Властивість безперервності множини дійсних чисел. Аксіоми дійсних чисел

Енциклопедичний YouTube

1 / 5

✪ Аксіоматика дійсних чисел

✪ Введення. Справжні числа | матан #001 | Борис Трушин +

✪ Принцип вкладених відрізків | матан #003 | Борис Трушін!

✪ Різні принципи безперервності | матан #004 | Борис Трушін!

✪ Аксіома безперервності. Принцип вкладених обрізків Кантора

Субтитри

Аксіома безперервності

Наступна пропозиція являє собою, мабуть, найбільш просте і зручне для додатків формулювання якості безперервності дійсних чисел. При аксіоматичному побудові теорії дійсного числа дане твердження, або еквівалентне йому, неодмінно входить до числа аксіом дійсного числа .

Аксіома безперервності (повноти). A ⊂ R (\displaystyle A\subset \mathbb (R) )і B ⊂ R (\displaystyle B\subset \mathbb (R) )і виконується нерівність, існує таке дійсне число ξ (\displaystyle \xi ), що для всіх a ∈ A (\displaystyle a\in A)і b ∈ B (\displaystyle b\in B)має місце співвідношення

Геометрично, якщо трактувати дійсні числа як точки на прямої, це твердження є очевидним. Якщо дві множини A (\displaystyle A)і B (\displaystyle B)такі, що на числовій прямій всі елементи одного з них лежать ліворуч від усіх елементів другого, то знайдеться число ξ (\displaystyle \xi ), розділяючеці дві множини, тобто лежаче правіше всіх елементів A (\displaystyle A)(крім, можливо, самого ξ (\displaystyle \xi )) і лівіше за всіх елементів B (\displaystyle B)(Та ж застереження).

Тут слід зазначити, що незважаючи на «очевидність» даної властивості, для раціональних чисел вона не завжди виконується. Наприклад, розглянемо дві множини:

A = ( x ∈ Q: x > 0 x 2< 2 } , B = { x ∈ Q: x >0 , x 2 > 2 ) (\displaystyle A=$x\in \mathbb (Q) :x>0,\;x^(2)<2\},\quad B=\{x\in \mathbb {Q} :x>0,\;x^(2)>2$)

Легко бачити, що для будь-яких елементів a ∈ A (\displaystyle a\in A)і b ∈ B (\displaystyle b\in B)виконується нерівність a< b {\displaystyle a. Проте раціональногочисла ξ (\displaystyle \xi ), що поділяє ці дві множини, не існує. Насправді, цим числом може бути лише 2 (\displaystyle (\sqrt (2))), але воно не є раціональним .

Роль аксіоми безперервності у побудові математичного аналізу

Значення аксіоми безперервності таке, що без неї неможлива строга побудова математичного аналізу. Для ілюстрації наведемо кілька фундаментальних тверджень аналізу, доказ яких спирається на безперервність дійсних чисел:

(Теорема-Вейєрштрасса).Будь-яка обмежена монотонно зростаюча послідовність сходиться
(Теорема Больцано - Коші).Безперервна на відрізку функція, що приймає на його кінцях значення різного знака, звертається в нуль у деякій внутрішній точці відрізка
(Існування статечної, показової, логарифмічної та всіх тригонометричних функцій на всій «природній» області визначення).Наприклад, доводиться, що для кожного a > 0 (\displaystyle a>0)і цілого n ⩾ 1 (\displaystyle n\geqslant 1)існує a n (\displaystyle (\sqrt[(n)](a))), тобто рішення рівняння x n = a, x > 0 (\displaystyle x^(n)=a,x>0). Це дозволяє визначити значення виразу для всіх раціональних x (\displaystyle x):

A m / n = (a n) m (\displaystyle a^(m/n)=\left((\sqrt[(n)](a))\right)^(m))

Нарешті, знову завдяки безперервності числової прямої можна визначити значення виразу a x (\displaystyle a^(x))вже для довільного x ∈ R (\displaystyle x\in \mathbb (R) ). Аналогічно, використовуючи властивість безперервності, доводиться існування числа log a ⁡ b (\displaystyle \log _(a)(b))для будь-яких a , b > 0 , a ≠ 1 (\displaystyle a,b>0,a\neq 1).

Тривалий історичний проміжок часу математики доводили теореми з аналізу, у «тонких місцях» посилаючись на геометричне обґрунтування, а найчастіше – і взагалі їх пропускаючи, оскільки це було очевидно. Найважливіше поняття безперервності використовувалося без чіткого визначення. Лише в останній третині XIX століття німецький математик Карл Вейерштрасс зробив арифметизацію аналізу, побудувавши першу сувору теорію дійсних чисел як нескінченних десяткових дробів. Він запропонував класичне визначення межі мовою ε − δ (\displaystyle \varepsilon -\delta ), довів ряд тверджень, які до нього вважалися «очевидними», і цим завершив побудову фундаменту математичного аналізу.

Пізніше було запропоновано інші підходи до визначення дійсного числа. В аксіоматичному підході безперервність дійсних чисел виділена явно в окрему аксіому. У конструктивних підходах до теорії дійсного числа, наприклад, при побудові дійсних чисел за допомогою дедекіндових січень, властивість безперервності (у тому чи іншому формулюванні) доводиться як теорема.

Інші формулювання властивості безперервності та еквівалентні пропозиції

Існує кілька різних тверджень, що виражають властивість безперервності дійсних чисел. Кожен з цих принципів можна покласти в основу побудови теорії дійсного числа як аксіома безперервності, і з нього вивести решту . Докладніше це питання обговорюється у наступному розділі.

Безперервність за Дедекіндом

Питання про безперервність дійсних чисел Дедекінд розглядає у своїй роботі «Безперервність та ірраціональні числа». У ній він порівнює раціональні числа з точками прямої лінії. Як відомо, між раціональними числами і точками прямої можна встановити відповідність, коли на прямій вибирають початкову точку та одиницю виміру відрізків. За допомогою останньої можна по кожному раціональному числу a (\displaystyle a)побудувати відповідний відрізок, і відклавши його вправо чи вліво, дивлячись на те, чи є a (\displaystyle a)позитивне чи негативне число, отримати точку p (\displaystyle p), відповідну числу a (\displaystyle a). Таким чином, кожному раціональному числу a (\displaystyle a)відповідає одна і лише одна точка p (\displaystyle p)на прямий.

При цьому виявляється, що на прямій є безліч точок, які не відповідають жодному раціональному числу. Наприклад, точка, отримана шляхом відкладення довжини діагоналі квадрата, побудованого на одиничному відрізку. Таким чином, область раціональних чисел не має тієї повнотою, або ж безперервністюяка властива прямій лінії.

Щоб з'ясувати у чому полягає ця безперервність, Дедекінд робить наступне зауваження. Якщо p (\displaystyle p)є певна точка прямої, то всі точки прямої розпадаються на два класи: точки розташовані лівіше p (\displaystyle p), і точки розташовані правіше p (\displaystyle p). Сама ж точка p (\displaystyle p)може бути довільно віднесена до нижнього, або до верхнього класу. Дедекінд вбачає сутність безперервності у зворотному принципі:

Геометрично цей принцип є очевидним, проте довести його ми не в змозі. Дедекінд підкреслює, що, по суті, цей принцип є постулатом, в якому виражена сутність того, що приписується прямий властивості, яке ми називаємо безперервністю.

Щоб глибше зрозуміти сутність безперервності числової прямий у сенсі Дедекінда, розглянемо довільний переріз безлічі дійсних чисел, тобто поділ всіх дійсних чисел на два непусті класи, так що всі числа одного класу лежать на числовій прямій ліворуч від усіх чисел другого. Ці класи називаються відповідно нижнімі верхнім класамиперерізу. Теоретично є 4 можливості:

У нижньому класі є максимальний, у верхньому класі немає мінімального
У нижньому класі немає максимального елемента, а у верхньому класі є мінімальний
У нижньому класі є максимальний, а у верхньому – мінімальний елементи
У нижньому класі немає максимального, а у верхньому – мінімального елементів

У першому та другому випадках максимальний елемент нижнього або мінімальний елемент верхнього відповідно і виробляє цей переріз. У третьому випадку ми маємо стрибок, а четвертому - пробіл. Таким чином, безперервність числової прямої означає, що в множині дійсних чисел немає ні стрибків, ні пробілів, тобто, образно кажучи, немає порожнеч.

Ця пропозиція також еквівалентна принципу безперервності Дедекінда. Більше того, можна показати, що з затвердження теореми про супремум безпосередньо випливає твердження теореми про інфімум, і навпаки (див. нижче).

Лемма про кінцеве покриття (принцип Гейне – Бореля)

Лемма про кінцеве покриття (Гейне – Борель). У будь-якій системі інтервалів, що покриває відрізок, існує кінцева підсистема, що покриває цей відрізок.

Лемма про граничну точку (принцип Больцано - Вейєрштрасса)

Лемма про граничну точку (Больцано – Вейєрштрас). Будь-яке нескінченне обмежене числове безліч має принаймні одну граничну точку.. Друга група висловлює те що, що сукупність дійсних чисел є , причому відношення порядку погоджено з основними операціями поля. Таким чином, перша і друга групи аксіом означають, що сукупність дійсних чисел є впорядкованим полем . Третя група аксіом складається з однієї аксіоми - аксіоми безперервності (або повноти).

Щоб показати еквівалентність різних формулювань безперервності дійсних чисел, слід довести, що й упорядкованого поля виконано одне з цих пропозицій, те з цього випливає справедливість решти.

Теорема. Нехай - довільна лінійно, упорядкована множина. Наступні твердження еквівалентні:

Якими б не були непусті множини і B ⊂ R (\displaystyle B\subset (\mathsf (R))), такі що для будь-яких двох елементів a ∈ A (\displaystyle a\in A)і b ∈ B (\displaystyle b\in B)виконується нерівність a ⩽ b (\displaystyle a\leqslant b), існує такий елемент ξ ∈ R (\displaystyle \xi \in (\mathsf(R))), що для всіх a ∈ A (\displaystyle a\in A)і b ∈ B (\displaystyle b\in B)має місце співвідношення a ⩽ ξ ⩽ b (\displaystyle a\leqslant \xi \leqslant b)
Для будь-якого перерізу в R (\displaystyle (\mathsf(R)))існує елемент, що виробляє цей переріз
Будь-яке непусте обмежене зверху безліч A ⊂ R (\displaystyle A\subset (\mathsf(R)))має супремум
Будь-яке непусте обмежене знизу безліч A ⊂ R (\displaystyle A\subset (\mathsf(R)))має інфімум

Як видно з цієї теореми, ці чотири пропозиції використовують лише те, що на R (\displaystyle (\mathsf(R)))введено відношення лінійного порядку і не використовують структуру поля. Таким чином, кожне з них виражає властивість R (\displaystyle (\mathsf(R)))як лінійно впорядкованої множини. Ця властивість (довільної лінійно впорядкованої множини, не обов'язково безлічі дійсних чисел) називається безперервністю, або повнотою, за Дедекіндом.

Доказ еквівалентності інших пропозицій вже потребує структури поля.

Теорема. Нехай R (\displaystyle (\mathsf(R)))- довільне впорядковане поле. Наступні пропозиції рівносильні:

Зауваження. Як видно з теореми, принцип вкладених відрізків сам собою не рівносильнийпринципу безперервності Дедекінда. З принципу безперервності Дедекінда випливає принцип вкладених відрізків, проте для зворотного потрібно додатково вимагати, щоб упорядковане поле .

План:

1 Аксіома безперервності
2 Роль аксіоми безперервності у побудові математичного аналізу
3 Інші формулювання властивості безперервності та еквівалентні пропозиції
- 3.1 Безперервність за Дедекіндом
- 3.2 Лемма про вкладені відрізки (принцип Коші - Кантора)
- 3.3 Принцип супремуму
- 3.4 Лемма про кінцеве покриття (принцип Гейне – Бореля)
- 3.5 Лемма про граничну точку (принцип Больцано - Вейєрштрасса)
4 Еквівалентність речень, що виражають безперервність безлічі дійсних чисел

Вступ

Безперервність дійсних чисел- властивість системи дійсних чисел, яким не має безліч раціональних чисел. Іноді замість безперервності говорять про повноті системи дійсних чисел. Існує кілька різних формулювань якості безперервності, найбільш відомі з яких: принцип безперервності дійсних чисел за Дедекіндом, принцип вкладених відрізків Коші - Кантора, теорема про супремум. Залежно від прийнятого визначення дійсного числа, властивість безперервності може або постулюватися як аксіома - в тому чи іншому формулюванні, або доводитися в ролі теореми.

1. Аксіома безперервності

Наступна пропозиція являє собою, мабуть, найбільш просте і зручне для додатків формулювання якості безперервності дійсних чисел. При аксіоматичному побудові теорії дійсного числа це твердження, або еквівалентне йому, неодмінно входить до числа аксіом дійсного числа .

Геометрична ілюстрація аксіоми безперервності

Аксіома безперервності (повноти). Якими б не були непусті множини і, такі що для будь-яких двох елементів і виконується нерівність, існує така кількість ξ, що для всіх і має місце співвідношення

Геометрично, якщо трактувати дійсні числа як точки на прямий, це твердження є очевидним. Якщо дві множини Aі Bтакі, що на числовій прямий всі елементи одного з них лежать ліворуч від всіх елементів другого, то знайдеться число ξ , розділяючеці дві множини, тобто лежаче правіше всіх елементів A(крім, можливо, самого ξ ) і лівіше за всіх елементів B(Та ж застереження).

Тут слід зазначити, що, незважаючи на «очевидність» даної властивості, для раціональних чисел вона не завжди виконується. Наприклад, розглянемо дві множини:

Легко бачити, що для будь-яких елементів і виконується нерівність a < b. Проте раціональногочисла ξ, що розділяє ці дві множини, не існує. Насправді, цим числом може бути тільки , але воно не є раціональним.

2. Роль аксіоми безперервності у побудові математичного аналізу

Нарешті, знову завдяки безперервності числової прямої можна визначити значення виразу a xвже для довільного. Аналогічно, використовуючи властивість безперервності, доводиться існування числа log a bдля будь-яких.

Тривалий історичний проміжок часу математики доводили теореми з аналізу, в «тонких місцях» посилаючись на геометричне обґрунтування, а найчастіше – і зовсім їх пропускаючи, оскільки це було очевидно. Найважливіше поняття безперервності використовувалося без чіткого визначення. Лише останньої третини ХІХ століття німецький математик Карл Вейерштрасс зробив арифметизацію аналізу, побудувавши першу сувору теорію дійсних чисел як нескінченних десяткових дробів. Він запропонував класичне визначення межі мовою, довів низку тверджень, які до нього вважалися «очевидними», і цим завершив побудову фундаменту математичного аналізу.

Пізніше було запропоновано інші підходи до визначення дійсного числа. В аксіоматичному підході безперервність дійсних чисел виділена явно в окрему аксіому. У конструктивних підходах до теорії дійсного числа, наприклад при побудові дійсних чисел за допомогою дедекіндових перерізів, властивість безперервності (у тому чи іншому формулюванні) доводиться як теорема.

3. Інші формулювання якості безперервності та еквівалентні пропозиції

3.1. Безперервність за Дедекіндом

Питання про безперервність дійсних чисел Дедекінд розглядає у своїй роботі «Безперервність та ірраціональні числа». У ньому він порівнює раціональні числа з точками прямої лінії. Як відомо, між раціональними числами та точками прямої можна встановити відповідність, коли на прямій вибирають початкову точку та одиницю виміру відрізків. За допомогою останньої можна по кожному раціональному числу aпобудувати відповідний відрізок, і відклавши його вправо чи вліво, дивлячись на те, чи є aпозитивне чи негативне число, отримати точку p, відповідну числу a. Таким чином, кожному раціональному числу aвідповідає одна і лише одна точка pна прямий.

Щоб з'ясувати у чому полягає ця безперервність, Дедекінд робить наступне зауваження. Якщо pє певна точка прямої, то всі точки прямої розпадаються на два класи: точки розташовані ліворуч p, і точки розташовані правіше p. Сама ж точка pможе бути довільно віднесена до нижнього, або до верхнього класу. Дедекінд вбачає сутність безперервності у зворотному принципі:

Геометрично цей принцип є очевидним, проте довести його ми не в змозі. Дедекінд підкреслює, що, по суті, цей принцип є постулатом, в якому виражена сутність тієї прямої властивості, що приписується, яку ми називаємо безперервністю.

У нижньому класі є максимальний елемент, у верхньому класі немає мінімального
У нижньому класі немає максимального елемента, а у верхньому класі є мінімальний
У нижньому класі є максимальний, а у верхньому – мінімальний елементи
У нижньому класі немає максимального, а у верхньому – мінімального елементів

Якщо ввести поняття перерізу множини дійсних чисел, то принцип безперервності Дедекінда можна сформулювати так.

Принцип безперервності Дедекінда (повноти). Для кожного перерізу множини дійсних чисел існує число, що виробляє цей переріз.

Зауваження. Формулювання Аксіоми безперервності про існування точки, що розділяє дві множини, дуже нагадує формулювання принципу безперервності Дедекінда. Насправді ці твердження еквівалентні, і, по суті, є різними формулюваннями одного й того самого. Тому обидва ці твердження називають принципом безперервності дійсних чисел за Дедекіндом.

3.2. Лемма про вкладені відрізки (принцип Коші - Кантора)

Лемма про вкладені відрізки (Коші – Кантор). Будь-яка система вкладених відрізків

має непусте перетин, тобто існує принаймні одне число, що належить усім відрізкам цієї системи.

Якщо, крім того, довжина відрізків даної системи прагне нуля, тобто

то перетин відрізків даної системи складається з однієї точки.

Цю властивість називають безперервністю безлічі дійсних чисел у сенсі Кантора. Нижче буде показано, що для впорядкованих архімедових полів безперервність по Кантору еквівалентна безперервності по Дедекінду.

3.3. Принцип супремуму

Принцип супремуму. Будь-яке непусте обмежене зверху безліч дійсних чисел має супремум.

У курсах математичного аналізу ця пропозиція зазвичай є теоремою та її доказ суттєво використовує безперервність безлічі дійсних чисел у тій чи іншій формі. Разом про те можна навпаки, постулювати існування супремуму у всякого непустого обмеженого зверху безлічі, і спираючись цього довести, наприклад, принцип безперервності по Дедекинду. Таким чином, теорема про супремум є одним з еквівалентних формулювань властивості безперервності дійсних чисел.

Зауваження. Замість супремуму можна використовувати подвійне поняття інфімуму.

Принцип інфімуму. Будь-яке непусте обмежене знизу безліч дійсних чисел має інфімум.

3.4. Лемма про кінцеве покриття (принцип Гейне – Бореля)

3.5. Лемма про граничну точку (принцип Больцано - Вейєрштрасса)

Лемма про граничну точку (Больцано – Вейєрштрас). Будь-яке нескінченне обмежене числове безліч має принаймні одну граничну точку.

4. Еквівалентність речень, що виражають безперервність безлічі дійсних чисел

Зробимо деякі попередні зауваження. Відповідно до аксіоматичного визначення дійсного числа, сукупність дійсних чисел задовольняє трьом групам аксіом. Перша група – аксіоми поля. Друга група висловлює той факт, що сукупність дійсних чисел є лінійно впорядкованою множиною, причому відношення порядку узгоджено з основними операціями поля. Таким чином, перша та друга групи аксіом означають, що сукупність дійсних чисел є впорядкованим полем. Третя група аксіом складається з однієї аксіоми - аксіоми безперервності (або повноти).

Теорема. Нехай - довільна лінійно впорядкована множина. Наступні твердження еквівалентні:

Як видно з цієї теореми, ці чотири пропозиції використовують лише те, що введено відношення лінійного порядку, і не використовують структуру поля. Таким чином, кожне з них виражає властивість як лінійно впорядкованої множини. Ця властивість (довільної лінійно впорядкованої множини, не обов'язково безлічі дійсних чисел) називається безперервністю, або повнотою, за Дедекіндом.

Доказ еквівалентності інших пропозицій вже потребує структури поля.

Теорема. Нехай – довільне впорядковане поле. Наступні пропозиції рівносильні:

Зауваження. Як видно з теореми, принцип вкладених відрізків сам собою не рівносильнийпринципу безперервності Дедекінда. З принципу безперервності Дедекінда випливає принцип вкладених відрізків, проте для зворотного потрібно додатково зажадати, щоб упорядковане поле задовольняло аксіомі Архімеда

Доказ наведених теорем можна знайти у книгах зі списку літератури, наведеного нижче.

Примітки

Зорич, В. А.Математичний аналіз. Частина I. – Вид. 4-те, випр. - М.: «МЦНМО», 2002. - С. 43.
Наприклад, при аксіоматичному визначенні дійсного числа принцип безперервності Дедекінда входить до числа аксіом, а при конструктивному визначенні дійсного числа за допомогою дедекіндових перерізів те саме твердження вже є теоремою - див. Фіхтенгольц, Г. М.
Кудрявцев, Л.Д.Курс математичного аналізу. - 5-те вид. – М.: «Дрофа», 2003. – Т. 1. – С. 38.
Кудрявцев, Л.Д.Курс математичного аналізу. - 5-те вид. – М.: «Дрофа», 2003. – Т. 1. – С. 84.
Зорич, В. А.Математичний аналіз. Частина I. – Вид. 4-те, випр. - М.: «МЦНМО», 2002. - С. 81.
Дедекінд, Р.Безперервність та ірраціональні числа - www.mathesis.ru/book/dedekind4 = Stetigkeit und irrationale Zahlen. - 4-те виправлене видання. – Одеса: Mathesis, 1923. – 44 с.

Література

Кудрявцев, Л.Д.Курс математичного аналізу. - 5-те вид. – М.: «Дрофа», 2003. – Т. 1. – 704 с. - ISBN 5-7107-4119-1
Фіхтенгольц, Г. М.Основи математичного аналізу. - 7-е вид. – М.: «ФІЗМАТЛІТ», 2002. – Т. 1. – 416 с. - ISBN 5-9221-0196-X
Дедекінд, Р.Безперервність та ірраціональні числа - www.mathesis.ru/book/dedekind4 = Stetigkeit und irrationale Zahlen. - 4-те виправлене видання. – Одеса: Mathesis, 1923. – 44 с. , Повнота по Тьюрингу , Розбиття множини , Варіація множини , Ступінь множини .

Визначення вкладених відрізків. Доказ леми Коші – Кантора про вкладені відрізки.

Зміст

Визначення вкладених відрізків

Нехай a і b - два дійсні числа (). І нехай . Безліч чисел x, що задовольняють нерівності, називається відрізком з кінцями a і b. Відрізок позначається так: .

Послідовність числових відрізків

називається послідовністю вкладених відрізківякщо кожен наступний відрізок міститься в попередньому:
.
Тобто кінці відрізків пов'язані нерівностями:
.

Лемма про вкладені відрізки (принцип Коші - Кантора)

Для будь-якої послідовності вкладених відрізків існує точка, що належить усім цим відрізкам.
Якщо довжини відрізків прагнуть нуля:
,
то така точка єдина.

Цю лему також називають теореми про вкладені відрізкиабо принципом Коші – Кантора.

Доведення

Для доказу першої частини леми, скористаємося аксіомою повноти дійсних чисел

Аксіома повноти дійсних чиселполягає в наступному. Нехай множини A і B є два підмножини дійсних чисел, таких що для будь-яких двох елементів і цих множин виконується нерівність. Тоді існує така дійсна кількість c, що для всіх і виконуються нерівності:
.

Застосуємо цю аксіому. Нехай безліч A є безліч лівих кінців відрізків, а безліч B – правих. Тоді між двома будь-якими елементами цих множин виконується нерівність. Тоді з аксіоми повноти дійсних чисел випливає, що існує таке число c, що для всіх n виконуються нерівності:
.
Воно означає, що точка c належить всім відрізкам.

Доведемо другу частину леми.

Нехай. Відповідно до визначення межі послідовності , це означає, що для будь-якого позитивного числа існує таке натуральне число N , що залежить від ε , що для всіх натуральних n > N виконується нерівність
(1) .

Допустимо неприємне. Нехай існує дві різні точки c 1 і c 2 , c 1 ≠ c 2, що належать усім відрізкам. Це означає, що для всіх n виконуються такі нерівності:
;
.
Звідси
.
Застосовуючи (1) маємо:
.
Ця нерівність повинна виконуватись для будь-яких позитивних значень ε. Звідси слідує що
c 1 = c 2.

Лемма доведена.

Зауваження

Існування точки, що належить усім відрізкам, випливає з аксіоми повноти, яка справедлива для дійсних чисел. До раціональних чисел ця аксіома не застосовна. Тому до безлічі раціональних чисел, лема про вкладені відрізки також не застосовна.

Наприклад, ми могли б вибрати відрізки так, щоб і ліві та праві кінці сходилися до ірраціонального числа. Тоді будь-яке раціональне число, зі збільшенням n , завжди випадало з системи відрізків. Єдине число, яке належить усім відрізком – це ірраціональне число.

Використана література:
О.В. Бісів. Лекції з математичного аналізу. Частина 1. Москва, 2004.

У шкільному курсі математики дійсні числа визначалися конструктивним шляхом, виходячи з потреби проводити вимірювання. Таке визначення було несуворим і часто заводило дослідників у глухий кут. Наприклад, питання про безперервність дійсних чисел, тобто чи є порожнечі в цій множині. Тому при проведенні математичних досліджень необхідно мати суворе визначення досліджуваних понять, хоча б у межах деяких інтуїтивних припущень (аксіом), які узгоджуються з практикою.

Попередження. Сукупність елементів x, y, z, …, що складається з більш ніж одного елемента,називається безліччю Rдійсних чисел, якщо для цих об'єктів встановлено такі операції та відносини:

I група аксіом- Аксіоми операції складання.

У безлічі Rвведено операцію додавання, тобто для будь-якої пари елементів aі b сумоюі позначається a + b
I 1 . a+b=b+a, a, b R .

I 2 . a+(b+c)=(a+b)+c,a, b, c R .

I 3. Існує такий елемент, званий нулемі позначається 0, що для будь-якого a R виконується умова a+0=a.

I 4 . Для будь-якого елемента a R існує елемент, званий йому протилежнимі позначається - a, для котрого a+(-a) = 0. Елемент a+(-b), a, b R , називається різницеюелементів aі bі позначається a - b.

II-група аксіом - аксіоми операції множення. У безлічі Rвведено операцію множення, тобто для будь-якої пари елементів aі bвизначено єдиний елемент, званий їх творомі позначається a b, отже при цьому виконуються такі умови:
ІІ 1 . ab=ba, a, b R .

II 2 a(bc)=(ab)c, a, b, c R .

ІІ 3 . Існує таке елемент, зване одиницеюі позначається 1, що для будь-якого a R виконується умова a 1=a.

ІІ 4 . Для будь-кого a 0 існує елемент, званий йому зворотнимі позначається або 1/ a, для котрого a=1. Елемент a , b 0, називається приватнимвід розподілу aна bі позначається a:bабо або a/b.

ІІ 5 . Зв'язок операцій складання та множення: для будь-яких a, b, c R виконується умова ( ac + b)c=ac+bc.

Сукупність об'єктів, що задовольняє аксіом I і II груп, називаються числовим полем або просто полем. А відповідні аксіоми називаються аксіомами поля.

III – третя група аксіом – аксіоми порядку.Для елементів Rвизначено ставлення до порядку. Воно полягає у наступному. Для будь-яких двох різних елементів aі bмає місце одне з двох співвідношень: або a b(читається " aменше або дорівнює b"), або a b(читається " aбільше або дорівнює b"). При цьому передбачається, що виконуються такі умови:

ІІІ 1. a aдля кожного a.З a b, bслід a = b.

ІІІ 2 . Транзитивність. Якщо a bі b c, то aс.

ІІІ 3 . Якщо a b, то для будь-якого елемента cмає місце a+c b+c.

ІІІ 4 . Якщо a 0, b 0, то ab 0 .

IV група аксіом складається з однієї аксіоми – аксіоми безперервності.Для будь-яких непустих множин Xі Yз Rтаких, що для кожної пари елементів x Xі y Yвиконується нерівність x < y, існує елемент a R, що задовольняє умові

Рис. 2

x < a < y, x X, y Y(Рис.2). Перелічені властивості повністю визначають безліч дійсних чисел у тому сенсі, що з цих властивостей випливають і всі його властивості. Дане визначення однозначно визначає безліч дійсних чисел з точністю до конкретної природи його елементів. Застереження про те, що в безлічі міститься більше одного елемента, необхідна тому, що безліч, що складається з одного нуля, очевидно задовольняє всім аксіомам. Надалі елементи множини R називатимемо числами.

Визначимо тепер знайомі нам поняття натуральних, раціональних та ірраціональних чисел. Числа 1, 2 1+1, 3 2+1, ...називаються натуральними числами, та їх безліч позначається N . З визначення безлічі натуральних чисел випливає, що воно має наступну характеристичну властивість: якщо

1) A N ,

3) для кожного елемента x A має місце включення x+ 1 A, то A=N .

Дійсно, згідно з умовою 2) маємо 1 A, тому за властивістю 3) та 2 A, а тоді згідно з тим самим властивістю отримаємо 3 A. Оскільки будь-яке натуральне число nвиходить з 1 послідовним додатком до неї тієї ж 1 то n A, тобто. N A, а оскільки за умовою 1 виконується включення A N , то A=N .

На цій властивості натуральних чисел заснований принцип доказу методом математичної індукції. Якщо є безліч тверджень, кожному з яких приписано натуральне число (його номер) n=1, 2, ..., і якщо доведено, що:

1) справедливе затвердження із номером 1;

2) із справедливості затвердження з будь-яким номером n N слід справедливість затвердження з номером n+1;

то цим доведено справедливість всіх тверджень, тобто. будь-якого затвердження з довільним номером n N .

Числа 0, + 1, + 2, ... називають цілими числами, їх безліч позначають Z .

Числа виду m/n, де mі nцілі, а n 0, називаються раціональними числами. Безліч всіх раціональних чисел позначають Q .

Дійсні числа, що не є раціональними, називаються ірраціональними, їх безліч позначається I .

Виникає питання, що, можливо, раціональні числа вичерпують всі елементи множини R?Відповідь це питання дає аксіома безперервності. Справді, раціональних чисел ця аксіома не виконується. Наприклад, розглянемо дві множини:

Легко бачити, що для будь-яких елементів виконується нерівність . Проте раціональногочисла, що розділяє ці дві множини, не існує. Насправді, цим числом може бути тільки , але воно не є раціональним. Цей факт і вказує на те, що існують ірраціональні числа у множині R.

Крім чотирьох арифметичних дій над числами можна робити дії зведення у ступінь та вилучення кореня. Для будь-якого числа a R та натурального nступінь a nвизначається як твір nпомножувачів, рівних a:

За визначенням a 0 1, a>0, a- n 1/ a n, a 0, n- натуральне число.

приклад.Нерівність Бернуллі: ( 1+x) n> 1+nxДовести шляхом індукції.

Нехай a>0, n- натуральне число. Число bназивається корінням n-й ступеня з числа a, якщо b n =a. І тут пишеться . Існування та єдиність позитивного кореня будь-якого ступеня nз будь-якої позитивної кількості буде доведено нижче у п. 7.3.
Корінь парного ступеня a 0 має два значення: якщо b = , k N , то й -b=. Справді, з b 2k = aвипливає, що

(-b)2k = ((-b) 2 )k = (b 2)k = b 2k

Невід'ємне значення називається його арифметичним значенням.
Якщо r = p/q, де pі qцілі, q 0, тобто. r- раціональне число, то для a > 0

(2.1)

Таким чином, ступінь a rвизначено для будь-якого раціонального числа r. З її визначення випливає, що для будь-якого раціонального rмає місце рівність

a -r = 1/a r.

Ступінь a x(число xназивається показником ступеня) для будь-якого дійсного числа xвиходить за допомогою безперервного поширення ступеня з раціональним показником (див. це у п. 8.2). Для будь-якого числа a R невід'ємне число

називається його абсолютною величиноюабо модулем. Для абсолютних величин чисел справедливі нерівності

|a + b| < |a| + |b|,
||a - b|| < |a - b|, a, b R

Вони доводяться з допомогою властивостей I-IV дійсних чисел.

Роль аксіоми безперервності у побудові математичного аналізу

Значення аксіоми безперервності таке, що без неї неможлива строга побудова математичного аналізу. [ джерело не вказано 1351 день] Для ілюстрації наведемо кілька фундаментальних тверджень аналізу, доказ яких спирається на безперервність дійсних чисел:

· (Теорема Вейєрштрасса).Будь-яка обмежена монотонно зростаюча послідовність сходиться

· (Теорема Больцано – Коші).Безперервна на відрізку функція, що приймає на його кінцях значення різного знака, звертається в нуль у деякій внутрішній точці відрізка

· (Існування статечної, показової, логарифмічної та всіх тригонометричних функцій на всій «природній» області визначення).Наприклад, доводиться, що з кожного і цілого існує , тобто рішення рівняння . Це дозволяє визначити значення виразу для всіх раціональних:

Нарешті, знову завдяки безперервності числової прямої можна визначити значення виразу для довільного . Аналогічно, використовуючи властивість безперервності, доводиться існування числа будь-яких .

Пізніше було запропоновано інші підходи до визначення дійсного числа. В аксіоматичному підході безперервність дійсних чисел виділена явно в окрему аксіому. У конструктивних підходах до теорії дійсного числа, наприклад при побудові дійсних чисел за допомогою дедекіндових перерізів, властивість безперервності (у тому чи іншому формулюванні) доводиться як теорема.

Інші формулювання якості безперервності та еквівалентні пропозиції[ред. редагувати вікі-текст]

Безперервність за Дедекіндом[ред. редагувати вікі-текст]

Основна стаття:Теорія перерізів у сфері раціональних чисел

Питання про безперервність дійсних чисел Дедекінд розглядає у своїй роботі «Безперервність та ірраціональні числа». У ньому він порівнює раціональні числа з точками прямої лінії. Як відомо, між раціональними числами та точками прямої можна встановити відповідність, коли на прямій вибирають початкову точку та одиницю виміру відрізків. За допомогою останньої можна по кожному раціональному числу побудувати відповідний відрізок і відклавши його вправо або вліво, дивлячись по тому, чи є позитивне або негативне число, отримати точку , відповідну числу . Таким чином, кожному раціональному числу відповідає одна і лише одна точка на прямій.

Щоб з'ясувати у чому полягає ця безперервність, Дедекінд робить наступне зауваження. Якщо є певна точка прямої, то всі точки прямої розпадаються на два класи: точки розташовані лівіше, і точки розташовані правіше. Сама ж точка може бути довільно віднесена або до нижнього або до верхнього класу. Дедекінд вбачає сутність безперервності у зворотному принципі:

Щоб глибше зрозуміти сутність безперервності числової прямий у сенсі Дедекінда, розглянемо довільне перетин безлічі дійсних чисел, тобто поділ всіх дійсних чисел на два непусті класи, так що всі числа одного класу лежать на числовій прямій ліворуч від усіх чисел другого. Ці класи називаються відповідно нижнімі верхнім класамиперерізу. Теоретично є 4 можливості:

1. У нижньому класі є максимальний елемент, у верхньому класі немає мінімального

2. У нижньому класі немає максимального елемента, а у верхньому класі є мінімальний

3. У нижньому класі є максимальний, а у верхньому – мінімальний елементи

4. У нижньому класі немає максимального, а у верхньому – мінімального елементів

Лемма про вкладені відрізки (принцип Коші - Кантора)[ред. редагувати вікі-текст]

Основна стаття:Лемма про вкладені відрізки

Лемма про вкладені відрізки (Коші – Кантор). Будь-яка система вкладених відрізків

має непусте перетин, тобто існує принаймні одне число, що належить усім відрізкам цієї системи.

Якщо, крім того, довжина відрізків даної системи прагне нуля, тобто

то перетин відрізків даної системи складається з однієї точки.

Цю властивість називають безперервністю безлічі дійсних чисел у сенсі Кантора. Нижче буде показано, що для архімедових впорядкованих полів безперервність по Кантору еквівалентна безперервності по Дедекінду.

Принцип супремуму[ред. редагувати вікі-текст]

Принцип супремуму. Будь-яке непусте обмежене зверху безліч дійсних чисел має супремум.

Зауваження. Замість супремуму можна використовувати подвійне поняття інфімуму.

Принцип інфімуму. Будь-яке непусте обмежене знизу безліч дійсних чисел має інфімум.

Лемма про кінцеве покриття (принцип Гейне – Бореля)[ред. редагувати вікі-текст]

Основна стаття:Лемма Гейне - Борелі

Лемма про кінцеве покриття (Гейне – Борель). У будь-якій системі інтервалів, що покриває відрізок, існує кінцева підсистема, що покриває цей відрізок.

Лемма про граничну точку (принцип Больцано - Вейєрштрасса)[ред. редагувати вікі-текст]

Основна стаття:Теорема Больцано - Вейєрштраса

Лемма про граничну точку (Больцано – Вейєрштрас). Будь-яке нескінченне обмежене числове безліч має принаймні одну граничну точку.

Еквівалентність речень, що виражають безперервність безлічі дійсних чисел[ред. редагувати вікі-текст]

Теорема. Нехай - довільна лінійно впорядкована множина. Наступні твердження еквівалентні:

1. Якими б не були непусті множини і такі, що для будь-яких двох елементів і виконується нерівність, існує такий елемент, що для всіх і має місце співвідношення

2. Для будь-якого перерізу існує елемент, що виробляє цей переріз

3. Будь-яка непуста обмежена зверху безліч має супремум

4. Будь-яке непусте обмежене знизу безліч має інфімум

Доказ еквівалентності інших пропозицій вже потребує структури поля.

Теорема. Нехай – довільне впорядковане поле. Наступні пропозиції рівносильні:

1. (як лінійно впорядковане безліч) є повним за Дедекіндом

2. Для виконання принципу Архімедаі принцип вкладених відрізків

3. Для виконання принципу Гейне - Бореля

4. Для виконання принципу Больцано - Вейєрштрасса

Зауваження. Як видно з теореми, принцип вкладених відрізків сам собою не рівносильнийпринципу безперервності Дедекінда. З принципу безперервності Дедекінда випливає принцип вкладених відрізків, проте для зворотного потрібно додатково зажадати, щоб упорядковане поле задовольняло аксіомі Архімеда

Доказ наведених теорем можна знайти у книгах зі списку літератури, наведеного нижче.

· Кудрявцев, Л.Д.Курс математичного аналізу. - 5-те вид. – М.: «Дрофа», 2003. – Т. 1. – 704 с. - ISBN 5-7107-4119-1.

· Фіхтенгольц, Г. М.Основи математичного аналізу. - 7-е вид. – М.: «ФІЗМАТЛІТ», 2002. – Т. 1. – 416 с. - ISBN 5-9221-0196-X.

· Дедекінд, Р.Безперервність та ірраціональні числа = Stetigkeit und irrationale Zahlen. - 4-те виправлене видання. – Одеса: Mathesis, 1923. – 44 с.

· Зорич, В. А.Математичний аналіз. Частина I. – Вид. 4-е, випр. - М.: «МЦНМО», 2002. - 657 с. - ISBN 5-94057-056-9.

· Безперервність функцій та числових областей: Б. Больцано, Л. О. Коші, Р. Дедекінд, Г. Кантор. - 3-тє вид. – Новосибірськ: АНТ, 2005. – 64 с.

4.5. Аксіома безперервності

Якими б не були два непусті множини речових чисел A і

B , у яких для будь-яких елементів a ∈ A та b ∈ B виконується нерівність

a ≤ b існує таке число λ , що для всіх a ∈ A , b ∈ B має місце не-

рівність a ≤ λ ≤ b .

Властивість безперервності речових чисел означає, що на річ-

ної прямої немає «пустот», тобто точки, що зображають числа заповнюють

всю речову вісь.

Дамо інше формулювання аксіомі безперервності. Для цього введемо

Визначення 1.4.5. Дві множини A і B називатимемо перетином

множини речових чисел, якщо

1) множини A і B не порожні;

2) об'єднання множин A і B складає безліч всіх речовин-

них чисел;

3) кожне число множини A менше від числа множини B .

Тобто кожна множина, що утворює переріз, містить хоча б один

елемент, ці множини не містять загальних елементів і якщо a ∈ A і b ∈ B , то

Безліч A називатимемо нижнім класом, а безліч B - верхнім

класом перерізу. Позначати перетин через A B .

Найпростішими прикладами перерізів є перерізи отримані слі-

дуючим чином. Візьмемо якесь число α і покладемо

A = ( x x< α } , B = { x x ≥ α } . Легко видеть, что эти множества не пусты, не пере-

сікаються і якщо a ∈ A і b ∈ B , то a< b , поэтому множества A и B образуют

перетин. Аналогічно, можна утворити переріз, множинами

A = (x x ≤ α), B = (x x > α).

Такі перерізи називатимемо перерізами, породженими числом α або

будемо говорити, що число α здійснює цей переріз. Це можна записати як

Перерізи, породжені будь-яким числом, мають два цікаві

властивостями:

Властивість 1. Або верхній клас містить найменше, і в нижньому

класі немає найбільшого числа, або нижній клас містить найбільше чис-

ло, і верхньому класі немає найменшого.

Властивість 2. Число, яке виробляє цей переріз, єдине.

Виявляється, що аксіома безперервності, сформульована вище, екві-

стрічкна затвердження, яке називають принципом Дедекінда:

Принцип Дедекінда. Для кожного перерізу існує число, що породжує

це перетин.

Доведемо еквівалентність цих тверджень.

Нехай справедлива аксіома безперервності, і задане якесь се-

чення A B . Тоді, оскільки класи A і B задовольняють умовам, сформу-

в аксіомі, існує число λ таке, що a ≤ λ ≤ b для будь-яких чисел

a ∈ A та b ∈ B . Але число λ має належати одному і лише одному з

класів A або B, тому буде виконано одну з нерівностей a ≤ λ< b или

a< λ ≤ b . Таким образом, число λ либо является наибольшим в нижнем классе,

або найменшим у верхньому класі і породжує цей переріз.

Назад, нехай виконано принцип Дедекінда і задані два непусті

множини A і B таких, що для всіх a ∈ A і b ∈ B виконується нерівність

a ≤ b . Позначимо через B безліч чисел b таких, що a ≤ b для будь-якого

b ∈ B та всіх a ∈ A . Тоді B ⊂ B . За безліч A приймемо безліч усіх чи-

сіл, що не входять до B .

Доведемо, що множини A та B утворюють переріз.

Справді, очевидно, що безліч B не порожня, тому що містить

непорожня множина B . Безліч A теж не порожня, тому що якщо число a ∈ A ,

то число a − 1∉ B , оскільки будь-яке число, що входить до B, має бути не менше

числа a , отже, a − 1∈ A .

безліч всіх речових чисел, через вибір множин.

І, нарешті, якщо a ∈ A та b ∈ B , то a ≤ b . Справді, якщо якесь

число c задовольнятиме нерівності c > b , де b ∈ B то буде вірним не-

рівність c > a (a - довільний елемент множини A) та c ∈ B .

Отже, A і B утворюють переріз, і в силу принципу Дедекінда існує чис-

ло λ , що породжує цей переріз, тобто є найбільшим у клас-

Доведемо, що це число не може належати до класу A . Дійсно-

але якщо λ ∈ A , то існує число a* ∈ A таке, що λ< a* . Тогда существует

число a′ , що лежить між числами λ та a*. З нерівності a′< a* следует, что

a′ ∈ A тоді з нерівності λ< a′ следует, что λ не является наибольшим в

клас A, що суперечить принципу Дедекінда. Отже, число λ бу-

дет найменшим у класі B і для всіх a ∈ A і виконуватиметься нерівність

a ≤ λ ≤ b , що потрібно було довести.◄

Таким чином, властивість, сформульована в аксіомі та властивість,

сформульоване у принципі Дедекінда еквівалентні. Надалі ці

властивості безлічі речових чисел ми називатимемо безперервністю

по Дедекінду.

З безперервності безлічі речових чисел по Дедекінду випливають

дві важливі теореми.

Теорема 1.4.3. (Принцип Архімеда) Яке б не було речове число

a, існує натуральне число n таке, що a< n .

Припустимо, що твердження теореми неправильне, тобто існує та-

число b0 , що виконується нерівність n ≤ b0 для всіх натуральних чисел

n. Розіб'ємо безліч речових чисел на два класи: до класу B віднесемо

усі числа b, що задовольняють нерівності n ≤ b для будь-яких натуральних n.

Цей клас не порожній, тому що йому належить число b0. До класу A віднесемо все

решта числа. Цей клас теж не порожній, тому що будь-яке натуральне число

входить до A . Класи A і B не перетинаються і їхнє об'єднання становить

безліч всіх речових чисел.

Якщо взяти довільні числа a ∈ A та b ∈ B , то знайдеться натуральне

число n0 таке, що a< n0 ≤ b , откуда следует, что a < b . Следовательно, классы

A і B задовольняють принцип Дедекінда і існує число α , яке

породжує перетин A B , тобто є або найбільшим у класі A , чи-

бо найменшим у класі B . Якщо припустити, що α входить до класу A , то

можна знайти натуральне n1 , для якого виконується нерівність α< n1 .

Так як n1 теж входить в A , то число не буде найбільшим у цьому класі,

отже, наше припущення є невірним і α є найменшим у

клас B .

З іншого боку, візьмемо число α - 1, яке входить до класу A. Слідова-

тельно, знайдеться натуральне число n2 таке, що α − 1< n2 , откуда получим

α < n2 + 1 . Так как n2 + 1 - натуральное число, то из последнего неравенства

слід, що α ∈ A . Отримане протиріччя доводить теорему.

Наслідок. Якими б не були числа a і b такі, що 0< a < b , существует

натуральне число n, для якого виконується нерівність na > b.

Для доказу досить застосувати принцип Архімеда до

і скористатися властивістю нерівностей.

Наслідок має простий геометричний сенс: Якими б не були два

відрізка, якщо на більшому з них, від одного з його кінців послідовно від-

кладати менший, то за кінцеве число кроків можна вийти за межі

більшого відрізка.

Приклад 1. Довести, що для будь-якого негативного числа a існує

єдине невід'ємне речовинне число t таке, що

t n = a, n ∈ , n ≥ 2 .

Ця теорема про існування арифметичного кореня n-ого ступеня

з невід'ємного числа в шкільному курсі алгебри приймається без доказів.

ства.

☺Якщо a = 0 , то x = 0 , тому доказ існування арифмети-

чеського кореня з числа a потрібно лише для a > 0 .

Припустимо, що a > 0 і розіб'ємо множину всіх речових чисел

на два класи. До класу B віднесемо всі позитивні числа x, які задоволь-

творять нерівності x n > a, клас A, решта.

По аксіомі Архімеда існують натуральні числа k і m такі, що

< a < k . Тогда k 2 ≥ k >a та 2 ≤< a , т.е. оба класса непусты, причем класс

A містить позитивні числа.

Очевидно, що A ∪ B = і якщо x1 ∈ A та x2 ∈ B , то x1< x2 .

Таким чином, класи A та B утворюють переріз. Число, що утворює це

переріз, позначимо через t. Тоді t або є найбільшим числом клас-

се A, або найменшим у класі B.

Припустимо, що t ∈ A та t n< a . Возьмем число h , удовлетворяющее нера-

венству 0< h < 1 . Тогда

(t + h)n = t n + Cnt n−1h + Cn t n−2h2 + ... + Cnn hn< t n + Cnt n−1h + Cn t n−2h + ... + Cn h =

T n + h (Cnt n−1 + Cn t n−2 + ... + Cn + Cn t n) − hCn t n = t n + h (t + 1) − ht n =

T n + h (t + 1) − t n

То отримаємо (t + h)< a . Это означает,

Звідси, якщо взяти h<

що t + h ∈ A , що суперечить тому, що t найбільший елемент у класі A .

Аналогічно, якщо припустити, що t – найменший елемент класу B,

то, взявши число h , що задовольняє нерівності 0< h < 1 и h < ,

отримаємо (t − h) = t n − Cnt n−1h + Cn t n−2 h 2 − ... + (−1) Cn h n >

> t n − Cnt n−1h + Cn t n−2h + ... + Cn h = t n − h (t + 1) − t n > a .

Це означає, що t − h ∈ B та t не може бути найменшим елементом

класу B. Отже, t n = a.

Єдиність випливає з того що, якщо t1< t2 , то t1n < t2 .☻ n

Приклад 2. Довести, що якщо a< b , то всегда найдется рациональное число r

таке, що a< r < b .

☺Якщо числа a та b - раціональні, то число раціонально і удов-

літрує необхідним умовам. Припустимо, що хоча б одне із чисел a або b

ірраціонально, наприклад, припустимо, що ірраціонально число b. Предполо-

жим також, що a ≥ 0 тоді b > 0 . Запишемо уявлення чисел a та b у вигляді

десяткових дробів: a = α 0 ,α1α 2α 3.... і b = β 0 , β1β 2 β3... , де другий дріб беско-

нечна та неперіодична. Що стосується представлення числа a , то будемо рахувати-

ти, що, якщо число a - раціонально, його запис або кінцева, або це пе-

ріодичний дріб, період якого не дорівнює 9.

Оскільки b > a , то β 0 ? 0 ; якщо β 0 = α 0, то β1 ≥ α1; якщо β1 = α1 , то β 2 ≥ α 2

і т. д., причому знайдеться таке значення i, при якому вперше буде ви-

повнятися сувора нерівність βi > αi. Тоді число β 0 , β1β 2 ...βi буде раціо-

ним і буде лежати між числами a і b.

Якщо a< 0 , то приведенное рассуждение надо применить к числам a + n и

b + n де n - натуральне число, таке що n ≥ a . Існування такого числа

випливає з аксіоми Архімеда. ☻

Визначення 1.4.6. Нехай дана послідовність відрізків числової осі

([ an ; bn ]) , an< bn . Эту последовательность будем называть системой вло-

відрізків, якщо для будь-якого n виконуються нерівності an ≤ an+1 і

Для такої системи виконуються включення

[a1; b1] ⊃ [a2; b2] ⊃ [a3; b3 ] ⊃ ... ⊃ [ an ; bn ] ⊃ ... ,

тобто кожен наступний відрізок міститься у попередньому.

Теорема 1.4.4. Для будь-якої системи вкладених відрізків існує по

принаймні одна точка, яка входить у кожен із цих відрізків.

Візьмемо дві множини A = (an) і B = (bn). Вони не порожні і за будь-яких

n і m виконується нерівність an< bm . Докажем это.

Якщо n ≥ m, то an< bn ≤ bm . Если n < m , то an ≤ am < bm .

Таким чином, класи A і B задовольняють аксіомі безперервності і

отже, існує число таке, що an ≤ λ ≤ bn для будь-якого n, тобто. це

число належить будь-якому відрізку [an; bn ] .◄

Надалі (теорема 2.1.8) ми уточнимо цю теорему.

Твердження, сформульоване в теоремі 1.4.4, називається принципом

Кантора, а безліч, що задовольняє цій умові, будемо називати не-

перервним по Кантору.

Ми довели, що, якщо впорядковане безліч безперервно по Деді-

кінду, то ньому виконано принцип Архімеда і його безперервно по Кантору.

Можна довести, що впорядкована множина, в якій виконані прин-

ципи Архімеда і Кантора, буде безперервним за Дедекіндом. Доведення

цього факту міститься, наприклад, у .

Принцип Архімеда дозволяє кожному відрізку прямої зіставити не-

яке єдине позитивне число, що задовольняє умовам:

1. рівним відрізкам відповідають рівні числа;

2. Якщо точка відрізка АС і відрізкам АВ і ВС відповідають числа a і

b, то відрізку АС відповідає число a + b;

3. деякому відрізку відповідає число 1.

Число, що відповідає кожному відрізку і відповідає умовам 1-3 на-

називається довжиною цього відрізка.

Принцип Кантора дозволяє довести, що для кожного позитивного

числа можна знайти відрізок, довжина якого дорівнює цьому числу. Таким чином,

між безліччю позитивних речових чисел і безліччю відріз-

ків, які відкладаються від деякої точки прямої по задану сторону

від цієї точки, можна встановити взаємно однозначну відповідність.

Це дозволяє дати визначення числової осі та ввести відповідність ме-

чекаю речовими числами та точками на прямій. Для цього візьмемо деякий-

ну пряму і виберемо на ній точку О, яка розділить цю пряму на два

променя. Один з цих променів назвемо позитивним, а другий заперечувач-

ним. Тоді говоритимемо, що ми вибрали напрямок на цій прямій.

Визначення 1.4.7. Числовою віссю називатимемо пряму, на якій

а) точка О, звана початком відліку або початком координат;

б) напрямок;

в) відрізок одиничної довжини.

Тепер кожному речовому числу a зіставимо точку M на число-

виття прямою таким чином, щоб

а) числу 0 відповідало початок координат;

б) OM = a - Довжина відрізка від початку координат до точки M дорівнювала

модулю числа;

в) якщо a - позитивно, то точка береться на позитивному промені і ес-

чи воно негативне, то – на негативному.

Це правило встановлює взаємно-однозначну відповідність між

безліччю речових чисел і безліччю точок на прямій.

Числову пряму (вісь) будемо також називати речовою прямою

Звідси також випливає геометричний сенс модуля речовинного чис-

ла: модуль числа дорівнює відстані від початку координат до точки, обра-

яка дає це число на числовій осі.

Тепер ми можемо дати геометричну інтерпретацію властивостям 6 та 7

модуля речового числа. При позитивному З числа x, задовольняю-

щі властивості 6, заповнюють проміжок (−C , C) , а числа x, що задовольняють

властивості 7, лежать на променях (−∞,C) або (C , +∞) .

Відзначимо ще одну чудову геометричну властивість модуля речі.

ного числа.

Модуль різниці двох чисел дорівнює відстані між точками, соот-

вітальними цим числам на речовій осі.

рих стандартних числових множин.

Безліч натуральних чисел;

Безліч цілих чисел;

Безліч раціональних чисел;

Безліч речових чисел;

Безліч, відповідно, цілих, раціональних і речових.

негативних чисел;

Безліч комплексних чисел.

Крім того, безліч дійсних чисел позначається як (−∞, +∞) .

Підмножини цієї множини:

(a, b) = (x | x ∈ R, a< x < b} - интервал;

[ a, b] = ( x | x ∈ R, a ≤ x ≤ b) - відрізок;

(a, b] = (x | x ∈ R, a< x ≤ b} или [ a, b) = { x | x ∈ R, a ≤ x < b} - полуинтерва-

ли або напіввідрізки;

(a, +∞) = (x | x ∈ R, a< x} или (−∞, b) = { x | x ∈ R, x < b} - открытые лучи;

[ a, +∞) = ( x | x ∈ R, a ≤ x) або (−∞, b] = ( x | x ∈ R, x ≤ b) - замкнені промені.

Нарешті, іноді нам будуть потрібні проміжки, у яких нам не буде важливо,

належать його кінці цього проміжку чи ні. Такий проміжок будемо

позначати a, b.

§ 5 Обмеженість числових множин

Визначення 1.5.1. Числова множина X називається обмеженою

зверху, якщо існує число М, таке, що x ≤ M для будь-якого елемента x з

множини X .

Визначення 1.5.2. Числова множина X називається обмеженою

знизу, якщо існує число m таке, що x ≥ m для будь-якого елемента x з

множини X .

Визначення 1.5.3. Числова множина X називається обмеженою,

якщо воно обмежене зверху та знизу.

У символічному записі ці визначення виглядатимуть так

безліч X обмежено зверху, якщо ∃M ∀x ∈ X: x ≤ M ,

обмежено знизу, якщо ∃m ∀x ∈ X: x ≥ m та

обмежено, якщо ∃m, M ∀x ∈ X: m ≤ x ≤ M .

Теорема 1.5.1. Числова множина X обмежена тоді і тільки тоді,

коли існує число C таке, що для всіх елементів x з цього множе-

ства виконується нерівність x ≤ C .

Нехай безліч X обмежена. Покладемо C = max (m, M) - най-

більше із чисел m і M . Тоді, використовуючи властивості модуля речових

чисел, отримаємо нерівності x ≤ M ≤ M ≤ C і x ≥ m ≥ − m ≥ −C , звідки сліду-

е, що x ≤ C .

Назад, якщо виконується нерівність x ≤ C , то −C ≤ x ≤ C . Це і є тре-

бує, якщо покласти M = C і m = −C .

Число M , що обмежує безліч X зверху, називається верхньою

кордоном множини. Якщо M - верхня межа множини X, то будь-яке

число M ′ , яке більше за M , теж буде верхньою межею цієї множини.

Таким чином, ми можемо говорити про безліч верхніх меж множини

X. Позначимо безліч верхніх меж через M. Тоді, ∀x ∈ X та ∀M ∈ M

буде виконано нерівність x ≤ M , отже, по аксіомі безперервно-

сті існує число M 0 таке, що x ≤ M 0 ≤ M . Це число називається точ-

ної верхньою межею числової множини X або верхньою гранню цього

множини або супремумом множини X і позначається M 0 = sup X .

Таким чином, ми довели, що кожна непуста числова множина,

обмежений зверху, завжди має точну верхню межу.

Очевидно, що рівність M 0 = sup X рівносильна двом умовам:

1) ∀x ∈ X виконується нерівність x ≤ M0, тобто. M 0 - верхня межа множини-

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X отже виконується нерівність xε > M 0 − ε , тобто. цю гра-

ніцю не можна покращити (зменшити).

Приклад 1. Розглянемо множину X = ⎨1 − ⎬ . Доведемо, що sup X = 1 .

☺ Справді, по-перше, нерівність 1 −< 1 выполняется для любого

n ∈; по-друге, якщо взяти довільне позитивне число ε, то по

принципу Архімеда можна знайти натуральне число nε, таке що nε>. То-

гда буде виконано нерівність 1 − > 1 − ε, тобто. знайшовся елемент xnε багато-

ства X , більший ніж 1 − ε , що означає, що 1 – найменша верхня грані-

Аналогічно, можна довести, що якщо множина обмежена знизу, то

воно має точну нижню межу, яка називається також нижньою гра-

нью або інфімумом множини X і позначається inf X .

Рівність m0 = inf X рівносильна умовам:

1) ∀x ∈ X виконується нерівність x ≥ m0;

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X так, що виконується нерівність xε< m0 + ε .

Якщо у множині X є найбільший елемент x0, то називатимемо його

максимальним елементом множини X та позначати x0 = max X . Тоді

sup X = x0. Аналогічно, якщо у множині існує найменший елемент, то

його будемо називати мінімальним, позначати min X і він буде ін-

Фімумом множини X .

Наприклад, безліч натуральних чисел має найменший елемент –

одиницю, яка одночасно є і інфімумом множини. Супре-

мума ця безліч не має, тому що вона не є обмеженою зверху.

Визначення точних верхньої та нижньої меж можна поширити на

множини, необмежені зверху або знизу, вважаючи, sup X = +∞ або, соот-

ветственно, inf X = −∞ .

На закінчення сформулюємо кілька властивостей верхніх та нижніх гра-

Властивість 1. Нехай X - деяке число. Позначимо через

− X безліч (− x | x ∈ X). Тоді sup(−X) = − inf X та inf(−X) = − sup X .

Властивість 2. Нехай X - деяка числова множина λ - речова

число. Позначимо через λ X безліч (λ x | x ∈ X). Тоді, якщо λ ≥ 0 , то

sup (λ X) = sup X , inf (λ X) = λ inf X і, якщо λ< 0, то

sup (X) = inf X, inf (X) = sup X.

Властивість 3. Нехай X1 і X2 - числові множини. Позначимо через

X1 + X 2 безліч (x1 + x2 | x1 ∈ X 1, x2 ∈ X 2 ) і через X1 − X 2 безліч

(x1 − x2 | x1 ∈ X1, x2 ∈ X 2) . Тоді sup (X 1 + X 2) = sup X 1 + sup X 2

inf (X1 + X 2) = inf X1 + inf X 2, sup (X 1 - X 2) = sup X 1 - inf X 2 і

inf (X1 − X 2) = inf X1 − sup X 2 .

Властивість 4. Нехай X1 і X 2 - числові множини, всі елементи кото-

рих невід'ємні. Тоді

sup (X1 X 2) = sup X1 ⋅ sup X 2, inf (X1 X 2) = inf X 1 ⋅ inf X 2 .

Доведемо, наприклад, перша рівність у властивості 3.

Нехай x1 ∈ X1, x2 ∈ X 2 та x = x1 + x2 . Тоді x1 ≤ sup X1, x2 ≤ sup X 2 та

x ≤ sup X1 + sup X 2 , звідки sup (X1 + X 2) ≤ sup X1 + sup X 2 .

Щоб довести протилежну нерівність, візьмемо число

y< sup X 1 + sup X 2 . Тогда можно найти элементы x1 ∈ X1 и x2 ∈ X 2 такие,

що x1< sup X1 и x2 < sup X 2 , и выполняется неравенство

y< x1 + x2 < sup X1 + sup X 2 . Это означает, что существует элемент

x = +x1 x2 ∈ X1+ X2, який більший за число y і

sup X1 + sup X 2 = sup (X1 + X 2).

Докази інших властивостей проводяться аналогічно та надають-

няться читачеві.

§ 6 Рахункові та незлічені множини

Визначення 1.6.1. Розглянемо безліч перших n натуральних чисел

n = (1,2,..., n) і кілька A . Якщо можна встановити взаємно-

однозначна відповідність між A і n, то безліч A будемо називати

кінцевим.

Визначення 1.6.2. Нехай дано кілька A . Якщо можна

встановити взаємно однозначну відповідність між безліччю A та

безліччю натуральних чисел, то безліч A будемо називати рахунок-

Визначення 1.6.3. Якщо множина A звичайно або рахункова, то будемо го-

вірити, що вона не більш ніж рахункова.

Таким чином, безліч буде рахунково, якщо його елементи можна роз-

покласти у вигляді послідовності.

Приклад 1. Безліч парних чисел – лічильне, оскільки відображення n ↔ 2n

є взаємно однозначною відповідністю між безліччю натуральних

чисел і безліччю парних чисел.

Очевидно, таку відповідність можна встановити не єдиним чином.

зом. Наприклад, можна встановити відповідність між безліччю та багато-

ністю (цілих чисел), встановивши відповідність таким способом

Аксіома безперервності (повноти). $A \subset \mathbb(R)$ і $B \subset \mathbb(R)$ $a \in A$ і $b \in B$ виконується нерівність $a \leqslant b$ , існує таке дійсне число $\xi$ , що для всіх $a \in A$ і $b \in B$ має місце співвідношення

$a \leqslant \xi \leqslant b$

Геометрично, якщо трактувати дійсні числа як точки на прямий , це твердження є очевидним. Якщо дві множини $A$ і $B$ такі, що на числовій прямій всі елементи одного з них лежать ліворуч від усіх елементів другого, то знайдеться число $\xi$ , розділяючеці дві множини, тобто лежаче правіше всіх елементів $A$ (крім, можливо, самого $\xi$ ) і лівіше за всіх елементів $B$ (Та ж застереження).

A = $x \in \mathbb(Q): x > 0, \; x^2< 2\}, \quad B = \{x \in \mathbb{Q}: x >0 \; x^2 > 2$

Легко бачити, що для будь-яких елементів $a \in A$ і $b \in B$ виконується нерівність $a< b$ . Проте раціональногочисла $\xi$ , що поділяє ці дві множини, не існує. Насправді, цим числом може бути лише $\sqrt(2)$ , але вона є раціональним .

Роль аксіоми безперервності у побудові математичного аналізу

(Теорема Вейєрштрасса).Будь-яка обмежена монотонно зростаюча послідовність сходиться
(Теорема Больцано – Коші).Безперервна на відрізку функція, що приймає на його кінцях значення різного знака, звертається в нуль у деякій внутрішній точці відрізка
(Існування статечної, показової, логарифмічної та всіх тригонометричних функцій на всій «природній» області визначення).Наприклад, доводиться, що для кожного $a > 0$ і цілого $n \geqslant 1$ існує $\sqrt[n](a)$ , тобто рішення рівняння $x^n=a, x>0$ . Це дозволяє визначити значення виразу $a^x$ для всіх раціональних $x$ :

$a^(m/n) = \left(\sqrt[n](a)\right)^m$

Нарешті, знову завдяки безперервності числової прямої можна визначити значення виразу $a^x$ вже для довільного $x \in \R$ . Аналогічно, використовуючи властивість безперервності, доводиться існування числа $\log_(a)(b)$ для будь-яких $a,b >0 , a \neq 1$ .

Тривалий історичний проміжок часу математики доводили теореми з аналізу, у «тонких місцях» посилаючись на геометричне обґрунтування, а найчастіше – і взагалі їх пропускаючи, оскільки це було очевидно. Найважливіше поняття безперервності використовувалося без чіткого визначення. Лише останньої третини ХІХ століття німецький математик Карл Вейерштрасс зробив арифметизацію аналізу, побудувавши першу сувору теорію дійсних чисел як нескінченних десяткових дробів. Він запропонував класичне визначення межі мовою $\varepsilon - \delta$ , довів ряд тверджень, які до нього вважалися «очевидними», і цим завершив побудову фундаменту математичного аналізу.

Пізніше було запропоновано інші підходи до визначення дійсного числа. В аксіоматичному підході безперервність дійсних чисел виділена явно в окрему аксіому. У конструктивних підходах до теорії дійсного числа, наприклад при побудові дійсних чисел за допомогою дедекіндових перерізів, властивість безперервності (у тому чи іншому формулюванні) доводиться як теорема.

Інші формулювання властивості безперервності та еквівалентні пропозиції

Безперервність за Дедекіндом

Питання про безперервність дійсних чисел Дедекінд розглядає у своїй роботі «Безперервність та ірраціональні числа». У ній він порівнює раціональні числа з точками прямої лінії. Як відомо, між раціональними числами і точками прямої можна встановити відповідність, коли на прямій вибирають початкову точку та одиницю виміру відрізків. За допомогою останньої можна по кожному раціональному числу $a$ побудувати відповідний відрізок, і відклавши його вправо чи вліво, дивлячись на те, чи є $a$ позитивне чи негативне число, отримати точку $p$ , відповідну числу $a$ . Таким чином, кожному раціональному числу $a$ відповідає одна і лише одна точка $p$ на прямий.

Щоб з'ясувати у чому полягає ця безперервність, Дедекінд робить наступне зауваження. Якщо $p$ є певна точка прямої, то всі точки прямої розпадаються на два класи: точки розташовані лівіше $p$ , і точки розташовані правіше $p$ . Сама ж точка $p$ може бути довільно віднесена до нижнього, або до верхнього класу. Дедекінд вбачає сутність безперервності у зворотному принципі:

Лемма про кінцеве покриття (принцип Гейне – Бореля)

Лемма про граничну точку (принцип Больцано - Вейєрштрасса)

Еквівалентність речень, що виражають безперервність безлічі дійсних чисел

Зробимо деякі попередні зауваження. Відповідно до аксіоматичного визначення дійсного числа, сукупність дійсних чисел задовольняє трьом групам аксіом. Перша група - аксіоми поля. Друга група виражає те що, що сукупність дійсних чисел є лінійно впорядковане безліч , причому відношення порядку узгоджено з основними операціями поля. Таким чином, перша та друга групи аксіом означають, що сукупність дійсних чисел є впорядкованим полем . Третя група аксіом складається з однієї аксіоми - аксіоми безперервності (або повноти).

Теорема. Нехай $\mathsf(R)$ - довільне лінійно впорядковане безліч. Наступні твердження еквівалентні:

Якими б не були непусті множини $A \subset \mathsf(R)$ і $B \subset \mathsf(R)$ , такі що для будь-яких двох елементів $a \in A$ і $b \in B$ виконується нерівність $a \leqslant b$ , існує такий елемент $\xi \in \mathsf(R)$ , що для всіх $a \in A$ і $b \in B$ має місце співвідношення $a \leqslant \xi \leqslant b$
Для будь-якого перерізу в $\mathsf(R)$ існує елемент, що виробляє цей переріз
Будь-яке непусте обмежене зверху безліч $A \subset \mathsf(R)$ має супремум
Будь-яке непусте обмежене знизу безліч $A \subset \mathsf(R)$ має інфімум

Як видно з цієї теореми, ці чотири пропозиції використовують лише те, що на $\mathsf(R)$ введено відношення лінійного порядку і не використовують структуру поля. Таким чином, кожне з них виражає властивість $\mathsf(R)$ як лінійно впорядкованої множини. Ця властивість (довільної лінійно впорядкованої множини, не обов'язково безлічі дійсних чисел) називається безперервністю, або повнотою, за Дедекіндом.

Доказ еквівалентності інших пропозицій вже потребує структури поля.

Теорема. Нехай $\mathsf(R)$ - довільне впорядковане поле. Наступні пропозиції рівносильні:

$\mathsf(R)$ (як лінійно впорядковане безліч) є повним за Дедекіндом
Для $\mathsf(R)$ виконано принцип Архімедаі принцип вкладених відрізків
Для $\mathsf(R)$ виконано принцип Гейне - Бореля
Для $\mathsf(R)$ виконано принцип Больцано - Вейєрштрасса

Зауваження. Як видно з теореми, принцип вкладених відрізків сам собою не рівносильнийпринципу безперервності Дедекінда. З принципу безперервності Дедекінда випливає принцип вкладених відрізків, проте для зворотного потрібно додатково зажадати, щоб упорядковане поле $\mathsf(R)$ задовольняло аксіомі Архімеда

Доказ наведених теорем можна знайти у книгах зі списку літератури, наведеного нижче.

Напишіть відгук про статтю "Безперервність безлічі дійсних чисел"

Примітки

Література

Кудрявцев, Л.Д.Курс математичного аналізу. - 5-те вид. – М.: «Дрофа», 2003. – Т. 1. – 704 с. - ISBN 5-7107-4119-1.
Фіхтенгольц, Г. М.Основи математичного аналізу. - 7-е вид. – М.: «ФІЗМАТЛІТ», 2002. – Т. 1. – 416 с. - ISBN 5-9221-0196-X.
Дедекінд, Р.= Stetigkeit und irrationale Zahlen. - 4-те виправлене видання. – Одеса: Mathesis, 1923. – 44 с.
Зорич, В. А.Математичний аналіз. Частина I. – Вид. 4-те, випр. – М.: «МЦНМО», 2002. – 657 с. - ISBN 5-94057-056-9.
Безперервність функцій та числових областей: Б. Больцано, Л. О. Коші, Р. Дедекінд, Г. Кантор. - 3-тє вид. – Новосибірськ: АНТ, 2005. – 64 с.

Уривок, що характеризує безперервність безлічі дійсних чисел

- Так ось кого мені шкода - людської гідності, спокою сумління, чистоти, а не їхніх спин і лобів, які, скільки ні січі, скільки ні брей, все залишаться такими ж спинами та лобами.
- Ні, ні, і тисячу разів ні, я ніколи не погоджуся з вами, - сказав П'єр.

Увечері князь Андрій і П'єр сіли в коляску та поїхали до Лисих Гор. Князь Андрій, поглядаючи на П'єра, зрідка переривав мовчання промовами, які доводили, що він був у гарному настрої.
Він говорив йому, вказуючи на поля, про свої господарські вдосконалення.
П'єр похмуро мовчав, відповідаючи однозначно, і здавався зануреним у свої думки.
П'єр думав про те, що князь Андрій нещасливий, що він помиляється, що він не знає справжнього світла і що П'єр повинен прийти на допомогу йому, просвітити і підняти його. Але як тільки П'єр вигадував, як і що він говоритиме, він передчував, що князь Андрій одним словом, одним аргументом упустить все в його учні, і він боявся почати, боявся виставити на можливість осміяння свою улюблену святиню.
- Ні, чому ж ви думаєте, - раптом почав П'єр, опускаючи голову і набуваючи вигляду бика, що ви так думаєте? Ви не маєте так думати.
– Про що я думаю? - Запитав князь Андрій з подивом.
- Про життя, про призначення людини. Цього не може бути. Я також думав, і мене врятувало, ви знаєте що? масонство. Ні, ви не посміхайтеся. Масонство – це не релігійна, не обрядова секта, як і я думав, а масонство є найкращим, єдиним виразом найкращих, вічних сторін людства. – І він почав викладати князеві Андрію масонство, як він розумів його.
Він говорив, що масонство є вчення християнства, яке звільнилося від державних і релігійних кайданів; вчення рівності, братерства та любові.
– Тільки наше святе братство має дійсний сенс у житті; все інше є сон, - говорив П'єр. - Ви зрозумієте, мій друже, що поза цим союзом все сповнене брехні та неправди, і я згоден з вами, що розумній і доброї людині нічого не залишається, як тільки, як ви, доживати своє життя, намагаючись тільки не заважати іншим. Але зрозумійте наші основні переконання, вступіть у наше братство, дайте нам себе, дозвольте керувати собою, і ви зараз відчуєте себе, як і я відчув частиною цього величезного, невидимого ланцюга, яким початок ховається в небесах, – говорив П'єр.
Князь Андрій, мовчки, дивлячись перед собою, слухав П'єрову промову. Кілька разів він, не почувши від шуму коляски, перепитував у П'єра нерозчулені слова. За особливим блиском, що загорівся в очах князя Андрія, і за його мовчанням П'єр бачив, що слова його не марні, що князь Андрій не переб'є його і не буде сміятися з його слів.
Вони під'їхали до річки, що розлилася, яку їм треба було переїжджати на поромі. Поки встановлювали коляску та коней, вони пройшли парою.
Князь Андрій, спершись на перила, мовчки дивився вздовж по блискучому від заходу сонця розливу.
— Що ж ви думаєте про це? - спитав П'єр, - що ви мовчите?
- Що я думаю? я слухав тебе. Все це так, – сказав князь Андрій. - Але ти кажеш: вступи в наше братство, і ми тобі вкажемо мету життя і призначення людини, і закони, що керують світом. Та хто ж ми люди? Чому ж ви знаєте? Чому я не бачу того, що ви бачите? Ви бачите на землі царство добра та правди, а я його не бачу.
П'єр перебив його. - Чи вірите ви в майбутнє життя? – спитав він.
– У майбутнє життя? - Повторив князь Андрій, але П'єр не дав йому часу відповісти і прийняв це повторення за заперечення, тим більше, що він знав колишні атеїстичні переконання князя Андрія.
– Ви кажете, що не можете бачити царства добра та правди на землі. І я не бачив його і його не можна бачити, якщо дивитися на наше життя як на кінець усього. На землі, саме на цій землі (П'єр вказав у полі), немає правди – все брехня та зло; але в усьому світі є царство правди, і ми тепер діти землі, а вічно діти всього світу. Хіба я не відчуваю у своїй душі, що я становлю частину цього величезного, гармонійного цілого. Хіба я не відчуваю, що я в цій величезній кількості істот, у яких проявляється Божество, – вища сила, як хочете, – що я становлю одну ланку, один щабель від нижчих істот до вищих. Якщо я бачу, ясно бачу ці сходи, які ведуть від рослини до людини, то чому ж я припустю, що ці сходи перериваються зі мною, а не ведуть далі і далі. Я відчуваю, що я не тільки не можу зникнути, як ніщо не зникає у світі, але що завжди буду і завжди був. Я відчуваю, що окрім мене наді мною живуть духи і що в цьому світі є правда.
- Так, це вчення Гердера, - сказав князь Андрій, - але не те, душе моя, переконає мене, а життя і смерть, ось що переконує. Переконує те, що бачиш дорогу тобі істоту, яка пов'язана з тобою, перед якою ти був винний і сподівався виправдатися (князь Андрій здригнувся голосом і відвернувся) і раптом ця істота страждає, страждає і перестає бути… Навіщо? Не може бути, щоби не було відповіді! І я вірю, що він є. Ось що переконує, ось що переконало мене, – сказав князь Андрій.
- Ну так, ну так, - говорив П'єр, - хіба не те саме і я кажу!
– Ні. Я говорю тільки, що переконують у необхідності майбутнього життя не докази, а то, коли йдеш у житті пліч-о-пліч з людиною, і раптом людина ця зникне там у ніде, і ти сам зупиняєшся перед цією прірвою і зазираєш туди. І, я зазирнув…
- Ну так що ж! ви знаєте, що є там і що є хтось? Там є майбутнє життя. Хтось – Бог.
Князь Андрій не відповів. Коляска і коні вже давно були виведені на інший берег і вже закладені, і вже сонце сховалося до половини, і вечірній мороз покривав зірками калюжі біля перевозу, а П'єр і Андрій, на подив лакеїв, кучерів і перевізників, ще стояли на поромі і говорили.
– Якщо є Бог і є майбутнє життя, тобто істина, є чеснота; і найвище щастя людини полягає в тому, щоб прагнути досягнення їх. Треба жити, треба любити, треба вірити, – казав П'єр, – що живемо не нині тільки на цьому клаптику землі, а жили і житимемо вічно там у всьому (він вказав на небо). Князь Андрій стояв, спершись на перила порома і, слухаючи П'єра, не зводячи очей, дивився на червоний відблиск сонця по синючому розливу. П'єр замовк. Було зовсім тихо. Пором давно пристав, і тільки хвилі течії зі слабким звуком ударялися об дно порома. Князю Андрію здавалося, що це полоскання хвиль до слів П'єра примовляло: «Щоправда, вір цьому».
Князь Андрій зітхнув, і променистим, дитячим, ніжним поглядом глянув у розчервоніле захоплене, але все боязке перед першим другом, обличчя П'єра.
- Так, коли б це було! - сказав він. — Однак підемо сідати, — додав князь Андрій, і виходячи з порому, він подивився на небо, на яке вказав йому П'єр, і вперше, після Аустерліца, він побачив те високе, вічне небо, яке він бачив лежачи на Аустерліцькому полі, і щось те, що давно заснуло, що те найкраще, що було в ньому, раптом радісно і молодо прокинулося в його душі. Почуття це зникло, коли князь Андрій вступив знову у звичні умови життя, але він знав, що це почуття, яке він не вмів розвинути, жило в ньому. Побачення з П'єром було для князя Андрія епохою, з якої почалося хоча у зовнішності і те саме, але у внутрішньому світі його нове життя.

Вже смеркло, коли князь Андрій і П'єр під'їхали до головного під'їзду лисогірського будинку. Коли вони під'їжджали, князь Андрій з усмішкою звернув увагу П'єра на метушні, що сталася біля заднього ганку. Зігнута бабуся з торбинкою на спині, і невисокий чоловік у чорному одязі і з довгим волоссям, побачивши в'їжджу коляску, кинулися бігти назад у ворота. Дві жінки вибігли за ними, і всі четверо, озираючись на коляску, злякано вбігли на задній ґанок.
– Це Машини божі люди, – сказав князь Андрій. – Вони прийняли нас як батька. А це єдине, в чому вона не кориться йому: він велить ганяти цих мандрівників, а вона приймає їх.
- Та що таке божі люди? - Запитав П'єр.
Князь Андрій не встиг відповісти йому. Слуги вийшли назустріч, і він розпитував про те, де був старий князь і чи чекають на нього.
Старий князь був ще в місті, і на нього чекали щохвилини.
Князь Андрій провів П'єра на свою половину, що завжди в повній справності чекала на нього в будинку його батька, і сам пішов у дитячу.
- Ходімо до сестри, - сказав князь Андрій, повернувшись до П'єра; - Я ще не бачив її, вона тепер ховається і сидить зі своїми божими людьми. Справді, вона сконфузиться, а ти побачиш божих людей. C"est curieux, ma parole. [Це цікаво, слово честі.]
– Qu'est ce que c'est que [Що таке] божі люди? - Запитав П'єр
– А ось побачиш.
Княжна Марія справді зніяковіла і почервоніла плямами, коли увійшли до неї. У її затишній кімнаті з лампадами перед кіотами, на дивані, за самоваром сидів поруч неї молодий хлопчик з довгим носом і довгим волоссям, і в чернечій рясі.
На кріслі, біля, сиділа зморщена, худа бабуся з лагідним виразом дитячого обличчя.
- Andre, pourquoi ne pas m'avoir prevenu? [Андрію, чому не попередили мене?] - сказала вона з лагідним докором, стаючи перед своїми мандрівниками, як квочка перед курчатами.
- Charmee de vous voir. Je suis tres contente de vous voir, Дуже рада вас бачити. Я така задоволена, що бачу вас, - сказала вона П'єру, коли він цілував її руку. Вона знала його дитиною, і тепер дружба його з Андрієм, його нещастя з дружиною, а головне, його добре, звичайне обличчя розташували її до нього. Вона дивилася на нього своїми прекрасними, променистими очима і, здавалося, говорила: «Я вас дуже люблю, але будь ласка, не смійтеся над моїми». Обмінявшись першими привітальними фразами, вони сіли.
- А, і Іванко тут, - сказав князь Андрій, показуючи усмішкою на молодого мандрівника.
- Andre! – благаюче сказала князівна Мар'я.
– Il faut que vous sachiez que cest une femme, [Знай, що це жінка,] – сказав Андрій П'єру.
- Andre, au nom de Dieu! [Андрію, заради Бога!] – повторила князівна Мар'я.
Видно було, що насмішкувате ставлення князя Андрія до мандрівників і марне заступництво за них княжни Марії були звичні, що встановилися між ними.
— Mais, ma bonne amie, — сказав князь Андрій, — vous devriez au contraire m etre reconaissante de ce que j explique a Pierre votre intimite avec ce jeune homme… [Але, мій друже, ти мусиш бути мені вдячна, що я пояснюю П'єру твою близькість до цієї молодої людини.]
- Vraiment? [Щоправда?] - сказав П'єр цікаво і серйозно (за що особливо йому вдячна була княжна Мар'я) вдивляючись через окуляри в обличчя Іванушки, який, зрозумівши, що йшлося про нього, хитрими очима оглядав усіх.
Княжна Мар'я даремно зніяковіла за своїх. Вони анітрохи не боялися. Бабуся, опустивши очі, але скоса поглядаючи на тих, що увійшли, перекинувши чашку вгору дном на блюдечко і поклавши біля обкусаний шматочок цукру, спокійно і нерухомо сиділа на своєму кріслі, чекаючи, щоб їй запропонували ще чаю. Іванко, попиваючи з блюдечка, спідлоба лукавими, жіночими очима дивився на молодих людей.
– Де, у Києві, була? - Запитав стару князь Андрій.
- Була, отче, - відповіла байдуже стара, - на саме Різдво удостоїлася у угодників повідомитися святих, небесних таємниць. А тепер із Колязина, батьку, благодать велика відкрилася...
- Що ж, Іванко з тобою?
- Я сам по собі йду, годувальник, - намагаючись говорити басом, сказав Іванко. – Тільки в Юхнові з Пелагеюшкою зійшлися…
Пелагеюшка перебила свого товариша; їй видно хотілося розповісти те, що вона бачила.
- У Колязіні, батьку, велика благодать відкрилася.
- Що ж, мощі нові? - Запитав князь Андрій.
– Годі, Андрію, – сказала князівна Мар'я. - Не розповідай, Пелагеюшко.
– Ні… що ти, мамо, чому не розповідати? Я його кохаю. Він добрий, Богом стягнений, він мені, благодійнику, рублів дав, я пам'ятаю. Як була я в Києві і каже мені Кирюша юродивий – істинно Божа людина, зиму та літо босий ходить. Що ходиш, каже, не за своїм місцем, до Колязина йди, там ікона чудотворна, матінка пресвята Богородиця відкрилася. Я з тих слів попрощалася з угодниками і пішла.
Всі мовчали, одна мандрівниця говорила мірним голосом, втягуючи повітря.
– Прийшла, отче мій, мені народ і каже: благодать велика відкрилася, у матінки пресвятої Богородиці миро зі щічки каплет…
– Ну добре, добре, потім розповіси, – червоніючи сказала княжна Мар'я.
— Дозвольте спитати, — сказав П'єр. – Ти сама бачила? – спитав він.
- Як же, тату, сама удостоїлася. Сяйво таке на лику те, як світло небесне, а зі щічки у матінки так і каплет, так і каплет.
- Та це обман, - наївно сказав П'єр, який уважно слухав мандрівницю.
- Ах, тату, що кажеш! – з жахом сказала Пелагеюшка, за захистом звертаючись до князівни Марії.
- Це дурять народ, - повторив він.
– Господи Ісусе Христе! – хрестячись сказала мандрівниця. - Ох, не кажи, тату. То один анарал не вірив, сказав: «ченці обманюють», та як сказав, так і осліп. І наснилося йому, що приходить до нього матінка Печерська і каже: «Увіруй мені, я тебе зцілю». От і почав проситися: повези та повези мене до неї. Це я тобі щиру правду кажу, сама бачила. Привезли його сліпого прямо до неї, підійшов, упав, каже: «Зціли! віддам тобі, каже, в чому цар жалував». Сама бачила, тату, зірка у ній так і вроблена. Що ж, прозрів! Гріх казати так. Бог покарає, – повчально звернулася вона до П'єра.
- Як же зірка то в образі виявилася? - Запитав П'єр.
– У генерали та матінку зробили? – сказав князь Андрій посміхаючись.
Пелагеюшка раптом зблідла і сплеснула руками.
- Батьку, батьку, гріх тобі, у тебе син! - Заговорила вона, з блідості раптом переходячи в яскраву фарбу.
- Батьку, що ти сказав таке, Бог тебе вибач. - Вона перехрестилася. – Господи, вибач його. Матінка, що ж це?… – звернулася вона до князівни Мар'ї. Вона встала і мало не плачучи почала збирати свою сумочку. Їй, мабуть, було і страшно, і соромно, що вона користувалася благодіяннями в будинку, де могли говорити це, і шкода, що тепер треба було позбутися благодіянь цього будинку.
- Ну, що вам за полювання? – сказала князівна Марія. – Навіщо ви прийшли до мене?
- Ні, я жартую, Пелагеюшка, - сказав П'єр. – Princesse, ma parole, je n'ai pas voulu l'offenser, [Княжна, я право, не хотів образити її,] я так тільки. Ти не думай, я пожартував, - говорив він, боязко посміхаючись і бажаючи загладити свою провину. - Це ж я, а він так, пожартував тільки.
Пелагеюшка зупинилася недовірливо, але в особі П'єра була така щирість каяття, і князь Андрій так лагідно дивився то на Пелагеюшку, то на П'єра, що вона потроху заспокоїлася.

Сторінка заспокоїлася і, наведена знову на розмову, довго потім розповідала про отця Амфілохія, який був такого святого життя, що від ручки його долоном пахло, і про те, як знайомі їй ченці в останню її подорож до Києва дали їй ключі від печер, і як вона, взявши із собою сухарики, дві доби провела в печерах із угодниками. «Помолюсь одному, почитаю, піду до іншого. Ссосну, знову піду додаю; і така, матінко, тиша, благодать така, що й на світ Божий виходити не хочеться».
П'єр уважно та серйозно слухав її. Князь Андрій вийшов із кімнати. І слідом за ним, залишивши божих людей допивати чай, княжна Мар'я повела П'єра до вітальні.
- Ви дуже добрі, - сказала вона.
- Ах, я не думав образити її, я так розумію і високо ціную ці почуття!
Княжна Мар'я мовчки зиркнула на нього і ніжно посміхнулася. — Я ж вас давно знаю і люблю як брата, — сказала вона. – Як ви знайшли Андрія? - спитала вона поспішно, не даючи йому часу сказати що-небудь у відповідь на її ласкаві слова. - Він дуже непокоїть мене. Здоров'я його взимку краще, але минулої весни рана відкрилася, і лікар сказав, що він має їхати лікуватися. І морально я дуже боюсь за нього. Він не такий характер, як ми, жінки, щоб вистраждати і виплакати своє горе. Він у собі носить його. Нині він веселий і жвавий; але це ваш приїзд так подіяв на нього: він рідко буває таким. Якби ви могли умовити його поїхати за кордон! Йому потрібна діяльність, а це рівне, тихе життя губить його. Інші не помічають, а я бачу.
О 10-й годині офіціанти кинулися до ґанку, почувши бубонці старого князя, що під'їжджав екіпажу. Князь Андрій із П'єром теж вийшли на ганок.
- Це хто? - спитав старий князь, вилазячи з карети і вгадавши П'єра.
- AI дуже радий! Цілуй, - сказав він, дізнавшись, хто був незнайомий молодий чоловік.
Старий князь був у доброму дусі і обласкав П'єра.
Перед вечерею князь Андрій, повернувшись назад у кабінет батька, застав старого князя у гарячій суперечці з П'єром.
П'єр доводив, що настане час, коли більше війни не буде. Старий князь, кепкуючи, але не сердячись, заперечував його.
– Кров із жив випусти, води налий, тоді війни не буде. Баб'ячі бредні, баби бредні, - промовив він, але все ж таки ласкаво поплескав П'єра по плечу, і підійшов до столу, біля якого князь Андрій, мабуть не бажаючи вступати в розмову, перебирав папери, привезені князем із міста. Старий князь підійшов до нього і почав говорити про справи.
- Провідник, Ростов граф, половини людей не доставив. Приїхав у місто, надумав на обід кликати, – я йому такий обід задав… А ось переглянь цю… Ну, брате, – звернувся князь Микола Андрійович до сина, ляскаючи по плечу П'єра, – молодець твій приятель, я його полюбив! Розпалює мене. Інший і розумні мови говорить, а слухати не хочеться, а він і бреше та розпалює мене старого. Ну йдіть, йдіть, - сказав він, - може, прийду, за вечерею вашою посиджу. Знову посперечаюсь. Мою дурницю, княжну Марію полюби, - прокричав він П'єру з дверей.
П'єр тепер тільки, у свій приїзд у Лисі Гори, оцінив усю силу та принадність своєї дружби з князем Андрієм. Ця краса виявилася не так у його стосунках з ним самим, як у стосунках з усіма рідними та домашніми. П'єр із старим, суворим князем і з лагідною і боязкою княжною Мар'єю, незважаючи на те, що він їх майже не знав, почував себе одразу старим другом. Вони вже любили його. Не тільки княжна Мар'я, підкуплена його лагідними стосунками до мандрівниць, найпроменистішим поглядом дивилася на нього; але маленький, річний князь Миколай, як кликав дід, усміхнувся П'єру і пішов йому на руки. Михайло Іванович, m lle Bourienne з радісними посмішками дивилися на нього, коли він розмовляв із старим князем.