Тема: Обчислення площі плоскої фігури за допомогою певного інтегралу

Завдання: вивчити визначення та формули знаходження площі криволінійної трапеції;

розглянути різні випадки знаходження площі криволінійної трапеції;

Вміти обчислювати площу криволінійної трапеції.

План:

Криволінійна трапеція.

Формули обчислення площі криволінійної трапеції.

Криволінійною трапецієюназивається фігура, обмежена графіком безперервної, неотрицательной функції f(x) на проміжку , відрізками прямих x=a і x=b, і навіть відрізком осі абсцис між точками a і b.

Зображення криволінійних трапецій:

Тепер перейдемо до можливих варіантів розташування фігур, площу яких треба вирахувати на координатній площині.

Першим буде найпростіший варіант (перший малюнок), звичайна криволінійна трапеція, як у визначенні. Тут нічого не треба вигадувати просто беремо інтеграл від aдо bвід функції f(x). Знайдемо інтеграл - знатимемо і площу даної трапеції.


Во другому варіанті наша фігура буде обмежена не віссю абсцис, а іншою функцією g(x). Тому, щоб знайти площу CEFD, нам треба спочатку знайти площу AEFB(за допомогою інтеграла від f(x)), потім знайти площу ACDB(за допомогою інтеграла від g(x)). І шукана площа фігури CEFD, буде різниця між першою та другою площами криволінійної трапеції. Оскільки межі інтегрування тут однакові, це все можна записати під одним інтегралом (дивіться формули під малюнком) все залежить від складності функцій, у якому разі простіше буде знайти інтеграл.



Третій дуже схожий на перший, але тільки наша трапеція розміщена, не над віссю абсцис, а під нею. Тому тут треба брати такий самий інтеграл, тільки зі знаком мінус, бо значення інтеграла буде негативним, а значення площі має бути позитивним. Якщо замість функції f(x)взяти функцію –f(x), то її графік буде такий самий просто симетрично відображений щодо осі абсцис.


І четвертийВаріант, коли частина нашої фігури знаходиться над віссю абсцис, а частина під нею. Тому нам треба спочатку знайти площу фігури AEFB, як у першому варіанті, а потім площа фігури ABCD, як у третьому варіанті і потім скласти їх. У результаті ми отримаємо площу фігури DEFC. Оскільки межі інтегрування тут однакові, це все можна записати під одним інтегралом (дивіться формули під малюнком) все залежить від складності функцій, у якому разі простіше буде знайти інтеграл.

Питання для самоперевірки:

Яка постать називається криволінійною трапецією?

Як знайти площу криволінійної трапеції?

Визначений інтеграл. Як вирахувати площу фігури

Переходимо до розгляду додатків інтегрального обчислення. На цьому уроці ми розберемо типове та найбільш поширене завдання – як за допомогою певного інтеграла обчислити площу плоскої фігури. Нарешті ті, хто шукає значення у вищій математиці - і знайдуть його. Мало чи. Доведеться ось у житті наближати дачну ділянку елементарними функціями та знаходити її площу за допомогою певного інтеграла.

Для успішного освоєння матеріалу необхідно:

1) Розбиратися у невизначеному інтегралі хоча б на середньому рівні. Таким чином, чайникам для початку слід ознайомитись із уроком Не.

2) Вміти застосовувати формулу Ньютона-Лейбніца та обчислювати певний інтеграл. Налагодити теплі дружні стосунки із певними інтегралами можна на сторінці Визначений інтеграл. Приклади рішень.

Насправді, для того щоб знаходити площу фігури не треба так багато знань з невизначеного і певного інтегралу. Завдання «обчислити площу за допомогою певного інтеграла» завжди передбачає побудову кресленнятому набагато актуальнішим питанням будуть ваші знання та навички побудови креслень. У цьому корисно освіжити у пам'яті графіки основних елементарних функцій, а, як мінімум, вміти будувати пряму, параболу і гіперболу. Зробити це можна (багатьом – потрібно) за допомогою методичного матеріалу та статті про геометричні перетворення графіків.

Власне, із завданням знаходження площі за допомогою певного інтеграла всі знайомі ще зі школи, і ми мало втечемо вперед від шкільної програми. Цієї статті взагалі могло б і не бути, але справа в тому, що завдання зустрічається в 99 випадків зі 100, коли студент страждає від ненависної вежі із захопленням освоює курс вищої математики.

Матеріали даного практикуму викладені легко, докладно і з мінімумом теорії.

Почнемо з криволінійної трапеції.

Криволінійною трапецієюназивається плоска фігура, обмежена віссю , прямими і графіком безперервної на відрізку функції , яка не змінює знак на цьому проміжку. Нехай ця фігура розташована не нижчеосі абсцис:

Тоді площа криволінійної трапеції чисельно дорівнює певному інтегралу. Будь-який певний інтеграл (який існує) має дуже хороший геометричний сенс. На уроці Визначений інтеграл. Приклади рішенья говорив, що певний інтеграл це число. А зараз настав час констатувати ще один корисний факт. З погляду геометрії певний інтеграл – це ПЛОЩА.

Тобто, певному інтегралу (якщо він існує) геометрично відповідає площа деякої фігури. Наприклад, розглянемо певний інтеграл. Підінтегральна функція задає на площині криву, що знаходиться вище за осі (бажаючі можуть виконати креслення), а сам певний інтеграл чисельно дорівнює площі відповідної криволінійної трапеції.

Приклад 1

Це типове формулювання завдання. Перший та найважливіший момент вирішення – побудова креслення. Причому креслення необхідно побудувати ПРАВИЛЬНО.

При побудові креслення я рекомендую наступний порядок: спочаткукраще побудувати всі прямі (якщо вони є) і тільки потім– параболи, гіперболи, графіки інших функцій. Графіки функцій вигідніше будувати крапково, з технікою поточкової побудови можна ознайомитись у довідковому матеріалі Графіки та властивості елементарних функцій. Там же можна знайти дуже корисний стосовно нашого уроку матеріал – як швидко побудувати параболу.

У цій задачі рішення може виглядати так.
Виконаємо креслення (зверніть увагу, що рівняння задає вісь):

Штрихувати криволінійну трапецію я не буду, тут очевидно, про яку площу йдеться. Рішення продовжується так:

На відрізку графік функції розташований над віссютому:

Відповідь:

У кого виникли труднощі з обчисленням певного інтеграла та застосуванням формули Ньютона-Лейбніца , зверніться до лекції Визначений інтеграл. Приклади рішень.

Після того, як завдання виконано, завжди корисно поглянути на креслення і прикинути, чи реальна вийшла відповідь. У цьому випадку «на око» підраховуємо кількість клітинок у кресленні – ну, приблизно 9 набереться, схоже на правду. Цілком зрозуміло, що якби в нас вийшов, скажімо, відповідь: 20 квадратних одиниць, то, зрозуміло, що десь припущена помилка - у розглянуту фігуру 20 клітинок вочевидь не вміщається, від сили десяток. Якщо відповідь вийшла негативною, то завдання теж вирішено некоректно.

Приклад 2

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями , , та віссю

Це приклад самостійного рішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Що робити, якщо криволінійна трапеція розташована під віссю?

Приклад 3

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями та координатними осями.

Рішення: Виконаємо креслення:

Якщо криволінійна трапеція розташована під віссю(або, принаймні, Не вищецієї осі), то її площа можна знайти за формулою:
В даному випадку:

Увага! Не слід плутати два типи завдань:

1) Якщо Вам запропоновано вирішити просто певний інтеграл без жодного геометричного сенсу, він може бути негативним.

2) Якщо Вам запропоновано знайти площу фігури за допомогою певного інтеграла, то площа завжди позитивна! Саме тому у щойно розглянутій формулі фігурує мінус.

На практиці найчастіше фігура розташована і у верхній і нижній півплощині, а тому, від найпростіших шкільних завдань переходимо до більш змістовних прикладів.

Приклад 4

Знайти площу плоскої фігури, обмеженою лініями , .

Рішення: Спочатку потрібно виконати креслення Загалом кажучи, при побудові креслення в завданнях на площу нас найбільше цікавлять точки перетину ліній. Знайдемо точки перетину параболи та прямої. Це можна зробити двома способами. Перший спосіб – аналітичний. Вирішуємо рівняння:

Значить, нижня межа інтегрування, верхня межа інтегрування.
Цим способом краще, наскільки можна, не користуватися.

Набагато вигідніше і швидше побудувати лінії поточечно, у своїй межі інтегрування з'ясовуються хіба що «самі собою». Техніка поточкового побудови для різних графіків докладно розглянуто у довідці Графіки та властивості елементарних функцій. Тим не менш, аналітичний спосіб знаходження меж все-таки доводиться іноді застосовувати, якщо, наприклад, графік досить великий, або поточена побудова не виявила меж інтегрування (вони можуть бути дрібними або ірраціональними). І такий приклад ми теж розглянемо.

Повертаємося до нашого завдання: раціональніше спочатку побудувати пряму і лише потім параболу. Виконаємо креслення:

Повторюся, що при поточковому побудові межі інтегрування найчастіше з'ясовуються "автоматом".

А тепер робоча формула: Якщо на відрізку деяка безперервна функція більше або дорівнюєдеякої безперервної функції , то площа фігури, обмеженої графіками даних функцій і прямими , можна знайти за формулою:

Тут уже не треба думати, де розташована постать - над віссю або під віссю, і, грубо кажучи, важливо, який графік Вище(щодо іншого графіка), а який – НИЖЧЕ.

У розглянутому прикладі очевидно, що на відрізку парабола розташовується вище прямої, а тому необхідно відняти

Завершення рішення може мати такий вигляд:

Шукана фігура обмежена параболою зверху та прямою знизу.
На відрізку , за відповідною формулою:

Відповідь:

Насправді шкільна формула для площі криволінійної трапеції у нижній півплощині (див. простенький приклад №3) – окремий випадок формули . Оскільки вісь задається рівнянням, а графік функції розташований Не вищеосі , то

А зараз пара прикладів для самостійного вирішення

Приклад 5

Приклад 6

Знайти площу фігури, обмеженою лініями , .

У результаті вирішення завдань на обчислення площі з допомогою певного інтеграла іноді трапляється кумедний казус. Креслення виконано правильно, розрахунки – правильно, але за неуважністю… знайдено площу не тієї фігури, саме так кілька разів лажався ваш покірний слуга. Ось реальний випадок із життя:

Приклад 7

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями , , , .

Рішення: Спочатку виконаємо креслення:

…Ех, креслення хрінонький вийшов, але ніби все розбірливо.

Фігура, площу якої нам потрібно знайти, заштрихована синім кольором(Уважно дивіться на умову – чим обмежена фігура!). Але на практиці через неуважність нерідко виникає «глюк», що потрібно знайти площу фігури, яка заштрихована зеленим кольором!

Цей приклад корисний і тим, що в ньому площа фігури вважається за допомогою двох певних інтегралів. Дійсно:

1) На відрізку над віссю розташований графік прямої;

2) На відрізку над віссю розташований графік гіперболи.

Цілком очевидно, що площі можна (і потрібно) приплюсувати, тому:

Відповідь:

Переходимо ще до одного змістовного завдання.

Приклад 8

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями ,
Уявімо рівняння в «шкільному» вигляді, і виконаємо поточковий креслення:

З креслення видно, що верхня межа в нас «хороша»: .
Але чому дорівнює нижня межа?! Зрозуміло, що це ціле число, але яке? Може бути ? Але де гарантія, що креслення виконано з ідеальною точністю, цілком може виявитися . Або коріння. А якщо ми взагалі неправильно збудували графік?

У таких випадках доводиться витрачати додатковий час та уточнювати межі інтегрування аналітично.

Знайдемо точки перетину прямої та параболи.
Для цього розв'язуємо рівняння:


,

Справді, .

Подальше рішення тривіально, головне, не заплутатися у підстановках та знаках, обчислення тут не найпростіші.

На відрізку , за відповідною формулою:

Відповідь:

Ну, і на закінчення уроку, розглянемо два завдання складніше.

Приклад 9

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями , ,

Рішення: Зобразимо цю фігуру на кресленні

Блін, забув графік підписати, а переробляти картинку, вибачте, не хотця. Не креслярський, коротше сьогодні день =)

Для поточкового побудови необхідно знати зовнішній вигляд синусоїди (і взагалі корисно знати графіки всіх елементарних функцій), а також деякі значення синуса, їх можна знайти в тригонометричної таблиці. У ряді випадків (як у цьому) допускається побудова схематичного креслення, на якому принципово правильно повинні бути відображені графіки та межі інтегрування.

З межами інтегрування тут проблем немає, вони випливають з умови: – «ікс» змінюється від нуля до «пі». Оформляємо подальше рішення:

На відрізку графік функції розташований над віссю, тому:

Фігура, обмежена графіком безперервної неотрицательной на відрізку $$ функції $f(x)$ і прямими $y=0, \x=a$ і $x=b$, називається криволінійною трапецією.

Площа відповідної криволінійної трапеції обчислюється за такою формулою:

$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)

Завдання на перебування площі криволінійної трапеції ми умовно ділитимемо на $4$ типу. Розглянемо кожен тип докладніше.

І тип: криволінійна трапеція задана явно.Тоді одразу застосовуємо формулу (*).

Наприклад, знайти площу криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції $y=4-(x-2)^(2)$, і прямими $y=0, \x=1$ і $x=3$.

Намалюємо цю криволінійну трапецію.

Застосовуючи формулу (*), знайдемо площу цієї криволінійної трапеції.

$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\right|_(1)^(3)=$

$=4(3-1)-\frac(1)(3)\left((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\right)=4 \cdot 2 – \frac (1)(3)\left((1)^(3)-(-1)^(3)\right) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$

$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (од.$^(2)$).

ІІ тип: криволінійна трапеція задана неявно.У цьому випадку зазвичай не задаються або задаються частково прямі $x=a, \x=b$. У цьому випадку потрібно знайти точки перетину функцій $y=f(x)$ та $y=0$. Ці точки будуть точками $a$ і $b$.

Наприклад, знайти площу фігури, обмежену графіками функцій $y=1-x^(2)$ і $y=0$.

Знайдемо точки перетину. Для цього прирівняємо праві частини функцій.

Таким чином $a=-1$, а $b=1$. Намалюємо цю криволінійну трапецію.

Знайдемо площу цієї криволінійної трапеції.

$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \left.\frac(x^(3))(3)\right|_ (-1) ^ (1) = $

$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\left(1^(3)-(-1)^(3)\right)=2 – \frac(1)(3) \left(1+1\right) = 2 - \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (од.$^(2)$).

III тип: площа фігури, обмеженою перетином двох безперервних невід'ємних функцій.Ця фігура не буде криволінійною трапецією, а значить за допомогою формули (*) її площу не обчислиш. Як же бути?Виявляється, площу цієї фігури можна знайти як різницю площ криволінійних трапецій, обмежених верхньою функцією $y=0$ ($S_(uf)$), і нижньою функцією $y=0$ ($S_(lf)$), де у ролі $x=a, \ x=b$ виступають координати по $x$ точок перетину даних функцій, тобто.

$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)

Найголовніше при обчисленні таких площ - не "промахнутися" з вибором верхньої та нижньої функції.

Наприклад, знайти площу фігури, обмеженою функціями $y=x^(2)$ та $y=x+6$.

Знайдемо точки перетину цих графіків:

За теоремою Вієта,

$x_(1)=-2, \ x_(2)=3.$

Тобто, $a=-2, \b=3$. Зобразимо фігуру:

Отже, верхня функція – $y=x+6$, а нижня – $y=x^(2)$. Далі, знайдемо $S_(uf)$ і $S_(lf)$ за формулою (*).

$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\left.\frac(x^(2))(2)\right|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 , 5 $ (од. $ ^ (2) $).

$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\left.\frac(x^(3))(3)\right|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (од.$^(2)$).

Підставимо знайдене в (**) та отримаємо:

$S=32,5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (од.$^(2)$).

IV тип: площа фігури, обмеженою функцією (-ями), яка задовольняє (-ими) умові неотрицательности.Для того, щоб знайти площу такої фігури, потрібно симетрично щодо осі $Ox$ ( іншими словами,поставити “мінуси” перед функціями) відобразити область та за допомогою способів, викладених у типах I – III, знайти площу відображеної області. Ця площа і буде шуканою площею. Попередньо, можливо, доведеться знайти точки перетину графіків функцій.

Наприклад, знайти площу фігури, обмеженою графіками функцій $y=x^(2)-1$ та $y=0$.

Знайдемо точки перетину графіків функцій:

тобто. $a=-1$, а $b=1$. Накреслимо область.

Симетрично відобразимо область:

$y=0 \ \Rightarrow \ y=-0=0$

$y=x^(2)-1 \ \Rightarrow \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.

Вийде криволінійна трапеція, обмежена графіком функції $y=1-x^(2)$ та $y=0$. Це завдання знаходження криволінійної трапеції другого типу. Ми її вирішували. Відповідь була така: $S= 1\frac(1)(3)$ (од.$^(2)$). Отже, площа шуканої криволінійної трапеції дорівнює:

$S=1\frac(1)(3)$ (од.$^(2)$).

Розглянемо криволінійну трапецію, обмежену віссю Ох, кривою y=f(x) та двома прямими: х=а та х=Ь (рис. 85). Візьмемо довільне значення х (тільки не а і не Ь). Дамо йому приріст h = dx і розглянемо смужку, обмежену прямими АВ і CD, віссю Ох і дугою BD, що належить кривою, що розглядається. Цю смужку називатимемо елементарною смужкою. Площа елементарної смужки відрізняється від площі прямокутника ACQB на криволінійний трикутник BQD, а площа останнього менша за площу прямокутника BQDM зі сторонами BQ = =h=dx) QD=Ay та площею, що дорівнює hAy = Ay dx. Зі зменшенням сторони h сторона Ду також зменшується і одночасно з h прагне нуля. Тому площа BQDM є нескінченно малою другого порядку. Площа елементарної смужки є збільшення площі, а площа прямокутника ACQB, рівна АВ-АС==(х) dx> є диференціал площі. Отже, саму площу знайдемо, інтегруючи її диференціал. У межах аналізованої фігури незалежне змінне л: змінюється від а до b, тому шукана площа 5 дорівнюватиме 5= \f(x) dx. (I) Приклад 1. Обчислимо площу, обмежену параболою у - 1 -х *, прямими X = - Fj-, х = 1 і віссю О * (рис. 86). у Рис. 87. Мал. 86. 1 Тут f(x)= 1 - л?, межі інтегрування а = - та £=1, тому J [*-т]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l-Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Приклад 2. Обчислимо площу, обмежену синусоїдою y = sinXy віссю Ох та прямою (рис. 87). Застосовуючи формулу (I), отримуємо Л 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf Приклад 3. Обчислимо площу, обмежену дугою синусоїди ^у = sin jc, укладеної між двома сусідніми точками перетину з віссю Ох (наприклад, між початком координат і крапкою з абсцисою я). Зауважимо, що з геометричних міркувань ясно, що ця площа буде вдвічі більшою за площу попереднього прикладу. Проте виконаємо обчислення: я 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos я-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. о Дійсно, наше припущення виявилося справедливим. Приклад 4. Обчислити площу, обмежену синусоїдою та ^ віссю Ох на одному періоді (рис. 88). Попередні розрис судження дозволяють припустити, що площа вийде в чотири рази більше, ніж у пр. 2. Однак, зробивши обчислення, отримаємо «я Г, * я S - \ sin х dx = [ - cos х] 0 = = - cos 2л -(-cos 0) = - 1 + 1 = 0. Цей результат потребує роз'яснень. Для з'ясування суті справи обчислюємо ще площу, обмежену тією самою синусоїдою у = sin л: і віссю Ох не більше від л до 2я. Застосовуючи формулу (I), отримуємо 2л $2л sin хdx=[ - cosх]л =-cos 2я~)-с05я=- 1-1 =-2. Таким чином, бачимо, що ця площа вийшла негативною. Порівнюючи її з площею, обчисленою в пр. 3, отримуємо, що їх абсолютні величини однакові, а різні знаки. Якщо застосувати властивість V (див. гл. XI, § 4), то отримаємо 2л я 2л J sin xdx = J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0 Те, що вийшло в цьому прикладі, не є випадковістю. Завжди площа, розташована нижче осі Ох, за умови, що незалежне змінне змінюється ліворуч, виходить при обчисленні за допомогою інтегралів негативною. У цьому курсі ми завжди розглядатимемо площі без знаків. Тому відповідь у щойно розібраному прикладі буде такою: шукана площа дорівнює 2 + |-2| = 4. Приклад 5. Обчислимо площу ОАВ, вказану на рис. 89. Ця площа обмежена віссю Ох, параболою у = - хг та прямий у - =-х + \. Площа криволінійної трапеції Шукана площа ОАВ складається з двох частин: ОАМ та МАВ. Оскільки точка А є точкою перетину параболи та прямою, то її координати знайдемо, розв'язуючи систему рівнянь 3 2 У = тх. (Нам потрібно знайти тільки абсцис точки А). Вирішуючи систему, знаходимо л; = ~. Тому площу доводиться обчислювати частинами, спочатку пл. ОАМ, та був пл. МАВ: .... Г 3 2 , 3 Г хП 3 1/2 У 2 . QAM-^х = [заміна:

] =

Отже, невласний інтеграл сходиться та її значення одно .