Як вирішувати систему раціональних нерівностей. Дробові раціональні нерівності

Нехай треба знайти числові значеннях, за яких перетворюються на вірні числові нерівностіодночасно кілька раціональних нерівностей. У таких випадках говорять, що треба вирішити систему раціональних нерівностей з одним невідомим х.

Щоб розв'язати систему раціональних нерівностей, треба знайти всі рішення кожної нерівності системи. Тоді загальна частина всіх знайдених рішень буде рішенням системи.

Приклад:Розв'язати систему нерівностей

(х -1) (х - 5) (х - 7)< 0,

Спочатку вирішуємо нерівність

(х - 1) (х - 5) (х - 7)< 0.

Застосовуючи метод інтервалу (рис. 1), знаходимо, що множина всіх розв'язань нерівності (2) складається з двох інтервалів: (-, 1) і (5, 7).

Малюнок 1

Тепер вирішимо нерівність

Застосовуючи метод інтервалів (рис. 2), знаходимо, що безліч усіх розв'язань нерівності (3) також складається з двох інтервалів: (2, 3) і (4, +).

Тепер треба знайти загальну частинурозв'язання нерівностей (2) та (3). Намалюємо координатну вісьх та відзначимо на ній знайдені рішення. Тепер ясно, що загальною частиноюрозв'язання нерівностей (2) і (3) є інтервал (5, 7) (рис. 3).

Отже, безліч всіх розв'язань системи нерівностей (1) становить інтервал (5, 7).

Приклад: Розв'язати систему нерівностей

х2 - 6х + 10< 0,

Вирішимо спочатку нерівність

х 2 - 6х + 10< 0.

Застосовуючи метод виділення повного квадрата, можна написати, що

х 2 – 6х + 10 = х 2 – 2х3 + 3 2 – 3 2 + 10 = (х – 3) 2+1.

Тому нерівність (2) можна записати у вигляді

(х - 3) 2 + 1< 0,

звідки видно, що вона не має рішення.

Тепер можна не розв'язувати нерівність

оскільки відповідь вже зрозуміла: система (1) не має рішення.

Приклад:Розв'язати систему нерівностей

Розглянемо спочатку першу нерівність; маємо

1 < 0, < 0.

За допомогою кривої знаків знаходимо розв'язання цієї нерівності: х< -2; 0 < x < 2.

Вирішимо тепер другу нерівність заданої системи. Маємо x 2 - 64< 0, или (х - 8)(х + 8) < 0. С помощью кривой знаков находим решения неравенства: -8 < x < 8.

Відзначивши знайдені рішення першої та другої нерівності на загальній числовій прямій (рис. 6), знайдемо такі проміжки, де ці рішення збігаються (припинення розв'язання): -8< x < -2; 0 < x < 2. Это и есть решение системы.

Приклад:Розв'язати систему нерівностей

Перетворимо першу нерівність системи:

х 3 (х - 10) (х + 10) 0, або х (х - 10) (х + 10) 0

(т.к. множники у непарних ступенях можна замінювати відповідними множниками першого ступеня); за допомогою методу інтервалів знайдемо рішення останньої нерівності: -10 х 0, х 10.

Розглянемо другу нерівність системи; маємо

Знаходимо (рис. 8) х -9; 3< x < 15.

Поєднавши знайдені рішення, отримаємо (рис. 9) х0; х > 3.

Приклад:Знайти цілочисленні рішеннясистеми нерівностей:

х + y< 2,5,

Рішення: Наведемо систему до виду

Складаючи першу та другу нерівності, маємо y< 2, 75, а учитывая третье неравенство, найдем 1 < y < 2,75. В этом интервале содержится только одно целое число 2. При y = 2 из данной системы неравенств получим

звідки -1< x < 0,5. В этом интервале содержится только одно целое число 0.

Тема уроку "Рішення систем раціональних нерівностей"

Клас 10

Тип уроку: пошуковий

Мета: пошук способів вирішення нерівностей із модулем, застосування методу інтервалів у новій ситуації.

Завдання уроку:

Перевірити вміння та навички у вирішенні раціональних нерівностей та їх систем; - показати учням можливості застосування методу інтервалів під час вирішення нерівностей з модулем;

Навчити логічно мислити;

Виробити навичку самооцінки своєї роботи;

Навчити висловлювати свої думки,

Навчити аргументовано відстоювати свою думку;

Сформувати в учнів позитивний мотив вчення;

Розвинути самостійність учнів.

Хід уроку

I. Організаційний момент(1 хв)

Здрастуйте, сьогодні ми з вами продовжимо вивчення теми "Система раціональних нерівностей", будемо застосовувати свої знання та вміння у новій ситуації.

Запишіть число та тему уроку "Рішення систем раціональних нерівностей". Сьогодні я вас запрошую в подорож дорогами математики, де на вас чекають випробування, перевірка на міцність. У вас на партах лежать дорожні карти із завданнями, дорожній лист самооцінки, який наприкінці подорожі здасте мені (диспетчеру).

Девізом подорожі служитиме афоризм "Дорогу здолає той, хто йде, а математику мислить". Візьміть із собою ваш багаж знань. Увімкніть мисленевий процесі в дорогу. Дорогою нас супроводжуватиме дорожнє радіо.Звучить фрагмент музики (1 хв). Далі різкий звук сигналу.

ІІ. Етап перевірки знань. Робота у групах.«Догляд багажу»,

Ось і перше випробування «Огляд багажу», перевірка ваших знань на тему

Зараз ви розділитеся на групи по 3 чи 4 особи. Кожен на парті має листок із завданням. Розподіліть ці завдання між собою, вирішіть їх, на загальному аркуші запишіть готові відповіді. Група, що складається з 3 осіб, вибирає 3 будь-які завдання. Хто виконає всі завдання, повідомить про це вчителя. Я або мої помічники звіримо відповіді, і якщо хоч одна відповідь буде невірною, групі повертається листок на повторну перевірку. (Відповіді діти не бачать, їм тільки повідомляється, в якому завданні неправильна відповідь).Переможе та група, яка першою без помилок упорається з усіма завданнями. Вперед за перемогою.

Звучить дуже тиха музика.

Якщо закінчать роботу дві чи три групи одночасно, то вчителю допоможе перевірити хтось із хлопців іншої групи. Відповіді на аркуші у вчителя (4 екземпляри).

Робота зупиняється, коли з'явиться група-переможець.

Не забудьте заповнити дорожній лист самооцінки. І їдемо далі.

Аркуш із завданням для «Догляду багажу»

1) 3)

2) 4)

ІІІ. Етап актуалізації знань та відкриття нових знань. "Еврика"

Огляд показав, що багаж знань у вас є.

Але в дорозі всякі ситуації бувають, іноді потрібна кмітливість, а чи не забули ви прихопити її з собою, перевіримо.

Ви навчилися вирішувати системи раціональних нерівностей шляхом інтервалів. Сьогодні ми подивимося, під час вирішення яких завдань доцільно застосування цього. Але спочатку згадаємо, що таке модуль.

1. Продовжіть речення «Модуль числа дорівнює самому числу, якщо..."(усно)

«Модуль числа дорівнює протилежному числуякщо...»

2. Нехай А(Х) - багаточлен від x

Продовжіть запис:

Відповідь:

Запишіть вираз, протилежний виразу А(х)

А(х) = 5 - 4х; А(х) = 6х 2 - 4х + 2

А(х)=-А(х)=

На дошці пише учень, хлопці, записують у зошити.

3. Зараз спробуємо знайти спосіб розв'язання квадратичної нерівності з модулем

Ваші пропозиції щодо вирішення цієї нерівності.

Вислухати пропозиції хлопців та дівчат.

Якщо пропозицій не буде, то запитати: «Чи можна вирішити цю нерівність за допомогою систем нерівностей?»

Виходить учень, вирішує.

IV. Етап первинного закріплення нових знань, складання алгоритму розв'язання. Поповнення багажу.

(Робота у групах по 4 особи).

Зараз я пропоную вам поповнити ваш багаж. Працюватимете в групах.Кожній групі видаються по 2 картки із завданнями.

На першій картці потрібно записати системи для вирішення нерівностей, представлених на дошці та розробити алгоритм розв'язання подібних нерівностей, вирішувати не потрібно.

Перша картка у груп різна, друга однакова

Що вийшло?

Під кожним рівнянням на дошці слід написати сукупність систем.

Виходять 4 учні, і пишуть системи. У цей час із класом обговорюємо алгоритм.

V. Етап закріплення знань."Дорога додому".

Багаж поповнений, тепер час у Зворотній шлях. Зараз вирішіть самостійно будь-яку із запропонованих нерівностей з модулем відповідно до складеного алгоритму.

З вами у дорозі знову буде дорожнє радіо.

Увімкнути тиху фонову музику. Вчитель перевіряє оформлення та за потреби консультує.

Завдання на дошці.

Роботу закінчили. Звірте відповіді (вони на зворотній сторонідошки), заповніть дорожній лист самооцінки.

Постановка домашнього завдання.

Запишіть домашнє завдання(перепишіть у зошит нерівності, які не зробили або зробили з помилками, додатково № 84 (а) на стор. 373 підручника за бажанням)

VI. Етап релаксації.

Чим корисна була для вас ця подорож?

Чого ви навчилися?

Підсумуйте. Підрахуйте, скільки балів кожен із вас заробив.(Хлопці називають підсумковий бал).Листи із самооцінкою здайте диспетчеру, тобто мені.

Закінчити урок я хочу притчею.

«Ішов мудрець, а назустріч йому троє людей, які везли під гарячим сонцем візки з камінням для будівництва. Мудрець зупинився і поставив кожному з питання. У першого спитав: «Що ти робив цілий день?», і той з усмішкою відповів, що цілий день возив прокляте каміння. У другого мудрець запитав: «А що ти робив цілий день?», і той відповів: «А я сумлінно виконував свою роботу», а третій усміхнувся, його обличчя засвітилося радістю та задоволенням: «А я брав участь у будівництві Храму!»

Урок завершено.

Аркуш самооцінки

Прізвище, ім'я, клас		Кількість балів
Робота у групі у вирішенні нерівностей чи систем нерівностей.	2 бали, якщо виконав правильно без сторонньої допомоги; 1 бал, якщо виконав правильно із сторонньою допомогою; 0 балів, якщо не виконав завдання 1 бал додатковий за перемогу групи

За допомогою даного урокуви дізнаєтеся про раціональні нерівності та їх системи. Вирішується система раціональних нерівностей за допомогою еквівалентних перетворень. Розглядається визначення еквівалентності, спосіб заміни дробово-раціональної нерівності - квадратним, а також розуміється на чому відмінність нерівності від рівняння і як здійснюються рівносильні перетворення.

Алгебра 9 клас

Підсумкове повторення курсу алгебри 9-го класу

Раціональні нерівності та їх системи. Системи раціональних нерівностей.

1.1 Конспект.

1. Еквівалентні перетворенняраціональних нерівностей.

Вирішити раціональна нерівністьозначає знайти всі його рішення. На відміну від рівняння, під час вирішення нерівності, зазвичай, виникає безліч рішень. Безлічрішень не можна перевірити шляхом підстановки. Тому потрібно так перетворювати вихідну нерівність, щоб у кожному наступному рядку виходила нерівність з тією ж безліччю рішень.

Раціональні нерівностівирішуються лише за допомогою еквівалентнихабо рівносильних перетворень. Такі перетворення не спотворюють безліч рішень.

Визначення. Раціональні нерівностіназивають еквівалентними, якщо безліч їхніх рішень збігаються.

Для позначення еквівалентностівикористовують знак

2. Розв'язання системи нерівностей

Перша та друга нерівність – це дробово-раціональні нерівності. Методи їх вирішення є природним продовженням методів розв'язання лінійних та квадратних нерівностей.

Перенесемо числа, що стоять у правій частині, до лівої з протилежним знаком.

У результаті правої частини залишиться 0. Це перетворення є еквівалентним. На це вказує знак

Виконаємо дії, які наказує алгебра. Віднімемо «1» у першій нерівності та «2» у другій.

3. Вирішення нерівності методом інтервалів

1) Введемо функцію. Нам потрібно дізнатися, коли ця функція менша за 0.

2) Знайдемо область визначення функції: у знаменнику не повинен стояти 0. «2» - точка розриву. При х = 2 функція невизначена.

3) Знайдемо коріння функції. Функція дорівнює 0, якщо в чисельнику стоїть 0.

Поставлені точки розбивають числову вісь на три інтервали – це інтервали знакопостійності. У кожному інтервалі функція зберігає знак. Визначимо знак першому інтервалі. Підставимо якесь значення. Наприклад, 100. Зрозуміло, як і чисельник, і знаменник більше 0. Значить і весь дріб позитивна.

Визначимо знаки інших проміжках. При переході через точку х=2 лише знаменник змінює знак. Значить, і весь дріб поміняє знак, і буде негативним. Проведемо аналогічне міркування. При переході через точку х=-3 лише чисельник змінює знак. Значить, дріб поміняє знак і буде позитивним.

Виберемо інтервал, що відповідає умові нерівності. Заштрихуємо його та запишемо у вигляді нерівності

4. Розв'язання нерівності за допомогою квадратичної нерівності

Важливий факт.

У порівнянні з 0 (у разі суворої нерівності) дріб можна замінити на твір чисельника на знаменник або поміняти чисельник чи знаменник місцями.

Це так, тому що всі три нерівності виконуються за умови, що u та v різного знаку. Ці три нерівності еквівалентні.

Використовуємо цей факт та замінимо дробово-раціональна нерівністьквадратним.

Вирішимо квадратну нерівність.

Введемо квадратичну функцію. Знайдемо її коріння та побудуємо ескіз її графіка.

Значить, гілки параболи вгору. Всередині інтервалу коріння функція зберігає знак. Вона негативна.

Поза інтервалом коренів функція позитивна.

Розв'язання першої нерівності:

5. Вирішення нерівності

Введемо функцію:

Знайдемо її інтервали знаковості:

Для цього знайдемо коріння та точки розриву області визначення функції. Точки розриву виколюємо завжди. (х=3/2) Коріння виколюємо залежно від знаку нерівності. Наша нерівність сувора. Тому корінь виколюємо.

Розставимо знаки:

Запишемо рішення:

Закінчимо рішення системи. Знайдемо перетин безлічі рішень першої нерівності та безлічі рішень другої нерівності.

Розв'язати систему нерівностей означає знайти перетин безлічі рішень першої нерівності і безлічі рішень другої нерівності. Тому, вирішивши першу і другу нерівність окремо, потрібно записати отримані результати в одну систему.

Зобразимо розв'язання першої нерівності над віссю Ох.