Правило множення цілого числа на десятковий дріб. Розмноження десяткового дробу на натуральне число

На цьому уроці ми розглянемо приведення дробів до спільному знаменникуі розв'яжемо завдання з цієї теми. Дамо визначення поняття спільного знаменника та додаткового множника, згадаємо про взаємно простих числах. Дамо визначення поняттю найменший загальний знаменник (НОЗ) і вирішимо низку завдань з його перебування.

Тема: Складання та віднімання дробів з різними знаменниками

Урок: Приведення дробів до спільного знаменника

Повторення. Основна властивість дробу.

Якщо чисельник і знаменник дробу помножити або розділити на те саме натуральне число, то вийде рівний їй дріб.

Наприклад, чисельник і знаменник дробу можна поділити на 2. Отримаємо дріб . Цю операцію називають скороченням дробу. Можна виконати та зворотне перетворення, помноживши чисельник та знаменник дробу на 2. У цьому випадку кажуть, що ми привели дріб до нового знаменника. Число 2 називають додатковим множником.

Висновок.Дроб можна привести до будь-якого знаменника кратного знаменника даного дробу. Для того щоб привести дріб до нового знаменника, його чисельник та знаменник множать на додатковий множник.

1. Наведіть дріб до знаменника 35.

Число 35 кратно 7, тобто 35 ділиться на 7 без залишку. Отже, це перетворення можливо. Знайдемо додатковий множник. Для цього розділимо 35 на 7. Отримаємо 5. Помножимо на 5 чисельник та знаменник вихідного дробу.

2. Наведіть дріб до знаменника 18.

Знайдемо додатковий множник. І тому розділимо новий знаменник на вихідний. Отримаємо 3. Помножимо на 3 чисельник та знаменник даного дробу.

3. Наведіть дріб до знаменника 60.

Розділивши 60 на 15, отримаємо додатковий множник. Він дорівнює 4. Помножимо чисельник і знаменник на 4.

4. Наведіть дріб до знаменника 24

У нескладних випадках приведення до нового знаменника виконують у думці. Прийнято тільки вказувати додатковий множник за дужкою трохи правіше і вище від вихідного дробу.

Дроб можна привести до знаменника 15 і дріб можна привести до знаменника 15. У дробів і загальний знаменник 15.

Спільним знаменником дробів може бути будь-яке спільне кратне їх знаменників. Для простоти дробу призводять до найменшого спільного знаменника. Він дорівнює найменшому загальному кратному знаменників цих дробів.

приклад. Привести до найменшого спільного знаменника дробу та .

Спочатку знайдемо найменше загальне кратне знаменників цих дробів. Це число 12. Знайдемо додатковий множник для першого і другого дробу. Для цього 12 розділимо на 4 і на 6. Три – це додатковий множник для першого дробу, а два – для другого. Наведемо дроби до знаменника 12.

Ми привели дроби і до спільного знаменника, тобто ми знайшли рівні їм дроби, у яких один і той самий знаменник.

Правило.Щоб привести дроби до найменшого спільного знаменника, треба

По-перше, знайти найменше загальне кратне знаменників цих дробів, воно і буде їх найменшим спільним знаменником;

По-друге, розділити найменший спільний знаменник на знаменники цих дробів, тобто знайти для кожного дробу додатковий множник.

По-третє, помножити чисельник і знаменник кожного дробу на його додатковий множник.

а) Привести до спільного знаменника дробу та .

Найменший загальний знаменник дорівнює 12. Додатковий множник для першого дробу – 4, для другого – 3. Наводимо дроби до знаменника 24.

б) Привести до спільного знаменника дробу та .

Найменший загальний знаменник дорівнює 45. Розділивши 45 на 9 на 15 отримаємо, відповідно, 5 і 3. Наводимо дроби до знаменника 45.

в) Привести до спільного знаменника дробу та .

Загальний знаменник – 24. Додаткові множники, відповідно, – 2 та 3.

Іноді буває важко підібрати усно найменше загальне кратне знаменників цих дробів. Тоді загальний знаменник та додаткові множники знаходять за допомогою розкладання на прості множники.

Привести до спільного знаменника дробу та .

Розкладемо числа 60 та 168 на прості множники. Випишемо розкладання числа 60 і додамо множники 2 і 7 з другого розкладання. Помножимо 60 на 14 і отримаємо загальний знаменник 840. Додатковий множник для першого дробу – це 14. Додатковий множник для другого дробу – 5. Приведемо дроби до спільного знаменника 840.

Список літератури

1. Віленкін Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С. та ін Математика 6. – К.: Мнемозіна, 2012.

2. Мерзляк А.Г., Полонський В.В., Якір М.С. Математика 6 клас. – Гімназія, 2006.

3. Депман І.Я., Віленкін Н.Я. За сторінками підручника з математики. – Просвітництво, 1989.

4. Рурукін О.М., Чайковський І.В. Завдання з курсу математики 5-6 клас. – ЗШ МІФІ, 2011.

5. Рурукін А.М., Сочілов С.В., Чайковський К.Г. Математика 5-6. Посібник для учнів 6-х класів заочної школи МІФІ. – ЗШ МІФІ, 2011.

6. Шеврін Л.М., Гейн А.Г., Коряков І.О. та ін Математика: Підручник-співрозмовник для 5-6 класів середньої школи. Бібліотека вчителя математики. – Просвітництво, 1989.

Можна завантажити книги, зазначені у п.1.2. цього уроку.

Домашнє завдання

Віленкін Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С. та ін Математика 6. - М.: Мнемозіна, 2012. (Посилання див. 1.2)

Домашнє завдання: №297, №298, №300.

Інші завдання: №270, №290

Щоб зрозуміти, як множити десяткові дроби, розглянемо конкретні приклади.

Правило множення десяткових дробів

1) Примножуємо, не звертаючи уваги на кому.

2) У результаті відокремлюємо після коми стільки цифр, скільки їх після ком в обох множниках разом.

Приклади.

Знайти добуток десяткових дробів:

Щоб помножити десяткові дроби, множимо, не звертаючи уваги на коми. Тобто ми множимо не 6,8 і 3,4, а 68 і 34. У результаті відокремлюємо після коми стільки цифр, скільки їх після ком в обох множниках разом. У першому множнику після коми одна цифра, у другому теж одна. Отже, відокремлюємо після коми дві цифри. Отже, отримали остаточну відповідь: 6,8∙3,4=23,12.

Примножуємо десяткові дроби, не беручи до уваги кому. Тобто фактично замість множення 36,85 на 1,14 ми множимо 3685 на 14. Отримуємо 51590. Тепер у цьому результаті треба відокремити комою стільки цифр, скільки їх в обох множниках разом. У першому числі після коми дві цифри, у другому одна. Отже, відокремлюємо комою три цифри. Оскільки в кінці запису після коми стоїть нуль, у відповідь ми його не пишемо: 36,85 1,4 = 51,59.

Щоб помножити ці десяткові дроби, помножимо числа, не звертаючи уваги на коми. Тобто множимо натуральні числа 2315 і 7. Отримуємо 16205. У цьому числі потрібно відокремити після коми чотири цифри - стільки, скільки їх в обох множниках разом (у кожному - по два). Остаточна відповідь: 23,15∙0,07=1,6205.

Примноження десяткового дробу на натуральне число виконується аналогічно. Множимо числа, не звертаючи уваги на кому, тобто 75 множимо на 16. В отриманому результаті після коми має стояти стільки ж знаків, скільки їх в обох множниках разом один. Таким чином, 75∙1,6=120,0=120.

Множення десяткових дробів починаємо з того, що множимо натуральні числа, тому що на коми не звертаємо уваги. Після цього відокремлюємо після коми стільки цифр, скільки в обох множниках разом. У першому числі після коми два знаки, у другому теж два. Отже, в результаті після коми має стояти чотири цифри: 4,72 ∙ 5,04 = 23,7888.

Розмноження десяткових дробіввідбувається у три етапи.

Десяткові дроби записують у стовпчик і множать як прості числа.

Вважаємо кількість знаків після коми у першого десяткового дробу та у другому. Їхню кількість складаємо.

В отриманому результаті відраховуємо праворуч наліво стільки ж цифр, скільки вийшло їх у пункті вище і ставимо кому.

Як множити десяткові дроби

Записуємо десяткові дроби в стовпчик і множимо їх як натуральні числа, не звертаючи уваги на коми. Тобто 3,11 ми розглядаємо як 311, а 0,01 як 1.

Отримали 311 . Тепер вважаємо кількість знаків (цифр) після коми обох дробів. У першому десятковому дробі два знаки і в другому - два. Загальна кількість цифр після ком:

Відраховуємо праворуч ліворуч 4 знаки (цифри) у отриманого числа. В отриманому результаті цифр менше, ніж потрібно відокремити комою. У такому разі потрібно зліваприписати недостатнє число нулів.

У нас не вистачає однієї цифри, тому приписуємо ліворуч один нуль.

При множенні будь-якого десяткового дробуна 10; 100; 1000 і т.д. кома в десятковому дробі переміщається вправо на стільки знаків, скільки нулів коштує після одиниці.

70,1 · 10 = 701

0,023 · 100 = 2,3

5,6 · 1000 = 5600

Щоб помножити десятковий дріб на 0,1; 0,01; 0,001 і т.д., треба в цьому дробі перенести кому вліво на стільки знаків, скільки нулів стоїть перед одиницею.

Вважаємо і нуль цілих!

• 12 · 0,1 = 1,2
• 0,05 · 0,1 = 0,005
• 1,256 · 0,01 = 0,012 56

Щоб зрозуміти, як множити десяткові дроби, розглянемо конкретні приклади.

Правило множення десяткових дробів

1) Примножуємо, не звертаючи уваги на кому.

2) У результаті відокремлюємо після коми стільки цифр, скільки їх після ком в обох множниках разом.

Знайти добуток десяткових дробів:

Щоб помножити десяткові дроби, множимо, не звертаючи уваги на коми. Тобто ми множимо не 6,8 і 3,4, а 68 і 34. У результаті відокремлюємо після коми стільки цифр, скільки їх після ком в обох множниках разом. У першому множнику після коми одна цифра, у другому – теж одна. Отже, відокремлюємо після коми дві цифри. Отже, отримали остаточну відповідь: 6,8∙3,4=23,12.

Примножуємо десяткові дроби, не беручи до уваги кому. Тобто фактично замість множення 36,85 на 1,14 ми множимо 3685 на 14. Отримуємо 51590. Тепер у цьому результаті треба відокремити комою стільки цифр, скільки їх в обох множниках разом. У першому числі після коми дві цифри, у другому – одна. Отже, відокремлюємо комою три цифри. Оскільки в кінці запису після коми стоїть нуль, у відповідь ми його не пишемо: 36,85 1,4 = 51,59.

Щоб помножити ці десяткові дроби, помножимо числа, не звертаючи уваги на коми. Тобто множимо натуральні числа 2315 та 7. Отримуємо 16205. У цьому числі потрібно відокремити після коми чотири цифри – стільки, скільки їх в обох множниках разом (у кожному – по два). Остаточна відповідь: 23,15∙0,07=1,6205.

Примноження десяткового дробу на натуральне число виконується аналогічно. Множимо числа, не звертаючи уваги на кому, тобто 75 множимо на 16. В отриманому результаті після коми має стояти стільки ж знаків, скільки їх в обох множниках разом – один. Таким чином, 75∙1,6=120,0=120.

Множення десяткових дробів починаємо з того, що множимо натуральні числа, тому що на коми не звертаємо уваги. Після цього відокремлюємо після коми стільки цифр, скільки в обох множниках разом. У першому числі після коми два знаки, у другому – теж два. Отже, в результаті після коми має стояти чотири цифри: 4,72 ∙ 5,04 = 23,7888.

І ще пара прикладів на множення десяткових дробів:

www.for6cl.uznateshe.ru

Розмноження десяткових дробів, правила, приклади, рішення.

Переходимо до вивчення наступної дії з десятковими дробами, зараз ми всебічно розглянемо множення десяткових дробів. Спочатку обговоримо загальні принципимноження десяткових дробів. Після цього перейдемо до множення десяткового дробу на десятковий дріб, покажемо, як виконується множення десяткових дробів стовпчиком, розглянемо рішення прикладів. Далі розберемо множення десяткових дробів на натуральні числа, зокрема 10, 100 тощо. На закінчення поговоримо про множення десяткових дробів на звичайні дроби та змішані числа.

Відразу скажемо, що в цій статті ми говоритимемо лише про множення позитивних десяткових дробів (див. негативні числа). Інші випадки розібрані у статтях множення раціональних чиселі множення дійсних чисел.

Навігація на сторінці.

Загальні принципи множення десяткових дробів

Обговоримо загальні принципи, яких слід дотримуватись під час проведення множення з десятковими дробами.

Оскільки кінцеві десяткові дроби та нескінченні періодичні дроби є десятковою формою запису звичайних дробів, то множення таких десяткових дробів насправді є множенням звичайних дробів. Іншими словами, множення кінцевих десяткових дробів, множення кінцевого та періодичного десяткових дробів, а також множення періодичних десяткових дробівзводиться до множення звичайних дробів після переведення десяткових дробів у звичайні.

Розглянемо приклади застосування озвученого принципу множення десяткових дробів.

Виконайте множення десяткових дробів 1,5 та 0,75.

Замінимо десяткові дроби, що множаться, відповідними звичайними дробами. Так як 1,5 = 15/10 і 0,75 = 75/100, то. Можна провести скорочення дробу, після чого виділити цілу частину неправильного дробу, а зручніше отриману звичайний дріб 1 125/1 000 записати у вигляді десяткового дробу 1,125.

Слід зазначити, що кінцеві десяткові дроби зручно множити стовпчиком, про спосіб множення десяткових дробів ми поговоримо у наступному пункті.

Розглянемо приклад множення періодичних десяткових дробів.

Обчисліть добуток періодичних десяткових дробів 0,(3) та 2,(36) .

Виконаємо переведення періодичних десяткових дробів у звичайні дроби:

Тоді. Можна отриманий звичайний дріб перевести в десятковий дріб:


Якщо серед десяткових дробів, що множаться, присутні нескінченні неперіодичні, то всі множені дроби, у тому числі кінцеві і періодичні, слід округлити до деякого розряду (дивіться округлення чисел), після чого виконувати множення отриманих після округлення кінцевих десяткових дробів.

Виконайте множення десяткових дробів 5,382 і 0,2.

Спочатку округлимо нескінченну неперіодичну десяткову дріб, округлення можна провести до сотих, маємо 5,382 ... 5,38. Кінцевий десятковий дріб 0,2 округляти до сотих немає потреби. Таким чином, 5,382 ... 0,2 5,38 0,2 . Залишилося обчислити добуток кінцевих десяткових дробів: 5,38 · 0,2 = 538 / 100 · 2 / 10 = 1076 / 1000 = 1,076.

Розмноження десяткових дробів стовпчиком

Множення кінцевих десяткових дробів можна виконувати стовпчиком, аналогічно до множення стовпчиком натуральних чисел.

Сформулюємо правило множення десяткових дробів стовпчиком. Щоб помножити десяткові дроби стовпчиком, треба:

• не звертаючи уваги на коми, виконати множення за всіма правилами множення стовпчиком натуральних чисел;
• в отриманому числі відокремити десятковою комою стільки цифр праворуч, скільки десяткових знаків в обох множниках разом, при цьому якщо у творі не вистачає цифр, то ліворуч потрібно дописати потрібна кількістьнулів.

Розглянемо приклади множення десяткових дробів стовпчиком.

Виконайте множення десяткових дробів 63,37 та 0,12.

Проведемо множення десяткових дробів стовпчиком. Спочатку множимо числа, не звертаючи уваги на коми:


Залишилося в отриманому творі поставити кому. Їй потрібно відокремити 4 цифри праворуч, тому що в множниках у сумі чотири десяткові знаки (два в дробі 3,37 і два в дробі 0,12). Цифр там вистачає, тож нулів зліва дописувати не доведеться. Закінчимо запис:


У результаті маємо 3,37 · 0,12 = 7,6044.

Обчисліть добуток десяткових дробів 3,2601 і 0,0254.

Виконавши множення стовпчиком без урахування ком, отримуємо наступну картину:


Тепер у творі потрібно відокремити комою 8 цифр праворуч, оскільки Загальна кількістьдесяткових знаків дробів, що множаться, дорівнює восьми. Але у творі лише 7 цифр, тому потрібно зліва приписати стільки нулів, щоб можна було відокремити комою 8 цифр. У нашому випадку потрібно приписати два нулі:


На цьому множення десяткових дробів стовпчиком закінчено.

Розмноження десяткових дробів на 0,1, 0,01, і т.д.

Досить часто доводиться множити десяткові дроби на 0,1, 0,01 тощо. Тому доцільно сформулювати правило множення десяткового дробу на ці числа, яке випливає із розглянутих вище принципів множення десяткових дробів.

Отже, множення цього десяткового дробу на 0,1, 0,01, 0,001 і так далідає дріб, який виходить з вихідного, якщо в його записі перенести кому вліво на 1 , 2 , 3 і так далі цифр відповідно, при цьому якщо не вистачає цифр для перенесення коми, то потрібно зліва дописати необхідна кількістьнулів.

Наприклад, щоб помножити десятковий дріб 54,34 на 0,1, треба в дроби 54,34 перенести кому вліво на 1 цифру, при цьому вийде дріб 5,434, тобто, 54,34 · 0,1 = 5,434. Наведемо ще один приклад. Помножимо десятковий дріб 9,3 на 0,0001. Для цього нам потрібно в десятковому дробі 9,3, що множиться, перенести кому на 4 цифри вліво, але запис дробу 9,3 не містить такої кількості знаків. Тому нам потрібно в записі дробу 9,3 зліва приписати стільки нулів, щоб можна було безперешкодно здійснити перенесення коми на 4 цифри, маємо 9,3 · 0,0001 = 0,00093.

Зауважимо, що озвучене правило множення десяткового дробу на 0,1, 0,01... справедливе і для нескінченних десяткових дробів. Наприклад, 0,(18)·0,01=0,00(18) чи 93,938…·0,1=9,3938… .

Розмноження десяткового дробу на натуральне число

За своєю суттю множення десяткових дробів на натуральні числанічим не відрізняється від множення десяткового дробу на десятковий дріб.

Кінцевий десятковий дріб множити на натуральне число найзручніше стовпчиком, при цьому слід дотримуватися правил множення стовпчиком десяткових дробів, розглянутих в одному з попередніх пунктів.

Обчисліть добуток 15·2,27.

Проведемо множення натурального числа на десятковий дріб стовпчиком:


При множенні періодичного десяткового дробу на натуральне число, періодичний дрібслід замінити звичайним дробом.

Помножте десятковий дріб 0,(42) на натуральне число 22 .

Спочатку переведемо періодичний десятковий дріб у звичайний дріб:

Тепер виконаємо множення: . Цей результат у вигляді десяткового дробу має вигляд 9(3) .

А при множенні нескінченного неперіодичного десяткового дробу на натуральне число потрібно попередньо провести заокруглення.

Виконайте множення 4·2,145… .

Округливши до сотих вихідний нескінченний десятковий дріб, ми прийдемо до множення натурального числа та кінцевого десяткового дробу. Маємо 4 · 2,145 ... - 4 · 2,15 = 8,60.

Розмноження десяткового дробу на 10, 100, …

Досить часто доводиться множити десяткові дроби на 10, 100... Тому доцільно докладно зупинитися на цих випадках.

Озвучимо правило множення десяткового дробу на 10, 100, 1000 і т.д.При множенні десяткового дробу на 10, 100, … у його записи потрібно перенести кому вправо на 1, 2, 3, … цифри відповідно і відкинути зайві нулі зліва; якщо в записі дробу, що множиться, не вистачає цифр для перенесення коми, то потрібно дописати необхідну кількість нулів праворуч.

Помножте десятковий дріб 0,0783 на 100 .

Перенесемо в записі дробу 0,0783 на дві цифри праворуч, при цьому отримаємо 007,83. Відкинувши два нулі зліва, отримуємо десятковий дріб 7,38 . Таким чином, 0,0783 · 100 = 7,83.

Виконайте множення десяткового дробу 0,02 на 10 000 .

Щоб помножити 0,02 на 10 000, нам потрібно перенести кому на 4 цифри праворуч. Очевидно, в записі дробу 0,02 не вистачає цифр для перенесення коми на 4 цифри, тому допишемо кілька нулів праворуч, щоб можна було здійснити перенесення коми. У нашому прикладі достатньо дописати три нулі, маємо 0,02000. Після перенесення коми отримаємо запис 00200,0. Відкинувши нулі зліва, маємо число 200,0 , яке дорівнює натуральному числу 200 воно і є результатом множення десяткового дробу 0,02 на 10 000 .

Озвучене правило справедливе й у множення нескінченних десяткових дробів на 10, 100, … При множенні періодичних десяткових дробів треба бути обережними з періодом дробу, що є результатом множення.

Помножте періодичний десятковий дріб 5,32(672) на 1000 .

Перед множенням розпишемо періодичний десятковий дріб як 5,32672672672… це нам дозволить не допустити помилки. Тепер перенесемо кому вправо на 3 знаки, маємо 5326,726726 ... . Таким чином, після множення виходить періодичний десятковий дріб 5326, (726) .

5,32 (672) · 1000 = 5326, (726) .

При множенні нескінченних неперіодичних дробівна 10, 100, … потрібно попередньо провести округлення нескінченного дробудо деякого розряду, після чого проводити множення.

Розмноження десяткового дробу на звичайний дріб або змішане число

Для множення кінцевого десяткового дробу або нескінченного періодичного десяткового дробу на звичайний дріб або змішане число, Треба десятковий дріб подати у вигляді звичайного дробу, після чого провести множення.

Проведіть множення десяткового дробу 0,4 на змішане число.

Так як 0,4 = 4/10 = 2/5 і, то. Отримане число можна записати у вигляді періодичного десяткового дробу 1,5 (3).

При множенні нескінченного неперіодичного десяткового дробу на звичайний дріб або змішане число, звичайний дріб або змішане число слід замінити десятковим дробом, після чого провести округлення дробів, що множаться, і закінчити обчислення.

Оскільки 2/3=0,6666… , то. Після округлення дробів, що множаться до тисячних, приходимо до добутку двох кінцевих десяткових дробів 3,568 і 0,667 . Виконаємо множення у стовпчик:


Отриманий результат слід округлити до тисячних, так як дроби, що множилися, були взяті з точністю до тисячних, маємо 2,379856-2,380 .

www.cleverstudents.ru

29. Примноження десяткових дробів. Правила




Знайдемо площу прямокутника зі сторонами рівними
1,4 дм та 0,3 дм. Переведемо дециметри до сантиметрів:

1,4 дм = 14 см; 0,3 дм = 3 див.

Тепер обчислимо площу в сантиметрах.

S = 143 = 42 см 2 .

Перекладемо квадратні сантиметри у квадратні
дециметри:

дм2 = 0,42 дм2.

Значить, S = 1,4 дм 0,3 дм = 0,42 дм2.

Розмноження двох десяткових дробів виконується так:
1) числа перемножуються без урахування ком.
2) кома у творі ставиться так, щоб відокремити праворуч
стільки ж знаків, скільки відокремлено в обох множниках
разом узятих. Наприклад:

1,1 0,2 = 0,22 ; 1,1 1,1 = 1,21 ; 2,2 0,1 = 0,22 .

Приклади множення десяткових дробів у стовпчик:



Замість множення будь-якого числа на 0,1; 0,01; 0,001,
можна розділити це число на 10; 100; чи 1000 відповідно.
Наприклад:

22 0,1 = 2,2 ; 22: 10 = 2,2 .

При множенні десяткового дробу на натуральне число ми повинні:

1) перемножити числа, не звертаючи уваги на кому;

2) в отриманому творі поставити кому так, щоб праворуч
від неї було стільки ж цифр, скільки в десятковому дробі.

Знайдемо твір 3,12 10 . За вказаним вище правилом
спочатку множимо 312 на 10 . Отримаємо: 312 10 = 3120 .
А тепер відокремлюємо комою дві цифри праворуч і отримуємо:

3,12 10 = 31,20 = 31,2 .

Отже, при множенні 3,12 на 10 ми перенесли кому на одну
цифру праворуч. Якщо помножити 3,12 на 100, то отримаємо 312, тобто
кому перенесли на дві цифри праворуч.

3,12 100 = 312,00 = 312 .

При множенні десяткового дробу на 10 100 1000 і т. д. треба
у цьому дробі перенести кому вправо на стільки знаків, скільки нулів
стоїть у множнику. Наприклад:

0,065 1000 = 0065, = 65 ;

2,9 1000 = 2,900 1000 = 2900, = 2900 .

Завдання на тему «Умноження десяткових дробів»

school-assistant.ru

Додавання, віднімання, множення та розподіл десяткових дробів

Складання та віднімання десяткових дробів аналогічно до складання та віднімання натуральних чисел, але з певними умовами.

Правило. проводиться за розрядами цілої та дробової частини як натуральних чисел.

При письмовому складання та віднімання десяткових дробівкома, що відокремлює цілу частину від дробової, повинна знаходитися у доданків і суми або у зменшуваного, віднімається і різниці в одному стовпці (кома під комою від запису умови до кінця обчислення).

Додавання та віднімання десяткових дробіву рядок:

243,625 + 24,026 = 200 + 40 + 3 + 0,6 + 0,02 + 0,005 + 20 + 4 + 0,02 + 0,006 = 200 + (40 + 20) + (3 + 4)+ 0,6 + (0,02 + 0,02) + (0,005 + 0,006) = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,04 + 0,011 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + (0,04 + 0,01) + 0,001 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,05 + 0,001 = 267,651

843,217 - 700,628 = (800 - 700) + 40 + 3 + (0,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + (1,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + (0,11 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,09 + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + (0,017 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + 0,009 = 142,589

Додавання та віднімання десяткових дробіву стовпчик:

Додавання десяткових дробів вимагає верхнього додаткового рядка для запису чисел, коли сума розряду переходить через десяток. Віднімання десяткових дробів вимагає верхнього додаткового рядка для того, щоб відзначити розряд, в якому позичається 1.

Якщо праворуч від доданку або зменшуваного не вистачає розрядів дробової частини, то праворуч у дробовій частині можна дописувати стільки нулів (збільшувати розрядність дробової частини), скільки розрядів в іншому доданку або зменшуваному.

Розмноження десяткових дробівпроводиться так само, як і множення натуральних чисел, за тими ж правилами, але у творі ставиться кома за сумою розрядів множників у дробовій частині, рахуючи праворуч наліво (сума розрядів множників - це кількість розрядів після коми у множників, разом узятих).

При множення десяткових дробівв стовпчик перша справа цифра підписується під першою справа цифрою, як і в натуральних числах:

Запис множення десяткових дробіву стовпчик:

Запис поділу десяткових дробіву стовпчик:

Підкреслені знаки - це знаки, за які переноситься кома, тому що дільник має бути цілим числом.

Правило. При розподілу дробівдільник десяткового дробу збільшується на стільки розрядів, скільки розрядів у його дробовій частині. Щоб дріб не змінилася, на стільки ж розрядів збільшується і подільне (у поділеному і дільнику кома переноситься на те саме число знаків). Кома ставиться у приватному тому етапі поділу, коли ціла частинадробу поділено.

Для десяткових дробів, як і для натуральних чисел, зберігається правило: на нуль десятковий дріб ділити не можна!

На минулому уроці ми навчилися складати та віднімати десяткові дроби (див. урок «Складання та віднімання десяткових дробів»). Заодно оцінили, наскільки спрощуються обчислення порівняно із звичайними двоповерховими дробами.

На жаль, з множенням та розподілом десяткових дробів подібного ефекту не виникає. У деяких випадках десятковий запис числа навіть ускладнює ці операції.

Спочатку введемо нове визначення. Ми зустрічатимемося з ним досить часто, і не лише на цьому уроці.

Значна частина числа - це все, що знаходиться між першою та останньою ненульовою цифрою, включаючи кінці. Мова йдетільки про цифри, десяткова точка не враховується.

Цифри, що входять до значущої частини числа, називаються значущими цифрами. Вони можуть повторюватися і навіть дорівнювати нулю.

Наприклад, розглянемо кілька десяткових дробів та випишемо відповідні їм значущі частини:

1. 91,25 → 9125 (значні цифри: 9; 1; 2; 5);
2. 0,008241 → 8241 (значні цифри: 8; 2; 4; 1);
3. 15,0075 → 150075 (значні цифри: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
4. 0,0304 → 304 (значні цифри: 3; 0; 4);
5. 3000 → 3 (значна цифра лише одна: 3).

Зверніть увагу: нулі, що стоять усередині значущої частини числа, нікуди не подіються. Ми вже стикалися з чимось подібним, коли вчилися переводити десяткові дроби у звичайні (див. урок «Десятичні дроби»).

Цей момент настільки важливий, а помилки тут припускаються так часто, що найближчим часом я опублікую тест на цю тему. Обов'язково потренуйтесь! А ми, озброївшись поняттям значущої частини, почнемо, власне, тему уроку.

Розмноження десяткових дробів

Операція множення складається із трьох послідовних кроків:

1. Для кожного дробу виписати значну частину. Вийдуть два звичайних цілих числа - без усіляких знаменників та десяткових точок;
2. Помножити ці числа будь-яким зручним способом. Безпосередньо, якщо числа невеликі, або стовпчиком. Отримаємо значну частину шуканого дробу;
3. З'ясувати, куди і скільки розрядів зрушується десяткова точка у вихідних дробах щоб одержати відповідної значущої частини. Виконати зворотні зрушення для частини, отриманої на попередньому кроці.

Ще раз нагадаю, що нулі, що стоять з обох боків від значущої частини, ніколи не враховуються. Ігнорування цього правила призводить до помилок.

1. 0,28 · 12,5;
2. 6,3 · 1,08;
3. 132,5 · 0,0034;
4. 0,0108 · 1600,5;
5. 5,25 · 10 000.

Працюємо з першим виразом: 0,28 · 12,5.

1. Випишемо значущі частини для чисел із цього виразу: 28 і 125;
2. Їх добуток: 28 · 125 = 3500;
3. У першому множнику десяткову точку зсунуто на 2 цифри вправо (0,28 → 28), а в другій - ще на 1 цифру. Усього потрібен зрушення вліво на три цифри: 3500 → 3,500 = 3,5.

Тепер розберемося з виразом 6,3 · 1,08.

1. Випишемо значущі частини: 63 та 108;
2. Їх добуток: 63 · 108 = 6804;
3. Знову два зсуви вправо: на 2 та 1 цифру відповідно. Усього – знову 3 цифри вправо, тому зворотний зсув буде на 3 цифри вліво: 6804 → 6,804. На цей раз нулів на кінці немає.

Дісталися третього виразу: 132,5 · 0,0034.

1. Значні частини: 1325 та 34;
2. Їх добуток: 1325 · 34 = 45050;
3. У першому дробі десяткова точка йде вправо на 1 цифру, а в другому - на цілих 4. Разом: 5 вправо. Виконуємо зсув на 5 вліво: 45050 → ,45050 = 0,4505. Наприкінці прибрали нуль, а спереду дописали, щоб не залишати «голу» десяткову точку.

Наступний вираз: 0,0108 · 1600,5.

1. Пишемо значущі частини: 108 та 16 005;
2. Примножуємо їх: 108 · 16005 = 1728540;
3. Вважаємо цифри після десяткової точки: у першому числі їх 4, у другому – 1. Усього – знову 5. Маємо: 1 728 540 → 17,28540 = 17,2854. Наприкінці забрали «зайвий» нуль.

Нарешті, останній вираз: 5,25 · 10 000.

1. Значні частини: 525 та 1;
2. Примножуємо їх: 525 · 1 = 525;
3. У першому дробі виконано зрушення на 2 цифри праворуч, а у другому - на 4 цифри ліворуч (10 000 → 1,0000 = 1). Разом 4 − 2 = 2 цифри вліво. Виконуємо зворотний зсув на 2 цифри вправо: 525 → 52 500 (довелося дописати нулі).

Зверніть увагу на останній приклад: оскільки десяткова точка переміщається у різних напрямках, сумарний зсув перебуває через різницю. Це дуже важливий момент! Ось ще приклад:

Розглянемо числа 1,5 та 12 500. Маємо: 1,5 → 15 (зрушення на 1 вправо); 12500 → 125 (зсув на 2 вліво). Ми крокуємо на 1 розряд праворуч, а потім - на 2 ліворуч. У результаті, ми зробили крок на 2 − 1 = 1 розряд вліво.

Розподіл десяткових дробів

Поділ - це, мабуть, найбільш складна операція. Звичайно, тут можна діяти за аналогією з множенням: ділити значні частини, а потім рухати десяткову точку. Але в цьому випадку виникає багато тонкощів, які зводять нанівець потенційну економію.

Тому давайте розглянемо універсальний алгоритм, який трохи довший, але набагато надійніший:

1. Перекласти всі десяткові дроби на звичайні. Якщо трохи потренуватися, на цей крок у вас будуть йти лічені секунди;
2. Розділити отримані дроби класичним способом. Іншими словами, помножити перший дріб на «перевернутий» другий (див. урок «Множення та розподіл числових дробів»);
3. Якщо можливо, результат знову подати у вигляді десяткового дробу. Цей крок теж виконується швидко, оскільки найчастіше у знаменнику вже стоїть ступінь десятки.

Завдання. Знайдіть значення виразу:

1. 3,51: 3,9;
2. 1,47: 2,1;
3. 6,4: 25,6:
4. 0,0425: 2,5;
5. 0,25: 0,002.

Вважаємо перший вираз. Для початку переведемо обидва дроби в десяткові:

Аналогічно надійдемо з другим виразом. Чисельник першого дробу знову розкладеться на множники:

У третьому та четвертому прикладах є важливий момент: після позбавлення від десяткового запису виникають скорочені дроби. Однак ми не будемо виконувати це скорочення.

Останній приклад цікавий тим, що у чисельнику другого дробу стоїть просте число. Тут просто нема чого розкладати на множники, тому вважаємо «напролом»:

Іноді в результаті поділу виходить ціле число (це про останній приклад). У такому разі третій крок взагалі не виконується.

Крім того, при розподілі часто виникають «некрасиві» дроби, які не можна перевести в десяткові. Цим розподіл відрізняється від множення, де результати завжди представні у десятковій формі. Зрозуміло, у такому разі останній крок знову ж таки не виконується.

Зверніть також увагу на 3-й та 4-й приклади. У них ми навмисно не скорочуємо звичайні дробиотримані з десяткових. Інакше це ускладнить зворотне завдання- Подання кінцевої відповіді знову в десятковому вигляді.

Запам'ятайте: основна властивість дробу (як і будь-яке інше правило в математиці) саме по собі ще не означає, що його треба застосовувати скрізь і завжди, за будь-якої зручної нагоди.