Рівняння вищого порядку, що допускають зниження порядку. Методи зниження порядку рівняння

Тому виникає природне бажаннязвести рівняння порядку вище за перший до рівняння нижчого порядку. У деяких випадках це вдається зробити. Розглянемо їх.

1. Рівняння виду y(n) = f(x) вирішуються послідовним інтегруванням n разів
, ,… .
Приклад. Розв'язати рівняння xy""=1 . Можемо записати, отже, y"=ln|x| + C 1 і, інтегруючи ще раз, остаточно отримуємо y=∫ln|x| + C 1 x + C 2

2. У рівняннях виду F(x,y (k) ,y (k +1) ,..,y (n))=0 (тобто не містять у явному вигляді невідомої функції та деяких її похідних) порядок знижується за допомогою заміни змінної y(k) = z(x). Тоді y (k +1) = z "(x), ..., y (n) = z (n - k) (x) і ми отримуємо рівняння F (x, z, z", .., z (n - k)) порядку n-k. Його рішенням є функція z = ? C n - k) розглянутого у разі 1 типу.
приклад 1 . Розв'язати рівняння x 2 y"" = (y") 2. Робимо заміну y"=z(x) . Тоді y""=z"(x) . Підставляючи вихідне рівняння, отримуємо x 2 z"=z 2 . Розділяючи змінні, отримуємо . Інтегруючи, маємо , або, що саме, . Останнє співвідношення записується у вигляді, звідки. Інтегруючи, остаточно отримуємо
Приклад 2 . Розв'язати рівняння x 3 y"" +x 2 y"=1. Робимо заміну змінних: y"=z; y""=z"
x 3 z"+x 2 z=1. Робимо заміну змінних: z=u/x; z"=(u"x-u)/x 2
x 3 (u"x-u)/x 2 +x 2 u/x=1 або u"x 2 -xu+xu=1 або u"x^2=1. Звідки: u"=1/x 2 або du/ dx=1/x 2 або u = int(dx/x 2) = -1/x+c 1
Оскільки z=u/x, то z=-1/x2+c1/x. Оскільки y"=z, то dy/dx=-1/x 2 +c 1 /x
y = int(c 1 dx/x-dx/x 2) =c 1 ln(x) + 1/x + c 2 . Відповідь: y = c 1 ln(x) + 1/x + c 2

3. Наступним рівнянням, що допускає зниження порядку, є рівняння виду F(y,y",y"",…,y (n))=0 не містить у явному вигляді незалежної змінної. Порядок рівняння знижується за допомогою заміни змінної y" =p(y) , де p - нова функція, яка залежить від y. Тоді
= і так далі. По індукції маємо y(n) =φ(p,p",..,p(n-1)).Підставляючи у вихідне рівняння, знижуємо його порядок на одиницю.

Приклад. Розв'язати рівняння (y") 2 +2yy""=0 . Робимо стандартну заміну y"=p(y) , тоді y=p′·p . Підставляючи в рівняння, отримуємо Розділяючи змінні, при p≠0, маємо Інтегруючи, отримуємо або, що те саме, . Тоді чи . Інтегруючи останню рівність, остаточно отримуємо При розділенні змінних ми могли втратити рішення y=C, яке виходить при p=0, або, що те саме, при y"=0, але воно міститься в отриманому вище.

4. Іноді вдається помітити особливість, що дозволяє знизити порядок рівняння, відмінними від розглянутих вище способами. Покажемо на прикладах.

Приклади.
1. Якщо обидві частини рівняння yy"""=y′y″ розділити на yy″, то отримаємо рівняння , яке можна переписати у вигляді (lny″)′=(lny)′. З останнього співвідношення випливає, що lny″=lny +lnC , або, що те саме, y″=Cy .
2. Аналогічно для рівняння yy″=y′(y′+1) маємо , або (ln(y"+1))" = (lny)" . З останнього співвідношення випливає, що ln(y"+1) = lny + lnC 1 , або y"=C 1 y-1. Розділяючи змінні та інтегруючи, отримуємо, ln(C 1 y-1) = C 1 x+C 2
Вирішити рівняння, що допускають зниження порядкуможна за допомогою спеціального сервісу

Однією з способів інтегрування ДК вищих порядків є метод зниження порядку. Суть методу полягає в тому, що за допомогою заміни змінної (підстановки) дане ДК зводиться до рівняння, порядок якого нижче.

Розглянемо три типи рівнянь, що допускають зниження порядку.

I. Нехай дано рівняння

Порядок можна зменшити, ввівши нову функціюр(х), поклавши у "=р(х). Тоді у ""=p"(x) і отримуємо ДК першого порядку: p"=ƒ(х). Вирішивши його, тобто знайшовши функцію р=р (х), Розв'яжемо рівняння y " = р (х). Отримаємо загальне рішення заданого рівняння (3.6).

Насправді поступають інакше: порядок знижується безпосередньо шляхом послідовного інтегрування рівняння.

Так як рівняння (3.6) можна записати у вигляді dy " =ƒ(х) dx. Тоді, інтегруючи рівняння y "" =ƒ(х), отримуємо: y " = або y " = j1 (x) + с 1. Далі, інтегруючи одержане рівняння по х, знаходимо: - загальне рішення даного рівняння. то, проінтегрувавши його послідовно n разів, знайдемо загальне рішення рівняння:

Приклад 3.1. Вирішити рівняння

Рішення: Послідовно інтегруючи чотири рази дане рівняння, отримаємо

Нехай дано рівняння

Позначимо у "=р, де р=р(х) - нова невідома функція. Тоді у ""=p" і рівняння (3.7) набуває вигляду p" =ƒ(х;р). 1) - загальне рішення отриманого ДУ першого порядку. 3.7) матиме вигляд

Приватним випадком рівняння (3.7) є рівняння

яке також містить явно шуканої функції, його порядок можна знизити на k одиниць, поклавши y (к) =р(х). Тоді у (к+1) = p "; ...; y (n) = p (n-k) і рівняння (3.9) набуде вигляду F(x; p; p"; ...; p (n-κ) ) = 0. Приватним випадком рівняння (3.9) є рівняння

За допомогою заміни y (n-1) = p (x), y (n) = p це рівняння зводиться до ДК першого порядку.

Приклад 3.2. Вирішити рівняння

Рішення: Вважаємо у "= р, де Тоді Це рівняння з змінними, що розділяються: Інтегруючи, отримаємо Повертаючись до вихідної змінної, отримаємо y"=з 1 х,

- загальне рішення рівняння.

ІІІ. Розглянемо рівняння

яке не містить явно незалежної змінної х.

Для зниження порядку рівняння введемо нову функцію р=р(y), яка залежить від змінної у, вважаючи у"=р. Диференціюємо цю рівність по х, враховуючи, що р =р(у(х)):

тобто. Тепер рівняння (3.10) запишеться у вигляді

Нехай р = j (y; з 1) є загальним рішенням цього ДК першого порядку. Замінюючи функцію р(y) на y", отримуємо y"=j(y;з 1) - ДУ з змінними, що розділяються. Інтегруючи його, знаходимо загальний інтеграл рівняння (3.10):

Окремим випадком рівняння (3.10) є ДК

Таке рівняння вирішується за допомогою аналогічної підстановки: у =p(у),

Так само робимо при вирішенні рівняння F(у; у "; у"";...; у (n)) = 0. Його порядок можна знизити на одиницю, поклавши y" = р, де р = р (y). За правилом диференціювання складної функціїзнаходимо Потім знайдемо

р=uv=((-1+у)е -y +е -у +c 1) е+у, або р=c 1 ey+у. Замінюючи р на у ", отримуємо: у" = c 1 -e y + у. Підставляючи y"=2 і у=2 у цю рівність, знаходимо з 1:

2=c 1 e 2 +2, c 1 =0.

Маємо у"=у. Звідси у=с 2 е х. Знаходимо з 2 з початкових умов: 2=с 2 е°, з 2 =2. Таким чином, у=2e x - приватне рішення даного

Диференціальне рівняння 2-го порядку має вигляд:

Загальним рішенням рівняння є сімейство функцій, що залежить від двох довільних постійних і (або - загальний інтеграл) диференціального рівняння 2-го порядку). Завдання Коші для диференціального рівняння 2-го порядку (1.1) полягає у пошуку приватного рішення рівняння, що задовольняє початковим умовам: при: , . Слід зазначити, що графіки рішень рівняння 2-го порядку можуть перетинатися на відміну графіків рішень рівняння 1-го порядку. Проте розв'язання задачі Коші для рівнянь 2-го порядку (1.1) за досить широких припущень для функцій, які входять у рівняння, єдино, тобто. всякі два рішення із загальною початковою умовою, збігаються на перетині інтервалів визначення.

Отримати загальне рішення чи вирішити завдання Коші для диференціального рівняння 2-го порядку аналітично вдається далеко ще не завжди. Однак у деяких випадках вдається знизити порядок рівняння за допомогою різних підстановок. Розберемо ці випадки.

1. Рівняння, що не містять явно незалежної змінної.

Нехай диференціальне рівняння 2-го порядку має вигляд: , тобто. у рівнянні (1.1) явно не є незалежною змінною. Це дозволяє прийняти за новий аргумент, а похідну одного порядку прийняти за нову функцію. Тоді.

Таким чином, рівняння 2-го порядку для функції, що не містить явно, звелося рівняння 1-го порядку для функції. Інтегруючи це рівняння, отримуємо загальний інтеграл або, а це є диференціальне рівняння 1-го порядку для функції. Вирішуючи його, отримуємо загальний інтеграл вихідного диференціального рівняння, що залежить від двох довільних постійних: .

Приклад 1. Вирішити диференціальне рівняння за заданих початкових умов: , .

Оскільки у вихідному рівнянні у вигляді відсутня аргумент, то приймемо за нову незалежну змінну, а - за. Тоді й рівняння набуває наступний вигляддля функції: .

Це диференціальне рівняння з змінними, що розділяються: . Звідки слід, тобто. .

Так як при і, то підставляючи початкові умови в останню рівність, отримуємо, що і що рівносильно. В результаті для функції маємо рівняння з змінними, що розділяються, вирішуючи яке, отримуємо. Використовуючи початкові умови, отримуємо, що. Отже, приватний інтегралрівняння, що задовольняє початковим умовам, має вигляд: .

2. Рівняння, які містять явно шуканої функції.

Нехай диференціальне рівняння 2-го порядку має вигляд: , тобто. до рівняння явно не входить потрібна функція. І тут вводять постановку. Тоді й рівняння 2-го порядку для функції перетворюється на рівняння 1-го порядку для функції. Проінтегрувавши його, отримуємо диференціальне рівняння 1-го порядку для функції: . Вирішуючи останнє рівняння, отримуємо загальний інтеграл заданого диференціального рівняння, що залежить від двох довільних постійних: .