Презентація по темі комбінаторика. Презентація на тему: Елементи Комбінаторики! Застосування теорії графів

1 слайд

Не треба нам володіти мечем, Не шукаємо слави гучної. Той перемагає, хто знайомий З мистецтвом мислити, тонким. Англійський поет Уордсворт

2 слайд

Мета роботи Завдання роботи Що ж таке «Комбінаторика»? Історія виникнення Правила вирішення комбінаторних завдань Правило суми Правило твору Комбінації З повтореннями Без повторень Тезаурус Список використаної літератури та web-ресурсів Висновок Сторінка автора

3 слайд

Створити довідковий посібник для учнів 10-11 класів, які навчаються на базовому рівні, навчальних закладів. Підготувати першу частину великого проекту «Теорія ймовірності як найпоширеніше в нашому житті явище».

4 слайд

1.1 Підібрати літературу та web – ресурси на тему «Комбінаторика». 1.2. Дослідити всі можливі методи вирішення комбінаторних завдань на основі реального життя. 1.3 Простежити історію виділення самостійної галузі математики – комбінаторики. 2.1 Обґрунтувати вивчення курсу комбінаторики у старшій школі як реальну необхідність при здійсненні курсу принципу безперервності освіти «Школа – вуз». 2.2 Намітити можливі варіанти запровадження курсу комбінаторики в шкільний освітній простір. 2.3. Підібрати матеріал для створення довідника.

5 слайд

Людині часто доводиться мати справу із завданнями, в яких потрібно підрахувати число всіх можливих способів розташування деяких предметів або число всіх можливих способів здійснення певної дії. Різні шляхи чи варіанти, які доводиться вибирати людині, складаються у найрізноманітніші комбінації. Такі завдання доводиться розглядати щодо найбільш вигідних комунікацій усередині міста, з організацією автоматичної системи управління, отже й у теорії ймовірностей, й у математичної статистиці з усіма їх численними додатками. І цілий розділ математики, званий комбінаторикою, зайнятий пошуком відповіді питання: скільки всього є комбінацій у тому чи іншому випадку.

6 слайд

Комбінаторика – це розділ математики, у якому досліджуються і вирішуються завдання вибору елементів з вихідної множини та розташування їх у певній комбінації, складеної за заданими правилами.

7 слайд

Комбінаторика як наука почала розвиватися в XIII ст. паралельно із виникненням теорії ймовірностей. Перші наукові дослідження на цю тему належать італійським ученим Дж. Кардано, Н. Чартальє (1499-1557), Г. Галілею (1564-1642) та французьким ученим Б. Піскамо (1623-1662) та П. Ферма. Комбінаторику як самостійний розділ математики першим став розглядати німецький вчений Г. Лейбніц у своїй роботі «Про мистецтво комбінаторики», опублікованій в 1666р. Він також уперше ввів термін "Комбінаторика".

8 слайд

9 слайд

Завдання: На столі лежать 3 чорні та 5 червоні олівці. Скільки можна вибрати олівець будь-якого кольору? Рішення: Вибрати олівець будь-якого кольору можна 5+3=8 способами. Правило суми в комбінаториці: Якщо елемент а можна вибрати m способами, а елемент - n способами, причому будь-який вибір елемента а відмінний від будь-якого вибору елементів, то вибір «а або в» можна зробити m+n способами. Приклади завдань

10 слайд

Завдання: У класі 10 учнів займаються спортом, решта 6 учнів відвідує танцювальний гурток. 1) Скільки пар учнів можна вибрати так, щоб один із пари був спортсменом, інший танцюристом? 2) Скільки можливостей вибору одного учня? Рішення: 1) Можливість вибору спортсменів 10, але в кожного з 10 спортсменів виборів танцюриста 6. Отже, можливість вибору пар танцюриста і спортсмена 10·6=60. 2) Можливість вибору одного учня 10+6=16.

11 слайд

Завдання: З міста А до міста В ведуть 3 дороги. А з міста В до міста С ведуть 4 дороги. Скільки шляхів, що проходять В, ведуть з А в С? Рішення: Можна міркувати таким чином: для кожної з трьох шляхів з А в є чотири способи вибору дороги з В в С. Всього різних шляхів з А в С дорівнює добутку 3 · 4, тобто. 12. Правило твору: Нехай потрібно вибрати елементи. Якщо перший елемент можна вибрати n1 способами, другий - n2 способами і т. д., то число способів до елементів, дорівнює добутку n1 n2 nк. Приклади завдань

12 слайд

Завдання: У шкільній їдальні є 2 перші, 5 других і 4 треті страви. Скільки способами учень може вибрати обід, що складається з перших, других та третіх страв? Рішення: Першу страву можна вибрати 2 способами. Для кожного вибору першої страви існує 5 других страв. Перші дві страви можна вибрати 2 5 = 10 способами. І, нарешті, для кожної 10 цих виборів є чотири можливості вибору третьої страви, тобто Існує 2 · 5 · 4 способів складання обіду з трьох страв. Отже, обід може бути складений 40 способами.

13 слайд

14 слайд

15 слайд

Розміщенням з n елементів по (к≤n) називається будь-яка безліч, що складається з будь-яких елементів, взятих в певному порядку з даних n елементів. Кількість всіх розміщень з n елементів m позначають: Приклади задач n! - Факторіал числа n

16 слайд

Завдання: Скільки способами 4 юнаки можуть запросити чотирьох із шести дівчат на танець? Рішення: Два юнаки не можуть одночасно запросити одну й ту саму дівчину. І варіанти, при яких одні й ті ж дівчата танцюють з різними юнаками, вважаються, різними, тому: Можливо 360 варіантів.

17 слайд

Перестановкою з n елементів називається кожне розташування цих елементів у порядку. Кількість всіх перестановок із n елементів позначають Pn Pn=n! Приклади завдань

18 слайд

Квартет Капуста Мавпа Осел, Козел, Та клишоногий Ведмедик Затіяли грати квартет … Стій, братці стій! - Кричить Мавпа, - зачекайте! Як йти музиці? Адже ви не так сидите ... І так, і так пересідали - знову музика на лад не йде. Ось ще дужче пішли в них розбори І суперечки, Кому і як сидіти… Рішення

20 слайд

Поєднанням без повторень називається таке розміщення, у якому порядок прямування елементів немає значення. Таким чином, кількість варіантів при поєднанні буде меншою за кількість розміщень. Число поєднань з n елементів m позначається: Приклади задач

21 слайд

Завдання: Скільки трикнопкових комбінацій існує на кодовому замку (всі три кнопки одночасно натискаються), якщо на ньому всього 10 цифр. Рішення: Оскільки кнопки натискаються одночасно, вибір цих трьох кнопок – поєднання. Звідси можливо:

22 слайд

Часто в задачах комбінаторики зустрічаються безлічі, в яких якісь компоненти повторюються. Наприклад: у задачах на числа – цифри. Для таких завдань використовуються формули: де n-кількість всіх елементів, n1, n2, ..., nr-кількість однакових елементів. Приклади задач Приклади задач

23 слайд

Завдання: Скільки трицифрових чисел можна становити з цифр 1, 2, 3, 4, 5? Рішення: Так як порядок цифр у числі суттєвий, цифри можуть повторюватися, то це будуть розміщення з повтореннями з п'яти елементів по три, а їх кількість дорівнює:

24 слайд

Завдання: У кондитерському магазині продавалися 4 сорти тістечок: еклери, пісочні, наполеони та листкові. Скільки можна купити 7 тістечок. Рішення: Купівля не залежить від того, в якому порядку укладають куплені тістечка в коробку. Покупки будуть різними, якщо вони відрізняються кількістю куплених тістечок хоча б одного ґатунку. Отже, кількість різних покупок дорівнює кількості поєднань чотирьох видів тістечок по сім -

27 слайд

Ми вважаємо, що робота досягла своєї мети. Ми склали довідковий навчальний посібник, який має на меті пожвавити шкільну математику введенням у неї цікавих завдань, посильних для учнів теоретичних питань. Робота призначена для учнів 10-11 класів, які навчаються на базовому рівні, освітніх закладів для поглиблення знань з математики. підбір та складання завдань на основі життєвого матеріалу, казкових сюжетів. Ми сподіваємося, що наша робота зацікавить учнів, допоможе розвитку їхнього кругозору та мислення, сприятиме більш якісній підготовці до складання єдиного державного іспиту.

28 слайд

Учень: Захаров Дмитро Клас: 10 Керівник: Торопова Ніна Анатоліївна МОУ «Середня освітня школа з поглибленим вивченням окремих предметів №5» м. Красноярська

Комбінаторика – розділ математики, у якому вивчаються питання, скільки різних комбінацій, підпорядкованих тим чи іншим умовам, можна скласти із заданих об'єктів.
Слово "комбінаторика" походить від латинського слова "combinare", що в перекладі на російську означає - "поєднувати", "з'єднувати".
Термін "комбінаторика" був запроваджений знаменитим Готфрідом Вільгельмом Лейбніцем, - всесвітньо відомим німецьким вченим.

Комбінаторика - важливий розділ математики,
знання якого необхідне представникам різних спеціальностей. З комбінаторними завданнями доводиться мати справу фізикам, хімікам, біологам, лінгвістам, фахівцям з кодів та ін.
Комбінаторні методи лежать в основі вирішення багатьох задач теорії
ймовірностей та
її додатків.

У Стародавній Греції

підраховували кількість різних комбінацій довгих і коротких складів у віршованих розмірах, займалися теорією фігурних чисел, вивчали фігури, які можна становити частин і т.д.

Згодом з'явилися різні ігри
(нарди, карти, шашки, шахи тощо)

У кожній із цих ігор доводилося розглядати різні поєднання фігур, і вигравав той, хто їх краще вивчав, знав виграшні комбінації та вмів уникати програшних.

Готфрід Вільгельм Лейбніц (1.07.1646 - 14.11.1716)

Комбінаторику як самостійний розділ математики першим став розглядати німецький вчений Г. Лейбніц у своїй роботі «Про мистецтво комбінаторики», опублікованій в 1666р. Він також уперше ввів термін "Комбінаторика".

Леонард Ейлер (1707-1783)

розглядав завдання про розбиття чисел, про паросполучення, циклічні розстановки, про побудову магічних і латинських квадратів, започаткував зовсім нову область досліджень, що згодом виросла у велику і важливу науку-топологію, яка вивчає загальні властивості простору та фігур.

Якщо деякий об'єкт A можна вибрати m способами, а інший об'єкт можна вибрати n способами, то вибір «або А, або В» можна здійснити (m+n) способами.

Якщо деякий об'єкт A можна вибрати m способами, а інший об'єкт можна вибрати n способами, то вибір «або А, або В» можна здійснити (m+n) способами.
При використанні правила суми треба стежити, щоб жоден із способів вибору об'єкта А не збігався з будь-яким способом вибору об'єкта.
Якщо такі збіги є, правило суми втрачає чинність, і ми отримуємо лише (m + n - k) способів вибору, де k-число збігів.

У коробці знаходиться 10 куль: 3 білі, 2 чорні, 1 синя і 4 червоні. Скільки способами можна взяти з ящика кольорову кулю?

У коробці знаходиться 10 куль: 3 білі, 2 чорні, 1 синя і 4 червоні. Скільки способами можна взяти з ящика кольорову кулю?
Рішення:
Кольорова куля – це синя або червона, тому застосуємо правило суми:

Якщо об'єкт А можна вибрати m способами і якщо після кожного такого вибору об'єкт можна вибрати n способами, то вибір пари (А,В) в зазначеному порядку можна здійснити mn способами.

Якщо об'єкт А можна вибрати m способами і якщо після кожного такого вибору об'єкт можна вибрати n способами, то вибір пари (А,В) в зазначеному порядку можна здійснити mn способами.
При цьому кількість способів вибору другого елемента не залежить від того, як обрано перший елемент.

Скільки може бути різних комбінацій, що випали

Скільки може бути різних комбінацій, що випали
граней при киданні двох гральних кісток?
Рішення:
На першій кістці можливо: 1,2,3,4,5 і 6 очок, тобто. 6 варіантів.
На другий – 6 варіантів.
Усього: 6 * 6 = 36 варіантів.

Правила суми та твори вірні для будь-якої кількості об'єктів.

№1. З міста А, а місто В ведуть 6 доріг, а з міста В до міста С – 3 дороги. Скільки способами можна проїхати з міста А до міста С?

№1. З міста А, а місто В ведуть 6 доріг, а з міста В до міста С – 3 дороги. Скільки способами можна проїхати з міста А до міста С?
№2. На книжковій полиці стоять 3 книги з алгебри, 7 з геометрії та 2 з літератури. Скільки можна взяти з полиці одну книгу з математики?
№3. У меню є 4 перші страви, 3 – другі, 2 – десерти. Скільки різних обідів можна з них скласти?

«Ен факторіал»-n!

Визначення.
Твір поспіль перших n
натуральних чисел позначають n! і називають
«Ен факторіал»: n! = 1 2 3 … (n-1) n.

1 2 3=

1 2 3 4=

1 2 3 4 5=

1 2 3 4 5 6=

1 2 3 4 5 6 7=

n! = (n-1)! n

Зручна формула!

Комбінації з n-елементів, що відрізняються один від одного лише порядком прямування елементів, називаються перестановками.

Комбінації з n-елементів, що відрізняються один від одного лише порядком прямування елементів, називаються перестановками.
Позначаються Рn

Перестановки

З чисел 1, 5, 9 скласти тризначне
число без цифр, що повторюються.

2 комбінації

2 комбінації

2 комбінації

Усього 2 3 = 6 комбінацій.

Комбінації з n-елементів по k, що відрізняються один від одного складом та порядком, називаються розміщеннями.

Комбінації з n-елементів по k, що відрізняються один від одного складом та порядком, називаються розміщеннями.

Розміщення

Комбінації з n-елементів по до до.

Комбінації з n-елементів по до, що відрізняються тільки складом елементів, називаються поєднаннями з n-елементів по до.

Поєднання

З 20 учнів треба обрати двох чергових.

З 20 учнів треба обрати двох чергових.
Скільки способами це можна зробити?

Рішення:

Треба вибрати двох людей із 20.
Зрозуміло, що від порядку вибору нічого не залежить, тобто
Іванов – Петров чи Петров – Іванов – це одна
і та сама пара чергових. Отже, це будуть поєднання із 20 по 2.

1. Скільки слів можна утворити з букв слова фрагмент, якщо слова повинні складатися: з 8 букв; із 7 літер; із 3 літер?

1. Скільки слів можна утворити з букв слова фрагмент, якщо слова повинні складатися: з 8 букв; із 7 літер; із 3 літер?
2. Студенту необхідно скласти 4 іспити протягом десяти днів. Скільки способами можна скласти йому розклад іспитів?
3. Скільки способів із восьми осіб можна обрати комісію, що складається з п'яти членів?
4. Скільки існує різних автомобільних номерів, які складаються з 5 цифр, якщо перша з них не дорівнює нулю? Якщо номер складається з однієї літери, за якою слідують чотири цифри, відмінні від нуля?
5. Підряднику потрібні 4 теслі, а до нього з пропозицією своїх послуг звернулися 10. Скільки способами він може вибрати серед них чотирьох?
6. Скільки способами можна розставити на полиці сім книг
7. Скільки 5-літерних слів можна утворити, використовуючи для цього 10 різних літер.
8. Скільки можна відібрати кілька фруктів з семи яблук, чотирьох лимонів і дев'яти апельсинів? (Фрукти одного виду вважаємо невиразними.)

Петров Володимир, учень 12 групи ДБОУ З НВО "Професійне училище №22" м. Саратова

У презентації розглянуто прем'єри розв'язання задач на знаходження перестановок, розміщень, поєднань.

Завантажити:

Попередній перегляд:

Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Елементи комбінаторики: перестановки, поєднання та розміщення Презентацію підготував студент 12 групи ГБОУ СО НВО Петров Володимир.

Комбінаторика – розділ математики, який зайнятий пошуками відповіді питання: скільки всього є комбінацій у тому чи іншому випадку, як із усіх цих комбінацій вибрати найкращу. Слово "комбінаторика" походить від латинського слова "combinare", що в перекладі на російську означає - "поєднувати", "з'єднувати". Термін "комбінаторика" був запроваджений знаменитим Готфрідом Вільгельмом Лейбніцем, - всесвітньо відомим німецьким вченим.

Комбінаторні завдання поділяються на декілька груп: Завдання на перестановки Завдання на розміщення Завдання на поєднання

Завдання на перестановки Скільки можна розставити 3 різні книги на книжковій полиці? Це завдання на перестановку

Запис n! читається так: «ен факторіал» Факторіал - це добуток всіх натуральних чисел від 1 до n Наприклад, 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24 n! = 1 · 2 · 3 · ... · n.

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n! 1 4 6 24 120 720 5040 40320 362880 3628800 Факторіали ростуть напрочуд швидко:

Завдання. Скільки можна розставити 8 учасниць фінального забігу на восьми бігових доріжках? P8 = 8! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 = 40320

Перестановкою з n елементів називається кожне розташування цих елементів певному порядку. P n = 1 · 2 · 3 · ... · n. P n = n!

Завдання. Квартет Капуста Мавпа Осел, Козел, Та клишоногий Ведмедик Затіяли грати квартет … Стій, братці стій! - Кричить Мавпа, - зачекайте! Як йти музиці? Адже ви не так сидите ... І так, і так пересідали - знову музика на лад не йде. Ось ще дужче пішли у них розбори І суперечки, Кому і як сидіти… Скільки способами можна розсадити чотирьох музикантів? P = 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24

Завдання на розміщення

Завдання: У нас є 5 книг, що у нас лише одна полиця, і що на ній міститься лише 3 книги. Скільки можна розставити на полиці 3 книги? Вибираємо одну із 5-ти книг і ставимо на перше місце на полиці. Це ми можемо зробити 5 способами. Тепер на полиці залишилося два місця та у нас залишилося 4 книги. Другу книгу ми можемо вибрати 4-ма способами та поставити поряд з однією з 5-ти можливих перших. Таких пар може бути 5.4. Залишилось 3 книги та одне місце. Одну книгу з трьох можна вибрати трьома способами і поставити поряд з однією з можливих 5-4 пар. Вийде 5·4·3 різноманітних трійок. Значить всього способів розмістити 3 книги з 5 5 4 3 = 60. Це завдання на розміщення.

Розміщенням з n елементів по k (k≤n) називається будь-яка множина, що складається з k елементів, взятих у певному порядку з даних n елементів.

Завдання. Учні другого класу вивчають 9 предметів. Скільки способами можна скласти розклад на один день, щоб у ньому було 4 різних предмети? A 4 9 = = 6∙7∙8∙9 = 3024

Вирішіть самостійно: У класі 27 учнів. Потрібно відправити одного учня за крейдою, другого чергувати до їдальні, а третього викликати до дошки. Скільки можна це зробити?

Завдання на поєднання: Завдання. Скільки способами можна розставити 3 томи на книжковій полиці, якщо вибирати їх з наявних зовні нерозрізняних 5 книг? Книжки зовні невиразні. Але вони різняться, і суттєво! Ці книги різні за змістом. Виникає ситуація, коли важливим є склад елементів вибірки, але несуттєвий порядок їх розташування. 123 124 125 134 135 145 234 235 245 345 відповідь: 10 Це завдання на поєднання

Поєднанням з n елементів k називається будь-яка безліч, складене з k елементів, вибраних з даних n елементів.

Завдання. У класі 7 людей успішно займаються математикою. Скільки можна вибрати з них двох для участі в математичній олімпіаді? C 7 2 = = 21

Вирішіть самостійно: У класі 7 учнів успішно займаються математикою. Скільки можна вибрати двох з них, щоб направити для участі в математичній олімпіаді?

Особлива прикмета комбінаторних завдань – питання, яке можна сформулювати так, щоб воно починалося словами «Скількими способами…» або «Скільки варіантів…»

Перестановки Розміщення Поєднання n елементів n клітин n елементів k клітин n елементів k клітин Порядок має значення Порядок має значення Порядок не має значення Складемо таблицю:

Розв'яжіть самостійно завдання: 1.У коробці знаходиться 10 білих та 6 чорних куль. Скільки способами з коробки можна вийняти одну кулю будь-якого кольору? 2.Ольга пам'ятає, що телефон подруги закінчується трьома цифрами 5, 7, 8, але забула, в якому порядку ці цифри розташовані. Вкажіть найбільше варіантів, які їй доведеться перебрати, щоб додзвонитися подрузі. 3. У магазині Філателія продається 8 різних наборів марок, присвячених спортивній тематиці. Скільки можна вибрати з них 3 набори?

Елементи комбінаторики 9 -11 класи,МБОУ Кочнівська ЗОШ вчитель Грязнова А.КОсновні питання:

Що таке комбінаторика?

Які завдання вважають за комбінаторні?

Перестановки
Розміщення
Поєднання

Не будемо сперечатися - обчислюватимемо. Г. Лейбніц

Комбінаторика- Редел математики, в якому розглядаються завдання про підрахунок числа комбінацій складених за певними правилами.

ІІ. Які завдання вважають за комбінаторні?Комбінаторні завдання Завдання підрахунку числа комбінацій із кінцевого числа елементів

Комбінаторика– від латинського слова combinare,що означає "з'єднувати, поєднувати".
Методи комбінаторикизнаходять широке застосування у фізиці, хімії, біології, економіки та інших галузях знання.
Комбінаторикуможна розглядати як частину теорії множин – будь-яке комбінаторне завдання можна звести до завдання про кінцеві множини та їх відображення.

I. Рівні розв'язання комбінаторних завдань 1. Початковий рівень. Завдання пошуку хоча б одного рішення, хоча б одного розташування об'єктів, що мають задані властивості - відшукання такого розташування десяти крапок на п'яти відрізках, при якому на кожному відрізку лежить по чотири точки; - такого розташування восьми ферзей на шахівниці, при якому вони не б'ють один одного. Іноді вдається довести, що це завдання не має рішення (наприклад, не можна розташувати 10 куль у 9 урнах так, щоб у кожній урні було не більше однієї кулі – хоча б в одній урні виявиться не менше двох куль). 2. Другий рівень. 2. Другий рівень. Якщо комбінаторна задача має кілька рішень, виникає питання про підрахунок числа таких рішень, описі всіх рішень даної задачі.

3. Третій рівень.

оптимального

Наприклад:

Мандрівник хоче виїхати з міста А, відвідати міста В, С та D. Після чого повернутися до міста А.

На рис. зображено схему шляхів, що пов'язують ці міста. Різні варіанти подорожей відрізняються один від одного порядком відвідування міст, С, і.D. Існує шість варіантів подорожі. У таблиці вказані варіанти та довжин кожного шляху:

Комбінаторні завдання на оптимізацію доводиться вирішувати майстру, що прагне до якнайшвидшого виконання завдання, агроному, що прагне найвищої врожайності на цих полях, і т.д.

Ми розглядатимемо лише завдання щодо підрахунку числа рішень комбінаторної задачі.

Ми розглядатимемо лише завдання щодо підрахунку числа рішень комбінаторної задачі.

теорією перерахувань

Правила суми та твору

1. Скільки різних коктейлів можна скласти із чотирьох напоїв, змішуючи їх у рівних кількостях по два?
AB, AC, AD, BC, BD, CD – лише 6 коктейлів

2. Скільки різних двоцифрових чисел можна становити з цифр 0, 1, 2, 3 ?

2. Скільки різних двоцифрових чисел можна становити з цифр 0, 1, 2, 3 ?
Перша цифра друга цифра

Правило твору:

Якщо елемент А можна вибрати з безлічі елементів п способами і для кожного такого вибору елемент можна вибрати т способами, то два елементи (пару) А і В можна вибрати п способами.

"Приклади вирішення комбінаторних завдань: перебір варіантів, правило суми, правило множення".

Скільки способами можуть бути розставлені 4 учасниць фінального забігу на чотирьох бігових доріжках?

Р п = 4 · 3 · 2 · 1 = 24 способи (перестановки з 4-х елементів)

2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3

1 доріжка

ІІ. Перестановки (1) К а р т е тПроказниця Мавпа, Осел, Козел Та клишоногий Ведмедик Затіяли зіграти Квартет. ……………………………………………………. Вдарили в смички, б'ють, а толку немає. «Стій, братики, стій! - кричить Мавпа. - Стривайте! Як йти музиці? Адже ви не так сидите»

4 · 3 · 2 · 1 = 4! способів

ІІ. Перестановки (2)

Перестановкою з п- елементів називається комбінації, що відрізняються один від одного лише порядком прямування елементів
Рп-число перестановок (Р перша літера французького слова permutation-перестановка)

Рп = n

Рп

Розміщення (1)

Чотири супутники вирішили обмінятися візитними картками. Скільки всього карток при цьому було використано?

Комбінації, складені з kелементів, взятих з nелементів, які відрізняються один від одного або складом, або порядком розташування елементів, називаються розміщеннями з nелементів по k(0< k ≤n ).

Розміщення з nелементів по kелементів. А перша літера

французького слова arrangement: «розміщення»,

«упорядкування»

Розміщення (2)

Пуст є 4 кулі і 3 порожні осередки. Позначимо кулі літерами a, b, c, d.У порожні комірки можна по-різному розмістити три кулі з цього набору.
Вибираючи по-різному першу, другу та третю кулі, будемо отримувати різні упорядкованітрійки куль
Кожна упорядкованатрійка, яку можна скласти із чотирьох елементів називається розміщенням із чотирьох елементів по три

Розміщення (3)

Скільки ж розміщень можна скласти з 4-х елементів ( abcd) по три?
abc abd acb acd adb adc
bac bad bca bcd bda bdc
cab cad cba cbd cda cdb
dab dac dba dbc dca dcb

Розв'язання переб о р о м а р і а н т о в

Розміщення (4)

Можна вирішити і не виписуючи самих розміщень:
перший елемент можна вибрати чотирма способами, так їм може бути будь-який елемент із чотирьох;
для кожного першого другий можна вибрати трьома способами;
для кожних перших двох можна двома способами вибрати третій елемент з двох, що залишилися.

Отримуємо

Вирішено з використанням п р а в і л а у м на о жен ня

Поєднання

Поєднанням з пелементів по kназивають будь-яку множину, складену з kелементів, вибраних з пелементів

На відміну від розміщень у поєднаннях не має значення порядок елементів. Два поєднання відрізняються один від одного хоча б одним елементом

Розв'язання: 1. На площині зазначено 5 точок. Скільки вийде відрізків, якщо з'єднати точки попарно?

2. На колі зазначено пточок. Скільки існує трикутників із вершинами у цих точках?

Джерела інформації

В.Ф.Бутузов, Ю.М.Колягін, Г.Л. Луканкін, Э.Г.Позняк та інших. «Математика» навчальний посібник для 11кл загальноосвітніх установ /рекомендовано Міністерством освіти РФ/ М., Просвітництво, 1996.
Є.А. Бунімович, В.А. Буличов: «Вірогідність і статистика», посібник для загальноосвітніх навчальних закладів 5 – 9 класи / допущено Міністерством освіти Російської Федерації // Дрофа Москва 2002
Ю.М. Макарічев, Н.Г.Міндюк «Алгебра: елементи статистики та теорії ймовірностей 7 – 9 класи» За редакцією С.А.Теляковського М: Просвітництво, 2006 р
Трикутнички http://works.doklad.ru/images/_E3ZV-_wFwU/md87b96f.gif

Інші малюнки створені Грязновою А.К.

Елементи
комбінаторики.
Електронний навчально-методичний посібник
для учнів 9-11 класів.
Автор-упорядник:
Каторова О.Г.,
вчитель математики
МБОУ «Гімназія №2»
м.Сарів

Комбінаторика

Комбінаторика – це розділ
математики, в якому вивчаються
питання вибору чи розташування
елементів множини відповідно
із заданими правилами.
«Комбінаторика» походить від латинського
слова «combina», що в перекладі російською
означає - "поєднувати", "з'єднувати".

ІСТОРИЧНА ДОВІДКА
Термін "комбінаторика" був
введений у математичний побут
всесвітньо
відомим
німецькою
вченим Г.В.Лейбніцем, який у
1666 року опублікував "Міркування
про комбінаторне мистецтво".
Г.В.Лейбніц
У XVIII столітті до вирішення комбінаторних завдань зверталися
та інші видатні математики. Так, Леонард Ейлер
розглядав завдання про розбиття чисел, про паросполучення, про
циклічних розстановках, про побудову магічних і
латинських квадратів.

Комбінаторика займається
різного роду сполуками
(перестановки, розміщення,
поєднання), які можна
утворити з елементів
деякої кінцевої множини.

Комбінаторні з'єднання

Перестановки
1.
2.
Перестановки без повторень
Перестановки із повтореннями
Розміщення
1.
2.
Розміщення без повторень
Розміщення з повтореннями
Поєднання
1.
2.
Поєднання без повторень
Поєднання з повтореннями

Перестановки – з'єднання,
які можна скласти з n
елементів, змінюючи всіма
можливими способами їх порядок.
Формула:

Історична довідка

У 1713 році було опубліковано
твір Я. Бернуллі "Мистецтво
припущень", в якому з
достатньою повнотою було викладено
відомі на той час
комбінаторні факти.
"Мистецтво
припущень" не було завершено
автором і виникло після його смерті.
Твір складався з 4 частин,
комбінаториці була присвячена
друга частина, в якій міститься
формула для числа перестановок з n
елементів.

приклад

Скільки способами можуть 8 чоловік стати в
черга до театральної каси?
Рішення завдання:
Існує 8 місць, які мають зайняти 8 осіб.
На перше місце може стати будь-який із 8 людина, тобто. способів
зайняти перше місце – 8.
Після того, як одна людина стала на перше місце, залишилося 7
місць та 7 осіб, які можуть бути на них розміщені, тобто.
способів зайняти друге місце - 7. Аналогічно для третього,
четвертого і т.д. місця.
Використовуючи принцип множення, отримуємо твір. Таке
твір позначається як 8! (читається 8 факторіал) та
називається перестановкою P8.
Відповідь: P8 = 8!

Перевір себе

1) Скільки способами можна поставити
поряд на полиці чотири різні
книги?
РІШЕННЯ

Перевір себе

2) Скільки способами можна покласти
10 різних листівок у 10 наявних
конвертів (по одній листівці до конверту)?
РІШЕННЯ

Перевір себе

3) Скільки способами можна розсадити
вісім дітей на восьми стільцях у їдальні
дитячого садка?
РІШЕННЯ

Перевір себе

4) Скільки різних слів можна скласти,
переставляючи місцями літери у слові
"трикутник" (вважаючи і саме це слово)?
РІШЕННЯ

Перевір себе

5) Скільки способами можна встановити
чергування по одній людині на день серед семи
учнів групи протягом 7 днів (кожен
повинен відокремити один раз)?
РІШЕННЯ

Перевір себе

Перестановки з
повтореннями
Будь-яке розміщення з повтореннями,
якому елемент а1 повторюється k1 раз, елемент
a2 повторюється k2 разів і т.д. елемент an
повторюється kn разів, де k1, k2, ..., kn - дані
числа, називається перестановкою з
повтореннями порядку
m = k1 + k2 + … + kn, в якій дані
елементи a1, a2, …, an повторюються
відповідно k1, k2, .., kn разів.

Перевір себе

Перестановки з
повтореннями
Теорема. Число різних перестановок з
повтореннями з елементів (a1, …, an),
яких елементи a1, …, an повторюються
відповідно k1, ..., kn разів, одно
(k1+k2+…+kn)!
m!
P
k1! k2! … kn!
k1! k2! … kn!

Перевір себе

приклад
Слова та фрази з переставленими літерами
називають анаграм. Скільки анаграм можна
скласти із слова «макака»?
Рішення.
Загалом у слові «МАКАКА» 6 літер (m=6).
Визначимо, скільки разів у слові використовується кожна літера:
"М" - 1 раз (k1 = 1)
"А" - 3 рази (k2 = 3)
"К" - 2 рази (k3 = 2)
m!
Р=
k1! k2! …kn!
6!
4*5*6
Р1,3,2 =
= 2 = 60.
1! 3! 2!

Перевір себе

1) Скільки різних слів можна отримати,
переставляючи букви слова "математика"?
РІШЕННЯ

Перевір себе

2) Скільки способами можна розставити на
першої горизонталі шахівниці комплект
білих фігур (король, ферзь, дві човни, два
слона і два коні)?
РІШЕННЯ

Перевір себе
3) У мами 2 яблука, 3 груші та 4 апельсини.
Щодня протягом дев'яти днів поспіль вона
дає синові один з фруктів, що залишилися.
Скільки способами це може бути зроблено?
РІШЕННЯ

Історична довідка
Комбінаторні мотиви можна
помітити ще у символіці китайської «Книги
змін» (V століття е.).
У XII ст. індійський математик Бхаскара в
своїй основній праці «Лілаваті» докладно
досліджував завдання з перестановками та
поєднаннями, включаючи перестановки з
повтореннями.

приклад

Розміщення
Розміщенням з n елементів по k
(k n) називається будь-яка безліч,
що складається з будь-яких k елементів, взятих у
певному порядку з n елементів.
Два розміщення з n елементів вважаються
різними, якщо вони відрізняються самими
елементами або порядком їхнього розташування.
А n(n 1)(n 2) ... (n (k 1))
k
n

Перевір себе

приклад
Скільки способами з 40 учнів класу
можна виділити актив у наступному складі:
староста, фізорг та редактор стінгазети?
Рішення:
Потрібно виділити впорядковані триелементні
підмножини множини, що містить 40
елементів, тобто. знайти число розміщень без
повторень із 40 елементів по 3.
40!
A=
=38*39*40=59280
37!
3
40

Перевір себе

1. З семи різних книг обирають
чотири. Скільки способами це можна
зробити?
РІШЕННЯ

Перевір себе

2. У чемпіонаті з футболу беруть участь
десять команд. Скільки існує
різних можливостей зайняти
командам перші три місця?
РІШЕННЯ

Перевір себе

3. У класі вивчаються 7 предметів. У середу 4
уроку, причому всі різні. Скільки
способами можна скласти розклад на
середу?
РІШЕННЯ

Перевір себе

Розміщення з
повтореннями
Розміщення із повтореннями –
з'єднання, що містять n елементів,
вибираються з елементів m різних
видів (n m) і відрізняються одне від
іншого або складом, або порядком
елементів.
Їх кількість у припущенні
необмеженості кількості елементів
кожного виду одно

Перевір себе

Приклад використання
У бібліотеку, де є багато
однакових підручників з десяти
предметам, прийшло 5 школярів,
кожен із яких хоче взяти підручник.
Бібліотекар записує в журнал з
порядку назви (без номера) взятих
підручників без імен учнів, які їх
взяли. Скільки різних списків у журналі
чи могло з'явитися?

Історична довідка

Рішення завдання
Оскільки підручники з кожного
предмета однакові, і бібліотекар
записує лише назву (без
номери), то список - розміщення з
повторенням, кількість елементів
вихідної множини дорівнює 10, а
кількість позицій – 5.
Тоді кількість різних списків дорівнює
= 100000.
Відповідь: 100000

Розміщення

Перевір себе!
1. Телефонний номер складається із 7 цифр.
Яка найбільша кількість дзвінків
невдаха-Петя може зробити
перш ніж вгадає правильний номер.
РІШЕННЯ
РІШЕННЯ

приклад

Перевір себе!
2. Скільки способами можна
написати слово, складене з
чотири букви англійського алфавіту?
РІШЕННЯ

Перевір себе

Перевір себе!
3. У магазині, де є 4 види м'ячів,
вирішили поставити до ряду 8 м'ячів. Скільки
способами можна це зробити, якщо їх
розташування має значення?
РІШЕННЯ

Перевір себе

Перевір себе!
4. Скільки способами можна пришити на
костюм клоуна в лінію шість гудзиків
одного з чотирьох кольорів, щоб отримати
візерунок?
РІШЕННЯ

Перевір себе

Поєднання
Поєднання – сполуки, що містять по
m предметів з n, що відрізняються один від
друга принаймні одним предметом.
Поєднання – кінцеві множини, в
яких порядок немає значення.

Перевір себе

Поєднання
Формула знаходження кількості
поєднань без повторень:

Перевір себе

Історична довідка
У 1666 році Лейбніц опублікував "Міркування"
про комбінаторне мистецтво". У своєму творі
Лейбніц, вводячи спеціальні символи, терміни для
підмножин і операцій з них, знаходить все k поєднання з n елементів, виводить властивості
поєднань:
,
,

Перевір себе

Приклад використання:
Скільки способами можна вибрати двох
чергових із класу, в якому 25 учнів?
Рішення:
m = 2 (необхідна кількість чергових)
n = 25 (всього учнів у класі)

Розміщення з повтореннями

Перевір себе!
1) Скільки способами можна
делегувати трьох студентів на
міжвузівську конференцію з 9 членів
наукового товариства?
РІШЕННЯ

Приклад використання

Перевір себе!
2) Десять учасників конференції
обмінялися рукостисканнями, потиснувши руку
кожному. Скільки всього рукостискань було
зроблено?
РІШЕННЯ

Рішення завдання

Перевір себе!
3) У шкільному хорі 6 дівчаток та 4 хлопчики.
Скількими способами можна вибрати з
складу шкільного хору 2 дівчаток та 1 хлопчика
для участі у виступі окружного хору?
РІШЕННЯ

Перевір себе!

4) Скільки способами можна вибрати 3
спортсменів з групи в 20 осіб для
участі у змаганнях?
РІШЕННЯ

Перевір себе!

5) У класі 10 навчальних предметів та 5 різних
уроків щодня. Скільки способами можуть
бути розподілені уроки за один день?
РІШЕННЯ

Перевір себе!

Поєднання з повтореннями
Визначення
Поєднаннями з повтореннями з m по
n називають з'єднання, що складаються з n
елементів, вибраних із елементів m
різних видів, і відрізняються одне від
іншого хоч би одним елементом.
Число поєднань з m по n
позначають

Перевір себе!

Поєднання з повтореннями
Якщо з множини, що містить n елементів, вибирається
по черзі m елементів, причому обраний елемент
щоразу повертається назад, то кількість способів
зробити неупорядковану вибірку - кількість поєднань з
повтореннями – складає

Перевір себе!

Історична довідка
Найбільший індійський математик
Бхаскара Акарія (1114–1185) також
вивчав різні види комбінаторних
з'єднань. Йому належить трактат
"Сідханта-Шіромані" ("Вінець навчання"),
переписаний у XIII ст. на смужках
пальмового листя. У ньому автор дав
словесні правила для знаходження
і
вказавши їх застосування і помістивши
численні приклади

Перевір себе!

Приклад використання
Завдання №1
Скільки наборів із 7 тістечок
можна скласти, якщо у розпорядженні
є 4 сорти тістечок?
Рішення:

Перевір себе!

Приклад використання
Завдання №2
Скільки кісток знаходиться у звичайній
грі "доміно"?
Рішення: Кістки доміно можна розглядати як
поєднання з повтореннями по дві із семи цифр
множини (0,1,2,3,4,5,6).
Число всіх таких
поєднань одно

Перевір себе!

Перевір себе
Завдання 1.
У буфеті Гімназії продаються 5 сортів
пиріжків: з яблуками, з капустою,
картоплею, м'ясом та грибами. Скільки
числом способів можна зробити покупку з
10 пиріжків?
РІШЕННЯ

Поєднання

Перевір себе
Завдання 2.
У коробці лежать кулі трьох кольорів.
червоного, синього та зеленого. Скільки
способами можна скласти набір з двох
куль?
РІШЕННЯ

Поєднання

Перевір себе
Завдання 3.
Скількими способами можна вибрати 4
монети з чотирьох п'ятикопійкових монет та з
чотирьох двокопійкових монет?
РІШЕННЯ

Перевір себе
Завдання 4.
Скільки буде кісток доміно,
якщо в них
освіті використовувати всі цифри?
РІШЕННЯ

Перевір себе
Завдання 5.
Палітра юного імпресіоніста складається з 8
різних барв. Художник бере пензлем
навмання будь-яку з фарб і ставить кольорове
пляма на ватман. Потім бере наступну
пензель, занурює її в будь-яку фарбу і робить
друга пляма по сусідству. Скільки
різних комбінацій існує для
шести плям?
РІШЕННЯ

Використовувана література
Алгебра та початки математичного
анализа.11 класс/ Ю.М.Колягин, М.В.Ткачова,
Н.Є.Федорова, М.І.Шабунін. -
М.: Просвітництво, 2011.
Віленкін Н.Я. Комбінаторика. - М., 1969
Віленкін Н.Я. Комбінаторика. - МЦМНО,
2010
ru.wikipedia.org›wiki/Історія комбінаторики