Аналогічно:
- Рівняння координатної площини;
- Рівняння координатної площини.

Трохи ускладнимо завдання, розглянемо площину (тут і далі в параграфі припускаємо, що числові коефіцієнти не дорівнюють нулю). Перепишемо рівняння як: . Як його розуміти? "Ікс" ЗАВЖДИ, при будь-яких значеннях "ігрок" і "зет" дорівнює деякому числу . Ця площина паралельна координатній площині. Наприклад, площина паралельна площині і проходить через точку .

Аналогічно:
– рівняння площини, яка паралельна координатній площині;
- Рівняння площини, яка паралельна координатній площині.

Додамо членів: . Рівняння можна переписати так: тобто «зет» може бути будь-яким. Що це означає? "Ікс" і "ігрок" пов'язані співвідношенням , яке прокреслює в площині деяку пряму (дізнаєтеся рівняння прямої на площині?). Оскільки "зет" може бути будь-яким, то ця пряма "тиражується" на будь-якій висоті. Таким чином, рівняння визначає площину, паралельну координатній осі

Аналогічно:
- Рівняння площини, яка паралельна координатній осі;
- Рівняння площини, яка паралельна координатній осі .

Якщо вільні члени нульові, то площини безпосередньо проходитимуть через відповідні осі. Наприклад, класична "пряма пропорційність": . Накресліть у площині пряму і подумки розмножте її вгору і вниз (оскільки «зет» будь-яке). Висновок: площина, задана рівнянням, проходить через координатну вісь.

Завершуємо огляд: рівняння площини проходить через початок координат. Ну, тут очевидно, що точка задовольняє даному рівнянню.

І, нарешті, випадок, який зображений на кресленні: - Площина дружить з усіма координатними осями, при цьому вона завжди "відсікає" трикутник, який може розташовуватися в будь-якому з восьми октантів.

Лінійні нерівності у просторі

Для розуміння інформації необхідно добре вивчити лінійні нерівності на площині, оскільки багато речей буду схожі. Параграф матиме короткий оглядовий характер із кількома прикладами, оскільки матеріал практично зустрічається досить рідко.

Якщо рівняння задає площину, то нерівності
задають напівпростору. Якщо нерівність непогана (два останніх у списку), то у розв'язання нерівності крім напівпростору входить і сама площина.

Приклад 5

Знайти одиничний нормальний вектор площині .

Рішення: Одиничний вектор - це вектор, довжина якого дорівнює одиниці Позначимо цей вектор через . Цілком зрозуміло, що вектори колінеарні:

Спочатку з рівняння поверхні знімемо вектор нормалі: .

Як знайти одиничний вектор? Для того щоб знайти одиничний вектор, потрібно кожнукоординату вектора розділити на довжину вектора.

Перепишемо вектор нормалі у вигляді та знайдемо його довжину:

Відповідно до вищесказаного:

Відповідь:

Перевірка: , Що й потрібно перевірити.

Читачі, які уважно вивчили останній параграф уроку, мабуть, помітили, що координати одиничного вектора – це точно напрямні косинуси вектора:

Відвернемося від розібраного завдання: коли вам дано довільний ненульовий вектор, і за умовою потрібно знайти його напрямні косинуси (див. останні завдання уроку Скалярне твір векторів), то ви, по суті, знаходите і одиничний вектор, колінеарний даному. Фактично два завдання в одному флаконі.

Необхідність знайти одиничний вектор нормалі виникає у деяких завданнях математичного аналізу.

З вивуджування нормального вектора розібралися, тепер відповімо на протилежне питання:

Як скласти рівняння площини за точкою та вектором нормалі?

Цю жорстку конструкцію вектора нормалі та точки добре знає мету для гри в дартс. Будь ласка, витягніть руку вперед і оберіть довільну точку простору, наприклад, маленьку кішечку в серванті. Очевидно, що через цю точку можна провести єдину площину, перпендикулярну до вашої руки.

Рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно до вектора , виражається формулою:

В рамках цього матеріалу ми розберемо, як знайти рівняння площини, якщо ми знаємо координати трьох різних точок, які не лежать на одній прямій. Для цього нам потрібно згадати, що таке прямокутна система координат у тривимірному просторі. Для початку ми введемо основний принцип даного рівняння і покажемо, як використовувати його при вирішенні конкретних завдань.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Для початку нам необхідно згадати одну аксіому, яка звучить так:

Визначення 1

Якщо три точки не збігаються одна з одною і не лежать на одній прямій, то в тривимірному просторі через них проходить лише одна площина.

Іншими словами, якщо у нас є три різні точки, координати яких не збігаються і які не можна з'єднати прямий, то ми можемо визначити площину, що проходить через неї.

Допустимо, у нас є прямокутна система координат. Позначимо її O x y z. У ній лежать три точки M з координатами M 1 (x 1 , y 1 , z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) , які не можна з'єднати пряма лінія. З цих умов, ми можемо записати рівняння необхідної нам площині. Є два підходи до вирішення цього завдання.

1. Перший підхід використовує загальне рівняння площини. У буквеному вигляді воно записується як A(x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 . З його допомогою можна задати у прямокутній системі координат якусь площину альфа, яка проходить через першу задану точку M 1 (x 1 , y 1 , z 1) . У нас виходить, що нормальний вектор площини буде мати координати A , B , C .

Визначення N

Знаючи координати нормального вектора та координати точки, якою проходить площину, ми можемо записати загальне рівняння цієї площини.

З цього ми і виходитимемо надалі.

Таким чином, згідно з умовами задачі, ми маємо координати шуканої точки (навіть трьох), через яку проходить площина. Щоб знайти рівняння, потрібно визначити координати її нормального вектора. Позначимо його n → .

Згадаймо правило: будь-який не рівний нулю вектор даної площини є перпендикулярним до нормального вектора цієї ж площини. Тоді ми маємо, що n → буде перпендикулярним до векторів, складених з вихідних точок M 1 M 2 → і M 1 M 3 → . Тоді ми можемо позначити n → як векторний добуток виду M 1 M 2 → M 1 M 3 → .

Оскільки M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) а M 1 M 3 → = x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1 (докази цих рівностей наведені у статті, присвяченій обчисленню координат вектора за координатами точок), тоді виходить, що:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1

Якщо обчислимо визначник, то отримаємо необхідні нам координати нормального вектора n → . Тепер ми можемо записати потрібне нам рівняння площини через три задані точки.

2. Другий підхід знаходження рівняння, що проходить через M 1 (x 1 , y 1 , z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) , заснований на такому понятті, як компланарність векторів.

Якщо у нас є безліч точок M (x , y , z) , то в прямокутній системі координат вони визначають площину для заданих точок M 1 (x 1 , y 1 , z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) тільки в тому випадку, коли вектори M 1 M   → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2   → = ( x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) і M 1 M 3   → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) будуть компланарними.

На схемі це виглядатиме так:

Це означатиме, що змішаний добуток векторів M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → дорівнює нулю: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , оскільки це є основною умовою компланарності: M 1 M   → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2   → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) і M 1 M 3   = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) .

Запишемо отримане рівняння у координатній формі:

Після того, як ми обчислимо визначник, ми зможемо отримати потрібне нам рівняння площини для трьох точок, що не лежать на одній прямій, M 1 (x 1 , y 1 , z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x3, y3, z3).

Від отриманого в результаті рівняння можна перейти до рівняння площини у відрізках або нормального рівняння площини, якщо цього вимагають умови завдання.

У наступному пункті ми наведемо приклади, як зазначені нами підходи реалізуються практично.

Приклади задач на складання рівняння площини, що проходять через 3 точки

Раніше ми виділили два підходи, за допомогою яких можна знайти потрібне рівняння. Давайте подивимося, як вони застосовуються у розв'язках задач і коли слід вибирати кожен із них.

Приклад 1

Існують три точки, що не лежать на одній прямій, з координатами M 1 (- 3 , 2 , - 1) , M 2 (- 1 , 2 , 4) , M 3 (3 , 3 , - 1) . Складіть рівняння площини через них.

Рішення

Використовуємо по черзі обидва способи.

1. Знайдемо координати двох потрібних нам векторів M 1 M 2 → , M 1 M 3 → :

M 1 M 2 → = - 1 - - 3 , 2 - 2 , 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2 , 0 , 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3 , 3 - 2 , - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6, 1, 0

Тепер обчислимо їхній векторний твір. Обчислення визначника розписувати при цьому:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 · i → + 30 · j → + 2 · k →

У нас вийшов нормальний вектор площини, яка проходить через три точки, що шукаються: n → = (- 5 , 30 , 2) . Далі нам потрібно взяти одну з точок, наприклад, M 1 (- 3 , 2 , - 1) і записати рівняння для площини з вектором n → = (- 5 , 30 , 2) . Ми отримаємо, що: - 5 · (x - (-3)) + 30 · (y - 2) + 2 · (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 =

Це і є необхідне рівняння площини, яка проходить через три точки.

2. Використовуємо інший підхід. Запишемо рівняння для площини з трьома точками M 1 (x 1 , y 1 , z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) у наступному вигляді:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Сюди можна підставити дані умови завдання. Оскільки x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, в результаті ми отримаємо:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

Ми отримали необхідне рівняння.

Відповідь:- 5 x + 30 y + 2 z-73.

А як бути, якщо задані точки все ж таки лежать на одній прямій і нам потрібно скласти рівняння площини для них? Тут одразу треба сказати, що ця умова буде не зовсім коректною. Через такі точки може проходити нескінченно багато площин, тому обчислити одну єдину відповідь неможливо. Розглянемо таку задачу, щоб довести некоректність такої постановки питання.

Приклад 2

У нас є прямокутна система координат у тривимірному просторі, в якій розміщені три точки з координатами M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) . Необхідно скласти рівняння площини, що проходить через неї.

Рішення

Використовуємо перший спосіб і почнемо з обчислення координат двох векторів M 1 M 2 → M1 M 3 → . Підрахуємо їх координати: M 1 M 2 → = (- 4 , 6 , 2) , M 1 M 3 → = - 6 , 9 , 3 .

Векторний твір дорівнює:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 · i ⇀ + 0 · j → + 0 · k → = 0 →

Оскільки M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 → , наші вектори будуть колінеарними (перечитайте статтю про них, якщо забули визначення цього поняття). Таким чином, вихідні точки M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) знаходяться на одній прямій, і наше завдання має безліч варіантів відповіді.

Якщо ми використовуємо другий спосіб, у нас вийде:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8 z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

З рівності також випливає, що задані точки M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) знаходяться на одній прямій.

Якщо ви хочете знайти хоч одну відповідь цього завдання з безлічі її варіантів, то потрібно виконати наступні кроки:

1. Записати рівняння прямої М 1 М 2 , М 1 М 3 або М 2 М 3 (за потреби подивіться матеріал про цю дію).

2. Взяти точку M 4 (x 4 , y 4 , z 4) , яка лежить на прямий М 1 М 2 .

3. Записати рівняння площини, яка проходить через три різні точки М 1 , М 2 та M 4 , що не лежать на одній прямій.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Можна задавати різними способами (одною точкою та вектором, двома точками та вектором, трьома точками та ін.). Саме з огляду на це рівняння площини може мати різні види. Також при дотриманні певних умов площини можуть бути паралельними, перпендикулярними, такими, що перетинаються і т.д. Про це і поговоримо у цій статті. Ми навчимося складати загальне рівняння площини і не лише.

Нормальний вид рівняння

Допустимо, є простір R 3 який має прямокутну координатну систему XYZ. Задамо вектор α, який буде випущений з початкової точки О. Через кінець вектора α проведемо площину П, яка буде перпендикулярна до нього.

Позначимо на П довільну точку Q = (х, у, z). Радіус-вектор точки Q підпишемо літерою. При цьому довжина вектора дорівнює р=IαI і Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Це одиничний вектор, який спрямований убік, як вектор α. α, β і γ - це кути, які утворюються між вектором і позитивними напрямками осей простору х, у, z відповідно. Проекція будь-якої точки Q? на вектор ? є постійною величиною, яка дорівнює р: (р,?) = р(р?0).

Зазначене рівняння має сенс, коли р = 0. Єдине, площина П у цьому випадку перетинатиме точку О (α=0), яка є початком координат, і одиничний вектор Ʋ, випущений з точки О, буде перпендикулярний до П, незважаючи на його напрямок, що означає, що вектор Ʋ визначається з точність до знака. Попереднє рівняння є рівнянням нашої поверхні П, вираженим у векторній формі. А ось у координатах його вигляд буде таким:

Р тут більше або дорівнює 0. Ми знайшли рівняння площини у просторі у нормальному вигляді.

Загальне рівняння

Якщо рівняння в координатах помножимо на будь-яке число, яке не дорівнює нулю, отримаємо рівняння, еквівалентне даному, що визначає ту саму площину. Воно матиме такий вигляд:

Тут А, В, С – це числа, одночасно відмінні від нуля. Це рівняння називається як рівняння поверхні загального виду.

Рівняння площин. Приватні випадки

Рівняння у вигляді може видозмінюватися за наявності додаткових умов. Розглянемо деякі з них.

Припустимо, коефіцієнт А дорівнює 0. Це означає, що дана площина паралельна заданої осі Ох. І тут вид рівняння зміниться: Ву+Cz+D=0.

Аналогічно вигляд рівняння змінюватиметься і за таких умов:

• По-перше, якщо В=0, то рівняння зміниться на Ах+Cz+D=0, що свідчить про паралельність осі Оу.
• По-друге, якщо С=0, то рівняння перетворюється на Ах+Ву+D=0, що говорити про паралельність до заданої осі Oz.
• По-третє, якщо D=0, рівняння буде виглядати як Ах+Ву+Cz=0, що означатиме, що площина перетинає О (початок координат).
• По-четверте, якщо A=B=0, то рівняння зміниться на Cz+D=0, що доводитиме паралельність до Oxy.
• По-п'яте, якщо B = C = 0, то рівняння стане Ах + D = 0, а це означає, що площина до Oyz паралельна.
• По-шосте, якщо A=C=0, то рівняння набуде вигляду Ву+D=0, тобто повідомлятиме про паралельність до Oxz.

Вигляд рівняння у відрізках

Якщо числа А, В, С, D відмінні від нуля, вид рівняння (0) може бути наступним:

х/а + у/b + z/с = 1,

в якому а = -D/А, b = -D/В, = -D/С.

Отримуємо в результаті Варто відзначити, що дана поверхня буде перетинати вісь Ох в точці з координатами (а,0,0), Оу - (0,b,0), а Oz - (0,0,с).

З урахуванням рівняння х/а + у/b + z/с = 1 неважко візуально уявити розміщення площини щодо заданої координатної системи.

Координати нормального вектора

Нормальний вектор n до площини П має координати, які є коефіцієнтами загального рівняння цієї площини, тобто n (А, В, С).

Щоб визначити координати нормалі n, досить знати загальне рівняння заданої площині.

При використанні рівняння у відрізках, що має вигляд х/а + у/b + z/с = 1, як і за використання загального рівняння, можна записати координати будь-якого нормального вектора заданої площини: (1/а + 1/b + 1/ с).

Варто зазначити, що нормальний вектор допомагає вирішити різноманітні завдання. До найпоширеніших відносяться завдання, що полягають у доказі перпендикулярності або паралельності площин, задачі знаходження кутів між площинами або кутів між площинами та прямими.

Вид рівняння площини згідно з координатами точки та нормального вектора

Ненульовий вектор n, перпендикулярний до заданої площини, називають нормальним (нормаллю) для заданої площини.

Припустимо, що у координатному просторі (прямокутній координатній системі) Oxyz задані:

• точка Мₒ з координатами (хₒ,уₒ,zₒ);
• нульовий вектор n = А * i + В * j + С * k.

Потрібно скласти рівняння площини, яка проходитиме через точку Мₒ перпендикулярно нормалі n.

У просторі виберемо будь-яку довільну точку та позначимо її М (х у, z). Нехай радіус-вектор будь-якої точки М (х,у,z) буде r=х*i+у*j+z*k, а радіус-вектор точки Мₒ (хₒ,уₒ,zₒ) - rₒ=хₒ*i+уₒ *j+zₒ*k. Точка М належатиме заданій площині, якщо вектор МₒМ буде перпендикулярний вектору n. Запишемо умову ортогональності за допомогою скалярного твору:

[МₒМ, n] = 0.

Оскільки МₒМ = r-rₒ, векторне рівняння площини виглядатиме так:

Це рівняння може мати й іншу форму. І тому використовуються властивості скалярного твори, а перетворюється ліва сторона рівняння. = -. Якщо позначити як с, то вийде таке рівняння: - с = 0 або = с, яке виражає сталість проекцій на нормальний вектор радіус-векторів заданих точок, що належать до площини.

Тепер можна отримати координатний вид запису векторного рівняння нашої площини = 0. Оскільки r-rₒ = (х-хₒ)*i + (у-уₒ)*j + (z-zₒ)*k, а n = А*i+В *j+С*k, ми маємо:

Виходить, у нас утворюється рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно до нормалі n:

А*(х-хₒ)+В*(у-уₒ)С*(z-zₒ)=0.

Вид рівняння площини згідно з координатами двох точок та вектора, колінеарної площини

Задамо дві довільні точки М '(х',у',z') і М'(х',у',z'), а також вектор а (а',а',а').

Тепер ми зможемо скласти рівняння заданої площини, яка проходитиме через наявні точки М′ і М″, а також будь-яку точку М із координатами (х,у,z) паралельно заданому вектору а.

При цьому вектори М′М=(х-х′;у-у′;z-z′) та М″М=(х″-х′;у″-у′;z″-z′) мають бути компланарними з вектором а=(а′,а″,а‴), а це означає, що (М′М, М″М, а)=0.

Отже, наше рівняння площини у просторі виглядатиме так:

Вигляд рівняння площини, що перетинає три точки

Допустимо, у нас є три точки: (х',у',z'), (х',у',z'), (х‴,у‴,z‴), які не належать до однієї прямої. Необхідно написати рівняння площини, що проходить через три точки. Теорія геометрії стверджує, що така площина дійсно існує, ось тільки вона єдина та неповторна. Оскільки ця площина перетинає точку (х′,у′,z′), вид її рівняння буде наступним:

Тут А, В, З відмінні від нуля одночасно. Також задана площина перетинає ще дві точки: (х ", у", z ") і (х, у, z,). У зв'язку з цим мають виконуватися такі умови:

Зараз ми можемо скласти однорідну систему з невідомими u, v, w:

У разі х,у або z виступає довільною точкою, яка задовольняє рівняння (1). Враховуючи рівняння (1) та систему з рівнянь (2) та (3), систему рівнянь, зазначеної на малюнку вище, задовольняє вектор N (А, В, С), який є нетривіальним. Саме тому визначник цієї системи дорівнює нулю.

Рівняння (1), яке ми отримали, це і є рівняння площини. Через три точки вона точно проходить, і це легко перевірити. Для цього потрібно розкласти наш визначник за елементами, що знаходяться у першому рядку. З існуючих властивостей визначника випливає, що наша площина одночасно перетинає три спочатку задані точки (х',у',z'), (х',у',z'), (х‴,у‴,z‴). Тобто ми вирішили поставлене перед нами завдання.

Двогранний кут між площинами

Двогранний кут є просторовою геометричною фігурою, утвореною двома напівплощинами, які виходять з однієї прямої. Іншими словами, це частина простору, яка обмежується даними напівплощинами.

Допустимо, у нас є дві площини з наступними рівняннями:

Нам відомо, що вектори N=(А,В,С) і N?=(А?,В?,С?) перпендикулярні згідно з заданими площинами. У зв'язку з цим кут φ між векторами N і N¹ дорівнює куту (двогранному), що знаходиться між цими площинами. Скалярний твір має вигляд:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

саме тому

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(АА¹+ВВ¹+СС¹)/((√(А²+В²+С²))*(√(А¹)²+(В¹)²+(С¹)²)).

Достатньо врахувати, що 0≤φ≤π.

Насправді дві площини, що перетинаються, утворюють два кути (двогранні): φ 1 і φ 2 . Сума їх дорівнює π (φ 1 + φ 2 = π). Що стосується їх косінусів, то їх абсолютні величини рівні, але вони різняться знаками, тобто cos φ 1 =-cos φ 2 . Якщо в рівнянні (0) замінити А, В і С на числа -А, -В і -С відповідно, то рівняння, яке ми отримаємо, визначатиме цю саму площину, єдине, кут φ у рівнянні cos φ= NN 1 /| N||N 1 | буде замінено на π-φ.

Рівняння перпендикулярної площини

Перпендикулярними називаються площини, між якими кут дорівнює 90 градусів. Використовуючи матеріал, викладений вище, ми можемо знайти рівняння площини, перпендикулярної до іншої. Допустимо, у нас є дві площини: Ах+Ву+Cz+D=0 та А¹х+В¹у+С¹z+D=0. Ми можемо стверджувати, що вони будуть перпендикулярними, якщо cosφ=0. Це означає, що NN¹=АА¹+ВВ¹+СС¹=0.

Рівняння паралельної площини

Паралельними називаються дві площини, які містять загальних точок.

Умова (їх рівняння ті ж, що й у попередньому пункті) полягає в тому, що вектори N і N¹, які перпендикулярні до них, колінеарні. А це означає, що виконуються такі умови пропорційності:

А/А?=В/В?=С/С?.

Якщо умови пропорційності є розширеними - А/А?=В/В?=С/С?=DD?,

це свідчить у тому, що дані площині збігаються. А це означає, що рівняння Ах+Ву+Cz+D=0 та А¹х+В¹у+С¹z+D¹=0 описують одну площину.

Відстань до площини від точки

Припустимо, ми маємо площину П, яка задана рівнянням (0). Необхідно знайти відстань від точки з координатами (хₒ,уₒ,zₒ)=Qₒ. Щоб це зробити, потрібно привести рівняння площини П до нормального вигляду:

(ρ,v)=р (р≥0).

У разі ρ (х,у,z) є радіус-вектором нашої точки Q, розташованої на П, р - це довжина перпендикуляра П, який був випущений з нульової точки, v - це одиничний вектор, розташований у напрямі а.

Різниця ρ-ρº радіус-вектора будь-якої точки Q=(х,у,z), що належить П, а також радіус-вектора заданої точки Q 0 =(хₒ,уₒ,zₒ) є таким вектором, абсолютна величина проекції якого на v дорівнює відстані d, яку потрібно знайти від Q 0 =(хₒ,уₒ,zₒ) до П:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, але

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) = р-(ρ 0 ,v).

Ось і виходить,

d=|(ρ0,v)-р|.

Отже, ми знайдемо абсолютне значення отриманого висловлювання, тобто шукане d.

Використовуючи мову параметрів, отримуємо очевидне:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Якщо задана точка Q 0 знаходиться з іншого боку від площини П, як і початок координат, між вектором ρ-ρ 0 і v знаходиться так:

d=-(ρ-ρ0,v)=(ρ0,v)-р>0.

У випадку коли точка Q 0 спільно з початком координат розташовується по ту саму сторону від П, то кут, що створюється, гострий, тобто:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

У результаті виходить, що у першому випадку (ρ 0 ,v)>р, у другому (ρ 0 ,v)<р.

Стосовна площина та її рівняння

Що стосується площину до поверхні в точці дотику Мº - це площина, що містить всі можливі дотичні до кривих, проведених через цю точку на поверхні.

При такому вигляді рівняння поверхні F(х,у,z)=0 рівняння дотичної площини в дотичній точці М?(х?,??, z?) буде виглядати так:

F х (хº,уº,zº)(х-хº)+ F х (хº, уº, zº)(у-уº)+ F х (хº, уº,zº)(z-zº)=0.

Якщо задати поверхню у явній формі z=f (х,у), то дотична площина буде описана рівнянням:

z-zº =f(хº, уº)(х-хº)+f(хº, уº)(у-уº).

Перетин двох площин

У розташована система координат (прямокутна) Oxyz, дано дві площини П′ та П″, які перетинаються та не збігаються. Оскільки будь-яка площина, що знаходиться в прямокутній координатній системі, визначається загальним рівнянням, будемо вважати, що П′ і П″ задаються рівняннями А′х+В′у+С′z+D′=0 та А″х+В″у+ З z + D = 0. У такому разі маємо нормаль n′ (А′,В′,С′) площини П′ та нормаль n″ (А″,В″,С″) площини П″. Оскільки наші площини не паралельні і не збігаються, ці вектори є не колінеарними. Використовуючи мову математики, ми цю умову можемо записати так: n′≠ n″ ↔ (А′,В′,С′) ≠ (λ*А″,λ*В″,λ*С″), λϵR. Нехай пряма, яка лежить на перетині П′ і П″, позначатиметься літерою а, у цьому випадку а = П′ ∩ П″.

а - це пряма, що складається з багатьох точок (загальних) площин П′ і П″. Це означає, що координати будь-якої точки, що належить прямій а, повинні одночасно задовольняти рівняння А′х+В′у+С′z+D′=0 та А″х+В″у+С″z+D″=0. Отже, координати точки будуть приватним розв'язком наступної системи рівнянь:

У результаті виходить, що рішення (загальне) цієї системи рівнянь визначатиме координати кожної з точок прямої, яка виступатиме точкою перетину П′ і П″, і визначатиме пряму а в координатній системі Oxyz (прямокутній) у просторі.