Biến ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận bao nhiêu giá trị. Biến ngẫu nhiên và các đặc điểm chính của nó

- số bé trai trong số 10 trẻ sơ sinh.

Rõ ràng là con số này không được biết trước và trong mười đứa trẻ tiếp theo được sinh ra có thể có:

Hoặc các chàng trai - một và chỉ một trong số các tùy chọn được liệt kê.

Và, để giữ dáng, một chút giáo dục thể chất:

- cự ly nhảy xa (ở một số đơn vị).

Ngay cả bậc thầy về thể thao cũng không thể dự đoán được điều đó :)

Tuy nhiên, giả thuyết của bạn là gì?

2) Biến ngẫu nhiên liên tục - mất Tất cả các giá trị số từ một số phạm vi hữu hạn hoặc vô hạn.

Ghi chú : chữ viết tắt DSV và NSV phổ biến trong tài liệu giáo dục

Đầu tiên, hãy phân tích một biến ngẫu nhiên rời rạc, sau đó - tiếp diễn.

Luật phân phối của một biến ngẫu nhiên rời rạc

- Cái này thư tín giữa các giá trị có thể có của đại lượng này và các xác suất của chúng. Thông thường, luật được viết trong một bảng:

Thuật ngữ này khá phổ biến hàng ngang phân bổ, nhưng trong một số trường hợp, nó nghe có vẻ mơ hồ, và do đó tôi sẽ tuân thủ "luật".

Và bây giờ điểm rất quan trọng: do biến ngẫu nhiên nhất thiết sẽ chấp nhận một trong những giá trị, thì các sự kiện tương ứng sẽ hình thành nhóm đầy đủ và tổng xác suất xảy ra của chúng bằng một:

hoặc, nếu viết gấp:

Vì vậy, ví dụ, luật phân phối xác suất của các điểm trên một con súc sắc có dạng sau:

Miễn bình luận.

Bạn có thể có ấn tượng rằng một biến ngẫu nhiên rời rạc chỉ có thể nhận các giá trị nguyên "tốt". Hãy xua tan ảo tưởng - chúng có thể là bất cứ thứ gì:

ví dụ 1

Một số trò chơi có luật phân phối tiền thưởng như sau:

…có lẽ bạn đã mơ về những nhiệm vụ như vậy từ lâu rồi :) Để tôi kể cho bạn một bí mật - tôi cũng vậy. Đặc biệt là sau khi kết thúc công việc trên lý thuyết trường.

Giải pháp: vì một biến ngẫu nhiên chỉ có thể nhận một trong ba giá trị nên các sự kiện tương ứng sẽ hình thành nhóm đầy đủ, có nghĩa là tổng xác suất của chúng bằng một:

Chúng tôi vạch trần "đảng phái":

– do đó, xác suất trúng đơn vị thông thường là 0,4.

Kiểm soát: những gì bạn cần phải chắc chắn.

Trả lời:

Không có gì lạ khi luật phân phối cần được biên soạn độc lập. Đối với việc sử dụng này định nghĩa cổ điển của xác suất, định lý nhân/cộng cho xác suất sự kiện và các chip khác đất nung:

ví dụ 2

Có 50 vé số trong hộp, 12 trong số đó đang trúng thưởng và 2 trong số đó giành được 1000 rúp mỗi vé và số còn lại - 100 rúp mỗi vé. Vẽ một quy luật phân phối của một biến ngẫu nhiên - kích thước của tiền thắng cược, nếu một vé được rút ngẫu nhiên từ hộp.

Giải pháp: như bạn đã nhận thấy, theo thông lệ, việc đặt các giá trị của một biến ngẫu nhiên trong thứ tự tăng dần. Do đó, chúng tôi bắt đầu với số tiền thắng nhỏ nhất, cụ thể là đồng rúp.

Tổng cộng có 50 - 12 = 38 vé như vậy, và theo nét cổ điển:
là xác suất mà một vé rút ngẫu nhiên sẽ không trúng thưởng.

Các trường hợp còn lại là đơn giản. Xác suất để giành được đồng rúp là:

Đang kiểm tra: - và đây là khoảnh khắc đặc biệt thú vị của những nhiệm vụ như vậy!

Trả lời: luật phân phối thu nhập bắt buộc:

Nhiệm vụ sau đây cho một quyết định độc lập:

ví dụ 3

Xác suất để người bắn trúng mục tiêu là . Hãy lập luật phân phối cho biến ngẫu nhiên - số lần bắn trúng đích sau 2 lần bắn.

... Tôi biết rằng bạn nhớ anh ấy :) Chúng tôi nhớ định lý phép nhân và phép cộng. Lời giải và đáp án ở cuối bài.

Luật phân phối mô tả hoàn toàn một biến ngẫu nhiên, nhưng trong thực tế, sẽ hữu ích (và đôi khi hữu ích hơn) nếu chỉ biết một số biến ngẫu nhiên. đặc điểm số .

Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên rời rạc

Nói một cách đơn giản, điều này giá trị kỳ vọng trung bình với thử nghiệm lặp đi lặp lại. Cho biến ngẫu nhiên nhận giá trị bằng xác suất tương ứng. Sau đó, kỳ vọng toán học của biến ngẫu nhiên này bằng tổng sản phẩm tất cả các giá trị của nó bằng các xác suất tương ứng:

hoặc ở dạng gấp:

Ví dụ, hãy tính toán kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên - số điểm rơi trên một con xúc xắc:

Bây giờ hãy nhớ lại trò chơi giả định của chúng ta:

Câu hỏi đặt ra: chơi trò chơi này có lãi không? ...ai có ấn tượng gì không? Vì vậy, bạn không thể nói "offhand"! Nhưng câu hỏi này có thể dễ dàng trả lời bằng cách tính kỳ vọng toán học, về bản chất - bình quân gia quyền xác suất chiến thắng:

Do đó, kỳ vọng toán học của trò chơi này thua cuộc.

Đừng tin vào số lần hiển thị - hãy tin vào những con số!

Vâng, ở đây bạn có thể thắng 10, thậm chí 20-30 lần liên tiếp, nhưng về lâu dài chắc chắn chúng ta sẽ bị hủy hoại. Và tôi sẽ không khuyên bạn chơi những trò chơi như vậy :) Chà, có lẽ chỉ cho vui.

Từ tất cả những điều trên, có thể thấy rằng kỳ vọng toán học KHÔNG PHẢI là một giá trị NGẪU NHIÊN.

Nhiệm vụ sáng tạo cho nghiên cứu độc lập:

Ví dụ 4

Mr X chơi cò quay châu Âu theo hệ thống sau: anh ấy liên tục đặt cược 100 rúp vào màu đỏ. Soạn luật phân phối của một biến ngẫu nhiên - phần thưởng của nó. Tính kỳ vọng toán học của tiền thắng cược và làm tròn nó thành kopecks. Bao nhiêu trung bình người chơi có thua cho mỗi lần đặt cược hàng trăm không?

Thẩm quyền giải quyết : Cò quay châu Âu có 18 ô màu đỏ, 18 ô màu đen và 1 ô màu xanh lá cây ("không"). Trong trường hợp "đỏ" rơi ra, người chơi được trả tiền đặt cược gấp đôi, nếu không, nó sẽ chuyển sang thu nhập của sòng bạc

Có nhiều hệ thống roulette khác mà bạn có thể tạo bảng xác suất của riêng mình. Nhưng đây là trường hợp chúng ta không cần bất kỳ luật và bảng phân phối nào, bởi vì người ta chắc chắn rằng kỳ vọng toán học của người chơi sẽ giống hệt nhau. Chỉ thay đổi từ hệ thống này sang hệ thống khác

ĐỊNH LUẬT PHÂN BỐ VÀ ĐẶC TRƯNG

GIÁ TRỊ NGẪU NHIÊN

Các biến ngẫu nhiên, phân loại và phương pháp mô tả của chúng.

Giá trị ngẫu nhiên là một đại lượng, do kết quả của một thử nghiệm, có thể nhận giá trị này hoặc giá trị khác, nhưng giá trị nào không được biết trước. Do đó, đối với một biến ngẫu nhiên, chỉ có thể chỉ định các giá trị, một trong số đó sẽ nhất thiết phải lấy do kết quả của thử nghiệm. Các giá trị này sẽ được gọi là các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên. Vì biến ngẫu nhiên đặc trưng về mặt định lượng cho kết quả ngẫu nhiên của một phép thử nên có thể coi nó là đặc trưng định lượng của biến cố ngẫu nhiên.

Các biến ngẫu nhiên thường được ký hiệu bằng các chữ cái in hoa của bảng chữ cái Latinh, ví dụ: X..Y..Z và các giá trị có thể có của chúng bằng các chữ cái nhỏ tương ứng.

Có ba loại biến ngẫu nhiên:

rời rạc; Tiếp diễn; Trộn.

rời rạc một biến ngẫu nhiên như vậy được gọi là số lượng giá trị có thể có của nó tạo thành một tập hợp có thể đếm được. Đổi lại, một tập hợp đếm được là một tập hợp có các phần tử có thể được đánh số. Từ "rời rạc" xuất phát từ tiếng Latin discretus, có nghĩa là "không liên tục, bao gồm các phần riêng biệt."

Ví dụ 1. Biến ngẫu nhiên rời rạc là số bộ phận X bị lỗi trong một lô nfl. Thật vậy, các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên này là một dãy số nguyên từ 0 đến n.

Ví dụ 2. Biến ngẫu nhiên rời rạc là số lần bắn trước lần bắn trúng mục tiêu đầu tiên. Ở đây, như trong Ví dụ 1, các giá trị khả dĩ có thể được đánh số, mặc dù trong trường hợp giới hạn, giá trị khả dĩ là một số lớn vô hạn.

Tiếp diễnđược gọi là biến ngẫu nhiên, các giá trị có thể có của nó liên tục lấp đầy một khoảng nào đó của trục số, đôi khi được gọi là khoảng tồn tại của biến ngẫu nhiên này. Như vậy, trên một khoảng tồn tại hữu hạn bất kỳ, số giá trị khả dĩ của biến ngẫu nhiên liên tục là lớn vô hạn.

Ví dụ 3. Biến ngẫu nhiên liên tục là điện năng tiêu thụ tại doanh nghiệp trong một tháng.

Ví dụ 4. Biến ngẫu nhiên liên tục là sai số trong phép đo độ cao bằng máy đo độ cao. Giả sử từ nguyên lý hoạt động của máy đo độ cao thì sai số nằm trong khoảng từ 0 đến 2 m, do đó khoảng tồn tại của biến ngẫu nhiên này là khoảng từ 0 đến 2 m.

Quy luật phân phối của biến ngẫu nhiên.

Một biến ngẫu nhiên được coi là hoàn toàn xác định nếu các giá trị có thể có của nó được chỉ ra trên trục số và luật phân phối được thiết lập.

Quy luật phân phối của một biến ngẫu nhiên được gọi là hệ thức thiết lập mối quan hệ giữa các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên và các xác suất tương ứng.

Một biến ngẫu nhiên được gọi là phân phối theo một quy luật nhất định hoặc tuân theo một quy luật phân phối nhất định. Một số xác suất, hàm phân phối, mật độ xác suất, hàm đặc trưng được sử dụng làm luật phân phối.

Luật phân phối đưa ra một mô tả hoàn chỉnh có thể xảy ra của một biến ngẫu nhiên. Theo luật phân phối, có thể đánh giá trước kinh nghiệm những giá trị có thể có của một biến ngẫu nhiên sẽ xuất hiện thường xuyên hơn và những giá trị nào ít thường xuyên hơn.

Đối với một biến ngẫu nhiên rời rạc, luật phân phối có thể được đưa ra dưới dạng bảng, giải tích (dưới dạng công thức) và đồ thị.

Hình thức đơn giản nhất để xác định luật phân phối của một biến ngẫu nhiên rời rạc là một bảng (ma trận), liệt kê theo thứ tự tăng dần tất cả các giá trị có thể có của một biến ngẫu nhiên và xác suất tương ứng của chúng, tức là

Một bảng như vậy được gọi là một chuỗi phân phối của một biến ngẫu nhiên rời rạc. 1

Các biến cố X 1 , X 2 ,..., X n , bao gồm việc khi thực hiện phép thử, biến ngẫu nhiên X sẽ nhận các giá trị lần lượt là x 1 , x 2 ,... x n , không nhất quán và là những giá trị duy nhất có thể (vì bảng liệt kê tất cả các giá trị có thể có của một biến ngẫu nhiên), tức là tạo thành một nhóm hoàn chỉnh. Do đó, tổng xác suất của chúng bằng 1. Như vậy, đối với mọi biến ngẫu nhiên rời rạc

(Đơn vị này bằng cách nào đó được phân phối giữa các giá trị của biến ngẫu nhiên, do đó có thuật ngữ "phân phối").

Một chuỗi phân phối có thể được hiển thị bằng đồ họa nếu các giá trị của một biến ngẫu nhiên được vẽ dọc theo trục hoành và xác suất tương ứng của chúng dọc theo trục tung độ. Sự kết nối của các điểm thu được tạo thành một đường đứt quãng, được gọi là đa giác hoặc đa giác của phân phối xác suất (Hình 1).

Ví dụ Chơi xổ số: một chiếc ô tô trị giá 5000 den. đơn vị, 4 TV trị giá 250 den. đơn vị, 5 VCR trị giá 200 den. các đơn vị Tổng cộng có 1000 vé được bán với giá 7 den. các đơn vị Hãy xây dựng quy luật phân phối số tiền thắng ròng mà người tham gia xổ số đã mua một vé nhận được.

Giải pháp. Các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên X - số tiền thắng ròng trên mỗi vé - là 0-7 = -7 den. các đơn vị (nếu vé không trúng), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. các đơn vị (nếu vé trúng VCR, TV hoặc ô tô tương ứng). Cho rằng trong số 1000 vé, số người không trúng giải là 990 và số tiền thắng cược được chỉ định lần lượt là 5, 4 và 1, và sử dụng định nghĩa xác suất cổ điển, chúng ta có được.

Một phần mở rộng của khái niệm về các sự kiện ngẫu nhiên, bao gồm sự xuất hiện của các giá trị số nhất định do kết quả của một thử nghiệm, là giá trị ngẫu nhiên x.

Sự định nghĩa. Ngẫu nhiên họ gọi một đại lượng, do kết quả của thí nghiệm, chỉ lấy một giá trị từ một số tổng của chúng và không được biết trước là giá trị nào.

Giá trị ngẫu nhiên, ví dụ, là một mô hình hợp lý để mô tả dữ liệu địa chất, có tính đến ảnh hưởng của các yếu tố khác nhau đối với trường vật lý .

Cũng như kết quả của một thí nghiệm riêng biệt, giá trị chính xác của một biến ngẫu nhiên không thể dự đoán được; người ta chỉ có thể thiết lập các mẫu thống kê của nó, tức là xác định xác suất của các giá trị của một biến ngẫu nhiên. Ví dụ, phép đo tính chất vật lý của đá là quan sát các biến ngẫu nhiên tương ứng.

Trong số các biến ngẫu nhiên mà một nhà địa chất phải giải quyết, có thể phân biệt hai loại chính: rời rạc và số lượng tiếp diễn.

Sự định nghĩa. rời rạc Biến ngẫu nhiên là biến có thể nhận tập giá trị hữu hạn hoặc vô hạn đếm được.

Là những ví dụ điển hình của biến ngẫu nhiên rời rạc, có thể có tất cả các kết quả của công việc thực địa, tất cả các kết quả của thí nghiệm, các mẫu được mang từ thực địa, v.v.

Tất cả các giá trị có thể có của một biến ngẫu nhiên tạo thành một nhóm biến cố đầy đủ, tức là , đâu là hữu hạn hay vô hạn. Vì vậy, người ta có thể nói rằng giá trị ngẫu nhiên khái quát hóa khái niệm về một sự kiện ngẫu nhiên.

Cho dãy số liệu sau về thành phần số lượng của một giống nào đó thu được từ kết quả nghiên cứu: 4; 3; 1; 2; 5; 4; 2; 2; 3; 1; 5; 4; 3; 5; 5; 2; 5; 5; 6; 1. Tổng cộng có 20 bài kiểm tra đã được thực hiện. Để thuận tiện khi làm việc với dữ liệu, chúng đã được chuyển đổi: các giá trị thu được được sắp xếp theo thứ tự tăng dần và số lần xuất hiện của từng giá trị được tính toán. Kết quả là, chúng tôi đã nhận được (Bảng 7.1):

Sự định nghĩa. Phân phối tăng dần của dữ liệu được gọi là xếp hạng.

Sự định nghĩa. Giá trị quan sát được của một số dấu hiệu của biến ngẫu nhiên được gọi là biến thể.

Sự định nghĩa. Một chuỗi được tạo thành từ một biến thể được gọi là chuỗi biến thiên.

Sự định nghĩa. Sự đổi dấu của một biến ngẫu nhiên gọi là đa dạng.

Sự định nghĩa. Con số cho biết số lần một biến thể nhất định thay đổi được gọi là tần suất và được ký hiệu là .

Sự định nghĩa. xác suất sự xuất hiện của tùy chọn này bằng với tỷ lệ tần số trên tổng số lượng của chuỗi biến thể

(1)

Có tính đến các định nghĩa được giới thiệu, chúng tôi sẽ viết lại Bảng 7.1.

Bảng 7.2. hàng xếp

Lựa chọn	1	2	3	4	5	6
Tính thường xuyên	3	4	3	3	6	1
xác suất	3/20	4/20	3/20	3/20	6/20	1/20

Trong phân tích thống kê dữ liệu thử nghiệm, các giá trị rời rạc chủ yếu được sử dụng. Bảng 7.3 cho thấy các đặc điểm số chính của các đại lượng này, có tầm quan trọng thực tế lớn trong việc xử lý dữ liệu thực nghiệm.

Bảng 7.3. Đặc trưng số của biến ngẫu nhiên

p/p	Đặc tính (tham số) của một biến ngẫu nhiên và ký hiệu của nó	Công thức tìm đặc trưng của biến ngẫu nhiên	Ghi chú
1	Gia trị được ki vọng	(2)	Đặc trưng cho vị trí của biến ngẫu nhiên trên trục số
2	Giá trị trung bình	(3)	Nếu biến ngẫu nhiên là độc lập thì
3	Thời trang	Đây là giá trị lớn nhất	Bằng với giá trị xảy ra thường xuyên nhất . Nếu có một số giá trị như vậy trong chuỗi biến thể, thì nó không được xác định.
4	Trung bình	Nếu chẵn thì Nếu lẻ thì	Đây là giá trị nằm ở trung tâm của chuỗi được xếp hạng.
5	phân tán		Đặc trưng cho độ phân tán thực tế của biến ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình.
7	hệ số biến thiên	(6)	Cùng với độ phân tán đặc trưng cho độ biến thiên của biến ngẫu nhiên
8	Độ lệch chuẩn hóa trung tâm

Một trong những khái niệm cơ bản quan trọng nhất của lý thuyết xác suất là khái niệm biến ngẫu nhiên.

Biến ngẫu nhiên là một đại lượng, do kết quả của một thí nghiệm, có thể nhận giá trị này hay giá trị khác và không biết trước giá trị nào.

Ví dụ về các biến ngẫu nhiên:

1) số lần trúng ba phát;

2) số cuộc gọi mà tổng đài điện thoại nhận được mỗi ngày;

3) tỷ lệ bắn trúng với 10 phát bắn.

Trong cả ba ví dụ đã cho, các biến ngẫu nhiên có thể nhận các giá trị riêng biệt, tách biệt, có thể được liệt kê trước.

Vì vậy, trong ví dụ 1) các giá trị này là:

trong ví dụ 2):

trong ví dụ 3)

0; 0,1; 0,2; …; 1,0.

Những biến ngẫu nhiên chỉ nhận các giá trị cách xa nhau, có thể liệt kê trước được như vậy gọi là biến ngẫu nhiên gián đoạn hay biến ngẫu nhiên rời rạc.

Có các biến ngẫu nhiên thuộc loại khác, ví dụ:

1) khoảng cách của điểm va chạm khi bắn;

2) sai số khi cân cơ thể trên cân phân tích;

3) tốc độ của máy bay tại thời điểm đạt đến độ cao nhất định;

4) trọng lượng của một hạt lúa mì được lấy ngẫu nhiên.

Các giá trị có thể có của các biến ngẫu nhiên đó không tách rời nhau; chúng liên tục lấp đầy một khoảng trống nhất định, đôi khi có ranh giới được xác định rõ ràng và thường xuyên hơn - ranh giới không xác định, mơ hồ.

Các biến ngẫu nhiên như vậy, các giá trị có thể liên tục lấp đầy một khoảng nhất định, được gọi là các biến ngẫu nhiên liên tục.

Khái niệm biến ngẫu nhiên đóng một vai trò rất quan trọng trong lý thuyết xác suất. Nếu lý thuyết xác suất "cổ điển" hoạt động chủ yếu với các sự kiện, thì lý thuyết xác suất hiện đại thích hoạt động với các biến ngẫu nhiên hơn, bất cứ khi nào có thể.

Hãy để chúng tôi đưa ra các ví dụ về các phương pháp chuyển đổi từ các sự kiện thành các biến ngẫu nhiên điển hình cho lý thuyết xác suất.

Một thử nghiệm được thực hiện, do đó một số sự kiện có thể xuất hiện hoặc không. Thay vì một sự kiện, chúng ta có thể xem xét một biến ngẫu nhiên, bằng 1 nếu sự kiện xảy ra và bằng 0 nếu sự kiện không xảy ra. Biến ngẫu nhiên rõ ràng là không liên tục; nó có hai giá trị có thể là 0 và 1. Biến ngẫu nhiên này được gọi là biến ngẫu nhiên đặc trưng của biến cố. Trong thực tế, thường thuận tiện hơn khi vận hành với các biến ngẫu nhiên đặc trưng của chúng thay vì các sự kiện. Ví dụ: nếu một loạt các thí nghiệm được thực hiện, trong đó mỗi lần có thể xảy ra sự kiện, thì tổng số lần xuất hiện của sự kiện bằng tổng các biến ngẫu nhiên đặc trưng của sự kiện trong tất cả các thí nghiệm. Khi giải quyết nhiều vấn đề thực tế, việc sử dụng kỹ thuật này hóa ra rất thuận tiện.

Mặt khác, rất thường xuyên, để tính xác suất của một sự kiện, sẽ rất thuận tiện khi liên kết sự kiện này với một biến ngẫu nhiên liên tục nào đó (hoặc một hệ thống các biến liên tục).

Ví dụ, tọa độ của một đối tượng O nào đó được đo để dựng một điểm M mô tả đối tượng này trên ảnh toàn cảnh (quét) của khu vực. Chúng tôi quan tâm đến sự kiện bao gồm thực tế là lỗi R tại vị trí của điểm M sẽ không vượt quá giá trị đã chỉ định (Hình 2.4.1). Hãy để chúng tôi biểu thị các lỗi ngẫu nhiên trong phép đo tọa độ đối tượng. Rõ ràng, biến cố tương đương với việc va chạm vào một điểm ngẫu nhiên M có tọa độ nằm trong đường tròn bán kính có tâm là O. Nói cách khác, để biến cố xảy ra thì các biến ngẫu nhiên và phải thỏa mãn bất đẳng thức.

Xác suất của một biến cố chẳng qua là xác suất để thỏa mãn bất đẳng thức (2.4.1). Xác suất này có thể được xác định nếu biết các thuộc tính của biến ngẫu nhiên.

Mối liên hệ hữu cơ như vậy giữa các sự kiện và các biến ngẫu nhiên là rất đặc trưng của lý thuyết xác suất hiện đại, bất cứ khi nào có thể, chuyển từ "sơ đồ các sự kiện" sang "sơ đồ các biến ngẫu nhiên". Sơ đồ thứ hai, so với sơ đồ trước, là một bộ máy phổ quát và linh hoạt hơn nhiều để giải quyết các vấn đề liên quan đến hiện tượng ngẫu nhiên.

Giá trị ngẫu nhiên- đây là đại lượng do kinh nghiệm nhận một trong nhiều giá trị và sự xuất hiện của giá trị này hoặc giá trị khác của đại lượng này trước khi đo không thể dự đoán chính xác.

Định nghĩa toán học chính thức như sau: giả sử là một không gian xác suất, khi đó một biến ngẫu nhiên là một hàm có thể đo được đối với và σ-đại số Borel trên . Hành vi xác suất của một biến ngẫu nhiên riêng biệt (độc lập với những biến khác) được mô tả hoàn toàn bằng phân phối của nó.

Định nghĩa [ chỉnh sửa ]

Không gian của các sự kiện cơ bản [ chỉnh sửa ]

Không gian của các biến cố sơ cấp trong trường hợp tung súc sắc

Nếu tung một con súc sắc, thì mặt trên cùng có thể là một trong sáu mặt có số chấm từ một đến sáu. Sự mất mặt trong trường hợp này theo lý thuyết xác suất được gọi là biến cố sơ cấp, tức là

Tập hợp tất cả các mặt tạo thành một không gian các sự kiện cơ bản, tập hợp con của chúng được gọi là các sự kiện ngẫu nhiên. Trong trường hợp một lần tung xúc xắc, ví dụ về các sự kiện là

Đại số của các sự kiện[sửa | sửa mã nguồn]

Một tập hợp các sự kiện ngẫu nhiên tạo thành một đại số sự kiện nếu các điều kiện sau được đáp ứng:

Nếu, thay vì điều kiện thứ ba, nó thỏa mãn một điều kiện khác: hợp của một họ con đếm được của cũng thuộc về , thì tập hợp các sự kiện ngẫu nhiên tạo thành một σ -đại số các sự kiện.

Đại số của các biến cố là trường hợp đặc biệt của σ-đại số của các tập hợp.

Nhỏ nhất trong số tất cả các -đại số có thể có, mà các phần tử của nó đều là các khoảng trên đường thẳng thực, được gọi là σ-đại số Borel trên tập hợp các số thực.

Xác suất [ chỉnh sửa ]

Nếu mỗi sự kiện cơ bản được gán một số thỏa mãn điều kiện:

thì coi như xác suất của các biến cố sơ cấp đã cho. Xác suất của một sự kiện, với tư cách là một tập hợp con đếm được của không gian các sự kiện cơ bản, được định nghĩa là tổng xác suất của các sự kiện cơ bản thuộc về sự kiện này. Yêu cầu về khả năng đếm được là rất quan trọng, vì nếu không thì tổng sẽ không được xác định.

Hãy xem xét một ví dụ về việc xác định xác suất của các sự kiện ngẫu nhiên khác nhau. Ví dụ: nếu một sự kiện là một tập rỗng, thì xác suất của nó bằng 0:

Nếu sự kiện là không gian của các sự kiện cơ bản, thì xác suất của nó bằng một:

Xác suất của một sự kiện (một tập hợp con của không gian các sự kiện cơ bản) bằng tổng xác suất của các sự kiện cơ bản đó bao gồm sự kiện đang được xem xét.

Định nghĩa biến ngẫu nhiên[sửa]

Biến ngẫu nhiên là một hàm có thể đo được đối với và một σ-đại số Borel trên .

Một biến ngẫu nhiên cũng có thể được định nghĩa theo một cách tương đương khác. Hàm số được gọi là biến ngẫu nhiên nếu ứng với mọi số thực và tập hợp các biến cố sao cho , thuộc về .

Ví dụ [ chỉnh sửa ]

bằng trung bình cộng của tất cả các giá trị nhận được.

.

,

nghĩa là kỳ vọng toán học không được xác định.

Phân loại [ chỉnh sửa ]

Biến ngẫu nhiên có thể nhận các giá trị rời rạc, liên tục và liên tục rời rạc. Theo đó, biến ngẫu nhiên được phân thành rời rạc, liên tục và rời rạc-liên tục (hỗn hợp).

Trên sơ đồ thử nghiệm, có thể xác định cả một biến ngẫu nhiên riêng biệt (một chiều/vô hướng) và toàn bộ hệ thống các biến ngẫu nhiên một chiều có tương quan với nhau (đa chiều/vector).

• Một ví dụ về biến ngẫu nhiên hỗn hợp là thời gian chờ đợi khi băng qua đường cao tốc trong thành phố tại một giao lộ không được kiểm soát.
• Trong các sơ đồ vô hạn (rời rạc hoặc liên tục), sẽ thuận tiện để mô tả một cách định lượng các kết quả cơ bản ban đầu. Ví dụ, số lượng các loại tai nạn trong phân tích tai nạn đường bộ; thời gian hoạt động của thiết bị để kiểm soát chất lượng, v.v.
• Các giá trị số mô tả kết quả của các thí nghiệm có thể không nhất thiết đặc trưng cho các kết quả cơ bản riêng lẻ trong sơ đồ thử nghiệm, mà còn tương ứng với một số sự kiện phức tạp hơn.

Một mặt, một số giá trị số có thể được liên kết đồng thời với một sơ đồ thử nghiệm và với các sự kiện riêng lẻ trong đó, các giá trị này phải được phân tích cùng nhau.

• Ví dụ, tọa độ (abscissa, dict) của một số loại đạn nổ khi bắn vào mục tiêu mặt đất; kích thước hệ mét (chiều dài, chiều rộng, v.v.) của bộ phận được kiểm soát chất lượng; kết quả khám bệnh (nhiệt độ, áp suất, mạch, v.v.) khi chẩn đoán bệnh nhân; dữ liệu điều tra dân số (theo độ tuổi, giới tính, sự giàu có, v.v.).

Do các giá trị của các đặc tính số của các sơ đồ thử nghiệm tương ứng trong sơ đồ với một số sự kiện ngẫu nhiên (với xác suất nhất định của chúng), nên bản thân các giá trị này là ngẫu nhiên (có cùng xác suất). Do đó, các đặc điểm số như vậy thường được gọi là biến ngẫu nhiên. Trong trường hợp này, phân phối xác suất cho các giá trị của một biến ngẫu nhiên được gọi là quy luật phân phối của một biến ngẫu nhiên.

Phương pháp mô tả[sửa]

Có thể đặt một phần biến ngẫu nhiên, do đó mô tả tất cả các thuộc tính xác suất của nó dưới dạng một biến ngẫu nhiên riêng biệt, sử dụng hàm phân phối, mật độ xác suất và hàm đặc trưng, ​​​​xác định xác suất của các giá trị có thể có của nó. Hàm phân phối F(x) là xác suất các giá trị của biến ngẫu nhiên nhỏ hơn số thực x. Từ định nghĩa này suy ra rằng xác suất mà giá trị của một biến ngẫu nhiên rơi vào khoảng

Một biến ngẫu nhiên, nói một cách tổng quát, có thể nhận giá trị trong mọi không gian đo được. Khi đó người ta thường gọi là vectơ ngẫu nhiên hay phần tử ngẫu nhiên. Ví dụ,

Xem thêm [sửa]

• quá trình ngẫu nhiên
• Chức năng phân phối
• Gia trị được ki vọng

Ghi chú [ chỉnh sửa ]

1. 1 2 Chernova N. I. Chương 1. § 2. Cơ sở lý thuyết xác suất // Lý thuyết xác suất. - Hướng dẫn. - Novosibirsk: Bang Novosibirsk. un-t, 2007. - 160 tr.
2. Chernova N. I. Chương 3. § 1. Đại số và đại số sigma của biến cố // Lý thuyết xác suất. - Hướng dẫn. - Novosibirsk: Bang Novosibirsk. un-t, 2007. - 160 tr.
3. Chernova N. I. CHƯƠNG 1 § 2. Lý thuyết xác suất cơ bản // Lý thuyết xác suất. - Hướng dẫn. - Novosibirsk: Bang Novosibirsk. un-t, 2007. - 160 tr.
4. 1 2 Chernova N. I. Chương 6. Biến ngẫu nhiên và phân phối của chúng § 1. Biến ngẫu nhiên // Lý thuyết xác suất. - Hướng dẫn. - Novosibirsk: Bang Novosibirsk. un-t, 2007. - 160 tr.

Văn học [ chỉnh sửa ]

• Gnedenko B.V. Giáo trình lý thuyết xác suất. - tái bản lần thứ 8. thêm vào. và chính xác. - M.: Biên tập URSS, 2005. - 448 tr.
• Từ Điển Bách Khoa Toán Học / Ch. biên tập Prokhorov Yu.V. - tái bản lần 2. - M.: "Bách khoa toàn thư Liên Xô", 1998. - 847 tr.
• Tikhonov V.I., Kharisov V.N. Phân tích thống kê và tổng hợp các thiết bị và hệ thống kỹ thuật vô tuyến. - Giáo trình cho các trường đại học. - M. : Phát thanh và thông tin liên lạc, 1991. - 608 tr. - ISBN 5-256-00789-0
• Chernova N. I. Lý thuyết xác suất. - Hướng dẫn. - Novosibirsk: Bang Novosibirsk. un-t, 2007. - 160 tr.