Однакові множники не скорочуються. Виділення цілої частини дробу

Ця стаття продовжує тему перетворення алгебраїчних дробів: розглянемо таку дію як скорочення дробів алгебри. Дамо визначення самому терміну, сформулюємо правило скорочення та розберемо практичні приклади.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Сенс скорочення алгебраїчного дробу

У матеріалах про звичайний дроб ми розглядали її скорочення. Ми визначили скорочення звичайного дробу як розподіл її чисельника та знаменника на загальний множник.

Скорочення дробу алгебри являє собою аналогічну дію.

Визначення 1

Скорочення алгебраїчного дробу– це розподіл її чисельника та знаменника на загальний множник. При цьому, на відміну від скорочення звичайного дробу (загальним знаменником може бути тільки число), загальним множником чисельника і знаменника дробу алгебри може служити многочлен, зокрема, одночлен або число.

Наприклад, алгебраїчна дріб 3 · x 2 + 6 · x · y 6 · x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 може бути скорочена на число 3, в результаті отримаємо: x 2 + 2 · x · y 6 · x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 . Цей же дріб ми можемо скоротити на змінну х, і це дасть нам вираз 3 · x + 6 · y 6 · x 2 · y + 12 · x · y 2 . Також заданий дріб можна скоротити на одночлен 3 · xабо будь-який з багаточленів x + 2 · y, 3 · x + 6 · y , x 2 + 2 · x · y або 3 · x 2 + 6 · x · y.

Кінцевою метою скорочення алгебраїчного дробу є дріб простішого виду, у кращому випадку – нескоротний дріб.

Чи всі дроби алгебри підлягають скороченню?

Знову ж таки з матеріалів про звичайні дроби ми знаємо, що існують скорочені і нескоротні дроби. Нескоротні – це дроби, які мають загальних множників чисельника і знаменника, відмінних від 1 .

З алгебраїчними дробами так само: вони можуть мати спільні множники чисельника і знаменника, можуть і не мати. Наявність загальних множників дозволяє спростити вихідний дріб за допомогою скорочення. Коли спільних множників немає, оптимізувати заданий дріб способом скорочення неможливо.

У загальних випадках за заданим видом дробу досить складно зрозуміти, чи підлягає вона скороченню. Звичайно, в деяких випадках наявність загального множника чисельника та знаменника очевидна. Наприклад, в алгебраїчному дробі 3 · x 2 3 · y зрозуміло, що загальним множником є число 3 .

У дробі - x · y 5 · x · y · z 3 також ми відразу розуміємо, що скоротити її можливо на х, або y, або на х · y. І все ж таки набагато частіше зустрічаються приклади алгебраїчних дробів, коли загальний множник чисельника і знаменника не так просто побачити, а ще частіше - він просто відсутній.

Наприклад, дріб x 3 - 1 x 2 - 1 ми можемо скоротити на х - 1 при цьому зазначений загальний множник у записі відсутній. А ось дріб x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 піддати дії скорочення неможливо, оскільки чисельник і знаменник не мають спільного множника.

Таким чином, питання з'ясування скоротливості алгебраїчного дробу не таке просте, і найчастіше простіше працювати з дробом заданого виду, ніж намагатися з'ясувати, чи вона скоротлива. При цьому мають місце такі перетворення, які в окремих випадках дозволяють визначити загальний множник чисельника і знаменника або зробити висновок про нескоротність дробу. Розглянемо детально це питання у наступному пункті статті.

Правило скорочення алгебраїчних дробів

Правило скорочення алгебраїчних дробівскладається з двох послідовних дій:

знаходження загальних множників чисельника та знаменника;
у разі знаходження таких здійснення безпосередньо впливу скорочення дробу.

Найзручнішим методом відшукання загальних знаменників є розкладання на множники многочленів, що у чисельнику і знаменнику заданої алгебраїчної дробу. Це дозволяє відразу побачити наявність чи відсутність загальних множників.

Саме вплив скорочення алгебраїчної дробу виходить з основному властивості алгебраїчної дробу, що виражається рівністю undefined , де a , b , c – деякі многочлены, причому b і c – ненульові. Першим кроком дріб наводиться до вигляду a · c b · c, в якому ми відразу помічаємо загальний множник c. Другим кроком – виконуємо скорочення, тобто. перехід до дробу виду a b.

Характерні приклади

Незважаючи на певну очевидність, уточнимо про окремий випадок, коли чисельник і знаменник алгебраїчної дробу рівні. Подібні дроби тотожно рівні 1 на всій ОДЗ змінних цього дробу:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1; - 3, 2 · x 3 - 3, 2 · x 3 = 1; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y;

Оскільки звичайні дроби є окремим випадком алгебраїчних дробів, нагадаємо, як здійснюється їх скорочення. Натуральні числа, записані в чисельнику та знаменнику, розкладаються на прості множники, потім загальні множники скорочуються (якщо є).

Наприклад, 24 1260 = 2 · 2 · 2 · 3 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 = 2 3 · 5 · 7 = 2 105

Добуток простих однакових множників можна записати як ступеня, і в процесі скорочення дробу використовувати властивість поділу ступенів з однаковими основами. Тоді вищезгадане рішення було б таким:

24 1260 = 2 3 · 3 2 2 · 3 2 · 5 · 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 · 5 · 7 = 2 105

(числитель та знаменник розділені на загальний множник 2 2 · 3). Або для наочності, спираючись на властивості множення та поділу, вирішенню дамо такий вигляд:

24 1260 = 2 3 · 3 2 2 · 3 2 · 5 · 7 = 2 3 2 2 · 3 3 2 · 1 5 · 7 = 2 1 · 1 3 · 1 35 = 2 105

За аналогією здійснюється скорочення алгебраїчних дробів, у яких у чисельнику та знаменнику є одночлени з цілими коефіцієнтами.

Приклад 1

Задано алгебраїчну дріб - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . Необхідно зробити її скорочення.

Рішення

Можливо записати чисельник та знаменник заданого дробу як добуток простих множників та змінних, після чого здійснити скорочення:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = - 9 · a 3 2 · c 6

Однак, раціональнішим способом буде запис рішення у вигляді виразу зі ступенями:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · a 3 2 · c 6 = · - 9 · a 3 2 · c 6 .

Відповідь:- 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 9 · a 3 2 · c 6

Коли в чисельнику і знаменнику алгебраїчної дробу є дробові числові коефіцієнти, можливо два шляхи подальших дій: або окремо здійснити поділ цих дробових коефіцієнтів, або попередньо позбутися дробових коефіцієнтів, помноживши чисельник і знаменник на якесь натуральне число. Останнє перетворення проводиться в силу основної якості алгебраїчної дробу (про нього можна почитати в статті «Приведення дробу алгебри до нового знаменника»).

Приклад 2

Задано дроб 2 5 · x 0, 3 · x 3 . Необхідно здійснити її скорочення.

Рішення

Можливо скоротити дріб таким чином:

2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 2 5 3 10 · x x 3 = 4 3 · 1 x 2 = 4 3 · x 2

Спробуємо вирішити завдання інакше, попередньо позбавившись дробових коефіцієнтів – помножимо чисельник і знаменник на найменше загальне кратне знаменників цих коефіцієнтів, тобто. на НОК (5, 10) = 10 . Тоді отримаємо:

2 5 · x 0, 3 · x 3 = 10 · 2 5 · x 10 · 0, 3 · x 3 = 4 · x 3 · x 3 = 4 3 · x 2 .

Відповідь: 2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 4 3 · x 2

Коли ми скорочуємо алгебраїчні дроби загального виду, у яких чисельники і знаменники можуть бути як одночленами, і многочленами, можлива проблема, коли загальний множник який завжди відразу видно. Або більше, він просто не існує. Тоді для визначення загального множника або фіксації факту про його відсутність чисельник і знаменник дробу алгебри розкладають на множники.

Приклад 3

Задано раціональний дріб 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 . Потрібно її скоротити.

Рішення

Розкладемо на множники багаточлени в чисельнику та знаменнику. Здійснимо винесення за дужки:

2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 = 2 · b 2 · (a 2 + 14 · a + 49) b 3 · (a 2 - 49)

Ми бачимо, що вираз у дужках можна перетворити з використанням формул скороченого множення:

2 · b 2 · (a 2 + 14 · a + 49) b 3 · (a 2 - 49) = 2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a - 7) · (a + 7)

Добре помітно, що можна скоротити дріб на загальний множник b 2 · (a + 7). Зробимо скорочення:

2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a - 7) · (a + 7) = 2 · (a + 7) b · (a - 7) = 2 · a + 14 a · b - 7 · b

Коротке рішення без пояснень запишемо як ланцюжок рівностей:

2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 = 2 · b 2 · (a 2 + 14 a + 49) b 3 · (a 2 - 49) = = 2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a - 7) · (a + 7) = 2 · (a + 7) b · (a - 7) = 2 · a + 14 a · b - 7 · b

Відповідь: 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 = 2 · a + 14 a · b - 7 · b .

Трапляється, що загальні множники приховані числовими коефіцієнтами. Тоді при скороченні дробів оптимально числові множники при старших ступенях чисельника та знаменника винести за дужки.

Приклад 4

Дано алгебраїчну дріб 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 . Необхідно здійснити її скорочення, якщо це можливо.

Рішення

На погляд у чисельника і знаменника немає спільного знаменника. Однак спробуємо перетворити заданий дріб. Винесемо за дужки множник х у чисельнику:

1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 = x · 1 5 - 2 7 · x 2 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2

Тепер видно певну схожість виразу в дужках і виразу в знаменнику за рахунок x 2 · y . Винесемо за дужку числові коефіцієнти при старших ступенях цих багаточленів:

x · 1 5 - 2 7 · x 2 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 = x · - 2 7 · - 7 2 · 1 5 + x 2 · y 5 · x 2 · y - 1 5 · 3 1 2 = = - 2 7 · x · - 7 10 + x 2 · y 5 · x 2 · y - 7 10

Тепер стає видно загальний множник, здійснюємо скорочення:

2 7 · x · - 7 10 + x 2 · y 5 · x 2 · y - 7 10 = - 2 7 · x 5 = - 2 35 · x

Відповідь: 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 = - 2 35 · x.

Зробимо акцент на тому, що навичка скорочення раціональних дробів залежить від уміння розкладати багаточлени на множники.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

У цій статті ми докладно розберемо, як проводиться скорочення дробів. Спочатку обговоримо, що називають скороченням дробу. Після цього поговоримо про приведення скоротливого дробу до нескоротного виду. Далі отримаємо правило скорочення дробів і нарешті розглянемо приклади застосування цього правила.

Навігація на сторінці.

Що означає скоротити дріб?

Ми знаємо, що прості дроби поділяються на скорочені і нескоротні дроби . За назвами можна здогадатися, що скоротити дроби можна скоротити, а нескоротні - не можна.

Що означає скоротити дріб? Скоротити дріб- Це означає розділити її чисельник і знаменник на їх позитивний і відмінний від одиниці. Зрозуміло, що в результаті скорочення дробу виходить новий дріб з меншим чисельником і знаменником, причому в силу основної властивості дробу отриманий дріб дорівнює вихідному.

Наприклад, проведемо скорочення звичайного дробу 8/24 , розділивши його чисельник та знаменник на 2 . Іншими словами, скоротимо дріб 8/24 на 2 . Оскільки 8:2=4 і 24:2=12 , то результаті такого скорочення виходить дріб 4/12 , яка дорівнює вихідної дробу 8/24 (дивіться рівні і нерівні дроби). У результаті маємо.

Приведення звичайних дробів до нескоротного виду

Зазвичай кінцевою метою скорочення дробу є одержання нескоротного дробу, який дорівнює вихідному скорочуваному дробу. Ця мета може бути досягнута, якщо провести скорочення вихідного скоротливого дробу на його чисельник і знаменник. В результаті такого скорочення завжди виходить нескоротний дріб. Дійсно, дріб є нескоротною, оскільки відомо, що і - . Тут же скажемо, що найбільший спільний дільник чисельника та знаменника дробу є найбільшим числом, на яке можна скоротити цей дріб.

Отже, приведення звичайного дробу до нескоротного видуполягає в розподілі чисельника та знаменника вихідного скоротливого дробу на їх НОД.

Розберемо приклад, навіщо повернемося до дробу 8/24 і скоротимо його найбільший загальний дільник чисел 8 і 24 , який дорівнює 8 . Так як 8:8 = 1 і 24:8 = 3, то ми приходимо до нескоротного дробу 1/3. Отже, .

Зауважимо, що під фразою «скоротіть дріб» часто мають на увазі приведення вихідного дробу саме до нескоротного виду. Іншими словами, скороченням дробу дуже часто називають розподіл чисельника і знаменника на їхній найбільший спільний дільник (а не на будь-який їхній спільний дільник).

Як скоротити дріб? Правило та приклади скорочення дробів

Залишилося лише розібрати правило скорочення дробів, яке пояснює, як скоротити цей дріб.

Правило скорочення дробівскладається з двох кроків:

по-перше, знаходиться НОД чисельника та знаменника дробу;
по-друге, проводиться розподіл чисельника та знаменника дробу на їх НОД, що дає нескоротний дріб, рівний вихідному.

Розберемо приклад скорочення дробуза озвученим правилом.

приклад.

Скоротіть дріб 182/195.

Рішення.

Виконаємо обидва кроки, вказані правилом скорочення дробу.

Спочатку знаходимо НОД(182, 195). Найбільш зручно скористатися алгоритмом Евкліда (дивіться): 195 = 182 · 1 +13, 182 = 13 · 14, тобто, НОД (182, 195) = 13 .

Тепер ділимо чисельник і знаменник дробу 182/195 на 13 , при цьому отримуємо нескоротний дріб 14/15, який дорівнює вихідному дробу. На цьому скорочення дробу закінчено.

Коротко рішення можна записати так: .

Відповідь:

На цьому із скороченням дробів можна й закінчити. Але для повноти картини розглянемо ще два способи скорочення дробів, які зазвичай застосовують у легких випадках.

Іноді чисельник і знаменник дробу, що скорочується, нескладно. Скоротити дріб у цьому випадку дуже просто: потрібно лише прибрати всі загальні множники з чисельника та знаменника.

Слід зазначити, що це метод безпосередньо випливає з правила скорочення дробів, оскільки добуток всіх загальних простих множників чисельника і знаменника і їх найбільшому загальному дільнику.

Розберемо рішення прикладу.

приклад.

Скоротіть дріб 360/2 940 .

Рішення.

Розкладемо чисельник і знаменник на прості множники: 360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 і 2940 = 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7 ? Таким чином, .

Тепер позбавляємося загальних множників у чисельнику та знаменнику, для зручності, їх просто закреслюємо: .

Нарешті, перемножуємо множники, що залишилися: , і скорочення дробу закінчено.

Ось короткий запис рішення: .

Відповідь:

Розглянемо ще один спосіб скорочення дробу, який полягає у послідовному скороченні. Тут на кожному кроці проводиться скорочення дробу на деякий спільний дільник чисельника та знаменника, який або очевидний, або легко визначається за допомогою

Коли учень переходить у старшу школу, математика поділяється на 2 предмети: алгебру та геометрію. Понять стає дедалі більше, завдання дедалі складніше. У деяких виникають труднощі із сприйняттям дробів. Пропустили перший урок з цієї теми і вуаля. дроби? Питання, яке мучитиме протягом усього шкільного життя.

Поняття алгебраїчного дробу

Почнемо з визначення. Під алгебраїчним дробомрозуміється вирази P/Q, де P є чисельником, а Q - знаменником. Під буквеним записом може ховатися число, числове вираз, чисельно-літерний вираз.

Перш ніж ставити питання, як вирішувати алгебраїчні дроби, для початку потрібно розуміти, що подібне вираз - частина цілого.

Як правило, ціле – це 1. Число у знаменнику показує, на скільки частин розділили одиницю. Чисельник необхідний у тому, щоб дізнатися, скільки елементів взято. Дробова характеристика відповідає знаку поділу. Допускається запис дробового виразу як математичну операцію «Поділ». У такому разі чисельник – ділене, знаменник – дільник.

Основне правило звичайних дробів

Коли учні проходять цю тему у шкільництві, їм дають приклади закріплення. Щоб правильно їх вирішувати та знаходити різні шляхи зі складних ситуацій, потрібно застосовувати основну властивість дробів.

Воно звучить так: Якщо помножити і чисельник, і знаменник на те саме число чи вираз (відмінні від нуля), то значення звичайного дробу не зміниться. Приватним випадком від цього правила є поділ обох частин виразу на те саме число або многочлен. Подібні перетворення називаються тотожними рівностями.

Нижче буде розглянуто, як вирішувати додавання та віднімання алгебраїчних дробів, виробляти множення, розподіл і скорочення дробів.

Математичні операції з дробами

Розглянемо, як вирішувати, основна властивість дробу алгебри, як застосовувати його на практиці. Якщо потрібно перемножити два дроби, скласти їх, розділити один на інший або зробити віднімання, потрібно завжди дотримуватися правил.

Так, для операції додавання та віднімання слід знайти додатковий множник, щоб привести вирази до спільного знаменника. Якщо спочатку дроби дано з однаковими виразами Q, потрібно опустити цей пункт. Коли загальний знаменник знайдено, як вирішувати дроби алгебри? Потрібно скласти чи відняти чисельники. Але! Потрібно пам'ятати, що за наявності знака "-" перед дробом усі знаки в чисельнику змінюються на протилежні. Іноді слід проводити будь-яких підстановок і математичних операцій. Достатньо поміняти знак перед дробом.

Часто використовується таке поняття, як скорочення дробів. Це означає наступне: якщо чисельник і знаменник розділити на відмінне від одиниці вираз (однакове обох частин), то виходить новий дріб. Подільне і дільник менше колишніх, але з основного правила дробів залишаються рівними первісному прикладу.

Метою цієї операції є отримання нового нескоротного виразу. Вирішити це завдання можна, якщо скоротити чисельник і знаменник на найбільший спільний дільник. Алгоритм операції складається з двох пунктів:

Знаходження НОД для обох частин дробу.
Розподіл чисельника та знаменника на знайдений вираз та отримання нескоротного дробу, що дорівнює попередньому.

Нижче показано таблицю, в якій розписані формули. Для зручності її можна роздрукувати та носити із собою у зошиті. Однак, щоб у майбутньому при вирішенні контрольної або іспиту не виникло труднощів у питанні, як вирішувати дроби алгебри, зазначені формули потрібно вивчити напам'ять.

Декілька прикладів з рішеннями

З теоретичного погляду розглянуто питання, як вирішувати алгебраїчні дроби. Приклади, наведені у статті, допоможуть краще засвоїти матеріал.

1. Перетворити дроби та привести їх до спільного знаменника.

2. Перетворити дроби та привести їх до спільного знаменника.

Після вивчення теоретичної частини та розглянути практичні питання більше виникнути не повинно.

Поділі чисельника та знаменника дробу на їх спільний дільник, відмінний від одиниці, називають скороченням дробу.

Щоб скоротити звичайний дріб, потрібно розділити його чисельник і знаменник на те саме натуральне число.

Це число є найбільшим спільним дільником чисельника та знаменника даного дробу.

Можливі наступні форми запису рішенняприкладів скорочення звичайних дробів.

Студент має право вибрати будь-яку форму запису.

приклади. Спростити дроби.

Скоротимо дріб на 3 (ділимо чисельник на 3;

ділимо знаменник на 3).

Скорочуємо дріб на 7.

Виконуємо зазначені дії в чисельнику та знаменнику дробу.

Отриманий дріб скорочуємо на 5.

Скоротимо цей дріб 4) на 5·7³- Найбільший загальний дільник (НДД) чисельника та знаменника, який складається із загальних множників чисельника та знаменника, взятих у ступені з найменшим показником.

Розкладемо чисельник і знаменник цього дробу на прості множники.

Отримуємо: 756=2²·3³·7і 1176 = 2? · 3 · 7 ².

Визначаємо НОД (найбільший спільний дільник) чисельника та знаменника дробу 5) .

Це добуток загальних множників, взятих із найменшими показниками.

НОД(756; 1176) = 2²·3·7.

Ділимо чисельник і знаменник даного дробу з їхньої НОД, т. е. на 2²·3·7отримуємо нескоротний дріб 9/14 .

А можна було записати розкладання чисельника та знаменника у вигляді добутку простих множників, не застосовуючи поняття ступеня, а потім провести скорочення дробу, закреслюючи однакові множники у чисельнику та знаменнику. Коли однакових множників не залишиться — перемножуємо множники, що залишилися, окремо в чисельнику і окремо в знаменнику і виписуємо дроб, що вийшов. 9/14 .

І, нарешті, можна було скорочувати цей дріб 5) поступово, застосовуючи ознаки поділу чисел і до чисельника і знаменника дробу. Розмірковуємо так: числа 756 і 1176 закінчуються парною цифрою, отже, обоє поділяються на 2 . Скорочуємо дріб на 2 . Чисельник і знаменник нового дробу - числа 378 і 588 також поділяються на 2 . Скорочуємо дріб на 2 . Помічаємо, що число 294 - парне, а 189 - непарне, і скорочення на 2 вже неможливо. Перевіримо ознаку ділимості чисел 189 і 294 на 3 .

(1+8+9)=18 ділиться на 3 і (2+9+4)=15 ділиться на 3, отже, і числа 189 і 294 поділяються на 3 . Скорочуємо дріб на 3 . Далі, 63 ділиться на 3, а 98 - Ні. Перебираємо інші звичайні множники. Обидва числа поділяються на 7 . Скорочуємо дріб на 7 і отримуємо нескоротний дріб 9/14 .

У цій статті ми розглянемо основні дії з алгебраїчними дробами:

скорочення дробів
множення дробів
розподіл дробів

Почнемо з скорочення алгебраїчних дробів.

Здавалося б, алгоритмочевидний.

Щоб скоротити алгебраїчні дроби, потрібно

1. Розкласти чисельник та знаменник дробу на множники.

2. Скоротити однакові множники.

Проте, школярі часто роблять помилку, "зменшуючи" не множники, а доданки. Наприклад, є любителі, які в дробі "зменшують" і отримують в результаті, що, зрозуміло, неправильно.

Розглянемо приклади:

1. Скоротити дріб:

1. Розкладемо на множники чисельник за формулою квадрата суми, а знаменник за формулою різниці квадратів

2. Розділимо чисельник та знаменник на

2. Скоротити дріб:

1. Розкладемо на множники чисельник. Так як чисельник містить чотири доданки, застосуємо угруповання.

2. Розкладемо на множники знаменник. Також застосуємо угруповання.

3. Запишемо дріб, який у нас вийшов і скоротимо однакові множники:

Розмноження алгебраїчних дробів.

При множенні дробів алгебри ми чисельник множимо на чисельник, а знаменник множимо на знаменник.

Важливо!Не потрібно поспішати виконувати множення у чисельнику та знаменнику дробу. Після того, як ми записали в чисельнику добуток чисельників дробів, а в знаменнику - добуток знаменників, потрібно розкласти на множники кожен множник і скоротити дріб.

Розглянемо приклади:

3. Спростіть вираз:

1. Запишемо добуток дробів: у чисельнику добуток чисельників, а у знаменнику добуток знаменників:

2. Розкладемо кожну дужку на множники:

Тепер нам потрібно скоротити однакові множники. Зауважимо, що вирази і відрізняються лише знаком: і в результаті розподілу першого виразу на друге отримаємо -1.

Отже,

Розподіл алгебраїчних дробів ми виконуємо за таким правилом:

Тобто щоб розділити на дріб, потрібно помножити на "перевернутий".

Ми бачимо, що розподіл дробів зводиться до множення, а множення, зрештою, зводиться до скорочення дробів.

Розглянемо приклад:

4. Спростіть вираз: