Уравнение описывающее гармонические колебания. Колебательное движение

Меняется во времени по синусоидальному закону:

где х — значение колеблющейся величины в момент времени t , А — амплитуда , ω — круговая частота, φ — начальная фаза колебаний, (φt + φ ) — полная фаза колебаний . При этом величины А , ω и φ — постоянные.

Для механических колебаний колеблющейся величиной х являются, в частности, смещение и скорость , для электрических колебаний — напряжение и сила тока .

Гармонические колебания занимают особое место среди всех видов колебаний, т. к. это единственный тип колебаний, форма которых не искажается при прохождении через любую однородную среду, т. е. волны, распространяющиеся от источника гармонических колебаний, также будут гармоническими. Любое негармоническое колебание может быть представлено в виде сумм (интеграла) различных гармонических колебаний (в виде спектра гармонических колебаний).

Превращения энергии при гармонических колебаниях.

В процессе колебаний происходит переход потенциальной энергии W p в кинетическую W k и наоборот. В положении максимального отклонения от положения равновесия потенциальная энергия максимальна, кинетическая равна нулю. По мере возвращения к положению равновесия скорость колеблющегося тела растет, а вместе с ней растет и кинетическая энергия, достигая максимума в положении равновесия. Потенциальная энергия при этом падает до нуля. Дальней-шее движение происходит с уменьшением скорости, которая падает до нуля, когда отклонение достигает своего второго максимума. Потенциальная энергия здесь увеличивается до своего перво-начального (максимального) значения (при отсутствии трения). Таким образом, колебания кинетической и потенциальной энергий происходят с удвоенной (по сравнению с колебаниями самого маятника) частотой и находятся в противофазе (т. е. между ними существует сдвиг фаз, равный π ). Полная энергия колебаний W остается неизменной. Для тела, колеблющегося под действием силы упругости , она равна:

где v m — максимальная скорость тела (в положении равновесия), х m = А — амплитуда.

Из-за наличия трения и сопротивления среды свободные колебания затухают: их энергия и амплитуда с течением времени уменьшаются. Поэтому на практике чаще используют не свободные, а вынужденные колебания.

Мы рассмотрели несколько физически совершенно различных систем, и убедились, что уравнения движения приводятся к одной и той же форме

Различия между физическими системами проявляются лишь в различном определении величины и в различном физическом смысле переменной x : это может быть координата, угол, заряд, ток и т. д. Отметим, что при этом, как следует из самой структуры уравнения (1.18), величина всегда имеет размерность обратного времени.

Уравнение (1.18) описывает так называемые гармонические колебания .

Уравнение гармонических колебаний (1.18) является линейным дифференциальным уравнением второго порядка (так как оно содержит вторую производную от переменной x ). Линейность уравнения означает, что

если какая-то функция x(t) является решением этого уравнения, то функция Cx(t) также будет его решением (C – произвольная постоянная);

если функции x 1 (t) и x 2 (t) являются решениями этого уравнения, то их сумма x 1 (t) + x 2 (t) также будет решением того же уравнения.

Доказана также математическая теорема, согласно которой уравнение второго порядка имеет два независимых решения. Все остальные решения, согласно свойствам линейности, могут быть получены как их линейные комбинации. Непосредственным дифференцированием легко проверить, что независимые функции и удовлетворяют уравнению (1.18). Значит, общее решение этого уравнения имеет вид:

где C 1 , C 2 - произвольные постоянные. Это решение может быть представлено и в другом виде. Введем величину

и определим угол соотношениями:

Тогда общее решение (1.19) записывается как

Согласно формулам тригонометрии, выражение в скобках равно

Окончательно приходим к общему решению уравнения гармонических колебаний в виде:

Неотрицательная величина A называется амплитудой колебания , - начальной фазой колебания . Весь аргумент косинуса - комбинация - называется фазой колебания .

Выражения (1.19) и (1.23) совершенно эквивалентны, так что мы можем пользоваться любым их них, исходя из соображений простоты. Оба решения являются периодическими функциями времени. Действительно, синус и косинус периодичны с периодом . Поэтому различные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через промежуток времени t* , за который фаза колебания получает приращение, кратное :

Отсюда следует, что

Наименьшее из этих времен

называется периодом колебаний (рис. 1.8), а - его круговой (циклической) частотой .

Рис. 1.8.

Используют также и частоту колебаний

Соответственно, круговая частота равна числу колебаний за секунд.

Итак, если система в момент времени t характеризуется значением переменной x(t), то, то же самое значение, переменная будет иметь через промежуток времени (рис.1.9), то есть

Это же значение, естественно, повторится через время 2T , ЗT и т. д.

Рис. 1.9. Период колебаний

В общее решение входят две произвольные постоянные (C 1 , C 2 или A , a ), значения которых должны определяться двумя начальными условиями . Обычно (хотя и не обязательно) их роль играют начальные значения переменной x(0) и ее производной .

Приведем пример. Пусть решение (1.19) уравнения гармонических колебаний описывает движение пружинного маятника. Значения произвольных постоянных зависят от способа, каким мы вывели маятник из состояния равновесия. Например, мы оттянули пружину на расстояние и отпустили шарик без начальной скорости. В этом случае

Подставляя t = 0 в (1.19), находим значение постоянной С 2

Решение, таким образом, имеет вид:

Скорость груза находим дифференцированием по времени

Подставляя сюда t = 0, находим постоянную С 1 :

Окончательно

Сравнивая с (1.23), находим, что - это амплитуда колебаний, а его начальная фаза равна нулю: .

Выведем теперь маятник из равновесия другим способом. Ударим по грузу, так что он приобретет начальную скорость , но практически не сместится за время удара. Имеем тогда другие начальные условия:

наше решение имеет вид

Скорость груза будет изменяться по закону:

Подставим сюда :

Движения, обладающие той или иной степенью повторяемости, называются колебаниями.

Если значения физических величин, изменяющихся в процессе движения, повторяются через равные промежутки времени, то такое движение называется периодическим. В зависимости от физической природы колебательного процесса различают механические и электромагнитные колебания. По способу возбуждения колебания делят на: свободные (собственные), происходящие в представленной самой себе системе около положения равновесия после какого-либо первоначального воздействия; вынужденные – происходящие при периодическом внешнем воздействии.

Условия возникновения свободных колебаний: а) при выведении тела из положения равновесия в системе должна возникнуть сила, стремящаяся вернуть его в положение равновесия; б) силы трения в системе должны быть достаточно малы.

Амплитуда А – модуль максимального отклонения колеблющейся точки от положения равновесия.

Колебания точки, происходящие с постоянной амплитудой, называютнезатухающими, а колебания с постепенно уменьшающейся амплитудой – затухающими.

Время, в течение которого совершается полное колебание, называютпериодом (Т).

Частотой периодических колебаний называют число полных колебаний, совершаемых за единицу времени:

Единица частоты колебаний - герц (Гц). Герц – это частота колебаний, период которых равен 1 с: 1 Гц = 1 с –1 .

Циклической иликруговой частотой периодических колебаний называется число полных колебаний, совершаемых за время 2p с: . =рад/с.

Гармонические – это такие колебания, которые описываются периодическим законом:

или (1)

где – периодически изменяющаяся величина (смещение, скорость, сила и т.д.), А – амплитуда.

Система, закон движения которой имеет вид (1), называется гармоническим осциллятором . Аргумент синуса или косинуса называется фазой колебаний. Фаза колебания определяет смещение в момент времени t. Начальная фаза определяет смещение тела в момент начала отсчета времени.

Рассмотрим смещение x колеблющегося тела относительно положения равновесия. Уравнение гармонического колебания:

Первая производная от по времени дает выражение для скорости движения тела: ; (2)

Скорость достигает своего максимального значения в момент времени, когда =1: . Смещение же точки в этот момент рано нулю =0 (рис. 17.1, б ).

Ускорение изменяется со временем также по гармоническому закону:

где – максимальное значение ускорения. Знак минус означает, что ускорение направлено в сторону, противоположную смещению, т.е. ускорение и смещение изменяются в противофазе (рис. 17.1 в ). Видно, что скорость достигает максимального значения, когда колеблющаяся точка проходит положение равновесия. В этот момент смещение и ускорение равны нулю.

1.18. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Определение гармонических колебаний. Характеристики гармонических колебаний: смещение от положения равновесия, амплитуда колебаний, фаза колебания, частота и период колебаний. Скорость и ускорение колеблющейся точки. Энергия гармонического осциллятора. Примеры гармонических осцилляторов: математический, пружинный, крутильный и физиче ский маятники.

Акустика, радиотехника, оптика и другие разделы науки и техники базируются на учении о колебаниях и волнах. Большую роль играет теория колебаний в механике, в особенности в расчетах на прочность летательных аппаратов, мостов, отдельных видов машин и узлов.

Колебания являются процессами, повторяющимися через одинаковые промежутки времени (при этом далеко не все повторяющиеся процессы являются колебаниями!). В зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают колебания механические, электромагнитные, электромеханические и т.п. При механических колебаниях периодически изменяются положения и координаты тел.

Возвращающая сила - сила, под действием которой происходит колебательный процесс. Эта сила стремится тело или материальную точку, отклоненную от положения покоя, вернуть в исходное положение.

В зависимости от характера воздействия на колеблющееся тело различают свободные (или собственные) колебания и вынужденные колебания.

В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают свободные колебания, вынужденные, автоколебания и параметрические колебания.

Свободными (собственными) колебаниями называются такие колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как ей был сообщен толчок, либо она была выведена из положения равновесия, т.е. когда на колеблющееся тело действует только возвращающая сила.. Примером могут служить колебания шарика, подвешенного на нити. Для того, чтобы вызвать колебания, надо либо толкнуть шарик, либо, отведя в сторону, отпустить его. В том случае, если не происходит рассеивания энергии, свободные колебания являются незатухающими. Однако, реальные колебательные процессы являются затухающими, т.к. на колеблющееся тело действуют силы сопротивления движению (в основном силы трения).

· Вынужденными называются такие колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодически изменяющейся силы (например, колебания моста, возникающие при прохождении по нему людей, шагающих в ногу). Во многих случаях системы совершают колебания, которые можно считать гармоническими.

· Автоколебания , как и вынужденные колебания, сопровождаются воздействием на колеблющуюся систему внешних сил, однако, моменты времени, когда осуществляются эти воздействия, задаются самой колеблющейся системой. То есть система сама управляет внешним воздействием. Примером автоколебательной системы являются часы, в которых маятник получает толчки за счет энергии поднятой гири или закрученной пружины, причем эти толчки происходят в моменты прохождения маятника через среднее положение.

· Параметрические колебания осуществляются при периодическом изменении параметров колеблющейся системы (качающийся на качелях человек периодически поднимает и опускает свой центр тяжести, тем самым меняя параметры системы). При определенных условиях система становится неустойчивой - случайно возникшее отклонение из положения равновесия приводит к возникновению и нарастанию колебаний. Это явление называется параметрическим возбуждением колебаний (т.е. колебания возбуждаются за счет изменения параметров системы), а сами колебания – параметрическими.

Несмотря на разную физическую природу, для колебаний характерны одни и те же закономерности, которые исследуются общими методами. Важной кинематической характеристикой является форма колебаний. Она определяется видом той функции времени, которая описывает изменение той или иной физической величины при колебаниях. Наиболее важными являются такие колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса . Они называются гармоническими .

Гармоническими колебаниями называются колебания, при которых колеблющаяся физическая величина изменяется по закону синуса (или косинуса).

Этот вид колебаний особенно важен по следующим причинам. Во-первых, колебания в природе и в технике часто имеют характер очень близких к гармоническим. Во-вторых, периодические процессы иной формы (с другой зависимостью от времени) могут быть представлены как наложение, или суперпозиция,гармонических колебаний.

Уравнение гармонического осциллятора

Гармоническое колебание описывается периодическим законом:

Рис. 18.1. Гармоническое колебание

З

десь
- характеризует изменение какой-либо физической величины при колебаниях (смещение положения маятника из положения равновесия; напряжение на конденсаторе в колебательном контуре и т.д.), A - амплитуда колебаний ,
- фаза колебаний , - начальная фаза ,
- циклическая частота ; величину
называют также собственной частотой колебаний. Такое название подчеркивает, что эта частота определяется параметрами колебательной системы. Система, закон движения которой имеет вид (18.1), называется одномерным гармоническим осциллятором . Помимо перечисленных величин для характеристики колебаний вводят понятия периода , т.е. времени одного колебания.

(Периодом колебаний T называется наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются состояния колеблющейся системы (совершается одно полное колебание) и фаза колебания получает приращение 2p).

и частоты
, определяющей число колебаний в единицу времени. За единицу частоты принимается частота такого колебания, период которого равен 1 с. Эту единицу называют герцем (Гц ).

Частотой колебаний n называется величина обратная периоду колебаний - число полных колебаний, совершаемых в единицу времени.

Амплитуда - максимальное значение смещения или изменения переменной величины при колебательном или волновом движении.

Фаза колебаний - аргумент периодической функции или описывающей гармонический колебательный процесс (ω- угловая частота, t - время, - начальная фаза колебаний, то есть фаза колебаний в начальный момент времени t = 0).

Первая и вторая производные по времени от гармонически колеблющейся величины также совершают гармонические колебания той же частоты:

В данном случае за основу взято уравнение гармонических колебаний, записанное по закону косинуса. При этом первое из уравнений (18.2) описывает закон, по которому изменяется скорость колеблющейся материальной точки (тела), второе уравнение описывает закон, по которому изменяется ускорение колеблющейся точки (тела).

Амплитуды
и
равны соответственно
и
. Колебание
опережает
по фазе на ; а колебание
опережает
на . Значения A и могут быть определены из заданных начальных условий
и
:

,
. (18.3)

Энергия колебаний осциллятора

П

Рис. 18.2. Пружинный маятник

осмотрим теперь, что будет происходить сэнергией колебаний . В качестве примера гармонических колебаний рассмотрим одномерные колебания, совершаемые телом массы m под действием упругой силы
(к примеру, пружинный маятник, см. рис. 18.2). Силы иной природы, чем упругие, но в которых выполняется условие F = -kx, называются квазиупругими. Под действием этих сил тела тоже совершают гармонические колебания. Пусть:

смещение:
скорость:
ускорение:

Т.е. уравнение таких колебаний имеет вид (18.1) с собственной частотой
. Квазиупругая сила является консервативной . Поэтому полная энергия таких гармонических колебаний должна оставаться постоянной. В процессе колебаний происходит превращение кинетической энергии E к в потенциальную E п и обратно, причем в моменты наибольшего отклонения от положения равновесия полная энергия равна максимальному значению потенциальной энергии, а при прохождении системы через положение равновесия полная энергия равна максимальному значению кинетической энергии. Выясним, как изменяется со временем кинетическая и потенциальная энергия:

Кинетическая энергия:

Потенциальная энергия:

(18.5)

Учитывая то, что т.е. , последнее выражение можно записать в виде:

Таким образом, полная энергия гармонического колебания оказывается постоянной. Из соотношений (18.4) и (18.5) также следует, что средние значения кинетической и потенциальной энергии равны друг другу и половине полной энергии, поскольку средние значения
и
за период равны 0,5. Используя тригонометрические формулы, можно получить, что кинетическая и потенциальная энергия изменяются с частотой
, т.е. с частотой в два раза превышающей частоту гармонического колебания.

В качестве примеров гармонического осциллятора могут быть пружинный, физический, математический маятники и крутильный маятники.

1. Пружинный маятник - это груз массой m, который подвешен на абсолютно упругой пружине и совершает гармонические колебания под действием упругой силы F = –kx, где k - жесткость пружины. Уравнение движения маятника имеет вид или (18.8) Из формулы (18.8) вытекает, что пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону х = Асоs(ω 0 t+φ) с циклической частотой

(18.9) и периодом

(18.10) Формула (18.10) верна для упругих колебаний в границах, в которых выполняется закон Гука, т. е. если масса пружины мала по сравнению с массой тела. Потенциальная энергия пружинного маятника, используя (18.9) и формулу потенциальной энергии предыдущего раздела, равна (см.18.5)

2. Физический маятник - это твердое тело, которое совершает колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, которая проходит через точку О, не совпадающую с центром масс С тела (рис. 1).

Рис.18.3 Физический маятник

Если маятник из положения равновесия отклонили на некоторый угол α, то, используя уравнение динамики вращательного движения твердого тела, момент M возвращающей силы (18.11) где J - момент инерции маятника относительно оси, которая проходит через точку подвеса О, l – расстояние между осью и центром масс маятника, F τ ≈ –mgsinα ≈ –mgα - возвращающая сила (знак минус указывает на то, что направления F τ и α всегда противоположны; sinα ≈ α поскольку колебания маятника считаются малыми, т.е. маятника из положения равновесия отклоняется на малые углы). Уравнение (18.11) запишем как

Или Принимая (18.12) получим уравнение

Идентичное с (18.8), решение которого найдем и запишем как:

(18.13) Из формулы (18.13) вытекает, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой ω 0 и периодом

(18.14) где введена величина L=J/(ml ) - . Точка О" на продолжении прямой ОС, которая отстоит от точки О подвеса маятника на расстоянии приведенной длины L, называется центром качаний физического маятника (рис. 18.3). Применяя теорему Штейнера для момента инерции оси, найдем

Т. е. ОО" всегда больше ОС. Точка подвеса О маятника и центр качаний О" имеют свойство взаимозаменяемости : если точку подвеса перенести в центр качаний, то прежняя точка О подвеса будет новым центром качаний, и при этом не изменится период колебаний физического маятника.

3. Математический маятник - это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, которая подвешена на нерастяжимой невесомой нити, и которая колеблется под действием силы тяжести. Хорошее приближение математического маятника есть небольшой тяжелый шарик, который подвешен на длинной тонкой нити. Момент инерции математического маятника

(8) где l - длина маятника.

Поскольку математический маятник есть частный случай физического маятника, если предположить, что вся его масса сосредоточена в одной точке - центре масс, то, подставив (8) в (7), найдем выражение для периода малых колебаний математического маятника (18.15) Сопоставляя формулы (18.13) и (18.15), видим, что если приведенная длина L физического маятника равна длине l математического маятника, то периоды колебаний этих маятников одинаковы. Значит, приведенная длина физического маятника - это длина такого математического маятника, у которого период колебаний совпадает с периодом колебаний данного физического маятника. Для математического маятника (материальной точки массой m , подвешенной на невесомой нерастяжимой нити длиной l в поле силы тяжести с ускорением свободного падения равным g ) при малых углах отклонения (не превышающих 5-10 угловых градусов) от положения равновесия собственная частота колебаний:
.

4. Тело, подвешенное на упругой нити или другом упругом элементе, совершающее колебания в горизонтальной плоскости, представляет собой крутильный маятник.

Эта механическая колебательная система, которая использует силы упругих деформаций. На рис. 18.4 показан угловой аналог линейного гармонического осциллятора, совершающий крутильные колебания. Горизонтально расположенный диск висит на упругой нити, закрепленной в его центре масс. При повороте диска на угол θ возникает момент сил M упр упругой деформации кручения:

где I = I C – момент инерции диска относительно оси, проходящий через центр масс, ε – угловое ускорение.

По аналогии с грузом на пружине можно получить.

Общие сведения о колебаниях

Глава 6 Колебательное движение

Колебаниями называются процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости.

Таким свойством повторяемости обладают, например, качания маятника часов, колебания струны или ножек камертона, напряжение между обкладками конденсатора в контуре радиоприемника и т. п.

В зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают колебания:

– механические;

– электромагнитные;

– электромеханические и т. д.

В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают:

– свободные (или собственные);

– вынужденные;

– автоколебания;

– параметрические колебания.

Свободными или собственными называются такие колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как ей был сообщен толчок либо она была выведена из положения равновесия. Примером могут служить колебания шарика, подвешенного на нити (маятник).

Вынужденными называются такие колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодически изменяющейся силы.

Автоколебания сопровождаются воздействием на колеблющуюся систему внешних сил, однако моменты времени, когда осуществляются эти воздействия, задаются самой колеблющейся системой - система сама управляет внешним воздействием. Примером автоколебательной системы являются часы, в которых маятник получает толчки за счет энергии поднятой гири или закрученной пружины, причем эти толчки происходят в моменты прохождения маятника через среднее положение.

При параметрических колебаниях за счет внешнего воздействия происходит периодическое изменение какого-либо параметра системы, например длины нити маятника.

Простейшими являются гармонические колебания , т. е. такие колебания, при которых колеблющаяся величина (например, отклонение маятника) изменяется со временем по закону синуса или косинуса.

Важнейшим среди колебательных движений является так называемое простое или гармоническое колебательное движение.

Характер такого движения лучше всего раскрывается с помощью следующей кинематической модели. Допустим, что геометрическая точка M равномерно вращается по окружности радиуса a с постоянной угловой скоростью (рис. 6.1). Ее проекция N на диаметр, например на ось X , будет совершать колебательное движение от крайнего положения до другого крайнего положения и обратно. Такое колебание точки N называют простым или гармоническим колебанием.

Чтобы его описать, надо найти координату x точки N как функцию времени t . Допустим, что в начальный момент времени радиус OM образовал с осью X угол . Спустя время t этот угол получит приращение и сделается равным . Из рис. 6.1. видно, что

. (6.1)

Это формула и описывает аналитически гармоническое колебательное движение точки N вдоль диаметра .

Величина a дает максимальное отклонение колеблющейся точки от положения равновесия. Она называется амплитудой колебания. Величина 0 называется циклической частотой . Величину называют фазой колебания, а ее значение при , т. е. величину – начальной фазой. По истечении времени

фаза получает приращение , а колеблющаяся точка возвращается в свое исходное положение с сохранением начального направления движения. Время T называется периодом колебания.

Скорость колеблющейся точки найдется дифференцированием выражения (6.1) по времени. Это дает

Дифференцируя вторично, получаем ускорение

или, используя (6.1),

Сила, действующая на материальную точку при гармоническом колебании, равна

. (6.6)

Она пропорциональна отклонению x и имеет противоположное направление. Она всегда направлена к положению равновесия.

Рассмотрим гармонические колебания груза на пружине, один конец которой закреплен, а к другому подвешено тело массы m (рис. 6.2). Пусть – длина не деформированной пружины. Если пружину растянуть или сжать до длины l , то возникает сила F , стремящаяся вернуть тело в положение равновесия. При небольших растяжениях справедлив закон Гука – сила пропорциональна растяжению пружины: . В этих условиях уравнение движения тела имеет вид

Постоянная k называется коэффициентом упругости или жесткости пружины. Знак минус означает, что сила F направлена в сторону, противоположную смещению x , т. е. к положению равновесия.

При выводе уравнения (6.7) предполагалось, что никакие другие силы на тело не действуют. Покажем, что тому же уравнению подчиняется движение тела, подвешенного на пружине в однородном поле тяжести. Обозначим в этом случае буквой X удлинение пружины, т. е. разность . Пружина тянет груз вверх с силой , сила тяжести – вниз. Уравнение движения имеет вид

Пусть означает удлинение пружины в положении равновесия. Тогда . Исключая вес , получим . Ведем обозначение , тогда уравнение движения примет прежний вид (6.7). Величина x по-прежнему означает смещение груза из положения равновесия. Однако положение равновесия смещается под действием силы тяжести. Кроме того, при наличии тяжести меняется смысл величины . Теперь она означает равнодействующую сил натяжения пружины и веса груза. Но все это не затрагивает математическую сторону процесса. Поэтому можно рассуждать так, как если бы силы тяжести совсем не было. Так мы и поступим.

Результирующая сила имеет такой же вид, что и сила в выражении (6.6). Если положить , то уравнение (6.7) перейдет в

. (6.8)

Это уравнение совпадает с уравнением (6.5). Функция (6.1) является решением такого уравнения при любых значениях постоянных a и a. Это есть общее решение. Из изложенного следует, что груз на пружине будет совершать гармонические колебания с круговой частотой

и периодом

. (6.10)

Колебания, описываемые уравнением (6.8) являются свободными (или собственными ).

Потенциальная и кинетическая энергии тела даются выражениями

. (6.11)

Каждая из них меняется во времени. Однако их сумма E во времени должна оставаться постоянной:

(6.12)

Все изложенное здесь применимо к гармоническим колебаниям любых механических систем с одной степенью свободы. Мгновенное положение механической системы с одной степенью свободы может быть определено с помощью какой-либо одной величины q , называемой обобщенной координатой, например, угла поворота, смещения вдоль некоторой линии и пр. Производная обобщенной координаты по времени называется обобщенной скоростью. При рассмотрении колебаний механических систем с одной степенью свободы за исходное удобнее брать не уравнение движения Ньютона, а уравнение энергии. Допустим, что механическая система такова, что ее потенциальная и кинетическая энергии выражаются формулами вида

, (6.14)

где d и b – положительные постоянные (параметры системы). Тогда закон сохранения энергии приводит к уравнению

. (6.15)

Оно отличается от уравнения (6.12) только обозначениями, что при математическом рассмотрении не имеет значения. Из математической тождественности уравнений (6.12) и (6.15) следует, что и общие решения их одинаковы. Поэтому, если уравнение энергии приводится к виду (6.15), то

, (6.16)

т. е. обобщенная координата q совершает гармоническое колебание с круговой частотой