Tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình. Bất phương trình tuyến tính, ví dụ, cách giải

bất bình đẳng là một biểu thức với, ≤, hoặc ≥. Ví dụ: 3x - 5 Để giải một bất phương trình có nghĩa là tìm tất cả các giá trị của các biến mà bất phương trình này đúng. Mỗi số này là một nghiệm của bất phương trình và tập hợp tất cả các nghiệm đó là của nó nhiều giải pháp. Các bất phương trình có cùng tập nghiệm được gọi là bất đẳng thức tương đương.

bất đẳng thức tuyến tính

Nguyên tắc giải bất phương trình cũng giống như nguyên tắc giải phương trình.

Nguyên tắc giải bất phương trình
Với mọi số thực a, b, c :
Nguyên tắc cộng bất đẳng thức: Nếu một Nguyên tắc nhân bất đẳng thức: Nếu a 0 đúng thì ac Nếu a bc cũng đúng.
Các mệnh đề tương tự cũng áp dụng cho a ≤ b.

Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với một số âm thì phải đổi dấu của bất đẳng thức đó.
Các bất phương trình cấp một như trong Ví dụ 1 (dưới đây) được gọi là bất đẳng thức tuyến tính.

ví dụ 1 Giải các bất phương trình sau. Sau đó vẽ một tập hợp các giải pháp.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Giải pháp
Bất kỳ số nào nhỏ hơn 11/5 là một giải pháp.
Tập hợp các nghiệm là (x|x
Để kiểm tra, chúng ta có thể vẽ đồ thị y 1 = 3x - 5 và y 2 = 6 - 2x. Khi đó, từ đây có thể thấy rằng với x
Tập nghiệm là (x|x ≤ 1), hoặc (-∞, 1]. Đồ thị của tập nghiệm được hiển thị bên dưới.

bất đẳng thức kép

Khi hai bất đẳng thức được kết nối bởi một từ Và, hoặc, sau đó nó được hình thành bất đẳng thức kép. bất đẳng thức kép như
-3 Và 2x + 5 ≤ 7
gọi điện kết nối bởi vì nó sử dụng Và. Ghi -3 Có thể giải bất phương trình kép bằng quy tắc cộng và nhân các bất phương trình.

ví dụ 2 Giải quyết -3 Giải pháp Chúng ta có

Tập nghiệm (x|x ≤ -1 hoặc x > 3). Chúng ta cũng có thể viết lời giải bằng cách sử dụng ký hiệu giãn cách và ký hiệu cho hiệp hội hoặc bao hàm của cả hai tập: (-∞ -1] (3, ∞). Dưới đây là đồ thị của tập nghiệm.

Để kiểm tra, hãy vẽ y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 và y 3 = 1. Lưu ý rằng với (x|x ≤ -1 hoặc x > 3), y 1 ≤ y 2 hoặc y 1 > y 3 .

Bất đẳng thức với giá trị tuyệt đối (mô đun)

Bất đẳng thức đôi khi chứa các mô-đun. Các tính chất sau đây được sử dụng để giải quyết chúng.
Với a > 0 và một biểu thức đại số x:
|x| |x| > a tương đương với x hoặc x > a.
Các mệnh đề tương tự cho |x| ≤ a và |x| ≥ một.

Ví dụ,
|x| |y| ≥ 1 tương đương với y ≤ -1 hoặc y ≥ 1;
và |2x + 3| ≤ 4 tương đương với -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

Ví dụ 4 Giải các bất phương trình sau. Vẽ tập hợp các giải pháp.
a) |3x + 2| b) |5 - 2x| ≥ 1

Giải pháp
a) |3x + 2|

Tập nghiệm là (x|-7/3
b) |5 - 2x| ≥ 1
Tập nghiệm là (x|x ≤ 2 hoặc x ≥ 3), hoặc (-∞, 2] . Các số nguyên nằm trong khoảng này là -3; -2; -1; 0; 1. Có 5 số nguyên.

4) Có bao nhiêu số nguyên là nghiệm của hệ bất phương trình?

Ví dụ, biểu thức \(x>5\) là một bất đẳng thức.

Các loại bất bình đẳng:

Nếu \(a\) và \(b\) là các số hoặc , thì bất đẳng thức được gọi là số. Trên thực tế, đây chỉ là phép so sánh hai con số. Các bất đẳng thức này được chia thành Trung thành Và không chung thủy.

Ví dụ:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) là một bất đẳng thức số không hợp lệ vì \(17+3=20\) và \(20\) nhỏ hơn \(115\) (không lớn hơn hoặc bằng).

Nếu \(a\) và \(b\) là các biểu thức chứa biến thì ta có bất đẳng thức với biến. Những bất đẳng thức như vậy được chia thành các loại tùy thuộc vào nội dung:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Chỉ biến thành lũy thừa đầu tiên
\(3x^2-x+5>0\)				Có một biến trong lũy ​​thừa thứ hai (hình vuông), nhưng không có lũy thừa cao hơn (thứ ba, thứ tư, v.v.)
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... và như thế.

một giải pháp cho một bất bình đẳng là gì?

Nếu bất kỳ số nào được thay thế vào bất phương trình thay vì một biến, thì nó sẽ trở thành một số.

Nếu giá trị đã cho của x làm cho bất đẳng thức ban đầu là số đúng, thì nó được gọi là giải bất phương trình. Nếu không, thì giá trị này không phải là một giải pháp. Và để giải bất phương trình- bạn cần tìm tất cả các giải pháp của nó (hoặc chỉ ra rằng chúng không tồn tại).

Ví dụ, nếu ở bất đẳng thức tuyến tính \(x+6>10\), thay số \(7\) vào x, ta được bất đẳng thức số đúng: \(13>10\). Và nếu chúng ta thay thế \(2\) thì sẽ có bất đẳng thức số \(8>10\) sai. Tức là \(7\) là nghiệm của bất đẳng thức ban đầu, còn \(2\) thì không.

Tuy nhiên, bất phương trình \(x+6>10\) có nghiệm khác. Thật vậy, ta sẽ được các bất đẳng thức số đúng khi thay và \(5\), \(12\), và \(138\) ... Và làm cách nào để tìm được tất cả các nghiệm? Để làm điều này, sử dụng Đối với trường hợp của chúng tôi, chúng tôi có:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Nghĩa là, chúng ta có thể sử dụng bất kỳ số nào lớn hơn bốn. Bây giờ chúng ta cần viết ra câu trả lời. Các giải pháp cho sự bất bình đẳng, như một quy luật, được viết bằng số, ngoài ra đánh dấu chúng trên trục số bằng dấu gạch ngang. Đối với trường hợp của chúng tôi, chúng tôi có:

Trả lời: \(x\in(4;+\infty)\)

Khi nào dấu của một bất đẳng thức đổi dấu?

Có một cái bẫy lớn trong sự bất bình đẳng mà học sinh rất “thích” mắc phải:

Khi nhân (hoặc chia) bất đẳng thức với một số âm, nó bị đảo ngược (“lớn hơn” bằng “ít hơn”, “lớn hơn hoặc bằng” bằng “nhỏ hơn hoặc bằng”, v.v.)

Tại sao chuyện này đang xảy ra? Để hiểu điều này, chúng ta hãy xem xét các phép biến đổi của bất đẳng thức số \(3>1\). Đúng vậy, bộ ba thực sự nhiều hơn một. Trước tiên, hãy thử nhân nó với bất kỳ số dương nào, chẳng hạn như hai:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Như bạn có thể thấy, sau khi nhân, bất đẳng thức vẫn đúng. Và dù nhân với số dương nào thì ta luôn được bất đẳng thức đúng. Và bây giờ, hãy thử nhân với một số âm, chẳng hạn như trừ ba:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Hóa ra đó là một bất đẳng thức không chính xác, bởi vì trừ chín nhỏ hơn trừ ba! Nghĩa là, để bất đẳng thức trở thành đúng (có nghĩa là phép biến đổi phép nhân thành một số âm là “hợp pháp”), bạn cần đảo dấu so sánh, như sau: \(−9<− 3\).
Với phép chia, nó sẽ ra tương tự, bạn có thể tự kiểm tra.

Quy tắc được viết ở trên áp dụng cho tất cả các loại bất đẳng thức, không chỉ đối với bất đẳng thức số.

Ví dụ: Giải bất phương trình \(2(x+1)-1<7+8x\)
Giải pháp:

\(2x+2-1<7+8x\)	Hãy di chuyển \(8x\) sang trái và \(2\) và \(-1\) sang phải, không quên đổi dấu
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	Chia cả hai vế của bất đẳng thức cho \(-6\), không quên đổi từ "ít hơn" thành "lớn hơn"
	Hãy đánh dấu một khoảng bằng số trên trục. Bất đẳng thức, do đó, giá trị \(-1\) bị “đục lỗ” và chúng tôi không phản hồi lại
	Hãy viết câu trả lời dưới dạng một khoảng thời gian

Trả lời: \(x\in(-1;\infty)\)

Bất bình đẳng và DHS

Bất đẳng thức, cũng như phương trình, có thể có các hạn chế về , tức là về các giá trị của x. Theo đó, những giá trị không được chấp nhận theo ODZ nên được loại trừ khỏi khoảng giải pháp.

Ví dụ: Giải bất phương trình \(\sqrt(x+1)<3\)

Giải pháp: Rõ ràng là để vế trái nhỏ hơn \(3\), biểu thức căn phải nhỏ hơn \(9\) (xét cho cùng, từ \(9\) chỉ \(3\)). Chúng tôi nhận được:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

Tất cả? Bất kỳ giá trị nào của x nhỏ hơn \(8\) sẽ phù hợp với chúng tôi? KHÔNG! Bởi vì nếu chúng ta lấy, ví dụ, giá trị \(-5\) có vẻ phù hợp với yêu cầu, thì nó sẽ không phải là một giải pháp cho bất đẳng thức ban đầu, vì nó sẽ dẫn chúng ta đến việc tính căn của một số âm.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Do đó, chúng ta cũng phải tính đến các hạn chế đối với các giá trị của x - không thể có số âm dưới gốc. Vì vậy, chúng ta có yêu cầu thứ hai cho x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

Và để x là nghiệm cuối cùng, nó phải thỏa mãn đồng thời cả hai yêu cầu: nó phải nhỏ hơn \(8\) (là nghiệm) và lớn hơn \(-1\) (về nguyên tắc là hợp lệ). Vẽ đồ thị trên trục số, ta có đáp số cuối cùng:

Trả lời: \(\left[-1;8\right)\)

Sau khi nhận được thông tin ban đầu về bất bình đẳng với các biến, chúng tôi chuyển sang câu hỏi về giải pháp của họ. Hãy phân tích giải pháp của bất phương trình tuyến tính với một biến và tất cả các phương pháp giải quyết chúng bằng các thuật toán và ví dụ. Chỉ các phương trình tuyến tính với một biến sẽ được xem xét.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Bất đẳng thức tuyến tính là gì?

Trước tiên, bạn cần xác định một phương trình tuyến tính và tìm ra dạng chuẩn của nó và nó khác với các dạng khác như thế nào. Từ khóa học ở trường, chúng ta có rằng bất bình đẳng không có sự khác biệt cơ bản, vì vậy một số định nghĩa phải được sử dụng.

định nghĩa 1

Bất đẳng thức tuyến tính một biến x là một bất đẳng thức có dạng a x + b > 0 khi sử dụng bất kỳ dấu bất đẳng thức nào thay cho >< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

định nghĩa 2

bất đẳng thức a x< c или a · x >c , với x là một biến và a và c là một số, được gọi là bất đẳng thức tuyến tính một biến.

Vì không có gì được nói về việc liệu hệ số có thể bằng 0 hay không, nên một bất đẳng thức nghiêm ngặt có dạng 0 x > c và 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Sự khác biệt của họ là:

• ký hiệu a · x + b > 0 trong lần đầu tiên và a · x > c – trong lần thứ hai;
• khả năng chấp nhận hệ số 0 a , a ≠ 0 - trong lần đầu tiên và a = 0 - trong lần thứ hai.

Người ta tin rằng các bất đẳng thức a x + b > 0 và a x > c là tương đương, bởi vì chúng có được bằng cách chuyển số hạng từ phần này sang phần khác. Việc giải bất phương trình 0 · x + 5 > 0 sẽ dẫn đến phải giải tiếp, trường hợp a = 0 sẽ không giải được.

định nghĩa 3

Ta coi các bất phương trình tuyến tính một biến x là các bất phương trình có dạng một x + b< 0 , a · x + b >0 , a x + b ≤ 0 Và x + b ≥ 0, trong đó a và b là các số thực. Thay vì x, có thể có một số bình thường.

Dựa vào quy tắc ta có 4 x − 1 > 0 , 0 z + 2 , 3 ≤ 0 , - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 được gọi là tuyến tính.

Cách giải bất đẳng thức tuyến tính

Cách chính để giải các bất phương trình đó là sử dụng các phép biến đổi tương đương để tìm các bất phương trình cơ bản x< p (≤ , >, ≥) , p là một số nào đó, với a ≠ 0 và có dạng a< p (≤ , >, ≥) cho a = 0 .

Để giải bất đẳng thức với một biến, bạn có thể áp dụng phương pháp khoảng hoặc biểu diễn nó bằng đồ thị. Bất kỳ trong số họ có thể được sử dụng trong sự cô lập.

Sử dụng phép biến đổi tương đương

Để giải bất phương trình tuyến tính dạng a x + b< 0 (≤ , >, ≥) thì cần áp dụng các phép biến đổi tương đương của bất phương trình. Hệ số có thể bằng không hoặc không. Hãy xem xét cả hai trường hợp. Để làm rõ, cần tuân thủ một sơ đồ gồm 3 điểm: bản chất của quy trình, thuật toán, bản thân giải pháp.

định nghĩa 4

Thuật toán giải bất phương trình tuyến tính một x + b< 0 (≤ , >, ≥) với a ≠ 0

• số b sẽ được chuyển sang vế phải của bất phương trình với dấu ngược lại, điều này sẽ cho phép chúng ta đi đến tương đương a x< − b (≤ , > , ≥) ;
• cả hai vế của bất đẳng thức sẽ chia hết cho một số khác 0. Hơn nữa, khi a dương thì dấu vẫn còn, khi a âm thì nó chuyển sang dấu ngược lại.

Xem xét ứng dụng của thuật toán này để giải quyết các ví dụ.

ví dụ 1

Giải bất phương trình dạng 3 · x + 12 ≤ 0 .

Giải pháp

Bất đẳng thức tuyến tính này có a = 3 và b = 12 . Do đó, hệ số a của x không bằng không. Hãy áp dụng các thuật toán trên và giải.

Cần chuyển số hạng 12 sang một phần khác của bất đẳng thức có đổi dấu ở trước nó. Sau đó, chúng ta thu được bất đẳng thức có dạng 3 · x ≤ − 12 . Cần phải chia cả hai phần cho 3. Dấu không đổi vì 3 là số dương. Ta có (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3 , sẽ cho kết quả x ≤ − 4 .

Bất đẳng thức dạng x ≤ − 4 là tương đương. Nghĩa là, nghiệm của 3 x + 12 ≤ 0 là bất kỳ số thực nào nhỏ hơn hoặc bằng 4 . Câu trả lời được viết dưới dạng một bất đẳng thức x ≤ − 4 , hoặc một khoảng số có dạng (− ∞ , − 4 ] .

Toàn bộ thuật toán mô tả ở trên được viết như sau:

3 x + 12 ≤ 0; 3 x ≤ − 12 ; x ≤ − 4 .

Trả lời: x ≤ − 4 hoặc (− ∞ , − 4 ] .

ví dụ 2

Chỉ ra tất cả các nghiệm có sẵn của bất phương trình − 2 , 7 · z > 0 .

Giải pháp

Từ điều kiện, chúng ta thấy rằng hệ số a tại z bằng - 2, 7 và b rõ ràng không có hoặc bằng 0. Bạn không thể sử dụng bước đầu tiên của thuật toán mà ngay lập tức chuyển sang bước thứ hai.

Chúng tôi chia cả hai phần của phương trình cho số - 2, 7. Vì số âm nên cần phải thay đổi dấu bất phương trình thành ngược lại. Nghĩa là, chúng ta có (− 2 , 7 z) : (− 2 , 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Chúng tôi viết toàn bộ thuật toán dưới dạng ngắn gọn:

− 2 , 7 z > 0 ; z< 0 .

Trả lời: z< 0 или (− ∞ , 0) .

ví dụ 3

Giải bất phương trình - 5 · x - 15 22 ≤ 0 .

Giải pháp

Theo điều kiện ta thấy cần giải bất phương trình với hệ số a cho biến x có giá trị bằng - 5 với hệ số b tương ứng với phân số - 15 22 . Cần giải bất phương trình theo thuật toán, đó là: chuyển - 15 22 sang vế khác dấu, chia cả hai vế cho - 5, đổi dấu bất phương trình:

5 x ≤ 15 22 ; - 5 x : - 5 ≥ 15 22 : - 5 x ≥ - 3 22

Ở lần chuyển đổi cuối cùng, đối với vế phải, quy tắc chia một số có các dấu khác nhau được sử dụng 15 22: - 5 \u003d - 15 22: 5, sau đó chúng ta chia phân số thông thường cho một số tự nhiên - 15 22: 5 \u003d - 15 22 1 5 \u003d - 15 1 22 5 = - 3 22 .

Trả lời: x ≥ - 3 22 và [ - 3 22 + ∞) .

Xét trường hợp a = 0. Biểu thức tuyến tính có dạng a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Mọi thứ đều dựa trên định nghĩa nghiệm của bất phương trình. Với mọi giá trị của x ta thu được bất phương trình số có dạng b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Ta xét tất cả các phán đoán dưới dạng thuật toán giải bất phương trình tuyến tính 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

định nghĩa 5

Bất đẳng thức số dạng b< 0 (≤ , >, ≥) là đúng thì bất phương trình ban đầu có nghiệm với mọi giá trị và sai khi bất phương trình ban đầu vô số nghiệm.

Ví dụ 4

Giải bất phương trình 0 · x + 7 > 0 .

Giải pháp

Bất đẳng thức tuyến tính 0 · x + 7 > 0 này có thể nhận bất kỳ giá trị nào x . Sau đó, chúng ta nhận được bất đẳng thức có dạng 7 > 0 . Bất đẳng thức cuối cùng được coi là đúng, vì vậy bất kỳ số nào cũng có thể là nghiệm của nó.

Trả lời: khoảng (− ∞ , + ∞) .

Ví dụ 5

Tìm nghiệm của bất phương trình 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 .

Giải pháp

Thay biến x cho bất kỳ số nào, chúng ta nhận được rằng bất đẳng thức sẽ có dạng − 12 , 7 ≥ 0 . Nó không chính xác. Tức là 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 vô nghiệm.

Trả lời: không có giải pháp.

Xét nghiệm của bất phương trình tuyến tính, trong đó cả hai hệ số đều bằng không.

Ví dụ 6

Xác định bất phương trình vô nghiệm từ 0 · x + 0 > 0 và 0 · x + 0 ≥ 0 .

Giải pháp

Khi thay một số bất kỳ vào x, ta được hai bất phương trình dạng 0 > 0 và 0 ≥ 0 . Đầu tiên là không chính xác. Điều này có nghĩa là 0 x + 0 > 0 không có nghiệm và 0 x + 0 ≥ 0 có vô số nghiệm, nghĩa là một số bất kỳ.

Trả lời: bất phương trình 0 x + 0 > 0 vô nghiệm và 0 x + 0 ≥ 0 có nghiệm.

Phương pháp này được xem xét trong khóa học toán học ở trường. Phương pháp khoảng có khả năng giải quyết các loại bất đẳng thức khác nhau, bao gồm cả bất đẳng thức tuyến tính.

Phương pháp khoảng được sử dụng cho các bất đẳng thức tuyến tính khi giá trị của hệ số x khác 0 . Nếu không, bạn sẽ phải tính toán bằng phương pháp khác.

định nghĩa 6

Phương pháp khoảng cách là:

• giới thiệu hàm y = a x + b ;
• tìm kiếm các số 0 để chia miền xác định thành các khoảng;
• xác định dấu đối với khái niệm chúng trên các khoảng.

Hãy lập thuật toán giải hệ phương trình tuyến tính a x + b< 0 (≤ , >, ≥) cho a ≠ 0 sử dụng phương pháp khoảng:

• tìm các điểm không của hàm y = a · x + b để giải phương trình dạng a · x + b = 0 . Nếu a ≠ 0 thì nghiệm sẽ là nghiệm duy nhất có ký hiệu là x 0;
• dựng đường tọa độ có ảnh của điểm có tọa độ x 0, với bất đẳng thức chặt thì điểm được biểu thị bằng gạch chéo, với bất đẳng thức không nghiêm ngặt thì tô đậm;
• xác định dấu của hàm y = a x + b trên các khoảng, để làm được điều này cần tìm các giá trị của hàm tại các điểm trên khoảng;
• nghiệm của bất phương trình với dấu > hoặc ≥ trên đường tọa độ, dấu gạch chéo được thêm vào phía trên khoảng cách dương,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Hãy xem xét một số ví dụ về giải bất đẳng thức tuyến tính bằng phương pháp khoảng.

Ví dụ 6

Giải bất phương trình − 3 · x + 12 > 0 .

Giải pháp

Theo thuật toán, trước tiên bạn cần tìm nghiệm của phương trình − 3 · x + 12 = 0 . Ta được − 3 · x = − 12 , x = 4 . Cần phải mô tả đường tọa độ, nơi chúng tôi đánh dấu điểm 4. Nó sẽ bị thủng vì bất đẳng thức là nghiêm ngặt. Hãy xem xét bản vẽ dưới đây.

Nó là cần thiết để xác định các dấu hiệu trên các khoảng thời gian. Để xác định nó trên khoảng (− ∞ , 4) , cần tính hàm y = − 3 · x + 12 cho x = 3 . Từ đây ta có được − 3 3 + 12 = 3 > 0 . Dấu trên khoảng là dương.

Chúng tôi xác định dấu từ khoảng (4, + ∞), sau đó chúng tôi thay thế giá trị x \u003d 5. Ta có − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Chúng tôi thực hiện nghiệm của bất phương trình với dấu > và phép nở được thực hiện trên khoảng trống dương. Hãy xem xét bản vẽ dưới đây.

Có thể thấy từ hình vẽ rằng nghiệm mong muốn có dạng (− ∞ , 4) hoặc x< 4 .

Trả lời: (− ∞ , 4) hoặc x< 4 .

Để hiểu cách biểu diễn bằng đồ thị, cần xét 4 bất đẳng thức tuyến tính làm ví dụ: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 và 0 , 5 x − 1 ≥ 0 . Giải pháp của họ sẽ là x< 2 , x ≤ 2 , x >2 và x ≥ 2 . Để làm điều này, hãy vẽ đồ thị của hàm tuyến tính y = 0 , 5 · x − 1 bên dưới.

Rõ ràng là

định nghĩa 7

• nghiệm của bất phương trình 0 , 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• nghiệm 0 , 5 x − 1 ≤ 0 là khoảng mà hàm số y = 0 , 5 x − 1 đồng biến trên 0 x hoặc trùng nhau;
• nghiệm 0 , 5 x − 1 > 0 được coi là khoảng mà hàm số đồng biến trên O x;
• nghiệm 0 , 5 x−1 ≥ 0 là khoảng mà đồ thị có đường cao hơn O x hoặc trùng nhau.

Ý nghĩa của giải pháp đồ thị của bất đẳng thức là tìm ra các khoảng cách, phải được mô tả trên biểu đồ. Trong trường hợp này, chúng ta nhận được rằng bên trái có y \u003d a x + b và bên phải có y \u003d 0 và trùng với About x.

định nghĩa 8

Đồ thị của hàm y = a x + b được thực hiện:

• khi giải bất phương trình a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• còn khi giải bất phương trình a x + b ≤ 0 thì khoảng xác định mà đồ thị nằm dưới trục O x hoặc trùng nhau;
• khi giải bất phương trình a x + b > 0 thì khoảng xác định, tại đó đồ thị biểu diễn trên O x;
• còn khi giải bất phương trình a x + b ≥ 0 thì khoảng xác định mà đồ thị nằm trên O x hoặc trùng .

Ví dụ 7

Giải bất phương trình - 5 · x - 3 > 0 bằng đồ thị.

Giải pháp

Cần xây dựng đồ thị của hàm tuyến tính - 5 · x - 3 > 0 . Dòng này đang giảm vì hệ số của x là âm. Để xác định tọa độ giao điểm của nó với O x - 5 · x - 3 > 0, ta thu được giá trị - 3 5 . Hãy vẽ đồ thị nó.

Giải bất phương trình với dấu > thì các bạn cần chú ý đến khoảng trên O x. Chúng tôi đánh dấu phần cần thiết của mặt phẳng bằng màu đỏ và lấy phần đó

Khoảng cách cần thiết là phần O x của màu đỏ. Vậy tia số mở - ∞ , - 3 5 sẽ là nghiệm của bất phương trình. Nếu theo điều kiện, chúng có bất đẳng thức không nghiêm ngặt thì giá trị của điểm - 3 5 cũng sẽ là một nghiệm của bất đẳng thức. Và sẽ trùng với O x.

Trả lời: - ∞ , - 3 5 hoặc x< - 3 5 .

Giải pháp đồ họa được sử dụng khi phía bên trái sẽ tương ứng với hàm y = 0 x + b , nghĩa là y = b . Khi đó đường thẳng sẽ song song với O x hoặc trùng nhau tại b \u003d 0. Những trường hợp này cho thấy một bất phương trình có thể không có nghiệm hoặc bất kỳ số nào cũng có thể là nghiệm.

Ví dụ 8

Xác định từ bất phương trình 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Giải pháp

Biểu diễn y = 0 x + 7 là y = 7 , khi đó sẽ cho mặt phẳng tọa độ chứa đường thẳng song song với O x và nằm trên O x. Vậy 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

Đồ thị của hàm số y \u003d 0 x + 0 được coi là y \u003d 0, tức là đường thẳng trùng với O x. Vậy bất phương trình 0 · x + 0 ≥ 0 có vô số nghiệm.

Trả lời: bất phương trình thứ hai có nghiệm với mọi giá trị của x .

bất đẳng thức tuyến tính

Nghiệm của bất phương trình có thể rút gọn thành nghiệm của một phương trình tuyến tính, chúng được gọi là các bất phương trình tuyến tính.

Những bất đẳng thức này đã được xem xét trong khóa học ở trường, vì chúng là trường hợp đặc biệt để giải bất đẳng thức, dẫn đến việc mở ngoặc và rút gọn các số hạng tương tự. Ví dụ, xét rằng 5 − 2 x > 0 , 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x , x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x .

Các bất đẳng thức đã cho ở trên luôn được rút gọn về dạng một phương trình tuyến tính. Sau đó, các dấu ngoặc được mở và các điều khoản tương tự được đưa ra, được chuyển từ các phần khác nhau, thay đổi dấu hiệu thành ngược lại.

Khi rút gọn bất đẳng thức 5 − 2 x > 0 thành một bất đẳng thức tuyến tính, chúng ta biểu diễn nó theo cách sao cho nó có dạng − 2 x + 5 > 0 và để rút gọn vế thứ hai, chúng ta được 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . Cần mở ngoặc, đưa các số hạng giống nhau, chuyển tất cả các số hạng sang vế trái và đưa các số hạng giống nhau. Nó trông như thế này:

7 x−7+3 ≤ 4 x−2 + x 7 x−4 ≤ 5 x−2 7 x−4−5 x+2 ≤ 0 2 x−2 ≤ 0

Điều này mang lại giải pháp cho bất đẳng thức tuyến tính.

Các bất đẳng thức này được coi là tuyến tính, vì chúng có cùng một nguyên tắc giải, sau đó có thể rút gọn chúng thành các bất đẳng thức cơ bản.

Để giải bất đẳng thức loại này, cần phải rút gọn nó về dạng tuyến tính. Nó nên được thực hiện như thế này:

định nghĩa 9

• mở ngoặc;
• thu thập các biến ở bên trái và các số ở bên phải;
• mang lại những điều khoản tương tự;
• chia cả hai phần cho hệ số của x .

Ví dụ 9

Giải bất phương trình 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1 .

Giải pháp

Mở rộng ngoặc, ta được bất đẳng thức dạng 5 · x + 15 + x ≤ 6 · x − 18 + 1 . Sau khi rút gọn các số hạng tương tự, ta có 6 · x + 15 ≤ 6 · x − 17 . Sau khi di chuyển các số hạng từ trái sang phải, chúng ta nhận được 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0 . Do đó, nó có bất đẳng thức dạng 32 ≤ 0 từ kết quả thu được trong phép tính 0 · x + 32 ≤ 0 . Có thể thấy bất đẳng thức sai, nghĩa là bất phương trình cho theo điều kiện vô nghiệm.

Trả lời: không có giải pháp.

Điều đáng chú ý là có nhiều bất đẳng thức thuộc loại khác, có thể được rút gọn thành bất đẳng thức tuyến tính hoặc bất đẳng thức thuộc loại được trình bày ở trên. Ví dụ: 5 2 x − 1 ≥ 1 là một phương trình mũ rút gọn thành nghiệm tuyến tính 2 · x − 1 ≥ 0 . Các trường hợp này sẽ được xét khi giải các bất phương trình loại này.

Nếu bạn nhận thấy một lỗi trong văn bản, hãy đánh dấu nó và nhấn Ctrl + Enter

Thông tin sơ bộ

định nghĩa 1

Bất đẳng thức dạng $f(x) >(≥)g(x)$, trong đó $f(x)$ và $g(x)$ là các biểu thức hữu tỉ nguyên, được gọi là bất đẳng thức hữu tỉ nguyên.

Ví dụ về bất đẳng thức hữu tỉ nguyên là bất đẳng thức tuyến tính, bậc hai, bậc ba hai biến.

định nghĩa 2

Giá trị $x$ thỏa mãn bất đẳng thức từ định nghĩa của $1$ được gọi là nghiệm của phương trình.

Một ví dụ về việc giải quyết bất bình đẳng như vậy:

ví dụ 1

Giải bất phương trình nguyên $4x+3 >38-x$.

Giải pháp.

Hãy đơn giản hóa bất đẳng thức này:

Ta có bất đẳng thức tuyến tính. Hãy tìm giải pháp của nó:

Trả lời: $(7,∞)$.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét các phương pháp giải bất phương trình hữu tỉ sau đây.

phương pháp bao thanh toán

Phương pháp này sẽ như sau: Một phương trình có dạng $f(x)=g(x)$ được viết. Phương trình này được rút gọn về dạng $φ(x)=0$ (trong đó $φ(x)=f(x)-g(x)$). Sau đó, hàm $φ(x)$ được phân tích thành nhân tử với các lũy thừa nhỏ nhất có thể. Quy tắc áp dụng: Tích của các đa thức bằng không khi một trong số chúng bằng không. Hơn nữa, các gốc tìm thấy được đánh dấu trên trục số và một đường cong của các dấu hiệu được xây dựng. Tùy thuộc vào dấu của bất đẳng thức ban đầu, câu trả lời được viết.

Dưới đây là ví dụ về các giải pháp theo cách này:

ví dụ 2

Giải quyết bằng cách bao thanh toán. $y^2-9

Giải pháp.

Giải phương trình $y^2-9

Sử dụng công thức hiệu bình phương, ta có

Sử dụng quy tắc đẳng thức bằng 0 của tích các thừa số, chúng ta thu được các nghiệm sau: $3$ và $-3$.

Hãy vẽ một đường cong của các dấu hiệu:

Vì dấu “nhỏ hơn” trong bất đẳng thức ban đầu, nên ta có

Trả lời: $(-3,3)$.

ví dụ 3

Giải quyết bằng cách bao thanh toán.

$x^3+3x+2x^2+6 ≥0$

Giải pháp.

Hãy giải phương trình sau:

$x^3+3x+2x^2+6=0$

Chúng tôi loại bỏ các yếu tố chung từ hai điều khoản đầu tiên và từ hai điều khoản cuối cùng

$x(x^2+3)+2(x^2+3)=0$

Loại bỏ nhân tử chung $(x^2+3)$

$(x^2+3)(x+2)=0$

Sử dụng quy tắc đẳng thức bằng 0 của tích các thừa số, ta thu được:

$x+2=0 \ và \ x^2+3=0$

$x=-2$ và "không có gốc"

Hãy vẽ một đường cong của các dấu hiệu:

Vì trong bất đẳng thức ban đầu, dấu hiệu là "lớn hơn hoặc bằng", chúng tôi nhận được

Trả lời: $(-∞,-2]$.

Cách giới thiệu một biến mới

Phương pháp này như sau: Một phương trình có dạng $f(x)=g(x)$ được viết. Chúng tôi giải nó như sau: chúng tôi giới thiệu một biến mới như vậy để thu được một phương trình đã biết nghiệm. Sau đó, chúng tôi giải quyết nó và quay lại thay thế. Từ đó ta tìm được nghiệm của phương trình thứ nhất. Hơn nữa, các gốc tìm thấy được đánh dấu trên trục số và một đường cong của các dấu hiệu được xây dựng. Tùy thuộc vào dấu của bất đẳng thức ban đầu, câu trả lời được viết.