Початковий рівень

Ступінь та її властивості. Вичерпний гід (2019)

Навіщо потрібні ступені? Де вони тобі стануть у пригоді? Чому тобі потрібно витрачати час на їхнє вивчення?

Щоб дізнатися все про ступеня, про те для чого вони потрібні, як використовувати свої знання в повсякденному життічитай цю статтю.

І, звичайно ж, знання ступенів наблизить тебе до успішної здачіОДЕ або ЄДІ та до вступу до ВНЗ твоєї мрії.

Let"s go... (Поїхали!)

Важливе зауваження! Якщо замість формул ти бачиш абракадабру, почисти кеш. Для цього потрібно натиснути CTRL+F5 (Windows) або Cmd+R (Mac).

ПОЧАТКОВИЙ РІВЕНЬ

Зведення в ступінь - це така сама математична операція, як додавання, віднімання, множення або поділ.

Зараз поясню все людською мовоюна дуже простих прикладах. Будь уважний. Приклади елементарні, але пояснюють важливі речі.

Почнемо зі складання.

Пояснювати тут нема чого. Ти й так усе знаєш: нас вісім чоловік. У кожного по дві пляшки коли. Скільки всього коли? Правильно – 16 пляшок.

Тепер множення.

Той самий приклад із колою можна записати інакше: . Математики - люди хитрі та ліниві. Вони спочатку помічають якісь закономірності, а потім вигадують спосіб якнайшвидше їх «рахувати». У нашому випадку вони помітили, що у кожного з восьми чоловік однакова кількість пляшок коли і придумали прийом, який називається множенням. Погодься, вважається легше і швидше, ніж.

Отже, щоб вважати швидше, легше і без помилок, потрібно лише запам'ятати таблицю множення. Ти, звичайно, можеш робити все повільніше, важче та з помилками! Але...

Ось таблиця множення. Повторюй.

І інший, красивіший:

А які ще хитрі прийоми рахунку вигадали ліниві математики? Правильно - зведення числа в ступінь.

Зведення числа до ступеня

Якщо тобі потрібно помножити число на себе п'ять разів, то математики кажуть, що тобі потрібно звести це число в п'яту ступінь. Наприклад, . Математики пам'ятають, що два в п'ятому ступені – це. І вирішують такі завдання в умі - швидше, легше і без помилок.

Для цього потрібно лише запам'ятати те, що виділено кольором у таблиці ступенів чисел. Повір, це дуже полегшить тобі життя.

До речі, чому другий ступінь називають квадратомчисла, а третю - кубом? Що це означає? Дуже гарне питання. Нині будуть тобі і квадрати, і куби.

Приклад із життя №1

Почнемо з квадрата чи з другого ступеня числа.

Уяви собі квадратний басейн розміром метра на метр. Басейн стоїть у тебе на дачі. Спека і дуже хочеться купатися. Але… басейн без дна! Потрібно застелити дно басейну плиткою. Скільки тобі треба плитки? Для того, щоб це визначити, тобі потрібно дізнатися площу дна басейну.

Ти можеш просто порахувати, тикаючи пальцем, що дно басейну складається із кубиків метр на метр. Якщо у тебе плитка метр на метр, тобі потрібно буде шматків. Це легко… Але де ти бачив таку плитку? Плитка швидше буде див на див. І тоді «пальцем рахувати» замучуєшся. Тоді доведеться множити. Отже, з одного боку дна басейну в нас поміститься плиток (штук) і з іншого теж плиток. Помноживши на ти отримаєш плиток ().

Ти помітив, що для визначення площі дна басейну ми помножили одне й те саме саме на себе? Що це означає? Якщо множиться те саме число, ми можемо скористатися прийомом «зведення в ступінь». (Звичайно, коли в тебе всього два числа, все одно перемножити їх або звести в ступінь. Але якщо в тебе їх багато, то зводити в ступінь значно простіше і помилок при розрахунках виходить теж менше. Для ЄДІ це дуже важливо).
Отже, тридцять другою мірою буде (). Або ж можна сказати, що тридцять у квадраті буде. Іншими словами, другий ступінь числа завжди можна подати у вигляді квадрата. І навпаки, якщо ти бачиш квадрат - це ЗАВЖДИ другий ступінь якогось числа. Квадрат – це зображення другого ступеня числа.

Приклад із життя №2

Ось тобі завдання, порахувати, скільки квадратів на шахівниці за допомогою квадрата числа... З одного боку клітин і з іншого теж. Щоб порахувати їх кількість, потрібно вісім помножити на вісім або якщо помітити, що шахова дошка - це квадрат зі стороною, то можна звести вісім у квадрат. Вийде клітини. () Так?

Приклад із життя №3

Тепер куб чи третій ступінь числа. Той самий басейн. Але тепер тобі потрібно дізнатися, скільки води доведеться залити у цей басейн. Тобі треба порахувати обсяг. (Обсяги та рідини, до речі, вимірюються в кубічних метрах. Несподівано, правда?) Намалюй басейн: дно розміром на метри та глибиною метра і спробуй порахувати, скільки всього кубів розміром метр на метр увійде у твій басейн.

Прямо показуй пальцем і рахуй! Раз, два, три, чотири… двадцять два, двадцять три… Скільки вийшло? Чи не збився? Важко пальцем рахувати? Так то! Бери приклад із математиків. Вони ліниві, тому помітили, що щоб порахувати обсяг басейну, треба перемножити один на одного його довжину, ширину та висоту. У нашому випадку обсяг басейну дорівнюватиме кубів… Легше правда?

А тепер уяви, наскільки математики ліниві та хитрі, якщо вони і це спростили. Звели все до однієї дії. Вони помітили, що довжина, ширина і висота дорівнює і що те саме число перемножується саме на себе… А що це означає? Це означає, що можна скористатися ступенем. Отже, те, що ти вважав пальцем, вони роблять в одну дію: три в кубі одно. Записується це так: .

Залишається тільки запам'ятати таблицю ступенів. Якщо ти, звичайно, такий же лінивий і хитрий як математики. Якщо любиш багато працювати і робити помилки – можеш продовжувати вважати пальцем.

Ну і щоб остаточно переконати тебе, що ступеня придумали ледарі та хитрюги для вирішення своїх життєвих проблем, а не для того, щоб створити тобі проблеми, ось тобі ще пара прикладів із життя.

Приклад із життя №4

У тебе є мільйон рублів. На початку кожного року ти заробляєш на кожному мільйоні ще один мільйон. Тобто, кожен твій мільйон на початку кожного року подвоюється. Скільки грошей у тебе буде за роки? Якщо ти зараз сидиш і «вважаєш пальцем», значить ти дуже працьовита людина і дурна. Але швидше за все ти даси відповідь через пару секунд, бо ти розумний! Отже, у перший рік – два помножити на два… на другий рік – те, що вийшло, ще на два, на третій рік… Стоп! Ти помітив, що число перемножується саме на себе один раз. Значить, два в п'ятому ступені - мільйон! А тепер уяви, що у вас змагання і ці мільйони отримає той, хто швидше порахує... Варто запам'ятати ступеня чисел, як вважаєш?

Приклад із життя №5

У тебе є мільйон. На початку кожного року ти заробляєш на кожному мільйоні ще два. Здорово правда? Кожен мільйон потроюється. Скільки грошей у тебе буде за рік? Давай рахувати. Перший рік – помножити на, потім результат ще на… Вже нудно, бо ти вже все зрозумів: три множиться саме на себе рази. Значить четвертою мірою дорівнює мільйон. Треба просто пам'ятати, що три в четвертому ступені це або.

Тепер ти знаєш, що за допомогою зведення числа в ступінь ти полегшить собі життя. Давай подивимося на те, що можна робити зі ступенями і що тобі потрібно знати про них.

Терміни та поняття... щоб не заплутатися

Отже, спочатку давай визначимо поняття. Як думаєш, що таке показник ступеня? Це дуже просто - це число, яке знаходиться «вгорі» ступеня числа. Не науково, зате зрозуміло і легко запам'ятати.

Ну і заразом, що така підстава ступеня? Ще простіше - це число, яке знаходиться внизу, в основі.

Ось тобі рисунок для вірності.

Ну і в загальному вигляді, щоб узагальнити і краще запам'ятати …

Ступінь числа з натуральним показником

Ти вже напевно здогадався: бо показник ступеня – це натуральне число. Так, але що таке натуральне число? Елементарно! Натуральні це числа, які використовуються в рахунку при перерахуванні предметів: один, два, три... Ми ж коли вважаємо предмети не говоримо: «мінус п'ять», «мінус шість», «мінус сім». Ми так само не говоримо: "одна третя", або "нуль цілих, п'ять десятих". Це не натуральні цифри. А які це числа, як ти думаєш?

Числа типу "мінус п'ять", "мінус шість", "мінус сім" відносяться до цілим числам.Взагалі, до цілих чисел відносяться всі натуральні числа, протилежні числа натуральним (тобто взяті зі знаком мінус), і число. Нуль зрозуміти легко – це коли нічого немає. А що означає негативні («мінусові») числа? А ось їх придумали в першу чергу для позначення боргів: якщо у тебе баланс на телефоні рублів, це означає, що ти винен оператору рублів.

Будь-які дроби - це раціональні числа. Як вони виникли, як гадаєш? Дуже просто. Кілька тисяч років тому наші предки виявили, що їм не вистачає натуральних чиселдля виміру довжини, ваги, площі тощо. І вони вигадали раціональні числа… Цікаво, правда ж?

Є ще ірраціональні числа. Що це за числа? Якщо коротко, то нескінченний десятковий дріб. Наприклад, якщо довжину кола розділити на її діаметр, то вийде ірраціональне число.

Резюме:

Визначимо поняття ступеня, показник якого — натуральне число (тобто ціле та позитивне).

1. Будь-яке число в першому ступені дорівнює самому собі:
2. Звести число в квадрат - значить помножити його саме на себе:
3. Звести число в куб - значить помножити його на себе три рази:

Визначення.Звести число в натуральну міру - значить помножити число саме на себе раз:
.

Властивості ступенів

Звідки ці властивості взялися? Зараз покажу.

Подивимося: що таке і ?

За визначенням:

Скільки тут множників всього?

Дуже просто: до множників ми дописали множників, разом вийшло множників.

Але за визначенням це ступінь числа з показником, тобто: що і потрібно довести.

приклад: Спростіть вираз

Рішення:

Приклад:Спростіть вираз.

Рішення:Важливо помітити, що у нашому правилі обов'язковоповинні бути однакові підстави!
Тому ступеня з основою ми поєднуємо, а залишається окремим множником:

тільки для створення ступенів!

У жодному разі не можна написати, що.

2. то й є -а ступінь числа

Так само, як і з попередньою властивістю, звернемося до визначення ступеня:

Виходить, що вираз множиться сам на себе раз, тобто, згідно з визначенням, це і є ступінь числа:

По суті, це можна назвати «винесенням показника за дужки». Але ніколи не можна цього робити у сумі:

Згадаймо формули скороченого множення: скільки разів нам хотілося написати?

Але це не так, адже.

Ступінь з негативною основою

До цього моменту ми обговорювали лише те, яким має бути показник ступеня.

Але якою має бути підстава?

У ступенях з натуральним показникомоснова може бути будь-яким числом. І справді, адже ми можемо множити один на одного будь-які числа, будь вони позитивні, негативні, або навіть.

Давайте подумаємо, які знаки (« » або « ») матимуть ступеня позитивних і негативних чисел?

Наприклад, позитивним чи негативним буде число? А? ? З першим усе зрозуміло: скільки б позитивних чиселми один на одного не множили, результат буде позитивним.

Але з негативними трохи цікавіше. Адже ми пам'ятаємо просте правило з 6 класу: «мінус на мінус дає плюс». Тобто, або. Але якщо ми помножимо, вийде.

Визнач самостійно, який знак будуть мати такі вирази:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Впорався?

Ось відповіді: У перших чотирьох прикладах, сподіваюся, все зрозуміло? Просто дивимося на основу та показник ступеня, і застосовуємо відповідне правило.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

У прикладі 5) все теж не так страшно, як здається: адже неважливо, чому рівна підстава - ступінь парний, а значить, результат завжди буде позитивним.

Ну, за винятком випадку, коли основа дорівнює нулю. Адже підстава не рівна? Очевидно ні, тому що (бо).

Приклад 6) вже не такий простий!

6 прикладів для тренування

Розбір рішення 6 прикладів

Якщо не зважати на восьмий ступінь, що ми тут бачимо? Згадуємо програму 7 класу. Отже, згадали? Це формула скороченого множення, а саме – різниця квадратів! Отримуємо:

Уважно дивимось на знаменник. Він дуже схожий на один із множників чисельника, але що не так? Не той порядок доданків. Якби їх поміняти місцями можна було б застосувати правило.

Але як це зробити? Виявляється дуже легко: тут нам допомагає парний ступінь знаменника.

Магічним чином доданки змінилися місцями. Це «явище» застосовується для будь-якого виразу парною мірою: ми можемо безперешкодно змінювати знаки в дужках.

Але важливо запам'ятати: змінюються усі знаки одночасно!

Повернемося, наприклад:

І знову формула:

Цілимими називаємо натуральні числа, протилежні їм (тобто узяті зі знаком «») та число.

ціле позитивне число, а воно нічим не відрізняється від натурального, все виглядає в точності як у попередньому розділі.

А тепер розглянемо нові випадки. Почнемо з показника, що дорівнює.

Будь-яке число в нульовому ступені дорівнює одиниці:

Як завжди, запитаємо себе: чому це так?

Розглянемо якийсь ступінь із основою. Візьмемо, наприклад, і домножимо на:

Отже, ми помножили число на, і отримали те, що було - . А на яку кількість треба помножити, щоб нічого не змінилося? Правильно, на. Значить.

Можемо зробити те саме вже з довільним числом:

Повторимо правило:

Будь-яке число в нульовому ступені дорівнює одиниці.

Але з багатьох правил є винятки. І тут воно теж є - це число (як основа).

З одного боку, будь-якою мірою повинен дорівнювати - скільки нуль сам на себе не помножуй, все-одно отримаєш нуль, це ясно. Але з іншого боку, як і будь-яке число в нульовому ступені, має дорівнювати. То що з цього правда? Математики вирішили не зв'язуватися і відмовилися зводити нуль у нульовий ступінь. Тобто тепер нам не можна не тільки ділити на нуль, а й зводити його на нульовий ступінь.

Поїхали далі. Крім натуральних чисел та числа до цілих відносяться негативні числа. Щоб зрозуміти, що таке негативний ступінь, вчинимо як у Минулого разу: домножимо якесь нормальне число на таке ж негативною мірою:

Звідси вже нескладно висловити:

Тепер поширимо отримане правило на довільний ступінь:

Отже, сформулюємо правило:

Число в негативному ступені назад такому ж числу в позитивного ступеня. Але при цьому основа не може бути нульовою:(Бо на ділити не можна).

Підведемо підсумки:

I. Вираз не визначено у разі. Якщо то.

ІІ. Будь-яке число в нульовому ступені дорівнює одиниці: .

ІІІ. Число, що не дорівнює нулю, негативною мірою назад такому ж числу в позитивному ступені: .

Завдання для самостійного вирішення:

Ну і, як завжди, приклади для самостійного вирішення:

Розбір завдань для самостійного розв'язання:

Знаю-знаю, числа страшні, але на ЄДІ треба бути готовим до всього! Виріш ці приклади або розбери їх рішення, якщо не зміг вирішити і ти навчишся легко справлятися з ними на іспиті!

Продовжимо розширювати коло чисел, «придатних» як показник ступеня.

Тепер розглянемо раціональні числа.Які числа називаються раціональними?

Відповідь: всі, які можна подати у вигляді дробу, де і - цілі числа, причому.

Щоб зрозуміти, що таке «дрібний ступінь», розглянемо дріб:

Зведемо обидві частини рівняння до ступеня:

Тепер згадаємо правило про «ступінь ступеня»:

Яке число треба звести до ступеня, щоб отримати?

Це формулювання - визначення кореня ступеня.

Нагадаю: коренем -ого ступеня числа () називається число, яке при зведенні до ступеня дорівнює.

Тобто, корінь ступеня - це операція, зворотна зведенню в ступінь: .

Виходить що. Очевидно, цей окремий випадокможна розширити: .

Тепер додаємо чисельник: що таке? Відповідь легко отримати за допомогою правила «ступінь ступеня»:

Але чи може бути підстава будь-яким числом? Адже корінь можна отримувати не з усіх чисел.

Жодне!

Згадуємо правило: будь-яке число, зведене в парний ступінь- Число позитивне. Тобто витягувати коріння парного ступеня з негативних чисел не можна!

А це означає, що не можна такі числа зводити в дрібний ступінь з парним знаменником, тобто вираз не має сенсу.

А що щодо висловлювання?

Але тут постає проблема.

Число можна представити у вигляді інших, скоротливих дробів, наприклад, або.

І виходить, що існує, але не існує, адже це просто два різні записи одного і того ж числа.

Або інший приклад: раз, то можна записати. Але варто нам по-іншому записати показник, і знову отримаємо неприємність: (тобто отримали зовсім інший результат!).

Щоб уникнути подібних парадоксів, розглядаємо тільки позитивна основа ступеня з дробовим показником.

Отже, якщо:

• - натуральне число;
• - ціле число;

Приклади:

Ступені з раціональним показникомдуже корисні для перетворення виразів з корінням, наприклад:

5 прикладів для тренування

Розбір 5 прикладів для тренування

Ну а тепер – найскладніше. Зараз ми розберемо ступінь з ірраціональним показником.

Всі правила і властивості ступенів тут такі самі, як і для ступеня з раціональним показником, за винятком

Адже за визначенням ірраціональні числа - це числа, які неможливо уявити у вигляді дробу, де і - цілі числа (тобто ірраціональні числа - це все дійсні числа, крім раціональних).

При вивченні ступенів з натуральним, цілим і раціональним показником, ми щоразу складали якийсь «образ», «аналогію», або опис більш звичних термінах.

Наприклад, ступінь із натуральним показником - це число, кілька разів помножене саме на себе;

...число в нульовому ступені- це ніби число, помножене саме на себе раз, тобто його ще не почали множити, значить, саме число ще навіть не з'явилося - тому результатом є лише якась «заготівля числа», а саме число;

...ступінь з цілим негативним показником - це ніби стався якийсь «зворотний процес», тобто число не множили саме на себе, а ділили.

Між іншим, у науці часто використовується ступінь із комплексним показником, тобто показник – це навіть не дійсне число.

Але в школі ми про такі складнощі не думаємо, осягнути ці нові поняття тобі буде можливість в інституті.

КУДИ МИ ВПЕВНЕНІ ТИ ПОСТУПИШ! (якщо навчишся вирішувати такі приклади:))

Наприклад:

Виріши самостійно:

Розбір рішень:

1. Почнемо з звичайного нам правила зведення ступеня в ступінь:

Тепер подивися на показник. Нічого він не нагадує тобі? Згадуємо формулу скороченого множення різниця квадратів:

У даному випадку,

Виходить що:

Відповідь: .

2. Наводимо дроби у показниках ступенів до однакового вигляду: або обидві десяткові, або обидві звичайні. Отримаємо, наприклад:

Відповідь: 16

3. Нічого особливого, застосовуємо звичайні властивості ступенів:

ПРОСУНУТИЙ РІВЕНЬ

Визначення ступеня

Ступенем називається вираз виду: , де:

• — основа ступеня;
• - показник ступеня.

Ступінь із натуральним показником (n = 1, 2, 3,...)

Звести число в натуральний ступінь n - значить помножити число саме на себе:

Ступінь із цілим показником (0, ±1, ±2,...)

Якщо показником ступеня є ціле позитивнечисло:

Зведення у нульовий ступінь:

Вислів невизначений, т.к., з одного боку, будь-якою мірою - це, з другого - будь-яке число -ою мірою - це.

Якщо показником ступеня є ціле негативнечисло:

(Бо на ділити не можна).

Ще раз про нулі: вираз не визначений у випадку. Якщо то.

Приклади:

Ступінь із раціональним показником

• - натуральне число;
• - ціле число;

Приклади:

Властивості ступенів

Щоб простіше було вирішувати завдання, спробуємо зрозуміти: звідки ці властивості взялися? Доведемо їх.

Подивимося: що таке та?

За визначенням:

Отже, у правій частині цього виразу виходить такий твір:

Але за визначенням це ступінь числа з показником, тобто:

Що й потрібно було довести.

приклад : Спростіть вираз

Рішення : .

приклад : Спростіть вираз

Рішення : Важливо помітити, що у нашому правилі обов'язковомають бути однакові підстави. Тому ступеня з основою ми поєднуємо, а залишається окремим множником:

Ще одне важливе зауваження: це правило - тільки для добутку ступенів!

У жодному разі не можна написати, що.

Так само, як і з попередньою властивістю, звернемося до визначення ступеня:

Перегрупуємо цей твір так:

Виходить, що вираз множиться сам на себе раз, тобто, згідно з визначенням, це і є ступінь числа:

По суті, це можна назвати «винесенням показника за дужки». Але ніколи не можна цього робити у сумі: !

Згадаймо формули скороченого множення: скільки разів нам хотілося написати? Але це не так, адже.

Ступінь із негативною основою.

До цього моменту ми обговорювали лише те, яким має бути показникступеня. Але якою має бути підстава? У ступенях з натуральним показником основа може бути будь-яким числом .

І справді, адже ми можемо множити один на одного будь-які числа, будь вони позитивні, негативні, або навіть. Давайте подумаємо, які знаки (« » або « ») матимуть ступеня позитивних та негативних чисел?

Наприклад, позитивним чи негативним буде число? А? ?

З першим усе зрозуміло: хоч би скільки позитивних чисел ми один на одного не множили, результат буде позитивним.

Але з негативними трохи цікавіше. Адже ми пам'ятаємо просте правило з 6 класу: «мінус на мінус дає плюс». Тобто, або. Але якщо ми помножимо (), вийде - .

І так нескінченно: при кожному наступному множенні знак змінюватиметься. Можна сформулювати такі прості правила:

1. парнуступінь - число позитивне.
2. Негативне число, зведене в непарнуступінь - число негативне.
3. Позитивне число будь-якої міри - число позитивне.
4. Нуль будь-якою мірою дорівнює нулю.

Визнач самостійно, який знак будуть мати такі вирази:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Впорався? Ось відповіді:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

У перших чотирьох прикладах, сподіваюся, все зрозуміло? Просто дивимося на основу та показник ступеня, і застосовуємо відповідне правило.

У прикладі 5) все теж не так страшно, як здається: адже неважливо, чому рівна підстава - ступінь парний, а значить, результат завжди буде позитивним. Ну, за винятком випадку, коли основа дорівнює нулю. Адже підстава не рівна? Очевидно ні, тому що (бо).

Приклад 6) вже не такий простий. Тут треба дізнатися, що менше: чи? Якщо згадати, що, стає ясно, що, отже, підстава менша за нуль. Тобто застосовуємо правило 2: результат буде негативним.

І знову використовуємо визначення ступеня:

Все як завжди - записуємо визначення ступенів і, ділимо їх один на одного, розбиваємо на пари і отримуємо:

Перш ніж розібрати останнє правило, Вирішимо кілька прикладів.

Обчисли значення виразів:

Рішення :

Якщо не зважати на восьмий ступінь, що ми тут бачимо? Згадуємо програму 7 класу. Отже, згадали? Це формула скороченого множення, а саме – різниця квадратів!

Отримуємо:

Уважно дивимось на знаменник. Він дуже схожий на один із множників чисельника, але що не так? Не той порядок доданків. Якби їх поміняти місцями можна було б застосувати правило 3. Але як це зробити? Виявляється дуже легко: тут нам допомагає парний ступінь знаменника.

Якщо примножити його на, нічого не зміниться, чи не так? Але тепер виходить таке:

Магічним чином доданки змінилися місцями. Це «явище» застосовується для будь-якого виразу парною мірою: ми можемо безперешкодно змінювати знаки в дужках. Але важливо запам'ятати: змінюються усі знаки одночасно!Не можна замінити, змінивши тільки один неугодний нам мінус!

Повернемося, наприклад:

І знову формула:

Отже, тепер останнє правило:

Як доводитимемо? Звичайно, як завжди: розкриємо поняття ступеня і спростимо:

Ну а тепер розкриємо дужки. Скільки всього вийде букв? раз по множниках - що це нагадує? Це не що інше, як визначення операції множення: всього там виявилося множників Тобто це, за визначенням, ступінь числа з показником:

Приклад:

Ступінь з ірраціональним показником

На додаток до інформації про ступені для середнього рівня, розберемо ступінь з ірраціональним показником. Всі правила та властивості ступенів тут точно такі ж, як і для ступеня з раціональним показником, за винятком - адже за визначенням ірраціональні числа - це числа, які неможливо уявити у вигляді дробу, де і - цілі числа (тобто ірраціональні числа - це усі дійсні числа, крім раціональних).

При вивченні ступенів з натуральним, цілим і раціональним показником, ми щоразу складали якийсь «образ», «аналогію», або опис більш звичних термінах. Наприклад, ступінь із натуральним показником - це число, кілька разів помножене саме на себе; число в нульовому ступені - це ніби число, помножене саме на себе раз, тобто його ще не почали множити, значить, саме число ще навіть не з'явилося - тому результатом є лише якась «заготівля числа», а саме число; ступінь із цілим негативним показником - це ніби стався якийсь «зворотний процес», тобто число не множили саме на себе, а ділили.

Уявити ступінь з ірраціональним показником дуже складно (так само, як складно уявити 4-мірний простір). Це швидше чисто математичний об'єкт, який математики створили, щоб розширити поняття ступеня на весь простір чисел.

Між іншим, у науці часто використовується ступінь із комплексним показником, тобто показник – це навіть не дійсне число. Але в школі ми про такі складнощі не думаємо, осягнути ці нові поняття тобі буде можливість в інституті.

Отже, що ми робимо, якщо бачимо ірраціональний показник ступеня? Усіми силами намагаємося його позбутися!:)

Наприклад:

Виріши самостійно:

1)

2)

3)

Відповіді:

1. Згадуємо формулу різниця квадратів. Відповідь: .
2. Наводимо дроби до однакового виду: або обидві десяткові або обидві звичайні. Отримаємо, наприклад: .
3. Нічого особливого, застосовуємо звичайні властивості ступенів:

КОРОТКИЙ ВИКЛАД РОЗДІЛУ ТА ОСНОВНІ ФОРМУЛИ

ступенемназивається вираз виду: , де:

Ступінь із цілим показником

ступінь, показник якого - натуральне число (тобто ціле і позитивне).

Ступінь із раціональним показником

ступінь, показник якого - негативні та дробові числа.

Ступінь з ірраціональним показником

ступінь, показник якої - нескінченний десятковий дріб або корінь.

Властивості ступенів

Особливості ступенів.

• Негативне число, зведене в парнуступінь - число позитивне.
• Негативне число, зведене в непарнуступінь - число негативне.
• Позитивне число будь-якої міри - число позитивне.
• Нуль будь-якою мірою дорівнює.
• Будь-яке число в нульовому ступені дорівнює.

ТЕПЕР ТЕБЕ СЛОВО...

Як тобі стаття? Напиши внизу у коментарях сподобалася чи ні.

Розкажи про свій досвід використання властивостей ступенів.

Можливо, у тебе є питання. Або пропозиції.

Напиши коментарі.

І удачі на іспитах!

Калькулятор допомагає швидко звести число в онлайн. Підставою ступеня може бути будь-які числа (як цілі, і речові). Показник ступеня також може бути цілим або речовим, а також як позитивним, так і негативним. Слід пам'ятати, що для негативних чисел зведення в нецілу ступінь не визначено і тому калькулятор повідомить про помилку у випадку, якщо ви все ж таки спробуєте це виконати.

Калькулятор ступенів

Піднести до степеня

Зведень до ступеня: 20880

Що таке натуральний ступінь числа?

Число p називають n -ою ступенем числа a якщо p дорівнює числу a , помноженому саме на себе n разів: p = a n = a ...
n - називається показником ступеня, а число a - підставою ступеня.

Як звести число до натурального ступеня?

Щоб зрозуміти, як зводити різні числав натуральному ступені, розглянемо кілька прикладів:

Приклад 1. Звести число три на четвертий ступінь. Тобто необхідно обчислити 3 4
Рішення: як було сказано вище, 34 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81 .
Відповідь: 3 4 = 81 .

Приклад 2. Звести число п'ять на п'яту ступінь. Тобто необхідно обчислити 5 5
Рішення: аналогічно, 5 5 = 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 3125 .
Відповідь: 5 5 = 3125 .

Таким чином, щоб звести число в натуральний ступінь, достатньо лише помножити його саме на себе n разів.

Що таке негативний рівень числа?

Негативний ступінь -n числа a - це одиниця, поділена на a ступенем n: a -n = .

При цьому негативний ступінь існує тільки для відмінних від нуля чисел, тому що в іншому випадку відбувалося б поділ на нуль.

Як звести число в цілий негативний ступінь?

Щоб звести відмінне від нуля число в негативний ступінь, потрібно обчислити значення цього числа в тій же позитивній мірі та розділити одиницю на отриманий результат.

Приклад 1. Звести число два мінус четвертий ступінь. Тобто необхідно обчислити 2-4

Рішення: як було сказано вище, 2 -4 = = = 0.0625.

Відповідь: 2 -4 = 0.0625 .

Протягом розмови про рівень числа логічно дати раду знаходженням значення ступеня. Цей процес отримав назву зведення в ступінь. У цій статті ми вивчимо, як виконується зведення в ступінь, при цьому торкнемося всіх можливих показників ступеня – натуральний, цілий, раціональний та ірраціональний. І за традицією докладно розглянемо рішення прикладів зведення чисел у різні ступені.

Навігація на сторінці.

Що означає «зведення у ступінь»?

Почати слід із пояснення, що називають зведенням у ступінь. Ось відповідне визначення.

Визначення.

Зведення в ступінь- Це знаходження значення ступеня числа.

Таким чином, знаходження значення ступеня числа a з показником r і зведення числа a у ступінь r – це те саме. Наприклад, якщо поставлено завдання «обчисліть значення ступеня (0,5) 5», то його можна переформулювати так: «Зведіть число 0,5 до ступеня 5».

Тепер можна переходити безпосередньо до правил, за якими виконується зведення у ступінь.

Зведення числа до натурального ступеня

Насправді рівність виходячи з звичайно застосовується як . Тобто, при зведенні числа a в дрібний ступінь m/n спочатку витягується корінь n-ого ступеня з числа a, після чого отриманий результат зводиться в цілий ступінь m.

Розглянемо рішення прикладів зведення на дробовий ступінь.

приклад.

Обчисліть значення ступеня.

Рішення.

Покажемо два способи розв'язання.

Перший метод. За визначенням ступеня з дробовим показником. Обчислюємо значення ступеня під знаком кореня, після чого одержуємо кубічний корінь: .

Другий спосіб. За визначенням ступеня з дробовим показником та на підставі властивостей коренів справедливі рівністі . Тепер витягаємо корінь , нарешті, зводимо в цілий ступінь .

Очевидно, що отримані результати зведення в дрібний ступінь збігаються.

Відповідь:

Зазначимо, що дробовий показник ступеня може бути записаний у вигляді десяткового дробуабо змішаного числа, у цих випадках його слід замінити відповідним звичайним дробом, після чого виконувати зведення у ступінь.

приклад.

Обчисліть (44,89) 2,5.

Рішення.

Запишемо показник ступеня у вигляді звичайного дробу(при необхідності дивіться статтю): . Тепер виконуємо зведення в дробовий ступінь:

Відповідь:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Слід також сказати, що зведення чисел у раціональні ступені є досить трудомістким процесом (особливо коли в чисельнику та знаменнику дробового показникаступеня знаходяться достатньо великі числа), який зазвичай проводиться з використанням обчислювальної техніки.

На закінчення цього пункту зупинимося на зведенні числа нуль у дрібний ступінь. Дробного ступенянуля виду ми надали наступного змісту: при маємо , а за нуль у ступені m/n не визначено. Отже, нуль у дробовому позитивному ступені дорівнює нулю, наприклад, . А нуль у дробовій негативною мірою немає сенсу, наприклад, немає сенсу висловлювання і 0 -4,3 .

Зведення в ірраціональний ступінь

Іноді виникає необхідність дізнатися значення ступеня числа з ірраціональним показником. При цьому в практичних ціляхзазвичай достатньо отримати значення ступеня з точністю до певного знака. Відразу зазначимо, що це значення на практиці обчислюється за допомогою електронної обчислювальної техніки, оскільки зведення в ір раціональний ступіньвручну вимагає великої кількостігроміздких обчислень. Але все ж опишемо в загальних рисахсуть дій.

Щоб отримати наближене значення ступеня числа a з ірраціональним показником, береться деяке десяткове наближення показника ступеня і обчислюється значення ступеня. Це значення є наближеним значенням ступеня числа a з ірраціональним показником . Чим точніше десяткове наближення числа буде взято спочатку, тим точніше значення ступеня буде отримано в результаті.

Як приклад обчислимо наближене значення ступеня 2 1,174367. Візьмемо наступне десяткове наближення ірраціонального показника: . Тепер зведемо 2 раціональний ступінь 1,17 (суть цього процесу ми описали в попередньому пункті), отримуємо 2 1,17 ≈2,250116 . Таким чином, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Якщо взяти точніше десяткове наближення ірраціонального показника ступеня, наприклад, то отримаємо точніше значення вихідного ступеня: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Список літератури.

• Віленкін Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С., Шварцбурд С.І. МатематикаЖ підручник для 5 кл. загальноосвітніх установ.
• Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 7 кл. загальноосвітніх установ.
• Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 8 кл. загальноосвітніх установ.
• Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 9 кл. загальноосвітніх установ.
• Колмогоров А.М., Абрамов А.М., Дудніцин Ю.П. та ін Алгебра та початку аналізу: Підручник для 10 - 11 класів загальноосвітніх установ.
• Гусєв В.А., Мордкович А.Г. Математика (посібник для вступників до технікумів).

У таблиці ступенів є значення натуральних позитивних чисел від 1 до 10.

Запис 3 5 читають «три в п'ятому ступені». У цьому записі число 3 називають основою ступеня, число 5 показником ступеня, вираз 3 5 називають ступенем.

Щоб скачати таблицю ступенів, натисніть на зменшене зображення.

Калькулятор ступенів

Пропонуємо спробувати наш калькулятор ступенів, який допоможе звести в ступінь онлайн будь-яке число.

Використовувати калькулятор дуже просто – введіть число, яке ви хочете звести у ступінь, а потім число – ступінь та натисніть на кнопку «Порахувати».

Примітно те, що наш онлайн калькуляторступенів може звести в ступінь як позитивний, так і негативний. А для отримання коріння на сайті є інший калькулятор.

Як звести число до ступеня.

Давайте розглянемо процес зведення на прикладі. Нехай нам необхідно звести число 5 до 3-го ступеня. Мовою математики 5 - це основа, а 3 - показник (або просто ступінь). І записати це можна коротко в такому вигляді:

Зведення в ступінь

А щоб знайти значення, нам буде потрібно число 5 помножити він 3 разу, тобто.

5 3 = 5 x 5 x 5 = 125

Відповідно, якщо ми хочемо знайти значення числа 7 в 5 ступеня, ми повинні число 7 помножити на себе 5 разів, тобто 7 x 7 x 7 x 7 x 7. Інша справа, коли потрібно звести число в негативний ступінь.

Як зводити у негативний ступінь.

При зведенні в негативний ступінь необхідно використовувати просте правило:

як зводити в негативний ступінь

Все дуже просто - при зведенні в негативний ступінь ми повинні поділити одиницю на основу без знака мінус - тобто в позитивній мірі. Таким чином, щоб знайти значення

Таблиця ступенів натуральних чисел від 1 до 25 з алгебри

При вирішенні різних математичних вправ часто доводиться займатися зведенням числа ступінь, в основному від 1 до 10. І для того, щоб швидше знаходити ці значення і нами створена таблиця ступенів з алгебри, яку я опублікую на цій сторінці.

Для початку розглянемо числа від 1 до 6. Результати тут ще не дуже великі, всі з них ви можете перевірити на звичайному калькуляторі.

• 1 і 2 у ступені від 1 до 10

Таблиця ступенів

Таблиця ступенів є незамінним помічником, коли потрібно звести натуральне число в межах 10 ступінь, що перевищує два. Достатньо відкрити таблицю і знайти число, що знаходиться навпроти потрібної основи ступеня і в стовпці з необхідним ступенем - воно буде відповіддю на приклад. Крім зручної таблиці, внизу сторінки наведено приклади зведення до ступеня натуральних чисел до 10 . Вибравши необхідний стовпець зі ступенями потрібного числа, можна легко і просто знайти рішення, тому що всі ступені розташовані в порядку зростання.

Важливий нюанс! У таблицях не представлено зведення в нульовий ступінь, оскільки будь-яке число в ступені нуль дорівнює одиниці: a 0 = 1

Таблиця множення, квадратів та ступенів

Настав час трохи зайнятися математикою. Ви ще пам'ятаєте, скільки буде, якщо два помножити на два?

Якщо хтось забув - буде чотири. Здається, що таблицю множення пам'ятають і знають усі, проте я виявив велика кількістьзапитів до Яндексу типу "таблиця множення" або навіть "завантажити таблицю множення"(!). Саме для цієї категорії користувачів, а також для більш просунутих, яких вже цікавлять ще й квадрати та ступені, викладаю всі ці таблиці. Можете навіть качати на здоров'я! Отже:

10в2 ступеня+ 11 в2 ступеня + 12 у 2 ступеня+ 13 у 2 ступеня + 14 у другому ступені/365

Інші питання з категорії

Допоможіть вирішити будь ласка)

Читайте також

рішення: 3х(в 2 ступеня)-48= 3(Х-во 2 ступеня)(х-в другому ступені)-16)=(Х-4)(Х+4)

5) три цілих п'ять сотих. 6) дев'ять цілих двісті сім тисячних. 2) запиши як звичайного дробу числа: 1)0,3. 2) 0,516. 3) 0,88. 4) 0,01. 5) 0,402. 5) 0,038. 6) 0,609. 7) 0,91.8) 0,5.9) 0,171.10) 0,815.11) 0,27.12) 0,081.13) 0,803

Скільки буде 2 мінус 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ступеня?

Скільки буде 2 мінус 1 ступеня?

Скільки буде 2 в мінус 2 ступені?

Скільки буде 2 в мінус 3 ступені?

Скільки буде 2 в мінус 4 ступені?

Скільки буде 2 мінус 5 ступеня?

Скільки буде 2 мінус 6 ступеня?

Скільки буде 2 мінус 7 ступеня?

Скільки буде 2 мінус 8 ступеня?

Скільки буде 2 мінус 9 ступеня?

Скільки буде 2 мінус 10 ступеня?

Негативний ступінь числа n ^(-a) можна виразити в наступній формі 1/n^a.

2 у ступені -1 = 1/2, якщо у вигляді десяткового дробу, то 0,5.

2 у ступені - 2 = 1/4, або 0,25.

2 ступеня -3= 1/8, чи 0,125.

2 у ступені -4 = 1/16, або 0,0625.

2 у ступені -5 = 1/32, або 0,03125.

2 у ступені - 6 = 1/64, або 0,015625.

2 у ступені - 7 = 1/128, або 0,.

2 у ступені -8 = 1/256, або 0,.

2 у ступені -9 = 1/512, або 0,.

2 у ступені - 10 = 1/1024, або 0,.

Аналогічні розрахунки для інших чисел можна подивитися тут: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Негативний ступінь числа, на перший погляд, складна темав алгебрі.

Насправді все дуже просто - математичні обчисленняз числом "2" проводимо по алгебраїчної формули(Див. вище), де замість "a" підставляємо число "2", а замість "n" - ступінь числа. Калькулятор допоможе значно скоротити час у підрахунках.

На жаль, текстовий редактор сайту не дозволяє застосовувати математичні символидробу та негативного ступеня. Обмежимося великою літерно-числовою інформацією.

Ось такі нехитрі числові сходинки вийшли.

Мінусова ступінь числа означає, що це число множать на себе стільки разів, скільки написано в мірі і потім одиницю ділять на отримане число. Для двійки:

• (-1) ступінь - це 1/2 = 0,5;
• (-2) ступінь - це 1/(2 2) = 0,25;
• (-3) ступінь - це 1/(2 2 2) = 0,125;
• (-4) ступінь - це 1/(2 2 2 2) = 0,0625;
• (-5) ступінь - це 1/(2 2 2 2 2) = 0,03125;
• (-6) ступінь - це 1/(2 2 2 2 2 2) = 0,015625;
• (-7) ступінь - це 1 / (2 2 2 2 2 2 2) = 0,078125;
• (-8) ступінь - це 1/(2 2 2 2 2 2 2 2)=0,;
• (-9) ступінь - це 1/(2 2 2 2 2 2 2 2 2)=0,;
• (-10) ступінь - це 1/(2 2 2 2 2 2 2 2 2 2)=0,.

Насправді кожне попереднє значення просто ділимо на 2.

shkolnyie-zadachi.pp.ua

1) 33 ²: 11 = (3 * 11) ²: 11 = 3 ² * 11 ²: 11 = 9 * 11 = 99

2) 99²: 81=(9*11)²: 9²=9² * 11²: 9²=11²=121

Другий ступінь означає, що цифра, яка вийшла при обчисленнях, множиться на саму себе.

Російська мова: 15 словосполучень на тему весна

Рання весна, пізня весна, весняне листя, весняне сонечко, весняний день, настала весна, весняні птахи, холодна весна, весняна трава, весняний вітерець, весняний дощ, весняний одяг, весняні чоботи, весна червона, весняна подорож.

Питання: 5 * 4 в другому ступені - (33 в другому ступені: 11) в 2 ступені: 81 ВІДПОВІДЬ СКАЖИТЬ ПО ДІЯМ

5*4 у другому ступені -(33 у другому ступені:11) у 2 ступені:81 ВІДПОВІДЬ СКАЖИТЬ ПО ДІЯМ

Відповіді:

5*4²-(33²: 11)²: 81= -41 1) 33²: 11=(3*11)²: 11=3² * 11²: 11=9*11=99 2) 99²: 81=(9* 11)²: 9²=9² * 11²: 9²=11²=121 3) 5*4²=5*16=80 4)= -41

5*4 (2) = 400 1) 5*4= 20 2) 20*20=:11(2)= 9 1) 33:11= 3 2) 3*3= 9 Другий ступінь означає, що цифра, яка вийшла при обчисленнях множиться на саму себе.

10 -2 ступеня - це скільки.

1. 10 -2 ступеня це теж саме, що 1/10-2 ступеня, зводиш 10 в квадрат і виходить 1/100,а це дорівнює 0,01.

10^-2 = 1/10 * 1/10 = 1/(10*10) = 1/100 = 0.01

=) Темна кажеш? ..хех (з « Біле сонцепустелі»)

10 -2 це значи 1 розділити на 10 в 2. тобто 0,01

0.01 Довчилися!

10 у 2 ступені означає 100

10 до 1 ступеня 10

якщо ступінь знижувати на одиницю, то результат зменшується в даному випадку в 10 разів, отже 10 0 буде 1 (10/10)

10 у ступені -1 буде 1/10

10 у ступені -2 буде 1/100 або 0,01

я не зрозуміла, який ступінь 2 або -2. якщо 2 до відповідь 100, якщо -2, то 0,01

100, дивно як ви вважаєте що виходить 0,01.

Це 0,01 – за правильність відповідаю!! ! А те, що тобі написали 100, це якби 10 у 2 ступені було, тому можеш навіть не сумніватися

Все це десять в мінус другого ступеня

Надвечір все так складно?

Ступінь використовується для спрощення запису операції множення числа саме на себе. Наприклад, замість запису можна написати 4 5 (\displaystyle 4^(5))(Пояснення такому переходу дано у першому розділі цієї статті). Ступені дозволяють спростити написання довгих або складних виразівчи рівнянь; також ступеня легко складаються і віднімаються, що призводить до спрощення виразу або рівняння (наприклад, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Примітка:якщо вам необхідно вирішити показове рівняння(у такому рівнянні невідоме перебуває у показнику ступеня), прочитайте .

Кроки

Вирішення найпростіших завдань зі ступенями

Помножте підставу ступеня саме собою числом разів, рівним показнику ступеня.Якщо вам потрібно вирішити завдання зі ступенями вручну, перепишіть ступінь у вигляді операції множення, де основа ступеня множиться сама на себе. Наприклад, дана ступінь 3 4 (\displaystyle 3^(4)). У цьому випадку основа ступеня 3 потрібно помножити сама на себе 4 рази: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Ось інші приклади:

Для початку перемножте перші два числа.Наприклад, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Не хвилюйтеся - процес обчислення не такий складний, як здається на перший погляд. Спочатку перемножте перші дві четвірки, а потім замініть їх отриманим результатом. Ось так:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Помножте отриманий результат (у прикладі 16) на таке число.Кожен наступний результат пропорційно збільшуватиметься. У нашому прикладі помножте 16 на 4. Ось так:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16 * 4 = 64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Продовжуйте множити результат перемноження перших двох чисел на наступне число, доки не отримаєте остаточну відповідь. Для цього перемножуйте перші два числа, а потім отриманий результат множте наступне число в послідовності. Цей метод є справедливим для будь-якого ступеня. У нашому прикладі ви повинні отримати: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Розв'яжіть такі завдання.Перевірте відповідь за допомогою калькулятора.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. На калькуляторі знайдіть клавішу, позначену як "exp", або " x n (\displaystyle x^(n))», або «^».За допомогою цієї клавіші ви зводитимете число в ступінь. Обчислити ступінь із великим показником вручну практично неможливо (наприклад, ступінь 9 15 (\displaystyle 9^(15))), але калькулятор з легкістю впорається з цим завданням. У Windows 7 стандартний калькулятор можна переключити на інженерний режим; для цього натисніть "Вид" -> "Інженерний". Щоб переключитися у звичайний режим, натисніть "Вид" -> "Звичайний".

   • Перевірте отриману відповідь за допомогою пошукової системи(Google або Яндекс). Скориставшись клавішею «^» на клавіатурі комп'ютера, введіть вираз у пошукову систему, яка вмить відобразить правильну відповідь (і, можливо, запропонує аналогічні вирази для вивчення).

   Додавання, віднімання, перемноження ступенів

   1. Складати і віднімати ступеня можна тільки в тому випадку, якщо вони мають однакові підстави.Якщо потрібно скласти ступеня з однаковими основами та показниками, то ви можете замінити операцію додавання операцією множення. Наприклад, дано вираз 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Пам'ятайте, що ступінь 4 5 (\displaystyle 4^(5))можна уявити у вигляді 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); таким чином, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2 * 4 ^ (5))(Де 1 +1 = 2). Тобто порахуйте число подібних ступенів, а потім перемножте такий рівень і це число. У прикладі зведіть 4 в п'яту ступінь, а потім отриманий результат помножте на 2. Пам'ятайте, що операцію додавання можна замінити операцією множення, наприклад, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Ось інші приклади:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. При перемноженні ступенів однаковою основоюїх показники складаються (підстава не змінюється).Наприклад, дано вираз x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). В цьому випадку потрібно просто скласти показники, залишивши основу без змін. Таким чином, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Ось наочне пояснення цього правила:

      При зведенні ступеня показник показники перемножуються.Наприклад, дана ступінь . Оскільки показники ступеня перемножуються, то (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Сенс цього правила в тому, що ви множите ступінь (x 2) (\displaystyle (x^(2)))саму себе п'ять разів. Ось так:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Оскільки основа одна й та сама, показники ступеня просто складаються: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Ступінь з негативним показником слід перетворити на дріб (у зворотний ступінь).Чи не біда, якщо ви не знаєте, що таке зворотний ступінь. Якщо вам дано ступінь з негативним показником, наприклад, 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), запишіть цей ступінь у знаменник дробу (у чисельнику поставте 1), а показник зробіть позитивним. У нашому прикладі: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Ось інші приклади:

      При розподілі ступенів з однаковою основою їх показники віднімаються (підстава у своїй не змінюється).Операція поділу протилежна операції множення. Наприклад, дано вираз 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Відніміть показник ступеня, що стоїть у знаменнику, з показника ступеня, що стоїть у чисельнику (підстава не змінюйте). Таким чином, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • Ступінь, що стоїть у знаменнику, можна записати в такому вигляді: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2))))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Пам'ятайте, що дріб – це число (ступінь, вираз) з негативним показником ступеня.

   4. Нижче наведено деякі вирази, які допоможуть вам навчитися вирішувати завдання зі ступенями.Наведені вирази охоплюють матеріал, викладений у розділі. Щоб побачити відповідь, просто виділіть порожній простір після знаку рівності.

   Розв'язання задач з дробовими показниками ступеня

   Ступінь з дробовим показником (наприклад, ) перетворюється на операцію вилучення кореня.У нашому прикладі: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x))). Тут неважливо, скільки стоїть у знаменнику дробового показника ступеня. Наприклад, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))- це корінь четвертого ступеня із «х», тобто x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. Якщо показник ступеня є неправильний дріб, то такий ступінь можна розкласти на два ступені, щоб спростити розв'язання задачі. У цьому немає нічого складного – просто згадайте правило перемноження ступенів. Наприклад, дана ступінь . Перетворіть такий ступінь на корінь, ступінь якого дорівнюватиме знаменнику дробового показника, а потім зведіть цей корінь на ступінь, що дорівнює чисельнику дробового показника. Щоб зробити це, згадайте, що 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). У нашому прикладі:

      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac(5)(3))=x^(5)*x^(\frac(1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. На деяких калькуляторах є кнопка для обчислення ступенів (спочатку потрібно ввести основу, натиснути кнопку, а потім ввести показник). Вона позначається як ^ чи x ^ y.
   3. Пам'ятайте, що будь-яке число в першому ступені дорівнює самому собі, наприклад, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.)Більш того, будь-яке число, помножене або розділене на одиницю, дорівнює самому собі, наприклад, 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5)і 5/1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
   4. Знайте, що ступеня 0 0 немає (такий ступінь немає рішення). При спробі вирішити такий ступінь на калькуляторі або комп'ютері ви отримаєте помилку. Але пам'ятайте, що будь-яке число в нульовому ступені дорівнює 1, наприклад, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. У вищої математики, яка оперує уявними числами: e a i x = c o s a x + i s i na x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), де i = (−1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); е - константа, приблизно рівна 2,7; а - довільна стала. Доказ цієї рівності можна знайти у будь-якому підручнику з вищої математики.

   Попередження

   • У разі збільшення показника ступеня її значення сильно зростає. Тому якщо відповідь здається вам неправильною, насправді вона може виявитися вірною. Ви можете перевірити це, побудувавши графік будь-який показової функціїнаприклад, 2 x .