Однофакторний дисперсійний аналіз кореляційної таблиці. Багатомірний дисперсійний аналіз та структурне моделювання рівнянь

Однофакторна дисперсійна модельмає вигляд

де Xjj -значення досліджуваної змінної, отриманої на г-му рівніфактора (г = 1, 2,..., т)су-м порядковим номером (j- 1,2,..., д);/у - ефект, обумовлений впливом рівня рівня фактора; е^. - випадкова компонента, чи обурення, викликане впливом неконтрольованих чинників, тобто. варіацією змінної всередині окремого рівня.

Під рівнем факторарозуміється деяка його міра чи стан, наприклад, кількість добрив, що вносяться, вид плавки металу або номер партії деталей і т.п.

Основні причини дисперсійного аналізу.

1. Математичне очікування обурення ? (/ - одно нулю для будь-яких i,тобто.

• 2. Обурення взаємно незалежні.
• 3. Дисперсія обурення (або змінної Ху) стала для будь-яких ij>тобто.

4. Обурення е# (або змінна Ху) має нормальний закон розподілу N( 0; а 2).

Вплив рівнів фактора може бути як фіксованим, або систематичним(модель I), так і випадковим(Модель II).

Нехай, наприклад, необхідно з'ясувати, чи є суттєві різницю між партіями виробів за деяким показником якості, тобто. перевірити вплив на якість одного фактора – партії виробів. Якщо включити у дослідження всі партії сировини, вплив рівня такого чинника систематичне (модель I), а отримані висновки застосовні лише до окремих партій, які залучалися щодо; якщо ж включити лише відібрану випадково частину партій, вплив фактора випадкове (модель II). У багатофакторних комплексах можлива змішана модель III, у якій одні чинники мають випадкові рівні, інші - фіксовані.

Розглянемо це завдання докладніше. Нехай є тпартії виробів. З кожної партії відібрано відповідно п Л, п 2 ,п твиробів (для простоти вважаємо, що щ = п 2 =... = п т = п).Значення показника якості цих виробів представимо у вигляді матриці спостережень

Необхідно перевірити суттєвість впливу партій виробів з їхньої якість.

Якщо вважати, що елементи рядків матриці спостережень – це чисельні значення (реалізації) випадкових величин X t , Х 2 ,..., Х т,виражають якість виробів і мають нормальний закон розподілу з математичними очікуваннями відповідно a v а 2 , ..., а ті однаковими дисперсіями а 2 дане завданнязводиться до перевірки нульової гіпотези # 0: a v = a 2l = ... = ат, що здійснюється в дисперсійному аналізі.

Позначимо усереднення за яким-небудь індексом зірочкою (або крапкою) замість індексу, тоді середній показникякості виробів г'-ї партії, або групова середнядля г-го рівня фактора, набуде вигляду

а загальна середня -

Розглянемо суму квадратів відхилень спостережень від загальної середньої х„:

або Q = Q, + Q 2+ ?>з Останнє доданок

оскільки сума відхилень значень змінної з його середньої, тобто. ? 1.г у - х) дорівнює нулю. ) =х

Перший доданок можна записати у вигляді

У результаті отримаємо таку тотожність:

т п. _

де Q = Y, X [х ij _ х„, I 2 - загальна,або повна,сума квадратів відхилень; 7 = 1

Q, - n^, де до 1; до (п -1) - ступеня свободи -розподіл, 5 і я 7]- ^-Критер Фішера. Приклад 6.1. Двісті припущення у тому, що чинник швидкості пред'явлення слів впливає показники їх відтворення (дані у таблиці рис. 8.1). Послідовність рішення: