Як переводиться звичайний дріб у десятковий. Десяткові дроби

Намагаючись вирішити математичні задачіз дробами, школяр розуміє, що йому недостатньо лише бажання вирішити ці завдання. Також необхідні знання з обчислення з дробовими числами. У деяких завданнях усі початкові дані подаються за умови в дробовому вигляді. В інших частина їх може бути дробами, а частина - цілими числами. Щоб робити якісь обчислення з цими заданими значеннями, треба спочатку привести їх до єдиного виглядутобто цілі числа перевести в дробові, а потім вже займатися обчисленнями. Взагалі спосіб, як ціле число перевести в дріб, дуже простий. І тому треба в чисельнику підсумкового дробу написати саме задане число, а її знаменнику - одиничку. Тобто, якщо треба перевести в дріб число 12, то отриманий дріб буде 12/1.

Такі модифікації допомагають приводити дроби до спільному знаменнику. Це потрібно для того, щоб отримати можливість проводити віднімання чи складання дробових чисел. При їх множенні та розподілі спільний знаменник не потрібний. Можна розглянути на прикладі, як перевести число в дріб і потім зробити додавання двох дробових чисел. Допустимо треба скласти число 12 і дробове число 3/4. Перший доданок (число 12) наводиться до виду 12/1. Однак його знаменник дорівнює 1 у той час, як у другого доданку він дорівнює 4. Для подальшого додавання цих двох дробів треба привести їх до спільного знаменника. Завдяки тому, що один із чисел знаменник дорівнює 1, це зробити взагалі просто. Треба взяти знаменник другого числа та помножити на нього і чисельник, і знаменник першого.

Через війну множення вийде: 12/1=48/4. Якщо 48 розділити на 4, то виходить 12, значить дріб приведений до правильного знаменника. Таким чином можна заразом і зрозуміти, як дріб перевести в ціле число. Це стосується лише неправильних дробів, тому що у них чисельник більший, ніж знаменник. У такому разі чисельник ділиться на знаменник і, якщо не виходить залишку, буде ціле число. Із залишком же дріб так і залишається дробом, але з виділеним цілою частиною. Тепер щодо приведення до спільного знаменника на розглянутому прикладі. Якби у першого доданку знаменник дорівнював якомусь іншому числу, крім 1, чисельник і знаменник першого числа треба було б помножити на знаменник другого, а чисельник і знаменник другого - на знаменник першого.

Обидва доданки приведені до їхнього спільного знаменника і готові до складання. Виходить, що у цій задачі потрібно скласти два числа: 48/4 та 3/4. При додаванні двох дробів з однаковим знаменником підсумовувати потрібно їх верхні частини, тобто чисельники. Знаменник суми залишиться без зміни. У цьому прикладі має бути 48/4+3/4=(48+3) /4=51/4. Це і буде результатом додавання. Але в математиці прийнято неправильні дроби спричиняти правильні. Вище розглядалося, як перетворити дріб на число, але в цьому прикладі не вийде ціле число з дробу 51/4, тому що число 51 не ділиться без залишку на число 4. Тому потрібно виділити цілу частину даного дробу та її дробову частину. Цілою частиною буде те число, яке виходить при розподілі націло першого ж меншого, ніж 51 числа.

Тобто те, яке можна поділити на 4 без залишку. Перше число перед числом 51, яке націло ділиться на 4, буде число 48. Розділивши 48 на 4, виходить число 12. Значить цілою частиною дробу, що шукається, буде 12. Залишилося тільки знайти дробову частину числа. Знаменник дробової частини залишається тим самим, тобто 4 в даному випадку. Щоб знайти чисельник дробової частини, треба від вихідного чисельника відняти те число, яке ділилося на знаменник без залишку. У прикладі потрібно для цього відняти з числа 51 число 48. Тобто чисельник дробової частини дорівнює 3. Результатом додавання буде 12 цілих і 3/4. Те саме робиться і при відніманні дробів. Допустимо треба від цілого числа 12 відняти дробове число 3/4. Для цього ціле число 12 переводиться в дрібне 12/1, а потім приводиться до спільного знаменника з другим числом - 48/4.

При відніманні так само знаменник обох дробів залишається без зміни, а з їх числами і проводять віднімання. Тобто від чисельника першого дробу віднімають чисельник другого. У даному прикладіце буде 48/4-3/4=(48-3)/4=45/4. І знову вийшов неправильний дріб, який треба привести до правильного. Для виділення цілої частини визначають перше до 45 число, яке ділиться на 4 без залишку. Це буде 44. Якщо число 44 розділити на 4, вийде 11. Значить ціла частина підсумкового дробу дорівнює 11. У дробовій частині також знаменник залишають без зміни а з чисельника вихідної неправильного дробувіднімають число, яке ділилося на знаменник без залишку. Тобто треба від 45 відняти 44. Значить чисельник у дрібній частині дорівнює 1 і 12-3/4=11 і 1/4.

Якщо дано одне число ціле та одне дробове, але його знаменник дорівнює 10, то простіше другечисло перевести в десятковий дріб, а потім проводити обчислення. Наприклад, треба скласти ціле число 12 і дробове число 3/10. Якщо число 3/10 записати у вигляді десяткового дробу, Вийде 0,3. Тепер значно легше до 12 додати 0,3 і отримати 2,3, ніж приводити дроби до спільного знаменника, проводити обчислення, а потім виділяти цілу та дробову частини з неправильного дробу. Навіть найпростіші завдання з дробовими числами припускають, що школяр (чи студент) знає, як перевести ціле число в дріб. Ці правила дуже прості і легко запам'ятовуються. Натомість за допомогою них дуже просто проводити обчислення дробових чисел.

Перетворення звичайного дробу на десятковий

Припустимо, ми хочемо перетворити звичайний дріб 11/4 на десятковий. Найпростіше зробити це так:

						2∙2∙5∙5

Це вдалося нам тому, що в даному випадку розкладання знаменника на прості множникискладається лише з двійок. Ми доповнили це розкладання ще двома п'ятірками, скористалися тим, що 10 = 2∙5 і отримали десятковий дріб. Подібна процедура можлива, очевидно, тоді і лише тоді, коли розкладання знаменника на прості множники не містить нічого, крім двійок та п'ятірок. Якщо в розкладанні знаменника є будь-яке інше просте число, то такий дріб у десятковий перетворити не можна. Тим не менш, ми спробуємо це зробити, але тільки іншим способом, з яким ми познайомимося на прикладі того самого дробу 11/4. Давайте поділимо 11 на 4 «куточком»:

У рядку відповіді ми отримали цілу частину ( 2 ), і ми маємо залишок ( 3 ). Раніше ми поділ на цьому закінчували, але тепер ми знаємо, що до поділеного ( 11 ) можна приписати праворуч кому і кілька нулів, що ми тепер подумки і зробимо. Слідом після коми йде розряд десятих. Нуль, який стоїть у поділеного в цьому розряді, припишемо до отриманого залишку ( 3 ):

Тепер поділ можна продовжувати як ні в чому не бувало. Треба тільки не забути поставити в рядку відповіді кому після цілої частини:

Тепер приписуємо до залишку ( 2 ) нуль, який стоїть у діленого в розряді сотих і доводимо поділ до кінця:

В результаті отримуємо, як і раніше,

Спробуємо тепер точно таким же способом обчислити, чому дорівнює дріб 27/11:

Ми отримали у рядку відповіді число 2,45, а у рядку залишку – число 5 . Але такий залишок нам раніше зустрічався. Тому ми вже одразу можемо сказати, що, якщо ми продовжимо наш поділ «куточком», то наступною цифрою у рядку відповіді буде 4, потім піде цифра 5, потім – знову 4 і знову 5, і так далі до нескінченності:

27 / 11 = 2,454545454545...

Ми отримали так звану періодичнудесятковий дріб з періодом 45. Для таких дробів застосовується компактніший запис, в якому період виписується тільки один раз, але при цьому він полягає в круглі дужки:

2,454545454545... = 2,(45).

Взагалі кажучи, якщо ділити «куточком» одне натуральне число на інше, записуючи відповідь у вигляді десяткового дробу, то можливо тільки два результати: (1) або рано чи пізно в рядку залишку ми отримаємо нуль, (2) або там виявиться такий залишок, який вже нам раніше зустрічався (набір можливих залишків обмежений, оскільки всі вони свідомо менше дільника). У першому випадку результатом поділу є кінцевий десятковий дріб, у другому випадку – періодичний.

Перетворення періодичного десяткового дробу на звичайний

Нехай нам дано позитивний періодичний десятковий дріб з нульовою цілою частиною, наприклад:

a = 0,2(45).

Як перетворити цей дріб назад у звичайний?

Помножимо її на число 10 k, де k- це число цифр, що стоять між комою і круглою дужкою, що відкриває, що позначає початок періоду. В даному випадку k= 1 та 10 k = 10:

a∙ 10 k = 2,(45).

Отриманий результат помножимо на 10 n, де n- «Довжина» періоду, тобто число цифр, укладених між круглими дужками. В даному випадку n= 2 та 10 n = 100:

a∙ 10 k ∙ 10 n = 245,(45).

Тепер обчислимо різницю

a∙ 10 k ∙ 10 n − a∙ 10 k = 245,(45) − 2,(45).

Оскільки дробові частини у зменшуваного і віднімається однакові, то у різниці дробова частина дорівнює нулю, і ми приходимо до простому рівняннющодо a:

a∙ 10 k ∙ (10 n − 1) = 245 − 2.

Вирішується це рівняння за допомогою таких перетворень:

a∙ 10 ∙ (100 − 1) = 245 − 2.

a∙ 10 ∙ 99 = 245 − 2.

	245 − 2
	10 ∙ 99

Ми спеціально поки не доводимо обчислення до кінця, щоб було видно, як можна відразу виписати цей результат, опускаючи проміжні міркування. Зменшуване в чисельнику ( 245 ) - це дробова частина числа

a = 0,2(45)

якщо в її записі стерти дужки. Віднімається в чисельнику ( 2 ) - це неперіодична частина числа а, що розташовується між комою і дужкою, що відкриває. Перший співмножник у знаменнику ( 10 ) - це одиниця, до якої приписано стільки нулів, скільки цифр у неперіодичній частині ( k). Другий співмножник у знаменнику ( 99 ) - це стільки дев'яток, скільки цифр містить період ( n).

Тепер наші обчислення можна довести до кінця:

Тут у чисельнику стоїть період, а у знаменнику – стільки дев'яток, скільки цифр у періоді. Після скорочення на 9 отриманий дріб виявляється рівним

Подібним чином,

Якщо потрібно розділити 497 на 4, то при розподілі ми побачимо, що 497 не ділиться на 4 націло, тобто. залишається залишок від поділу. У таких випадках кажуть, що виконано розподіл із залишком, і рішення записують у такому вигляді:
497: 4 = 124 (1 залишок).

Компоненти розподілу у лівій частині рівності називають так само, як при розподілі без залишку: 497 - ділене, 4 - дільник. Результат розподілу при розподілі із залишком називають неповним приватним. У нашому випадку це число 124. І, нарешті, останній компонент, якого немає у звичайному розподілі, - залишок. У тих випадках, коли залишку немає, кажуть, що одне число поділилося на інше без залишку, або націло. Вважають, що за такого поділу залишок дорівнює нулю. У разі залишок дорівнює 1.

Залишок завжди менший за дільник.

Перевірку під час поділу можна зробити множенням. Якщо, наприклад, є рівність 64: 32 = 2, перевірку можна зробити так: 64 = 32 * 2.

Часто у випадках, коли виконується поділ із залишком, зручно використовувати рівність
а = b * n + r
де а – ділене, b – дільник, n – неповне приватне, r – залишок.

Частка від поділу натуральних чисел можна записати у вигляді дробу.

Чисельник дробу - це подільне, а знаменник - дільник.

Оскільки чисельник дробу - це подільне, а знаменник - дільник, вважають, що риса дробу означає дію поділу. Іноді зручно записувати поділ у вигляді дробу, не використовуючи знак «:».

Приватне від розподілу натуральних чисел m і n можна записати у вигляді дробу \(\frac(m)(n) \), де чисельник m - ділене, а знаменник п - дільник:
\(m:n = \frac(m)(n) \)

Вірні такі правила:

Щоб отримати дріб \(\frac(m)(n) \), треба одиницю поділити на n рівних частин(часткою) і взяти m таких частин.

Щоб отримати дріб \(\frac(m)(n) \), треба число m розділити на число n.

Щоб знайти частину від цілого, треба число, яке відповідає цілому, розділити на знаменник і результат помножити на чисельник дробу, який виражає цю частину.

Щоб знайти ціле по його частині, треба число, відповідне до цієї частини, розділити на чисельник і результат помножити на знаменник дробу, який виражає цю частину.

Якщо і чисельник, і знаменник дробу помножити на те саме число (крім нуля), величина дробу не зміниться:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Якщо і чисельник, і знаменник дробу поділити на те саме число (крім нуля), величина дробу не зміниться:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Цю властивість називають основною властивістю дробу.

Два останні перетворення називають скороченням дробу.

Якщо дроби потрібно подати у вигляді дробів з тим самим знаменником, то таку дію називають приведенням дробів до спільного знаменника.

Правильні та неправильні дроби. Змішані числа

Ви вже знаєте, що дріб можна отримати, якщо розділити ціле на рівні частини та взяти кілька таких частин. Наприклад, дріб \(\frac(3)(4) \) означає три четверті частки одиниці. Багато завдань попереднього параграфа звичайні дроби використовувалися для позначення частини цілого. Здоровий глуздпідказує, що частина завжди повинна бути меншою за ціле, але як тоді бути з такими дробами, як, наприклад, \(\frac(5)(5) \) або \(\frac(8)(5) \)? Зрозуміло, що це не частина одиниці. Напевно, тому такі дроби, у яких чисельник більший за знаменник або дорівнює йому, називають неправильними дробами. Інші дроби, тобто дроби, у яких чисельник менше знаменника, називають правильними дробами.

Як ви знаєте, будь-який звичайний дріб, і правильний, і неправильний, можна розглядати як результат поділу чисельника на знаменник. Тому в математиці, на відміну від звичайної мови, термін «неправильний дріб» означає не те, що ми щось зробили неправильно, а тільки те, що у цього дробу чисельник більший за знаменник або дорівнює йому.

Якщо число складається з цілої частини та дробу, то такі дроби називаються змішаними.

Наприклад:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 - ціла частина, а \(\frac(2)(3) \) - дробова частина.

Якщо чисельник дробу \(\frac(a)(b) \) ділиться на натуральне число n, то щоб розділити цей дріб на n, треба його чисельник розділити на це число:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Якщо чисельник дробу \(\frac(a)(b) \) не поділяється на натуральне число n, то щоб розділити цей дріб на n, треба його знаменник помножити на це число:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Зауважимо, що друге правило справедливе у тому разі, коли чисельник ділиться на n. Тому ми можемо його застосовувати тоді, коли важко з першого погляду визначити, чи ділиться чисельник дробу на n чи ні.

Події з дробами. Додавання дробів.

З дрібними числами, як і з натуральними числами, можна виконувати арифметичні дії. Розглянемо спочатку додавання дробів. Легко скласти дроби з однаковими знаменниками. Знайдемо, наприклад, суму \(\frac(2)(7) \) і \(\frac(3)(7) \). Легко зрозуміти, що \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, потрібно скласти їх чисельники, а знаменник залишити тим самим.

Використовуючи букви, правило додавання дробів з однаковими знаменниками можна записати так:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Якщо потрібно скласти дроби з різними знаменниками, їх попередньо слід призвести до спільного знаменника. Наприклад:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Для дробів, як і для натуральних чисел, справедливі переміщувальне та поєднане властивості додавання.

Додавання змішаних дробів

Такі записи, як \(2\frac(2)(3) \), називають змішаними дробами. При цьому число 2 називають цілою частиноюзмішаного дробу, а число \(\frac(2)(3) \) - її дробовою частиною. Запис \(2\frac(2)(3) \) читають так: «дві та дві третини».

При розподілі числа 8 на число 3 можна отримати дві відповіді: \(\frac(8)(3) \) і \(2\frac(2)(3) \). Вони виражають те саме дробове число, тобто \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3) \)

Таким чином, неправильний дріб \(\frac(8)(3) \) представлений у вигляді змішаного дробу \(2\frac(2)(3) \). У таких випадках кажуть, що з неправильного дробу виділили цілу частину.

Віднімання дробів (дрібних чисел)

Віднімання дробових чисел, як і натуральних, визначається на основі дії додавання: відняти з одного числа інше - це означає знайти таке число, яке при додаванні з другим дає перше. Наприклад:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) оскільки \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9) ) = \frac(8)(9) \)

Правило віднімання дробів з однаковими знаменниками схоже на правило додавання таких дробів:
щоб знайти різницю дробів з однаковими знаменниками, треба від чисельника першого дробу відняти чисельник другого, а знаменник залишити колишнім.

За допомогою літер це правило записується так:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Розмноження дробів

Щоб помножити дріб на дріб, потрібно перемножити їх чисельники та знаменники та перший твір записати чисельником, а другий – знаменником.

За допомогою букв правило множення дробів можна записати так:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Користуючись сформульованим правилом, можна множити дріб на натуральне число, на змішаний дріб, а також перемножувати. змішані дроби. Для цього потрібно натуральне число записати у вигляді дробу зі знаменником 1, змішаний дріб - у вигляді неправильного дробу.

Результат множення треба спрощувати (якщо це можливо), скорочуючи дріб та виділяючи цілу частину неправильного дробу.

Для дробів, як і для натуральних чисел, справедливі переміщувальна та поєднана властивості множення, а також розподільна властивість множення щодо додавання.

Розподіл дробів

Візьмемо дріб \(\frac(2)(3) \) і «перевернемо» її, помінявши місцями чисельник і знаменник. Отримаємо дріб \(\frac(3)(2) \). Цей дріб називають зворотнійдробу \(\frac(2)(3) \).

Якщо ми тепер «перевернемо» дріб \(\frac(3)(2) \), то отримаємо вихідний дріб \(\frac(2)(3) \). Тому такі дроби, як \(\frac(2)(3) \) і \(\frac(3)(2) \) називають взаємно зворотними.

Взаємно зворотними є, наприклад, дроби \(\frac(6)(5) \) і \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) і \(\frac (18) (7) \).

За допомогою букв взаємно зворотні дроби можна записати так: \(\frac(a)(b) \) і \(\frac(b)(a) \)

Зрозуміло, що добуток взаємно зворотних дробів дорівнює 1. Наприклад: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Використовуючи взаємно зворотні дроби, можна поділ дробів звести до множення.

Правило розподілу дробу на дріб:
щоб розділити один дріб на інший, потрібно ділене помножити на дріб, зворотний дільник.

Використовуючи літери, правило поділу дробів можна записати так:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

Якщо ділене або дільник є натуральним числомабо змішаним дробом, то, для того щоб скористатися правилом поділу дробів, його треба попередньо подати у вигляді неправильного дробу.

Дуже часто в шкільній програміматематики діти стикаються з проблемою, як перевести звичайний дріб у десятковий. Для того щоб перевести звичайний дріб у десятковий, згадаємо для початку, що таке звичайний дріб та десятковий дріб. Звичайна дріб – це дріб виду m/n , де m – чисельник, а n – знаменник. Приклад: 8/13; 6/7 і т.д. Дроби поділяються на правильні, неправильні та змішані числа. Правильний дріб– це коли чисельник менший за знаменник: m/n, де m 3. Неправильний дріб завжди можна подати у вигляді змішаного числа, а саме: 4/3 = 1 і 1/3;

Переведення звичайного дробу до десяткового

Тепер розглянемо, як перевести змішаний дріб у десятковий. Будь-який звичайний дріб, будь він правильним або не правильним, можна перевести в десятковий. І тому треба чисельник розділити на знаменник. Приклад: простий дріб (правильний) 1/2. Ділимо чисельник 1 на знаменник 2, отримуємо 0,5. Візьмемо приклад 45/12, відразу видно, що це дріб неправильний. Тут знаменник менший від чисельника. Перетворюємо неправильний дріб на десятковий: 45: 12 = 3,75.

Переведення змішаних чисел у десятковий дріб

Приклад: 25/8. Спочатку ми перетворюємо змішане число на неправильний дріб: 25/8 = 3х8+1/8 =3 та 1/8; потім ділимо чисельник 1 на знаменник 8, стовпчиком або на калькуляторі і отримаємо десятковий дріб рівну 0,125. У статті наведено найлегші приклади переведення в десяткові дроби. Зрозумівши методику перекладу на простих прикладахВи легко зможете вирішувати найскладніші з них.

Вже в початковій школіучні стикаються з дробами. І потім вони з'являються у кожній темі. Забувати дії із цими числами не можна. Тому потрібно знати всю інформацію про звичайні та десяткові дроби. Поняття ці нескладні, головне - розбиратися в усьому порядку.

Навіщо потрібні дроби?

Навколишній світ складається з цілих предметів. Тож у частках потреби немає. Зате повсякденне життяпостійно наштовхує людей працювати з частинами предметів і речей.

Наприклад, шоколад складається з кількох часточок. Розглянемо ситуацію, коли його плитка утворена дванадцятьма прямокутниками. Якщо її поділити на двох, то вийде по 6 частин. Вона добре розділиться і на трьох. А ось п'ятьом не вдасться дати за цілою кількістю часточок шоколаду.

До речі, ці часточки – вже дроби. А подальше їхнє поділ призводить до появи більш складних чисел.

Що таке «дроб»?

Це число, що складається із частин одиниці. Зовні воно виглядає як два числа, розділені горизонтальною або похилою межею. Ця характеристика зветься дробової. Число, записане зверху (ліворуч), називається чисельником. Те, що стоїть знизу (праворуч), є знаменником.

Насправді, дробова характеристика виявляється знаком поділу. Тобто чисельник можна назвати ділимим, а знаменник дільником.

Які існують дроби?

У математиці їх є лише два види: прості та десяткові дроби. З першими школярі знайомляться у початкових класах, називаючи їх просто «дроби». Другі дізнаються у 5 класі. Саме тоді з'являються ці назви.

Звичайні дроби - всі ті, що записуються у вигляді двох чисел, розділених рисою. Наприклад, 4/7. Десяткова - це число, в якому дробова частина має позиційний запис і відокремлюється від цілої за допомогою коми. Наприклад, 4,7. Учням потрібно чітко усвідомити, що два наведені приклади - це зовсім різні числа.

кожну простий дрібможна записати у вигляді десяткового. Це твердження майже завжди вірне і в зворотному напрямку. Існують правила, які дозволяють записати звичайним дробом десятковий дріб.

Які підвиди мають такі види дробів?

Почати краще в хронологічному порядку, оскільки вони вивчаються. Першими йдуть прості дроби. Серед них можна виділити 5 підвидів.

Правильна. Її чисельник завжди менший за знаменник.

Неправильна. У неї чисельник більший або дорівнює знаменнику.

Скоротима/нескоротна. Вона може виявитися як правильною, так і неправильною. Важливо інше, чи є у чисельника зі знаменником спільні множники. Якщо є, то на них потрібно розділити обидві частини дробу, тобто скоротити його.

Змішана. До звичної правильної (неправильної) дробової частини приписується ціле число. Причому воно завжди стоїть ліворуч.

Складова. Вона утворюється із двох розділених один на одного дробів. Тобто в ній налічується одразу три дробові риси.

У десяткових дробів є лише два підвиди:

кінцева, тобто та, у якої дрібна частина обмежена (має кінець);

нескінченна - число, у якого цифри після коми не закінчуються (їх можна писати нескінченно).

Як переводити десятковий дріб у звичайний?

Якщо це кінцеве число, то застосовується асоціація, заснована на правилі - як чую, так пишу. Тобто потрібно правильно прочитати її та записати, але вже без коми, а з дробовою рисою.

Як підказка про необхідний знаменник, потрібно запам'ятати, що він завжди одиниця і кілька нулів. Останніх потрібно написати стільки, скільки цифр у дрібній частині розглянутого числа.

Як перевести десяткові дроби у звичайні, якщо їхня ціла частина відсутня, тобто дорівнює нулю? Наприклад, 0,9 або 0,05. Після застосування зазначеного правила виходить, що потрібно написати нуль цілих. Але він не вказується. Залишається записати лише дрібні частини. У першого числа знаменник дорівнюватиме 10, у другого — 100. Тобто зазначені приклади відповідями матимуть числа: 9/10, 5/100. Причому останнє можна скоротити на 5. Тому результатом для неї потрібно записати 1/20.

Як із десяткового дробу зробити звичайний, якщо його ціла частина відмінна від нуля? Наприклад, 5,23 чи 13,00108. В обох прикладах читається ціла частина та записується її значення. У першому випадку це 5, у другому 13. Потім потрібно переходити до дробової частини. З ними слід провести ту ж операцію. У першого числа з'являється 23/100, у другого – 108/100000. Друге значення потрібно знову скоротити. У відповіді виходять такі змішані дроби: 5 23/100 та 13 27/25000.

Як перевести нескінченний десятковий дріб у звичайний?

Якщо вона є неперіодичною, то таку операцію провести не вдасться. Цей факт пов'язаний з тим, що кожен десятковий дріб завжди переводиться або в кінцевий або періодичний.

Єдине, що допускається робити з таким дробом, — це заокруглювати його. Але тоді десяткова буде приблизно такою, як і нескінченна. Її вже можна перетворити на звичайну. Але зворотний процес: переведення в десяткову – ніколи не дасть початкового значення. Тобто нескінченні неперіодичні дробиу звичайні не переводяться. Це слід запам'ятати.

Як записати нескінченний періодичний дріб у вигляді звичайного?

У цих числах після коми завжди з'являються одна або кілька повторюваних цифр. Їх називають періодом. Наприклад, 0,3 (3). Тут "3" у періоді. Їх відносять до класу раціональних, оскільки можуть бути перетворені на прості дроби.

Тим, хто зустрічався з періодичними дробами, відомо, що вони можуть бути чистими чи змішаними. У першому випадку період починається відразу від коми. У другому — дрібна частина починається з якихось цифр, а потім починається повтор.

Правило, яким потрібно записати як звичайного дробу нескінченну десяткову, буде різним для зазначених двох видів чисел. Чисті періодичні дроби записати звичайними досить легко. Як із кінцевими, їх треба перетворити: в чисельник записати період, а знаменником буде цифра 9, що повторюється стільки разів, скільки цифр містить період.

Наприклад, 0(5). Цілої частини у числа немає, тому відразу потрібно приступати до дробової. У чисельник записати 5, а знаменник одну 9. Тобто відповіддю буде дріб 5/9.

Правило у тому, як записати звичайній десяткову періодичний дріб, що є змішаною.

Подивитися на довжину періоду. Стільки 9 матиме знаменник.

Записати знаменник: спочатку дев'ятки, потім нулі.

Щоб визначити чисельник, потрібно записати різницю двох чисел. Зменшуються всі цифри після коми, разом з періодом. Віднімається — воно ж без періоду.

Наприклад, 0,5(8) - запишіть періодичний десятковий дріб у вигляді звичайного. У дрібній частині до періоду стоїть одна цифра. Значить, нуль буде один. У періоді також лише одна цифра — 8. Тобто дев'ятка одна. Тобто у знаменнику треба написати 90.

Для визначення чисельника з 58 необхідно відняти 5. Виходить 53. Відповіддю наприклад доведеться записати 53/90.

Як переводять звичайні дроби до десяткових?

Самим простим варіантомвиявляється число, у знаменнику якого стоїть число 10, 100 та інше. Тоді знаменник просто відкидається, а між дробовою і цілою частинами ставиться кома.

Бувають ситуації, коли знаменник легко перетворюється на 10, 100 тощо. буд. Наприклад, числа 5, 20, 25. Їх досить помножити на 2, 5 і 4 відповідно. Тільки множити потрібно як знаменник, а й чисельник на те саме число.

Для решти випадків знадобиться просте правило: розділити чисельник на знаменник. У цьому випадку може вийти два варіанти відповідей: кінцевий або періодичний десятковий дріб.

Дії зі звичайними дробами

Додавання та віднімання

З ними учні знайомляться раніше за інших. Причому спочатку у дробів однакові знаменники, А потім різні. Загальні правиламожна звести до такого плану.

Знайти найменше загальне кратне знаменників.

Записати додаткові множники до всіх звичайних дробів.

Помножити чисельники та знаменники на певні для них множники.

Скласти (відняти) чисельники дробів, а загальний знаменник залишити без зміни.

Якщо чисельник меншого віднімається, то потрібно з'ясувати, перед нами змішане число або правильний дріб.

У першому випадку ціла частина повинна зайняти одиницю. До чисельника дробу додати знаменник. А потім виконувати віднімання.

У другому - необхідно застосувати правило віднімання з меншого числабільше. Тобто з модуля віднімається відняти модуль зменшуваного, а у відповідь поставити знак «-».

Уважно подивитися на результат додавання (віднімання). Якщо вийшов неправильний дріб, то потрібно виділити цілу частину. Тобто поділити чисельник на знаменник.

Множення та розподіл

Для виконання дробу не потрібно приводити до спільного знаменника. Це полегшує виконання дій. Але в них все одно слід дотримуватися правил.

При множенні звичайних дробів необхідно розглянути числа чисельників і знаменниках. Якщо якийсь чисельник та знаменник мають спільний множник, їх можна скоротити.

Перемножити чисельники.

Перемножити знаменники.

Якщо вийшов скоротитий дріб, то його потрібно знову спростити.

При розподілі потрібно спочатку замінити розподіл на множення, а дільник (другий дріб) - на зворотний дріб (поміняти місцями чисельник і знаменник).

Потім діяти, як із множенні (починаючи з пункту 1).

У завданнях, де помножити (ділити) потрібно ціле число, останнє потрібно записати як неправильної дробу. Тобто зі знаменником 1. Потім діяти, як описано вище.



Дії з десятковими дробами

Додавання та віднімання

Звичайно, завжди можна перетворити десятковий дріб на звичайний. І діяти за вже описаним планом. Але іноді зручніше діяти без перекладу. Тоді правила для їх складання та віднімання будуть абсолютно однаковими.

Зрівняти число цифр у дробовій частині числа, тобто після коми. Приписати в ній недостатню кількість нулів.

Записати дроби так, щоб кома опинилася під комою.

Скласти (відняти) як натуральні числа.

Знести кому.

Множення та розподіл

Важливо, що тут не слід дописувати нулі. Дроби потрібно залишати в тому вигляді, як вони дані в прикладі. А далі йти за планом.

Для множення потрібно написати дроби одна під одною, не звертаючи увагу на коми.

Помножити як натуральні числа.

Поставити у відповіді кому, відрахувавши від правого кінця відповіді стільки цифр, скільки їх коштує в дробових частинах обох множників.

Для поділу необхідно спочатку перетворити дільник: зробити його натуральним числом. Тобто помножити його на 10, 100 і т. д., залежно від того, скільки цифр у дрібній частині дільника.

На те число помножити поділене.

Розділити десятковий дріб на натуральне число.

Поставити у відповіді кому в той момент, коли закінчиться розподіл цілої частини.



Як бути, якщо в одному прикладі є обидва види дробів?

І в математиці нерідко зустрічаються приклади, у яких необхідно здійснити події над звичайними і десятковими дробами. У таких завданнях можливі два шляхи вирішення. Потрібно об'єктивно зважити числа та вибрати оптимальний.

Перший шлях: уявити звичайні десятковими

Він підходить, якщо при розподілі чи перекладі виходять кінцеві дроби. Якщо хоча б одне число дає періодичну частину, цей прийом застосовувати заборонено. Тому, навіть якщо не подобається працювати зі звичайними дробами, доведеться рахувати їх.

Другий шлях: записати десяткові дроби звичайними

Цей прийом виявляється зручним, якщо частини після коми коштують 1-2 цифри. Якщо їх більше, може вийти дуже велика звичайний дрібта десяткові записи дозволять порахувати завдання швидше та простіше. Тому завжди потрібно тверезо оцінювати завдання та вибирати найпростіший метод вирішення.