Формула середнього значення певного інтеграла. Певний інтеграл та методи його обчислення

\int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx= -\int\limits_(b)^(a)f(x)\,dx\,.

Це визначення природне, тому що при зміні напрямку проміжку інтегрування всі різниці \Delta x_k=x_(k+1)-x_kзмінюють знак, а тоді змінюють знаки та суми Дарбу і, тим самим, що їх число, тобто. інтеграл.

Так як при a=b всі Delta x_k звертаються в нуль, то покладемо

\int\limits_(b)^(a)f(x)\,dx=0.

Ми отримали два визначення поняття певного інтеграла: як різниці значень первісної і як розділяючого числа сум Дарбу. Ці визначення в найбільш важливих випадках призводять до того самого результату:

Теорема 2. Якщо функція y=f(x) обмежена на відрізку і має на ньому первинну y=F(x) , причому існує однина, що розділяє нижні та верхні суми Дарбу, це число дорівнює F(b)-F(a) .

Доведення. Ми довели вище, що число F(a)-F(b) поділяє множини \(s_P\) і \(S_P\). Оскільки за умовою розділяюче число однозначно визначено, воно збігається з F(b)-F(a) .

Починаючи з цього моменту, ми будемо застосовувати позначення \textstyle(\int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx)лише для однини, що розділяє множини \(s_P\) і \(S_P\) . З доведеної теореми випливає, що у своїй немає протиріччя з тим розумінням цього позначення, яким ми користувалися вище.

Властивості нижніх та верхніх сум Дарбу

Щоб дане раніше визначення інтеграла мало сенс, треба довести, що безліч верхніх сум Дарбу дійсно розташовано праворуч від безлічі нижніх сум Дарбу.

Лемма 1. Для кожного розбиття P відповідна нижня сума Дарбу не перевищує верхню суму Дарбу, s_P\leqslant S_P .

Доведення. Розглянемо деяке розбиття P відрізка:

a=x_0 "

Очевидно, що для будь-якого k та для будь-якого обраного розбиття P виконується нерівність s_P\leqslant S_P . Отже, m_k\cdot\Delta x_k\leqslant M_k\cdot\Delta x_k, і тому

s_P= \sum_(k=0)^(n-1)(m_k\cdot\Delta x_k)\leqslant \sum_(k=0)^(n-1)(M_k\cdot\Delta x_k)=S_P.

Нерівність (4) справедлива лише фіксованого розбиття P . Тому поки що не можна стверджувати, що нижня сума Дарбу одного розбиття не може перевершити верхню суму Дарбу іншого розбиття. Для доказу цього твердження нам знадобиться така лема:

Лемма 2. Від додавання нової точки поділу нижня сума Дарбу не може зменшитись, а верхня сума не може збільшитись.

Доведення. Виберемо деяке розбиття відрізка P і додамо до нього нову точку поділу (x^(\ast)) . Позначимо нове розбиття P^(\ast). Розбиття P^(\ast) є подрібненням розбиття P , тобто. кожна точка розбиття P є одночасно і точкою розбиття P^(\ast) .

Нехай точка (x^(\ast)) потрапила на відрізок \colon\, x_k . Розглянемо два утворені відрізки і і позначимо відповідні їм точні нижні межі значень функції через m_(k)^(\ast) та m_(k)^(\ast\ast) , а точні верхні межі через M_(k)^(\ast) та M_(k )^(\ast\ast).

доданку m_k(x_(k+1)-m_(k))початкової нижньої суми Дарбу у новій нижній сумі Дарбу відповідають два доданки:

m_(k)^(\ast)(x^(\ast)-x_k)+ m_(k)^(\ast\ast)(x_(k+1)-x^(\ast)).

При цьому m_k\leqslant m_(k)^(\ast)і m_k\leqslant m_(k)^(\ast\ast), оскільки m_k - точна нижня межа значень функції f(x) по всьому відрізку , а m_(k)^(\ast) і m_(k)^(\ast\ast) лише його частинах і відповідно.

Оцінимо знизу суму отриманих доданків:

\begin(aligned) m_(k)^(\ast)\bigl(x^(\ast)-x_(k)\bigr)+ m_(k)^(\ast\ast)\bigl(x_(k+ 1)-x^(\ast)\bigr) \geqslant & \,\,m_k \bigl(x^(\ast)-x_k)+m_k(x_(k+1)-x^(\ast)\bigr )=\\ &=m_k\bigl(x^(\ast)-x_k+x_(k+1)-x^(\ast)\bigr)=\\ &=m_k\bigl(x_(k+1) -x_k\bigr).\end(aligned)

Оскільки інші доданки й у старої та нової нижніх сумах Дарбу залишилися незмінними, то нижня сума Дарбу від додавання нової точки поділу не зменшилася, s_P\leqslant S_P .

Доведене твердження залишається справедливим і при додаванні будь-якої кінцевої кількості точок до розбиття P .

Аналогічно доводиться твердження про верхню суму Дарбу: S_(P^(\ast))\leqslant S_(P).

Перейдемо до порівняння сум Дарбу для будь-яких двох розбиття.

Лемма 3. Жодна нижня сума Дарбу не перевищує будь-якої верхньої суми Дарбу (хоча б відповідному іншому розбиттю відрізка).

Доведення. Розглянемо два довільні розбиття P_1 і P_2 відрізка і утворимо третє розбиття P_3, що складається з усіх точок розбиття P_1 і P_2. Таким чином, розбиття P_3 є подрібненням як розбиття P_1, так і розбиття P_2 (рис. 7).

Позначимо нижні та верхні суми Дарбу для цих розбиття відповідно s_1,~S_1.~s_2,~S_2і доведемо, що s_1 \ leqslant S_2 .

Так як P_3 - подрібнення розбиття P_1, то s_1 \ leqslant s_3. Далі, s_3\leqslant S_3 , оскільки суми s_3 і S_3 відповідають тому самому розбиттю. Нарешті, S_3 \ leqslant S_2, так як P_3 є подрібненням розбиття P_2.

Таким чином, s_1\leqslant s_3\leqslant S_3\leqslant S_2, тобто. s_1\leqslant S_2 , що потрібно було довести.

З леми 3 випливає, що числова множина X=\(s_P\) нижніх сум Дарбу лежить ліворуч від числової множини Y=\(S_P\) верхніх сум Дарбу.

У силу теореми про існування розділяючого числа для двох числових множин1, знайдеться хоча б одне число /, що розділяє множини X і Y, тобто. таке, що для будь-якого розбиття відрізка виконується подвійна нерівність:

s_P= \sum_(k=0)^(n-1)\bigl(m_k\cdot\Delta x_k\bigr) \leqslant I\leqslant \sum_(k=0)^(n-1)\bigl(M_k\) cdot\Delta x_k\bigr) = S_P.

Якщо це число єдине, то \textstyle(I= \int\limits_(a)^(b) f(x)\,dx).

Наведемо приклад, що показує, що таке число I взагалі кажучи, не є однозначно визначеним. Нагадаємо, що функцією Діріхле називають функцію y=D(x) на відрізку , що визначається рівностями:

D(x)= \begin(cases)0,& \text(if)~~ x~~\text(is irrational number);\\1,& \text(if)~~ x~~ \text(is rational number). \ end (cases)

Хоч би який відрізок ми взяли, у ньому знайдуться і раціональні, і ірраціональні точки, тобто. і точки, де D(x)=0 і точки, де D(x)=1 . Тому для будь-якого розбиття відрізка всі значення m_k дорівнюють нулю, а всі значення M_k дорівнюють одиниці. Але тоді усі нижні суми Дарбу \textstyle(\sum\limits_(k=0)^(n-1)\bigl(m_k\cdot\Delta x_k\bigr))рівні нулю, а всі верхні суми Дарбу \textstyle(\sum\limits_(k=0)^(n-1)\bigl(M_k\cdot\Delta x_k\bigr))рівні одиниці,

Теорема. Якщо функція f(x)інтегрована на відрізку [ a, b], де a< b , і для всіх x ∈виконується нерівність

З допомогою нерівностей з теореми можна оцінити певний інтеграл, тобто. вказати межі, між якими укладено його значення. Ці нерівності виражають оцінку певного інтегралу.

Теорема [Теорема про середнє]. Якщо функція f(x)інтегрована на відрізку [ a, b] і для всіх x ∈виконуються нерівності m ≤ f(x) ≤ M, то

де m ≤ μ ≤ M.

Зауваження. У разі, коли функція f(x)безперервна на відрізку [ a, b], рівність з теореми набуває вигляду

де c ∈. Число μ=f(c), що визначається даною формулою, називається середнім значеннямфункції f(x)на відрізку [ a, b]. Ця рівність має наступний геометричний сенс: площа криволінійної трапеції, обмеженою безперервною лінією y=f(x) (f(x) ≤ 0), дорівнює площі прямокутника з тією самою основою і висотою, що дорівнює ординаті деякої точки цієї лінії.

Існування первісної для безперервної функції

Спочатку введемо поняття інтеграла зі змінною верхньою межею.

Нехай функція f(x)інтегрована на відрізку [ a, b]. Тоді, яке б не було число xз [ a, b], функція f(x)інтегрована на відрізку [ a, b]. Тому на відрізку [ a, b] визначено функцію

яку називають інтегралом зі змінною верхньою межею.

Теорема. Якщо підінтегральна функція безперервна на відрізку [ a, b], то похідна певного інтеграла зі змінною верхньою межею існує і дорівнює значенню підінтегральної функції для цієї межі, тобто

Слідство. Певний інтеграл зі змінною верхньою межею є однією з первісних для безперервної підінтегральної функції. Іншими словами, для будь-якої безперервної на проміжку функції існує первісна.

Примітка 1. Зазначимо, що якщо функція f(x)інтегрована на відрізку [ a, b], то інтеграл зі змінною верхньою межею є безперервною на цьому відрізку функцією від верхньої межі. Справді, з св.2 і теореми про середнє маємо

Примітка 2. Інтеграл зі змінною верхньою межею інтегрування використовується при визначенні багатьох нових функцій, наприклад, . Ці функції є елементарними; Як зазначалося, первинні зазначених подынтегральных функцій не виражаються через елементарні функції.

Основні правила інтегрування

Формула Ньютона - Лейбніца

Оскільки будь-які дві первинні функції f(x)відрізняються на постійну, то відповідно до попередньої теореми можна стверджувати, що будь-яка первісна Φ(x)безперервної на сегменті [ a, b] функції f(x)має вид

де C- Деяка постійна.

Вважаючи у цій формулі x=aі x=b, використовуючи св.1 певних інтегралів, знайдемо

З цих рівностей випливає співвідношення

яке називається формулою Ньютона-Лейбніца.

Таким чином довели таку теорему:

Теорема. Певний інтеграл від безперервної функції дорівнює різниці значень будь-якої її первісної для верхньої та нижньої межі інтегрування.

Формулу Ньютона-Лейбніца можна переписати у вигляді

Заміна змінної у певному інтегралі

Теорема. Якщо

• функція f(x)безперервна на відрізку [ a, b];
• відрізок [ a, b] є безліччю значень функції φ(t), визначеної на відрізку α ≤ t ≤ βі має на ньому безперервну похідну;
• φ(α)=a, φ(β)=b

то справедлива формула

Формула інтегрування частинами

Теорема. Якщо функції u=u(x), v=v(x)мають безперервні похідні на відрізку [ a, b], то справедлива формула

Прикладне значення теореми про середнє полягає у можливості отримання якісної оцінки значення певного інтеграла без його обчислення. Формулюємо : якщо функція безперервна на інтервалі, то всередині цього інтервалу знайдеться така точка, що .

Ця формула цілком придатна для оцінки інтеграла від складної або громіздкої функції. Єдиним моментом, що робить формулу наближеною , є необхідність самостійного вибору точки. Якщо прийняти найпростіший шлях - середину інтервалу інтегрування (як пропонується у низці підручників), то помилка може бути дуже значною. Для отримання більш точного результату рекомендуємо провести розрахунок у наступній послідовності:

Побудувати графік функції на інтервалі;

Провести верхню межу прямокутника таким чином, щоб частини графіка функції, що відсікаються, були приблизно рівні за площею (саме так показано на наведеному малюнку - два криволінійні трикутники практично однакові);

Визначити з малюнка;

Скористайтеся теоремою про середнє.

Як приклад обчислимо простий інтеграл:

Точне значення ;

Для середини інтервалу отримаємо і наближене значення, тобто. явно неточний результат;

Побудувавши графік із проведенням верхньої сторони прямокутника відповідно до рекомендацій, отримаємо , звідки і наближене значення . Цілком задовільний результат, похибка становить 0,75%.

Формула трапецій

Точність розрахунків за допомогою теореми про середнє суттєво залежить, як було показано, від візуального призначення за графіком точки. Справді, обравши, у тому прикладі, точки або , можна отримати інші значення інтеграла, причому похибка може збільшитися. Суб'єктивні фактори, масштаб графіка та якість малювання сильно впливають на результат. Це неприйнятно у відповідальних розрахунках, тому теорема про середнє застосовується лише для швидкої якісної оцінки інтегралу.

У цьому розділі розглянемо один із найпопулярніших способів наближеного інтегрування - формулу трапецій . Основна ідея побудови цієї формули виходить з того, що криву можна приблизно замінити ламаною лінією, як показано на малюнку.

Приймемо, для певності (і відповідно до малюнку), що інтервал інтегрування розбитий на рівні (це необов'язково, але дуже зручно) частини. Довжина кожної з цих частин обчислюється за формулою та називається кроком . Абсциси точок розбиття, якщо встановлено , визначаться за формулою , де . За відомими абсцисами легко вирахувати ординати. Таким чином,

Це і є формула трапецій для випадку. Зазначимо, що перший доданок у дужках є напівсумою початкової та кінцевої ординат, до якої додаються всі проміжні ординати. Для довільного числа розбиття інтервалу інтегрування загальна формула трапецій має вид: квадратурних формул: прямокутники, Сімпсон, Гаус і т.д. Вони будуються на тій же ідеї уявлення криволінійної трапеції елементарними площами різної форми, тому, після освоєння формули трапецій, розібратися в аналогічних формулах не складе особливих труднощів. Багато формул не так прості, як формула трапецій, але дозволяють отримати результат високої точності при малій кількості розбиття.

За допомогою формули трапецій (або аналогічних) можна обчислювати, з потрібною на практиці точністю, як інтеграли, що "неберуться", так і інтеграли від складних або громіздких функцій.

Метод трапецій

Основна стаття:Метод трапецій

Якщо функцію кожному з часткових відрізків апроксимувати прямий, що проходить через кінцеві значення, отримаємо метод трапецій.

Площа трапеції на кожному відрізку:

Похибка апроксимації на кожному відрізку:

де

Повна формула трапецій у разі розподілу всього проміжку інтегрування на відрізки однакової довжини:

де

Похибка формули трапецій:

де

Спосіб Сімпсона.

Підінтегральна функція f(x)замінюється інтерполяційним поліномом другого ступеня P(x)– параболою, що проходить через три вузли, наприклад, як показано на малюнку ((1) – функція, (2) – поліном).

Розглянемо два кроки інтегрування ( h= const = x i+1 – x i), тобто три вузли x 0 , x 1 , x 2, через які проведемо параболу, скориставшись рівнянням Ньютона:

Нехай z = x - x 0,
тоді

Тепер, скориставшись отриманим співвідношенням, порахуємо інтеграл за цим інтервалом:

.
Для рівномірної сіткиі парного числа кроків nформула Сімпсона набуває вигляду:

Тут , а у припущенні безперервності четвертої похідної підінтегральної функції.

[ред.] Збільшення точності

Наближення функції одним поліномом на всьому відрізку інтегрування, як правило, призводить до великої помилки щодо оцінки значення інтеграла.

Для зменшення похибки відрізок інтегрування розбивають на частини і застосовують чисельний метод оцінки інтеграла кожної з них.

При прагненні кількості розбиття до нескінченності оцінка інтеграла прагне його істинного значення для аналітичних функцій для будь-якого чисельного методу.

Наведені вище методи допускають просту процедуру зменшення кроку вдвічі, у своїй кожному кроці потрібно обчислювати значення функції лише у знову доданих вузлах. Для оцінки похибки обчислень використовується правило Рунґе.

Застосування правила Рунге

[ред.]Оцінка точності обчислення певного інтегралу

Інтеграл обчислюється за обраною формулою (прямокутників, трапецій, парабол Сімпсона) при числі кроків, що дорівнює n, а потім за числі кроків, що дорівнює 2n. Похибка обчислення значення інтеграла при числі кроків, що дорівнює 2n, визначається за формулою Рунге:
для формул прямокутників і трапецій, а для формули Сімпсона.
Отже, інтеграл обчислюється для послідовних значень числа кроків , де n 0 - початкове число кроків. Процес обчислень закінчується, коли чергового значення N буде виконано умова , де ε - задана точність.

Особливості поведінки похибки.

Здавалося б, навіщо аналізувати різні методи інтегрування, якщо ми можемо досягти високої точності, зменшуючи величину кроку інтегрування. Проте розглянемо графік поведінки апостеріорної похибки Rрезультатів чисельного розрахунку залежність і від числа nрозбиття інтервалу (тобто при крок . На ділянці (1) похибка зменшується у зв'язку зі зменшенням кроку h. Але на ділянці (2) починає домінувати обчислювальна похибка, що накопичується в результаті численних арифметичних дій. Таким чином, для кожного методу існує своя R min, яка залежить від багатьох факторів, але насамперед від апріорного значення похибки методу R.

Уточнююча формула Ромберга.

Метод Ромберга полягає у послідовному уточненні значення інтеграла при кратному збільшенні числа розбиття. Як базова може бути взята формула трапецій з рівномірним кроком h.
Позначимо інтеграл із числом розбиття n= 1 як .
Зменшивши крок у два рази, отримаємо .
Якщо послідовно зменшувати крок у 2 n разів, отримаємо рекурентне співвідношення для розрахунку.

Теорема про середнє. Якщо f(x) безперервна на відрізку , існує точка , така що . Док-во. Функція, безперервна на відрізку, на цьому відрізку приймає своє найменше m і найбільше M значення. Тоді . Число укладено між мінімальним та максимальним значеннями функції на відрізку. Одна з властивостей функції, безперервної на відрізку, полягає в тому, що ця функція набуває будь-якого значення між m і M. Таким чином, існує точка, така що . Ця властивість має просту геометричну інтерпретацію: якщо безперервна на відрізку , то існує точка, що площа криволінійної трапеції ABCD дорівнює площі прямокутника з основою і висотою f(c) (на рисунку виділено кольором).

7. Інтеграл зі змінною верхньою межею. Його безперервність та диференційність.

Розглянемо функцію f(x), що інтегрується за Ріманом на відрізку . Якщо вона інтегрована на , вона також інтегрована на ∀x ∈ . Тоді при кожному x ∈ має сенс вираз і при кожному x воно дорівнює деякому числу.

Таким чином, кожному x ∈ поставлено у відповідність деяке число ,

тобто. на задана функція:

(3.1)

Визначення:

Функція F (x), задана в (3.1), а також саме вираз називається

інтегралом зі змінною верхньою межею. Вона визначена на всьому відрізку

інтегрованості функції f(x).

Умова: f(t) безперервна на , а функція F(x) задана формулою (3.1).

Твердження: Функція F(x) диференційована на , причому F(x) = f(x).

(У точці a вона диференційована справа, а точці b – зліва.)

Доведення:

Оскільки для функції однієї змінної F(x) диференційність рівносильна існуванню похідної у всіх точках (у точці a праворуч, а у точці b – ліворуч), то ми знайдемо похідну F(x). Розглянемо різницю

Таким чином,

при цьому точка ξ лежить на відрізку (або якщо ∆x< 0).

Тепер згадаємо, що похідна функції F(x) у заданій точці x ∈ дорівнює межі різницевого відношення: . З рівності маємо:

,

Спрямовуючи тепер ∆x → 0, у лівій частині даної рівності отримаємо F'(x), a у правій

Згадаймо визначення безперервності функції f (t) у точці x:

Нехай x1 у цьому визначенні дорівнює ξ. Оскільки ξ ∈ (ξ ∈ ), а

∆x → 0, то |x − ξ| → 0, і визначення безперервності, f (ξ) → f (x). Звідси маємо:

F'(x) = f(x).

Наслідок:

Умова: f (x) безперервна на .

Твердження: Будь-яка первісна функція f (x) має вигляд

де C ∈ R – деяка константа.

Доведення. За теоремою 3.1 функція є первісною для f(x). Припустимо, що G(x) – інша первісна f(x). Тоді G'(x) = f(x) і для функції F(x) − G(x) маємо: (F(x) + G(x))' = F'(x)−G'(x) = f(x)−f(x) ≡ 0. Отже, похідна функції F(x)−G(x)

дорівнює нулю, отже, ця функція є постійною: F(x) − G(x) = const.

8. Формула Ньютона-Лейбніца для певного інтегралу.

Теорема:

Умова: f(t) безперервна на , а F(x) її будь-яка первісна.

Твердження:

Доведення:Розглянемо деяку первинну F(x) функції f(x). Наслідком з Теореми «Про диференційованість інтеграла зі змінною верхньою межею» (див. попереднє питання) вона має вигляд . Звідси

=> c= F(a) , і

Перенесемо F(a) в останній рівності в ліву частину, перезазначимо змінну інтегрування знову через x і отримаємо формулу Ньютона - Лейбніца: