Giải phương trình y 0. Các phương pháp giải phương trình
Hãy phân tích hai loại nghiệm của hệ phương trình:
1. Giải hệ bằng phương pháp thay thế.
2. Giải hệ bằng cách cộng (trừ) từng số hạng các phương trình của hệ.
Để giải hệ phương trình bằng phương pháp thay thế bạn cần tuân theo một thuật toán đơn giản:
1. Thể hiện. Từ bất kỳ phương trình nào, chúng tôi thể hiện một biến.
2. Thay thế. Chúng tôi thay thế giá trị kết quả vào một phương trình khác thay vì biến được biểu thị.
3. Giải phương trình thu được với một biến. Chúng tôi tìm thấy một giải pháp cho hệ thống.
Để giải quyết hệ thống bằng phương pháp cộng (trừ) từng số hạng cần phải:
1. Chọn một biến mà chúng ta sẽ tạo các hệ số giống hệt nhau.
2. Chúng ta cộng hoặc trừ các phương trình, thu được phương trình có một biến.
3. Giải phương trình tuyến tính thu được. Chúng tôi tìm thấy một giải pháp cho hệ thống.
Lời giải của hệ là giao điểm của đồ thị hàm số.
Chúng ta hãy xem xét chi tiết giải pháp của các hệ thống bằng cách sử dụng các ví dụ.
Ví dụ 1:
Hãy giải bằng phương pháp thế
Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế2x+5y=1 (1 phương trình)
x-10y=3 (phương trình thứ 2)
1. Thể hiện
Có thể thấy rằng trong phương trình thứ hai có một biến x có hệ số bằng 1, nghĩa là dễ dàng biểu diễn biến x từ phương trình thứ hai.
x=3+10y
2.Sau khi biểu thị xong, chúng ta thay 3+10y vào phương trình đầu tiên thay cho biến x.
2(3+10y)+5y=1
3. Giải phương trình thu được với một biến.
2(3+10y)+5y=1 (mở ngoặc)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Giải hệ phương trình là các giao điểm của đồ thị nên ta cần tìm x và y, vì giao điểm gồm có x và y. Hãy tìm x, tại điểm đầu tiên biểu thị nó ta thay y vào.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
Theo thông lệ, người ta viết điểm ở vị trí đầu tiên là biến x và ở vị trí thứ hai là biến y.
Trả lời: (1; -0,2)
Ví dụ #2:
Hãy giải bằng phương pháp cộng (trừ) từng số hạng.
Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng3x-2y=1 (1 phương trình)
2x-3y=-10 (phương trình thứ 2)
1. Chúng ta chọn một biến, giả sử chúng ta chọn x. Trong phương trình đầu tiên, biến x có hệ số 3, trong phương trình thứ hai - 2. Chúng ta cần làm cho các hệ số giống nhau, vì điều này chúng ta có quyền nhân các phương trình hoặc chia cho bất kỳ số nào. Chúng ta nhân phương trình đầu tiên với 2 và phương trình thứ hai với 3 và nhận được tổng hệ số là 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. Trừ số thứ hai khỏi phương trình thứ nhất để loại bỏ biến x. Giải phương trình tuyến tính.
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6,4
3. Tìm x. Chúng ta thay thế y tìm được vào bất kỳ phương trình nào, giả sử vào phương trình đầu tiên.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
Giao điểm sẽ là x=4,6; y=6,4
Trả lời: (4.6; 6.4)
Bạn có muốn chuẩn bị cho kỳ thi miễn phí? Gia sư trực tuyến miễn phí. Không đua đâu.
4x3 - 19x2 + 19x + 6 = 0
Trước tiên, bạn cần tìm một gốc bằng phương pháp lựa chọn. Thông thường nó là ước số của số hạng tự do. Trong trường hợp này, ước số của số 6 là ±1, ±2, ±3, ±6.
1: 4 - 19 + 19 + 6 = 10 ⇒ số 1
-1: -4 - 19 - 19 + 6 = -36 ⇒ số -1 không phải là nghiệm của một đa thức
2: 4 ∙ 8 - 19 ∙ 4 + 19 ∙ 2 + 6 = 0 ⇒ số 2 là nghiệm của đa thức
Chúng ta đã tìm được 1 trong các nghiệm của đa thức. Căn nguyên của đa thức là 2, có nghĩa là đa thức ban đầu phải chia hết cho x - 2. Để thực hiện phép chia đa thức, ta sử dụng sơ đồ Horner:
4 | -19 | 19 | 6 | |
2 |
Các hệ số của đa thức ban đầu được hiển thị ở dòng trên cùng. Gốc chúng tôi tìm thấy được đặt trong ô đầu tiên của hàng thứ hai 2. Dòng thứ hai chứa các hệ số của đa thức là kết quả của phép chia. Chúng được tính như thế này:
|
Trong ô thứ hai của hàng thứ hai chúng ta viết số 1, chỉ bằng cách di chuyển nó từ ô tương ứng của hàng đầu tiên. | ||||||||||
|
2 ∙ 4 - 19 = -11 | ||||||||||
|
2 ∙ (-11) + 19 = -3 | ||||||||||
|
2 ∙ (-3) + 6 = 0 |
Số cuối cùng là số dư của phép chia. Nếu nó bằng 0 thì chúng ta đã tính toán chính xác mọi thứ.
Vì vậy, chúng tôi đã phân tích đa thức ban đầu:
4x 3 - 19x 2 + 19x + 6 = (x - 2)(4x 2 - 11x - 3)
Và bây giờ tất cả những gì còn lại là tìm nghiệm của phương trình bậc hai
4x2 - 11x - 3 = 0
D = b 2 - 4ac = (-11) 2 - 4 ∙ 4 ∙ (-3) = 169
D > 0 ⇒ phương trình có 2 nghiệm
Chúng tôi đã tìm thấy tất cả các gốc của phương trình.
I. Phương trình tuyến tính
II. phương trình bậc hai
cây rìu 2 + bx +c= 0, Một≠ 0, nếu không thì phương trình trở thành tuyến tính
Các nghiệm của phương trình bậc hai có thể được tính theo nhiều cách khác nhau, ví dụ:
Chúng tôi giỏi giải phương trình bậc hai. Nhiều phương trình bậc cao hơn có thể được rút gọn thành phương trình bậc hai.
III. Các phương trình rút gọn thành bậc hai.
sự thay đổi của biến: a) phương trình hai bậc hai cây rìu 2n+ bx n+ c = 0,Một ≠ 0,N ≥ 2
2) phương trình đối xứng bậc 3 – phương trình dạng
3) phương trình đối xứng bậc 4 – phương trình dạng
cây rìu 4 + bx 3 + cx 2 +bx + Một = 0, Một≠ 0, hệ số a b c ba a hoặc
cây rìu 4 + bx 3 + cx 2 –bx + Một = 0, Một≠ 0, hệ số a b c (–b) a
Bởi vì x= 0 không phải là nghiệm của phương trình nên có thể chia cả hai vế của phương trình cho x 2 thì ta được: .
Bằng cách thay thế chúng ta giải phương trình bậc hai Một(t 2 – 2) + bt + c = 0
Ví dụ, hãy giải phương trình x 4 – 2x 3 – x 2 – 2x+ 1 = 0, chia cả hai vế cho x 2 ,
, sau khi thay thế ta được phương trình t 2 – 2t – 3 = 0
– phương trình không có nghiệm.
4) Phương trình dạng ( x–a)(x–b)(x–c)(x–d) = Cây rìu 2, hệ số ab = cd
Ví dụ, ( x+2)(x +3)(x+8)(x+12) = 4x 2. Nhân 1–4 và 2–3 dấu ngoặc, ta được ( x 2 + 14x+ 24)(x 2 +11x + 24) = 4x 2, chia cả hai vế của phương trình cho x 2, chúng tôi nhận được:
Chúng ta có ( t+ 14)(t + 11) = 4.
5) Phương trình thuần nhất bậc 2 - phương trình có dạng P(x,y) = 0, trong đó P(x,y) là đa thức, mỗi số hạng của nó có bậc 2.
Trả lời: -2; -0,5; 0
IV. Tất cả các phương trình trên đều có thể nhận biết và điển hình, nhưng còn các phương trình có dạng tùy ý thì sao?
Cho một đa thức P N( x) = Một N x n+ Một n-1 x n-1 + ...+ Một 1x+ Một 0, ở đâu Một n ≠ 0
Hãy xem xét phương pháp giảm mức độ của phương trình.
Biết rằng nếu hệ số Một là số nguyên và Một n = 1 thì nghiệm nguyên của phương trình P N( x) = 0 nằm trong số các ước của số hạng tự do Một 0 . Ví dụ, x 4 + 2x 3 – 2x 2 – 6x+ 5 = 0, ước của số 5 là các số 5; -5; 1; -1. Sau đó P 4 (1) = 0, tức là x= 1 là nghiệm của phương trình. Hãy hạ thấp bậc của phương trình P 4 (x) = 0 bằng cách chia đa thức có một “góc” cho hệ số x –1, ta thu được
P 4 (x) = (x – 1)(x 3 + 3x 2 + x – 5).
Tương tự như vậy, P 3 (1) = 0 thì P 4 (x) = (x – 1)(x – 1)(x 2 + 4x+5), tức là phương trình P 4 (x) = 0 có nghiệm x 1 = x 2 = 1. Hãy chỉ ra nghiệm ngắn hơn của phương trình này (sử dụng sơ đồ Horner).
1 | 2 | –2 | –6 | 5 | |
1 | 1 | 3 | 1 | –5 | 0 |
1 | 1 | 4 | 5 | 0 |
Có nghĩa, x 1 = 1 có nghĩa là x 2 = 1.
Vì thế, ( x– 1) 2 (x 2 + 4x + 5) = 0
Chúng tôi đã làm gì? Chúng tôi hạ thấp mức độ của phương trình.
V. Xét các phương trình đối xứng bậc 3 và bậc 5.
MỘT) cây rìu 3 + bx 2 + bx + Một= 0, hiển nhiên x= –1 là nghiệm của phương trình, khi đó ta hạ bậc của phương trình xuống còn 2.
b) cây rìu 5 + bx 4 + cx 3 + cx 2 + bx + Một= 0, hiển nhiên x= –1 là nghiệm của phương trình, khi đó ta hạ bậc của phương trình xuống còn 2.
Ví dụ: hãy chỉ ra nghiệm của phương trình 2 x 5 + 3x 4 – 5x 3 – 5x 2 + 3x + = 0
2 | 3 | –5 | –5 | 3 | 2 | |
–1 | 2 | 1 | –6 | 1 | 2 | 0 |
1 | 2 | 3 | –3 | –2 | 0 | |
1 | 2 | 5 | 2 | 0 |
x = –1
Chúng tôi nhận được ( x – 1) 2 (x + 1)(2x 2 + 5x+ 2) = 0. Điều này có nghĩa là nghiệm của phương trình là: 1; 1; -1; –2; –0,5.
VI. Dưới đây là danh sách các phương trình khác nhau để giải ở lớp và ở nhà.
Tôi đề nghị người đọc tự giải phương trình 1–7 và nhận được câu trả lời...
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = 0
Trước tiên, bạn cần tìm một gốc bằng phương pháp lựa chọn. Thông thường nó là ước số của số hạng tự do. Trong trường hợp này, ước số của số 12 là ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Hãy bắt đầu thay thế từng cái một:
1: 2 + 5 - 11 - 20 + 12 = -12 ⇒ số 1
-1: 2 - 5 - 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ số -1 không phải là nghiệm của một đa thức
2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 - 11 ∙ 4 - 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ số 2 là nghiệm của đa thức
Chúng ta đã tìm được 1 trong các nghiệm của đa thức. Căn nguyên của đa thức là 2, có nghĩa là đa thức ban đầu phải chia hết cho x - 2. Để thực hiện phép chia đa thức, ta sử dụng sơ đồ Horner:
2 | 5 | -11 | -20 | 12 | |
2 |
Các hệ số của đa thức ban đầu được hiển thị ở dòng trên cùng. Gốc chúng tôi tìm thấy được đặt trong ô đầu tiên của hàng thứ hai 2. Dòng thứ hai chứa các hệ số của đa thức là kết quả của phép chia. Chúng được tính như thế này:
|
Trong ô thứ hai của hàng thứ hai chúng ta viết số 2, chỉ bằng cách di chuyển nó từ ô tương ứng của hàng đầu tiên. | ||||||||||||
|
2 ∙ 2 + 5 = 9 | ||||||||||||
|
2 ∙ 9 - 11 = 7 | ||||||||||||
|
2 ∙ 7 - 20 = -6 | ||||||||||||
|
2 ∙ (-6) + 12 = 0 |
Số cuối cùng là số dư của phép chia. Nếu nó bằng 0 thì chúng ta đã tính toán chính xác mọi thứ.
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(2x 3 + 9x 2 + 7x - 6)
Nhưng đây không phải là kết thúc. Bạn có thể thử khai triển đa thức theo cách tương tự 2x3 + 9x2 + 7x - 6.
Một lần nữa chúng ta đang tìm nghiệm trong số các ước của số hạng tự do. Các ước số -6 là ±1, ±2, ±3, ±6.
1: 2 + 9 + 7 - 6 = 12 ⇒ số 1 không phải là nghiệm của một đa thức
-1: -2 + 9 - 7 - 6 = -6 ⇒ số -1 không phải là nghiệm của một đa thức
2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 - 6 = 60 ⇒ số 2 không phải là nghiệm của một đa thức
-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) - 6 = 0 ⇒ số -2 là nghiệm của đa thức
Hãy viết gốc tìm thấy vào sơ đồ Horner của chúng ta và bắt đầu điền vào các ô trống:
|
Trong ô thứ hai của hàng thứ ba, chúng ta viết số 2, chỉ bằng cách di chuyển nó từ ô tương ứng của hàng thứ hai. | ||||||||||||||||||
|
-2 ∙ 2 + 9 = 5 | ||||||||||||||||||
|
-2 ∙ 5 + 7 = -3 | ||||||||||||||||||
|
-2 ∙ (-3) - 6 = 0 |
Vì vậy, chúng tôi đã phân tích đa thức ban đầu:
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(2x 2 + 5x - 3)
đa thức 2x2 + 5x - 3 cũng có thể được nhân tố hóa. Để làm điều này, bạn có thể giải phương trình bậc hai thông qua phân biệt hoặc bạn có thể tìm nghiệm giữa các ước của số -3. Bằng cách này hay cách khác, chúng ta sẽ đi đến kết luận rằng nghiệm của đa thức này là số -3
|
Trong ô thứ hai của hàng thứ tư chúng ta viết số 2, chỉ bằng cách di chuyển nó từ ô tương ứng của hàng thứ ba. | ||||||||||||||||||||||||
|
-3 ∙ 2 + 5 = -1 | ||||||||||||||||||||||||
|
-3 ∙ (-1) - 3 = 0 |
Vì vậy, chúng tôi đã phân tách đa thức ban đầu thành các thừa số tuyến tính:
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(x + 3)(2x - 1)
Và nghiệm của phương trình là.