При розрахунку алгебраїчних багаточленів для спрощення обчислень використовуються формули скороченого множення . Усього таких формул сім. Їх усе треба знати напам'ять.

Слід також пам'ятати, що замість a та b у формулах можуть стояти як числа, так і будь-які інші алгебраїчні багаточлени.

Різниця квадратів

Різниця квадратів двох чисел дорівнює добутку різниці цих чисел та їх суми.

a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)

Квадрат суми

Квадрат суми двох чисел дорівнює квадрату першого числа плюс подвоєний добуток першого числа на друге плюс квадрат другого числа.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Зауважте, що за допомогою цієї формули скороченого множення легко знаходити квадрати великих чисел, не використовуючи калькулятор або множення у стовпчик. Пояснимо на прикладі:

Знайти 112 2 .

Розкладемо 112 на суму чисел, чиї квадрати ми добре пам'ятаємо.2
112 = 100 + 1

Запишемо суму чисел у дужки та поставимо над дужками квадрат.
112 2 = (100 + 12) 2

Скористаємося формулою квадрата суми:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Пам'ятайте, що формула квадрат суми також справедлива для будь-яких багаточленів алгебри.

(8a + с) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Застереження!

(a + b) 2 не дорівнює a 2 + b 2

Квадрат різниці

Квадрат різниці двох чисел дорівнює квадрату першого числа мінус подвоєний добуток першого на друге плюс квадрат другого числа.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

Також варто запам'ятати дуже корисне перетворення:

(a - b) 2 = (b - a) 2
Формула вище доводиться простим розкриттям дужок:

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2 = (b - a) 2

Куб суми

Куб суми двох чисел дорівнює кубу першого числа плюс потрійний добуток квадрата першого числа на другий плюс потрійний добуток першого на квадрат другого плюс куб другого.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Запам'ятати цю «страшну» на вигляд формулу досить легко.

Вивчіть, що спочатку йде a 3 .

Два многочлени посередині мають коефіцієнти 3.

Впригадаємо, що будь-яке число в нульовому ступені є 1. (a 0 = 1, b 0 = 1). Легко помітити, що у формулі йде зниження ступеня a збільшення ступеня b. У цьому можна переконатися:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Застереження!

(a + b) 3 не дорівнює a 3 + b 3

Куб різниці

Куб різниці двох чисел дорівнює кубу першого числа мінус потрійний добуток квадрата першого числа на другий плюс потрійний добуток першого числа на квадрат другого мінус куб другого.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Запам'ятовується ця формула як і попередня, але з урахуванням чергування знаків «+» і «-». Перед першим членом a 3 стоїть "+" (за правилами математики ми його не пишемо). Отже, перед наступним членом стоятиме «-», потім знову «+» тощо.

(a - b) 3 = + a 3 - 3a 2b + 3ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Сума кубів ( Не плутати із кубом суми!)

Сума кубів дорівнює добутку суми двох чисел на неповний квадрат різниці.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

Сума кубів – це твір двох дужок.

Перша дужка – сума двох чисел.

Друга дужка – неповний квадрат різниці чисел. Неповним квадратом різниці називають вираз:

A 2 - ab + b 2
Цей квадрат неповний, тому що посередині замість подвоєного добутку звичайний добуток чисел.

Різниця кубів (Не плутати з кубом різниці!)

Різниця кубів дорівнює добутку різниці двох чисел на неповний квадрат суми.

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Будьте уважні під час запису знаків.Слід пам'ятати, що всі формули, наведені вище, використовується також справа наліво.

Легкий спосіб запам'ятати формули скороченого множення, або трикутник Паскаля.

Чи важко запам'ятовуються формули скороченого множення? Справі легко допомогти. Потрібно просто запам'ятати, як зображується така річ, як трикутник Паскаля. Тоді ви згадаєте ці формули завжди і скрізь, вірніше, не згадайте, а відновіть.

Що таке трикутник Паскаля? Цей трикутник складається з коефіцієнтів, які входять до розкладання будь-якого ступеня двочлена виду в многочлен.

Розкладемо, наприклад, :

У цьому записі легко запам'ятовується, що спочатку стоїть куб першого, а наприкінці – куб другого числа. А ось що посередині – запам'ятовується складно. І навіть те, що в кожному наступному доданку ступінь одного множника весь час зменшується, а другого - збільшується - неважко помітити і запам'ятати, важче справа із запам'ятовуванням коефіцієнтів і знаків (плюс там чи мінус?).

Отже, спочатку коефіцієнти. Не треба їх запам'ятовувати! На полях зошита швиденько малюємо трикутник Паскаля, і ось вони – коефіцієнти вже перед нами. Малювати починаємо з трьох одиниць, одна зверху, дві нижче, правіше і лівіше - ага, вже трикутник виходить:

Перший рядок, з одним одиником - нульовий. Потім іде перша, друга, третя і так далі. Щоб отримати другий рядок, потрібно по краях знову приписати одиниці, а в центрі записати число, отримане додаванням двох чисел, що стоять над ним:

Записуємо третій рядок: знову по краях одиниці, і знову, щоб отримати наступне число в новому рядку, складемо числа, що стоять над ним у попередньому:

Як ви вже здогадалися, ми отримуємо у кожному рядку коефіцієнти з розкладання двочлена до багаточлена:

Ну а знаки запам'ятати ще простіше: перший - такий же, як у двочлені, що розкладається (розкладаємо суму - значить, плюс, різниця - значить, мінус), а далі знаки чергуються!

Ось така це корисна штука – трикутник Паскаля. Користуйтесь!

Формули або правила скороченого множення використовуються в арифметиці, а точніше - в алгебрі, для швидшого процесу обчислення великих алгебраїчних виразів. Самі ж формули отримані з існуючих в алгебрі правил для множення кількох багаточленів.

Використання даних формул забезпечує досить оперативне розв'язання різних математичних завдань, а також допомагає здійснювати спрощення виразів. Правила алгебраїчних перетворень дозволяють виконувати деякі маніпуляції з виразами, дотримуючись яких можна отримати в лівій частині рівності вираз, що стоїть у правій частині, або перетворити праву частину рівності (щоб отримати вираз, що стоїть у лівій частині після знаку рівності).

Зручно знати формули, що застосовуються для скороченого множення, на згадку, оскільки вони нерідко використовуються під час вирішення завдань та рівнянь. Нижче перераховані основні формули, що входять до цього списку, та їх найменування.

Квадрат суми

Щоб обчислити квадрат суми, необхідно знайти суму, що складається з квадрата першого доданку, подвоєного твору першого доданку на друге та квадрата другого. У вигляді виразу це правило записується так: (а + с)² = a² + 2ас + с².

Квадрат різниці

Щоб обчислити квадрат різниці, необхідно обчислити суму, що складається з квадрата першого числа, подвоєного добутку першого числа на друге (взяте з протилежним знаком) та квадрат другого числа. У вигляді виразу це правило виглядає так: (а - с)² = а² - 2ас + с².

Різниця квадратів

Формула різниці двох чисел, зведених у квадрат, дорівнює добутку суми цих чисел на їхню різницю. У вигляді виразу це правило виглядає так: a² - с² = (a + с) · (a - с).

Куб суми

Щоб обчислити куб суми двох доданків, необхідно обчислити суму, що складається з куба першого доданку, потроєного твору квадрата першого доданку та другого, потроєного добутку першого доданку та другого у квадраті, а також куба другого доданку. У вигляді виразу дане правило виглядає наступним чином: (а + с) ³ = ? + 3а?с + 3ас? + с?.

Сума кубів

Відповідно до формули, прирівнюється до добутку суми даних доданків з їхньої неповний квадрат різниці. У вигляді виразу дане правило виглядає наступним чином: ? + с? = (а + с) · (а? - ас + с?).

приклад.Необхідно обчислити обсяг фігури, яка утворена додаванням двох кубів. Відомі лише величини їхніх сторін.

Якщо значення сторін невеликі, виконати обчислення просто.

Якщо ж довжини сторін виражаються у громіздких числах, то цьому випадку простіше застосувати формулу "Сума кубів", яка значно спростить обчислення.

Куб різниці

Вираз для кубічної різниці звучить так: як сума третього ступеня першого члена, потроєного негативного твору квадрата першого члена на другий, потроєного твору першого члена на квадрат другого та негативного куба другого члена. У вигляді математичного вираження куб різниці виглядає наступним чином: (а - с)? = а? - 3а?с + 3ас? - с?.

Різниця кубів

Формула різниці кубів відрізняється від суми кубів лише одним знаком. Отже, різниця кубів - формула, рівна добутку різниці даних чисел з їхньої неповний квадрат суми. У вигляді математичного вираження різницю кубів виглядає так: а 3 - з 3 = (а - с) (а 2 + ас + с 2).

приклад.Необхідно обчислити об'єм фігури, яка залишиться після вирахування з об'єму синього куба об'ємної фігури жовтого кольору, яка також є кубом. Відома лише величина сторони маленького та великого куба.

Якщо значення сторін невеликі, обчислення досить прості. А якщо довжини сторін виражаються у значних числах, то варто застосувати формулу, під назвою "Різниця кубів" (або "Куб різниці"), яке значно спростить обчислення.

Формули скороченого висловлювання часто-густо застосовуються практично, отже їх усе бажано вивчити напам'ять. До цього моменту ми будемо служити вірою і правдою, яку ми рекомендуємо роздрукувати і весь час тримати перед очима:

Перші чотири формули із складеної таблиці формул скороченого множення дозволяють зводити в квадрат і куб суму або різницю двох виразів. П'ята призначена для короткого множення різниці та суми двох виразів. А шоста і сьома формули використовуються для множення суми двох виразів a та b на їх неповний квадрат різниці (так називають вираз виду a 2 −a·b+b 2 ) та різниці двох виразів a та b на неповний квадрат їх суми (a 2 + a b + b 2) відповідно.

Варто окремо помітити, що кожна рівність у таблиці є тотожністю . Цим пояснюється, чому формули скороченого множення ще називають тотожністю скороченого множення.

При вирішенні прикладів, особливо в яких має місце розкладання многочлена на множники, ФСУ часто використовують у вигляді з переставленими місцями лівими та правими частинами:

Три останні тотожності у таблиці мають свої назви. Формула a 2 −b 2 =(a−b)·(a+b) називається формулою різниці квадратів, a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2) - формулою суми кубів, а a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2) - формулою різниці кубів. Зверніть увагу, що відповідних формул з переставленими частинами з попередньої таблиці ФСУ ми не назвали.

Додаткові формули

У таблицю формул скороченого множення не завадить додати ще кілька тотожностей.

Сфери застосування формул скороченого множення (ФСУ) та приклади

Основне призначення формул скороченого множення (ФСУ) пояснюється їх назвою, тобто воно полягає в короткому множенні виразів. Проте сфера застосування ФСУ набагато ширша і не обмежується коротким множенням. Перелічимо основні напрямки.

Безперечно, центральний додаток формули скороченого множення знайшли у виконанні тотожних перетворень виразів . Найчастіше ці формули використовуються у процесі спрощення виразів.

приклад.

Спростіть вираз 9·y−(1+3·y) 2 .

Рішення.

У цьому вираженні зведення в квадрат можна виконати скорочено, маємо 9·y−(1+3·y) 2 =9·y−(1 2 +2·1·3·y+(3·y) 2). Залишається лише розкрити дужки та навести подібні члени: 9·y−(1 2 +2·1·3·y+(3·y) 2)= 9·y−1−6·y−9·y 2 =3·y−1−9·y 2.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтесь з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запитане надання вашої персональної інформації будь-коли, коли ви зв'язуєтеся з нами.

Нижче наведено деякі приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної пошти тощо.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників, і суворо стежимо за виконанням заходів дотримання конфіденційності.

У попередньому уроці ми розібралися із розкладанням на множники. Освоїли два способи: винесення загального множника за дужки та угруповання. У цьому уроці наступний потужний спосіб: формули скороченого множення. У короткому записі – ФСУ.

Формули скороченого множення (квадрат суми та різниці, куб суми та різниці, різниця квадратів, сума та різниця кубів) вкрай необхідні у всіх розділах математики. Вони застосовуються у спрощенні виразів, розв'язанні рівнянь, множенні багаточленів, скороченні дробів, рішенні інтегралів тощо. і т.п. Коротше є всі підстави розібратися з ними. Зрозуміти, звідки вони беруться, навіщо вони потрібні, як їх запам'ятати та як застосовувати.

Розбираємось?)

Звідки беруться формули скороченого множення?

Рівності 6 та 7 записані не дуже звично. Наче навпаки. Це спеціально.) Будь-яка рівність працює як зліва направо, так і праворуч наліво. У такому записі зрозуміліше, звідки беруться ФСУ.

Вони беруться з множення.) Наприклад:

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

Ось і все, жодних наукових хитрощів. Просто перемножуємо дужки та наводимо подібні. Так виходять всі формули скороченого множення. Скороченемноження - це оскільки у самих формулах немає перемноження дужок і приведення подібних. Скорочені.) Відразу дано результат.

ФСУ треба знати напам'ять. Без перших трьох можна не мріяти про трійці, без решти - про четвірку з п'ятіркою.

Навіщо потрібні формули скороченого множення?

Є дві причини, вивчити, навіть зазубрити ці формули. Перша – готова відповідь на автоматі різко зменшує кількість помилок. Але це не найголовніша причина. А ось друга...

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.