Cho hàm z - f(x, y) xác định trong miền D nào đó và gọi Mo(xo, y0) là điểm trong của miền này. Sự định nghĩa. Nếu tồn tại một số mà bất đẳng thức đúng với mọi số thỏa mãn điều kiện thì điểm Mo(xo, yo) được gọi là điểm cực đại địa phương của hàm số f(x, y); tuy nhiên, nếu với mọi Dx, Du thỏa mãn điều kiện | thì điểm Mo(x0, y0) được gọi là điểm cực tiểu cục bộ. Nói cách khác, điểm M0(x0, y0) là điểm cực đại hoặc cực tiểu của hàm số f(x, y) nếu tồn tại 6 lân cận của điểm A/o(x0, y0) sao cho điểm M(x, y) thuộc lân cận này thì số gia của hàm số bảo toàn dấu. Ví dụ. 1. Đối với một hàm, một điểm là điểm cực tiểu (Hình 17). 2. Đối với hàm, điểm 0(0,0) là điểm cực đại (Hình 18). 3. Đối với hàm số, điểm 0(0,0) là điểm cực đại cục bộ. 4 Thật vậy, có một lân cận của điểm 0(0, 0), chẳng hạn, một đường tròn bán kính j (xem Hình 19), tại bất kỳ điểm nào của nó, khác với điểm 0(0, 0), đường tròn giá trị của hàm số f(x, y) nhỏ hơn 1 = Ta sẽ chỉ xét các điểm cực đại và cực tiểu nghiêm ngặt của hàm số khi bất đẳng thức nghiêm ngặt hoặc bất đẳng thức nghiêm ngặt đúng với mọi điểm M(x) y) thuộc một lân cận 6 bị thủng nào đó của điểm Mq. Giá trị của hàm số tại điểm cực đại được gọi là cực đại và giá trị của hàm số tại điểm cực tiểu được gọi là cực tiểu của hàm số này. Các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số được gọi là các điểm cực trị của hàm số, còn các cực đại và cực tiểu của hàm số được gọi là cực trị của hàm số. Định lý 11 (điều kiện cần để có cực trị). Nếu hàm số Cực trị của hàm nhiều biến Khái niệm về cực trị của hàm nhiều biến. Điều kiện cần và đủ để có cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số liên tục có cực trị tại điểm thì tại điểm này mỗi đạo hàm riêng và u hoặc triệt tiêu hoặc không tồn tại. Cho hàm số z = f(x) y) có cực trị tại điểm M0(x0, y0). Hãy đặt cho biến y giá trị yo. Khi đó hàm z = /(x, y) sẽ là hàm một biến x\ Vì tại x = xo, nó có một cực trị (cực đại hoặc cực tiểu, Hình 20), nên đạo hàm của nó đối với x = “o, | (*o,l>)" Bằng không, hoặc không tồn tại. Tương tự, chúng tôi xác minh rằng) hoặc bằng không, hoặc không tồn tại. Các điểm tại đó = 0 và u = 0 hoặc không tồn tại là gọi là các điểm cực trị của hàm số z = Dx, y) Các điểm tại đó $£ = u = 0 còn được gọi là các điểm dừng của hàm số Định lý 11 chỉ biểu thị điều kiện cần để có một cực trị, điều kiện không đủ. 18 Fig.20 đạo hàm immt biến mất tại. Nhưng chức năng này khá mỏng trên imvat “straumum. Thật vậy, hàm số bằng 0 tại điểm 0(0, 0) và nhận điểm M(x, y), gần điểm 0(0, 0) bao nhiêu tùy thích, giá trị dương và âm kkk. Đối với nó, do đó tại các điểm tại các điểm (0, y) cho các điểm nhỏ tùy ý, điểm 0(0, 0) loại này được gọi là điểm cực đại nhỏ (Hình 21). Điều kiện đủ để có cực trị của hàm hai biến được biểu diễn bằng định lý sau. Định lý 12 (điều kiện đủ để có cực trị của biến mờ). Cho điểm Mo(xo, y0) là một điểm dừng của hàm f(x, y), và trong một lân cận nào đó của điểm / bao gồm chính điểm Mo, hàm f(r, y) có đạo hàm riêng liên tục trên đến thứ tự thứ hai bao gồm. Khi đó "1) tại điểm Mq(xq, V0) hàm số f(x, y) đạt cực đại nếu định thức tại điểm này 2) tại điểm Mo(x0, V0) hàm số f(x, y) có cực tiểu nếu tại điểm Mo(xo, yo) hàm f(x, y) không có cực trị nếu D(xo, yo)< 0. Если же то в точке Мо(жо> Wo) cực trị của hàm f(x, y) có thể có hoặc không. Trong trường hợp này, nghiên cứu thêm là cần thiết. Chúng ta chỉ giới hạn trong việc chứng minh các khẳng định 1) và 2) của định lý. Chúng ta hãy viết công thức Taylor bậc hai cho hàm /(i, y): trong đó. Theo giả thiết, do đó rõ ràng là dấu của số gia D/ được xác định bởi dấu của tam thức ở vế phải của (1), tức là dấu của vi phân thứ hai d2f. Hãy để chúng tôi biểu thị cho ngắn gọn. Khi đó đẳng thức (l) có thể viết như sau: Gọi tại điểm MQ(so, y0) ta có lân cận của điểm M0(s0,yo). Nếu điều kiện (tại điểm A/0) được thỏa mãn, và do tính liên tục, đạo hàm /,z(s, y) sẽ giữ nguyên dấu của nó trong một lân cận nào đó của điểm Af0. ta có 0 nằm trong lân cận nào đó của điểm M0(x0)y0) thì dấu của tam thức AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 trùng với dấu A tại điểm C không thể khác dấu). Vì dấu của tổng AAs2 + 2BAxAy + CAy2 tại điểm (s0 + $Ax, yo + 0 Du) xác định dấu của hiệu nên ta đi đến kết luận sau: nếu hàm số f(s, y) tại điểm điểm bất động (s0, yo) thỏa mãn điều kiện thì sao cho đủ nhỏ || bất bình đẳng sẽ giữ. Như vậy, tại điểm (sq, y0) hàm số /(s, y) đạt cực đại. Nhưng nếu điều kiện được thỏa mãn tại điểm dừng (s0, yo) thì với mọi |Ar| đủ nhỏ và |Làm| bất đẳng thức là đúng, có nghĩa là hàm /(s, y) có cực tiểu tại điểm (so, yo). Ví dụ. 1. Khảo sát cực trị của hàm số 4 Dựa vào điều kiện cần để có cực trị, ta tìm các điểm dừng của hàm số. Để làm điều này, chúng tôi tìm các đạo hàm riêng, u và đánh đồng chúng bằng không. Ta được hệ phương trình từ đâu - một điểm đứng yên. Bây giờ chúng ta hãy sử dụng Định lý 12. Ta có Do đó, có một điểm cực trị tại điểm Ml. Bởi vì đây là mức tối thiểu. Nếu ta biến đổi hàm g về dạng thì dễ dàng nhận thấy vế phải (")" sẽ đạt cực tiểu khi là cực tiểu tuyệt đối của hàm này. 2. Khảo sát hàm số có cực trị Ta tìm các điểm dừng của hàm số từ đó lập hệ phương trình Từ đây sao cho điểm đứng yên. Vì, theo Định lý 12, không có điểm cực trị tại điểm M. * 3. Khảo sát hàm số có cực trị Tìm điểm dừng của hàm số. Từ hệ phương trình ta thu được rằng, sao cho chất điểm đứng yên. Hơn nữa, ta có Định lý 12 không đưa ra câu trả lời cho câu hỏi về sự có mặt hay vắng mặt của một cực trị. Hãy làm theo cách này. Đối với một hàm xung quanh tất cả các điểm khác với một điểm sao cho, theo định nghĩa, tại điểm A/o(0,0) hàm r có cực tiểu tuyệt đối. Bằng cách làm khô tương tự, chúng tôi xác định rằng hàm có cực đại tại điểm, nhưng hàm không có cực trị tại điểm. Để một hàm số η biến độc lập khả vi tại một điểm, điểm Mo được gọi là một điểm dừng của hàm số nếu Định lý 13 (điều kiện đủ để có một cực trị). Cho hàm số được xác định và có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục trong một lân cận nào đó của đường thẳng Mc(xi..., là một hàm tinh vi tĩnh, nếu dạng bậc hai (vi phân cấp hai của hàm f trong tinh vi điểm là xác định dương (xác định âm), điểm cực tiểu (tương ứng, cực đại tốt) của hàm f là mỹ Nếu dạng bậc hai (4) trái dấu thì không có cực trị trong mỹ LG0. cực trị Cho đến nay, chúng ta đã quan tâm đến việc tìm cực trị cục bộ của một hàm trong toàn bộ miền định nghĩa của nó, khi các đối số của hàm không bị ràng buộc bởi bất kỳ điều kiện bổ sung nào.Hãy để hàm z \u003d / (x, y) được xác định trong vùng D. Giả sử rằng một đường cong L được cho trong vùng này và chỉ cần tìm cực trị của hàm f (x > y) trong số các giá trị của nó tương ứng với các điểm của đường cong L. Các cực trị đồng dạng gọi là cực trị có điều kiện của hàm số z = f(x) y) trên đường cong L. Định nghĩa Người ta nói rằng tại một điểm nằm trên đường cong L thì hàm số /(x, y) có điều kiện cực đại (cực tiểu) nếu bất đẳng thức được thỏa mãn, tương ứng tại mọi điểm M(s, y) đường cong L thuộc một lân cận nào đó của điểm M0(x0, Yo) và khác với điểm M0 (Nếu đường cong L cho bởi một phương trình, thì bài toán tìm cực trị có điều kiện của hàm r - f(x, y) trên đường cong! có thể lập công thức như sau: tìm cực trị của hàm x = /(z, y) trong miền D, với điều kiện là Như vậy khi tìm cực trị có điều kiện của hàm z = y thì không còn xét được các đối số zn như các biến độc lập: chúng được liên kết với nhau bởi mối quan hệ y ) = 0, được gọi là phương trình ràng buộc. Để làm rõ sự khác biệt giữa m «* D y với tư cách là cực trị vô điều kiện và cực trị có điều kiện, hãy xem một ví dụ khác, cực đại vô điều kiện của hàm (Hình. 23) bằng một và đạt được tại điểm (0,0). Nó tương ứng với chính xác M - đỉnh của pvvboloid Chúng ta hãy thêm phương trình ràng buộc y = j. Khi đó cực đại có điều kiện rõ ràng sẽ bằng Nó đạt được tại điểm (o, |) và nó tương ứng với đỉnh Afj của pvvboloid, là giao tuyến của pvvboloid với mặt phẳng y = j. Trong trường hợp cực tiểu s vô điều kiện, chúng ta có ứng dụng nhỏ nhất trong số tất cả các phép chiếu của bề mặt * = 1 - n;2 ~ y1; slumvv có điều kiện - chỉ giữa các điểm vllkvt pvrboloidv, tương ứng với một điểm * thuộc đường thẳng y = j không thuộc mặt phẳng xOy. Một trong các phương pháp tìm cực trị có điều kiện của một hàm khi có mặt và liên hệ như sau. Đặt phương trình liên thông y) - O định nghĩa y là hàm khả vi đơn trị của đối số x: Thay hàm thay y vào hàm, ta thu được hàm một đối số đã xét đến điều kiện liên thông . Cực trị (không điều kiện) của hàm là cực trị có điều kiện mong muốn. Ví dụ. Tìm cực trị của hàm số với điều kiện Cực trị của hàm nhiều biến Khái niệm về cực trị của hàm nhiều biến. Điều kiện cần và đủ cho một cực trị Cực trị có điều kiện Các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm liên tục A Từ phương trình kết nối (2") ta tìm được y \u003d 1-x. Thay giá trị này của y vào (V), ta được a hàm của một đối số x: Chúng tôi kiểm tra cực trị của nó: khi nào x \u003d 1 - điểm tới hạn;, sao cho mang lại giá trị cực tiểu có điều kiện của hàm r (Hình 24). Hãy chỉ ra một cách khác để giải bài toán có điều kiện cực trị, được gọi là phương pháp nhân tử Lagrange.Giả sử tồn tại một điểm cực trị có điều kiện của hàm khi có liên hệ.Giả sử rằng phương trình liên kết xác định một hàm khả vi liên tục duy nhất trong một lân cận nào đó của điểm xi.Giả sử rằng chúng ta thu được rằng đạo hàm đối với x của hàm /(r, ip(x)) tại điểm xq phải bằng 0 hoặc tương đương với đạo hàm này, vi phân của f (x, y) tại điểm Mo "O) Từ phương trình kết nối ta có (5) Khi đó, do tính tùy ý của dx, ta thu được Đẳng thức (6) và (7) biểu thị điều kiện cần để có cực trị vô điều kiện tại một điểm của hàm gọi là hàm Lagrange. Do đó, điểm của cực trị có điều kiện của hàm / (x, y), nếu, nhất thiết phải là điểm dừng của hàm Lagrange trong đó A là một số hệ số. Từ đây ta thu được quy tắc tìm cực trị có điều kiện: để tìm các điểm có thể là các điểm thuộc cực trị của hàm khi có liên hệ, 1) ta lập hàm Lagrange, 2) đánh đồng các đạo hàm và W của hàm này bằng 0 và cộng phương trình kết nối vào các phương trình thu được, ta thu được hệ ba phương trình từ đó tìm được các giá trị của A và tọa độ x, y của các điểm cực trị có thể có. Câu hỏi về sự tồn tại và tính chất của cực trị có điều kiện được giải quyết trên cơ sở nghiên cứu dấu của vi phân cấp hai của hàm Lagrange đối với hệ các giá trị x0, Yo, A đang xét, nhận được từ (8) với điều kiện rằng Nếu thì tại điểm (x0, Yo) hàm số f(x, y ) đạt cực đại có điều kiện; nếu d2F > 0 - thì mức tối thiểu có điều kiện. Cụ thể, nếu tại điểm bất động (xo, J/o) định thức D của hàm số F(x, y) dương thì tại điểm (®o, V0) tồn tại cực đại có điều kiện của hàm số /( x, y) nếu và cực tiểu có điều kiện của hàm /(x, y), nếu Ví dụ. Chúng ta hãy quay lại các điều kiện của ví dụ trước: tìm cực trị của hàm với điều kiện là x + y = 1. Chúng ta sẽ giải bài toán bằng phương pháp nhân tử Lagrange. Hàm Lagrange trong trường hợp này có dạng Để tìm các điểm đứng yên ta lập hệ Từ hai phương trình đầu của hệ ta được x = y. Sau đó, từ phương trình thứ ba của hệ thống (phương trình ghép), chúng ta thấy rằng x - y = j - tọa độ của điểm của một điểm cực trị có thể. Trong trường hợp này (chỉ ra rằng A \u003d -1. Do đó, hàm Lagrange. là điểm cực tiểu có điều kiện của hàm * \u003d x2 + y2 với điều kiện không có cực trị vô điều kiện cho hàm Lagrange. P ( x, y) chưa có nghĩa là không có cực trị điều kiện của hàm /(x, y) khi có liên hệ Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số với điều kiện y 4 Soạn hàm Lagrange và viết ra hệ xác định A và tọa độ các điểm cực trị khả dĩ: y = A = 0. Như vậy, hàm Lagrange tương ứng có dạng Tại điểm (0, 0), hàm F(x, y; 0) không có điểm cực trị cực trị không điều kiện, nhưng là cực trị có điều kiện của hàm số r = xy. Khi y = x thì tồn tại "Thật vậy, trong trường hợp này r = x2. Từ đây rõ ràng tại điểm (0,0) tồn tại cực tiểu có điều kiện .” Phương pháp nhân tử Lagrange được chuyển sang trường hợp hàm có số đối số bất kỳ / Hãy tìm cực trị của hàm với sự có mặt của các phương trình liên kết Sostaalyaem Hàm Lagrange trong đó A|, Az,..., An , là các yếu tố không xác định. Bằng 0 tất cả các đạo hàm riêng bậc nhất của hàm F và thêm vào phương trình thu được phương trình liên kết (9), ta thu được hệ phương trình n + m, từ đó xác định được Ab A3|..., Am và tọa độ x\) x2) . » xn điểm khả dĩ của cực trị có điều kiện. Câu hỏi liệu các điểm được tìm thấy bằng phương pháp Lagrange có thực sự là các điểm cực trị có điều kiện hay không thường có thể được giải quyết trên cơ sở xem xét bản chất vật lý hoặc hình học. 15.3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số liên tục Cho yêu cầu tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số z = /(x, y) liên tục trong một miền giới hạn D mở rộng nào đó. Theo Định lý 3, trong miền này tồn tại điểm (xo, V0) mà tại đó hàm số nhận giá trị lớn nhất (nhỏ nhất). Nếu điểm (xo, y0) nằm trong miền D, thì hàm / có cực đại (cực tiểu) trong đó, do đó, trong trường hợp này, điểm quan tâm đối với chúng ta nằm trong số các điểm tới hạn của hàm /(x ,y). Tuy nhiên, hàm /(x, y) cũng có thể đạt giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) tại biên của miền. Do đó, để tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) mà hàm số z = /(x, y) lấy trong miền đóng có giới hạn 2), cần tìm tất cả các cực đại (cực tiểu) của hàm số đạt được trong miền này , cũng như giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm trên đường viền của vùng này. Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong số tất cả các số này sẽ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) mong muốn của hàm z = /(x, y) trong vùng 27. Hãy để chúng tôi chỉ ra cách thực hiện điều này trong trường hợp hàm khả vi. Pừmr. Tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số diện tích 4. Ta tìm các điểm tới hạn của hàm số bên trong diện tích D. Để làm được điều này, ta lập hệ phương trình. Từ đây ta được x \u003d y "0, sao cho điểm 0 (0,0) là điểm cực trị của hàm số x. Vì Bây giờ chúng ta hãy tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm trên ranh giới Г của vùng D. Trên một phần của ranh giới, chúng ta có sao cho y \u003d 0 là một điểm tới hạn và vì \u003d thì tại đây điểm hàm z \u003d 1 + y2 có cực tiểu bằng một. Ở hai đầu của đoạn G", tại các điểm (, chúng ta có. Sử dụng tính đối xứng, chúng ta thu được kết quả tương tự cho các phần khác của ranh giới. Cuối cùng, chúng ta thu được: giá trị nhỏ nhất của hàm z \u003d x2 + y2 trong vùng "B" bằng 0 và nó đạt được tại điểm bên trong 0( 0, 0) của vùng, và giá trị lớn nhất của hàm này, bằng hai, đạt được tại bốn điểm của biên (Hình. 25) Hình25 Bài tập hàm số: Tìm đạo hàm riêng của hàm số và tổng vi phân của chúng: Tìm đạo hàm của hàm phức: 3 Tìm J. Cực trị của hàm nhiều biến Khái niệm cực trị của hàm nhiều biến Cần và đủ điều kiện để có cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số liên tục 34. Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm phức hai biến, tìm và hàm: 35. Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm phức hai biến , tìm |J và các hàm: Tìm các hàm jj, cho trước: 40. Tìm hệ số góc của đường cong tiếp tuyến tại giao điểm với đường thẳng x = 3. 41. Tìm các điểm tại đó tiếp tuyến của đường cong x song song với trục x. . Trong các nhiệm vụ sau, hãy tìm và Z: Viết phương trình mặt phẳng tiếp tuyến và pháp tuyến của mặt: 49. Viết phương trình mặt phẳng tiếp tuyến của mặt x2 + 2y2 + Zr2 \u003d 21, song song với mặt phẳng x + 4y + 6z \u003d 0. Tìm ba đến bốn số hạng đầu tiên của khai triển bằng công thức Taylor : 50. y trong một lân cận của điểm (0, 0). Sử dụng định nghĩa về cực trị của hàm, hãy khảo sát các hàm sau để tìm cực trị:). Sử dụng điều kiện đủ để có cực trị của hàm hai biến, hãy khảo sát cực trị của hàm: 84. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm z \u003d x2 - y2 trong một đường tròn khép kín 85. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất các giá trị của hàm * \u003d x2y (4-x-y) trong tam giác giới hạn bởi các đường x \u003d 0, y = 0, x + y = b. 88. Xác định các kích thước của một bể bơi ngoài trời hình chữ nhật có bề mặt nhỏ nhất, với điều kiện là thể tích của nó bằng V. 87. Tìm các kích thước của một hình bình hành hình chữ nhật có tổng các bề mặt là 5 thể tích lớn nhất. Đáp án 1. và | Một hình vuông được tạo bởi các đoạn thẳng x bao gồm cả các cạnh của nó. 3. Họ các vành đồng tâm 2= 0,1,2,... .4. Toàn bộ mặt phẳng trừ các điểm thuộc đường thẳng y. Phần của mặt phẳng nằm phía trên parabol y \u003d -x?. 8. Khoanh vào điểm x. Toàn mặt phẳng trừ các đường thẳng x Biểu thức căn không âm trong hai trường hợp j * ^ hoặc j x ^ ^ tương ứng với một dãy vô số bất phương trình Miền xác định là các ô vuông được tô đậm (Hình 26) ; l mà tương đương với một chuỗi vô hạn Hàm được xác định tại các điểm. a) Đường thẳng song song với đường thẳng x b) Đường tròn đồng tâm có tâm là gốc tọa độ. 10. a) parabol y) parabol y a) parabol b) hyperbol | .Plan xc. 13.Prim - hyperboloid một khoang xoay quanh trục Oz; vì và là hyperboloid hai lớp xoay quanh trục Oz, cả hai họ bề mặt được phân tách bằng một hình nón; Không có giới hạn, b) 0. 18. Cho y = kxt thì z lim z = -2, để hàm số đã cho tại điểm (0,0) không có giới hạn. 19. a) Điểm (0,0); b) điểm (0,0). 20. a) Đường gãy - đường tròn x2 + y2 = 1; b) đường đứt đoạn là đường thẳng y \u003d x. 21. a) Đứt các đường thẳng - các trục tọa độ Ox, Oy; b) 0 (tập hợp rỗng). 22. Mọi điểm (m, n), trong đó và n là số nguyên

định nghĩa1: Một hàm được gọi là đạt cực đại cục bộ tại một điểm nếu tồn tại một lân cận của điểm đó sao cho với mọi điểm m có tọa độ (x, y) bất đẳng thức được thỏa mãn: . Trong trường hợp này, tức là, số gia của hàm< 0.

định nghĩa2: Một hàm được gọi là có cực tiểu cục bộ tại một điểm nếu tồn tại một lân cận của điểm đó sao cho với mọi điểm m có tọa độ (x, y) bất đẳng thức được thỏa mãn: . Trong trường hợp này, tức là, số gia của hàm > 0.

định nghĩa 3: Điểm cực tiểu và cực đại cục bộ được gọi là điểm cực trị.

Cực trị có điều kiện

Khi tìm cực trị của hàm nhiều biến, các bài toán thường nảy sinh liên quan đến cái gọi là cực trị có điều kiện. Khái niệm này có thể được giải thích bằng ví dụ về hàm hai biến.

Hãy để một chức năng và một dòng được đưa ra L trên bề mặt 0xy. Nhiệm vụ là xếp hàng L tìm một điểm như vậy P(x, y), trong đó giá trị của hàm số lớn nhất hoặc nhỏ nhất so với các giá trị của hàm số này tại các điểm thuộc đường thẳng L nằm gần điểm P. Những điểm như vậy P gọi điện điểm cực trị có điều kiện chức năng dòng L. Không giống như điểm cực trị thông thường, giá trị hàm tại điểm cực trị có điều kiện được so sánh với các giá trị hàm không phải tại tất cả các điểm thuộc một số vùng lân cận của nó mà chỉ tại các điểm nằm trên đường thẳng L.

Rõ ràng là điểm cực trị thông thường (họ cũng nói cực trị vô điều kiện) cũng là một điểm cực trị có điều kiện cho mọi đường thẳng đi qua điểm này. Tất nhiên, điều ngược lại là không đúng: một điểm cực trị có điều kiện có thể không phải là một điểm cực trị thông thường. Hãy để tôi giải thích điều này với một ví dụ đơn giản. Đồ thị của hàm là bán cầu trên (Phụ lục 3 (Hình 3)).

Hàm này có cực đại tại gốc tọa độ; nó tương ứng với đỉnh m bán cầu não. Nếu dòng L có một đường thẳng đi qua các điểm MỘT Và TRONG(phương trình của cô x+y-1=0), thì rõ ràng về mặt hình học rằng đối với các điểm của đường thẳng này, giá trị lớn nhất của hàm đạt được tại điểm nằm ở giữa các điểm MỘT Và TRONG.Đây là điểm cực trị (cực đại) có điều kiện của hàm số trên đường thẳng đã cho; nó tương ứng với điểm M 1 trên bán cầu, và từ hình vẽ có thể thấy rằng không thể có bất kỳ điểm cực trị thông thường nào ở đây.

Chú ý trong phần cuối của bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong miền đóng, ta phải tìm các giá trị cực trị của hàm số trên biên của miền này, tức là trên một số dòng, và do đó giải quyết vấn đề cho một cực trị có điều kiện.

Bây giờ chúng ta hãy tiến hành tìm kiếm thực tế các điểm của cực trị có điều kiện của hàm Z= f(x, y) với điều kiện là các biến x và y có quan hệ với nhau bởi phương trình (x, y) = 0. Mối quan hệ này sẽ là được gọi là phương trình ràng buộc. Nếu từ phương trình kết nối y có thể được biểu thị rõ ràng theo x: y \u003d (x), chúng ta nhận được hàm một biến Z \u003d f (x, (x)) \u003d Ф (x).

Sau khi tìm được giá trị của x mà tại đó hàm này đạt cực trị, sau đó xác định các giá trị tương ứng của y từ phương trình kết nối, chúng ta sẽ thu được các điểm mong muốn của cực trị có điều kiện.

Vì vậy, trong ví dụ trên, từ phương trình giao tiếp x+y-1=0, chúng ta có y=1-x. Từ đây

Dễ dàng kiểm tra được z đạt cực đại tại x = 0,5; nhưng sau đó từ phương trình kết nối y = 0,5, và chúng ta nhận được chính xác điểm P, được tìm thấy từ các xét hình học.

Bài toán cực trị có điều kiện được giải rất đơn giản ngay cả khi phương trình ràng buộc có thể được biểu diễn bằng các phương trình tham số x=x(t), y=y(t). Thay các biểu thức của x và y vào hàm này, chúng ta lại đến với bài toán tìm cực trị của hàm một biến.

Nếu phương trình ràng buộc có dạng phức tạp hơn và chúng ta không thể biểu diễn rõ ràng một biến này theo một biến khác, cũng như không thể thay thế nó bằng phương trình tham số, thì vấn đề tìm cực trị có điều kiện sẽ trở nên khó khăn hơn. Chúng ta sẽ tiếp tục giả sử rằng trong biểu thức của hàm z= f(x, y) biến (x, y) = 0. Tổng đạo hàm của hàm z= f(x, y) bằng:

Đạo hàm y` ở đâu, được tìm theo quy tắc đạo hàm của hàm ẩn. Tại các điểm của cực trị có điều kiện, đạo hàm tổng tìm được phải bằng 0; điều này đưa ra một phương trình liên quan đến x và y. Vì chúng cũng phải thỏa mãn phương trình ràng buộc nên ta được hệ hai phương trình với hai ẩn số

Hãy chuyển đổi hệ thống này thành một hệ thống thuận tiện hơn nhiều bằng cách viết phương trình đầu tiên dưới dạng tỷ lệ và giới thiệu một ẩn phụ mới:

(một dấu trừ được đặt ở phía trước để thuận tiện). Dễ dàng chuyển từ các đẳng thức này sang hệ thức sau:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

trong đó cùng với phương trình ràng buộc (x, y) = 0 lập thành hệ ba phương trình với các ẩn số x, y, và.

Các phương trình (*) này dễ nhớ nhất khi sử dụng quy tắc sau: để tìm các điểm có thể là điểm cực trị có điều kiện của hàm số

Z= f(x, y) với phương trình ràng buộc (x, y) = 0, bạn cần lập hàm phụ

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Hằng số ở đâu và viết phương trình tìm các điểm cực trị của hàm số này.

Theo quy luật, hệ phương trình được chỉ định chỉ cung cấp các điều kiện cần thiết, tức là không phải mọi cặp giá trị x và y thỏa mãn hệ thức này nhất thiết là điểm cực trị có điều kiện. Tôi sẽ không đưa ra điều kiện đủ cho các điểm cực trị có điều kiện; rất thường bản thân nội dung cụ thể của bài toán gợi ý điểm tìm được là gì. Kỹ thuật được mô tả để giải các bài toán cho một cực trị có điều kiện được gọi là phương pháp nhân tử Lagrange.

Điều kiện đủ để có cực trị của hàm hai biến

1. Cho hàm số khả vi liên tục trong một lân cận nào đó của điểm và có đạo hàm riêng cấp hai liên tục (thuần túy và hỗn hợp).

2. Biểu thị bằng định thức bậc hai

Bài giảng hàm số biến cực trị

định lý

Nếu điểm có tọa độ là điểm bất động của hàm số thì:

A) Khi nó là một điểm cực trị địa phương và, tại cực đại địa phương, - cực tiểu địa phương;

C) khi điểm không phải là điểm cực trị cục bộ;

C) nếu, có thể cả hai.

Bằng chứng

Chúng tôi viết công thức Taylor cho hàm, giới hạn bản thân ở hai phần tử:

Vì, theo điều kiện của định lý, điểm đứng yên, nên các đạo hàm riêng cấp hai bằng 0, tức là Và. Sau đó

Chứng tỏ

Sau đó, số gia của hàm sẽ có dạng:

Do tính liên tục của các đạo hàm riêng cấp 2 (thuần túy và hỗn hợp) nên theo điều kiện của định lý tại một điểm, ta có thể viết:

ở đâu hoặc; ,

1. Đặt và, tức là, hoặc.

2. Chúng tôi nhân số gia của hàm và chia cho, chúng tôi nhận được:

3. Bổ sung biểu thức trong dấu ngoặc nhọn thành bình phương đầy đủ của tổng:

4. Biểu thức trong ngoặc nhọn không âm vì

5. Do đó, nếu và do đó, và, thì và, do đó, theo định nghĩa, điểm là điểm cực tiểu địa phương.

6. Nếu và có nghĩa là và , thì theo định nghĩa, một điểm có tọa độ là một điểm cực đại địa phương.

2. Xét một tam thức vuông, phân biệt của nó, .

3. Nếu thì tồn tại các điểm sao cho đa thức

4. Tổng số gia của hàm số tại một điểm theo biểu thức có được ở I, ta viết dưới dạng:

5. Do tính liên tục của đạo hàm riêng cấp 2 nên với điều kiện của định lý tại một điểm ta viết được

do đó, tồn tại một lân cận của một điểm sao cho, đối với bất kỳ điểm nào, tam thức bình phương lớn hơn 0:

6. Xét - lân cận của điểm.

Hãy chọn bất kỳ giá trị nào, vì vậy đó là vấn đề. Giả sử rằng trong công thức gia tăng của hàm

Những gì chúng tôi nhận được:

7. Kể từ đó.

8. Lập luận tương tự đối với nghiệm, ta nhận được rằng trong bất kỳ lân cận nào của điểm cũng có một điểm mà tại lân cận của điểm đó nó không bảo toàn dấu, do đó không có cực trị tại điểm đó.

Cực trị có điều kiện của hàm hai biến

Khi tìm kiếm cực trị của hàm hai biến, các vấn đề thường phát sinh liên quan đến cái gọi là cực trị có điều kiện. Khái niệm này có thể được giải thích bằng ví dụ về hàm hai biến.

Cho hàm số và đường thẳng L trên mặt phẳng 0xy. Nhiệm vụ là tìm một điểm P(x, y) trên đường thẳng L mà tại đó giá trị của hàm số lớn nhất hoặc nhỏ nhất so với các giá trị của hàm số này tại các điểm của đường thẳng L, nằm gần điểm P. Những điểm P như vậy được gọi là các hàm điểm cực trị có điều kiện trên đường thẳng L. Ngược lại với điểm cực trị thông thường, giá trị của hàm tại điểm cực trị có điều kiện được so sánh với các giá trị của hàm không tại mọi điểm của một số vùng lân cận của nó, nhưng chỉ ở những vùng nằm trên đường L.

Rõ ràng là điểm của cực trị thông thường (người ta cũng nói là cực trị không điều kiện) cũng là điểm của cực trị có điều kiện đối với bất kỳ đường thẳng nào đi qua điểm này. Tất nhiên, điều ngược lại là không đúng: một điểm cực trị có điều kiện có thể không phải là một điểm cực trị thông thường. Hãy minh họa những gì đã được nói với một ví dụ.

Ví dụ 1.Đồ thị của hàm là bán cầu trên (Hình 2).

Cơm. 2.

Hàm này có cực đại tại gốc tọa độ; nó ứng với đỉnh M của bán cầu. Nếu đường thẳng L là một đường thẳng đi qua các điểm A và B (phương trình của nó), thì rõ ràng về mặt hình học là đối với các điểm của đường thẳng này, giá trị lớn nhất của hàm số đạt được tại điểm nằm giữa hai điểm A và B. Đây là hàm điểm cực trị (cực đại) có điều kiện trên đường thẳng này; nó tương ứng với điểm M 1 trên bán cầu, và từ hình vẽ có thể thấy rằng không thể có bất kỳ điểm cực trị thông thường nào ở đây.

Lưu ý rằng trong phần cuối cùng của bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trong miền đóng, ta phải tìm các giá trị cực trị của hàm số trên biên của miền này, tức là trên một số dòng, và do đó giải quyết vấn đề cho một cực trị có điều kiện.

Định nghĩa 1. Họ nói rằng where có một cực đại (cực tiểu) có điều kiện hoặc tương đối tại một điểm thỏa mãn phương trình: nếu với bất kỳ điểm nào thỏa mãn phương trình thì bất phương trình

Định nghĩa 2. Một phương trình có dạng gọi là phương trình ràng buộc.

định lý

Nếu các hàm và liên tục khả vi trong một lân cận của một điểm và đạo hàm riêng và điểm là điểm của cực trị có điều kiện của hàm đối với phương trình ràng buộc, thì định thức cấp hai bằng 0:

Bằng chứng

1. Vì theo điều kiện của định lý, đạo hàm riêng và giá trị của hàm số thì trong một hình chữ nhật nào đó

chức năng ngầm xác định

Một hàm phức hai biến tại một điểm sẽ có một cực trị địa phương, do đó, hoặc.

2. Thật vậy, theo tính chất bất biến của căn thức vi phân cấp một

3. Phương trình kết nối có thể được biểu diễn dưới dạng này, có nghĩa là

4. Nhân phương trình (2) với và (3) rồi cộng chúng

Vì vậy, khi

Bất kỳ. h.t.d.

Kết quả

Việc tìm kiếm các điểm cực trị có điều kiện của hàm hai biến trong thực tế được thực hiện bằng cách giải hệ phương trình

Vì vậy, trong ví dụ trên số 1 từ phương trình giao tiếp chúng ta có. Từ đây, thật dễ dàng để kiểm tra những gì đạt đến mức tối đa tại . Nhưng sau đó từ phương trình giao tiếp. Chúng tôi nhận được điểm P, được tìm thấy về mặt hình học.

Ví dụ #2. Tìm các điểm cực trị có điều kiện của hàm số đối với phương trình ràng buộc.

Hãy tìm các đạo hàm riêng của hàm đã cho và phương trình kết nối:

Hãy tạo một định thức bậc hai:

Hãy viết hệ phương trình tìm điểm cực trị có điều kiện:

do đó, có bốn điểm cực trị có điều kiện của hàm có tọa độ: .

Ví dụ #3. Tìm các điểm cực trị của hàm số.

Cân bằng các đạo hàm riêng với 0: , chúng tôi tìm thấy một điểm cố định - gốc tọa độ. Đây,. Do đó, điểm (0, 0) cũng không phải là điểm cực trị. Phương trình là phương trình của một paraboloid hypebol (Hình 3), hình vẽ cho thấy điểm (0, 0) không phải là điểm cực trị.

Cơm. 3.

Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong một miền kín

1. Cho hàm số xác định và liên tục trong miền D đóng có giới hạn.

2. Cho hàm số có hữu hạn đạo hàm riêng trong miền này, trừ các điểm riêng của miền.

3. Theo định lý Weierstrass, trong miền này tồn tại một điểm mà tại đó hàm số nhận giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

4. Nếu các điểm này là điểm trong của miền D thì hiển nhiên chúng có cực đại hoặc cực tiểu.

5. Trong trường hợp này, các điểm chúng tôi quan tâm nằm trong số các điểm đáng ngờ trên cực trị.

6. Tuy nhiên, hàm số cũng có thể nhận giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trên biên của miền D.

7. Để tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số trong miền D, cần tìm tất cả các điểm trong nghi ngờ có cực trị, tính giá trị của hàm số trong đó rồi so sánh với giá trị của hàm số tại các điểm biên của vùng, và giá trị lớn nhất trong tất cả các giá trị tìm được sẽ là giá trị lớn nhất trong vùng đóng D.

8. Phương pháp tìm cực đại hoặc cực tiểu cục bộ đã được xem xét trước đó trong Mục 1.2. và 1.3.

9. Còn xét phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên biên của miền.

10. Trong trường hợp hàm hai biến, diện tích thường bị giới hạn bởi một hoặc nhiều đường cong.

11. Dọc theo một đường cong (hoặc nhiều đường cong) như vậy, các biến và phụ thuộc lẫn nhau hoặc cả hai phụ thuộc vào một tham số.

12. Như vậy, trên biên, hàm phụ thuộc vào một biến.

13. Phương pháp tìm giá trị lớn nhất của hàm một biến đã được thảo luận trước đó.

14. Cho biên của miền D được cho bởi phương trình tham số:

Khi đó trên đường cong này hàm hai biến sẽ là hàm phức của tham số: . Đối với một hàm như vậy, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất được xác định bằng phương pháp xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất cho hàm một biến.

Cực trị của hàm nhiều biến. Một điều kiện cần thiết cho một cực trị. Điều kiện đủ của một cực trị. Cực trị có điều kiện. Phương pháp nhân tử Lagrange. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

bài giảng 5

Định nghĩa 5.1. chấm M 0 (x 0, y 0) gọi điện điểm tối đa chức năng z = f(x, y), Nếu như f (x o , y o) > f(x, y) cho tất cả các điểm (x, y) m 0.

Định nghĩa 5.2. chấm M 0 (x 0, y 0) gọi điện điểm tối thiểu chức năng z = f(x, y), Nếu như f (x o , y o) < f(x, y) cho tất cả các điểm (x, y) từ một số lân cận của điểm m 0.

Nhận xét 1. Điểm cực đại và cực tiểu gọi là điểm cực trị hàm của một số biến.

Nhận xét 2. Điểm cực trị của một hàm số biến bất kỳ được xác định theo cách tương tự.

Định lý 5.1(điều kiện cực trị cần thiết). Nếu như M 0 (x 0, y 0) là điểm cực trị của hàm số z = f(x, y), thì tại thời điểm này các đạo hàm riêng cấp một của hàm này bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bằng chứng.

Hãy sửa giá trị của biến Tạiđếm y = y 0. Sau đó chức năng f(x, y0) sẽ là một chức năng của một biến X, mà x = x 0 là điểm cực trị. Do đó, theo định lý Fermat hoặc không tồn tại. Khẳng định tương tự được chứng minh cho .

Định nghĩa 5.3. Các điểm thuộc miền xác định của hàm nhiều biến mà tại đó đạo hàm riêng của hàm bằng 0 hoặc không tồn tại được gọi là điểm cố định Chức năng này.

Bình luận. Do đó, cực trị chỉ có thể đạt được tại các điểm cố định, nhưng nó không nhất thiết phải được quan sát thấy tại mỗi điểm.

Định lý 5.2(điều kiện đủ để có cực trị). Đặt trong một số lân cận của điểm M 0 (x 0, y 0), là điểm dừng của hàm z = f(x, y), hàm này có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp 3 bao gồm. Kí hiệu Khi đó:

1) f(x, y) có tại điểm m 0 tối đa nếu AC-B² > 0, MỘT < 0;

2) f(x, y) có tại điểm m 0 tối thiểu nếu AC-B² > 0, MỘT > 0;

3) không có cực trị tại điểm tới hạn nếu AC-B² < 0;

4) nếu AC-B² = 0, cần nghiên cứu thêm.

Bằng chứng.

Hãy viết công thức Taylor bậc hai cho hàm f(x, y), lưu ý rằng tại một điểm đứng yên, các đạo hàm riêng của bậc nhất bằng 0:

Ở đâu Nếu góc giữa đoạn M 0 M, Ở đâu M (x 0 +Δ x, y 0 +Δ Tại) và trục O X biểu thị φ, sau đó Δ x =Δ ρ cos φ, Δ y=Δρsinφ. Trong trường hợp này, công thức Taylor sẽ có dạng: . Để Sau đó, chúng ta có thể chia và nhân biểu thức trong ngoặc đơn với MỘT. Chúng tôi nhận được:

Bây giờ hãy xem xét bốn trường hợp có thể xảy ra:

1) AC-B² > 0, MỘT < 0. Тогда , и cho Δρ đủ nhỏ. Vì vậy, trong một số lân cận M 0 f ( x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f(x0, y0), đó là m 0 là điểm cực đại.

2) Hãy để AC-B² > 0, Một > 0. Sau đó , Và m 0 là điểm cực tiểu.

3) Hãy để AC-B² < 0, MỘT> 0. Xét sự gia tăng của các đối số dọc theo tia φ = 0. Từ (5.1) suy ra rằng , nghĩa là khi di chuyển dọc theo tia này thì cơ năng tăng. Nếu chúng ta di chuyển dọc theo một tia sao cho tg φ 0 \u003d -A / B, Cái đó , do đó khi di chuyển dọc theo tia này thì cơ năng giảm. Vì vậy, điểm m 0 không phải là điểm cực trị.

3`) Khi AC-B² < 0, MỘT < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

tương tự như cái trước.

3``) Nếu AC-B² < 0, MỘT= 0 thì . Trong đó . Khi đó, đối với φ đủ nhỏ, biểu thức 2 b cos + C sinφ gần bằng 2 TRONG, nghĩa là nó giữ nguyên dấu và sinφ đổi dấu trong lân cận của điểm 0 .Điều này có nghĩa là số gia của hàm đổi dấu trong vùng lân cận của điểm dừng, do đó không phải là điểm cực trị.

4) Nếu AC-B² = 0 và , , nghĩa là dấu của số gia được xác định bởi dấu 2α 0 . Đồng thời, cần nghiên cứu thêm để làm sáng tỏ câu hỏi về sự tồn tại của một điểm cực trị.

Ví dụ. Hãy tìm các điểm cực trị của hàm số z=x² - 2 xy + 2y² + 2 x.Để tìm điểm đứng yên ta giải hệ . Vì vậy, điểm đứng yên là (-2,-1). trong đó một = 2, TRONG = -2, VỚI= 4. Sau đó AC-B² = 4 > 0, do đó, một cực trị đạt được tại điểm dừng, cụ thể là cực tiểu (vì MỘT > 0).

Định nghĩa 5.4. Nếu các đối số của hàm f (x 1 , x 2 …, xn) ràng buộc bởi các điều kiện bổ sung trong hình thức tôi phương trình ( tôi< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

trong đó các hàm φ i có đạo hàm riêng liên tục thì phương trình (5.2) được gọi là phương trình kết nối.

Định nghĩa 5.5. Hàm cực trị f (x 1 , x 2 …, xn) trong điều kiện (5.2) được gọi là cực trị có điều kiện.

Bình luận. Chúng ta có thể đưa ra cách diễn giải hình học sau về cực trị có điều kiện của hàm hai biến: f(x,y) có liên quan với nhau bởi phương trình φ (x, y)= 0, xác định một số đường cong trong mặt phẳng O hu. Đã khôi phục từ mỗi điểm của đường cong này vuông góc với mặt phẳng O hu trước khi vượt qua bề mặt z = f (x, y), chúng ta thu được một đường cong không gian nằm trên bề mặt phía trên đường cong φ (x, y)= 0. Vấn đề là tìm các điểm cực trị của đường cong kết quả, tất nhiên, trong trường hợp chung không trùng với các điểm cực trị vô điều kiện của hàm f(x,y).

Chúng ta hãy xác định các điều kiện cực trị có điều kiện cần thiết cho một hàm hai biến bằng cách đưa ra trước định nghĩa sau:

Định nghĩa 5.6. Chức năng L ( x 1 , x 2 , …, x n ) = f ( x 1 , x 2 …, x n ) + λ 1 φ 1 ( x 1 , x 2 …, x n ) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

Ở đâu tôi - một số hằng số, được gọi là Hàm Lagrange, và các số tôi– nhân Lagrange không xác định.

Định lý 5.3(điều kiện cực trị có điều kiện cần thiết). Cực trị có điều kiện của hàm z = f(x, y) với sự có mặt của phương trình ràng buộc φ ( x, y)= 0 chỉ có thể đạt được tại các điểm đứng yên của hàm Lagrange L(x,y) = f(x,y) + λφ(x,y).

Bằng chứng. Phương trình ràng buộc xác định một sự phụ thuộc ngầm định Tại từ X, vì vậy chúng tôi sẽ giả sử rằng Tại có một chức năng từ X: y = y(x). Sau đó z có một chức năng phức tạp X, và các điểm tới hạn của nó được xác định bởi điều kiện: . (5.4) Từ phương trình ràng buộc suy ra rằng . (5.5)

Chúng ta nhân đẳng thức (5.5) với một số λ và cộng nó vào (5.4). Chúng tôi nhận được:

, hoặc .

Đẳng thức cuối cùng phải giữ tại các điểm đứng yên, từ đó suy ra:

(5.6)

Một hệ thống ba phương trình cho ba ẩn số thu được: x, y và λ, với hai phương trình đầu tiên là điều kiện cho điểm bất động của hàm Lagrange. Loại bỏ ẩn số phụ λ khỏi hệ (5.6), ta tìm được tọa độ của các điểm mà tại đó hàm ban đầu có thể có cực trị có điều kiện.

Nhận xét 1. Có thể kiểm tra sự có mặt của một cực trị có điều kiện tại điểm vừa tìm được bằng cách nghiên cứu các đạo hàm riêng cấp hai của hàm Lagrange tương tự với Định lý 5.2.

Nhận xét 2. Điểm đạt cực trị có điều kiện của hàm số f (x 1 , x 2 …, xn) trong điều kiện (5.2), có thể được định nghĩa là nghiệm của hệ (5.7)

Ví dụ. Tìm cực trị có điều kiện của hàm số z = xy cho rằng x + y= 1. Soạn hàm Lagrange L(x, y) = xy + λ (x + y – 1). Hệ thống (5.6) sau đó trông như thế này:

Từ đó -2λ=1, λ=-0,5, x = y = -λ = 0,5. trong đó L (x, y) có thể được đại diện như L(x, y) = - 0,5 (x-y)² + 0,5 ≤ 0,5, do đó, tại điểm dừng được tìm thấy L (x, y) có cực đại và z = xy - tối đa có điều kiện.

Trước tiên chúng ta xét trường hợp hàm hai biến. Cực trị có điều kiện của hàm $z=f(x,y)$ tại điểm $M_0(x_0;y_0)$ là cực trị của hàm này, đạt được với điều kiện là các biến $x$ và $y$ trong lân cận của điểm này thỏa mãn phương trình ràng buộc $\ varphi(x,y)=0$.

Cái tên cực trị "có điều kiện" là do điều kiện bổ sung $\varphi(x,y)=0$ được áp đặt cho các biến. Nếu có thể biểu thị một biến theo một biến khác từ phương trình kết nối, thì vấn đề xác định cực trị có điều kiện được rút gọn thành vấn đề về cực trị thông thường của hàm một biến. Ví dụ: nếu $y=\psi(x)$ suy ra từ phương trình ràng buộc, sau đó thay thế $y=\psi(x)$ thành $z=f(x,y)$, chúng ta sẽ nhận được một hàm của một biến $ z=f\left (x,\psi(x)\right)$. Tuy nhiên, trong trường hợp chung, phương pháp này ít được sử dụng, vì vậy cần phải có một thuật toán mới.

Phương pháp nhân tử Lagrange cho hàm hai biến.

Phương pháp nhân tử Lagrange là để tìm cực trị có điều kiện, hàm Lagrange bao gồm: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (tham số $\lambda $ được gọi là hệ số nhân Lagrange). Các điều kiện cực trị cần thiết được đưa ra bởi một hệ phương trình mà từ đó các điểm đứng yên được xác định:

$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\end(aligned)\right.$$

Dấu $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$. Nếu tại một điểm cố định $d^2F > 0$, thì hàm $z=f(x,y)$ có cực tiểu có điều kiện tại điểm này, nhưng nếu $d^2F< 0$, то условный максимум.

Có một cách khác để xác định bản chất của cực trị. Từ phương trình ràng buộc ta có: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, vậy tại bất kỳ điểm đứng yên nào ta có:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("")\phải)$$

Yếu tố thứ hai (nằm trong ngoặc) có thể được biểu diễn dưới dạng này:

Các phần tử của $\left| \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (mảng) \right|$ là Hessian của hàm Lagrange. Nếu $H > 0$ thì $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >$0, tức là chúng ta có giá trị cực tiểu có điều kiện của hàm $z=f(x,y)$.

Lưu ý về dạng của định thức $H$. hiện an

$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ kết thúc(mảng) \right| $$

Trong tình huống này, quy tắc được xây dựng ở trên thay đổi như sau: nếu $H > 0$, thì hàm có giá trị cực tiểu có điều kiện và đối với $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Thuật toán nghiên cứu hàm hai biến đối với cực trị có điều kiện

1. Soạn hàm Lagrange $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. Giải hệ $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi(x,y)=0.\end(aligned)\right.$
3. Xác định bản chất của cực trị tại mỗi điểm đứng yên được tìm thấy trong đoạn trước. Để thực hiện việc này, hãy sử dụng bất kỳ phương pháp nào sau đây:
   • Lập định thức $H$ và tìm dấu của nó
   • Tính đến phương trình ràng buộc, hãy tính dấu của $d^2F$

Phương pháp nhân tử Lagrange cho hàm n biến

Giả sử chúng ta có một hàm gồm $n$ biến $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ và phương trình ràng buộc $m$ ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Biểu thị các hệ số nhân Lagrange là $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, ta soạn hàm Lagrange:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Các điều kiện cần thiết cho sự xuất hiện của một cực trị có điều kiện được đưa ra bởi một hệ phương trình từ đó tìm được tọa độ của các điểm đứng yên và các giá trị của hệ số nhân Lagrange:

$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$

Như trước đây, có thể tìm hiểu xem một hàm có cực tiểu có điều kiện hay cực đại có điều kiện tại điểm tìm được bằng cách sử dụng ký hiệu $d^2F$. Nếu tại điểm tìm được $d^2F > 0$ thì hàm có cực tiểu có điều kiện, nhưng nếu $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Định thức ma trận $\left| \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( array) \right|$ được tô màu đỏ trong ma trận $L$ là hàm Hessian của hàm Lagrange. Chúng tôi sử dụng quy tắc sau:

• Nếu các dấu hiệu của các con ở góc là $H_(2m+1),\; Các ma trận H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ $L$ trùng dấu $(-1)^m$ thì điểm dừng đang nghiên cứu là điểm cực tiểu có điều kiện của hàm số $z =f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
• Nếu các dấu hiệu của các con ở góc là $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ xen kẽ nhau và dấu của số phụ $H_(2m+1)$ trùng với dấu của số $(-1)^(m+1 )$, thì điểm dừng nghiên cứu là điểm cực đại có điều kiện của hàm số $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.

Ví dụ 1

Tìm cực trị có điều kiện của hàm $z(x,y)=x+3y$ với điều kiện $x^2+y^2=10$.

Giải thích hình học của bài toán này như sau: yêu cầu tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của ứng dụng của mặt phẳng $z=x+3y$ cho các giao điểm của nó với hình trụ $x^2+y^2 =10$.

Hơi khó để biểu thị một biến theo một biến khác từ phương trình ràng buộc và thay thế nó vào hàm $z(x,y)=x+3y$, vì vậy chúng ta sẽ sử dụng phương pháp Lagrange.

Biểu thị $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, chúng ta soạn hàm Lagrange:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\partial x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

Chúng ta hãy viết hệ phương trình xác định các điểm dừng của hàm Lagrange:

$$ \left \( \begin(aligned) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (căn chỉnh)\right.$$

Nếu chúng ta giả sử $\lambda=0$, thì phương trình đầu tiên sẽ trở thành: $1=0$. Kết quả mâu thuẫn nói rằng $\lambda\neq 0$. Với điều kiện $\lambda\neq 0$, từ phương trình thứ nhất và thứ hai ta có: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Thay thế các giá trị thu được vào phương trình thứ ba, chúng ta nhận được:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(căn chỉnh) \right.\\ \begin(căn chỉnh) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(căn chỉnh) $$

Vậy hệ có 2 nghiệm: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ và $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Chúng ta hãy tìm hiểu bản chất của cực trị tại mỗi điểm dừng: $M_1(1;3)$ và $M_2(-1;-3)$. Để làm điều này, chúng ta tính định thức $H$ tại mỗi điểm.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \left| \begin(mảng) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(mảng) \right|= 8\cdot\left| \begin(mảng) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(mảng) \right| $$

Tại điểm $M_1(1;3)$ ta có: $H=8\cdot\left| \begin(mảng) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(mảng) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, vì vậy tại thời điểm $M_1(1;3)$ hàm $z(x,y)=x+3y$ có cực đại có điều kiện, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

Tương tự, tại điểm $M_2(-1;-3)$ ta tìm được: $H=8\cdot\left| \begin(mảng) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(mảng) \right|= 8\cdot\left| \begin(mảng) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(mảng) \right|=-40$. kể từ $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Tôi lưu ý rằng thay vì tính giá trị của định thức $H$ tại mỗi điểm, sẽ thuận tiện hơn nhiều nếu mở nó theo cách tổng quát. Để không làm lộn xộn văn bản với các chi tiết, tôi sẽ ẩn phương pháp này dưới một ghi chú.

Kí hiệu xác định $H$ ở dạng tổng quát. hiện an

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$

Về nguyên tắc, rõ ràng $H$ có ký hiệu nào. Vì không có điểm nào $M_1$ hoặc $M_2$ trùng với gốc tọa độ nên $y^2+x^2>0$. Do đó, dấu của $H$ ngược với dấu của $\lambda$. Bạn cũng có thể hoàn thành các tính toán:

$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(căn chỉnh) $$

Câu hỏi về bản chất của cực trị tại các điểm cố định $M_1(1;3)$ và $M_2(-1;-3)$ có thể được giải mà không cần sử dụng định thức $H$. Tìm dấu của $d^2F$ tại mỗi điểm đứng yên:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\phải) $$

Tôi lưu ý rằng ký hiệu $dx^2$ có nghĩa chính xác là $dx$ được nâng lên lũy thừa bậc hai, tức là $\trái(dx\phải)^2$. Do đó, chúng tôi có: $dx^2+dy^2>0$, vì vậy với $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ chúng tôi nhận được $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Trả lời: tại điểm $(-1;-3)$ hàm có giá trị cực tiểu có điều kiện, $z_(\min)=-10$. Tại điểm $(1;3)$ hàm có cực đại có điều kiện, $z_(\max)=10$

Ví dụ #2

Tìm cực trị có điều kiện của hàm số $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ với điều kiện $x+y=0$.

Cách thứ nhất (phương pháp nhân tử Lagrange)

Biểu thị $\varphi(x,y)=x+y$ ta soạn hàm Lagrange: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x ^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0;\\&x+y=0.\end(căn chỉnh)\right.$$

Giải hệ, ta được: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ và $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9 )$ , $\lambda_2=-10$. Chúng ta có hai điểm bất động: $M_1(0;0)$ và $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Chúng ta hãy tìm hiểu bản chất của cực trị tại mỗi điểm dừng bằng cách sử dụng định thức $H$.

$$ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \left| \begin(mảng) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(mảng) \right|=-10-18y $$

Tại điểm $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, vì vậy tại thời điểm này, hàm có giá trị cực đại có điều kiện, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Chúng tôi điều tra bản chất của cực trị tại mỗi điểm bằng một phương pháp khác, dựa trên dấu của $d^2F$:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

Từ phương trình ràng buộc $x+y=0$ ta có: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Vì $ d^2F \Bigger|_(M_1)=10 dx^2 > 0$ nên $M_1(0;0)$ là điểm cực tiểu có điều kiện của hàm số $z(x,y)=3y^3+ 4x^2-xy$. Tương tự, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

cách thứ hai

Từ phương trình ràng buộc $x+y=0$ ta có: $y=-x$. Thay $y=-x$ vào hàm $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, chúng ta thu được một số hàm của biến $x$. Hãy biểu thị hàm này là $u(x)$:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Như vậy, ta đã rút gọn bài toán tìm cực trị có điều kiện của hàm hai biến thành bài toán xác định cực trị của hàm một biến.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ;y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9).$$

Có điểm $M_1(0;0)$ và $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Nghiên cứu sâu hơn được biết đến từ quá trình tính toán vi phân của hàm một biến. Xét dấu của $u_(xx)^("")$ tại mỗi điểm đứng yên hoặc kiểm tra sự đổi dấu của $u_(x)^(")$ tại các điểm tìm được ta cũng thu được kết luận như ở phương án thứ nhất . Ví dụ: dấu kiểm $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

Vì $u_(xx)^("")(M_1)>0$ nên $M_1$ là điểm cực tiểu của hàm số $u(x)$, còn $u_(\min)=u(0)=0 $ . Vì $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Các giá trị của hàm $u(x)$ trong điều kiện kết nối đã cho trùng với các giá trị của hàm $z(x,y)$, tức là cực trị tìm được của hàm $u(x)$ là cực trị điều kiện mong muốn của hàm $z(x,y)$.

Trả lời: tại điểm $(0;0)$ hàm có giá trị cực tiểu có điều kiện, $z_(\min)=0$. Tại điểm $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ hàm có cực đại có điều kiện, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

Hãy xem xét một ví dụ nữa, trong đó chúng ta tìm ra bản chất của cực trị bằng cách xác định dấu của $d^2F$.

Ví dụ #3

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $z=5xy-4$ nếu các biến $x$ và $y$ đều dương và thỏa mãn phương trình ràng buộc $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.

Soạn hàm Lagrange: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Tìm các điểm dừng của hàm Lagrange:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(căn chỉnh) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \; y > 0. \end(căn chỉnh) \right.$$

Tất cả các phép biến đổi tiếp theo được thực hiện có tính đến $x > 0; \; y > 0$ (điều này được quy định trong điều kiện của bài toán). Từ phương trình thứ hai, chúng ta biểu thị $\lambda=-\frac(5x)(y)$ và thay giá trị tìm được vào phương trình đầu tiên: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)( 4)=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Thay $x=2y$ vào phương trình thứ ba, ta được: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.

Vì $y=1$ nên $x=2$, $\lambda=-10$. Tính chất của cực trị tại điểm $(2;1)$ được xác định từ dấu của $d^2F$.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

Vì $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, nên:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

Về nguyên tắc, ở đây bạn có thể thay ngay tọa độ của điểm tĩnh $x=2$, $y=1$ và tham số $\lambda=-10$, do đó thu được:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Tuy nhiên, trong các bài toán khác đối với một cực trị có điều kiện, có thể có một vài điểm dừng. Trong những trường hợp như vậy, tốt hơn là biểu diễn $d^2F$ ở dạng tổng quát, sau đó thay thế tọa độ của từng điểm bất động được tìm thấy vào biểu thức kết quả:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

Thay $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, ta được:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Vì $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Trả lời: tại điểm $(2;1)$ hàm có cực đại có điều kiện, $z_(\max)=6$.

Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét ứng dụng của phương pháp Lagrange cho các hàm có số lượng biến lớn hơn.