Знаходження довірчого інтервалу для математичного очікування. Приклад завдань перебування довірчого інтервалу

та інших. Усі є оцінками своїх теоретичних аналогів, які можна було б отримати, якби у розпорядженні була вибірка, а генеральна сукупність. Але на жаль, генеральна сукупність – це дуже дорого і часто недоступне.

Поняття про інтервальне оцінювання

Будь-яка вибіркова оцінка має деякий розкид, т.к. є випадковою величиною, що залежить від значень у конкретній вибірці. Отже, для надійніших статистичних висновків слід знати не лише точкову оцінку, але й інтервал, який з високою ймовірністю γ (гама) накриває оцінюваний показник θ (Тета).

Формально, це два такі значення (статистики) T 1 (X)і T 2 (X), що T 1< T 2 , для яких при заданому рівні ймовірності γ виконується умова:

Коротше, з ймовірністю γ або більше істинний показник знаходиться між точками T 1 (X)і T 2 (X), які називаються нижньою та верхньою межею довірчого інтервалу.

Однією з умов побудови довірчих інтервалів його максимальна вузькість, тобто. він має бути наскільки це можливо коротким. Бажання цілком природне, т.к. дослідник намагається точніше локалізувати знаходження шуканого параметра.

Звідси випливає, що довірчий інтервал повинен накривати максимальні можливості розподілу. а сама оцінка бути у центрі.

Тобто ймовірність відхилення (справжнього показника від оцінки) у велику сторону дорівнює ймовірності відхилення в меншу сторону. Слід зазначити, що з несиметричних розподілів інтервал справа дорівнює інтервалуліворуч.

На малюнку вище чітко видно, що чим більша довірча ймовірність, тим ширший інтервал – пряма залежність.

Це була невелика вступна частина в теорію інтервального оцінюванняневідомі параметри. Перейдемо до знаходження довірчих кордонів для математичного очікування.

Довірчий інтервал для математичного очікування

Якщо вихідні дані розподілені по , то середнє буде нормальною величиною. Це випливає з того правила, що лінійна комбінація нормальних величин також має нормальний розподіл. Отже, для розрахунку можливостей ми могли б використовувати математичний апаратнормального закону розподілу.

Однак для цього потрібно знати два параметри – матожидання та дисперсію, які зазвичай не відомі. Можна, звичайно, замість параметрів використовувати оцінки (середню арифметичну і ), але тоді розподіл середньої буде не зовсім нормальним, він буде трохи приплюснутий донизу. Цей факт спритно помітив громадянин Вільям Госсет з Ірландії, опублікувавши своє відкриття у березневому випуску журналу Biometrica за 1908 рік. З метою конспірації Держсет підписався Стьюдентом. Так виник t-розподіл Стьюдента.

Однак нормальний розподіл даних, що використовувався К. Гауссом під час аналізу помилок астрономічних спостережень, У земному житті зустрічається дуже рідко і встановити це досить складно (для високої точностінеобхідно близько 2 тисяч спостережень). Тому припущення про нормальність найкраще відкинути та використовувати методи, що не залежать від розподілу вихідних даних.

Виникає питання: який же розподіл середньої арифметичної, якщо він розрахований за даними невідомого розподілу? Відповідь дає відома у теорії ймовірностей Центральна гранична теорема (ЦПТ). У математиці існує кілька її варіантів (протягом довгих років формулювання уточнювалися), але вони, грубо кажучи, зводяться до твердження, що сума великої кількостінезалежні випадкові величини підпорядковуються нормальному закону розподілу.

При розрахунку середньої арифметичної використовується сума випадкових величин. Звідси виходить, що середнє арифметичне має нормальне розподілення, у якого матожидання – це маточування вихідних даних, а дисперсія – .

Розумні людивміють доводити ЦПТ, але ми переконаємося з допомогою експерименту, проведеного в Excel. Змоделюємо вибірку з 50-ти рівномірно розподілених випадкових величин (за допомогою функції ExcelВИПАД МІЖ). Потім зробимо 1000 таких вибірок і кожної розрахуємо середню арифметичну. Подивимося з їхньої розподіл.

Видно, що розподіл середньої близько до нормального закону. Якщо обсяг вибірок та їх кількість зробити ще більше, то подібність буде ще кращою.

Тепер, коли ми переконалися в справедливості ЦПТ, можна, використовуючи , розрахувати довірчі інтервали для середньої арифметичної, які із заданою ймовірністю накривають справжнє середнє або математичне очікування.

Для встановлення верхньої та нижньої межі потрібно знати параметри нормального розподілу. Як правило, їх немає, тому використовують оцінки: середню арифметичнуі вибіркову дисперсію . Повторюся, такий спосіб дає гарне наближення лише за великих вибірках. Коли вибірки малі, часто рекомендують використовувати розподіл Стьюдента. Не вірте! Розподіл Стьюдента для середньої буває лише тоді, коли вихідні дані мають нормальний розподіл, тобто майже ніколи. Тому краще відразу поставити мінімальну планку за кількістю необхідних даних та використовувати асимптотично коректні методи. Говорять, достатньо 30 спостережень. Беріть 50 - не помилитеся.

T 1,2– нижня та верхня межа довірчого інтервалу

– вибіркове середнє арифметичне

s 0- Середнє квадратичне відхилення за вибіркою (незміщене)

n - Розмір вибірки

γ - Довірча ймовірність (зазвичай дорівнює 0,9, 0,95 або 0,99)

c γ =Φ -1 ((1+γ)/2) – зворотне значенняфункції стандартного нормального розподілу. Простіше кажучи, це кількість стандартних помилок від середньої арифметичної до нижньої або верхньої межі (вказаним трьома ймовірностями відповідають значення 1,64, 1,96 і 2,58).

Суть формули в тому, що береться середнє арифметичне і далі від неї відкладається кілька ( з γ) стандартних помилок ( s 0 /√n). Все відомо, бери і рахуй.

До масового використання ПЕОМ для отримання значень функції нормального розподілу та зворотної їй використовували. Їх і зараз використовують, але ефективніше звернутися до готових формулам Excel. Всі елементи формули вище ( , і ) можна легко розрахувати в Excel. Але є і готова формула для розрахунку довірчого інтервалу ДОВЕРИТ.НОРМ. Її синтаксис наступний.

ДОВЕРИТ.НОРМ (альфа; стандартне_відкл; розмір)

альфа- рівень значущості або довірчий рівень, що у прийнятих вище позначеннях дорівнює 1- γ, тобто. ймовірність того, що математичнеочікування опиниться поза довірчого інтервалу. За довірчої ймовірності 0,95, альфа дорівнює 0,05 і т.д.

стандартне_відкл- Середнє квадратичне відхилення вибіркових даних. Стандартну помилку не треба розраховувати, Excel сам розділить на корінь з n.

розмір- Розмір вибірки (n).

Результат функції ДОВЕРИТ.НОРМ – це другий доданок з формули розрахунку довірчого інтервалу, тобто. напівінтервал. Відповідно, нижня та верхня точка – це середнє ± отримане значення.

Отже, можна побудувати універсальний алгоритм розрахунку довірчих інтервалів для середньої арифметичної, який залежить від розподілу вихідних даних. Платою за універсальність є його асимптотичність, тобто. необхідність використання щодо великих вибірок. Однак у вік сучасних технологійзібрати потрібна кількістьданих зазвичай не становить труднощів.

Перевірка статистичних гіпотез за допомогою довірчого інтервалу

(Module 111)

Однією з основних завдань, вирішуваних у статистиці, є . Її суть коротко така. Висувається припущення, наприклад, що матожидання генеральної сукупностіі якомусь значенню. Потім будується розподіл вибіркових середніх, які можуть спостерігатися при даному мотоочікуванні. Далі дивляться, де цього умовного розподілу перебуває реальна середня. Якщо вона виходить за допустимі межі, то поява такого середнього дуже малоймовірна, а при одноразовому повторенні експерименту майже неможливо, що суперечить висунутій гіпотезі, яка успішно відхиляється. Якщо ж середнє не виходить за критичний рівень, то гіпотеза не відхиляється (але й доводиться!).

Так ось за допомогою довірчих інтервалів, у нашому випадку для матожидання, також можна перевіряти деякі гіпотези. Це дуже просто зробити. Припустимо, середня арифметична за деякою вибіркою дорівнює 100. Перевіряється гіпотеза про те, що маточування рівне, припустимо, 90. Тобто, якщо поставити питання примітивно, то він звучить так: чи може таке бути, щоб при істинному значеннісередньої рівної 90, середня, що спостерігається, виявилася дорівнює 100?

Для відповіді на це запитання додатково потрібна інформація про середнє квадратичному відхиленніта розмір вибірки. Допустимо середньоквадратичне відхиленняодно 30, а кількість спостережень 64 (щоб легко витягти корінь). Тоді стандартна помилка середньої дорівнює 30/8 або 3,75. Для розрахунку 95% довірчого інтервалу потрібно відкласти в обидві сторони від середньої по дві стандартні помилки(точніше, 1,96). Довірчий інтервал вийде приблизно 100±7,5 або 92,5 до 107,5.

Далі міркування такі. Якщо перевірене значення потрапляє у довірчий інтервал, воно не суперечить гіпотезі, т.к. укладається у межі випадкових коливань (з ймовірністю 95%). Якщо точка, що перевіряється, виходить за межі довірчого інтервалу, то ймовірність такої події дуже маленька, принаймні нижче допустимого рівня. Отже, гіпотезу відхиляють, як таку, що суперечить спостеріганим даним. У нашому випадку гіпотеза про маточування знаходиться за межами довірчого інтервалу (перевірене значення 90 не входить до інтервалу 100±7,5), тому її слід відхилити. Відповідаючи на примітивне питання вище, слід сказати: ні не може, принаймні таке трапляється вкрай рідко. Часто при цьому вказують конкретну ймовірність помилкового відхилення гіпотези (p-level), а не заданий рівень, яким будувався довірчий інтервал, але в інший раз.

Як бачимо, побудувати довірчий інтервал для середнього (або математичного очікування) нескладно. Головне, вловити суть, а далі йтиметься. На практиці в більшості випадків використовуються 95% довірчий інтервал, який має завширшки приблизно дві стандартні помилки по обидва боки від середньої.

На цьому поки що все. Всіх благ!

Довірчий інтервал- граничні значення статистичної величини, яка із заданою довірчою ймовірністю γ буде знаходиться в цьому інтервалі при вибірці більшого обсягу. Позначається як P(θ - ε. На практиці вибирають довірчу ймовірністьγ із досить близьких до одиниці значень γ = 0.9, γ = 0.95, γ = 0.99.

Призначення сервісу. За допомогою цього сервісу визначаються:

• довірчий інтервал для генерального середнього; довірчий інтервал для дисперсії;
• довірчий інтервал для середнього квадратичного відхилення; довірчий інтервал для генеральної частки;

Отримане рішення зберігається у файлі Word (див. приклад). Нижче наведено відеоінструкцію, як заповнювати вихідні дані.

Приклад №1. У колгоспі із загального стада у 1000 голів овець вибірковій контрольній стрижці зазнали 100 овець. В результаті було встановлено середній настриг вовни 4,2 кг на одну вівцю. Визначити з ймовірністю 0,99 середню квадратичну помилку вибірки щодо середнього настригу шерсті однією вівцю і межі, у яких укладено величина настрига, якщо дисперсія дорівнює 2,5 . Вибірка неповторна.
Приклад №2. З партії імпортованої продукції на посаді Московської Північної митниці було взято як випадкову повторної вибірки 20 проб товару «А». В результаті перевірки встановлена ​​середня вологість продукту «А» у вибірці, яка дорівнювала 6 % при середньому квадратичному відхиленні 1 %.
Визначте із ймовірністю 0,683 межі середньої вологості продукту у всій партії імпортованої продукції.
Приклад №3. Опитування 36 студентів показало, що середня кількість підручників, прочитаних ними за навчальний рік, виявилося рівним 6. Вважаючи, що кількість підручників, прочитаних студентом за семестр, має нормальний законрозподілу із середнім квадратичним відхиленням, рівним 6, знайти: А) з надійністю 0,99 інтервальну оцінкудля математичного очікування цієї випадкової величини; Б) з якою ймовірністю можна стверджувати, що середня кількість підручників, прочитаних студентом за семестр, обчислена за даною вибіркою, відхилиться від математичного очікування з абсолютної величинине більше ніж на 2.

Класифікація довірчих інтервалів

На вигляд оцінюваного параметра:

За типом вибірки:

1. Довірчий інтервал для безкінечної вибірки;
2. Довірчий інтервал для кінцевої вибірки;

Вибірка називається повторноюякщо відібраний об'єкт перед вибором наступного повертається в генеральну сукупність. Вибірка називається безповторноюякщо відібраний об'єкт у генеральну сукупність не повертається. Насправді зазвичай мають справу з безповторними вибірками.

Розрахунок середньої помилки вибірки при випадковому доборі

Розбіжність між значеннями показників, отриманих за вибіркою, та відповідними параметрами генеральної сукупності називається помилкою репрезентативності.
Позначення основних параметрів генеральної та вибіркової сукупності.

Формули середньої помилки вибірки
повторний відбір		безповторний відбір
для середньої	для частки	для середньої	для частки

Співвідношення між межею помилки вибірки (Δ), що гарантується з деякою ймовірністю Р(t),і середньою помилкоювибірки має вигляд: або Δ = t·μ, де t- Коефіцієнт довіри, який визначається залежно від рівня ймовірності Р(t) по таблиці інтегральної функції Лапласа.

Формули розрахунку чисельності вибірки при власне-випадковому способі відбору

Нехай зроблена вибірка з генеральної сукупності, підпорядкованої закону нормальногорозподілу XN( m;  ). Це основне припущення математичної статистики ґрунтується на центральній граничній теоремі. Нехай відоме генеральне середнє квадратичне відхилення  , але невідомо математичне очікування теоретичного розподілу m(середнє значення ).

У такому разі середнє вибіркове , отриманий в ході експерименту (п.3.4.2), також буде випадковою величиною m;
). Тоді «нормалізоване» відхилення
N(0;1) – є стандартною нормальною випадковою величиною.

Завдання полягає у пошуку інтервальної оцінки для m. Побудуємо двосторонній довірчий інтервал для m так, щоб справжнє математичне очікування належало йому із заданою ймовірністю (надійністю)  .

Встановити такий інтервал для величини
- Це означає знайти максимальне значення цієї величини
та мінімальне
, які є межами критичної області:
.

Т.к. така ймовірність дорівнює
, то корінь цього рівняння
можна знайти за допомогою таблиць функції Лапласа (Таблиця 3, додаток 1).

Тоді з ймовірністю  можна стверджувати, що випадкова величина
, тобто шукане генеральне середнє належить інтервалу
. (3.13)

Величину
(3.14)

називають точністюоцінки.

Число
– квантильнормального розподілу – можна як аргумент функції Лапласа (Таблиця 3, додаток 1), враховуючи співвідношення 2Ф( u)=, тобто. Ф( u)=
.

Назад, за заданому значеннювідхилення  можна знайти, з якою ймовірністю, невідоме генеральне середнє належить інтервалу
. Для цього потрібно вирахувати

. (3.15)

Нехай із генеральної сукупності вилучено випадкову вибірку методом повторного відбору. З рівняння
можна знайти мінімальнийобсяг повторної вибірки n, необхідний для того, щоб довірчий інтервал із заданою надійністю не перевищував наперед заданого значення  . Оцінку необхідного обсягу вибірки проводять за такою формулою:

. (3.16)

Досліджуємо точність оцінки
:

1) У разі зростання обсягу вибірки nвеличина  зменшується, і значить, точність оцінки збільшується.

2) З збільшеннямнадійності оцінки збільшується значення аргументу u(Т.к. Ф(u) монотонно зростає) і значить збільшується  . У такому разі збільшення надійності зменшуєточність її оцінки  .

Оцінку
(3.17)

називають класичною(де t- певний параметр, що залежить від і n), т.к. вона характеризує найпоширеніші закони розподілу.

3.5.3 Довірчі інтервали для оцінки математичного очікування нормального розподілу за невідомого середнього квадратичного відхилення 

Нехай відомо, що генеральна сукупність підпорядкована закону нормального розподілу XN( m; ), де величина середнього квадратичноговідхилення невідома.

Для побудови довірчого інтервалу оцінки генерального середнього у разі використовується статистика
, що має розподіл Ст'юдента з k= n–1 ступенями свободи. Це випливає з того, що N(0;1) (див. п.3.5.2), а
(див. п.3.5.3) та з визначення розподілу Ст'юдента (ч.1.п.2.11.2).

Знайдемо точність класичної оцінки розподілу Стьюдента: тобто. знайдемо tіз формули (3.17). Нехай ймовірність виконання нерівності
задана надійністю  :

. (3.18)

Оскільки TSt( n-1), очевидно, що tзалежить від  і nтому зазвичай пишуть
.

(3.19)

де
- функція розподілу Ст'юдента з n-1 ступенями свободи.

Вирішуючи це рівняння щодо m, отримаємо інтервал
який з надійністю  покриває невідомий параметр m.

Величина t  , n-1 , що служить для визначення довірчого інтервалу випадкової величини T(n-1), розподіленою за Ст'юдентом з n-1 ступенями свободи, називається коефіцієнтом Ст'юдента. Його слід шукати за заданими значеннями nта  з таблиць « Критичні точкирозподілу Стьюдента». (Таблиця 6, додаток 1), які є рішення рівняння (3.19).

У результаті отримуємо наступне вираження точності довірчого інтервалу для оцінки математичного очікування (генерального середнього), якщо невідома дисперсія:

(3.20)

Т.ч., існує загальна формула побудови довірчих інтервалів для математичного очікування генеральної сукупності:

де точність довірчого інтервалу  залежно від відомої чи невідомої дисперсії знаходиться за формулами відповідно 3.16. та 3.20.

Завдання 10.Проведено деякі випробування, результати яких занесені до таблиці:

x i

Відомо, що вони підпорядковуються закону нормального розподілу з
. Знайти оцінку m* для математичного очікування m, побудувати йому 90% довірчий інтервал.

Рішення:

Отже, m(2.53;5.47).

Завдання 11.Глибина моря вимірюється приладом, систематична помилка якого дорівнює 0, а випадкові помилки розподіляються за нормальним законом, із середнім квадратичним відхиленням  = 15м. Скільки треба зробити незалежних вимірів, щоб визначити глибину з помилками не більше 5м за довірчої ймовірності 90%?

Рішення:

За умовою завдання маємо XN( m;  ), де  = 15м,  =5м,  =0.9. Знайдемо обсяг n.

1) Із заданою надійністю = 0.9 знайдемо за таблицями 3 (Додаток 1) аргумент функції Лапласа u  = 1.65.

2) Знаючи задану точність оцінки  =u  =5, знайдемо
. Маємо

. Тому кількість випробувань n25.

Завдання 12.Вибір температури tза перші 6 днів січня представлена ​​у таблиці:

Знайти довірчий інтервал для математичного очікування mгенеральної сукупності з довірчою ймовірністю
та оцінити генеральне стандартне відхилення s.

Рішення:

і
.

2) Незміщену оцінку знайдемо за формулою
:

							=-175
							=234.84

;
;

							=-192
							=116

.

3) Оскільки генеральна дисперсія невідома, але відома її оцінка, то оцінки математичного очікування mвикористовуємо розподіл Ст'юдента (Таблиця 6, додаток 1) та формулу (3.20).

Т.к. n 1 =n 2 = 6, то ,
, s 1 = 6.85 маємо:
, звідси -29.2-4.1<m 1 < -29.2+4.1.

Тому -33.3<m 1 <-25.1.

Аналогічно маємо,
, s 2 = 4.8, тому

–34.9< m 2 < -29.1. Тогда доверительные интервалы примут вид: m 1 (-33.3;-25.1) та m 2 (-34.9;-29.1).

У прикладних науках, наприклад, у будівельних дисциплінах, для оцінки точності об'єктів використовуються таблиці довірчих інтервалів, що наведені у відповідній довідковій літературі.

Ви можете використати цю форму пошуку, щоб знайти потрібне завдання. Введіть слово, фразу із завдання або його номер, якщо він вам відомий.

Шукати тільки у цьому розділі

Довірчі інтервали: список розв'язків

Довірчі інтервали: теорія та завдання

Загальні відомості про довірчі інтервали

Введемо коротко поняття довірчого інтервалу, який
1) оцінює деякий параметр числової вибірки безпосередньо за даними самої вибірки,
2) накриває значення цього параметра із ймовірністю γ.

Довірчим інтерваломдля параметра X(при ймовірності γ) називається інтервал виду , такий що , а значення обчислюються деяким чином на вибірці .

Зазвичай у прикладних задачах довірчу ймовірність беруть рівною γ = 0,9; 0,95; 0,99.

Розглянемо деяку вибірку обсягу n, виготовлену з генеральної сукупності, розподіленої імовірно за нормальним законом розподілу . Покажемо, за якими формулами є довірчі інтервали для параметрів розподілу- математичного очікування та дисперсії (середнього квадратичного відхилення).

Довірчий інтервал для математичного очікування

Випадок 1.Дисперсія розподілу відома і дорівнює. Тоді довірчий інтервал для параметра aмає вид:
tвизначається з таблиці розподілу Лапласа за співвідношенням

Випадок 2Дисперсія розподілу невідома, за вибіркою обчислено точкову оцінку дисперсії. Тоді довірчий інтервал для параметра aмає вид:
де - вибіркове середнє, обчислене за вибіркою, параметр tвизначається з таблиці розподілу Стьюдента

приклад.За даними 7 вимірювань деякої величини знайдені середня результатів вимірювань, що дорівнює 30 і вибіркова дисперсія, що дорівнює 36. Знайдіть межі, в яких з надійністю 0,99 укладено справжнє значення вимірюваної величини.

Рішення.Знайдемо . Тоді довірчі межі для інтервалу, що містить справжнє значення вимірюваної величини, можна знайти за формулою:
де - вибіркове середнє, - вибіркова дисперсія. Підставляємо всі величини та отримуємо:

Довірчий інтервал для дисперсії

Вважаємо, що взагалі кажучи, математичне очікування невідоме, а відома лише точкова незміщена оцінка дисперсії. Тоді довірчий інтервал має вигляд:
, де - Квантилі розподілу, що визначаються з таблиць.

приклад.За даними 7 випробувань знайдено значення оцінки для середньоквадратичного відхилення s=12. Знайти із ймовірністю 0,9 ширину довірчого інтервалу, побудованого для оцінки дисперсії.

Рішення.Довірчий інтервал для невідомої дисперсії генеральної сукупності можна знайти за такою формулою:

Підставляємо та отримуємо:


Тоді ширина довірчого інтервалу дорівнює 465,589-71,708 = 393,881.

Довірчий інтервал для ймовірності (частки)

Випадок 1.Нехай у задачі відомий обсяг вибірки та вибіркова частка (відносна частота). Тоді довірчий інтервал для генеральної частки (істинної ймовірності) має вигляд:
, де параметр tвизначається з таблиці розподілу Лапласа за співвідношенням.

Випадок 2Якщо задачі додатково відомий загальний обсяг сукупності , з якої була зроблена вибірка, довірчий інтервал для генеральної частки (істинної ймовірності) можна знайти за скоригованою формулою:
.

приклад.Відомо, що знайти межі, в яких із ймовірністю укладено генеральну частку.

Рішення.Використовуємо формулу:

Знайдемо параметр із умови , отримаємо Підставляємо у формулу:

Інші приклади завдань математичної статистики ви знайдете на сторінці

Нехай випадкова величина Х генеральної сукупності розподілена нормально, враховуючи, що дисперсія та середнє квадратичне відхилення цього розподілу відомі. Потрібно оцінити невідоме математичне очікування на вибіркову середню. У разі завдання зводиться до знаходження довірчого інтервалу для математичного очікування з надійністю b. Якщо задатися значенням довірчої ймовірності (надійності) b, можна знайти ймовірність попадання в інтервал для невідомого математичного очікування, використовуючи формулу (6.9а):

де Ф(t) - функція Лапласа (5.17а).

В результаті можна сформулювати алгоритм відшукання меж довірчого інтервалу для математичного очікування, якщо відома дисперсія D = s 2:

1. Задати значення надійності – b.
2. З (6.14) виразити Ф(t) = 0,5×b. Вибрати значення t із таблиці для функції Лапласа за значенням Ф(t) (див. Додаток 1).
3. Обчислити відхилення e за формулою (6.10).
4. Записати довірчий інтервал за такою формулою (6.12), що з ймовірністю b виконується нерівність:

.

Приклад 5.

Випадкова величина Х має нормальний розподіл. Знайти довірчі інтервали з оцінкою з надійністю b = 0,96 невідомого математичного очікування а, якщо дані:

1) генеральне середнє квадратичне відхилення s = 5;

2) вибіркова середня;

3) обсяг вибірки n = 49.

У формулі (6.15) інтервальної оцінки математичного очікування а з надійністю b усі величини, крім t, відомі. Значення t можна знайти за допомогою (6.14): b = 2Ф(t) = 0,96. Ф(t) = 0,48.

За таблицею Додатка 1 функції Лапласа Ф(t) = 0,48 знаходять відповідне значення t = 2,06. Отже, . Підставивши у формулу (6.12) обчислене значення e можна отримати довірчий інтервал: 30-1,47< a < 30+1,47.

Шуканий довірчий інтервал оцінки з надійністю b = 0,96 невідомого математичного очікування дорівнює: 28,53< a < 31,47.