Властивості незалежних випадкових величин. Системи дискретних випадкових величин

Часто щодо випадкових явищ доводиться мати справу не з однією випадковою величиною, а з двома, трьома і більше. Спільне вивчення кінцевого числавипадкових величин призводить до системи випадкових величин. Наведемо деякі приклади систем випадкових величин:

• 1. Точка приземлення космічного апаратуБагаторазового використання Спейс Шаттл характеризується системою трьох випадкових величин: широтою (СР), довготою (А,), висотою (Н).
• 2. Успішність навмання обраної студентки характеризується системою випадкових величин - відмітками, що проставляються у додатку до диплома.

Впорядкований набір випадкових величин >,

заданих просторі елементарних подій, називається системою п випадкових величин. Її зручно розглядати як координати випадкового вектора в n-мірному просторі. Система випадкових величин є функцією елементарної події, тобто.

кожному елементарній подіїзі ставиться у відповідність п дійсних чисел- Значення, прийняті випадковими величинами (X, Х 2, ..., XJ в результаті досвіду.

Випадкові величини (Х 1? Х 2, ..., X), що входять до системи, можуть бути дискретними та недискретними (безперервними та змішаними). На них поширюються практично без змін усі основні визначення поняття однієї випадкової величини.

Розглянемо систему двох випадкових величин (Х; У). Її основні поняття легко узагальнюються на випадок більшого числакомпонентів. Систему двох випадкових величин (X; Y) можна зобразити випадковою точкою на площині ОХУ (рис. 2.18) або випадковим вектором (рис. 2.19).

Повною характеристикою системи випадкових величин є її закон розподілу, який має різні форми:

• матриця розподілу;
• функція розподілу;
• густина розподілу.

Аналогом ряду розподілу дискретної випадкової величини X для системи двох випадкових величин (X,Y) є матриця розподілу - прямокутна таблиця, в якій

розташовуються ймовірності

Подія-є твір подій (X = х г)

і (Y = у).

Матриця розподілу двох дискретних випадкових величин має вигляд:

Зауважимо, що

На рис. 2.20 наведено графік розподілу двовимірної дискретної випадкової величини (X, Y).

Знаючи матрицю розподілу двовимірної дискретної випадкової величини (X,Y) можна визначити ряди розподілу кожної з компонентів (зворотне в загальному випадкунеможливо).

Шукані формули мають вигляд:

Найбільш універсальною формулою закону розподілу для системи двох випадкових величин є функція розподілу, яку ми позначаємо F(x, у).

Функцією розподілу двох випадкових величин (X,Y) називається можливість спільного виконання нерівності: X х і Y у, тобто.

Геометрично F(x, у)інтерпретується як ймовірність попадання випадкової точки (X, Y) у нескінченний квадрат з вершиною в точці ( х, у),який розташовується ліворуч і нижче за неї (рис. 2.21).

Зауважимо, що верхня і права межі квадрата до нього не включаються.

Якщо задана матриця розподілу двох випадкових дискретних величин (2.49), то функція розподілу двовимірної випадкової величини визначається за формулою:

Наведемо деякі властивості функції розподілу двовимірної випадкової величини.

1. Безліч значень функції розподілу F(x, у)належить відрізку, тобто

2. Функція розподілу F(x, у)є незменшною функцією обох своїх аргументів, тобто

3. Якщо хоча б один із аргументів функції розподілу F(x, у)перетворюється на -оо, то функція розподілу перетворюється на нуль, тобто.

• 4. Якщо обидва аргументи функції розподілу F(x, у)звертаються до +оо, то вона стає рівної одиниці, Тобто F(+oo, +оо) = 1.
• 5. Якщо один із аргументів функції розподілу звертається до +оо, то функція розподілу системи двох випадкових величин стають функцією розподілу випадкової величини, яка відповідає іншому аргументу, тобто.

де F x (x) та F 2 (y) - функції розподілу випадкових величин X та Y відповідно.

6. Функція розподілу системи двох випадкових величин F(x, у)безперервна зліва за кожним своїм аргументом, тобто.

Знаючи функцію розподілу F(x, у),можна знайти ймовірність попадання випадкової точки ( X, Y) прямокутник G зі сторонами, паралельними осям координат, обмеженого абсцисами а, Ъі ординатами з і d, причому ліва та нижня межі включаються до G, а права та верхня - не включаються (рис. 2.22).

Якщо функція розподілу F(x, у)безперервна і диференційована по кожному з аргументів, система двох випадкових величин (X, Y) є безперервною, причому складові цієї системи - безперервні випадкові величини.

Для безперервних двовимірних випадкових величин як закон розподілу вводиться поняття щільності розподілу (або спільної густини розподілу) f(x, у),яка є другою змішаною приватною похідною від функції розподілу, тобто.

Щільність розподілу f(x, у)є деякою поверхнею, яку називають поверхнею розподілу (рис. 2.23).

Щільність розподілу f(x, у)має такі властивості:

• 1) густина розподілу є невід'ємною функцією, тобто. f(x, у) > 0;
• 2) об'єм, обмежений поверхнею розподілу та площиною Оху, дорівнює одиниці, тобто.

3) ймовірність попадання випадкової точки (X, У) в область G визначається формулою

4) функція розподілу системи двох випадкових величин (X, У) виражається через спільну густину розподілу наступним чином:

Як і випадку однієї випадкової величини введемо поняття елемент ймовірності для системи двох безперервних випадкових величин: f(x, y)dxdy.

З точністю до нескінченно малих вищих порядків елемент ймовірності f(x, y)dxdyдорівнює ймовірності попадання випадкової точки (X, Y) елементарний прямокутник з розмірами dx та dy,що примикає до точки (х, у)(Рис. 2.24).

Ця ймовірність приблизно дорівнює обсягу елементарного паралелепіпеда з висотою f(x, у),який спирається на цей прямокутник.

Щільності розподілу одновимірних складових X та Y двовимірної безперервної випадкової величини перебувають за формулами

Знаючи спільну щільність розподілу двовимірної безперервної випадкової величини/(х, у),можна знайти функцію розподілу кожної з її складових:

Якщо відомі закони розподілу випадкових величин X та Y, які входять до системи (X, Y), то можна визначити закон розподілу системи тільки в тому випадку, якщо випадкові величини X та У незалежні. Дві випадкові величини X і У будуть незалежні тільки в тому випадку, якщо закон розподілу кожної з них не залежить від того, які значення набуває інша. В іншому випадку величини X і будуть залежними.

Наведемо без доказів умови незалежності двох випадкових величин.

Теорема 2.2.Для того, щоб дві дискретні випадкові величини X і У, що утворюють систему (Х,У), були незалежними, необхідно і достатньо виконання рівності

для Vi = 1, пі j = 1, т.

Теорема 2.3.Для того щоб випадкові величини X і У, що входять в систему (X, У), були незалежними, необхідно і достатньо, щоб функція розподілу системи дорівнювала добутку функцій розподілу її складових, тобто.

Теорема 2.4.Для того щоб безперервні випадкові величини X і У, що входять до системи (X, У), були незалежними, необхідне і достатньо виконання рівності

т. е. спільна щільність розподілу системи (X, У) повинна дорівнювати добутку щільностей розподілу її складових.

У разі, якщо випадкові величини X і У, утворюють систему, є залежними, для характеристики їхньої залежності вводяться поняття умовних законів розподілу випадкових величин.

Умовних законів розподілу у цьому посібнику стосуватися не будемо. Бажаючі можуть ознайомитися з ними, наприклад, у .

Так само, як і одна випадкова величина X систему двох випадкових величин (X, У) можна задати числовими характеристиками. Як такі зазвичай використовуються початкові та центральні моменти різних порядків.

Початковим моментом порядку (до + s) системи двох випадкових величин (X та У) називається математичне очікування твору Х дона Y s ,тобто.

Центральним моментом порядку (до+ s) системи двох випадкових величин (X, У) називається математичне очікування

твори Х дона У®, тобто.

де - центровані випадкові

величини.

Нагадаємо, що порядком початкового та центрального моментів є сума його індексів, тобто. (до+ s).

Наведемо формули для знаходження початкового та центрального моментів.

Для системи двох дискретних випадкових величин, маємо
Нагадаємо, що

Для системи двох безперервних випадкових величин отримуємо

На практиці найчастіше використовують початковий та центральний моменти першого та другого порядків.

Є два початкові моменти першого порядку:

Вони є математичними очікуваннями випадкових величин X та Y.

Крапка з координатами ( М[Х], M[Y]) на площині OXY - характеристика положення випадкової точки (X, Y), тобто її розкид відбувається навколо точки (М[Х, M[Y]).

Обидва центральні моменти першого порядку дорівнюють нулю, тобто.

Є три початкові моменти другого порядку:

Момент а 11 часто зустрічається у додатках. З виразів (2.66) і (2.68) випливають формули для його обчислення:

Для системи двох дискретних випадкових величин

Для системи двох безперервних випадкових величин

Є три центральні моменти другого порядку:

Перші два моменти у формулах (2.74) – це дисперсії. А момент { називається коваріацією, чи кореляційним моментом системи випадкових величин (X,Y). Для нього вводиться спеціальне позначення K = До ху.З виразів (2.67) і (2.69) випливають формули для його обчислення:

Для системи дискретних випадкових величин

Для систем безперервних випадкових величин

Центральні моменти можна висловлювати через початкові та навпаки. Тому часто підступність виражають через початкові моменти.

т. е. коваріація системи двох випадкових величин дорівнює математичному очікуванню їх твору мінус твір їх математичних очікувань.

Наведемо деякі властивості підступності:

1. Коваріація симетрична, тобто при зміні індексів місцями вона не змінюється:

2. Дисперсія випадкової величини - це її коваріація сама собою, тобто.

3. Якщо випадкові величини X і Yнезалежні, то коваріація дорівнює нулю:

Розмірність кореляційного моменту дорівнює добутку розмірностей випадкових величин X та Y. Зручніше користуватися безрозмірним коефіцієнтом, що характеризує лише залежність між випадковими величинами X та Y. Тому коваріацію ділять на твір середніх квадратичних відхиленьа[Х] х а[У] і одержують коефіцієнт кореляції:

Цей коефіцієнт характеризує ступінь залежності випадкових величин X і Y, причому не будь-якої залежності, а лише лінійної. Для будь-яких двох випадкових величин X та Y виконується нерівність

Якщо г ху= 0, то лінійної залежності між випадковими величинами X і Y немає, і вони називаються некорельованими. Якщо г ху Ф 0, то випадкові величини X та Y називаються корельованими.

Чим ближче до г до ±1, тим більше тісний лінійний зв'язок існує між випадковими величинами X і Y. Якщо г = ± 1, то між випадковими величинами X і Y існує жорсткий функціональний лінійний зв'язок виду

З незалежності випадкових величин X і Y випливає їхня некорельованість. Але зворотне становище у випадку невірно, т. е. якщо г ху= 0, це говорить лише про відсутність лінійного зв'язкуміж випадковими величинами Вони можуть бути пов'язані між собою криволінійною залежністю.

Розглянемо конкретний приклад.

Приклад 2.5

Задано матрицю розподілу системи двох дискретних випадкових величин (X, Y).

Знайти числові характеристикисистеми (X, Y): М[Х], M[Y], D[X], D[Y],ст[Х], a[Y], K)